最小树问题
最小树
∑
),W 弧e =(i，j)上的权常记为 (e), e 或w(e)，wij等 ， )上的权常记为W( ), ( ) 如果T*是 的一棵生成树 且对G的任何一棵生成树 的一棵生成树， 的任何一棵生成树T都有 如果 是G的一棵生成树，且对 的任何一棵生成树 都有 W（ T* ）≤W（T），则T*称为网络 的最小支撑树或者最小生 ），则 称为网络 称为网络G的最小支撑树或者最小生 （ （ ）， 成树（ ），或者简称最小树 成树（MST：minimum spanning tree），或者简称最小树 ： ），或者简称最小树. 图的最小树一般不唯一
{
}
11
SOLLIN 算法 （1961） 基本思想：前面介绍的两种算法的综合。每次迭代同 基本思想：前面介绍的两种算法的综合。 时扩展多棵子树， 时扩展多棵子树，直到得到最小树 T.
STEP0 中任意一个顶点i， STEP0. 对N中任意一个顶点 ，定义 i={i}. 令T= 。 中任意一个顶点 定义N STEP1 如果T 中已有n-1条弧 条弧， 的最小树； STEP1. 如果 中已有 条弧，则T为G的最小树；否则，对T 中的所有子树 为 的最小树 否则， * 节点集合N 中的最小弧， 节点集合 k，计算边割 [ N k , N k ] 中的最小弧，即计算 w(ek ) = min w(e), 其中 e
该图正好含有一个圈.
5
最小树
定义2 为权函数, 定义 G=（N，E，W）为一个无向网络，W为权函数 即W: （ ， ， ）为一个无向网络， 为权函数 E→R （这里 表示实数集合）. G中权最小（大）的弧称为最小 这里R表示实数集合 表示实数集合） 中权最小 中权最小（ （大）弧. 如果H=（ 的一个子图， 的权定义为H所包含 如果 （N1，E1）为G的一个子图，子图 的权定义为 所包含 的一个子图 子图H的权定义为 的所有弧的权之和，记为W(H)，即W（H）= 的所有弧的权之和，记为 ， （ ） W ( e) .
网络规划3-最小树问题
第三节 最小树问题
一、最小树问题
1、什么是树？ 无圈连通图。 2、什么是最小树？ 权重之和最小的树。 3、最小树问题： 例6.3.1：电话线架设问题 某地7个村镇之间的现有交通道路如下图6.3-1所示, 边旁数字为各村镇之间道路的长度。现要沿交通道路架设 电话线，使各村之间均能通话。应如何架线使总长最短?
单位：海里
2 8
3 13 10
4 9 7 18
5 16 12 11 9
6 20 15 6 17 19
1 2 3 4 5
§6.3 最小树问题
二、最小树的求解方法
1、破圈法：1）适用于网络图已存在的问题；2）基本思 路；对网络图中每一个圈都破掉其最长边，直至网络图中 不存在圈为止。3）例:以例6.3-1为例，步骤如下图6.3-2
§6.3 最小树问题
6
1
4
8
3
2 9 7
1
2
9
2
7
5
9
7
4
5
例6.3.2：
3
图6.3-1
6
某公司拟铺设海上油管,要求将海上六口油井连通，仅
1号油井与海岸相连，距离为5海里。已知，海上六口油井
Hale Waihona Puke §6.3 最小树问题间的距离如下表6.3-1。试问，应如何铺设油管使铺设油 管的总长最短？ 表6.3-1
到 从
§6.3 最小树问题
表6.3-2
从
1 2 3 4 5
单位：海里
2 3 4 5 6
到
8
13 10
9 7 18
16 12 11 9
20 15 6 17 19
3
海岸
教学课件：第五章-最小树问题
最小树问题在现实生活中具有广泛的应用，如电路设计、网络路由、物流配送等。通过解 决最小树问题，可以优化网络结构、降低成本、提高效率，为实际问题的解决提供重要的 理论支持和实践指导。
最小树问题的未来研究方向
算法优化与改进
尽管已经存在许多有效的算 法用于解决最小树问题，但 随着问题规模的扩大和复杂 度的增加，需要进一步优化 和改进现有算法，以提高求 解速度和精度。
04 最小小生成树问题是在最小生成树问题的基础上，给 每条边赋予一个权重值，目标是寻找一棵权值最小的生成树 。
详细描述
在带权重的最小生成树问题中，每条边都有一个关联的权重 ，表示该边的长度或代价。算法需要选择一组边，这些边能 够连接所有节点并且总权值最小。常见的带权重的最小生成 树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
