全等三角形中的基本模型练习
三角形全等5大模型含参考答案
三角形全等模型题型01倍长中线1如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是．2如图，五边形ABCDE中，AB=BC=7，AE=ED=8，∠ABC+∠AED=180°，M为边CD的中点，BM=9，EM=10，则五边形ABCDE的面积为=．3(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB=5，AC=3，设AD=x，可得x的取值范围是；(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．4【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)求得AD的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．题型02一线三等角1如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=8，则△BCD的面积为()A.8B.12C.14D.162如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，对角线BD⊥CD，若BD=14，则△ABD的面积为．3在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长．4已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC．(1)如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，BD，CE与DE的数量关系为．(2)如图②，当AB不垂直于AC时，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，DE=10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t(s)．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．题型03手拉手模型1如图所示，AB=AC，AD=AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC=∠DAE，∠1= 25°，∠2=30°，则∠3=()A.55°B.50°C.45°D.60°2如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，BF与CE相交于点M．(1)求证：EC=BF；(2)求证：EC⊥BF．3(1)如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD=CE；(2)如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．(3)拓展探究如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．题型04半角模型1已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC，CD上的动点．(1)如图①，设O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求证：BM=CN，(2)在(1)的条件下，若正方形ABCD的边长为4cm，求四边形MONC的面积；(3)如图②，若∠MAN=45°试说明△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半．2已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N，AH⊥MN于点H．(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；(2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；题型05对角互补模型1如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B=∠C=45°；②AP=EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的34，其中正确的结论是()A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④2【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长．3(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF=BE+FD．求证：∠EAF=12∠BAD(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．提优练习1如图，△ABC的面积为1cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为()A.0.4cm2B.0.5cm2C.0.6cm2D.0.7cm22如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC =3，则BD的长为()A.1B.1.5C.2D.2.53如图，已知△ABC中，BD=AD，F是高AD和BE的交点，FD=4，AF=2，则线段BC的长度为()A.6B.8C.10D.124在△ABC中，AB=5，AC=7，则中线AD的取值范围是()A.1<AD<7B.1<AD<8C.1<AD<6D.2<AD<55如图，△ABC是边长为a的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D 为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是()A.aB.2aC.3aD.不能确定6如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD= 4，BE=3，则DE=．7如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=6，则△BCD的面积为．8如图，△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE=90°，DB= DE=AE，若BC=5，则AD的长是．9如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，AC-AB=5，若S△BDC的最大值为30，则BC长为 ．10如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°．P是BC边上一点，CP=CA，连接AP，以AP为边在AP的右上方作等边三角形APQ．若AB=5，则点Q到边AB的距离为．11如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB=5，EN=2，则DM=．12如图，∠BAC=90°，AB=AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．(1)求证：△ABE≌△CAF；(2)若CF=5，BE=2，求EF的长．13(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．14在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF=AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．16在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点(不与点B、C重合)，以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE．(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=度．(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量关系？试说明理由．②点D是在射线CB上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？试直接写出结论．17如图，已知△ABC中，AB=AC，点D，E分别为AB，AC上的点，BE=CD．(1)△ABD与△ACE全等吗？为什么？(2)连接AF，DE，求证：AF垂直平分DE．18如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；拓展延伸如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；∠EAF=12实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°(即∠AON=30°)的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心的夹角∠EOF=70°，请直接写出两舰艇之间的距离为海里．三角形全等模型题型01倍长中线1如图，在△ABC 中，AB =10，AC =6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是．【分析】延长AD 至E ，使DE =AD ，由SAS 证明△ACD ≌△EBD ，得出BE =AC =6，在△ABE 中，由三角形的三边关系求出AE 的取值范围，即可得出AD 的取值范围；【解答】(1)解：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，如图1所示∵AD 是BC 边上的中线，∴BD =CD ，在△BDE 和△CDA 中，BD =CD ∠BDE =∠CDA DE =AE，∴△BDE ≌△CDA (SAS )，∴BE =AC =6，在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB -BE <AE <AB +BE ，∴10-6<AE <10+6，即4<AE <16，∴2<AD <8；故答案为2<AD <8．【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．2如图，五边形ABCDE 中，AB =BC =7，AE =ED =8，∠ABC+∠AED =180°，M 为边CD 的中点，BM =9，EM =10，则五边形ABCDE 的面积为=．【分析】延长BM 到F ，使FM =BM ，连接DF 、EF 、BE ，易证△BCM ≌△FDM ，△ABE ≌△DFE ，根据全等三角形的对应边相等，可得△BEF 是等腰三角形，五边形的面积转化成了三角形的面积，利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：如图，延长BM 到F ，使FM =BM ，连接DF 、EF 、BE ，在△BMC 和△FMD 中，BM =FM ∠BMC =∠FMD CM =DM，∴△BMC ≌△FMD 中(SAS )，∴BM =FM ，BC =FD =AB ，∠C =∠FDM ，∵∠A +∠ABC +∠C +∠CDE +∠AED =(5-2)×180°=540°，∵∠ABC +∠AED =180°，∴∠A +∠C +∠CDE =360°，∵∠CDE +∠CDF +∠EDF =360°，∴∠A =∠EDF ，在△ABE 和△DFE 中，AB =DF ∠A =∠EDF AE =DE，∴△ABE ≌△DFE (SAS )，∴BE =EF ，∵BM =FM ，∴EM ⊥BF ，∴S 五边形ABCDE=S △ABE +S △BCM +S 四边形BMDE=S △BEF=12BF •EM =12×9×2×10=90．故答案为：90．【点评】本题考查了多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添辅助线将多边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键．3(1)如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED=AD ，连接CE ．①证明△ABD ≌△ECD ；②若AB =5，AC =3，设AD =x ，可得x 的取值范围是；(2)如图2，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE +CF >EF．【分析】(1)①根据三角形的中线得出BD =CD ，再由对顶角相等得出∠ADB =∠CDE ，即可得出结论；②先由△ABD ≌△ECD ，得出CE =5，再由ED =AD ，得出AE =2AD =2x ，最后用三角形的三边关系，即可求出答案；(2)先根据SAS 判断出△DEF ≌△DEH ，得出EH =EF ，再根据SAS 判断出△BDH ≌△CDF ，得出CF =BH ，即可求出答案．【解答】(1)①证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ADB 和△ECD 中，BD =CD ∠ADB =∠CDE (对顶角相等)AD =DE，∴△ABD ≌△ECD (SAS )；②解：由①知，△ABD ≌△ECD ，∴CE =AB ，∵AB =5，∴CE =5，∵ED =AD ，AD =x ，∴AE =2AD =2x ，在△ACE 中，AC =3，根据三角形的三边关系得，5-3<2x <5+3，∴1<x <4，故答案为：1<x <4；(2)证明：如图2，延长FD，截取DH=DF，连接BH，EH，∵DH=DF，DE⊥DF，即∠EDF=∠EDH=90°，DE=DE，∴△DEF≌△DEH(SAS)，∴EH=EF，∵AD是中线，∴BD=CD，∵DH=DF，∠BDH=∠CDF，∴△BDH≌△CDF(SAS)，∴CF=BH，∵BE+BH>EH，∴BE+CF>EF．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键．4【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)求得AD的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE =EF ．求证：AC =BF ．【分析】(1)根据AD =DE ，∠ADC =∠BDE ，BD =DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；(2)根据全等得出BE =AC =6，AE =2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6<2AD <8+6，求出即可；(3)延长AD 到M ，使AD =DM ，连接BM ，根据SAS 证△ADC ≌△MDB ，推出BM =AC ，∠CAD =∠M ，根据AE =EF ，推出∠CAD =∠AFE =∠BFD ，求出∠BFD =∠M ，根据等腰三角形的性质求出即可．【解答】(1)解：∵在△ADC 和△EDB 中， AD =DE ∠ADC =∠BDE BD =CD，∴△ADC ≌△EDB (SAS )，故选B ；(2)解：∵由(1)知：△ADC ≌△EDB ，∴BE =AC =6，AE =2AD ，∵在△ABE 中，AB =8，由三角形三边关系定理得：8-6<2AD <8+6，∴1<AD <7，故选C ．(3)证明：延长AD 到M ，使AD =DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 中线，∴CD =BD ，∵在△ADC 和△MDB 中，DC =DB ∠ADC =∠MDB DA =DM∴△ADC ≌△MDB ，∴BM =AC ，∠CAD =∠M ，∵AE =EF ，∴∠CAD =∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠BFD=∠CAD=∠M，∴BF=BM=AC，即AC=BF．【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．题型02一线三等角1如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=8，则△BCD的面积为()A.8B.12C.14D.16【分析】由等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，即可求解．【解答】解：作AE⊥BC于E，DF⊥CB交CB延长线于F，∵AB=AC，∴BE=CE=4，∵∠EAB+∠ABE=∠DBF+∠ABE=90°，∴∠EAB=∠DBF，∵∠AEB=∠BFD=90°，AB=DB，∴△AEB≌△BFD(AAS)，∴DF=BE=4，∴S△DCB=1CB•DF，2×8×4=16，∴S△DCB=12故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是作辅助线构造全等三角形．2如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，对角线BD⊥CD，若BD=14，则△ABD的面积为．【分析】过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，根据垂直定义可得∠AEB =∠CDB =90°，从而可得∠BAE +∠ABE =90°，再利用同角的余角相等可得∠BAE =∠DBC ，然后利用AAS 证明△ABE ≌△BCD ，从而利用全等三角形的性质可得AE =BD =14，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．【解答】解：过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，∵AE ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠AEB =∠CDB =90°，∴∠BAE +∠ABE =90°，∵∠ABC =90°，∴∠ABD +∠DBC =90°，∴∠BAE =∠DBC ，∵AB =BC ，∴△ABE ≌△BCD (AAS )，∴AE =BD =14，∴△ABD 的面积=12BD •AE =12×14×14=98，故答案为：98．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，AD =5，BE =2，求线段DE 的长．