柯西不等式3种变形
柯西不等式的变形及应用
柯西不等式的变形及应用
柯西不等式是一种乘积与和的比较，由法国数学家Augustin Louis Cauchy在19世纪中叶首次提出，因此被称为柯西不等式：
若a,b,c∈R，则有：ab+bc+ca≥3abc
柯西不等式可以进行多种变形，其中，将a,b,c分别替换成正实数x,y,z，可以得到更一般形式的柯西不等式，即：
若x,y,z∈R，则有：xy+yz+zx≥xyz
另外，把x,y,z分别替换成实数α,β,γ，和实数N，可以得到一种特殊形式，即：
若α,β,γ,N∈R，且N≤0，则有：αβ+βγ+γα≤Nαβγ
柯西不等式有广泛的应用，在几何学、代数学、微积分等数学领域均有深入的研究。
例如，可以使用柯西不等式来证明三角形的内角和大于180˚；在概率论中，可以使用柯西不等式来证明伯努利定理，即在两次独立事件中，发生任意一次事件的概率大于等于发生两次事件的概率；在算法学中，可以使用柯西不等式来证明Karush-Kuhn-Tucker条件的有效性；此外，柯西不等式还可以用于证明几何问题的精确性，解决拓扑学问题，以及最优化问题等。
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)解析版
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.解：x 2+y 2 12+12 ≥x +y 2，则8≥x +y 2所以x +y ≤22，当且仅当x =y =2时等号成立.答案：222设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.【分析】(1)根据条件x +y +z =1，和柯西不等式得到(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43，再讨论x ,y ,z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x ,y ,z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围.【详解】(1)[(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2](12+12+12)≥[(x -1)+(y +1)+(z +1)]2=(x +y +z +1)2=4故(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43等号成立当且仅当x -1=y +1=z +1而又因x +y +z =1，解得x =53y =-13z =-13时等号成立，所以(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值为43.(2)因为(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13，所以[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件，当x -2=y -1=z -a ，即x =2-a +23y =1-a +23z =a -a +23 时有[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)=(x -2+y -1+z -a )2=(a +2)2成立.所以(a +2)2≥1成立，所以有a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【详解】因为2a +b =3，所以4a +2b =6由权方和不等式a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y可得1a -1+12b -1=44a -4+12b -1=224a -4+122b -1≥2+1 24a -4+2b -1=9当且仅当24a -4=12b -1，即a =76,b =23时，等号成立．【答案】C【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14 B.12C.10D.8【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可.【详解】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A5(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【分析】由空间向量的坐标表示计算OP =xOA +yOB +zOC ，然后由柯西不等式求解即可.【详解】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12 =x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为 3.故选：B二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【分析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，代入公式即可得解.【详解】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：67(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.【答案】9【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.【详解】∵a +3b +6c =16≤12+32+6 2a 2+b 2+c 2=4a 2+b 2+c 2∴a 2+b 2+c 2≥4,当且仅当a 1=b 3=c6时等号成立，即a =1,b =3,c =6，∵x -a 2+y -b 2+z -c 2=1-2xa +by +cz +a 2+b 2+c 2≥1-2x 2+y 2+z 2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=1-2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2-1 2≥9，当且仅当a x =b y =c z 时等号成立，可取x =14,y =34,z =64故答案为：98(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k的最小值为.【答案】305/1530【分析】运用柯西不等式进行求解即可.