2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高一（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B=（）A. 1，B.C.D.2.已知向量，满足=3，=2，且 ⊥（），则与的夹角为（）A. B. C. D.3.已知A是△ABC的内角且sin A+2cos A=-1，则tan A=（）A. B. C. D.4.若当x∈R时，函数f（x）=a x始终满足0＜f（x）≤1，则函数y=log a的图象大致为（）A. B.C. D.5.将函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则函数f（x）的最小正周期不可能是（）A. B. C. D.6.已知f（x）=是奇函数，则α，β的可能值为（）A. ，B. ，C. ，D. ，7.设函数f（x）=，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范围是（）A. B. ∪C. ∪D. ∪∪8.已知=1，=2，∠AOB=60°，=+，λ+2μ=2，则在上的投影（）A. 既有最大值，又有最小值B. 有最大值，没有最小值C. 有最小值，没有最大值D. 既无最大值，双无最小值9.在边长为1的正△ABC中，=x，=y，x＞0，y＞0且x+y=1，则•的最大值为（）A. B. C. D.10.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（2-x），当x∈[0，1 时f（x）=x2，则函数g（x）= sin（πx）-f（x）在区间[-1，3 上的所有零点的和为（）A. 6B. 7C. 8D. 10二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.函数f（x）=的定义域是______．12.计算：2=______；若2a=3b=，a，b∈R，则+=______．13.已知=（2，3），=（-1，）．若= ，则=______；若，的夹角为钝角，则的范围为______．14.已知函数f（x）=cos（2π-），则f（）=______；若f（）=，x∈[-，，则sin（x-）=______．15.向量与的夹角为，若对任意的t∈R，的最小值为，则=______．16.已知函数f（x）=，其中a＞0且a≠1，若a=时方程f（x）=b有两个不同的实根，则实数b的取值范围是______；若f（x）的值域为[3，+∞ ，则实数a的取值范围是______．17.若任意的实数a≤-1，恒有a•2b-b-3a≥0成立，则实数b的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知=（cos x，sin x），=（1，0），=（4，4）．（Ⅰ）若 ∥（-），求tan x；（Ⅱ）求+的最大值，并求出对应的x的值．19.已知函数f（x）=A sin（x+），若f（0）=．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．（i）写出g（x）的解析式和它的对称中心；（ii）若α为锐角，求使得不等式g（α-）＜）成立的α的取值范围．20.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ ＜），角φ的终边经过点P（1，-）．若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）的图象上任意两点，且当f（x1）-f （x2）=4时，x1-x2的最小值为．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[0，π 上的单调递减区间；（Ⅲ）当x∈[，m时，不等式f2（x）-f（x）-2≤0恒成立，求m的最大值．21.已知函数f（x）=log4（22x+1）+mx的图象经过点p（，-）+log23．（Ⅰ）求m值并判断的奇偶性；（Ⅱ）设g（x）=log4（2x+x+a）f（x），若关于x的方程f（x）=g（x）在x∈[-2，2 上有且只有一个解，求a的取值范围．22.定义在R上的函数f（x）=ax2+x．（Ⅰ）当a＞0时，求证：对任意的x1，x2∈R都有[f（x1）+f（x2）成立；（Ⅱ）当x∈[0，2 时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=，点p（m，n2）（m∈，n∈）是函数y=f（x）图象上的点，求m，n．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则2a=，即a=-1，且b=，故A={1，}，B={，-1}，故A∪B={-1，，1}，故选：D．根据A∩B={}，求出a，b的值，进而可得答案．本题考查的知识点是集合的交并补混合运算，难度不大，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：设与的夹角为θ，∵⊥（），则•（）=0，∴2+•=0，即2+ • •cosθ=0，又∵=3，=2，∴32+3×2•cosθ=0，则cosθ=-，又∵θ∈[0，π ，∴θ=，故与的夹角为．故选：D．设与的夹角为θ，根据⊥（），则有•（）=0，利用向量的运算性质，即可求出cosθ=-，结合向量夹角的取值范围，即可求得答案．本题考查了数量积求两个向量的夹角，数量积判断两个向量的垂直关系．根据数量积的定义可以求解两个向量的夹角，注意两个向量的夹角要共起点所形成的角，熟悉向量夹角的取值范围为[0，π ，其中夹角为0时，两向量同向，夹角为π时，两向量反向．两个向量互相垂直，则其数量积为0．属于中档题．3.【答案】A【解析】解：由，解得或．∵A是△ABC的内角，∴，则tanA=．故选：A．利用同角三角函数的基本关系，求得sinA和cosA的值，可得tanA的值．本题考查同角三角函数的基本关系，是基础的计算题．4.【答案】B【解析】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a x 始终满足0＜f（x）≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a x 的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a=-log a x ，其图象如红颜色的图象．故选B．由于当x∈R时，函数f（x）=a x 始终满足0＜f（x）≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y=log a x 的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y=log a x，而函数y=log a=-log a x ，即可得出图象．本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于难题．5.【答案】D【解析】解：将函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位，可得y=sin（ωx++）的图象，根据所得到的函数图象关于y轴对称，可得+= π+，即ω=8 +2，∈．∴函数的最小正周期为=，则函数f（x）的最小正周期不可能是2π，故选：D．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性和周期性，求得函数的最小正周期为，由此得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性和周期性，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，f（x）=是奇函数，则f（0）=cosα=0，解可得α= π+，若x＞0，则-x＜0，则cos（x+α）=sin（-x+β），变形可得：sinβ=cosα，则β= π，分析可得：C符合；故选：C．根据题意，由奇函数的定义可得f（0）=cosα=0，解可得α的值，进而假设x＞0，则-x＜0，则cos（x+α）=sin（-x+β），变形可得β的值，据此分析选项即可得答案．本题考查函数奇偶性的定义，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：；∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）上单调递减；∴由f（x）＞f（2x-1）得，，或；解得；∴x的取值范围是．故选：A．可得出，从而可判断出f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，这样即可由f（x）＞f（2x-1）得出，或，解出x的范围即可．考查分段函数单调性判断，一次函数和反比例函数的单调性，以及含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，函数单调性定义．8.【答案】B【解析】解：根据题意得：在上的投影为==①∵λ+2μ=2∴λ=2-2μ代入①得=令2-μ=t得μ=2-t，代入得当t＞0时，原式=有最大值，当t＜0时，①式无最小值故选：B．运用向量投影的知识可解决．本题考查平面向量基本定理的简单应用．9.【答案】C【解析】解：由题意得=（）•（），∵=x，=y，x＞0，y＞0且x+y=1，∴=（）•（），=（）•（）=-1+，∵x＞0，x＞0，x+y=1，∴xy，∴-1+=-1+，当且仅当x=y=时，取等号，∴当x=y=时，•的最大值为-．故选：C．=（）•（），=（）•（）=-1+，由此能求出当x=y=时，•的最大值为-．本题考查向量知识的运用，考查向量的加法，考查向量的数量积，考查基本不等式的运用，综合性强．10.【答案】A【解析】解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（2-x），即有f（-x）=f（x）=f（2-x），即f（x+2）=f（x），可得f（x）的最小正周期为2，当x∈[0，1 时f（x）=x2，可得x∈[-1，0 时，f（x）=x2；由g（x）=0，可得sin（πx）=f（x），作出y=f（x）和y═ sin（πx）在区间[-1，3 上的图象，可得它们有6个交点，设x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，可得x1+x3=0，x4+x6=4，x2=0，x5=2，则所有零点的和为6．故选：A．根据条件判断函数f（x）的周期性，令g（x）=0，得sin（πx）=f（x），分别作出y=f（x）和y═ sin（πx）在区间[-1，3 上的图象，利用图象判断两个函数的交点情况，即可得到所求和．本题主要考查函数零点的判断，利用数形结合转化为两个函数的图象交点个数是解决本题的关键．11.【答案】[2，+∞）【解析】解：要使原式有意义，须有log2（x-1）≥0且x-1＞0，即log2（x-1）≥log21且x-1＞0∵u=log2（x-1）为增函数，∴x-1≥1，∴x≥2．故答案为：[2，+∞）使该函数有意义，需要对数的真数大于0，同时需要根号下的代数式大于等于0，．本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是使构成函数式的每一部分都要有意义，属基础题．12.【答案】 2【解析】解：①2==；②若2a =3b=，a，b∈R，则，b=．+===2．故答案为：；2．利用指数与对数运算性质即可得出大小关系．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】±2＜且≠-【解析】解：∵已知=（2，3），=（-1，），若= ，则4+9=1+ 2，求得=±2．若，的夹角为钝角，则＜0，且与不平行，即-2+3 ＜0，且≠，求得＜，且≠-，故答案为：=±2，＜，且≠-．由题意利用两个向量模的计算公式求得的值，再利用两个向量共线的性质求得的范围．本题主要考查两个向量模的计算公式，两个向量共线的性质，属于基础题．14.【答案】--【解析】解：函数f（x）=cos（2x-），则f（）=cos（）=-cos=-．由于：f（x）=cos（2x-），所以：=，由于：x∈[-，，故：，则：sin（x-）=-．故答案为：．直接利用三角函数关系式的恒等变变换和同角三角函数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.【答案】2【解析】解：向量与的夹角为，∴•= ××cos=；若对任意的t∈R，的最小值为则=-2t•+t2=- t+t2≥3，∴2t2-t+2-3≥0恒成立，∴当△=22-42（2-3）=0时，取得最小值∴2=4，则=2，故答案为：2．运用平面向量的数量积，模长公式的求法可得结果．本题考查平面向量的数量积，模长的求法．16.【答案】（3，）[，1）∪（1，+∞）【解析】解：作出f（x）=的图象，由a=时方程f（x）=b有两个不同的实根，可得b＞3，且b＜3+0.52=，即有b∈（3，）；函数f（x）=，当0＜a＜1时，x≤2时，f（x）=5-x≥3，x＞2时，f（x）=a x+2a+2递减，可得2a+2＜f（x）＜a2+2a+2，f（x）的值域为[3，+∞），可得2a+2≥3，解得≤a＜1；当a＞1时，x≤2时，f（x）=5-x≥3，x＞2时，f（x）=a x+2a+2递增，可得f（x）＞a2+2a+2＞5，则f（x）的值域为[3，+∞）成立，a＞1恒成立．综上可得a∈[，1）∪（1，+∞）．故答案为：（3，），[，1）∪（1，+∞）．作出f（x）=的图象，由图象即可得到y=f（x）和y=b有两个交点的情况；运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论a＞1，0＜a ＜1两种情况，即可得到所求a的范围．本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．17.【答案】（-∞，1【解析】解：设f（a）=a（2b-3）-b，由于任意的实数a≤-1，恒有a•2b-b-3a≥0成立，则2b-3＜0，且f（-1）≥0恒成立，则有b＜log23，且3-b-2b≥0，由b+2b≤3，又g（x）=x+2x在R上递增，且g（1）=3，则g（b）≤g（1），解得b≤1．又b＜log23，则有b≤1．故答案为：（-∞，1 ．设f（a）=a（2b-3）-b，由题意可得，2b-3＜0，且f（-1）≥0恒成立，再由g（x）=x+2x 在R上递增，且g（1）=3，解不等式求交集即可．本题考查函数恒成立问题，考查构造函数运用单调性解题，考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题．18.【答案】解：（Ⅰ）计算-=（3，4），由 ∥（-）得4cos x-3sin x=0，∴tan x==；…（7分）（II）+=（cos x+1，sin x），∴=（cos x+1）2+sin2x=2+2cos x，+=，…（10分）当cos x=1，即x=2π，∈时，+取得最大值为2．…（14分）【解析】（Ⅰ）根据平面向量的坐标运算，利用平行公式求出tanx的值；（II）利用平面向量的坐标运算，利用模长公式和三角函数求出最大值．本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=A sin（x+），若f（0）=．所以：A sin=，解得：A=．（II）（i）函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）=的图象．令：（∈），解得：x=-（∈），所以函数的对称中心为（，）（∈），（ii）g（a-）=＜，即：＜，由于α为锐角，所以：＜＜，＜＜．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件求出函数的关系式，进一步求出结果．（Ⅱ）（i）利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用整体思想求出函数的对称中心．（ii）直接利用三角不等式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，三角函数不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）当f（x1）-f（x2）=4时，x1-x2的最小值为．