第三章刚体定点转动

第三章刚体定点转动

§3.1定点转动运动学

一、什么是定点转动？

刚体转动时，如果刚体内只有一点始终保持不动，这种运动叫刚体的定点转动。由于做定点转动时刚体上有一点固定不动，一般以定点为基点。陀螺、回转罗盘（用于航空和航海方面）等，都是刚体绕定点转动的实例。它们都只有一点不动。如图3.1.1所示的常平架中的圆盘可绕对称轴z O ′转动，对称轴固结在内悬架上，内悬架可绕固结于外悬架的

图3.1.1

此，ON 轴转动而外悬架又可绕固定轴

Oz 转动，此三轴的交点O 则是始终不动的，所以这种运动和定轴转动的情形不同。 二、定点转动和定轴转动的联系与区别

1．联系：定点转动可以看成绕瞬时轴的定轴转动。把某一瞬时角速度ω的取向，亦即在该瞬时的转动轴叫转动瞬轴。跟转动瞬心相仿，转动瞬轴在空间和刚体内各描绘一个定点在O 的锥面，前者叫空间极面，后者则叫本体极面。刚体绕固定点的转动，也可看作时本体极面在空间极面上作无滑动的滚动，如图3.1.2所示。

2．区别：

（1）关于转轴：定点转动的轴恒通过一定点，但其在空间的取向随着时间的改变而改变，定轴转动的转轴在空间的取向不变。

（2）关于角速度：定点转动矢量的量值和方向都是时间的函数。而定轴转动的角速度方向恒沿着固定的转动轴，量值可以是时间的函数。

ω

三、定点转动时刚体上任一点的速度

r dt r d v v v

v ×==ωυ （3.1.1）

P

图3.1.3

如图3.1.3所示,刚体上任一点P 的运动可以看成是绕瞬时轴的转动,所以其速度在圆周的切线方向,大小为R ωυ=.

四、定点转动时刚体上任一点的加速度

由加速度的定义知

r r r dt

d r r dt d r dt d dt d a v

v v v v v

v v v v v v v v v v v 2)()(ωωωωωωωυωωυ??+×=××+×=×+×==

而 R r r v v v v v 2

2)(ωωωω?=??则

R r dt

d a v v v v 2ωω?×= (3.1.2)

上式中的第一项r dt

d v

v

×ω为转动加速度,第二项R v 2ω?为向轴加速度. 例:半径为a 的碾盘在水平面上做无滑滚动,长为b 的水平轴OA 绕竖直轴OE 以匀角速度1ω转动,如图3.1.4所示.求碾盘最高点P 的速度和加速度.

x

图3.1.4

解: 碾盘绕定点O 运动,取如图所示的直

角坐标系,OA=b,AB=OE=a,j a i b r P ??+?=v 要使碾盘在水平面上做无滑滚动,则瞬时角速度的方向为BO 方向,且

i

a

b j j i ????1121ωωωωω+=+=v

.则 k

b j a i b i a

b j r P P ?2)??()??(111ωωωωυ=+?×+=×=v

v v . 或用瞬轴法:

P 点速度大小:b PD P 12ωωυ=?=. 方向:oz 轴方向.

加速度: j

a b i b r dt d dt d a P P P

??321221ωωυωωυ?=×+×==v v v v v v

§3.2定点转动刚体对定点的动量矩

一、刚体的动量矩

图3.2.1

刚体是一特殊的质点系，刚体作定点转动时对定点O 的

动量矩（角动量）等于刚体上的各质点对定点O 的动量矩之和（矢量和）。如图3.2.1所示,设刚体上一质量为质点,

位于点,位矢为i m i P k z j y i

x r i ???++=v ,到瞬时轴的垂直距离为i P i ρ,刚体定点转动的角速度为k j i

z y x ???ωωωω++=v

,则质点对定点O 的动量矩为

i P r r m r m r r m m r L i i i i i i i i i i i v v v v v v v

v v v )()(2??=××=×=ωωωυ 刚体对定点O 的动量矩为

(3.2.1) k L j L i

L r r m r m L L z y x n i i i i i n i i ???))((1

21

++=??==∑∑==v v v v v v ωω其中

z

zz y zy x zx i n

i i i z i n

i i i y n

i i i i x y z yz y yy x yx i n

i i i z i

n i i

i y n i i i i x y z

xz y xy x xx i n

i i i z i n i i i y i

n i i

i x x I I I y x m y z m x z m L I I I z y m z x m x y m L I I I z x m y x m z y m L ωωωωωωωωωωωωωωωωωω+??=++??=?+?=?++?=??=??+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========)()()(21