【详解】由柯西不等式的变形可知5x +y =x 215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y 1，即y =25x 时等号成立，则k 的最小值为305.故答案为：3059(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．【答案】15,85【分析】先根据MN 的最小值求出CD =7，即a -6 2+b -8 2=49，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离CD =4+1+2=7，即a -6 2+b -8 2=49，由柯西不等式得：a -6 2+b -8 2 ⋅32+42 ≥3a -6 +4b -8 2，当且仅当a -63=b -84，即a =515,b =685时，等号成立，即3a +4b -50 2≤25×49，解得：15≤3a +4b ≤85.故答案为：15,8510已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．【答案】163/513【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=133a +b +c +d ×1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=13a +b +c +b +c +d +c +d +a +d +a +b ×(1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b)≥131+1+1+1 2=163，当且仅当a =b =c =d =14时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.【答案】(1)26(2)证明见解析【分析】(1)利用柯西不等式直接求解；(2)由分析法转化为求证4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，换元后由函数单调性得证.【详解】(1)由柯西不等式得：a 2+b 2 22+32 ≥2a +3b 2，即2a +3b 2≤26，故2a +3b ≤26，当且仅当3a =2ba 2+b 2=2 ，即a =22613b =32613时取得等号，所以2a +3b 的最大值为26.(2)要证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92，只需证：4≤a 4+b 4+ab a 2+b 2 ≤92，只需证：4≤a 2+b 2 2+ab a 2+b 2 -2a 2b 2≤92，即证：4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，由a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2可得2=a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，即0<ab ≤1，设ab =t ∈(0,1]，则设f t =-2t 2+2t +4,t ∈0,1 ，∵f (x )在0,12 上单调递增，在12,1 上单调递减，又f (0)=f (1)=4,f 12=94，∴4≤f t ≤92，即4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a2+b2+c2≥1641.【答案】(1)12 5(2)证明见解析【分析】(1)结合已知等式，将1a+1100b-4c化为1a+9a+1100b+4b-4，利用基本不等式，即可求得答案；(2)利用柯西不等式，即可证明原不等式.【详解】(1)因为a,b,c均为正实数，9a+4b+4c=4，所以1a+1100b-4c=1a+1100b+9a+4b-4=1a+9a+1100b+4b-4≥21a×9a+21100b ×4b-4=125，当且仅当1a=9a1100b=4b，即a=13,b=120,c=15时等号成立．(2)证明：根据柯西不等式有9a2+b2+c232+42+42≥(9a+4b+4c)2=16，所以9a2+b2+c2≥16 41．当且仅当3a3=b4=c4，即a=441,b=c=1641时等号成立，即原命题得证.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由题意可得b+c=1-a，又12-2a2=b2+c2，结合基本不等式可得12-2a2≥1-a22，化简求得0≤a≤25，得证；(2)法一，由已知条件得a21-a +1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c 4≥c，三式相加得证；法二，根据已知条件可得121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b2 1-b +c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c，利用柯西不等式求解证明.【详解】(1)因为a+b+c=1，所以b+c=1-a．因为2a2+b2+c2=1 2，所以12-2a2=b2+c2≥b+c22=1-a22，当且仅当b=c时等号成立，整理得5a2-2a≤0，所以0≤a≤2 5．(2)解法一：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，所以a21-a+1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c4≥c，以上三式相加得a21-a+b21-b+c21-c≥54a+b+c-34=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．解法二：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，且121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b21-b+c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c≥121-a⋅a1-a+1-b⋅b1-b+1-c⋅c1-c2=12a+b+c2=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．