所以：T==，解得：ω=3．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ ＜），角φ的终边经过点P（1，-）．解得：φ=-．（II）由（Ⅰ）得：f（x）=2sin（3x-），令（∈）．解得：（∈）．所以函数f（x）的单调递减区间为[，（∈）．由于：x∈[0，π ，所以函数的单调递减区间为[，和[，．（Ⅲ）由于：x∈[，m时，故：∈，，不等式f2（x）-f（x）-2≤0恒成立，解得：-1≤f（x）≤2，所以：＜，解得：＜．所以m的最大值为．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件求出函数的关系式．（Ⅱ）根据函数的关系式利用整体思想，求出函数的单调区间．（Ⅲ）根据函数的定义域求出函数的值域，进一步利用函数的值域求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数关系式的性质的应用，一元二次不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=log4（22x+1）+mx的图象经过点p（，-+log23），则-+log23=log4（23+1）+m，m=-；…（3分）所以f（x）=log4（22x+1）-x，且定义域为R，∴f（-x）=log4（2-2x+1）+x=log4+x=log4（4x+1）-x=f（x），则f（x）是偶函数；…（7分）（II）根据f（x）=g（x），得log4（4x+1）-x=log4（4x+1）-log42x=log4，…（9分）则方程化为log4（2x+x+a）=log4，得2x+x+a=＞0，化为a=-x，且在x∈[-2，2 上单调递减，…（12分）所以使方程有唯一解时a的范围是-≤a≤6．…（15分）【解析】（Ⅰ）把点P的坐标代入函数f（x），求得m的值；写出f（x）的解析式，判断f（x）的奇偶性；（II）根据题意，把方程化为对数方程，求出a的解析式，计算满足条件时a的取值范围．本题考查了对数函数的性质与应用问题，也考查了函数与方程的应用问题，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）证明：∵[f（x1）+f（x2）-f（）=（ax12+x1+ax22+x2）-a（）2-=，∵a＞0，∴[f（x1）+f（x2）-f（）≥0，∴[f（x1）+f（x2）≥f（）．（Ⅱ）当x=0时，f（x）≤1显然成立，此时a∈R；当x∈（0，2 时，f（x）≤1⇔-1≤ax2+x≤1⇔≤a≤⇔-（）2-≤a≤（）2-恒成立，∵x∈（0，2 ，∴-（）2-有最大值-，（）2-有最小值-，∴-≤a≤-．（Ⅲ）∵a=，∴f（x）=x2+x，∵P（m，n2）在函数f（x）的图象上，∴m2+m=n2，变形得（m+2）2-4n2=4，∴（m+2-2n）（m+2+2n）=4，且m∈，n∈，∵（m+2-2n）+（m+2+2n）=2m+4为偶数，∴m+2-2n与m+2+2n同为偶数，∴ 或解得：或故答案为：m=n=0或者m=-4，n=0．【解析】（Ⅰ）作差比较；（Ⅱ）分离变量后再将恒成立转化为最值；（Ⅲ）根据两个整数的和与积都为偶数，得这两个整数均为偶数．本题考查了不等式的证明、不等式恒成立转化为最值．属难题．。
精品解析：【市级联考】浙江省宁波市2018-2019学年高一第一学期期末考试数学试题(解析版)
浙江省宁波市2018学年第一学期期末考试高一数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}2,3,4A =，{}1,2,5B =，则()U A C B ⋂=（ ） A. {}3,4 B. {}3C. {}4D. {}2,3,4【答案】A 【解析】{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,5,3,4U U B C B ==∴=故(){}3,4U A C B ⋂= 选A2.若幂函数()mf x x =在区间()0,+∞上单调递减，则实数m 的值可能为( )A. 1B.12C. 1-D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的单调性结合选项得答案． 【详解】幂函数()mf x x =在区间()0,+∞上单调递减，0m ∴<，由选项可知，实数m 的值可能为1-． 故选：C ．【点睛】本题考查幂函数的单调性，是基础题．3.M 是ABC ∆边AB 上中点，记a BC =，b BA =，则向量MC =( ) A. 1-a-b 2B. 1-a b 2+C. 1a-b 2D. 1a b 2+【答案】C 【解析】 由题意得12BM b =， ∴12MC BC BM a b =-=-．选C ．4.函数()33log f x x x =-+的零点所在区间是( ) A. ()0,1 B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断． 【详解】()f x 在()0,+∞上为增函数，且()120f =-<，()3321log 21log 30f =-+<-+=，()33log 310f ==>，()()230f f ∴<，()f x ∴的零点所在区间为()2,3．故选：C ．【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.5.已知θ为锐角，则()12sin sin (2ππθθ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭) A. cos sin θθ- B. sin cos θθ- C. ()sin cos θθ±-D. sin cos θθ+【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式变形，结合平方关系把根式内部的代数式化为完全平方式，开方得答案． 【详解】θ为锐角，∴()12sin sin 12sin cos 2ππθθθθ⎛⎫+--=+⎪⎝⎭2(sin cos )sin cos sin cos θθθθθθ=+=+=+．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．6.函数()cos y x x x ππ=-≤≤的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用()0fπ<，进行排除即可.【详解】()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，()cos 0f ππππ==-<，排除C ，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．7.以下关于函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的说法中，正确的是( ) A. 最小正周期2T π=B. 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. 图象关于直线3x π=对称【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的周期性，单调性以及对称性分别进行判断即可． 【详解】函数的最小正周期22T ππ==，故A 错误， 当51212x ππ-≤≤时，5266x ππ-≤≤，2232x πππ-≤+≤， 此时函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为增函数，故B 正确， 2sin 22sin 2sin 2012123632f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+==≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭不对称，故C 错误， 2sin 22sin 0333f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则图象关于直线3x π=不对称，故D 错误，故选：B ．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合三角函数的周期性，单调性以及对称性是解决本题的关键．8.若向量a ，b 满足1a =，2b =，且3a b -=，则a ，b 的夹角为( )A.3π B.2π C.34π D. π【答案】A 【解析】 【分析】对3a b -=两边平方计算a b ⋅，再代入夹角公式即可求出答案． 【详解】由3a b -=可得2223a a b b -⋅+=， 即1243a b -⋅+=，1a b ∴⋅=，1cos ,2a b a b a b⋅∴==，a ∴，b 的夹角为3π． 故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，向量的夹角公式，属于基础题．9.设函数()f x 的定义域为A ，且满足任意x A ∈恒有()()22f x f x +-=的函数是( ) A. ()2log f x x = B. ()2xf x =C. ()1x f x x =- D. ()2f x x =【答案】C 【解析】 【分析】满足任意x A ∈恒有()()22f x f x +-=，则函数()f x 关于()1,1中心对称，由此可得结论． 【详解】满足任意x A ∈恒有()()22f x f x +-=∴函数()f x 关于()1,1中心对称()1111x f x x x =+=--的对称中心为()1,1 故选：C ．【点睛】本题考查函数的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.10.已知函数()1221xxf x x -=⋅+，[]2018,2018x ∈-的值城是[],m n ，则()(f m n += ) A. 20182 B. 2120182018-C. 2D. 0【答案】D 【解析】 【分析】根据条件判断函数的奇偶性，利用奇偶性的性质结合值域得到0m n +=，即可得到结论．【详解】()()122112211221x x xx x x f x x x x f x ------=-⋅==-⋅=-+++，即函数()f x 是奇函数，得图象关于原点对称， 函数()f x 的值城是[],m n ，0m n ∴+=，则()()00f m n f +==， 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知2log 3x =，则2x =______，44x x --=______． 【答案】 (1). 3 (2). 809【解析】 【分析】根据2log 3x =即可得出23x =，从而得出4x ，4x -的值，进而得出44x x --的值． 【详解】2log 3x =；23x ∴=；149,49x x -∴==； 80449x x -∴-=．故答案：803,9．【点睛】考查分数指数幂的运算，以及对数的定义，对数的运算性质．12.设tan 2θ=，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______，sin cos sin cos θθθθ-=+______． 【答案】 (1). 3- (2). 13【解析】 【分析】由已知展开两角和的正切求tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由同角三角函数基本关系式化弦为切求sin cos sin cos θθθθ-+． 【详解】由tan 2θ=，得tan tan214tan 341211tan tan 4πθπθπθ++⎛⎫+===- ⎪-⨯⎝⎭-， sin cos tan 1211sin cos tan 1213θθθθθθ---===+++．故答案为：3-；13．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用及两角和的正切，是基础题．13.已知向量()2,1a =-，()(),1b x R λ=-∈，则a =______；若//a b ，则λ=______． 【答案】 (1). 5 (2). 2【解析】 【分析】直接由向量模的公式计算a ；再由向量共线的坐标运算列式求解λ值．【详解】()2,1a =-，22(2)15a ∴=-+=；由()2,1a =-，()(),1b R λλ=-∈，且//a b ， 得()210λ-⨯--=，即2λ=． 故答案为：5；2．【点睛】本题考查向量模的求法，考查向量共线的坐标运算，是基础题．14.已知函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><一部分图象如图所示，则ω=______，函数()f x 的单调递增区间为______．【答案】 (1). 2 (2). 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【解析】 【分析】根据图象先求出函数的周期，和ω，利用五点对应法求出函数的解析式，结合函数单调性的性质进行求解即可．【详解】由图象知2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 则周期T π=， 即2ππω=，即2ω=，即()()2sin 2f x x ϕ=+，由五点对应法得206πϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，即3πϕ=，则()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 即函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故答案为：5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出的解析式是解决本题的关键．15.已知一个扇形的弧长为cm π，其圆心角为4π，则这扇形的面积为______2cm ． 【答案】2π 【解析】 【分析】根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可. 【详解】扇形的半径为4cm ，圆心角为4π， ∴弧长44l ππ=⨯= ,∴这条弧所在的扇形面积为21422S cm ππ=⨯⨯=，故答案为2π . 【点睛】本题主要考査扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.16.已知0a >且1a ≠，函数()()226,0,0a x a x xf x a x -+-≤⎧⎪=>⎨⎪⎩，满足对任意实数1x ，()212x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】72,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据题意知函数()f x 在R 上为增函数，利用分段函数的单调性列不等式组，从而求出a 的取值范围．【详解】函数()()226,0,0a x a x xf x a x -+-≤⎧⎪=>⎨⎪⎩，对任意实数1x ，()212x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦成立， 则()f x 在R 上为增函数；当0x ≤时，函数()f x 为增函数，则有20a ->，即2a >；①⋯ 当0x >时，函数()f x 为增函数，则有1a >；⋯②由()f x 在R 上为增函数，则()02026a a a -⨯+-≤，即有72a ≤；⋯③ 由①②③可得a 的取值范围为：72,.2⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：72,.2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了分段函数的单调性与应用问题，注意各段的单调性，以及分界点的情况，是易错题．17.已知单位向量a ，b ，满足0a b ⋅=，向量c 满足25c a c b -+-=，则c a +的取值范围是______．