【分析】(1)①由已知推出∠ADC =∠BEC =90°，因为∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，推出∠DAC =∠BCE ，根据AAS 即可得到答案；②由①得到AD =CE ，CD =BE ，即可求出答案；(2)与(1)证法类似可证出∠ACD =∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD =CE ，CD =BE ，代入已知即可得到答案．【解答】(1)①证明：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，∴∠DAC =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，∠CDA =∠BEC ∠DAC =∠ECB AC =BC，∴△ADC ≌△CEB (AAS )；②证明：由(1)知：△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ，CD =BE ，∵DC +CE =DE ，∴AD +BE =DE ；(2)证明：∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ECB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ECB +∠ACE =90°，∴∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，∠ACD =∠BEC ∠ADC =∠BEC AC =BC，∴△ADC ≌△CEB (AAS )，∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =EC -CD =AD -BE =5-2=3．【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．4已知，在△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BDA =∠AEC =∠BAC ．(1)如图①，若AB ⊥AC ，则BD 与AE 的数量关系为，BD ，CE 与DE 的数量关系为．(2)如图②，当AB 不垂直于AC 时，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图③，若只保持∠BDA =∠AEC ，BD =EF =7cm ，DE =10cm ，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点D 向点E 运动，同时，点C 在线段EF 上以x cm/s 的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时间为t (s )．是否存在x ，使得△ABD 与△EAC 全等？若存在，求出相应的t 与x 的值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE =∠ABD ，再由AAS 证明△ABD ≌△CAE ，得BD =AE ，CE =AD ，即可解决问题；(2)同(1)得△ABD ≌△CAE (AAS )，得BD =AE ，CE =AD ，即可得出结论；(3)分△DAB ≌△ECA 或△DAB ≌△EAC 两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t 的值，即可解决问题．【解答】解：(1)∵∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∠BAD +∠CAE +∠BAC =∠BAD +∠ABD +∠BDA =180°，∴∠BAD +∠CAE =∠BAD +∠ABD ，∴∠CAE =∠ABD ，∵∠BDA=∠AEC，AB=CA，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∵AE+AD=DE，∴BD+CE=DE，故答案为：BD=AE，BD+CE=DE；(2)成立，BD=AE，BD+CE=DE，理由如下：同(1)得：△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD=AE，CE=AD，∵AE+AD=DE，∴BD+CE=DE；(3)存在，理由如下：当△DAB≌△ECA时，AD=CE，BD=AE=7cm，∵AD+AE=DE=10cm，∴CE=AD=DE-AE=3cm，∴t=AD2=32，∴x=3÷32=2；当△DAB≌△EAC时，∴AD=AE=12DE=5cm，DB=EC=7cm，∴t=AD2=52，x=7÷52=145，综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t=32，x=2或t=52，x=145．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．题型03手拉手模型1如图所示，AB=AC，AD=AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC=∠DAE，∠1= 25°，∠2=30°，则∠3=()A.55°B.50°C.45°D.60°【分析】求出∠BAD =∠EAC ，证△BAD ≌△EAC ，推出∠2=∠ABD =30°，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC ，∴∠1=∠EAC ，在△BAD 和△EAC 中，AB =AC ∠BAD =∠EAC AD =AE，∴△BAD ≌△EAC (SAS )，∴∠2=∠ABD =30°，∵∠1=25°，∴∠3=∠1+∠ABD =25°+30°=55°，故选：A ．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD ≌△EAC ．2如图，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE =AB ，AF =AC ，BF 与CE 相交于点M ．(1)求证：EC =BF ；(2)求证：EC ⊥BF．【分析】(1)利用SAS 说明△ABF ≌△AEC 得结论；(2)先利用全等三角形的性质说明∠AEC =∠ABF ，再利用三角形内角和定理说明∠BMD =90°得结论．【解答】证明：(1)∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE =∠CAF =90°．∴∠BAE +∠BAC =∠CAF +∠BAC ，即∠EAC =∠BAF ．在△ABF 和△AEC 中，AB =AE ∠EAC =∠BAF AC =AF，∴△ABF ≌△AEC (SAS )．∴EC =BF ．(2)由(1)知：△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC =∠ABF ．∵AE ⊥AB ，∴∠BAE =90°．∴∠AEC +∠ADE =90°．∵∠ADE =∠BDM ，∴∠ABF +∠BDM =90°．在△BDM 中，∠BMD =180°-∠ABF -∠BDM =180°-90°=90°．∴EC ⊥BF ．【点评】本题主要考查了全等三角形，掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解决本题的关键．3(1)如图1，△ABC 与△ADE 均是顶角为40°的等腰三角形，BC 、DE 分别是底边，求证：BD =CE ；(2)如图2，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．填空：∠AEB 的度数为；线段BE 与AD 之间的数量关系是．(3)拓展探究如图3，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．【分析】(1)根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD ≌△CAE ，即可判断出BD =CE ．(2)首先根据△ACB 和△DCE 均为等边三角形，可得AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∠CDE =∠CED =60°，据此判断出∠ACD =∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE =AD ，∠BEC =∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为60°即可．(3)首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，据此判断出∠ACD =∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE =AD ，∠BEC =∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°即可；最后根据DCE =90°，CD =CE ，CM ⊥DE ，可得CM =DM =EM ，所以DE =DM +EM =2CM ，据此判断出AE =BE +2CM 即可．【解答】(1)证明：∵∠BAC =∠DAE =40°，∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴BD =CE ．(2)解：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∠CDE =∠CED =60°，∴∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ，即∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴BE =AD ，∠ADC =∠BEC ，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =180°-60°=120°，∴∠BEC =120°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =120°-60°=60°，综上，可得∠AEB 的度数为60°；线段BE 与AD 之间的数量关系是：BE =AD ．故答案为：60°、BE =AD ．(3)解：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，∠CDE =∠CED =45°，∴∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ，即∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴BE =AD ，∠BEC =∠ADC ，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =180-45=135°，∴∠BEC =135°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =135-45=90°；∵∠DCE =90°，CD =CE ，CM ⊥DE ，∴CM =DM =EM ，∴DE =DM +EM =2CM ，∴AE =AD +DE =BE +2CM ．【点评】(1)此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．(2)此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．题型04半角模型1已知四边形ABCD 是正方形，M 、N 分别是边BC ，CD 上的动点．(1)如图①，设O 是正方形ABCD 对角线的交点，若OM ⊥ON ，求证：BM =CN ，(2)在(1)的条件下，若正方形ABCD 的边长为4cm ，求四边形MONC 的面积；(3)如图②，若∠MAN =45°试说明△MCN 的周长等于正方形ABCD周长的一半．【分析】(1)由正方形的性质可以得出△BOM ≌△CON ，由全等三角形的性质就可以得出ON =OM ；(2)由全等可以得出S △BOM =S △CNF ，就可以得出S 四边形MONC =S △BOC ，S △BOC 的面积就可以得出结论；(3)绕点A 顺时针旋转△ADN 90°得到△ABE ，得出△ABE ≌△ADN ，由全等三角形的性质可以得出△ANM ≌△AEM ，进而有MN =ME =MB +BE ，分别表示出C △MNC =DN +MB +MC +CN =DC +BC =2BC ．C 正方形ABCD =AB +BC +CD +AD =4BC ．从而可以得出结论．【解答】解：(1)证明：∵正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O∴∠BOC =90°，∠OBC =∠OCD =45°，OB =OC ，AB =BC =DC =AD ．∵∠EOF =90°∵∠BOM +∠MOC =90°，∠NOC +∠MOC =90°∴∠BOM =∠CON ．在△OBM 和△OCN 中，∠BOM =∠CON OB =OC ∠OBC =∠OCD，△OBM ≌△OCN (ASA )．∴OM =ON ；(2)∵△OBM ≌△OCN ，∴S △OBM =S △OCN ．∴S △OBM +S △MOC =S △OCN +S △MOC ，即S △OBC =S 四边形MONC ．∵S △OBC =4×4×14=4，∴S 四边形MONC =4；(3)绕点A 顺时针旋转△ADN 90°得到△ABE ，∴△ABE ≌△ADN ，∴∠4=∠1．AE =AN ，BE =DN ．∵∠2=45°，∴∠1+∠3=45°．∵∠4+∠3=∠MAE =45°．∴∠MAE =∠2．在△ANM 和△AEM 中，AN =AE ∠2=∠MAE AM =AM，∴△ANM ≌△AEM (SAS )，∴MN =ME =MB +BE ，∴MN =DN +MB ．∵C △MNC =MN +MC +CN ，∴C △MNC =DN +MB +MC +CN =DC +BC =2BC ．∵C 正方形ABCD =AB +BC +CD +AD =4BC ．∴△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，三角形的周长和正方形的周长的运用，全等三角形的判定及性质的运用，旋转的性质的运用，解答时证明三角形全等得出OM =ON 是关键．2已知，正方形ABCD 中，∠MAN =45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC (或它们的延长线)于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．(1)如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系：；(2)如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，(1)中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；【分析】(1)由SAS证明△ABM≌△ADN，即可得出AH=AB，(2)延长CB至E，使BE=DN，由SAS证明△AEB≌△AND，得出AE=AN，∠EAB=∠NAD，证出∴∠EAM=∠NAM=45°，再由SAS证明△AEM≌△ANM，得到AH=AB即可；(3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN 交于点C，得正方形ABCE，设MH=x，则MC=5-x，NC=2，MN=x+3，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解得x即可．【解答】解：(1)AH=AB；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠D=90°，AB=AD，在△ABM和△ADN中，AB=AD ∠B=∠D BM=DN，∴△ABM≌△ADN(SAS)，∴AM=AN，∠BAM=∠DAN，∴△AMN是等腰三角形，又∵AH⊥MN，∴∠AHM=90°，∠HAM=∠HAN，∵∠MAN=45°，∴∠HAM=12×45°=22.5°，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAM=22.5°=∠HAM，在△ABM和△AHM中，∠BAM=∠HAM ∠B=∠AHM=90°AM=AM，∴△ABM≌△AHM(AAS)，∴AH=AB；故答案为：AH=AB；(2)数量关系成立，AH=AB．理由如下：如图②，延长CB至E，使BE=DN．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，AB=AD∠ABE=∠D BE=DN，∴Rt△AEB≌Rt△AND(SAS)，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，∵∠DAN+∠BAM=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAN=45°，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM和△ANM中，AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AEM≌△ANM(SAS)．∴S△AEM=S△ANM，EM=MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB=AH．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的关键．题型05对角互补模型1如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B=∠C=45°；②AP=EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的34，其中正确的结论是()【分析】利用ASA 证明△AEP ≌△CFP ，得PE =PF ，则△EPF 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可对结论逐一进行判断．【解答】解：∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠B =∠C =45°，故①正确；∵点P 为BC 的中点，∠BAC =90°，AB =AC ，∴AP =CP ，∠APC =90°，∠BAP =∠C =45°，∵∠EPF =∠APC ，∴∠APE =∠FPC ，在△AEP 和△CFP 中，∠EAP =∠C AP =PC ∠APE =∠CPF，∴△AEP ≌△CFP (ASA )，∴PE =PF ，∴△EPF 是等腰直角三角形，∴四边形AEPF 的面积为S △AEP +S △AFP =S △CPF +S △APF =S △APC =12S △ABC，故④正确，⑤不正确；∵∠BAC =∠EPF =90°，∴∠AFP 和∠AEP 互补，故③正确；∵PE 不是定长，故②不正确．