21

1

1

21211

1

21

2

上式中的为刚体对x,y,z 轴的转动惯量. 为惯量积,其定义如下:

zz yy xx I I I ,,zx xz zy yz yx xy I I I I I I ,,,,,)(),(),(21

221

221

2i n

i i i zz i

n

i i

i yy i

n

i i

i xx y x m I z x m I z y m I ∑∑∑===+=+=+=,

. (3.2.2)

i n

i i i xz zx i n i i i zy yz i n i i i yx xy z x m I I z y m I I y x m I I ∑∑∑=========1

1

1

,,,定点转动的动量矩的方向与角速度的方向一般不同，而定轴转动动量矩的方向与角速度的方向一致。

为便于记忆，定点转动的动量矩可表示成下面的矩阵相乘形式：

???

?

?

?????????????????????=??????????z y x zz zy

zx

yz yy yx xz xy xx z y x I I I I I I I I I L L L ωωω (3.2.3)

§3.3定点转动刚体的转动动能

一、 刚体定点转动的转动动能

刚体定点转动的转动动能等于各个质点的动能之和.则

)222(2

1)(21

2121)

(21212122211112

x z zx z y yz y x xy z zz y yy x xx z z y y x x n i i i i i n i i i i n i i i n i i i K I I I I I I L L L L m r r m m m E ωωωωωωωωωωωωωυωωυυυυ???++=++=?=×?=×?=?==∑∑∑∑====v v v

v v v v v v v (3.3.1) 推导中用到公式:)()(A C B C B A v

v v v v v ×?=×? 二、定点转动转动动能的另一表达式

刚体定点转动的转动动能也可写成

22

1

21122121)()(2121ω

ρωωωυI m r r m m T i n i i i i n i i n i i i ==×?×==∑∑∑===v v v v (3.3.2) 其中I 为刚体绕瞬时轴的转动惯量。(3.3.2)式从形式上与定轴转动的表达式没有区别，但由于瞬时轴随时间变化，因此转动惯量也可能随轴不同。

§3.4刚体对过定点的任一轴的转动惯量，惯量张量，惯量主轴

一、刚体对过定点的任一轴的转动惯量

设瞬轴与x，y，z 三坐标轴夹角的余弦分别为γβα,,，则

γωωβωωαωω===z y x ,, (3.4.1)

将(3.4.1)代入(3.3.1)得

2222)222(2

1

ωγαβγαβγβαzx yz xy zz yy xx K I I I I I I E ???++=

(3.4.2) 比较(3.4.2)式与(3.3.2)得刚体对瞬时轴的转动惯量为

γαβγαβγβαzx yz xy zz yy xx I I I I I I I 222222???++= (3.4.3) 上式用于求刚体对过定点，且方位角的方向余弦为γβα,,的瞬时轴的转动惯量。刚体对轴的转动惯量及惯量积是不变的，因此在计算某瞬时轴的转动惯量时，只要已知轴的方位，就能方便求出其转动惯量。 二、惯量张量（inertia tensor ）

由于瞬时轴相对刚体的位置不断变化，因此刚体对瞬时轴的转动惯量也不断变化，这样，描述刚体绕定点转动的惯量不能简单地用一转动惯量来描述，而是要用由9个惯量系数组成的矩阵来描述，这一矩阵叫惯量张量。简言之，惯量张量是描述刚体绕一点转动惯性的物理量。

(3.4.4) ???

?

?

???