【答案】45,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由题意，不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，根据25c a c b -+-=可得(),x y 到点()1,0和()0,2的距离和为5，可得直线AB 的方程，则22(1)c a x y +=++表示点()1,0-点到直线直线AB 上点的距离，即可求出范围．【详解】由题意，单位向量a ，b ，满足0a b ⋅=，不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =， ()1,c a x y ∴-=-，()2,2c b x y -=-，25c a c b -+-=，2222(1)(2)5x y x y ∴-+++-=，即(),x y 到点()1,0和()0,2的距离和为5，则直线AB 的方程为220x y +-=，22(1)c a x y +=++表示点()1,0-点到线段AB 上点的距离，2024555min d -+-∴==， 最大值为()1,0-到()0,2的距离即为145+=， 故c a +的取值范围是45,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：45,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查两点的距离公式和点到直线的距离公式，向量模的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18.已知集合41{|24}2x A x -=≤≤，(){}3log 212B x x =+>． (1)求A B ；(2)已知{|1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|46A B x x ⋂=<≤，（2）[4,)+∞.【解析】【分析】（1）由指数不等式、对数不等式的解法得：A ={}|36x x ≤≤，B ={}4x x ，故A ∩B ={}|46x x <≤；（2）由集合的包含关系得：C ⊆B ，则：a ≥4，得到a 的范围是[4,)+∞．【详解】（1）解不等式4122x -≤≤4，得：3≤x ≤6，即A ={}|36x x ≤≤， 解不等式log 3（2x +1）＞2，得：x ＞4，即B ={}4x x ，故A ∩B ={}|46x x <≤，（2）由集合的包含关系得：C ⊆B ，则：a ≥4，所以a 的范围是[4,)+∞．【点睛】本题考查了指数不等式、对数不等式的解法及集合的包含关系，属简单题．19.已知函数()223sin cos 2cos .f x x x x =+ (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)现将函数()f x 图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，求()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】（1）π；（2）[]2,3【解析】【分析】（1）首先利用平面向量的数量积运算和三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式转换为正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的关系式和函数的图象的平移变换的应用求出函数的值域．【详解】(1)函数()223sin cos 2cos .f x x x x =+ 3sin2cos21x x =++，2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 函数()f x 的最小正周期22T ππ==；(2)由于()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 将函数()f x 图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()2sin 16g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象， 由于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故：2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以：1sin 126x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 故：()2sin 16g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为[]2,3． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，3ABC π∠=，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE tBC =，19DF DC t =．(1)求AB AC ⋅的值；(2)求AE AF ⋅的最小值，并求出此时t 的值．【答案】（1）3；（2）2918 【解析】分析】 (1)结合向量的数量积公式即可求出(2)利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．【详解】 (1())21cos 2133AB AC AB AD DC AB AD AB DC π⋅=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯=，(2()111)999AE AF AB tBC AD DC AB AD AB DC tBC AD BC DC t t ⎛⎫⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭ 21114172919218291818t t t t ⎛⎫=++-=++≥ ⎪⎝⎭， 1019t<≤，01t <≤， 119t ∴≤≤， 故当23t =时，AE AF ⋅的最小值为2918． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．21.如图，在平面直角坐标系中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，角α，β的终边与单位圆分别交525,55A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、722,1010B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭两点．(1)求()cos αβ-的值；(2)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求2αβ-的值． 【答案】（1）1010-；（2）4π- 【解析】【分析】 (1)根据三角函数的定义求出sin α，sin β和cos α，cos β的值，利用两角和差的余弦公式进行求解(2)先求出2α的三角函数值，结合两角和差的正弦公式求()sin 2αβ-的值即可.【详解】 (1)由525,55A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、722,1010B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 得5cos 5α=，25sin 5α=、72cos 10β=-，2sin 10β=， 则()57225210cos cos cos sin sin 51051010αβαβαβ⎛⎫-=+=⨯-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭． (22253)cos22cos 12()155αα=-=⨯-=-，5254sin22sin cos 2555ααα==⨯⨯=， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,απ∴∈，2,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 则()472322sin 2sin2cos cos2sin 5105102αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=-=⨯---⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 24παβ∴-=-．【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义求出对应角的三角函数值，以及利用两角和差的公式进行求解是解决本题的关键．22.设()22f x x tx =+，其中t R ∈． (1)当1t =时，分别求()f x 及()()f f x 的值域；(2)记()[]{|,,1}A y y f x x t t ==∈--+，()()[]{|,,1}B y y f f x x t t ==∈--+，若A B =，求实数t 的值．【答案】（1）[)1,-+∞；（2）1t =或0t =或152t +=或152- 【解析】【分析】 (1)当1t =时，求出函数()f x 和()()f f x 的解析式，结合二次函数的性质进行求解即可(2)根据A B =，得到两个集合的值域相同，求出两个函数对应的最值建立方程即可【详解】 (1)当1t =时，由()222(1)11f x x x x =+=+-≥-， 当且仅当1x =-时，取等号，即()f x 的值域为[)1,-+∞．设()u f x =，则1u ≥-，则()()()2(1)11f f x f u u ==+-≥-，当且仅当1u =-，即1x =-时，取等号，故()()f f x 的值域为[)1,-+∞．(2[]),1x t t ∈--+，()2222(),1f x x t t t t ⎡⎤∴=+-∈--+⎣⎦，即此时函数()f x 的值域为22,1t t ⎡⎤--+⎣⎦， 2()min f x t =-，221t t t ∴-≤-≤-+，得1512t +≤≤或1502t -≤≤， ①当212t t -≥-+时，即132t +≥或132t -≤， ()()2432()21max f f x f t t t t =-=-≡-+，即()22211t t t -+≡，即22(1)1t t -≡，则()11t t -=±，得152t +=或152-成立． ②当212t t -<-+时，即131322t -+≤≤时， ()()()22222()1(1)211max f f x f t t t t t =-+=-++-+=-+，即432220t t t t --+=，即()()2210t t t --=， 即1t =±或0t =或2t =，1t =或0t =满足条件.，综上1t =或0t =或152t +=或152-成立． 【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合复合函数值域关系求出的最值是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大，有一定的难度．。
浙江省宁波市九校2017-2018学年高一下学期期末联考数学试题(含精品解析)
宁波市2017-2018学年度第二学期期末九校联考高一数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 圆的圆心坐标和半径分别是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将圆的一般方程化为标准方程后可得结果．详解：由题意得圆的标准方程为，故圆的圆心为，半径为1．故选B．点睛：本题考查圆的一般方程和标准方程间的转化及圆心、半径的求法，考查学生的转化能力，属于容易题．2. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：将展开得到，然后两边平方可得所求．详解：∵，∴，两边平方，得，∴．故选A．3. 已知为等比数列的前项和，且，则( )A. 510B. 510C. 1022D. 1022【答案】B【解析】分析：根据等比数列的前项和公式求出，由可求得，然后再求．详解：∵，∴，，，∴．∵数列为等比数列，∴，即，又，∴，∴，∴510．故选B．点睛：本题考查等比数列的运算，解题时利用与的关系，即得到数列的项，再根据等比中项求出即可．另外本题也可利用以下结论求解：若等比数列的前项和为，则有，利用此结论可简化运算，提高解题的速度．4. 若实数满足不等式组，则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：令，画出不等式组表示的可行域，利用线性规划的知识求解可得所求．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．令，变形得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．由，得，故，∴.故选D．点睛：利用线性规划求目标函数最值的步骤①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的直线l；②平移：将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；③求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．5. 若且，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数的性质及不等式的性质对四个选项逐一分析排除可得结论．详解：对于A，由得，所以．故A不正确．对于B，由得，所以．故B不正确．对于C，由得，所以．故C正确．对于D，由得．故D不正确．故选C．点睛：判断关于不等式的命题真假的三种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，进行推理判断．(2)利用函数的单调性：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．6. 直线与直线垂直，垂足为，则( )A. B. C. D.【答案】B详解：∵直线与直线垂直，∴，∴，∴直线方程即为．将点的坐标代入上式可得，解得．将点的坐标代入方程得，解得．∴．故选B．点睛：本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题．7. 在中，若，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：应用正弦定理及比例的性质求解即可得到结论．详解：在中，由正弦定理得，∴，∴．故选D．点睛：正弦定理：，其中R是三角形外接圆的半径，由正弦定理可以得到变形：①；②等，解题时要灵活运用这些变形．8. 设表示不超过的最大整数，如．已知数列满足：，则( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】分析：由题意先求出数列的通项公式，再求出，最后结合的定义求解．详解：∵，∴，∴，又满足上式，∴．∴，∴，∴．故选A．点睛：本题考查累加法求数列的通项公式和利用裂项相消法求数列的和，考查学生的运算能力和理解运用新知识解决问题的能力，解题的关键是正确理解所给的运算的定义．9. 设，则的大小顺序为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意得均为正数，故可采取作商法来比较大小．详解：由题意得．∵，∴．又，∴．综上可得．故选B．点睛：作差法和作商法是两种常用的比较大小的方法，解题时要灵活选择相应的方法．作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负——得到结论．当所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑作商法，作商法的步骤为：作商——变形——判断商与1的关系——得到结论．10. 