∴正确的有：①③④，故选：D ．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△AEP ≌△CFP 是解题的关键．2【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =60°，试探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是BC ，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长．【分析】(1)延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE= AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；(2)延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；(3)延长DC，截取CG=AE，连接BG，根据SAS定理可得出△AEB≌△CGB，故可得出BE =BG，∠ABE=∠CBG，再由∠EBF=45°，∠ABC=90°可得出∠ABE+∠CBF=45°，故∠CBF+∠CBG=45°，由SAS定理可得△EBF≌△GBF，故EF=GF，故△DEF的周长= EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD，由此可得出结论．【解答】(1)解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵DG=BE∠B=∠ADG AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．(2)解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，∵DG=BE∠B=∠ADG AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；(3)解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵AE=CG∠A=∠BCG AB=BC，∴△AEB≌△CGB(SAS)，∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，∴∠CBF+∠CBG=45°．在△EBF与△GBF中，∵BE=BG∠EBF=∠GBF BF=BF，∴△EBF≌△GBF(SAS)，∴EF=GF，∴△DEF的周长=EF+ED+DF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=5+5=10．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．3(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF=BE+FD．求证：∠EAF=12∠BAD(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．【分析】(1)延长CB至M，使得BM=DF，根据全等三角形的判定和性质解答即可；(2)通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．【解答】证明：(1)延长CB至M，使得BM=DF，连接AM，∵∠B=∠D=90°，AB=AD，在△ABM与△ADF中BM=DF∠ABM=∠ADF AB=AD，∴△ABM≌△ADF(SAS)，∴AM =AF ，∠DAF =∠BAM ，∵EF =BE +DF =BE +BM =ME ，在△AME 与△AFE 中AE =AEEF =ME AM =AF，∴△AME ≌△AFE (SSS )，∴∠MAE =∠EAF ，∴∠BAE +∠DAF =∠EAF ，即∠EAF =12∠BAD ；(2)线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系是EF +DF =BE ，在BE 上截取BM =DF ，连接AM ，∵AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，∠ADC +∠ADF =180°，∴∠ABM =∠ADF ，在△ABM 与△ADF 中， BM =DF∠ABM =∠ADF AB =AD，∴△ABM ≌△ADF (SAS )，∴AM =AF ，∠BAM =∠DAF ，∠EAF =12∠BAD ，∴∠EAF =∠EAM ，在△AEM 与△AEF 中， AM =AF∠EAF =∠EAM AE =AE，∴△AEM ≌△AEF (SAS )，∴EM =EF ，即BE -BM =EF ，即BE -DF =EF ．【点评】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．提优练习1如图，△ABC 的面积为1cm 2，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP 于P ，则△PBC 的面积为()A.0.4cm 2B.0.5cm 2C.0.6cm 2D.0.7cm 2【分析】证△ABP ≌△EBP ，推出AP =PE ，得出S △ABP =S △EBP ，S △ACP =S △ECP ，推出S △PBC =12S △ABC，代入求出即可．【解答】解：∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP =∠EBP ，∵AP ⊥BP ，∴∠APB =∠EPB =90°，在△ABP 和△EBP中，∠ABP =∠EBP BP =BP ∠APB =∠EPB，∴△ABP ≌△EBP (ASA )，∴AP =PE ，。
初中数学《全等三角形》基本模型训练含解析
全等三角形基本模型专项训练一、单选题1如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在边BC及其延长线上，BD2+CE2=DE2，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则结论：①FA=AE；②∠DAE=45°；③S△ADE=14AD⋅EF；④CE2+BE2=2AE2，其中正确的是()A.①②③④B.①②④C.①③④D.①②【答案】A【分析】根据全等三角形的性质，证明△ABF和△ACE全等，即可得到FA=AE；连接DF如图见解析，证明△ADE和△ADF全等，即可得到∠DAE=45°；延长AD交EF于H如图见解析，利用等腰直角△AFE三线合一的性质，∠FAE=90°，∠DAE=45°∠DAE=45°，可知AH⊥EF，S△ADE=12AD⋅EH，HE=HF=12EF，即可判断③；在Rt△EBF和Rt△EAF中，利用勾股定理以及等式的性质，即可判断④．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°∴∠ACE=180°-∠ACB=135°∵FB⊥BC∴∠FBE=90°∴∠ABF=∠ABC+∠FBE=135°∴∠ABF=∠ACE∵FA⊥AE∴∠FAE=90°=∠BAC∴∠FAE-∠FAC=∠BAC-∠FAC即∠CAE=∠BAF在△ABF和△ACE中，∠ACE=∠ABF AC=AB∠CAE=∠BAF∴△ACE≌△ABF ASA∴FA=EA，故①正确；连接DF，如图：∵△ACE≌△ABF∴BF=CE在Rt△BDF中，BD2+BF2=DF2∴BD2+CE2=DF2∵BD2+CE2=DE2∴DE=DF∵AE=AF，AD=AD∴△ADE≌△ADF SSS∴∠DAE=∠DAF∴∠DAE=12∠EAF=45°，故②正确；延长AD交EF于H，如图：∵AE=AF，∠EAD=∠FAD∴AH⊥EF，HE=HF=12EF∴S△ADE=12AD⋅EH=12AD⋅12EF=14AD⋅EF，故③正确；在Rt△EBF中，BE2+BF2=EF2∵CE=BF∴BE2+CE2=EF2∵AE=AF，∠FAE=90°∴EF2=AE2+AF2=2AE2∴BE2+CE2=2AE2，故④正确，综上所述，正确的有①②③④，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识．2如图所示，△ABC中，AC=BC，M、N分别为BC、AC上动点，且BM=CN，连AM、CN，当AM +BN最小时，CMCN=( )．A.2B.32C.54D.1【答案】D 【分析】过B 点在BC 下方作BH ∥AC ，且BH =AC ，链接BH ，AH ，先证明△BCN ≌△HBM ，即有BN =HM ，则AM +BN =AM +MH ，当A 、M 、H 三点共线时，AM +MH 值最小，再证明△ACM ≌△HBM ，问题随之得解．【详解】如图，过B 点在BC 下方作BH ∥AC ，且BH =AC ，链接BH ，AH ，∵BH ∥AC ，∴∠C =∠CBH ，∵BH =AC ，BM =CN ，∴△BCN ≌△HBM ，∴BN =HM ，∴AM +BN =AM +MH ，当A 、M 、H 三点共线时，AM +MH 值最小，如图，此时∵BH ∥AC ，∴∠C =∠CBH ，∠CAM =∠BHM ，∵AC =BC ，∴△ACM ≌△HBM ，∴CM =BM ，∵BM =CN ，∴CM CN=CM BM =1，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键．3如图，正五边形ABCDE 中，点F 是边CD 的中点，AF ,BC 的延长线交于点N ，点P 是AN 上一个动点，点M 是BN 上一个动点，当PB +PM 的值最小时，∠BPN =()A.72°B.90°C.108°D.120°【答案】C【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接BF ，EF ，PE ，EM ，根据全等三角形的判定与性质可得EP =BP ，则当E 、P 、M 三点共线，且EM ⊥BC 时，PB +PM 的值最小，过点E 作EH ⊥BC 于H ，交AF 于P ，分别求出∠BAP 和∠ABP 的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：连接BF ，EF ，PE ，EM ，∵正五边形ABCDE ，∴AE =AB =BC =ED ，∠BAE =∠AED =∠BCD =∠EDC =5-2 ×180°5=108°，∵点F 是边CD 的中点，∴CF =DF ，∴△BCF ≌△EDF SAS ，∴BF =EF ，又AE =AB ，AF =AF ，∴△AEF ≌△ABF SSS ，∴∠EAF =∠BAF =12∠BAE =54°，∴△AEP ≌△ABP SAS∴EP =BP ，∴PB +PM =EP +PM ≥EM ，∴当E 、P 、M 三点共线，且EM ⊥BC 时，PB +PM 的值最小，过点E 作EH ⊥BC 于H ，交AF 于P ，同理可求∠ABP =∠AEP =12∠AED =54°，∴∠BP N =∠BAP +∠ABP =108°，即当PB +PM 的值最小时，∠BPN =108°．故选：C ．4如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，给出下列结论：①AB =MG ；②S △ABC =S △AFN ；③过点B 作BI ⊥EH 于点I ，延长B 交AC 于点J ，则AJ =CJ ．④若AB =1，则EH 2+FN 2=5．其中正确的结论个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出△ACB ≌△MCG SAS ，进而得到AB =MG ，即可判断①；过点F 作FO ⊥NA 交NA 延长线于点O ，证明出△AFO ≌△ABC AAS ，得到OF =BC ，然后利用三角形面积公式即可得到S △ABC =S △AFN ，即可判断②；过点A 作AP ⊥BJ 交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ ⊥BJ ，证明出△ABP ≌△BEI AAS ，得到AP =BI ，同理得到CQ =BI ，得到CQ =AP ，然后证明出△AJP ≌△CJQ AAS ，得到AJ =CJ ，即可判断③；根据全等三角形的性质得到EH =2BJ ，然后利用勾股定理证明出EH 2=AC 2+4BC 2，同理得到NF 2=4AC 2+BC 2，然后得到EH 2+NF 2=5AB 2=5，即可判断④．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，∴AC =MC ，BC =GC ，∠MCA =∠GCB =90°∵∠ACB =90°∴∠MCG =∠ACB =90°∴△ACB ≌△MCG SAS∴AB =MG ，故①正确；如图所示，过点F 作FO ⊥NA 交NA 延长线于点O ，∵∠FAO +∠BAO =∠CAB +∠BAO =90°∴∠FAO =∠CAB又∵∠O =∠ACB =90°，AF =AB∴△AFO ≌△ABC AAS∴OF =BC∵AN =AC∵S △ANB =12AN ⋅OF ，S △ACB =12AC ⋅BC ∴S △ABC =S △AFN ，故②正确；如图所示，过点A 作AP ⊥BJ 交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ ⊥BJ∵∠ABP +∠BEI =90°，∠EBI +∠BEI =90°∴∠ABP =∠BEI又∵∠P =∠BIE =90°，AB =BE∴△ABP ≌△BEI AAS∴AP =BI同理可证，△BCQ ≌△HBI AAS ∴CQ =BI∴CQ =AP∵∠P=∠CQJ=90°，∠AJP=∠CJQ∴△AJP≌△CJQ AAS∴AJ=CJ，故③正确；∵△ABP≌△BEI AAS∴BP=EI∵△BCQ≌△HBI AAS∴BQ=HI∵△AJP≌△CJQ AAS∴PJ=QJ∵EH=EI+HI=PB+BQ=PJ+QJ+BQ+BQ=2BJ ∵AJ=CJ∴BJ2=CJ2+BC2=14AC2+BC2∴EH2=2BJ2=4BJ2=414AC2+BC2=AC2+4BC2同理可证，NF2=4AC2+BC2∴EH2+NF2=AC2+4BC2+4AC2+BC2=5AC2+BC2=5AB2=5×12=5，故④正确．综上所述，正确的结论个数是4．故选：D．5如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠E=∠F=90 °，∠EAC=∠FAB，AE=AF．给出下列结论：①∠B=∠C；②CD=DN；③BE= CF；④△ACN≅△ABM．其中正确的结论是()A.①③④B.①②③④C.①②③D.①②④【答案】A【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键．【详解】解：∵∠EAC=∠FAB，∴∠EAB=∠FAC，在△EAB 和△FAC 中，∠E =∠F =90 °AE =AF ∠EAB =∠FAC，∴△EAB ≌△FAC ASA ，∴∠B =∠C ,BE =CF ,AB =AC ，∴①③都正确，在△ACN 和△ABM 中，∠B =∠CAB =AC ∠CAN =∠BAM，∴△ACN ≌△ABM ASA ，故④正确，根据已知条件无法证明②是否正确，故①③④正确，故选：A ．二、填空题6如图，在△ABC 中，AH 是高，AE ⎳BC ，AB =AE ，在AB 边上取点D ，连接DE ，DE =AC ，若S △ABC =5S △ADE ，BH =1，则BC =．【答案】2.5【分析】过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，先分别证明△ABH ≌△EAF ，Rt △ACH ≌Rt △EDF ，由此可得S △ABH =S △EAF ，S △ACH =S △EDF =S △EAF +S △ADE ，再结合S △ABC =S △ABH +S △ACH =5S △ADE 可得S △ACH S △ABH =32，由此可得CH BH=32，进而即可求得答案．【详解】解：如图，过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，∵EF ⊥AB ，AH ⊥BC ，∴∠EFA =∠AHB =∠AHC =90°，∵AE⎳BC ，∴∠EAF =∠B ，在△ABH 与△EAF 中，∠AHB =∠EFA∠B =∠EAFAB =EA∴△ABH ≌△EAF (AAS )，∴AH =EF ，S △ABH =S △EAF ，在Rt△ACH与Rt△EDF中，AH=EF AC=DE∴Rt△ACH≌Rt△EDF(HL)，∴S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，∵S△ABC=S△ABH+S△ACH=5S△ADE，∴S△ABH+S△EAF+S△ADE=5S△ADE，∴2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，解得：S△ABH=2S△ADE，∴S△ACH=5S△ADE-S△ABH=3S△ADE，∴S△ACHS△ABH=3S△ADE2S△ADE=32，∴12CH⋅AH12BH⋅AH=32，即CHBH=32，又∵BH=1，∴CH=1.5，∴BC=BH+CH=2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．7如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF=4，则FG的长是．【答案】3【分析】过点A作AH⊥BC于H，证△ABC≌△AED，得AF=AH，再证Rt△AFG≌Rt△AHG，同理Rt△ADF≌Rt△ABH，得S四边形DGBA=6，进而得到FG的长．【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示：在△ABC 和△ADE 中，BC =DE∠C =∠E CA =EA，∴△ABC ≌△AED SAS∴AD =AB ,S △ABC =S △AED ,又∵AF ⊥DE ，∴12×DE ×AF =12×BC ×AH ，∴AF =AH ，∵AF ⊥DE ,AH ⊥BC ，∴∠AFG =∠AHG =90°，在Rt △AFG 和Rt △AHG 中，AG =AG AF =AH ,∴Rt △AFG ≌Rt △AHG HL ，同理：Rt △ADF ≌Rt △ABH HL ，∴S 四边形DGBA =S 四边形AFGH =12，∵Rt △AFG ≌Rt △AHG ，∴S Rt △AFG =6,∵AF =4,∴12×FG ×4=6，解得：FG =3；故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．8如图，动点C 与线段AB 构成△ABC ，其边长满足AB =9，CA=2a +2，CB =2a -3．点D 在∠ACB 的平分线上，且∠ADC =90°，则a 的取值范围是，△ABD 的面积的最大值为．