理论分析与证明
对于最小树问题的求解算法 ，需要深入的理论分析和证 明，以揭示算法的内在机制 和性能。未来可以进一步研 究算法的理论基础和数学证 明，为算法的设计和分析提 供更严格的依据。
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05 总结与展望
最小树问题的研究现状与成果
最小树问题的定义和性质
最小树问题是一类组合优化问题，旨在寻找一棵具有最小权值的树，该树连接给定的顶点 集。最小树问题在计算机科学、运筹学和图论等领域具有广泛的应用。
最小树问题的研究进展
近年来，最小树问题的研究取得了重要的进展。研究者们提出了许多有效的算法和近似算 法，用于解决最小树问题及其变种。这些算法在理论和实践方面都取得了重要的突破，为 解决实际问题提供了有效的工具。
教学课件：第五章-最小树问
目录
• 引言 • 最小树问题的算法 • 最小树问题的实例分析 • 最小树问题的扩展问题 • 总结与展望
最小树与最小树形图(数学建模)讲解
最小树与最小树形图（数学建模）讲解一、最小树的定义及性质1. 定义：最小树，又称最小树，是指在给定的带权无向图中，包含图中所有顶点的一个树形结构，且树中所有边的权值之和最小。
2. 性质：（1）最小树中不存在回路；（2）对于最小树中的任意两个顶点，它们之间有且仅有一条路径；（3）最小树中边的数量等于顶点数量减一；（4）在最小树中添加任意一条边，都会形成一条回路；（5）最小树不唯一，但权值之和相同。
二、求解最小树的方法1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，其基本思想是从图中的一个顶点开始，逐步添加边和顶点，直到形成最小树。
具体步骤如下：（1）初始化：选择一个顶点作为最小树的起点，将其加入最小树集合；（2）迭代：在最小树集合和非最小树集合之间，寻找一条权值最小的边，将其加入最小树集合；（3）重复步骤2，直到所有顶点都加入最小树集合。
2. Kruskal算法Kruskal算法同样是一种贪心算法，其基本思想是将图中的所有边按权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边，判断是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合。
具体步骤如下：（1）初始化：将所有顶点视为独立的树；（2）按权值从小到大排序所有边；（3）迭代：选择权值最小的边，判断其是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合；（4）重复步骤3，直到所有顶点都在同一棵树中。
三、最小树形图的定义及求解方法1. 定义：最小树形图，又称最优树形图，是指在给定的有向图中，找到一个包含所有顶点的树形结构，使得树中所有边的权值之和最小。
2. 求解方法：朱刘算法（Edmonds' Algorithm）朱刘算法是一种用于求解最小树形图的算法，其基本思想是通过寻找图中的最小权值环，进行收缩和扩展操作，最终得到最小树形图。
具体步骤如下：（1）寻找最小权值环；（2）对最小权值环进行收缩操作，将环中的顶点合并为一个新顶点；（3）在新图中寻找最小树形图；（4）将新图中的最小树形图扩展回原图，得到原图的最小树形图。
Steiner最小树问题及其应用
第8卷 第15期 2008年8月1671-1819(2008)15-4238-09科 学 技 术 与 工 程Science T echno logy and Eng i neeringV ol 18 N o 115 A ug . 2008Z 2008 Sci 1T ech 1Engng 1综 述数 学Steiner 最小树问题及其应用张 瑾1,2马 良1*(上海理工大学管理学院1,上海200093;河南大学计算机与信息工程学院2,开封475001)摘 要 Ste i ner 最小树问题是一个历史悠久的经典的组合优化问题,由于应用广泛,多年来一直受到研究者的广泛关注。
介绍了各种S teine r 树问题及其求解算法和实际应用。