已知等差数列中，，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据等差数列的知识可得，故问题可转化为直线直线与圆有公共点处理，然后根据圆心到直线的距离小于等于半径可得所求．详解：已知等差数列中，，令，所以直线与圆有公共点，所以，解得．故选C．点睛：本题难度较大，考查学生的转化能力和运算能力．解答本题的关键是将问题转化为直线和圆的位置关系处理，解题中要用到较强的变化技巧．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题６分，单空题每题4分，共36分．11. 已知直线，直线，则过定点_____________；当________时，与平行．【答案】(1). (2).【解析】分析：将直线的方程变形为，令可得定点坐标；根据两直线平行的等价条件可得的值．详解：直线的方程变形为，令，解得，所以直线过定点．当与平行时，则有，解得，即时，与平行．点睛：直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时，先把直线方程整理成（为参数）的形式，解方程组可得定点的坐标．12. 若直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离是________________ ； _______________．【答案】(1). (2).【解析】分析：根据半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形可求得弦心距，即为圆心到直线的距离；然后根据点到直线的距离公式可求得．详解：设圆心到直线的距离为，则．由点到直线的距离公式，得，∴，∴．点睛：计算直线被圆截得的弦长时常用几何法求解，即运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．这是研究圆问题的常用方法，利用性质求解可简化运算，提高解题的效率．13. 在中，若，则__________________；当时，则的面积等于______________．【答案】(1). (2).【解析】分析：由可得三角形的三边比，再根据余弦定理可得，进而可求得，再根据可得，于是可求得三角形的面积．详解：∵，∴，设，由余弦定理得，∴．∵，，∴，∴的面积为．点睛：解题时注意正弦定理变形的灵活应用，另外三角形的面积常与正余弦定理结合在一起考查，解题时要根据题意合理选择三角形的面积公式，同时还要注意整体代换的应用．14. 已知数列成等差数列，且，则_________；若函数，记则数列的前5项和__________．【答案】(1). (2). 5【解析】分析：根据条件及等差数列下标和的性质可求得；化简所给函数得，于是可得，由此可得所求值．详解：∵数列等差数列，∴，∴，∴．∵，∴，同理，又，∴．点睛：下标和的性质是等差数列的重要性质，利用这一性质可简化等差数列的有关运算；另外，解答本题时要合理运用三角函数的诱导公式及数列的性质，运用整体代换的思路求解问题．15. 已知点在直线的两侧，则实数的取值范围是_________________．【答案】【解析】分析：将点的坐标代入中，根据所得两式异号得到不等式，解不等式可得所求．详解：∵点在直线的两侧，∴，整理得,解得或．∴实数的取值范围是．点睛：（1）解答本题时用到了结论：直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x,y)，它的坐标(x,y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同．（2）解高次不等式时，可借助数轴采用穿根的方法求解，能达到简化运算、容易得到不等式解集的目的．16. 已知实数满足：，，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：根据线性规划先求出的范围，再根据柯西不等式求解．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可得点A到原点的距离最大，由，解得，故，∴．由柯西不等式得，当且仅当时等号成立．∴的最大值为．点睛：在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，可按照“一看、二构造、三判断、四运用”的步骤求解．17. 设△的三边所对的角分别为．已知，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：由条件及余弦定理得到，再根据正弦定理和三角变换得到和的关系，然后根据两角和的正切公式和基本不等式可得结果．详解：由已知及余弦定理，得∴，∴．由正弦定理及得，∴∴，∴且．∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最大值为．点睛：本题考查解三角形及三角变换和用基本不等式求最值，解题时注意合理的将三角形中的边角进行互化，得到和的关系是解题的关键．利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可，当不满足应用的条件时，要进行合理变形使之满足使用不等式需要的条件．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18. 已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值、最小值以及相应的的值；（Ⅱ）解关于的方程．【答案】（Ⅰ）时,. 当时,（II）解集为.【解析】分析：（Ⅰ）将函数化为，然后根据的范围得到的范围，再根据三角函数的图象得到最值即可．（Ⅱ）根据三角函数的相关知识求出的值，进而得到，即方程的解．详解：（Ⅰ）由题意得.∵∴．∴当，即时，函数有最小值，且；当，即时，函数有最大值，且．（II）由，得，∴或，，∴,又，∴．即方程的解为．点睛：解决三角函数的有关问题时，首先要将函数化为的形式，然后根据整体代换的思路，将作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质求解，求解时注意条件中所给的自变量的取值范围的限制．19. 已知三边是连续的三个自然数．（Ⅰ）求最小边的取值范围；（Ⅱ）是否存在这样的，使得其最大内角是最小内角的两倍？若存在，试求出这个三角形的三边；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（II）存在，且三边分别为．【解析】（Ⅰ）设出三角形的三边，根据三边关系可得所求．（Ⅱ）假设存在满足条件的三角形，且最大角为，最小角为，则．然后根据正弦定理和余弦定理分别得到的值，建立方程后可得结论．详解：（Ⅰ）设角所对的边分别是，且，由三角形的三边关系得，解得．所以最小边的取值范围是．（II）由题意得三个角中最大角为，最小角为，假设存在，使得其最大内角是最小内角的两倍，即．由正弦定理得，即，∴．又由余弦定理得，∴，解得．∴的三边分别为，即存在唯一满足三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍，且三角形的三边分别为.另解: 设，三个角中最大角为，最小角为．则,∴，由余弦定理得代入上式化简得,∴,解得．∴三角形的三边分别为，即存在唯一满足三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍．点睛：（1）本题考查解三角形的应用，解题时可根据题意并结合边角关系得到相应的关系式，从而达到求解的目的．（2）解决探索性问题时，可先假设结论成立，并在此基础上进行推理，看是否得到矛盾，若得到矛盾则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．20. 已知圆，圆．（Ⅰ）试判断圆与圆的位置关系；（Ⅱ）在直线上是否存在不同于的一点，使得对于圆上任意一点都有为同一常数．【答案】（Ⅰ）相交；（II）．【解析】分析：（Ⅰ）根据几何法和代数法两种方法可判断两圆的位置关系．（Ⅱ）假设存在满足条件的点和，根据为常数得到关于的方程，将此方程与圆的方程比较可得所求结果．详解：（Ⅰ）由题意得圆的标准方程为，的标准方程为．∴两圆的圆心距为，又两圆的半径之差,两圆的半径之和，∴，∴两圆相交．解法二:由，解得，所以两圆有两个公共点，所以两圆相交．（Ⅱ）由题意得直线的方程为．假设直线上存在不同于的一点满足条件，设,，则由题意得，化简得，显然上式与圆的方程为同一方程，则解得或（不合题意，舍去）．所以所求的点的坐标为．点睛：（2）判断两圆的位置关系时，可根据圆心距与两圆半径间的关系判断，也可通过解方程组根据解得个数判断，解题时灵活选择方法求解．（2）解析几何中的探索性问题，解决时可先假设结论成立，并在此基础上进行推理，看是否得到矛盾，若得到矛盾则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．21. 已知函数(Ⅰ) 当时，解关于的不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为，且，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（II）．【解析】分析：（Ⅰ）将不等式化为一般形式，然后根据的取值情况分类讨论求解即可．（Ⅱ）将条件中的集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决，然后分离参数后再转化为求函数的最值的问题，最后根据基本不等式求解可得所求．详解：（Ⅰ）由得,即①当，即时，解得；②当即时，解得或；③当，即时，由于，故解得．综上可得：当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为．（II）不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．即对任意的恒成立，由于，∴对任意的恒成立．令，∵，当且仅当，即时等号成立．∴，∴实数的取值范围是．另解:不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．设(1)当时,,解得(2)当时,, 当时恒小于0,不满足,舍去(3)当时,(ⅰ),即,得(ⅱ),解得综上可得实数的取值范围是．点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．22. 已知数列满足，，．（Ⅰ）求证：是等比数列，并写出的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，求证：．【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（II）见解析．【解析】分析：（Ⅰ）由条件可得，变形可得，进而可证得数列为等比数列，进而可得通项公式．（Ⅱ）将变形得，求和后可得；另一方面，，由此可证得，故得结论成立．详解：（I）由题意得，将两边同除以，得，即，又，∴数列是首项为，公比为的等比数列．∴，∴，∴．（II）由（I）可得，∴∴成立．又，∴,，又，，∴．综上可得．点睛：（1）证明等比数列时不要忘了证明数列中无零项，可将此问题转化为证明首项不为零即可．（2）用放缩法证明数列中的不等式时，常用的放缩方法有两种，一是先放缩再求和，二是先求和再放缩，解题时要根据条件选择合适的求解方法．。
2018学年第一学期宁波九校联考高一上数学期末考试
2018学年第一学期宁波市九校联考高一数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集为R ，集合{|03},{|1}A x x B x x =<<=≥，则()R A B = ð A.{|3}x x < B.{|01}x x << C.{|13}x x ≤< D.{|0}x x >2. 函数3()f x x =的图象A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于直线y x =对称D.关于原点对称3. 若3tan 4α=，则22cos sin 2αα+= A.5625 B.4425 C.45 D.8254. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EC =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C.3144AC AB -D.1344AC AB -（第4题图） 5. 已知曲线12:sin(),:sin 23C y x C y x π=+=，则下列结论正确的是A.把曲线1C 上各点的横坐标变化到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB.把曲线1C 上各点的横坐标变化到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π 个单位长度，得到曲线2CC.把曲线1C 上各点的横坐标变化到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CCD.把曲线1C 上各点的横坐标变化到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C6. 已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><部分图象如图所示，则A.15,312πωϕ== B.17,312πωϕ==- C.2,33πωϕ== D.22,33πωϕ==-7. 已知函数2, 0,()()()1ln ,0,x x f x g x f x x a x x-⎧≤⎪==--⎨>⎪⎩.若()g x 有2个零点，则实数a 的 取值范围是A.[1,0)-B.[0,)+∞C.[1,)-+∞D.[1,)+∞8. 设x ,y ,z 均为正数，且236x y z==，则A.236x y z <<B.623z x y <<C.362y z x <<D.326y x z <<9. 如图，在四边形ABCD 中,,3,2AB BC AB BC CD DA ⊥====，AC 与BD 交于点O ，记123,,I OA OB I OB OC I OC OD =⋅=⋅=⋅，则A.123I I I <<B.132I I I <<C.213I I I <<D.312I I I << 10.已知当[0,1]x ∈时，函数1y mx =+的图象与y =的图象 （第9题图） 有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A.1(,)2+∞ B.1[,)2+∞ C.1[,)2+∞ D.1[,)2+∞二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高一第一学期期末数学试卷〖详解版〗
2017-2018 学年浙江省宁波市九校联考高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．（4 分）已知集合 A＝{1，2a}，B＝{a，b}，若 A∩B＝{ }，则 A∪B＝（ ）
A．{ ，1，0}
B．{﹣1， }
C．{ ，1}
D．{﹣1， ，1}
2．（4 分）已知向量 ， 满足| |＝3，| |＝2 ，且 ⊥（ ），则 与 的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4 分）已知 A 是△ABC 的内角且 sinA+2cosA＝﹣1，则 tanA＝（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
4．（4 分）若当 x∈R 时，函数 f（x）＝a|x|始终满足 0＜|f（x）|≤1，则函数 y＝loga| |的图
﹣ ）．若 A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是 f（x）的图象上任意两点，且当|f（x1） ﹣f（x2）|＝4 时，|x1﹣x2|的最小值为 ． （Ⅰ）求 ω 和 φ 的值； （Ⅱ）求函数 f（x）在 x∈[0，π]上的单调递减区间； （Ⅲ）当 x∈[ ，m]时，不等式 f2（x）﹣f（x）﹣2≤0 恒成立，求 m 的最大值．
则函数 g（x）＝|sin（πx）|﹣f（x）在区间[﹣1，3]上的所有零点的和为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．10
二、每题 4 分，共 36 分.