【答案】a >52454【分析】在△ABC 中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知AC +BC >AB ，代入数值即可确定a 的取值范围；延长AD 、CB交于点E ，首先利用“ASA ”证明△ACD ≌△ECD ，由全等三角形的性质可得AC =EC =2a +2，AD =ED ，进而可求得BE =5，结合三角形中线的性质易知S △ABD :S △ABE =1:2，确定△ABE 面积的最大值，即可获得答案．【详解】解：∵在△ABC 中，AC +BC >AB ，∴2a +2+2a -3>9，解得a >52；如下图，延长AD 、CB 交于点E ，∵CD 为∠ACB 的平分线，∴∠ACD =∠ECD ，在△ACD 和△ECD 中，∠ACD =∠ECDCD =CD ∠ADC =∠EDC =90°，∴△ACD ≌△ECD (ASA )，∴AC =EC =2a +2，AD =ED ，∵CB =2a -3，∴BE =2a +2-(2a -3)=5，∵AD =ED ，∴S △ABD :S △ABE =1:2，当BE ⊥AB 时，△ABE 的面积取最大值，即S △ABE max =12×9×5=452，∴S △ABD max =454．故答案为：a >52，454．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．9如图，AB =AC ，AD=AE ，∠BAC =∠DAE =40°，BD 与CE 交于点F ，连接AF ，则∠AFB 的度数为．【答案】70°/70度【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，构造全等三角形是解答本题的关键．过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，根据手拉手模型证明△BAD≌△CAE，得到∠ADM=∠AEN，然后证明△AMD≌△ANE，得到∠DAM=∠EAN，AM=AN，进一步推得∠MAN=∠DAE= 40°，再证明△AMF≌△ANF，可得∠FAM=20°，最后根据三角形内角和定理即得答案．【详解】过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，∵∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS，∴∠ADM=∠AEN，∵∠AMD=∠ANE=90°，AD=AE，∴△AMD≌△ANE AAS，∴∠DAM=∠EAN，AM=AN，∴∠DAM+∠DAN=∠EAN+∠DAN，即∠MAN=∠DAE=40°，∵∠AMF=∠ANF=90°，AM=AN，AF=AF，∴△AMF≌△ANF HL，∴∠FAM=∠FAN=1∠MAN=20°，2∴∠AFB=180°-90°-∠FAM=70°．故答案为：70°．10如图所示，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D和点E分别是AB和AC边上的动点，满足AD=CE，连接DE，点F是DE的中点，则CDAF的最大值为．【答案】5+1/1+5【分析】作EM⊥ED，且EM=ED，连DM，MC，取ME中点N，连ND、NC、NF，可根据“SAS”证明△ADE≌△CEM，可得∠ECM=90°，再设AF=1，并表示DE，EM，及CN，然后根据勾股定理求出DN，最后根据三角形的三边关系ND+NC≥DC，求出CD最大值，可得答案.【详解】解：过E作EM⊥ED，且EM=ED，连DM，MC．取ME中点N，连ND、NC、NF．∵∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠MEC=90°，∴∠ADE=∠MEC.∵AD=CE，DE=EM，∴△ADE≌△CEM，∴∠ECM=∠DAE=90°．设AF=1，∵F为DE中点，∴DE=2AF=2，∴EM=2.∵N为EM中点，∴CN=EN=1．∴DN=DE2+EN2= 5.∵ND+NC≥DC，∴CD最大值5+1，=5+1.∴CDAF故答案为：5+1.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，根据三角形的三边关系求最大值，作出辅助线是解题的关键．三、解答题11数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题：如图1：在△ABC中，AB=3，AC=5，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题初探】：第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长AD至E．使得DE=AD，连接BE．利用三角形全等将线段AC转移到线段BE，这样就把线段AB，AC，2AD集中到△ABE中．利用三角形三边的关系即可得到中线AD的取值范围，第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，利用三角形全等将线段AC转移到BF，同样就把线段AB，AC，2AD集中到△ABF中，利用三角形三边的关系即可得到中线AD的取值范围．(1)请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程【方法感悟】当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题【类比分析】(2)如图4：在△ABC中，∠B=90°，AB=6，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=10且∠ADE=90°．求AE的长度．【思维拓展】(3)如图5：在△ABC中，AF⊥BC于点F在AB右侧作AD⊥AB，且AD=AB，在AC的左侧作AE⊥AC，且AE=AC，连接DE，延长AF交DE于点O，证明O为DE中点．【答案】(1)见解析(2)16(3)见解析【分析】(1)选择第一个小组的解题思路：延长AD到点E，使DE=AD，证明△ADC≌△EDB(SAS)，得到BE=AC=10，再根据在△ABE中，5-3<AE<5+3，即2<2AD<8，求解即可；选择第二个小组的解题思路：过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，先证明△BDF≌△CDA (AAS)，得到DF=AD，BF=AC=5，则2AD=AF，再根据在△ABF中，5-3<AF<5+3，即2<2AD<8，求解即可；(2)延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，先证明△ABD≌△FCD SAS，得到∠FCD=∠ABD=90°，CF=AB=6，再证明E、C、F三点共线，得到EF=EC+CF=10+6=16，然后证明△ADE≌△FDE SAS，得到AE=EF=16解决问题；(3)过点E作EM∥AD交AD延长线于M，先证明△AEM≌△CAB AAS，得到EM=AB，再证明△AOD≌△MOE AAS，得到OD=OE，即可得出结论．【详解】解：(1)选择第一个小组的解题思路：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE=AC=10，△ABE中，5-3<AE<5+3，∴2<2AD<8，∴1<AD<4；选择第二个小组的解题思路：如图3，过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵BF∥AC，∴∠FBD=∠C，∠F=∠CAD，∴△BDF≌△CDA(AAS)，∴DF=AD，BF=AC=5，∴2AD=AF，在△ABF中，5-3<AF<5+3，∴2<2AD<8，(2)延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，如图4，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADB=∠FDC，DF=AD，∴△ABD≌△FCD SAS，∴∠FCD=∠ABD=90°，CF=AB=6，∵CE⊥BC，∴∠BCD=90°，∴∠FCD+∠ECD=180°，∴E、C、F三点共线，∴EF=EC+CF=10+6=16，∵∠ADE=90°，∴∠FDE=∠ADE=90°，∵DE=DE，AD=DF，∴△ADE≌△FDE SAS，∴AE=EF=16；(3)证明：过点E作EM∥AD交AD延长线于M，如图4，∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠3+∠2+∠CAD=∠3+∠2+∠BAE=90°，∴∠CAD=∠BAE，又∵AF⊥BC，∴∠3+∠2+∠CAD=∠3+∠BAE+∠B=90°，∴∠2=∠B，∵EM∥AD，∴∠2=∠M，∴∠B=∠M，∵AE⊥AC，AF⊥BC，∴∠3+∠CAM=∠C+∠CAM=90°，∴∠3=∠C，∵AE=AC，∴△AEM≌△CAB AAS，∵AB =AD ，∴EM =AD ，∵∠2=∠M ，∠AOD =∠EOM ，∴△AOD ≌△MOE AAS ，∴OD =OE ，∴O 为DE 中点．【点睛】本题考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握倍长中线，构造出“平行八字型”全等三角形是解题的关键．12已知，在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，∠ABC =∠ACB =45°，点D 是线段BC 上一点，点D 不与点B ，点C 重合，连接AD ，以AD 为一边作△ADE ，AD =AE ，∠DAE =90°，且点E 与点D 在直线AC 两侧，DE 与AC 交于点H ，连接CE ．(1)如图1，求证：△ABD ≌△ACE ．(2)如图2，在CE 的延长线上取一点F ，当∠AEF =∠AFE 时，求证：CD =CF ．(3)过点A 作直线CE 的垂线，垂足为G ，当CD =6EG 时，直接写出△CDH 与△CEH 的面积比．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)32或34【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及SAS 、AAS 以及HL 等判定方法，(1)利用“SAS ”证明△ABD ≌△ACE 即可作答；(2)结合(1)的结论，再利用“AAS ”证明△ACD ≌△ACF 即可作答；(3)分类讨论，第一种情况：点G 在点E 的下方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，先证明△AOC ≌△AGC ，即有AO =AG ，CO =CG ，同理可证明：MH =NH ，再证明Rt △AOD ≌Rt △AGE HL ，可得OD =GE ，问题即可作答；第二种情况：点G 在点E 的上方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，按照第一种情况作答即可．【详解】(1)∵∠DAE =90°，∠BAC =90°，∴∠DAE -∠DAH =∠BAC -∠DAH ，∴∠CAE =∠BAD ，又∵AB =AC ，AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE SAS ；(2)∵△ABD ≌△ACE SAS ，∴∠ADB =∠AEC ，∠ABD =∠ACE =45°，∴180°-∠ADB =180°-∠AEC ，∠ACB =∠ACE =45°，∴∠ADC =∠AEF ，∵∠AEF =∠AFE ，∴∠ADC =∠AFE ，在△ACD 和△ACF 中，∴∠ACD =∠ACF∠ADC =∠AFC AC =AC，∴△ACD ≌△ACF AAS ，∴CD =CF ；(3)分类讨论：第一种情况：点G 在点E 的下方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，如图，∵AO ⊥BC ，AG ⊥CE∴∠AOC =∠AGC =90°，又∵∠ACB =∠ACE =45°，AC =AC ，∴△AOC ≌△AGC ，∴AO =AG ，CO =CG ，同理可证明：MH =NH ，又∵AD =AE ，∴Rt △AOD ≌Rt △AGE HL ，∴OD =GE ，∵CD =6EG ，∴CO =CD -OD =5EG ，∴CG =CO =5EG ，∴CE =CG -EG =4EG ，∵S △CHD =12×CD ×MH ，S△CHE =12×CE ×NH ，MH =NH ，∴S △CHD S △CHE =12×CD ×MH 12×CE ×NH =CD ×MH CE ×NH ，∵CD =6EG ，CE =4EG ，MH =NH ，∴S △CHD S △CHE =CD ×MH CE ×NH=32；第二种情况：点G 在点E 的上方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，如图，同理可得：OD =GE ，OC =CG ，MH =NH ，∵CD =6EG ，∴CO =CD +OD =7EG ，∴CG =CO =7EG ，∴CE =CG +EG =8EG ，∴S △CHD S △CHE =CD ×MH CE ×NH=34；综上：△CDH 与△CEH 的面积比为32或者34．13如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABC 的边BC 在x 轴上，A 、C 两点的坐标分别为A (0,m ),C (n ,0)，B (-5,0)，且m ，n 满足方程组m +2n =103m -n =9 ，点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．(1)求A 、C 两点的坐标；(2)连接P A ，用含t 的代数式表示△AOP 的面积，并直接写出t 的取值范围；(3)当点P 在线段BO 上运动时，在y 轴上是否存在点Q ，使△POQ 与△AOC 全等？若存在，请求出t 的值并直接写出Q 点标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A (0,4)，C (3,0)；(2)0≤t <52，S △AOP =10-4t ；t >52，S △AOP =4t -10．(3)存在，Q (0,3)或(0,-3)或Q (0,4)或(0,-4)．【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，二元一次方程组的解法，坐标与图形性质等知识点的综合运用，关键是利用分类讨论求出符合条件的所有情况．(1)解二元一次方程组求出m ，n 的值即可；(2)分为两种情况：当0≤t <52时,P 在线段OB 上,②当t >52时,P 在射线OC 上,求出OP 和OA ,根据三角形的面积公式求出即可；(3)分为四种情况：①当BP =1,OQ =3时,②当BP =2,OQ =4时,③④利用图形的对称性直接写出其余的点的坐标即可.【详解】(1)解方程组m +2n =103m -n =9 得m =4n =3 ，∴ A 的坐标是0,4 ,C 的坐标是3,0 ；(2)由已知，BP =2t ，OB =5．①0≤t <52，P 在线段OB 上．OP =OB -BP =5-2tS △AOP =12×OP ×OA 2=12×(5-2t )×4=10-4t ．②t >52，P 在射线OC 上，OP =BP -OP =2t -5S △AOP =12×OA ×OP =12×4×(2t -5)=4t -10(3)在y 轴上存在点Q ，使△AOC 与△POQ 全等．①△POQ ≌△AOC 时，OQ =OC =3．OP =OA =4．t =5-42=12,Q (0,3)或Q (0,-3)②△POQ ≌△COA 时，OQ =OA =4,OP =OC =3．t =5-32=1 Q (0,4)或(0,-4)t =12，Q (0,3)或(0,-3)；t =1，Q (0,4)或(0,-4)；综上所述，t =12，Q (0,3)或(0,-3)；t =1，Q (0,4)或(0,-4)．14某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．如图1，①分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径在AB 两侧画弧，四段弧分别交于点C ，点D ；②连接AC ，BC ，AD ，作射线BD ；③以D 为圆心，BD 的长为半径画弧，交射线BD 于点E ；④连接CE ，交于AB 点F ．点F 即为AB 的一个三等分点(即AF =13AB )．学习任务：(1)填空：四边形ADBC的形状是，你的依据是；(2)证明：AF=13AB；(3)如图2，若CE交AD于点H，∠CAD=60°，AC=6，将CH绕着点C旋转，当点H的对应点H 落在直线FD上时，求DH 的长．【答案】(1)菱形；四条边相等的四边形为菱形(2)见解析(3)DH′的长为33+32或33-32【分析】本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，善于利用特殊叫以及直角三角形中的关系是解题的关键．(1)根据菱形的性质判定即可．(2)证明△AFC∽△BFE，得出AFFB =ACBE，再根据线段关系即可求出．(3)利用菱形及已知条件推出相关信息，证明△ACD为等边三角形，再根据AAS证明△AHC≌△DHE，求得CH ;然后证明△AKF∽△BDF，根据相似三角形的性质得出AK、CK；最后用勾股定理解三角形即可．CH绕着点C旋转，点H的对应点H 需要分情况讨论．【详解】(1)解：由图的作法可知：AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC的形状是菱形，依据是：四条边相等的四边形为菱形．故答案为：菱形；四条边相等的四边形为菱形；(2)证明：∵四边形ADBC的形状是菱形，∴AC∥BE，∴△AFC∽△BFE，∴AF FB =ACBE．∵AC=BD，BD=DE，∴BE=2AC，∴AF FB =12，∴FB=2AF，∴AB=3AF．∴AF=13AB．(3)解：①当点H 在线段FD上时，连接CD，如图，∵AC=AD，∠CAD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD=AD=6，∠ADC=60°．∵AC∥BE∴∠ACF =∠DEC ．在△AHC 和△DHE 中，∠AHC =∠DHE∠ACE =∠DEC AC =DE，∴△AHC ≌△DHE AAS ，∴AH =HD =3，∵△ACD 为等边三角形，∴CH ⊥AD ，∠ACH =∠DCH =30°，∴CH =33．∴CH =CH =33．设FD 与AC 交于点K ，∵AC ∥BE ，∴△AKF ∽△BDF ，∴AK BD =AF FB=12．同理：CK ED =AF FB=12，∴AK BD =CK ED．∵BD =ED ，∴AK =CK =3，∴HK ⊥AC ，∠CDK =12∠ADC =30°．∴H K =CH 2-CK 2=32，DK =33．∴DH =DK -H K =33-32．②当点H 在射线FD 上时，连接CD ，如图，由①知CH =CH =33，HK ⊥AC ，AK =KC =3，∴DK =AD 2-AK 2=33，∴H K =CH 2-CK 2=32．