关键词 Ste i ner 最小树 精确算法 启发式算法 应用中图法分类号 O 224; 文献标志码 A2008年4月21日收到国家自然科学基金项目(70471065)、上海市重点学科建设项目(T0502)资助第一作者简介:张 瑾(1974)),女,河南开封人,博士生1研究方向:系统工程、智能优化。
*通信作者简介:马 良(1964)),男,上海人,博士,教授,博士生导师1研究方向:智能优化。
现实生活中经常要求解决这样的问题,即将若干给定点相连并使连线的总长最短。
在网络通信领域中,该问题被一般化地提为:如果要在n 个区域间铺设通信网,使得各区域之间能实现信息的共享,那么应如何铺设才能使通信线路的总长最短?一般首先想到的可能就是求连接这n 个点的最小生成树(M i n i m um Spann i n g Tree )M ST )这种做法,但如果不拘泥于这n 个点,而引入除这n 个点之外的另外几个点的话,则有可能使连接各区域的通信线路的总长更短。
这是Steiner 最小树问题(Steiner M i n i m u m Tree Prob le m ,简记为S MTP)的来源。
S teiner 最小树问题是经典的组合优化问题,最早可以追溯到17世纪初。
最小生成树实际城市建设例题
最小生成树实际城市建设例题
最小生成树算法在城市建设中的应用十分广泛，可以帮助我们优化城市的交通网络、供电网络等。
以下是一个简单的例子：
假设我们在一个城市的某个区域进行城市建设，这个区域有若干个居民点（节点）和道路（边）。
我们希望通过铺设电缆（或建设道路）将这些居民点连接起来，同时要保证总的建设成本最小。
我们可以使用最小生成树算法来解决这个问题。
首先，我们需要收集每个居民点到其他居民点的距离（或建设成本），这些距离可以由专业人员测量或根据地图数据计算得到。
然后，我们可以将这些居民点和对应的距离输入到最小生成树算法中，算法会返回一个最优的生成树，这个生成树表示的是总建设成本最小的电缆或道路铺设方案。
具体来说，我们可以使用Kruskal算法或Prim算法等最小生成树算法来求解。
在Kruskal 算法中，我们按照边的权重从小到大排序，然后依次选择边，如果这条边不会与已经选择的边形成环路，就将其加入到最小生成树中。
在Prim算法中，我们首先选择一个起始节点，然后不断选择与已选节点相连且权重最小的边，直到所有的节点都被选中。
通过最小生成树算法，我们可以得到一个总建设成本最小的电缆或道路铺设方案，从而优化城市的交通和供电网络。
最小生成树问题(共7张PPT)
个，所以支撑树是有不唯一]。
C n1 m
求最小树的Kruskal算法
赋权的连通图G=(V,E)中m=|E|,n=|V|,
S1:对E中各边的权排序，设 w1≤w2≤…≤wm,wi=w(ei)
S2:初始化： w←0,T←φ,k←1,t←0
S3:若t=n-1则转S6，否则转S4
Y
N
T’←T∪{ek}
T’成圈? N END
Y
T←T+ {ek},
k←k+1 w←w+wk,
t←t+1,k←k+1
用Kruskal算法求最小树
用Kruskal算法(避圈法)求赋权连通图G的最小树
V2
5
V6
Kruskal法盯住边,而Prim法更注意顶点:
T为最小树，w为T的权。
4
T={v1,v2,v3,v5}
Prim法求最小支撑树 E的权排序w1≤w2≤…≤wm w←0,T←φ,k←1,t←0
对要m让条程边序的读边懂长“图排”，序S程3，:序m如个何元判素断排是序否较成好“的圈算”？法谈是何基容于易分，治时策间略、的空快间速复排杂序性(Q绝u不ick应S小or看ting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
min S2:初始化：w←0,T←φ,k←1,t←0 设: {w(vv )}w(vv ) 简对称m条最边小的树边或长最排短序树，[管vvm线ij个 铺ST 元设素]。排序较好的i算法j是基于分治策略的快l速排k序(Quick Sorting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
S4:若T∪{ek}有圈则k←k+1转S4，否则 转S5
S5: T←T∪{ek},w←w+wk, t←t+1, k←k+1,转S3
最小树问题
