工程力学-空间力系和重心3

五、平面解法 解：已知各分力
6F 4 2F Fy = 4 2F Fz = 2 Fx =
z x O
Fz 5 C Fz Fx Fy
Fx Fxy
1.在yz平面取平面投影
M x ( F ) = M 0 ( Fyz ) = 2 × 1000 × 0.06 = 42.4 N ⋅ m 2
z O
4
2 F z y Fy Fx
z y d Fxy
结论 y ： 力对轴之矩等于力在 x 垂直于轴的平面上的投影 x 对该轴与平面交点之矩。 对该轴与平面交点之矩。 力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，是一个代数 量。其正负号可按以下法确定：从z轴正端来看，若力矩逆时针， 规定为正，反之为负。也可按右手螺旋法则来确定其正负号。 三、合力矩定理 力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。 力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。 M z ( FR ) = ∑ M z ( F )
பைடு நூலகம்
2.空间固定端 2.空间固定端
MZ MX x FX z FZ FY MY y
应用举例 例4-3 某传动轴图所示。已知轴B端联轴器输入外力偶矩为M0， 齿轮C分度圆直径为D, 压力角为α,轮间距为a、b。求齿轮圆周力, 径向力和轴承的约束力。 Fn 解： 1.建立坐标系，将啮合力沿坐标 z Fr Fτ α 轴方向分解为圆周力Fτ和径向力Fr。 F M
2.在xz平面取平面投影
5
M y ( F ) = M 0 ( Fxz ) = 2 × 1000 × 0.05 = 35.4 N ⋅ m 2
C Fy 2
3.在xy平面取平面投影
M z ( F ) = M O ( Fxy ) = 6 × 1000 × 0.06 − 2 × 1000 × 0.05 4 4 = 19.1N ⋅ m
平面解法 ：
Fz Fx
2r 2
z
z F 45 F z Fx ° h Fy 30 ° O
z Fz Fy
2r 2
x
O x
O
y
y
解：1.将F沿坐标轴方向分解
Fx =
2.在坐标平面分别取投影 2r 6Fh 2Fr M x ( F ) = Fy ⋅ h − Fz ⋅ = − yz平面 平面 2 4 4 xz平面 平面 xy平面 平面
课后作业： 课后作业：《工程力学练习册》练习十一 练习十一
课题4 2 ◆ 课题4–2
一、空间力系的简化
简化中心
空间力系平衡方程的应用
F'1 M1 O M3 M0 M2 F'2 F′R A B C
F1 A B F2 = F3
F3
O C
=
O
1.主矢 1.主矢F′R FR′ = (∑ Fx′) 2 + (∑ Fy′) 2 + (∑ Fz′) 2 = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 + (∑ Fz ) 2 2.主矩 主矩M 2.主矩 0 M 0 = [∑ M x ( F )]2 + [∑ M y ( F )]2 + [∑ M z ( F )]2 二、空间力系平衡方程 主矩M 1.空间力系平衡条件 空间力系平衡条件： 1.空间力系平衡条件：主矢F′R=0, 主矩 0=0。
结论： 结论：力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影对该轴与 平面交点之矩。 平面交点之矩。 三、合力矩定理 力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。 力系合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。
M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) + M z ( Fz )
平面解法： 平面解法： 解：取平面投影列平衡方程 M0 xz平面： x
∑ M y (F ) = 0 :
Fr
z Fτ z FAZ
A
Fr
Fn Fτ
yz平面：
∑ M x (F ) = 0 :