∴DH =H K +DK =33+32．综上，DH 的长为33+32或33-32．15(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE =BD +CE ．(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线l 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．【答案】(1)见解析；(2)DE =BD +CE ，见解析；(3)见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD =AE 、CE =AD 是解题的关键．(1)由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；(2)由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得出结论；(3)由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】解：(1)如图1，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠BDA =∠CEA AB =AC，∴△ABD ≌△CAE AAS ，∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ；(2)成立，理由如下：如图，证明如下：∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中．∠BDA =∠AEC∠DBA =∠CAE AB =AC．∴△ABD ≌△CAE AAS∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ；(3)如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N ．∴∠EMI =∠EMA =∠GNA =90°，∠BAE =90°，∴∠EAM +BAH =90°，∵AH 是BC 边上的高，∴∠AHB =90°，∴∠BAH +∠ABH =90°，∴∠ABH =EAM ，∵AE =AB ，∴△ABH ≌△EAM ，∴EM =AH ，同理△ACH ≌△GAN ，∴AH =GN ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，∠EIM =∠GIN∠EMI =∠GNI EM =GN，∴△EMI ≌△GNI AAS ，∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．16如图，在△ABC 中，BC =5，高AD 、BE 相交于点O ，BD =2，且AE =BE．(1)请说明△AOE ≌△BCE 的理由；(2)动点P 从点O 出发，沿线段OA 以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，动点Q 从点B 出发沿射线BC 以每秒4个单位长度的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达A 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t 秒，求当t 为何值时，△AOQ 的面积为3．(3)在(2)的条件下，点F 是直线AC 上的一点且CF =BO ．当t 为何值时，以点B 、O 、P 为顶点的三角形与以点F 、C 、Q 为顶点的三角形全等？(请直接写出符合条件的t 值)．【答案】(1)见解析(2)当t 为15或45时，△AOQ 的面积为3(3)t =1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，(1)首先推导出∠EAO =∠EBC ，通过ASA 即可证明△AOE ≌△BCE ；(2)分两种情形讨论求解即可①当点Q 在线段BD 上时，QD =2-4t ,②当点Q 在射线DC 上时，DQ =4t -2时；依据三角形面积计算公式解答即可；(3)分两种情形求解即可①如图2中，当OP =CQ 时，BOP ≌△FCQ ．②如图3中，当OP =CQ 时，△BOP ≌△FCQ ．【详解】(1)如图1中，∵AD 是高，∴∠ADC =90°，∵BE 是高，∴∠AEB =∠BEC =90°，∴∠EAO +∠ACD =90°，∠EBC +∠ECB =90°，∴∠EAO =∠EBC ，在△AOE 和△BCE 中，∠EAO =∠EBCAE =BE ∠AEO=∠BEC，∴△AOE ≌△BCE ASA ，(2)解：由(1)知△AOE ≌△BCE ，∴OA =BC =5，∵BD =2，∴CD =3，由题意OP =t ,BQ =4t ,①当点Q 在线段BD 上时，QD =2-4t ,∴S △AOQ =12OA ⋅QD =12×5×2-4t =3，解得：t =15；②当点Q 在BD 延长线上时，DQ =4t -2，∴S △AOQ =12OA ⋅DQ =12×5×4t -2 =3，解得：t =45，综上，当t 为15或45时，△AOQ 的面积为3；(3)存在．①如图2中，当OP =CQ 时，∵OB =CF ，∠POB =∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ =OP ，∴5-4t =t ，解得t =1，②如图3中，当OP =CQ 时，∵OB =CF ，∠POB =∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ =OP ，∴4t -5=t ，解得t =53．综上所述，t =1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等．17如图1，在△ABC 中，BD 为AC 边上的高，BF 是∠ABD 的角平分线，点E 为AF 上一点，连接AE ，∠AEF =45°．(1)求证：AE平分∠BAF(2)如图2，连接CE交BD于点G，若△BAE与△CAE的面积相等，求证：BG=CF【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．(1)根据BF是∠ABD的角平分线和，BD为AC边上的高，可得12∠BAD=45°-12∠ABD，由∠AEF=45°得∠BAE=45°-∠ABE=45°-12∠ABD，即可证明∠BAE=12∠BAD；(2)过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，由角平分线性质可以得EM=EN，由△BAE与△CAE的面积相等可得AB=AC，证明△ABE≌△ACE(SAS)，得出∠AEB=∠CEB=135°，BE=EC，即可得出∠BEG=∠CEF=360°-∠AEB-∠AEC=90°，再根据垂直模型证明△BEG≌△CEF(ASA)，即可得出结论．【详解】(1)证明：∵BD为AC边上的高，即∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴12(∠ABD+∠BAD)=45°，∴1 2∠BAD=45°-12∠ABD∵∠AEF=∠ABF+∠BAE=45°，∴∠BAE=45°-∠ABF，∵∠ABF=12∠ABD，∴∠BAE=45°-12∠ABD，∴∠BAE=12∠BAF，即：AE平分∠BAF．(2)过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，∵AE平分∠BAC，且EM⊥AB，EN⊥AC，∴EM=EN．∵S△ABE=S△ACE，∴AB=AC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，AB=BC∠BAE=∠CAE AE=AE∴△ABE≌△ACE(SAS)，∴∠AEB=∠CEB，BE=EC，∵∠AEF=45°，∴∠AEB=∠AEC=135°，∴∠BEG=∠CEF=360°-∠AEB-∠AEC=90°，∵BD为AC边上的高，∴∠ADB=90°，∴∠FBD+∠BFC=∠BFC+∠FCE，∴∠EBG=∠ECF．在△BEG和△CEF中，∠BEG=∠CEF BE=CE∠EBG=∠ECF∴△BEG≌△CEF(ASA)．∴BG=CF .18如图，已知A a，0,B0,b，AB=AC且AB⊥AC，AC交y轴于E点．(1)如图1，若a2+b2-4a-8b+20=0，求C点坐标；(2)如图2，A，B两点分别在x轴，y轴正半轴上，E为AC的中点，BC交x轴于G点，连EG，若a=3，求G点的坐标；(3)如图3，A在x轴的负半轴上，以BC为边在BC的右侧作等边△BCD，连OD，当∠BOD=60°时，请探究线段OA、OB、OD之间的数量关系，并证明．【答案】(1)(-2,-2)(2)(-2,0)(3)OD=OB+2OA【分析】(1)利用完全平方公式将等式变形为两个数平方和的形式，即可求出a=2，b=4，如图1中，过点C作CH ⊥x轴于点H，证明△AHC≌△BOA，可得CH=OA=2，AH=OB=4，即可得到点C坐标．(2)根据(1)可得CH=OA=a，AH=OB=b，再由a=3，E为AC的中点，可得点C(-3,-3)，AH=OB=6，再利用面积法求出AG =5，即可解题；(3)过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，在OD 上取一点M ，使得OM =OB ，证明△OBM 是等边三角形，进而证明△MBD ≌△OBC ，得∠BMD =∠BOC =120°，MD =OC ，再证明∠COH =30°，得OC =2CH =2OA ，即可得出OD =OB +2OA ．【详解】(1)解：∵a 2+b 2-4a -8b +20=0，∴(a 2-4a +4)+(b 2-8b +16)=0，即(a -2)2+(b -4)2=0，∴a =2，b =4，∴A 2,0 ，B 0,4如图1中，过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，∵∠AHC =∠BOA =∠BAC =90°，∴∠CAH +∠BAO =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CAH =∠ABO ，在△AHC 和△BOA 中，∠AHC =∠BOA∠CAH =∠ABO AC =BA，∴△AHC ≌△BOA (AAS )，∴CH =OA =2，AH =OB =4，∴OH =AH -OA =4-2=2∴点C 坐标为(-2,-2)；(2)如图2，同理(1)可证明：CH =OA =a ，AH =OB =b ，∵a =3，E 为AC 的中点，OE 平行于CH ，∴OA =OH =3，CH =3，∴点C (-3,-3)，AH =OB =6，AB =AC =OA 2+OB 2=62+32=35，∵S △ABC =S △AGC +S △AGB ，即12×35×35=12×3⋅AG +12×6⋅AG ，∴AG =5，∴GO =AG -OA =5-3=2，∴点G 坐标为(-2,0)；(3)结论：OD =OB +2OA ，如图3，过点C 作CH⊥x轴于点H ，同理可得：CH =OA ，AH =OB ，在OD 上取一点M ，使得OM =OB ，∵OM =OB ，∠BOD =60°，∴△OBM 是等边三角形，∴BO =BM ，∠OMB =60°，∴∠BMD =120°，∵△BCD 是等边三角形，∴BC =BD ，∠CBD =∠OBM =60°，∴∠DBM =∠CBO ，在△MBD 和△OBC 中，BM =OB∠DBM =∠CBO BD =BC，∴△MBD ≌△OBC (SAS )，∴∠BMD =∠BOC =120°，MD =OC ，∴∠COH =120°-90°=30°，∵CH ⊥x 轴，∴OC =2CH =2OA ，∵OD =OM +MD ，∴OD =OB +OC =OB +2OA【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．19已知△ABC 为等边三角形，D 是边AC 上的一点，连接BD ，E 为BD 上的一点，连接CE．(1)如图1，延长CE 交AB 于点G ．若∠DCG =15°，BG =2，求BC 的长；(2)如图2，将△BEC 绕点B 逆时针旋转60°至△BFA ，延长CB 至点M ，使得BM =DC ，连接AM 交BF 于点N ，探究线段FN ，DE ，BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在(2)问的条件下，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点B 作BK ∥AH 且BK =AH ，连接HK ，NK ，NH ，NC ．若BC =4，当12BD +NK 的值最小时，请直接写出CD NH的值．【答案】(1)1+3(2)2FN +DE =BE ．理由见解析(3)277【分析】(1)作CF⊥BC，解直角三角形BFG求得BF和FG，进而解直角三角形CFG求得CF，从而得出结果；(2)延长BF至G，使FG=DE，连接AG，作BH∥AF，交BF于H，证明△ABG≌△CBD，进而证明△ANG≌ΔMNB，△AFN≌△MHN，△BMH≌△DCE，进一步得出结论；BD+NK最小，此时BG⊥AG，即BD⊥AC，进一步得出(3)可得出当K、N、G共线且与AG垂直时，12结果．【详解】(1)解：如图1，作CF⊥BC于F，∴∠CFG=∠BFG=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，在Rt△BFG中，BG=2，∠ABC=60°，=1，∴BF=2cos60°=2×12=3，FG=2⋅sin60°=2×32在Rt△CFG中，FG=3，∠FCG=∠ACB-∠ACG=60°-15°=45°，∴CF=FG=3，tan∠FCG∴BC=BF+FC=1+3；(2)证明：如图2，延长BF至G，使FG=DE，连接AG，作BH∥AF，交BF于H，∴∠MHN=∠AFN，∠NMH=∠FAN，∴∠MHB=∠AFG∵△BEC绕点B逆时针旋转60°至△BFA，∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，AB=BC，∴BG=BD，∴△ABG≌△CBD，∴AG=CD=BM，∠G=∠BDC=180°-∠CBE-∠ACB=120°-∠CBE，∵∠MBN=180°-∠ABC-∠ABF=120°-∠CBE，∴∠G=∠MBN，∴△ANG≌△MNB，∴AN=MN，∴△AFN≌△MHN，∴FN=NH，∵△ANG ≌△MNB ，∴NG =BN ，∵FN =NH ，∴BH =FG ，∵FG =DE∴BH =DE ，∵旋转，∴CE =AF ，∵△AFN ≌△MHN ，∴AF =MH ，∴MH =CE ，∵CD =BM ，∴△BMH ≌△DCE ，∴BH =DE ，∵FN +NH +BH =BF ，∴2FN +DE =BE ；(3)解：如图3，由(2)知：BD =BG =2BN ，∴12BD +NK =GN +NK ，∴当K 、N 、G 共线且与AG 垂直时，12BD +NK 最小，此时BG ⊥AG ，即BD ⊥AC ，如图4，连接NH ，∵AC =BC =4，∴CD =BH =2，BD =32BC =23，BN =GN =12BG =12BD =3，∵NH =BH 2+BN 2=2+(3)2=7，∴CD NH=277．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．。
全等三角形中的常见解题模型-七年级数学下册专题(北师大版)
专题07 模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型▲▼类型一 四边形中构造全等三角形解题【例题】（2021·天津·耀华中学八年级期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CB ，AD ＝CD ．求证∠C ＝∠A ．【答案】见解析【解析】【分析】先连接BD ，由AB ＝CB 、AD ＝CD 、BD=BD 可证∠ABD ∠∠CBD ，即可证得结论．【详解】证明：如图：连接BD ，∠在∠ABD 和∠CBD 中，AB BC AD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ABD ∠∠CBD ，∠∠C ＝∠A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、灵活运用SSS 证明三角形全等是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC ，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC ，证明∠ACE ∠∠ACF ，则S △ACE ＝S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE 求解即可；（2）由∠ACE ∠∠ACF 可得∠FCA ＝∠ECA ，∠F AC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠F AC ＋∠ECA ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠ECF ．可得∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC(1)解：连接AC，如图，在∠ACE和∠ACF中AE AF CE CF AC AC=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ACE ∠∠ACF（SSS）．∠S△ACE＝S△ACF，∠F AC＝∠EAC．∠CB∠AB，CD∠AD，∠CD＝CB＝6．∠S△ACF＝S△ACE＝12AE·CB＝12×8×6＝24．∠S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∠∠ACE ∠∠ACF，∠∠FCA＝∠ECA，∠F AC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∠∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∠∠DFC＝∠BEC．∠∠DFC＝∠FCA＋∠F AC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∠∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠F AC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∠∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．▲▼类型二 一线三等角模型【例题】（2021·湖北·黄石八中八年级阶段练习）如图，D ，A ，E 三点都在一条直线上，且∠BDA =∠AEC =∠BAC ，AB =AC ，求BD ，CE ，DE 之间的数量关系．