i 2在 , X 2 中e 2 选 ,4 边 E 3 E 2 e 2 4e 1,e 2 2,e 3 2,4 3 X X 2 v 4 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,X 3 v 5 ,v 6 ,
i 3在 , X 3 中e 4 选 ,5 边 E 4 E 3 e 4 5e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,5 4 X X 3 v 5 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,X 4 v 6 ,
i 4在 , X 4 中e 5 选 ,6 边 E 5 E 4 e 5 6e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,e 5 5,6 5 X X 4 v 6 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 V ,
设v1是T的一个悬挂点，考虑图T-｛v1｝，则图T｛v1｝ 的顶点数为K，由归纳假设可得 ：
，因为 m T(v1) nT(v1)1 nT(v1) nT 1 ， nT(v1) nT 1，则 mT(v1) mT1 ，证毕。
定理3：图T是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰 有一条链。
证明：必要性 因T是连通的，故任两个点之 间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链 的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾， 从而任两个点之间恰有一条链。
7
4 v6
5
v4
v2 2
v5
4
3
4 v6 v4
v5
4
3
4 v6 v4
v3 5
6
v1 1
7
5
v2 2
v5
v3 5
4
6
3
v1 1
7
4 v6 5
v4
v2 2
v5
4
3
4 v6 v4
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V1
V4
V5
0Байду номын сангаас
0
1
1
0
1
0
1
1
0
两顶点间有边连接的记为 1 ，无边连接的记为 0。 得到的矩阵一定是对称矩阵。
2、赋权无向图的矩阵表示： 两顶点间有边 连接的记为该边的权数。无边相连的记为 ， 对角线上的数是 0 。得到的矩阵也是对称矩阵。 例如：
5
v7
5
4
最小树，权为13
2．最小树的求法
(2)破圈法： ① 在网络图中寻找 一个圈。若不存在圈， 则已经得到最短树或网 络不存在最短树； ② 去掉该圈中权数 最大的边； 反复重复 ① ② 两 步，直到最小树。
v1 1 v8 4
4 2
v2 1
1 3 4
v3
1 v4 5 v5
5
v7
5
v0 2 3 v6 2 4
2．最小树的求法
求最小树的两种方法，是避圈法与破圈法
(1)避圈法： 从网络图中 任意节点开始寻 找与该节点关联 的权数最小的边， 使之与已选边不 构成为圈，直到 选够n-1条边为 止。
例
v1 1 v8 4 4 2 v2 1 1 3 4 v0 2 3 v6 2
从网络中 任选一点
v3 1 v4 5 v5
•（3）Kruskal 算法：将图中所有边 v1 按权值从小到大排列，依次选 1 所剩最小的边加入边集 T，只 v8 要不和前面加入的边构成回路， 5 直到 T 中有 n1 条边，则 T 是最小生成树
v7
4
v2
1
v3
2
4 5
1
3
4
1
v4 5 v5
v0 2 3 v6 2 4
图的矩阵表示
将图的几何形状转化为代数矩阵形式，可大 大方便计算机对图的处理与运算。 1、无权图的矩阵表示：
Tk T
e Ek
w e
则称 T * 为网络N的一棵最小生成树，简称最小树．
1．最小生成树
b 2 a 3 f 2
4 4 5
c 5 2 6 e d
最小 树
比如，城市间交通线 的建造等，可以归结为这 一类问题。
再如前面例3，在已知的几个城市之间联结电话线网， 要求总长度最短和总建设费用最少，这类问题的解决都 可以归结为最小树问题。