D − M0 = 0 2 2M 0 2M 0 Fτ = Fr = Fτ ⋅ tan α = tan α D D Fτ ⋅
M y ( F ) = Fx ⋅ h + Fz ⋅
2r 2
2r 6Fh 2Fr = + x 2 4 4 2r 2r 3Fr 3Fr 3Fr − Fy ⋅ M z ( F ) = − Fx ⋅ =− − =− 2 2 4 4 2
O
6F 4
Fy =
6F 4
F Fz = 2
2r 2
y Fy
45 Fx °
本课节小结
FAZ+FBZ FAx FAx+FBxO x
FBZ M0 F C b Bx Fr FBZ y
B
α
y
a z FAZ O
FBz ⋅ (a + b) − Fr ⋅ a = 0 FAz + FBz − Fr = 0
FBz =
∑ Fz
= 0:
Fr a a+b Fr ⋅ b a+b
FAz = − FAz + Fr =
AZ
FBZ
0
x
FAx
A
y
B
a
∑ M y (F ) = 0 :
F C b Bx
Fτ ⋅
2.画传动轴的约束力 3.列平衡方程求解
Fτ =
D − M0 = 0 2 ∑ M x (F ) = 0 : FBz ⋅ ( a + b) − Fr ⋅ a = 0
2M 0 2M 0 Fr = Fτ ⋅ tan α = tan α D D Fa FBz = r a+b F ⋅b FAz + FBz − Fr = 0 ∑ Fz = 0 : FAz = − FAz + Fr = r a+b Fτ a ∑ M z (F ) = 0 : − FBx ⋅ ( a + b) − Fτ ⋅ a = 0 FBx = − a+b Fb FAx + FBx + Fτ = 0 FAx = − FBx − Fτ = − τ ∑ Fx = 0 : a+b
= 0: ∑ Fy = 0 : ∑ Fz = 0 : ∑ M x (F ) = 0 : ∑ M y (F ) = 0 : ∑ M z (F ) = 0 :
∑ Fx
2.平衡方程 2.平衡方程
三、空间约束 1.轴承 1.轴承
FX FZ FY FX FZ
向心轴承： 向心轴承：限制了轴端的上下移 动和前后移动，不限制轴向移动。 约束力用上下和前后两正交分力 约束力 表示。 推力轴承： 推力轴承：限制了轴端的上下、 前后、轴向的移动。 约束力用上下、前后、和轴向三 约束力 个正交分力表示。 既限制了轴端的上下、前后、轴 向的移动，又限制了绕x、y、z轴的 转动。 约束端有三个约束力 三个约束 三个约束力和三个约束 三个约束力 力偶矩。 力偶矩。
( 4 − 2)
γ
F Fxx x
ϕ
Fy Fy Fxy
y
3.力沿坐标轴方向分解 3.力沿坐标轴方向分解 4.已知投影求作用力 4.已知投影求作用力
F = Fx + Fy + Fz F F F cosα = x ;cosβ = y ;cosγ = z F F F
2 2 2
( 4 − 3)
二、力对轴之矩
第四章 空间力系和重心
课题4 1 ◆ 课题4–1 课题4 2 ◆ 课题4–2 ◆ 课题4–3 课题4 3
空间力的投影 力对轴之矩 空间力系平衡方程的应用 重心 平面图形的形心
课题4 1 ◆ 课题4–1
空间力的投影 力对轴之矩
z F Fz γ z Fx x
一.力在空间直角坐标轴上的投影 1.一次投影法 1.一次投影法 已知力F与三个坐 标轴的夹角分别为α、β、γ,
xy平面：
∑ M z (F ) = 0 : ∑ Fx
Fτ y FBx
− FBx ⋅ ( a + b) − Fτ ⋅ a = 0 FBx = − FAx + FBx + Fτ = 0
FAx = − FBx − Fτ = −
Fτ a O FAx a+b
= 0:
Fτb a+b
x
例4-4 传动轴如图，已知带轮半径Ｒ＝0.6m；自重Ｇ２＝2kN;齿 轮半径r=0.2m，轮重G1=1kN.其中AC=CB=l=0.4m,BD=0.2m，圆周力 Fτ=12kN，径向力Fr=1.5kN,轴向力Fa＝0.5kN, 紧边拉力FT,松边拉力 Ft，FT=2Ft 。试求轴承Ａ、Ｂ两处的约束反力。 解：画受力图列平衡方程求解
o o
z F 45 F z Fx ° h O x y Fy 30 °
2.求F对x.y.z轴之矩