【答案】DE =CE +BD ．【解析】【分析】由“AAS ”可证∠ABD ∠∠CAE ，可得AD =CE ，BD =AE ，可得结论．【详解】解：DE =CE +BD ．理由如下：∠∠BAE =∠D +∠ABD =∠BAC +∠CAE ，且∠ADB =∠AEC =∠BAC ，∠∠ABD =∠CAE ，在∠ABD 和∠CAE 中，ABD CAE ADB CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠CAE （AAS ），∠AD =CE ，BD =AE ，∠DE=AD+AE，∠DE=CE+BD．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练运用全等三角形的性质和判定解决问题是本题的关键．【变式训练】1．（2021·江苏泰州·七年级期末）如图，在∠ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（D 不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝120°时，∠EDC＝；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，∠ABD∠∠DCE，请说明理由．【答案】（1）10°，小；（2）当DC等于4时，∠ABD∠∠DCE，证明见解析．【解析】【分析】（1）利用平角的定义计算∠EDC的度数，几何图形可判断点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；（2）先证明∠CDE＝∠BAD，而∠B＝∠C，则CD＝BA＝4时，可根据“ASA”判定∠ABD∠∠DCE．【详解】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE＝180°﹣120°﹣50°＝10°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为10°，小；（2）当DC等于4时，∠ABD∠∠DCE．理由如下：∠∠ADC＝∠B+∠BAD，即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，而∠B＝∠ADE＝50°，∠∠CDE＝∠BAD，在∠ABD和∠DCE中，BA CDCDE BAD ⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABD ∠∠DCE （ASA ）．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解答此题的关键．2．（2022·甘肃武威·八年级期末）（1）如图1，已知ABC 中，BAC ∠=90°，AB AC =，直线m 经过点,A BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点,D E ．求证：DE BD CE =+．证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，,,,AB AC D A E =三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．请写出,,DE BD CE 三条线段的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）DE BD CE =+，证明见解析【解析】【分析】（1）利用已知得出∠CAE =∠ABD ，进而利用AAS 得出则∠ABD ∠∠CAE ，即可得出DE =BD +CE ；（2）根据∠BDA =∠AEC =∠BAC ，得出∠CAE =∠ABD ，在∠ADB 和∠CEA 中，根据AAS 证出∠ADB ∠∠CEA ，从而得出AE =BD ，AD =CE ，即可证出DE =BD +CE ；【详解】（1）DE =BD +CE ．理由如下：如图1，∠BD ∠m ，CE ∠m ，∠∠BDA =∠AEC =90°又∠∠BAC =90°，∠∠BAD +∠CAE =90°，∠BAD +∠ABD =90°，∠∠CAE =∠ABD在△ABD 和△CAE 中，90ADB CEA AB AC ⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠ABD ∠∠CAE （AAS ）∠BD =AE ，AD =CE ，∠DE =AD +AE ，∠DE =CE +BD ；（2）DE BD CE =+，理由如下：如图2，∠∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∠∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE ，∠∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE ADB CEA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ），∠AE =BD ，AD =CE ，∠BD +CE =AE +AD =DE ；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．3．（2021·全国·八年级专题练习）如图1，ABC 中，A ABC CB =∠∠．点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点，BE CF =．（1）若DEF ABC ∠=∠，求证：DE EF =；（2）若2180A DEF ∠+∠=︒，9BC =，2EC BE =，求BD 的长：（3）把（1）中的条件和结论反过来，即：若DE EF =，则DEF ABC ∠=∠；这个命题是否成立?若成立，请证明：若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）6BD =；（3）成立，见解析【解析】【分析】(1)证明DBE ECF ≌即可；(2)求出6EC =，由已知2180A DEF ∠+∠=︒及三角形内角和定理2180A ABC ∠+∠=︒得到DEF ABC ACB ∠=∠=∠，进而证明DBE ECF ≌，即可得到6BD CE ==；(3)过点E 、F 分别作EM AB ⊥于点M ，FN BC ⊥于点N ，证明MBE NCF △≌△，得到ME FN =，再结合条件DE EF =可以证明Rt Rt DME ENF △≌△，进而得到MDE NEF ∠=∠即可求解．【详解】解：(1)如图1所示：由三角形的外角定理可知：DEC ABC BDE ∠=∠+∠，且DEC DEF CEF ∠=∠+∠，DEF ABC ∠=∠，BDE CEF ∴∠=∠，在DBE ∆和ECF ∆中，DBC ECF BDE CEF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DBE ECF AAS ≌∴∆∆，DE EF ∴=；(2)9BC =，2EC BE =，6EC ∴=，在ABC ∆中，由三角形内角和定理可知：180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，且A ABC CB =∠∠．2180A ABC ∴∠+∠=︒又2180A DEF ∠+∠=︒，DEF ABC ACB ∴∠=∠=∠，同(1)可知：DBE ECF ≌，6BD CE ∴==；(3)成立，理由如下：过点E 、F 分别作EM AB ⊥于点M ，FN BC ⊥于点N ，如图2所示：EM AB ⊥，FN BC ⊥，90BME CNF ∴∠=∠=︒，又ABC ACB ∠=∠，在MBE △和NCF △中，MBE CNF BMB CNF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()MBE NCF AAS ∴△≌△．ME FN ∴=，又DE EF =，Rt Rt (HL)DME ENF ∴△≌△，MDE NEF ∴∠=∠，又DEC DEF CEF ∠=∠+∠，DEC MDE ABC ∠=∠+∠．DEF ABC ∴∠=∠．即若DE EF =，则DEF ABC ∠=∠此命题成立．【点睛】本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形．▲▼类型三三垂直模型【例题】（2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中）如图，在∠ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE ∠CE于点E，AD ∠CE于点D．（1）求证：△BCE ∠∠CAD；（2）若AD =12，BE =5，求ED的长．【答案】（1）见解析；（2）ED的长为7．【解析】【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可；（2）根据全等三角形的性质得到AD=CE=12，CD=BE=5，从而求得ED的长．【详解】解：（1）证明：∠BE ∠CE于点E，AD ∠CE于点D，∠∠CEB=∠ADC=90°，∠∠ACD+∠CAD=90°，∠∠ACB = 90°，∠∠ACD+∠BCE=90°，∠∠CAD=∠BCE，又∠AC = BC，∠BCE∠CAD；（2）由（1）知，BCE∠CAD，∠BE=CD，CE=AD，∠AD =12，BE =5，∠CE=12，CD=5，∠ED=CE－CD=12－5=7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2021·天津·八年级期中）在∠BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD∠AE于点D，CE∠AE于E．(1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝；(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；(3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．【答案】(1)BD﹣EC(2)BD＝DE﹣CE．见解析(3)当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．【解析】【分析】（1）通过互余关系可得∠ABD ＝∠CAE ，进而证明∠ABD ∠∠ACE （AAS ），即可求得BD ＝AE ，AD ＝EC ，进而即可求得关系式；（2）方法同（1）证明∠ABD ∠∠CAE （AAS ），进而得出结论；（3）综合（1）（2）结论，分当B ，C 在AE 的同侧或异侧时，写出结论即可．(1)结论：DE ＝BD ﹣EC ．理由：如图1中，∠BD ∠AE ，CE ∠AE ，∠∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∠∠ABD +∠BAD ＝90°，又∠∠BAC ＝90°，∠∠EAC +∠BAD ＝90°，∠∠ABD ＝∠CAE ，在∠ABD 与∠ACE 中，ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAD ∠∠ACE （AAS ），∠BD ＝AE ，AD ＝EC ，∠BD ＝DE +CE ，即DE ＝BD ﹣EC ．故答案为：BD ﹣EC ；(2)结论：BD ＝DE ﹣CE ．理由：如图2中，∠BD ∠AE ，CE ∠AE ，∠∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∠∠ABD +∠BAD ＝90°，又∠∠BAC ＝90°，∠∠EAC +∠BAD ＝90°，∠∠ABD ＝∠CAE ，在∠ABD 与∠CAE 中，ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠CAE （AAS ），∠BD ＝AE ，AD ＝EC ，∠BD ＝DE ﹣CE ；(3)归纳：由（1）（2）可知：当B ，C 在AE 的同侧时，BD ＝DE ﹣CE ；当B ，C 在AE 的异侧时，BD ＝DE +CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2022·江西·余干县第三中学九年级期末）如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ∠MN 于点D ，BE ∠MN 于点E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①∠ADC ∠∠CEB ；②DE ＝AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到如图2所示的位置时，求证：DE ＝AD ﹣BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①见解析，②见解析(2)见解析(3)DE BE AD =-，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ACB ∠=︒，得出CAD BCE ∠=∠，再根据AAS 即可判定ADC CEB ∆≅∆；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE AD =，CD BE =，进而得到DE CE CD AD BE =+=+； （2）先根据AD MN ⊥，BE MN ⊥，得到90ADC CEB ACB ∠=∠=∠=︒，进而得出CAD BCE ∠=∠，再根据AAS 即可判定ADC CEB ∆≅∆，进而得到CE AD =，CD BE =，最后得出DE CE CD AD BE =-=-；（3）运用（2）中的方法即可得出DE ，AD ，BE 之间的等量关系是：DE BE AD =-．(1)解：①AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ADC ACB CEB ∴∠=∠=︒=∠，90CAD ACD ∴∠+∠=︒，90BCE ACD ∠+∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ADC ∆和CEB ∆中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADC CEB AAS ∴∆≅∆；②ADC CEB ∆≅∆，CE AD ∴=，CD BE =，DE CE CD AD BE ∴=+=+；(2)解：证明：AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ADC CEB ACB ∴∠=∠=∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ADC ∆和CEB ∆中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADC CEB AAS ∴∆≅∆；CE AD ∴=，CD BE =，DE CE CD AD BE ∴=-=-；(3)解：当MN 旋转到题图（3）的位置时，AD ，DE ，BE 所满足的等量关系是：DE BE AD =-．理由如下：AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ADC CEB ACB ∴∠=∠=∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ADC ∆和CEB ∆中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADC CEB AAS ∴∆≅∆，CE AD ∴=，CD BE =，DE CD CE BE AD ∴=-=-．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论．3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF ，E 、F 为垂足．（1）当直线l 不与底边AB 相交时，①求证：∠EAC ＝∠BCF ．②猜想EF 、AE 、BF 的数量关系并证明．（2）将直线l 绕点C 顺时针旋转，使l 与底边AB 交于点D （D 不与AB 点重合），请你探究直线l ，EF 、AE 、BF 之间的关系．（直接写出）【答案】（1）①证明见解析，②EF ＝AE +BF ；证明见解析；（2）AE ＝BF +EF 或BF ＝AE +EF ．【解析】【分析】（1）①根据∠AEC ＝∠BFC ＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC ＝∠FCB 即可；②根据AAS 证△EAC ≌△FCB ，推出CE ＝BF ，AE ＝CF 即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．【详解】（1）证明：①∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF ，∠ACB ＝90°，∴∠AEC ＝∠BFC ＝∠ACB ＝90°，∴∠EAC +∠ECA ＝90°，∠ECA +∠FCB ＝90°，∴∠EAC ＝∠FCB ，②EF ＝AE +BF ；证明：在△EAC 和△FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△FCB （AAS ），∴CE ＝BF ，AE ＝CF ，∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF ，即EF ＝AE +BF ；（2）①当AD ＞BD 时，如图①，∵∠ACB ＝90°，AE ⊥l 直线，同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角），又∵AC ＝BC ，BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°，∴△ACE ≌△CBF （AAS ），∴CF ＝AE ，CE ＝BF ，∵CF ＝CE +EF ＝BF +EF ，∴AE ＝BF +EF ；②当AD ＜BD 时，如图②，∵∠ACB ＝90°，BF ⊥l 直线，同理可证∠CBF ＝∠ACE （同为∠BCD 的余角），又∵AC ＝BC ，BE ⊥l 直线，即∠AEC ＝∠BFC ＝90°．∴△ACE ≌△CBF （AAS ），∴CF＝AE，BF＝CE，∵CE＝CF+EF＝AE+EF，∴BF＝AE+EF．【点睛】本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．。
三角形全等基本模型
常见三角形全等模型
公共线段模型
例1如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC∥BD且AC=BD，求证：CF=DE.