【答案】9 2【分析】由x>-1知：x+1>0，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形1x+1+2y=1x+1+42y，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】1a-2b +4b=1a-2b+123b≥1+122a-2b+3b=14+46(等号成立条件，略).15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．【答案】1 4【解析】x2x+2+y2y+1≥x+y2x+y+3=14当xx+2=yy+1，即x=23,y=13时，等号成立．16已知a >0，b >0，且2a +2+1a +2b=1，则a +b 的最小值是．【答案】12+2【解析】1=2a +2+1a +2b ≥2+1 22a +2b +2当2a +2=1a +2b，即a =2,b =12时，等号成立，a +b min =12+2．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值．【答案】25【分析】由f x =2x +91-2x =42x +91-2x ，再利用权方和不等式即可得解.【详解】由0<x <12，得1-2x >0，由权方和不等式可得f x =2x +91-2x =42x +91-2x ≥2+3 22x +1-2x=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取等号，所以函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故答案为：25.18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y 的最小值为【答案】13【分析】根据权方和不等式可得解.【详解】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.19(2023高三·全国·专题练习)已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【分析】应用权方和不等式即可求解.【详解】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6020(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【分析】利用权方和不等式：b n +1a n +d n +1c n ≥b +d n +1a +cn求解.【详解】1sin θ+8cos θ=132sin 2θ12+432cos 2θ12≥1+432sin 2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5521(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y 2的最小值.【答案】27【分析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2 ，由权方和不等式计算可得.【详解】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y 2的最小值为27.故答案为：2722(2024高三·全国·专题练习)已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：823(2023高三·全国·专题练习)已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，M =3x +2y +12x -y的最小值为.【答案】85/1.6【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当a x =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.不妨令m (x +2y )+(2x -y )=n (x +y ),整理得(m +2)x +(2m -1)y =nx +ny ，则m +2=n 2m -1=n,解得m =3n =5 ,则M =3x +2y +12x -y =93x +6y +12x -y =93x +6y +12x -y=323x +6y +122x -y ≥(3+1)25(x +y )=85，当且仅当33x +6y =12x -y 时等式成立，由33x +6y =12x -y x +y =2解得：x =32y =12，即当x =32,y =12时，M =3x +2y +12x -y 的最小值为85.故答案为：85.24(2024高三·全国·专题练习)已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】由题意得，1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y=1，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3325(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ,y 满足4x +9y =1，则42x 2+x +9y 2+y的最小值为【答案】118【分析】运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当ax =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.故由42x 2+x +9y 2+y =4242x 2+x +929y 2+y =42x 28+4x +92y 29+9y ≥4x +9y24x +9y+17=118当且仅当4x8+4x =9y9+9y 时取等号.由4x +9y =14x 8+4x =9y 9+9y,解得：x =172y =17 ，即当x =172,y =17时，42x 2+x +9y 2+y的最小值为118.故答案为：118.。
高中学习数学：柯西不等式
精品文档类型一：利用柯西不等式求最值例1．求函数的最大值解：∵且，函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为法二：∵且，∴函数的定义域为由，得即，解得∴时函数取最大值，最大值为. 当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式1】设且，求的最大值及最小值。
利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10【变式2】，，求的最值.法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．根据柯西不等式。
