对称信道容量计算
(最新整理)信道容量的计算
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§4.2信道容量的计算这里,我们介绍一般离散信道的信道容量计算方法,根据信道容量的定义，就是在固定信道的条件下，对所有可能的输入概率分布)(x P 求平均互信息的极大值。
前面已知()Y X I ;是输入概率分布的上凸函数，所以极大值一定存在。
而);(Y X I 是r 个变量)}(),(),({21r x p x p x p 的多元函数。
并且满足1)(1=∑=ri i x p 。
所以可用拉格朗日乘子法来计算这个条件极值。
引入一个函数：∑-=ii x p Y X I )();(λφ解方程组0)(])();([)(=∑∂-∂∂∂i ii i x p x p Y X I x p λφ1)(=∑iix p （4.2。
1）可以先解出达到极值的概率分布和拉格朗日乘子λ的值，然后在解出信道容量C .因为 )()(log)()();(11i i i i i ri sj i y p x y Q x y Q x p Y X I ∑∑===而)()()(1i i ri i i x y Q x p y p ∑==，所以e e y p y p i i i i i x y Q i x p i x p log log ))(ln ()(log )()()(==∂∂∂∂。
解（4.2。
1）式有0log )()()()()()(log )(111=--∑∑∑===λe y p x y Q x y Q x p y p x y Q x y Q ii i ii r i s j i i i i sj i i (对r i ,,2,1 =都成立） 又因为)()()(1j k k rk k y p x y Q x p =∑=ri x y Q sj i j,,2,1,1)(1==∑=所以（4.2.1）式方程组可以转化为 ),,2,1(log )()(log)(1r i e y p x y Q x y Q j i j sj i j =+=∑=λ1)(1=∑=ri i x p假设使得平均互信息);(Y X I 达到极值的输入概率分布},,{21r p p p 这样有 e y p x y Q x y Q x p j i j i j ri sj i log )()(log)()(11+=∑∑==λ从而上式左边即为信道容量，得 e C log +=λ 现在令)()(log)();(1j i j sj i j i y p x y Q x y Q Y x I ∑==式中，);(Y x I i 是输出端接收到Y 后获得关于i x X =的信息量，即是信源符号i x X =对输出端Y 平均提供的互信息。
几种特殊信道的信道容量
0 0
0 1
在信道中传递一个符号需要t秒，求信道每秒钟最大的信 息传输率。
解：
信道容量: C = logs=log2=1, 最佳分布为输出符号等概率 分布。
信道每秒钟最大的C信t 息C传t 输 率1t 为( b:it / s )
5
5
4. 有噪打字机信道
A
0.5
A
0.5
B
0.5
B
C
1 py|x
1
1
1-α
x
px
y
py|x
log
1 py|x
pxH ( )
x
H ( )
10
6. 二元删除信道（BEC）（续）
0
1-α
(1 )(1 )
0
而
PY
PY |X PX
(1 )
α
故 H (Y )
e
py log
pi
log
1 pi
信道容量为：
C max[H (Y ) H (Y | X )] p(x)
max p(x)
H (Y )
H ( p1,
p2, ,
pn )
最佳分布为输出符号等概率分布。
13
7. 对称离散信道
信道传递概率矩阵P中，每行都是同一个集合{p1, p2, …, ps}中的诸元素的不同排列组成，而且每列也都是另 一个集合{q1, q2, …, qr}中的诸元素的不同排列组成。
P
1/ 1/
3 6
1/ 3 1/ 6
1/ 6 1/ 3
1/ 6 1/ 3
P
信道容量的计算方法研究
信道容量的计算方法研究
信道容量是指在某个给定的带宽和信噪比条件下，传输信息的最大速率。
信道容量通常用单位时间内传输的比特数（比特每秒）来表示。
计算信道容量的公式为：
C = B × log2(1 + S/N)
其中，C表示信道容量，B表示信道带宽，S表示信号功率，N 表示噪声功率。
此公式在120年前由德国数学家Hartley提出，称为哈特利公式。
它用于描述在理想信道条件下的信息传输限制。
该公式表示，在频带B内、噪声功率为N的情况下，传输速率C理论上最高为
C=B*log2(1+S/N)。
这个公式是通过链路的信道特性分析来得出的，实际链路中应用时需要估计 S/N 的值。