练习1已知：如图，点B、D在线段AE上，AF=DC，AB∥ED，∠B=∠E.求证：BC=DF.
公共角（对顶角）模型
例2如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED
的延长线于点F.求证：△BDE≌△CDF.
练习2如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE.求证：BD=CE.
角平分线模型
例3如图，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°.求证：BD=CD.
练习3如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF=∠BAE.
求证：AF=BC+FC.
三垂直模型
例4如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上的一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若CE=BF，AE=EF+BF，试判断AC与BC的位置关系，并说明理由.
手拉手模型
例5如图，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由.。
专题 全等三角形六种基本模型(学生版)
专题全等三角形六种基本模型通用的解题思路：模型一：一线三等角模型一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
或叫“K字模型”。
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型--旋转型全等一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；题型三：倍长中线模型构造全等三角形倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
常用于构造全等三角形。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明) (注：一般都是原题已经有中线时用)。
三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD题型四：平行线+线段中点构造全等模型题型五：等腰三角形中的半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
专题12.23 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型(专项练习)(基础篇)
C D E B A 专题12.23 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型（专项练习）（基础篇）知识储备：1、模型一： 三垂直全等模型图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。
结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA2、拓展：模型二： 三等角全等模型图二如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。
结论：△BEC ≌△CDA3、知识点补充：勾股定理0222=90.RT ABC C ∆∠如图三，在中，，三角形三边分边为a 、b 、c,则a +b =c图三一、单选题1．已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC∠CD，则不正确的结论是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠A=∠2C ．∠ABC∠∠CED D ．∠A 与∠D 互为余角2．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D 、E ，2.5AD cm =， 1.7DE cm =，则BE 的长（ ）．A ．0.8cmB ．0.7cmC ．0.6cmD ．1cm3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90,8C AC ∠=︒=，F 为AB 边的中点，点D ，E 分别在,AC BC 边上运动，且保持AD CE =，连接,,DE DF EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：∠DEF 是等腰直角三角形；∠四边形CDFE 的面积保持不变；∠AD BE DE +>．其中正确的是（ ）A ．∠∠∠B ．∠C ．∠D ．∠∠二、填空题 4．如图，在等腰Rt∠ABC 中，∠C=90°，AC=7．点O 在BC 上，且CO=1，点M 是AC 上一动点，连接OM ，将线段OM 绕点O 逆时针旋转90°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在AB 上，CM 的长度为__________．5．如图，90ACB ∠=︒，CA CB =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ，3cm =AD ，1.8cm DE =，则BE =______cm ．6．如图，()()4,0,0,6A B ，以B 点为直角顶点在第一象限作等腰直角ABC ∆，则C 点的坐标为_________7．如图，点A 在线段DE 上，AB ∠AC ，垂足为A ，且AB ＝AC ，BD ∠DE ，CE ∠DE ，垂足分别为D 、E ，若ED ＝12，BD ＝8，则CE 长为_____．8．如图，AC BC =，AE CD =，AE CE ⊥于点E ，BD CD ⊥于点D ，10AE =，4BD =，则DE 的长是_____．⊥于点F．若9．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，已知BE a⊥于点E，DF aBE=，83DF=，则线段EF的长为______．10．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则BCD的面积为_____cm2．11．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE∠DF，垂足为点O，∠AOD，则图中阴影部分的面积为_____．三、解答题12．如图：在∠ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF∠AE，垂足为F，过B作BD∠BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的长．13.如图1，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN 于E．（1）说明∠ADC∠∠CEB；（2）说明AD+BE=DE；（3）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以说明．14．如图，已知A、B、D在同一条直线上，∠A=∠D=90°，AC=BD，∠1=∠2．求证：∠CBE 是等腰直角三角形．15．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD∠MN于点D，BE∠MN 于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．16．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（1）求证：∠ADC∠∠CEB；（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）17．如图，在∠ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．18．如图，已知在CDE ∆中，12∠=∠，直线AB 经过点E ，DA AB ⊥，CB AB ⊥，垂足分别为A 、B ，AD BE =，求证：AE BC =．19．如图1．∠ABC 中，AG∠BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向∠ABC 作等腰Rt∠ABE 和等腰Rt∠ACF ，过点E ，F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P ，Q ．（1）求证：∠EPA∠∠AGB ：（2）试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2．若连接EF 交GA 的延长线于H ，由（2）中的结论你能判断EH 与FH 的大小关系吗？并说明理由：（4）在（3）的条件下，若BC ＝10，AG ＝12．请直接写出S ∠AEF ＝ ．20．如图所示，90,C BE BA ∠=⊥，且,BE BA BD BC =⊥，延长CB 交DE 于点F ，且DF EF =．求证：2AC BF =．21．已知：在直角坐标系中，点()0,3B -，点()1,0C ，点A 在第二象限，,AC BC AC BC =⊥，求点A 的坐标．22.如图，已知：，，，，那么AC 与CE 有什么关系？写出你的猜想并说明理由．参考答案1．A【分析】由题意易得∠ACD=90°，则有∠1+∠2=90°，进而可证三角形全等，然后可排除选项．【详解】解：∠AC∠CD，∠∠ACD=90°，∠∠1+∠2=90°，∠∠B=∠E=90°，∠∠2+∠D=90°，∠∠1=∠D，∠AC=CD，∠∠ABC∠∠CED（AAS），故C正确，∠∠A=∠2，故B正确，∠∠A+∠D=90°，故D正确，∠A选项错误；故选A．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．2．A【分析】证∠CEB和∠ADC全等，得到BE和CD相等，CE和AD相等，即可得到结论；【详解】解：∠BE∠CE，AD∠CE，∠∠E=∠ADC=90°，∠∠EBC+∠BCE=90°，∠∠BCE+∠ACD=90°，∠∠EBC=∠DCA，在∠CEB和∠ADC中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠CEB∠∠ADC∠BE=DC ，CE=AD∠AD=2.5cm ，DE=1.7cm ，∠CE=1.7cm ，∠DC=CE -DE=0.8cm ，∠BE=0.8cm ；故选：A ．【点睛】本题考查垂直性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键．3．A【分析】连接CF ，利用SAS 可证ADF CEF ≌，从而得出,=∠=∠DF FE AFD CFE ，从而求出90EFD ∠=︒，即可判断∠；根据全等三角形的性质可得=ADF CEF SS ，从而得出四边形CDFE 的面积为12ABC S ，从而判断∠；延长DF 到G 使FG DF =，连接,EG BG ，证出AD BG =和DE EG =，最后根据三角形的三边关系即可判断∠．【详解】解：如图，连接CF ．∠AC BC =，F 为AB 的中点，∠CF AB ⊥，12∠=∠=ACF BCF ACB ． ∠90ACB ∠=︒，∠45∠=∠=∠=︒A ACF BCF ，∠CF AF =．又∠AD CE =，∠ADF CEF ≌．∠,=∠=∠DF FE AFD CFE ，∠90AFD CFD ∠+∠=︒，∠90∠+∠=︒CFE CFD ，∠90EFD ∠=︒，∠DEF 是等腰直角三角形．∠正确．∠ADF CEF ≌，∠=ADF CEF S S ，∠四边形CDFE 的面积为12+=+==CDF CEF CDF MDF AFC ABC SS S S S S ． ∠11883222=⨯=⨯⨯=ABC S AC BC ， ∠四边形CDFE 的面积为16，为定值．∠正确．延长DF 到G 使FG DF =，连接,EG BG ．∠AF BF =，∠=∠AFD BFG ，DF FG =，∠ADF BCF ≌△△，∠AD BG =．∠90EFD ∠=︒，∠EF DF ⊥，∠DE EG =．在EBG 中，∠+>BG BE EG ，∠AD BE DE +>．∠正确．∠∠∠均正确，故选A ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．4．5【分析】如图，作辅助线；首先证明DOE OMC ∆≅∆，得到OC DE =，CM OE =；其次证明BE DE =，求出OE ，即可解决问题．【详解】解：如图，过点D 作DE OB ⊥于点E ；DEO DOM C ∠=∠=∠，DOE COM COM CMO ∴∠+∠=∠+∠，DOE OMC ∴∠=∠；由题意得：OD OM =；在DOE ∆与OMC ∆中，DOE OMC DEO OCM OD OM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DOE OMC AAS ∴∆≅∆，1DE OC ∴==，CM OE =；ABC ∆为等腰直角三角形，45B ∴∠=︒，45BDE ∠=︒，1BE DE ∴==，7115OE =--=，5CM OE ∴==，故答案为5．【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造全等三角形；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．5．1.2【分析】先根据等角的余角相等得出∠EBC =∠DCA ，再根据AAS 证明∠CEB ∠∠ADC ，然后利用全等三角形的性质并结合已知数据即可求得结果.【详解】解∠BE ∠CE ，AD ∠CE ，∠∠E =∠ADC =90°，∠∠EBC +∠BCE =90°.∠∠BCE +∠ACD =90°，∠∠EBC =∠DCA .在∠CEB 和∠ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠CEB ∠∠ADC (AAS)，∠BE=DC ，CE=AD =3cm∠DC=CE −DE ，DE =1.8cm ，∠DC =3－1.8=1.2cm ，∠BE =1.2cm故答案为：1.2cm【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，难度不大，熟练掌握三角形全等的判定和方法是关键.6．()6,10【分析】过点C 作CD∠y 轴于点D ，由∠ABC 为等腰直角三角形即可得出∠ABC ＝90°、AB ＝BC ，通过角的计算即可得出∠ABO ＝∠BCD ，再结合∠CDB ＝∠BOA ＝90°即可利用AAS 证出∠ABO∠∠BCD ，由此即可得出BD 、CD 的长度，进而可得出点C 的坐标．【详解】解：过点C 作CD∠y 轴于点D ，如图所示．∠∠ABC 为等腰直角三角形，∠∠ABC ＝90°，AB ＝BC ．∠CD∠BD ，BO∠AO ，∠∠CDB ＝∠BOA ＝90°．∠∠CBD+∠ABO ＝90°，∠CBD+∠BCD ＝90°，∠∠ABO ＝∠BCD ．