11．（4 分）函数 f（x）＝
的定义域是
．
12．（6 分）计算：
＝
；若 2a＝3b＝ ，a，b∈R，则 + ＝
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2017-2018学年浙江省宁波市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，3，4，7}，B={1，2，4，6，7}，则∁U（A∩B）=（）A. {3,6}B. {5}C. {2,3，5，6}D. {1,2，3，4，5，6，7}2.下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y=log0.5xB. y=sin xC. y=2xD. y=tan x3.若幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则f（9）的值为（）A. 1B. −3C. ±3D. 34.若角α的终边经过点P（-1，-1），则（）A. tanα=1B. sinα=−1C. cosα=22D. sinα=225.在△ABC中，点D为边AB的中点，则向量CD=（）A. 12BA−BC B. −12BA−BC C. −12BA+BC D. 12BA+BC6.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=π6对称的是（）A. y=sin(12x−π12) B. y=sin(2x+π6)C. y=cos(12x+π6) D. y=cos(2x+π6)7.函数y=cosxe|x|的图象大致是（）A. B.C. D.8.已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且e x=f（x）+g（x），则f（x）=（）A. e x−e−x2B. e x+e−x2C. e−x−e x2D. −e−x−e x29.对于非零向量m，n，定义运算“×”：m×n=|m||n|sinθ，其中θ为m，n的夹角．设a，b，c为非零向量，则下列说法错误的是（）A. a×b=b×aB. (a+b)×c=a×c+b×cC. 若a×b=0，则a//bD. a×b=(−a)×b10.已知α∈[−π2，π2]，β∈[−π2，0]，且sinα−cos2β=(12)α−π−(14)β，则sin(α2−β)=（）A. −12B. 0 C. 22D. 32二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11. 已知log 23=a ，则log 29=______（用a 表示），2a=______． 12. 已知A （1，-1），B （3，3），a =（1，m ），且AB ∥a ，则|AB |=______，m =______．13. 已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）(ω＞0，0＜ω＜π2)一部分图象如图所示，则ω=______，函数f （x ）的图象可以由g （x ）=2sinωx 的图象向左平移至少______个单位得到．14. f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）=2x ，且关于x 的方程[f （x ）]2-4f（x ）+a =0在R 上有三个不同的实数根，则f （-1）=______，a =______．15. 弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位．已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是______．16. 已知向量a ，b 的夹角为π3，a =（0，1），|b |=2，则|2a -b |=______． 17. 函数f （x ）= 2x ,x ≥1−6x +5,x <1，若存在x 1＜x 2，使得f （x 1）=f （x 2），则x 1•f （x 1）的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共68.0分）18. 已知集合A ={x |-3≤x ≤a }，a ∈R ，B ={y |y =3x +4，x ∈A }，C ={z |z =x 2，x ∈A }．（Ⅰ）若a =0，求A ∩B ；（Ⅱ）若a ≥3，且B ∪C =B ，求a 的取值范围．19. 已知函数f (x )=2 3sinxcosx +cos 2x −sin 2x ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若x ∈(0，π2)，求函数f （x ）的最大值以及取得最大值时x 的值．20.如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=π3．（Ⅰ）求AB⋅AC的值；（Ⅱ）若点P在线段AB及BC上运动，求(AB+AC)⋅AP的最大值．21.已知α，β∈(0，π2)，sinα=7sinβ=27．（Ⅰ）求cos（α+β）的值；（Ⅱ）是否存在x，y∈(0，π2)，使得下列两个式子：①x2+y=α+β；②tan x2⋅tany=2−3同时成立？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由．22.已知函数f（x）=log2（x+1），g（x）=x|x-a|．（Ⅰ）若g（x）为奇函数，求a的值并判断g（x）的单调性（单调性不需证明）；（Ⅱ）对任意x1∈[1，+∞），总存在唯一的x2∈[2，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求正实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A∩B={1，4，7}；∴∁U（A∩B）={2，3，5，6}．故选：C．进行交集、补集的运算即可．考查列举法表示集合的概念，交集、补集的运算．2.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=log0.5x为对数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；对于B，y=sinx，为正弦函数，在定义域内不具有单调性，不符合题意；对于C，y=2x，为指数函数，在定义域内单调递增，符合题意；对于D，y=tanx，为正切函数，在定义域内不具有单调性，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），∴4n=2，解得n=，∴f（x）=，∴f（9）==3．故选：D．由幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），求出f（x）=，由此能求出f（9）．本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：∵角α的终边经过点P（-1，-1），∴tanα==1，sinα==-，cosα==-，故选：A．利用任意角的三角函数的定义，得出结论．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意得，=-=-，故选：A．运用向量的减法和共线向量的知识可解决此问题．本题考查向量的减法和共线向量的知识．6.【答案】B【解析】解：由于函数y=sin（x-）的周期为=4π，故排除A；由于函数y=sin（2x+）的周期为=π，时，函数y取得最大值为1，故函数y的图象关于直线对称，故B满足条件；由于函数y=sin（2x+）的周期为=4π，故排除C；由于函数y=cos（2x+）的周期为=π，时，函数y=0，故函数y的图象不关于直线对称，故D不满足条，故选：B．由题意利用三角函数的周期性和图象的对称性，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性和图象的对称性，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：令f（x）=，∵f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A、B．又cosx的最大值为1，此时x=2kπ，（k∈Z），e|x|的最小值为1，此时x=0，故x=0时，f（x）取得最大值1，据此排除C．故选：D．根据函数的奇偶性排除A、B，根据函数最大值排除C．只能选D．本题考查了函数的奇偶性及最值、使用了排除法．属基础题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，e x=f（x）+g（x），①又由函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=e-x，②①-②可得：f（x）=；故选：A．根据题意，由e x=f（x）+g（x）结合函数f（x）、g（x）的奇偶性分析可得f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=e-x，联立2个式子，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：非零向量，，定义运算“×”：×=||||sinθ，其中θ为，的夹角．故：①，故A正确．②，则：θ=0或π，所以：和共线，故：C正确．③由于：，故：D正确，所以利用排除法得到：B错误．故选：B．利用向量的数量积的运算和排除法求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】C【解析】解：∵，，∴，2β∈[-π，0]，又∵，∴．∴⇒．∴=．故选：C．利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查利用三角函数的诱导公式化简求值，是基础题．11.【答案】2a 3【解析】解：因为log2 3=a，所以log2 9=log2 32=2log23=2a；所以2a=2=3，故答案为：2a； 3利用对数的运算性质和对数恒等式可求得．本题考查了对数的运算性质．属基础题．12.【答案】25 2【解析】解：根据题意得，=（2，4）=（1，m），∵∥，∴2m-4=0，∴m=2，===2，故答案为2，2．运用共线向量的知识可解决此问题．本题考查平行向量的知识和向量的坐标表示．13.【答案】2 π6【解析】解：由图观察可得=+=，T=π，ω==2，所以f（x）=2sin（2x+φ），代入最高点（，2）得sin（+φ）=1，又0＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=2sin[2（x+）]，故向左平移故答案为：2，．观察得A，T，再代点求得φ，可得f（x）的解析式．根据图象变换可得答案为本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．14.