重点是最大值的计算，信道容量很大程度上反映了信道的质量，在无线通信系统中，信道容量的提高是很重要的一个方面，因为它能够提高系统的使用效率和可靠性，从而增加系统的吞吐量和容量。
此外，还可以通过其他信源不同于离散和连续的信源，或者利用其他编码方法和调制技术等等方法，提高信道容量。
信息论课件信道容量
信道容量：
I(X;Y)是输入随机变量X的概率分布P(x)的上凸函 数。因此对于一个固定的信道，总存在一种信源 （某种概率分布P(x)），使传输每个符号平均获 得的信息量最大，也就是每个固定信道都有一个 最大的信息传输率，就是信道容量C。
即：
C maxI (X ;Y ) p(x)
信道容量是描述某一固定信道特性的参量，是信 道（每个符号平均）能够传输的最大信息量。
采用平均互信息的第③种表达方式求信道容量：
I (X；Y ) H (Y ) H (Y | X )
H (Y | X ) p(x) p( y | x) logp( y | x)
x
y
p(x)H (Y | X x)
x
其中：H (Y | X x) p( y | x) logp( y | x)
P=
3
3
6
6
1 1 1 1
6 6 3 3
1 1 1
2
3
6
P=
1 6
1 2
1 3
1
1
1
3 6 2
满足对称 性,所对 应的信道 是对称离 散信道。
3
延边大学 计算机科学与技术学科 2019年10月19日星期六
1、对称离散信道的定义（续）
2
延边大学 计算机科学与技术学科 2019年10月19日星期六
1、对称离散信道的定义
对称离散信道：
对称性:
每一行都是由同一集{p’1, p’2,…p’s}的诸元素不同排列
组成——输入对称；
每一列都是由{q’1, q’2,…q’r}集的诸元素不同排列组成—
对称信道与弱对称信道的信道容量
列可置换—— {1 ,0},{0,1 }
P(e / 0)
P2
(Y
/
X)
P(e
/
1)
行可置换—— {},{}
列可置换——{, }
4、弱对称信道的信道容量
➢信道容量C
s
C mk Pk log Pk H(q1, q2 , , qM1) k 1
P(2 / 0) P(2 /1)
P(3 / P(3 /
0)
1)
1/ 1/
3 6
1/ 6 1/ 3
1/ 6 1/ 3
1/ 3 1/ 6
行可置换—— {1/ 3,1/ 6,1/ 6,1/ 3},{1/ 6,1/ 3,1/ 3,1/ 6}
列可置换—— {1/ 3,1/ 6},{1/ 6,1/ 3},{1/ 6,1/ 3},{1/ 3,1/ 6}
2
例4：2 4对称信道Y / X ~ P(Y / X)
P(Y
/
X)
1/ 1/
3 6
1/ 6 1/ 3
1/ 6 1/ 3
1/ 3 1/ 6
求信道容量C及达到C的信源概率P(X)
C log 4 H(1 , 1 , 1) 2 2 1 log 1 2 1 log 1 0.082(bit)
解出P(x1) P(x2 ) P(x N )
N
P(xi ) NP(xi ) 1
i1
P(xi )
1 N
i 1,2, , N
k 1,2, ,s
Pk
1 N
N i1
pki
k 1,2, ,s
关于强对称离散信道信道容量计算的讨论
关于强对称离散信道信道容量计算的讨论
闫常丽;王利民;邓全才
【期刊名称】《河北建筑工程学院学报》
【年(卷),期】2014(000)003
【摘要】信道是构成通信系统的重要部分，用来传输和储存信息，而信息在信道中传输的多少不仅仅与信道本身的特性有关，还和信源的输入有关。
讨论了信息论中的强对称离散信道，并给出其信道容量的一种算法，得出只有离散信源的输入呈等概率分布时，此时强对称离散信道才可以达到其信道容量。
【总页数】3页(P102-104)
【作者】闫常丽;王利民;邓全才
【作者单位】河北建筑工程学院，数理系张家口 075000;河北建筑工程学院，数理系张家口 075000;河北建筑工程学院，数理系张家口 075000
【正文语种】中文
【中图分类】O21
【相关文献】
1.N元强对称信道的信道容量代价函数计算 [J], 蒋书法
2.马尔科夫对称离散信道级联信道容量研究 [J], 王睿甲;王星;程嗣怡;周东青
3.基于低压电力信道的信道容量计算与分析 [J], 张秀秀;冯晋军
4.行准对称离散信道信道容量的计算 [J], 游雪肖;程舰
5.关于准对称离散无记忆信道容量两个定理的等价性 [J], 孙燕;杨海涛;张亚平;于海敏
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迭代求解信道容量
谢谢~~
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j