2r 6Fh 2Fr = − 2 4 4 2r 6Fh 2Fr M y ( F ) = Fx ⋅ h + Fz ⋅ = + 2 4 4 2r 2r 3Fr 3Fr 3Fr M z ( F ) = − Fx ⋅ − Fy ⋅ =− − =− 2 2 4 4 2 M x ( F ) = Fy ⋅ h − Fz ⋅
Fxy
d
Fz A
F
O
M z ( F ) = M O ( Fxy ) = ± Fxy ⋅ d
四、应用举例
例4-1 图示托架OC套在轴z上，在C点作 用力F=1000N，图中C点在Oxy面内。试分 别求力F对x、y、z轴之矩。
Fz Fy Fx Fxy
解 ： 1.应用二次投影法，求得各分力 的大小为 6F
Fx = F cos α Fy = F cos β
( 4 − 1)
α
β
Fy
y
Fz = F cos γ
x z Fzz F F
2.二次投影法 2.二次投影法 已知力F与z轴的夹角为γ ，力与轴所确定平面与x轴的夹角为ϕ。
Fx = F sin γ ⋅ cos ϕ Fy = F sin γ ⋅ sin ϕ Fz = F cos γ
Fx = F cos 45o sin 60o = 4 2F Fy = F cos 45o cos 60o = 4 2F Fz = F sin 45o = 2
2.由合力矩定理求F对轴之矩
M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = 0 + 0 + 2 × 1000 × 0.06 = 42.4 N ⋅ m 2 M y ( F ) = M y ( Fx ) + M y ( Fy ) + M y ( Fz ) = 0 + 0 + 2 × 1000 × 0.05 = 35.4 N ⋅ m 2 M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) + M z ( Fz ) = 6 × 1000 × 0.06 − 2 × 1000 × 0.05 + 0 4 4 = 19.1N ⋅ m
一.力在空间直角坐标轴上的投影
Fx = F con α 1.一次投影法 Fy = F con β 1.一次投影法 Fz = F con γ Fx = F sin γ ⋅ con ϕ 2.二次投影法 Fy = F sin γ ⋅ sin ϕ 2.二次投影法 Fz = F con γ
二、力对轴之矩
M z ( F ) = M O ( Fxy ) = ± Fxy ⋅ d
y
O x
4
例4-2 图示半径为r的圆盘，在与水平 夹角为45°半径的切平面上作用力F，求 力F对x、y、z轴之矩。 解：1.将F沿坐标轴方向分解
6F Fx = F cos 30 sin 45 = 4 6F Fy = F cos 30o cos 45o = 4 F Fz = F sin 30o = 2
− Fτ r + FT R − Ft R = 0 F r 12 × 0.2 Ft = τ = = 4 kN R 0.6 FT = 2 Ft = 8 kN ∑ M x (F ) = 0 : FBz ⋅ 2l + ( Fτ − G1 )l − ( FT sin 45o − Ft sin 30o +G 2 ) × 2.5l = 0 (8 × 0.707 − 4 × 0.5 + 2) × 2.5 − 12 + 1 FBz = = 1.57 kN 2 FAz + FBz + Fτ − G1 − ( FT sin 45o − Ft sin 30o +G 2 ) = 0 ∑ Fz = 0 : FAz = −1.57 − 12 + 1 + (5.66 − 2 + 2) = −6.09 kN ∑ M z (F ) = 0 : − FBx 2l + Fr l − Fa r + ( FT cos 45o + Ft cos 30o ) × 2.5l = 0 0.6 − 0.1 + (5.66 + 3.46) × 1 FBx = = 12.03 kN ∑ Fy = 0 : 2 × 0.4 ∑ Fx = 0 : FAy − Fa = 0 FAx + FBx − Fr − FT cos 45o − Ft cos 30o = 0 FAy = Fa = 0.5 kN FAx = −12.03 + 1.5 + 5.66 + 3.46 = −1.41kN