【答案】2 3【解析】解：f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x，可得f（x）=2|x|，则f（-1）=f（1）=2；关于x的方程[f（x）]2-4f（x）+a=0在R上有三个不同的实数根，由于y=4|x|-4•2|x|+a为偶函数，可得原方程一定有一个根为0，可得40-4•20+a=0，解得a=3，故答案为：2，3．由偶函数的定义可得f（-1）=f（1），再由题意可得y=4|x|-4•2|x|+a为偶函数，可得原方程一定有一个根为0，代入0计算可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查函数方程的转化思想，以及运算能力，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：由弧长公式l=rα，l=r，可得：α=1．故答案为：1．利用弧长公式即可得出．本题考查了弧长公式的应用，属于基础题．16.【答案】2【解析】解：∵已知向量，的夹角为，=（0，1），||=2，则|2-|====2，故答案为：2．根据向量的模的定义、两个向量的数量积的定义，求得|2-|=的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．17.【答案】2524【解析】解：由于f（x）在x＜1递减，x＞1递增，存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），可得5-6x1=2x2＞0，可得x1＜，x1•f（x1）=x1（5-6x1）≤6•（）2=，当且仅当x1=时，上式取得等号，即x1•f（x1）的最大值为，故答案为：．由f（x）的解析式可得5-6x1=2x2＞0，可得x1＜，x1•f（x1）=x1（5-6x1），运用基本不等式即可得到所求最大值．本题考查分段函数的运用：求最值，考查基本不等式的运用，以及变形能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）由题可得a=0时，A={x|-3≤x≤0}，B={y|-5≤y≤4}．∴A∩B={x|-3≤x≤0}．（Ⅱ）∵B∪C=B，∴C⊆B，B={y|-5≤y≤3a+4}．a≥3时，C={z|0≤z≤a2}．∴a2≤3a+4，-1≤a≤4．∴3≤a≤4．故a的取值范围是[3，4]．【解析】（Ⅰ）a=0时，A={x|-3≤x≤0}，B={y|-5≤y≤4}．由此能求出A∩B．（Ⅱ）由B∪C=B，得C⊆B，B={y|-5≤y≤3a+4}．a≥3时，C={z|0≤z≤a2}．由此能求出a的取值范围．本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）函数f(x)=23sinxcosx+cos2x−sin2x=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），∴函数f（x）的最小正周期为T=2π2=π；（Ⅱ）若x∈(0，π2)，则2x∈（0，π），2x+π6∈（π6，7π6），∴sin（2x+π6）∈（-12，1]，当2x+π6=π2，即x=π6时，函数f（x）取得最大值为2．【解析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）根据x的取值范围求出f（x）的取值范围以及最大值和对应x的值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）如图所示：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，∴B（2，0），C(3，3)，AB=(2，0)，AC=(3，3)．∴AB⋅AC=6．（Ⅱ）AB+AC=(5，3)，设P（x，y），∴(AB+AC)⋅AP=5x+3y．所以当点P在点C处时，(AB+AC)⋅AP的值最大，且最大值为18．【解析】（Ⅰ）首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算求出结果．（Ⅱ）利用向量的坐标运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的坐标运算及向量的数量积运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21.【答案】解：（Ⅰ）∵α，β∈(0，π2)，sinα=7，sinβ=27，∴cosα=37，cosβ=327．∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=12．（Ⅱ）∵α+β∈（0，π），∴α+β=π3，∴x 2+y=α+β=π3．∴tan(x2+y)=tanx2+tany1−tan x⋅tany=3，∵tan x 2⋅tany =2− 3，∴tan x 2+tany =3− 3．∴tan x 2，tan y 是方程t 2−(3− 3)t +2− 3=0的两个根．∵x ，y ∈(0，π2)，∴0＜tan x 2＜1，∴tan x 2=2− 3，tan y =1．∴y =π4，x =π6．即存在x =π6，y =π4满足①②两式成立的条件．【解析】 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，，进而利用两角和的余弦函数公式即可计算得解． （Ⅱ）由已知可求，利用两角和的正切函数公式可求，利用韦达定理结合范围，可求，tany=1进而解得x ，y 的值，即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，两角和的正切函数公式，韦达定理的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵g （x ）为奇函数，∴g （x ）+g （-x ）=x （|x -a |-|x +a |）=0恒成立． ∴a =0．此时g （x ）=x |x |，在R 上单调递增．（Ⅱ）x 1∈[1，+∞），f （x ）=log 2（x +1），∴f （x 1）∈[1，+∞），g (x )= −x 2+ax ,x <a x 2−ax ,x≥a ．①当a ≤2时，g （x 2）在[2，+∞）上单调递增，∴g （2）=4-2a ≤1，a ≥32， ∴32≤a ≤2；②当2＜a ＜4时，g （x 2）在[2，a ]上单调递减，在[a ，+∞）上单调递增． ∴g （2）=-4+2a ＜1，a ＜52，∴2＜a ＜52；③当a ≥4时，g （x 2）在[2，a 2]上单调递增，在[a 2，a ]上单调递减，在[a ，+∞）上单调递增．∴g(a2)=−(a2)2+a22＜1，-2＜a＜2，不成立．综上可知，32≤a＜52．【解析】（Ⅰ）利用g（x）为奇函数，通过定义，转化求解a的值，判断g（x）的单调性；（Ⅱ）x1∈[1，+∞），f（x）=log2（x+1），利用分段函数，通过①当a≤2时，②当2＜a＜4时，③当a≥4时，g（x2）在[2，+∞）上单调递增，求出a的范围；本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，是中档题．。
2017-2018学年浙江省宁波市九校高一下学期期末联考数学试题(解析版)
2017-2018学年浙江省宁波市九校高一下学期期末联考数学
试题
一、单选题
1．圆的圆心坐标和半径分别是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分析：将圆的一般方程化为标准方程后可得结果．
详解：由题意得圆的标准方程为，
故圆的圆心为，半径为1．
故选B．
点睛：本题考查圆的一般方程和标准方程间的转化及圆心、半径的求法，考查学生的转
化能力，属于容易题．
2．已知，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：将展开得到，然后两边平方可得所求．
详解：∵，
∴，
两边平方，得，
∴．
故选A．
点睛：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，
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浙江省宁波市2018学年第一学期期末考试高一数学试卷
【答案】B
【解析】解：函数的最小正周期������
=
2������ 2
=
������，故
A
错误，
当− 5������
12
≤
������
≤
������ 时，−
12
5������ 6
≤
2������
≤
������，−
6
������ 2
≤
2������
+
������ 3
≤
������，此时函数������
6. 函数������ = ������cos������(−������ ≤ ������ ≤ ������)的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】解：������(−������) = −������cos(−������) = −������cos������ = −������(������)，则函数������(������)是奇函数，图象关于原点对称，排除 B， D，
【答案】D 【解析】解：∵ ������为锐角，
������ ∴ 1 + 2sin(������ − ������)sin(2 − ������) = 1 + 2sin������cos������ = (sin������ + cos������)2 = |sin������ + cos������| = sin������ + cos������． 故选：D． 利用诱导公式变形，结合平方关系把根式内部的代数式化为完全平方式，开方得答案． 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
浙江省宁波市九校2017-2018学年高一上学期期末联考数学试题+Word版含答案
浙江省宁波市九校2017-2018学年高一上学期期末联考数学试题+Word版含答案2017学年宁波市九校联考高一数学试题第一学期选择题部分（共40分）2018.01一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{1,2a\}$，$B=\{a,b\}$，若 $A\capB=\{1\}$，则 $AB$ =（）。
A。
$\{\frac{1}{2},1,b\}$。
B。
$\{-1,1,b\}$。
C。
$\{1,b\}$。
D。
$\{-1,1\}$改写：已知集合 $A=\{1,2a\}$，$B=\{a,b\}$，且 $A\capB=\{1\}$，则 $AB$ 的元素为 $\{1,b\}$ 或 $\{-1,1\}$。
2.已知向量 $a=3$，$b=2\pi/3$，$c=5\pi/3$，且$b\perp(a+b)$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为（）。
A。
$\pi/3$。
B。
$2\pi/3$。
C。
$\pi$。
D。