H (Y / X ) p (ai ) p (b j / ai ) log p (b j / ai ) p (b j / ai ) log p (b j / ai ) H (Y / xi )
j i j
•输出对称
1 p (b j ) p (ai ) p (b j / ai ) p (b j / ai ) n i i
迭代算法计算信道容量
信道的基本概念
信道分类：
研究信道主要考虑信道中受干扰的影响，由于信道存在的干扰使输入信号和输出 信号之间没有固定的函数关系，只有统计依赖关系，因此可以通过分析输入和输出信 号之间的统计特性来研究信道。 实际通信系统中，信道的种类很多，包含的设备也不相同，因此可以按照不同的 角度对信道进行分类。 根据用用户数量：信道可以分为单用户信道和多用户信道。 单用户信道只有一个输入端和一个输出端，信息只朝一个方向单向传输； 多用户信道的信号输入和输出端至少有一端有两个以上用户，信息在两个方向都能传 输。 根据输入端和输出端关系：无反馈信道、有反馈信道 根据信道参数与时间的关系：固定参数信道（光纤、电缆）、时变参数信道（无线信 道）。 根据噪声种类： 随机差错信道（高斯白噪声为主题的信道）、突发差错信道（噪声干 扰的影响前后相关，如：衰落信道、码间干扰信道）。 根据输入输出信号的特点：离散信道、连续信道、半离散半连续信道以及波形信道。
0.3 0.1 0.6； 0.2 0.5 0.3；
C1=logm(PX*B') C2=logm(max(B)) while (1) if abs(C1-C2)<e break; end for i=1:1:S(1) PX(i)=PX(i)*B(i)/(PX*B'); end for k=1:1:S(1) I=0; PY=zeros(1,S(2)); for j=1:1:S(2) for i=1:1:S(1) PY(j)=PY(j)+PX(i)*PY_X(i,j); end I=I+PY_X(k,j)*log2(PY_X(k,j)/PY(j)); end B(k)=expm(I); end C1=logm(PX*B'); C2=logm(max(B)); end C=C1
对称信道容量计算
二元对称信道容量计算m.tn： IBl =-(«)» *log2(s)-(l-a) * *1QI2(1-a);subpl nt (2, 2j11plot U—lriwN a n J.ylabelCHf).fprimf「Bl=:*6. 3f*f Hl);lpll=p(yj/jrl>jpl2=p{yl/K2)jpL3=v(y2/xl)t pl4=p(T2/K2)p] 1=127/128, pl 2=1/1 28J plS=l/128^14=127/128；Kpl l=p (xl/yl), pl 2=p tx2/y 1) j. p 13=p (xl/y2), p 14=p i x2/y2)p2l= (n)!b«(pl 1). / ((s). * (pl 1) +(l-a) t * (pl2));p22=(]-a), *(pl2). / 1]-a). *''pl2)+a. ):p23= (a) - * (pl3). / ( (a). * (pl3) + ( Ha). * (pl4));p24- (1-a). ■ (pit)./ ( 1-a). * (pld) + (a). }:PFl= (■)- * (l-p)+(p). *(]-■):P?2= (p^, *(a)+(l-p|. *(l-a):H2^-(pyl}.*(p21>.*loi2(p2l)-<nyl).*(p22J • *Lci2(P22)-t P y2) t(p23). *1QE(P Z3)-(py2) • «Cp24). *U t2924) subplnt (2,2j 2), plot (a^HSJ^xlabelC a J)T/label C H2n).fprintf C 监:辭.卅'胡2):sm-船；subpl o+ (2r 2^3)plot (jj C) jilabelC a J), ylabe 1C C*),00.5 10 0.5 10 0.5 1fprimf C 洁道吝里:«6.r C);二元对称信道容量随a变化时的变化曲线■'拆器• F:\MATLAB\R2014a\UntrtledSC.m Until11asO> B Hl=-(a|, #lQ£2Ca)-(： subp Lm 2^ 1);plot (^HI\^xlabeL pl1=127/128, pl2=l/： p21=(a). «<pll)./(dp22=(l-a).*(pl2k/ p23=(ai . * 1 p 13). / (I' ip24=(l-a).*(pl4k/pyl-(A 1.* 1l-p)*(p ),py2=(p'丄 乂 ia)+tl-p) >命常行闔口 」i ：'不施 MATLAB?