1欢迎下载精品文档， 故。
当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，变式 4：设a (1 ，0，2) ，b (x ，y ，z)，假设x 2y 2 z 216，那么a b 的最大值为。
【解】∵a (1 ，0， 2)，b(x ，y ，z)∴ a ．bx 2z由柯西不等式[120 (2) 2](x2y 2z 2) (x0 2z)2516 (x 2z) 2 45 x454 5a ．b4 5，故a ．b 的最大值为4 5:变式5：设x ，y ，zR ，假设x 2 y 2 z 2 4，那么x2y 2z 之最小值为时，(x ，y ，z)解(x 2y2z) 2(x 2y 2 z 2)[12( 2)222]4．9 36∴x2y2z 最小值为 6，公式法求(x ，y ，z)此时x y z62∴ x 2 ，4 412222(2)22233y， z33变式6：设x,y,zR，假设，那么x 2(y 1)2 z 2之最小值为________，又此时y________。
解析：[x 2(y1)2z 2][22( 3)2 12](2x 3y 3 z)2[x 2(y1)2z 2]36 ∴最小值1814xy1 7zt,2x 3yz3,2t(2)t3(3t1)323 13∴y2∴t779，那么4916变式7：设a ，b ，c 均为正数且abc之最小值为abc解：(2a3 b 4c)2( 49 16 )(a bc)abc ab c(4 9 16)．9(232814 9 16 81 9a b c4)a bc 9变式8：设a,b,c均为正数，且，那么123 之最小值为________a bc。
一般形式的柯西不等式
即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2， 由条件可得，5－a2≥(3－a)2 2b 3c 6d 解得 1≤a≤2，当且仅当 ＝ ＝ 时等号成立，代入 b 1/2 1/3 1/6 1 1 2 1 ＝1，c＝3，d＝6时，amax＝2，b＝1，c＝3，d＝3时，amin＝1
名师大讲堂·2013 高考复习《数学》（理科）
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y 2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y 2 )
2
2
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
三维三角不等式和一般形式的三角不等式：
x12 y12 z12
1.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______ 3 0 此时 x ________
2.设实数x, y满足3x 2 2 y 2 6, 则P 2 x y的最大
11 值是 ______
25 1 2 1 2 2 3.若a, b R , 且a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是 ______ a b
式，此题有多种解法，比如用三角代换法求解，但过程较繁．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
3．函数 y＝3sinx＋4 1＋cos2x的最大值为____________．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
答案： 41 解析：y＝3sinx＋4 1＋cos2x＝3sinx＋4 2cos2x ≤ sin2x＋cos2x[32＋4 22]＝ 41 sinx 3 3 2 当且仅当 ＝± 即 tanx＝± 时，函数有最大值 41 cosx 8 4 2
柯西不等式3种变形
柯西不等式3种变形柯西不等式是数学中的重要不等式之一，它的三种主要变形：角度形式、向量形式和积分形式，各自具有独特的性质和应用。
今天，我们将为大家介绍这三种变形，并探讨它们的内在联系和指导意义。
首先，让我们来看角度形式的柯西不等式。
角度形式通过考虑向量的夹角关系，给出了柯西不等式的一种形式。
设有两个n维实数向量a和b，它们之间的夹角为θ。
则根据角度形式的柯西不等式，我们有：∣a·b∣ ≤ ‖a‖ × ‖b‖这个不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不超过它们的长度之积。
这一形式的柯西不等式在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在三角学中，我们可以利用它来证明三角函数的性质和不等式。
在物理学中，它可以用来描述力和力矩的关系，以及电磁波的传播速度等等。
其次，让我们来看向量形式的柯西不等式。
向量形式是角度形式的一种推广，它不限定向量的维度。
设有两个向量a和b，根据向量形式的柯西不等式，我们有：∣a·b∣ ≤ ‖a‖ × ‖b‖这个不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不超过它们的长度之积。
这一形式的柯西不等式在向量分析和线性代数中有重要的应用。
例如，在线性空间中，我们可以用它来证明向量的正交性和线性无关性等等。
在信号处理和图像处理中，它可以用来描述信号的相似度和图像的相关性。
最后，让我们来看积分形式的柯西不等式。
积分形式是柯西不等式最一般的形式，它将柯西不等式推广到了积分的情况。
设有两个函数f(x)和g(x)，根据积分形式的柯西不等式，我们有：∣∫[a,b]f(x)g(x)dx∣ ≤ √[∫[a,b]f(x)²dx] ×√[∫[a,b]g(x)²dx]这个不等式告诉我们，两个函数的积分的绝对值不超过它们的平方积分之开根号的积分之积。
这一形式的柯西不等式在数学分析和概率论中有广泛的应用。
例如，在概率论中，我们可以利用它来证明随机变量的方差和相关系数的性质。
Cauchy-Schwarz不等式的各种形式与推广
1 n n 2 2 [ai b j 2ai bi a j b j bi 2 a j 2 ] 2 i 1 j 1 1 n n (ai b j bi a j ) 2 0 2 i 1 j 1
证法二（判别式法）
• 设 x 为任意实数, 令
f ( x) ai 2 2 x ai bi x 2 bi 2
i 1 i 1 i 1 n n n
则
f ( x) (ai xbi ) 0
2 i 1 n
• 显然 f ( x)是关于 x 的一元二次三项式, 且对于 任意实数都是非负的, 所以其判别式必不大 于零, 即
4( ai bi ) 2 4 ai 2 bi 2 0