$2\pi/3$改写：已知向量 $a=3$，$b=2\pi/3$，$c=5\pi/3$，且$b$ 与 $a+b$ 垂直，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $2\pi/3$。
3.已知 $A$ 是 $\triangle ABC$ 的内角且 $\sin A+2\cos A=-1$，则 $\tan A$ =（）。
A。
$-\frac{3}{4}$。
B。
$-\frac{4}{3}$。
C。
$-\frac{1}{3}$。
D。
$-\frac{4}{5}$改写：已知 $\triangle ABC$ 中 $A$ 角的正弦和余弦之和为 $-1$，则 $\tan A$ 等于 $-\frac{4}{3}$。
4.若当 $x\in R$ 时，函数 $f(x)=a$ 始终满足 $-1<f(x)\leq 1$，则函数 $y=\log_a\frac{1}{x}$ 的图象大致为（）。
2017-2018学年浙江省宁波市高一第一学期期末数学试卷〖详解版〗
2017-2018 学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．（4 分）若集合 U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，3，4，7}，B＝{1，2，4，6，7}，
则∁U（A∩B）＝（ ） A．{3，6}
扇形圆心角的弧度数是
．
16．（6 分）已知向量 ， 的夹角为 ， ＝（0，1），| |＝2，则|2 ﹣ |＝
．
17．（6 分）函数 f（x）＝
，若存在 x1＜x2，使得 f（x1）＝f（x2），则 x1•f
（x1）的最大值为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A．
B．
。
。. 11，，
第 1 页（共 12 页）
C．
D．
8．（4 分）已知函数 f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且 ex＝f（x）+g（x），则 f（x）＝
（）
A．
B．
C．
D．
9．（4 分）对于非零向量 ， ，定义运算“×”： × ＝| || |sinθ，其中 θ 为 ， 的夹角．设
， ， 为非零向量，则下列说法错误的是（ ）
B．{5}
C．{2，3，5，6}
D．{1，2，3，4，5，6，7}
2．（4 分）下列函数中，在定义域内单调递增的是（ ）
A．y＝log0.5x
B．y＝sinx
C．y＝2x
D．y＝tanx
3．（4 分）若幂函数 f（x）＝xα 的图象过点（4，2），则 f（9）的值为（ ）
A．1
2018-2019学度宁波等九所重点学校高一上年末数学试卷含解析.doc.doc
2018-2019学度宁波等九所重点学校高一上年末数学试卷含解析注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
【一】选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分〕1、〔5分〕实数集R，集合A＝｛x｜1《x《3｝，集合B＝｛x｜y＝｝，那么A∩〔∁RB〕＝〔〕A、｛x｜1《x≤2｝B、｛x｜1《x《3｝C、｛x｜2≤x《3｝D、｛x｜1《x《2｝2、〔5分〕以下函数中，既是偶函数又在区间〔0，＋∞〕上单调递增的函数是〔〕A、y＝log2〔x＋3〕B、y＝2｜x｜＋1 C、y＝﹣x2﹣1 D、y＝3﹣｜x｜3、〔5分〕，，，为非零向量，且＋＝，﹣＝，那么以下说法正确的个数为〔〕〔1〕假设｜｜＝｜｜，那么•＝0；〔2〕假设•＝0，那么｜｜＝｜｜；〔3〕假设｜｜＝｜｜，那么•＝0；〔4〕假设•＝0，那么｜｜＝｜｜A、1B、2C、3D、44、〔5分〕三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为〔〕A、log20.8《0.993.3《log3πB、log20.8《log3π《0.993.3C、0.993.3《log20.81《log3πD、log3π《0.993.3《log20.85、〔5分〕假设角α∈〔﹣π，﹣〕，那么﹣＝〔〕A、﹣2tanαB、2tanαC、D、6、〔5分〕假设函数y＝f〔x〕的图象如下图，那么函数f〔x〕的解析式可以为〔〕A、f〔x〕＝B、f〔x〕＝C、f〔x〕＝D、f〔x〕＝7、〔5分〕函数f〔x〕＝sin〔ωx＋φ〕〔ω》0，｜φ｜《〕的最小正周期为π，假设其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，那么函数f〔x〕的图象〔〕A、关于点〔，0〕对称B、关于点〔﹣，0〕对称C、关于直线x＝﹣对称D、关于直线x＝对称8、〔5分〕假设，，均为单位向量，且•＝0，〔﹣〕•〔﹣〕≤0，那么｜＋﹣2｜的最大值为〔〕A、1B、C、﹣1D、2﹣【二】填空题〔本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分〕9、〔6分〕扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α＝、10、〔6分〕向量＝〔4，5cosα〕，＝〔3，﹣4tanα〕，假设∥，那么sin α＝；假设⊥，那么cos〔﹣α〕＋sin〔π＋α〕＝、11、〔6分〕设函数f〔x〕＝，假设a＝，那么函数f〔x〕的值域为；假设函数f〔x〕是R上的减函数，求实数a的取值范围为、12、〔6分〕在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，假设＝x＋y〔x，y∈R〕，那么2x＋y＝；假设＝λ＋μ〔λ，μ∈R〕，那么3λ＋3μ＝、〔0《a《1〕为奇函数，当x∈〔﹣2，2a〕时，13、〔4分〕函数f〔x〕＝loga函数f〔x〕的值域是〔﹣∞，1〕，那么实数a＋b＝、14、〔4分〕函数f〔x〕＝3sin〔πx〕﹣，x∈【﹣3，5】的所有零点之和为、15、〔4分〕函数f〔x〕＝〔a≠0，b∈R，c》0〕，g〔x〕＝m【f〔x〕】2①当b＝0时，函数f〔x〕在〔0，〕上单调递增，在〔，＋∞〕上单调递减；②函数f〔x〕的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f〔x〕≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g〔x〕＝0的解集可能为｛﹣3，﹣1，0，1｝、那么正确命题的序号为、【三】解答题〔本大题共5小题，共74分〕16、〔14分〕集合A＝｛x｜m﹣1≤x≤2m＋3｝，函数f〔x〕＝lg〔﹣x2＋2x＋8〕的定义域为B、A〕∩B；〔1〕当m＝2时，求A∪B、〔∁R〔2〕假设A∩B＝A，求实数m的取值范围、17、〔15分〕函数f〔x〕＝Asin〔ωx＋φ〕〔A》0，ω》0，｜φ｜《〕的图，象与y轴的交点为〔0，1〕，它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为〔x2〕，〔x＋，﹣2〕、〔1〕求函数y＝f〔x〕的解析式和单调递增区间；〔2〕假设当0≤x≤时，方程f〔x〕﹣m＝0有两个不同的实数根α，β，试讨论α＋β的值、18、〔15分〕函数f〔x〕＝为偶函数、〔1〕求实数t值；〔2〕记集合E＝｛y｜y＝f〔x〕，x∈｛1，2，3｝｝，λ＝lg22＋lg2lg5＋lg5﹣1，判断λ与E的关系；〔3〕当x∈【a，b】〔a》0，b》0〕时，假设函数f〔x〕的值域为【2﹣，2﹣】，求实数a，b的值、19、〔15分〕如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B〔﹣，〕，∠AOB＝α、〔1〕求的值；〔2〕设∠AOP＝θ〔≤θ≤〕，＝＋，四边形OAQP的面积为S，f 〔θ〕＝〔•﹣〕2＋2S2﹣，求f〔θ〕的最值及此时θ的值、20、〔15分〕函数f〔x〕＝〔x﹣2〕｜x＋a｜〔a∈R〕〔1〕当a＝1时，求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕当x∈【﹣2，2】时，函数f〔x〕的最大值为g〔a〕，求g〔a〕的表达式、2016－2017学年浙江省宁波市余姚中学、镇海中学、慈溪中学、效实中学等九所重点学校高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分〕1、〔5分〕实数集R，集合A＝｛x｜1《x《3｝，集合B＝｛x｜y＝｝，那么B〕＝〔〕A∩〔∁RA、｛x｜1《x≤2｝B、｛x｜1《x《3｝C、｛x｜2≤x《3｝D、｛x｜1《x《2｝【解答】解：由x﹣2》0得x》2，那么集合B＝｛x｜x》2｝，B＝｛x｜x≤2｝，所以∁R又集合A＝｛x｜1《x《3｝，那么A∩〔∁B〕＝｛x｜1《x≤2｝，R应选A、2、〔5分〕以下函数中，既是偶函数又在区间〔0，＋∞〕上单调递增的函数是〔〕〔x＋3〕B、y＝2｜x｜＋1 C、y＝﹣x2﹣1 D、y＝3﹣｜x｜A、y＝log2【解答】解：对于A：函数不是偶函数，不合题意；对于B：函数是偶函数，且x》0时，y＝2x＋1递增；符合题意；对于C：函数是偶函数，在〔0，＋∞〕递减，不合题意；对于D：函数是偶函数，在〔0，＋∞〕递减，不合题意；应选：B、3、〔5分〕，，，为非零向量，且＋＝，﹣＝，那么以下说法正确的个数为〔〕〔1〕假设｜｜＝｜｜，那么•＝0；〔2〕假设•＝0，那么｜｜＝｜｜；〔3〕假设｜｜＝｜｜，那么•＝0；〔4〕假设•＝0，那么｜｜＝｜｜A、1B、2C、3D、4【解答】解：，，，为非零向量，且＋＝，﹣＝，〔1〕假设｜｜＝｜｜，可知以，为邻边的四边形的形状是菱形，那么•＝0；正确、〔2〕假设•＝0，可得：〔＋〕〔﹣〕＝0，即，那么｜｜＝｜｜；正确、〔3〕假设｜｜＝｜｜，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，那么•＝0；正确、〔4〕假设•＝0，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，那么｜｜＝｜｜，正确、应选：D、4、〔5分〕三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为〔〕A、log20.8《0.993.3《log3πB、log20.8《log3π《0.993.3C、0.993.3《log20.81《log3πD、log3π《0.993.3《log20.8【解答】解：∵0《0.993.3《1，log3π》1，log20.8《0，∴log20.8《0.993.3《log3π，应选：A、5、〔5分〕假设角α∈〔﹣π，﹣〕，那么﹣＝〔〕A、﹣2tanαB、2tanαC、D、【解答】解：∵α∈〔﹣π，﹣〕，第三象限，∴《，由﹣＝＝＝＝＝、应选C、6、〔5分〕假设函数y＝f〔x〕的图象如下图，那么函数f〔x〕的解析式可以为〔〕A、f〔x〕＝B、f〔x〕＝C、f〔x〕＝D、f〔x〕＝【解答】解：根据图象可知：函数是非奇非偶函数，∴B排除、函数图象在第三象限，x《0，∴D排除、根据指数函数和幂函数的单调性：2x的图象比x3的图象平缓，∴A对、应选A、7、〔5分〕函数f〔x〕＝sin〔ωx＋φ〕〔ω》0，｜φ｜《〕的最小正周期为π，假设其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，那么函数f〔x〕的图象〔〕A、关于点〔，0〕对称B、关于点〔﹣，0〕对称C、关于直线x＝﹣对称D、关于直线x＝对称【解答】解：∵函数f〔x〕＝sin〔ωx＋φ〕〔ω》0，｜φ｜《〕的最小正周期为＝π，∴ω＝2、假设其图象向左平移个单位后得到的函数为y＝sin【2〔x＋〕＋φ】＝sin 