V2
3 V1
5
V4 V1
2 V5 V2 V3
V1
V2
V3
V4
V5
0
3 2
3
0
v5
v6
v2
v3
二、最小生成树及其算法
1．最小生成树
一个网络图可以有多个生成树．记N的所有生成 树的集合为： T＝{ Tk | k＝1，2，…，L } 设Tk ＝（V， Ek ）是网络图N＝（G，w）的一棵生成树， 则边集Ek中所有边的权数之和称为树Tk 的权数，记为
w Tk
若 T T ，使 w T min w Tk
一个电话线网。
一、树的基本概念 v1
v2
v3
v5 v4 v6
图5-6
一、树的基本概念 1．树 无圈且连通的无向图称为树．树一般记为T．作
为树定义还可以有以下几种表述： (1) T 连通且无圈或回路； (2) T 无圈且有n－1条边（如果有n个结点）； (3) T 连通有n－1条边； (4) T 无回路，但不相邻的两个结点之间联以一边，恰 得一个圈； (5) T 连通，但去掉T 的任意一条边，T 就不连通了； （亦即，在点集合相同的图中，树是含边数最少的 连通图。） (6) T 的任意两个结点之间恰有一条初等链．
2.支撑树 定义3 设图K=(V, E I )是图G=(V, E )的一支撑子图,如果
图K=(V, EI )是一个树,那么称K是G的一个支撑树或生成树。 例如,图5-7b 是图5-7a 的一个支撑树。
v3 v1
v5
v3
v5 v6
v6 v2 v4
v1 v2 v4
a
图5-7
b
2.支撑树
定理3 一个图G有支撑树的充要条件是G是连通图。
证明: 必要性显然； 充分性: 设图G是连通的，若G不含圈，则按照定义，G是 一个树，从而G是自身的一个支撑树。若G含圈，则任取G的 一个圈，从该圈中任意去掉一条边，得到图G的一支撑子图 G1。若G1不含圈，则G1是G的一个支撑树。若G1仍然含圈， 则任取G1的一个圈，再从圈中任意去掉一条边，得到图G的 一支撑子图G2。依此类推，可以得到图G的一个支撑子图GK， 且不含圈，从而GK是一个支撑树。
6
v3
v3
破圈法
• 任取一圈，从该圈中去 掉任一条边 • 对余下的圈重复相同的 v1 步骤 • 直到将图中所有的圈都 破掉为止
v4
2 1 3 4
v5
v6
v2
v3
避圈法
• 也称为生长法 • 从图中某一点开始 生长边 • 逐步扩展成长为一 v1 棵树 • 每步选取与已入树 的边不构成圈的那 些边
v4
第二节 最小树问题
一、树的基本概念
在各种各样的图中，有一类图是十分简单又非 常具有应用价值的图，这就是树。 例 3 已知有六个城市，它们之间要架设电话 线，要求任意两个城市均可以互相通话，并且电话 线的总长度最短。
一、树的基本概念
如果用六个点 v1 … v6 代表这六个城市，在任意 两个城市之间架设电话线，即在相应的两个点之间 连一条边。这样，六个城市的一个电话网就作成一 个图。任意两个城市之间均可以通话，这个图必须 是连通图。并且，这个图必须是无圈的。否则，从 圈上任意去掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的 一个电话网。图5-6是一个不含圈的连通图，代表了
寻找连通图支撑树的方法有“破圈法”。就是从图中 任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图重复以上步 骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个支撑树。 例4 用破圈法求出下图的一个支撑树。 v2 e1 v1 e2 v3 e3 e4 e7 e8 e6 v5
e5
v4
2.支撑树
取一个圈(v1 ,v2 ,v3 ,v1 )，在一个圈中去掉边e3 。在剩下 的图中，再取一个圈（v1 ,v2 ,v4 ,v3 ,v1 ），去掉边e4 。再从圈 （v3 ,v4 ,v5 ,v3 ）中去掉边e6 。再从圈(v1 ,v2 ,v5 ,v4 ,v3 ,v1 ）中去 掉边e7，这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如 图所示。 v2 v2 e1 e7 e1 e4 v 4 v1 e8 e3 e8 v5 v1 v5 v 4 e5 e2 e e2 5 e