观看吃眩,Columns 79 throuih 910.0575 0. 0575Columns 92 through0.0575 0. 0575将程序中的a 修改为0~1的某个确定值，即可用改程序计算出其相应的二元对称信道值， 下例题所示，取 a 为0.5时，信源熵H1 (即H(x))以及H(x/y)为定值，在图像上显示为 定点，计算出信道容量为0.942 同理，当取a 为0.3时，计算出信道容量为 0.825二元非对称信道容量计算a=0: 0. 01:1Hl=-(a). *log 2 (a)-(l-a) * *lo (2(l-a)；subplot (2, 2j I ) zplcrt Hilij njrlabelC a J )f ylabel C Hl*);fpnntf 『H1=:S6. 3f* r Hl):Kpll-ptyl/xDj pl2=p(yl/x2iplS^p(y2/xl)f pl4^=p (y2/x2)P 11=1/2, PHD P13=.l/2f pl4=2/3:寫p 1 l=p (x 1/yl )j p 12=p (i2/yl 》，pl 3=p (x l/y2). pl bp (x2/y2)|p21= (ah *(pl l) + /((a). *(pll)+(l-a)* *(pl2));p22= (1-a). *(pl2). / * (pl2)+a, *(pll));p23= (a). «(p)3)./((a). *(pl3)+(l-a)« *(pi4))；p24= < 1-a). *(pl4). / ((.L-a)・ * (p!4) + (a)a • (pl3)):[pyl-(a). *(l-p) + (p)B *(Ha):py2= *(a) + (l-ph *(l~a):H2=- (pyl), *(p21). *lc[2(p21)-(pyl)« *Cp22L *Lag2(p22)-(py2)« *(p23'. *log 'p23J- (py2). *(p24)*lo<2(p24) subplot (2f 2r 2):plot (a.HS), xlabel (J a J ) T ylabel (? H2Z ):fprintf 『H2:乐& 3f ?, H2):C=HJ-H2;subplot 2* 3)plot (pjp C) r xlabel a* ylabel CC*);fprintf (:信道W1：K6. 3f\C):非对称信道容量随a变化时的变化曲线'謂釜-F:\MATLAB\I -1C □ntifledSO/n a=0, 5 Hl =-(■). *log2 (a subplot (2r Z J 1): plot I aj H1 i i xla Ififpviritf Hl=：＞ 10 %pll=p(xl f yl , p p2L= (a). p22= 11*3), * (pl 2 p2J=*a'' * n "'it f 1 -31 . * (n 1 4 命令行衰口 -i 7^^ MATLAB? through 0, 89770. ®977 Columns S2 through0. 8977fit 信1B 苔重：0. L将程序中的a 修改为0~1的某个确定值，即可用改程序计算出其相应的二元对称信道 值，如下例题所示，取 a 为0.5时，H(x)及H (x/y )为定值，在图像中显示为一定点，同时 信道容量计算出为 0.102同理，取a 为0.3时，计算出信道容量为 0.138疑问：在代入a 为一定值条件下，同 H ( x )和0H (x/y )，计算出的信道容量也是一个 定值，那么在图像中也应为一定点，为何这两个程序输出结果图中显示为一直线？。
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二元对称信道容量计算
二元对称信道容量随 a
变化时的变化曲线
将程序中的 a修改为 0~1 的某个确定值，即可用改程序计算出其相应的二元对称信道值，下例题所示，取 a为 0.5 时，信源熵 H1(即 H(x) )以及 H(x/y) 为定值，在图像上显示为定点，计算出信道容量为 0.942
同理，当取 a为 0.3 时，计算出信道容量为 0.825
二元非对称信道容量计算如
非对称信道容量随 a 变化时的变化曲线
将程序中的 a 修改为 0~1 的某个确定值，即可用改程序计算出其相应的二元对称信道值，如下例题所示，取 a 为 0.5 时， H（x）及 H（ x/y ）为定值，在图像中显示为一定点，同时信道容量计算出为 0.102
同理，取 a为0.3 时，计算出信道容量为 0.138
疑问：在代入 a 为一定值条件下，同 H（x）和 0H（x/y），计算出的信道容量也是一个定值，那么在图像中也应为一定点，为何这两个程序输出结果图中显示为一直线？。