〔2x＋＋φ〕，再根据y＝sin〔2x＋＋φ〕为奇函数，∴＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ﹣，可取φ＝﹣、故f〔x〕＝sin〔2x﹣〕、当x＝时，f〔x〕＝≠0，且f〔x〕＝不是最值，故f〔x〕的图象不关于点〔，0〕对称，也不关于直线x＝对称，故排除A、D；故x＝﹣时，f〔x〕＝sin＝1，是函数的最大值，故f〔x〕的图象不关于点〔﹣，0〕对称，但关于直线x＝对称，应选：C、8、〔5分〕假设，，均为单位向量，且•＝0，〔﹣〕•〔﹣〕≤0，那么｜＋﹣2｜的最大值为〔〕A、1B、C、﹣1D、2﹣【解答】解：∵•＝0，〔﹣〕•〔﹣〕≤0，∴﹣﹣•＋≤0，∴〔＋〕≥1，∴｜＋﹣2｜2＝〔﹣〕2＋〔﹣〕2＋2〔﹣〕•〔﹣〕＝4﹣2〔＋〕＋2【﹣〔〔＋〕＋1】＝6﹣4〔＋〕≤6﹣4＝2，∴｜＋﹣2｜的最大值应选：B【二】填空题〔本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分〕9、〔6分〕扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α＝2、【解答】解：设扇形的弧长为l，∵l＋2R＝30，∴S＝lR＝〔30﹣2R〕R＝﹣R2＋15R＝﹣〔R﹣〕2＋，∴当R＝时，扇形有最大面积，此时l＝30﹣2R＝15，α＝2，故答案为，2、10、〔6分〕向量＝〔4，5cosα〕，＝〔3，﹣4tanα〕，假设∥，那么sin α＝﹣；假设⊥，那么cos〔﹣α〕＋sin〔π＋α〕＝﹣、【解答】解：∵∥，∴15cosα＋16tanα＝0，15〔1﹣sin2α〕＋16sinα＝0，即15sin2α﹣16sinα﹣15＝0，sinα∈【﹣1，1】，解得sinα＝﹣、∵⊥，∴•＝12﹣20sinα＝0，解得sinα＝、那么cos〔﹣α〕＋sin〔π＋α〕＝﹣sinα﹣sinα＝﹣，故答案为：﹣，﹣、11、〔6分〕设函数f〔x〕＝，假设a＝，那么函数f〔x〕的值域为R；假设函数f〔x〕是R上的减函数，求实数a的取值范围为【，】、【解答】解：假设a＝，当x《1时，函数f〔x〕＝x2﹣3x＝﹣∈【﹣2，＋∞〕；当x≥1时，f〔x〕＝≤0，故函数f〔x〕的值域为【﹣2，＋∞〕∪〔﹣∞，0】＝R、假设函数f〔x〕＝在R上单调递减，那么，求得≤a≤，故答案为：R；【，】、12、〔6分〕在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，假设＝x＋y〔x，y∈R〕，那么2x＋y＝2；假设＝λ＋μ〔λ，μ∈R〕，那么3λ＋3μ＝4、【解答】解：如下图，①＝＋＝＋，与＝x＋y〔x，y∈R〕比较可得：x＝，y＝1、那么2x＋y＝2、②由②可得：＝＋，同理可得：＝＋，∴＝λ＋μ＝λ〔＋〕＋μ〔＋〕＝＋，又＝，∴＝1，＝1、那么3λ＋3μ＝4、故答案为：2，4、13、〔4分〕函数f〔x〕＝loga〔0《a《1〕为奇函数，当x∈〔﹣2，2a〕时，函数f〔x〕的值域是〔﹣∞，1〕，那么实数a＋b＝＋1、【解答】解：∵函数f〔x〕＝loga〔0《a《1〕为奇函数，∴f〔﹣x〕＝﹣f〔x〕，即f〔﹣x〕＋f〔x〕＝0，∴loga ＋loga＝loga•＝0，即•＝1，∴4﹣x2＝b2﹣x2，即b2＝4，解得b＝±2，当b＝﹣2时，函数f〔x〕＝loga ＝f〔x〕＝loga〔﹣1〕无意义，舍去、当b＝2时，函数f〔x〕＝loga为奇函数，满足条件、∵＝﹣1＋，在〔﹣2，＋∞〕上单调递减、又0《a《1，∴函数f〔x〕＝loga在x∈〔﹣2，2a〕上单调递增，∵当x∈〔﹣2，2a〕时，函数f〔x〕的值域是〔﹣∞，1〕，∴f〔2a〕＝1，即f〔2a〕＝loga＝1，∴＝a，即1﹣a＝a＋a2，∴a2＋2a﹣1＝0，解得a＝﹣1±，∵0《a《1，∴a＝﹣1，∴a＋b＝﹣1＋2＝＋1，故答案为：＋1、14、〔4分〕函数f〔x〕＝3sin〔πx〕﹣，x∈【﹣3，5】的所有零点之和为8、【解答】解：设t＝1﹣x，那么x＝1﹣t，原函数可化为：x∈【﹣3，5】，g〔t〕＝2sin〔π﹣πt〕﹣＝2sinπt﹣，其中，t∈【﹣4，4】，因g〔﹣t〕＝﹣g〔t〕，故g〔t〕是奇函数，观察函数y＝2sinπt〔红色部分〕与曲线y＝〔蓝色部分〕的图象可知，在t∈【﹣3，3】上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1＋t2＋…＋t7＋t8＝0，从而x1＋x2＋…＋x7＋x8＝8，故答案为：8、15、〔4分〕函数f〔x〕＝〔a≠0，b∈R，c》0〕，g〔x〕＝m【f〔x〕】2﹣n〔mn》0〕，给出以下四个命题：①当b＝0时，函数f〔x〕在〔0，〕上单调递增，在〔，＋∞〕上单调递减；②函数f〔x〕的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f〔x〕≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g〔x〕＝0的解集可能为｛﹣3，﹣1，0，1｝、那么正确命题的序号为②③、【解答】解：对于①，b＝0时，f〔x〕＝＝，因为a正负不定，所以单调性不定，故错；对于②，f〔x〕＝是奇函数h〔x〕＝左右平移得到，故正确；对于③，当x≠0时，函数h〔x〕＝存在最大、最小值，且f〔0〕＝0，∴函数f〔x〕也存在最大、最小值，故正确；对于④，关于x的方程g〔x〕＝0的解⇔f〔x〕＝±的解，∵函数f〔x〕的图象关于x轴上某点成中心对称，故解集不可能是｛﹣3，﹣1，0，1｝，故错；故答案为：②③、【三】解答题〔本大题共5小题，共74分〕16、〔14分〕集合A＝｛x｜m﹣1≤x≤2m＋3｝，函数f〔x〕＝lg〔﹣x2＋2x＋8〕的定义域为B、A〕∩B；〔1〕当m＝2时，求A∪B、〔∁R〔2〕假设A∩B＝A，求实数m的取值范围、【解答】解：〔1〕根据题意，当m＝2时，A＝｛x｜1≤x≤7｝，B＝｛x｜﹣2《x 《4｝，那么A∪B＝｛x｜﹣2《x≤7｝，A＝｛x｜x《1或x》7｝，又∁RA〕∩B＝｛x｜﹣2《x《1｝，那么〔∁R〔2〕根据题意，假设A∩B＝A，那么A⊆B，分2种情况讨论：①、当A＝∅时，有m﹣1》2m＋3，解可得m《﹣4，②、当A≠∅时，假设有A⊆B，必有，解可得﹣1《m《，综上可得：m的取值范围是：〔﹣∞，﹣4〕∪〔﹣1，〕、17、〔15分〕函数f〔x〕＝Asin〔ωx＋φ〕〔A》0，ω》0，｜φ｜《〕的图象与y轴的交点为〔0，1〕，它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为〔x，2〕，〔x＋，﹣2〕、〔1〕求函数y＝f〔x〕的解析式和单调递增区间；〔2〕假设当0≤x≤时，方程f〔x〕﹣m＝0有两个不同的实数根α，β，试讨论α＋β的值、【解答】〔此题总分值为15分〕解：〔1〕由题意可得：A＝2，由在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为〔x0，2〕，〔x＋，﹣2〕，可得：＝〔x0＋〕﹣x＝，可得：T＝π，∴ω＝2，可得：f〔x〕＝2sin〔x＋φ〕，又∵图象与y轴的交点为〔0，1〕，可得：2sinφ＝1，解得：sinφ＝，∵｜φ｜《，可得：φ＝，∴函数f〔x〕的解析式为：f〔x〕＝2sin〔2x＋〕…4分由2kπ﹣≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ＋，k∈Z，可解得f〔x〕的单调递增区间是：【kπ﹣，kπ＋】，k∈Z…8分〔2〕如下图，在同一坐标系中画出y＝2sin〔2x＋〕和y＝m〔m∈R〕的图象，由图可知，当﹣2《m≤0或1≤m《2时，直线y＝m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，当﹣2《m≤0时，两根和为；当1≤m《2时，两根和为…15分18、〔15分〕函数f〔x〕＝为偶函数、〔1〕求实数t值；〔2〕记集合E＝｛y｜y＝f〔x〕，x∈｛1，2，3｝｝，λ＝lg22＋lg2lg5＋lg5﹣1，判断λ与E的关系；〔3〕当x∈【a，b】〔a》0，b》0〕时，假设函数f〔x〕的值域为【2﹣，2﹣】，求实数a，b的值、【解答】解：〔1〕∵f〔x〕是偶函数，∴＝，∴2〔t﹣2〕x＝0，∵x是非0实数，故t﹣2＝0，解得：t＝2；〔2〕由〔1〕得，f〔x〕＝，∴E＝｛y｜y＝f〔x〕，x∈｛1，2，3｝｝＝｛﹣3，0，｝，而λ＝lg22＋lg2lg5＋lg5﹣1＝lg2＋lg5﹣1＝0，∴λ∈E；〔3〕∵f〔x〕＝1﹣，∴f〔x〕在【a，b】递增，∵函数f〔x〕的值域是【2﹣，2﹣】，∴，∵b》a》0，解得：a＝1，b＝4、19、〔15分〕如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B〔﹣，〕，∠AOB＝α、〔1〕求的值；〔2〕设∠AOP＝θ〔≤θ≤〕，＝＋，四边形OAQP的面积为S，f 〔θ〕＝〔•﹣〕2＋2S2﹣，求f〔θ〕的最值及此时θ的值、【解答】解：〔1〕依题意，tanα═﹣2，∴＝＝﹣；〔2〕由点P的坐标为P〔cosθ，sinθ〕，又＝＋，｜＝｜｜｜，∴四边形OAQP为菱形，＝sinθ，∴S＝2S△OAP∵A〔1，0〕，P〔cosθ，sinθ〕，∴＝〔1＋cosθ，sinθ〕，∴•＝1＋cosθ，∴f〔θ〕＝〔cosθ＋〕2＋2sin2θ﹣＝﹣〔cosθ﹣〕2＋2∵﹣≤cosθ≤，＝2；∴当cosθ＝，即θ＝时，f〔θ〕max当cosθ＝﹣，即θ＝时，f〔θ〕＝1、min20、〔15分〕函数f〔x〕＝〔x﹣2〕｜x＋a｜〔a∈R〕〔1〕当a＝1时，求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕当x∈【﹣2，2】时，函数f〔x〕的最大值为g〔a〕，求g〔a〕的表达式、【解答】解：〔1〕a＝1时，f〔x〕＝〔x﹣2〕｜x＋1｜，当x≤﹣1时，f〔x〕＝﹣〔x﹣2〕〔x＋1〕＝﹣x2＋x＋2，此时函数为增函数；当x》﹣1时，f〔x〕＝〔x﹣2〕〔x＋1〕＝x2﹣x﹣2，此时函数在〔﹣1，】上为减函数，在【，＋∞〕上为增函数；综上可得：当a＝1时，函数f〔x〕的单调递增区间为〔﹣∞，﹣1】，【，＋∞〕；〔2〕当x∈【﹣2，2】时，函数f〔x〕＝，①当﹣a≤﹣2，即a≥2时，假设x∈【﹣2，2】，那么f〔x〕≤0，故g〔a〕＝f〔2〕＝0；②当﹣a≥2，即a≤﹣2时，假设x∈【﹣2，2】，那么f〔x〕≤0，故g〔a〕＝f〔2〕＝0；④当﹣2《﹣a《2，即﹣2《a《2时，假设x∈【﹣2，2】，那么f〔x〕≤0，故g〔a〕＝f〔2〕＝0；综上可得：g〔a〕＝0。