i 1 i 1 i 1 n n n
2 2 i 1 i 1 k 2 i 1 2 k 1 k 1 i 1 k 1 i 1
k
k
2 k 1
bi 2 ak 12 ) (ak 1bk 1 ) 2
i 1
k
ai ( bi b
2 i 1 k
)a
2 k 1
( bi 2 bk 12 )
i 1
2 i 1 i i 1 n n 2 i
( ai bi ) ai
2 i 1 i 1
n
n
2
b a b a b
2 i 1 i i 1 i i i 1
n
n
n
i i
a
i 1 n i 1
n
2
i
a b
i 1 n
n
i i
2 a i
n
aibi
bi
i 1
Cauchy-Schwarz不等式的各 种形式与推广
论柯西不等式在高中数学中的应用
数 学 大 世 界 64
（下转第 67 页）
学练研究
提高课后作业的有效性，给学生“正能量”
江苏省苏州工业园区星海小学 丁 琳
课后练习是数学学习中不可或缺的环节，有效的课后练习能够帮 助学生巩固所学知识，完善数学思维，提升学生的实践能力与应用能 力，促进学生数学素养的提升。因此在实际教学中我们要结合学生的 认知特点，设计与教学内容密切相关的练习供学生课后完成。本文结 合教学实际谈谈如何提升课后练习的有效性。
证明：a³+b³+c³ ≥
。
证明：利用柯西不等式有：
（a²+b²+c²）²=（a a +b b +c c ）² ≤ [（a ）²+
（b ）²+（c ）²]（a+b+c） 因为 a+b+c=1，
所以：[（a ）²+（b ）²+（c ）²]（a+b+c）=（a³+b³+c³） （a+b+c）²
又因为 a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca，在不等式两边同乘以 2，再加上 a²+b²+c²，
【关键词】 柯西不等式；变式；应用
一、柯西不等式的主要变形公式
柯西不等式有多种变形，已经成为现在许多数学理论的出发点。
掌握几种常见的柯西不等式的变形，能够让我们对柯西不等式有更全
面的认识，在解决数学问题时，也可以快速使用合适的变形形式解题。
以下列举常见的几种柯西不等式的变形形式：
（1）：a1·b1+a2·b2+……+an·bn ≤ |a1·b1+a2·b2+……
重要不等式
重要不等式1柯西不等式柯西不等式的一般证法有以下几种：（1）Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.我们令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则我们知道恒有f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。
（2）用向量来证.m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^) ^1/2乘以cosX．因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+ an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2这就证明了不等式．柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数：例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证：(2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c)分析：∵a 、b 、c 均为正数∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又9=(1+1+1)(1+1+1)证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+ c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9又a、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
柯西不等式3种变形
柯西不等式是数学中的一个重要不等式，由法国数学家柯西于1821年提出。
它是数学分析中的一个基本定理，被广泛应用于实分析、复分析、概率论等领域。
柯西不等式的三种变形分别是：乘法形式、平方和形式和积分形式。
一、乘法形式
柯西不等式的乘法形式表达了两个向量的内积与它们的模的乘积之间的关系。
设有两个n维向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn)，那么它们的内积满足如下不等式：
|a·b| ≤ |a||b|
其中，a·b表示向量a和向量b的内积，|a|表示向量a的模。
乘法形式的柯西不等式可以用几何上的解释来理解。
对于两个非零向量a和b，它们的内积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
因此，柯西不等式可以看作是余弦函数的性质在向量空间上的一个推广。
二、平方和形式
柯西不等式的平方和形式是乘法形式的一个特殊情况。
设有两个实数a和b，则它们的平方和满足如下不等式：
(a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥ (ac+bd)^2
其中，a、b、c、d都是实数。
平方和形式的柯西不等式可以用来证明两个实数的平方和大于等于它们的乘积的平方。
这个不等式在数学中有着广泛的应用，可以用来证明其他不等式、几何问题等。
三、积分形式
柯西不等式的积分形式表达了两个函数的乘积与它们的平方积分之间的关系。
设有两个定义在区间[a,b]上的函数f(x)和g(x)，那么它们的乘积在[a,b]上的积分满足如下不等式：
∫[a,b]f(x)g(x)dx ≤ √[∫[a,b]f^2(x)dx] * √[∫[a,b]g^2(x)dx]
其中，∫[a,b]表示对区间[a,b]上的函数积分。
积分形式的柯西不等式可以用来证明两个函数的乘积积分小于等于它们的平方积分的乘积的平方根。
这个形式的柯西不等式在实分析中有着重要的应用，特别是在研究函数的平方可积性、傅里叶级数等方面。
柯西不等式是数学分析中的一个重要定理，它有着乘法形式、平方和形式和积分形式三种变形。
这三种变形分别适用于不同的数学问题，有着广泛的应用价值。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择适用的柯西不等式形式，来推导出需要的结论。
柯西不等式的三种变形是数学分析中的基本工具，对于深入理解和应用分析学具
有重要意义。