????????zz zy

zx

yz yy yx

xz xy xx I I I I I I I I I 由于xz zx zy yz yx xy I I I I I I ===,,，因此，惯量张量的9个惯量系数中只有6个是相互独立的。 三、惯量主轴 1．什么量惯量主轴？

通过适当选择坐标系可使所有惯量积为0，使惯量张量对角化，这样的坐标系叫该点的主轴坐标系，三坐标轴叫惯量主轴。对于刚体上不同的点，主轴一般是不

同的。主轴坐标系至少有一组。

2．如何寻找惯量主轴？

图 3.4.1匀质矩形薄板对中心点的惯量主轴

对于匀质刚体，如果有对称轴，则对称轴为惯量主轴；如果有对称面，则对称面的法线为惯量主轴。

如图3.4.1所示，匀质矩形薄板，对其中心点的惯量主轴为两对称轴和一对称面法线.

四、惯量椭球（ellipsoid of inertia ） 1．惯量椭球的作法与惯量椭球方程

刚体对过定点各轴的转动惯量各不相同，但只要已知惯量张量，则过定点任一轴的转动惯量均可计算得到。为了用几何图象形象直观地描述转动惯量随轴方向分布的情况，可在该轴上取一长为R 的线段OP，并令R 与该轴的转动惯量有如下关系， I

R 1=

(3.4.5)

则OP 的长度能直观地反映转动惯量的大小,且转动惯量越大,线段OP 的长度越短.过定点O 有无穷多条轴,可用同样的方法截取一线段代表刚体对此轴的转动惯量.如果将这些线段的的末端连接起来,就构成一曲面,可以证明此曲面为一椭球面,且定点为椭球面的中心.证明如下:

设P 点的坐标,OP 的三方向余弦为),,(z y x γβα,,，则

R z R y R x /,/,/===γβα (3.4.6)

将上式代入转动惯量的计算公式(3.4.3)得

(3.4.7) 1222222=???++zx I yz I xy I z I y I x I zx yz xy zz yy xx 这是一个二次曲面方程，只有三种可能，双曲面、抛物面或椭球面。因转动惯量为有限值，因此R 不可能为无穷大，因此此曲面不可能延伸至无穷远，只能是椭球面。因其反映转动惯量的分布情况，故叫惯量椭球。

2．说明

（1）对于不同的定点，惯量椭球是不同的。

（2）椭球一定存在3个对称轴，若以它们为坐标轴，则椭球方程能简化为：

1222=++z I y I x I zz yy xx (3.4.8)

这3个轴为惯量主轴，使惯量积为0。 五、应用举例

例1．（1）计算匀质矩形薄板绕其对角线AC 的转动惯量。（2）计算匀质矩形薄板对OL轴的转动惯量，设OL轴与ox轴的夹角为600，且在矩形薄板所在平面。

解：设匀质矩形薄板质量为m，长为a，宽为b。对角线AC 过板中心O 点，取如图所示的三惯量主轴为坐标轴，则0,,2

2

2

2

=+=

+=

γβαb

a b b

a a ，三惯量积为0，

图 3.4.2匀质矩形薄板绕对角线转动的转动

)(12

1

,121,1212222b a m I ma I mb I zz yy xx +===

转动惯量为2

22

22

2

12b a b a m I I I yy xx +=+=βα （2）OL 轴的三方向余弦为0,23,21===

γβα 则 )3(48

22

22a b m I I I yy xx OL +=+=βα 无须重新计算，很方便！

例2．计算匀质薄圆盘对过圆心且与盘面成

600的OL轴的转动惯量。

x

图3.4.3匀质薄圆盘

解:过O 点作一直径为Ox 轴,垂直盘面的中心轴为y 轴,且设OL 轴在Oxy 面内,则z 轴与ox,oy 轴垂直.三坐标轴为惯量主轴,则OL 轴的三方向余弦为

0,2

3

,21===γβα 而2224

1

,21,41mR I mR I mR I zz yy xx ===, 则2

2216

7R m I I I yy xx OL

=+=βα