在∠ABO 和∠BCD 中，==90ABO BCD BOA CDB AB BC ∠=∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪=⎩，∠∠ABO∠∠BCD （AAS ），∠BD ＝AO ，CD ＝BO ，∠A （4，0），B （0，6），∠BD ＝4，CD ＝6，∠点C 的坐标为()6,10，故答案为：()6,10．【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C 点作垂直于x 轴的垂线还是垂直于y 轴的垂线是解题关键．7．4【分析】根据已知条件及互余关系可证∠ABD ∠∠CAE ，得出BD ＝AE ＝8，AD ＝CE ，求出AD ＝4，即可得出答案．【详解】解：∠BD ∠DE ，CE ∠DE ，∠∠D ＝∠E ＝90°，∠ABD +∠BAD ＝90°，∠AB ∠AC ，∠∠BAD +∠EAC ＝90°，∠∠ABD ＝∠EAC ，在∠ABD和∠CAE中，D EAB CAABD EAC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠ABD∠∠CAE（ASA），∠BD＝AE＝8，AD＝CE，∠AD＝ED﹣AE＝12﹣8＝4，∠CE＝4故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角的余角相等．找到证明三角形全等的条件，证明三角形全等是解题的关键．8．6【分析】根据垂直的定义得到∠AEC＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∠AE∠CE于点E，BD∠CD于点D，∠∠AEC＝∠D＝90°，在Rt∠AEC与Rt∠CDB中AC BC AE CD ⎧⎨⎩＝＝，∠Rt∠AEC∠Rt∠CDB（HL），∠CE＝BD＝4，CD＝AE＝10，∠DE＝CD−CE＝10−4＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．9．11【分析】根据题意易得∠AEB∠∠DFA，则有BE=AF，DF=AE，进而问题可得解．【详解】解：∠四边形ABCD是正方形，∠AD=AB，∠DAB=90°，∠BE a ⊥，DF a ⊥，∠∠DFA=∠AEB=90°，∠∠FAD+∠ADF=90°，又∠∠FAD+∠BAE=90°，∠∠ADF=∠BAE ，∠∠AEB∠∠DFA ，∠3BE =，8DF =，∠BE=AF=3，DF=AE=8，∠EF=AF+AE=3+8=11；故答案为11．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及正方形的性质是解题的关键．10．8．【分析】作DH ∠BC ，证明ABC CHD ≌，根据全等三角形的性质得到DH ＝BC ＝4，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：过点D 作DH ∠BC ，交BC 的延长线于点H ，∠∠ABC ＝90°，∠∠BAC +∠ACB ＝90°，∠∠ACD ＝90°，∠∠HCD +∠ACB ＝90°，∠∠BAC ＝∠HCD ，在∠ABC 和∠CHD 中，BAC HCD ABC CHD AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABC CHD ≌（AAS ），∠DH ＝BC ＝4，∠BCD 的面积＝1144822BC DH =⨯⨯=（cm 2）， 故答案为：8．【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．11【分析】先证得∠ADF ≅∠BAE ，再利用等量代换即可求得阴影部分的面积等于∠AOD 的面积．【详解】正方形ABCD 中，∠DAF=∠ABE=90︒，AD=AB ，∠AE∠DF ，∠∠DOA=∠DAF =90︒，∠∠DAO+∠ADF =∠DAO +∠FAO =90︒，∠∠ADF =∠FAO ，在∠ADF 和∠BAE 中， ADF FAO AD ABDAF ABE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ADF ≅∠BAE ，∠ADF BAE SS =， ∠ADF AOF BAE AOF S SS S -=-， ∠AOF SS ==阴影．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得阴影部分的面积等于∠AOD 的面积是解题的关键．12．（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据DB∠BC ，CF∠AE ，得出∠D ＝∠AEC ，再结合∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，证明∠DBC∠∠ECA ，即可得证；（2） 由（1）可得∠DBC∠∠ECA ，可得CE=BD ，根据BC=AC=12cm AE 是BC 的中线，即可得出12CE BC =，即可得出答案． 【详解】证明：（1）证明：∠DB∠BC ，CF∠AE ，∠∠DCB ＋∠D ＝∠DCB ＋∠AEC ＝90°．∠∠D ＝∠AEC ．又∠∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ， 在∠DBC 和∠ECA 中90D AEC DBC ECA BC AC ∠∠∠∠⎪⎩︒⎧⎪⎨＝＝＝＝，∠∠DBC∠∠ECA （AAS ）．∠AE ＝CD ；（2） 由（1）可得∠DBC∠∠ECA∠CE=BD ，∠BC=AC=12cm AE 是BC 的中线， ∠162CE BC cm ==， ∠BD=6cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，证明∠DBC∠∠ECA 解题关键．13．（1）见详解；（2）见详解；（3）DE+BE=AD ，理由见详解【分析】（1）由题意易得∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE=∠CAD ，进而问题可得证；（2）由（1）可得AD=CE ，BE=CD ，进而根据线段的数量关系可求证；（3）由题意易证∠ADC∠∠CEB，则有AD=CE，BE=CD，进而问题可求解．【详解】解：（1）∠AD∠MN，BE∠MN，∠∠ADC=∠CEB=90°，∠∠ACB=90°，∠∠DCA+∠BCE=90°，∠∠DCA+∠CAD=90°，∠∠BCE=∠CAD，∠AC=CB，∠∠BCE∠∠CAD（AAS）；（2）由（1）得：∠BCE∠∠CAD，∠AD=CE，BE=CD，∠DE=DC+CE，∠DE=AD+BE；（3）AD=DE+BE，理由如下：∠AD∠MN，BE∠MN，∠∠ADC=∠CEB=90°，∠∠ACB=90°，∠∠DCA+∠BCE=90°，∠∠DCA+∠CAD=90°，∠∠BCE=∠CAD，∠AC=CB，∠∠BCE∠∠CAD（AAS），∠DC=BE，AD=CE，∠CE=CD+DE，∠AD=DE+BE．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，数量掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．14．见解析【分析】由题意易证∠ABC∠∠DEB ，则有BC=BE ，∠EBD=∠BCA ，进而问题可证．【详解】证明： 在∠ABC 和∠DEB 中，12A D AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABC∠∠DEB （AAS ），∠BC=EB ，∠∠1=∠2，∠2+∠DBE=90°，∠∠1+∠DBE=90°，∠∠CBE=180°﹣（∠1+∠DBE ）=90°，∠∠BCE 是等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质及等腰直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．15．（1）见解析；（2）见解析；（3）DE ＝BE ﹣AD【分析】（1）由题意易得∠DAC+∠ACD ＝90°，则∠DAC ＝∠BCE ，进而可证∠ADC∠∠CEB ，然后根据全等三角形的性质可求解；（2）由题意易得∠CEB=∠ADC=90°，则可求∠CAD=∠BCE ，进而可证∠CAD∠∠BCE ，然后根据全等三角形的性质可求解；（3）根据题意可证∠CAD∠∠BCE ，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∠AD∠MN ，BE∠MN ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠DAC+∠ACD ＝90°，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCE+∠ACD ＝90°，∠∠DAC ＝∠BCE ，在∠ADC 和∠CEB ，ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADC∠∠CEB （AAS ），∠CD ＝BE ，AD ＝CE ，∠DE ＝CE+CD ＝AD+BE ；（2）证明：∠AD∠MN ，BE∠MN ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠DAC+∠ACD ＝90°，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCE+∠ACD ＝90°，∠∠DAC ＝∠BCE ，∠AC=BC ，∠∠ADC∠∠CEB ，∠CD ＝BE ，AD ＝CE ，∠DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ；（3）解：DE ＝BE ﹣AD ，理由如下：∠AD∠MN ，BE∠MN ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠DAC+∠ACD ＝90°，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCE+∠ACD ＝90°，∠∠DAC ＝∠BCE ，∠AC=BC ，∠∠ADC∠∠CEB ，∠CD ＝BE ，AD ＝CE ，∠DE ＝BE ﹣AD ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．16．（1）见详解；（2）砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【分析】（1）根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD∠DE ，BE∠DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明∠ADC∠∠CEB 即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【详解】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD∠DE ，BE∠DE ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∠ACD ＋∠DAC ＝90°，∠∠BCE ＝∠DAC ，在∠ADC 和∠CEB 中ADC CEB DAC BCE AC BC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠ADC∠∠CEB （AAS ）；（2）解：由题意得：∠一块墙砖的厚度为a ，∠AD ＝4a ，BE ＝3a ，由（1）得：∠ADC∠∠CEB ，∠DC ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，∠DC ＋CE ＝BE ＋AD ＝7a ＝35，∠a ＝5，答：砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 17．见解析【分析】根据题意易得Rt∠ACE∠Rt∠CBF ，则有∠EAC ＝∠BCF ，然后根据等角的余角相等及领补角可求证．【详解】证明：如图，在Rt∠ACE 和Rt∠CBF 中，AC BC AE CF =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ACE∠Rt∠CBF （HL ），∠∠EAC ＝∠BCF ，∠∠EAC+∠ACE ＝90°，∠∠ACE+∠BCF ＝90°，∠∠ACB ＝180°﹣90°＝90°．【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键．18．见解析【分析】根据HL 证明Rt∠DAE∠Rt∠EBC 即可求解．【详解】解：（1）证明：∠ DA∠AB ，CB∠AB ，∠ ∠A ＝∠B ＝90°又∠∠1＝∠2∠DE ＝CE在Rt∠DAE 和Rt∠EBC 中，AE CE AD BE=⎧⎨=⎩ ∠Rt∠DAE∠Rt∠EBC （HL ）∠AE ＝BC ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．19．（1）证明见解析；（2）结论：EP ＝FQ ，证明见解析；（3）结论：EH ＝FH ，理由见解析；（4）60．【分析】（1）根据等腰Rt∠ABE 的性质，求出∠EPA ＝∠EAB ＝∠AGB ＝90°，∠PEA ＝∠BAG ，根据AAS 推出∠EPA∠∠AGB ．（2）根据全等三角形的性质推出EP ＝AG ，同理可得∠FQA∠∠AGC ，即可得出AG ＝FQ ，最后等量代换即可得出答案．（3）求出∠EPH ＝∠FQH ＝90°，根据AAS 推出∠EPH∠∠FQH ，即可得出EH 与FH 的大小关系．（4）根据全等三角形∠EPH∠∠FQH ，∠EPA∠∠AGB ，∠FQA∠∠AGC ，推出S ∠FQA ＝S ∠AGC ，S ∠FQH ＝S ∠EPH ，S ∠EPA ＝S ∠AGB ，即可求出S ∠AEF ＝S ∠ABC ，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：（1）如图1，∠∠EAB ＝90°，EP∠AG ，AG∠BC ，∠∠EPA ＝∠EAB ＝∠AGB ＝90°，∠∠PEA+∠EAP ＝90°，∠EAP+∠BAG ＝90°，∠∠PEA ＝∠BAG ，在∠EPA 和∠AGB 中，EPA BGA PEA BAG AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠EPA∠∠AGB （AAS ），（2）结论：EP ＝FQ ，证明：由（1）可得，∠EPA∠∠AGB ，∠EP ＝AG ，如图1，∠∠FAC ＝90°，FQ∠AG ，AG∠BC ，∠∠FQA ＝∠FAC ＝∠CGA ＝90°，∠∠FAQ+∠AFQ ＝90°，∠FAQ+∠GAC ＝90°，∠∠AFQ ＝∠GAC ，在∠QFA 和∠GAC 中，FQA CGA FAQ CAG AF AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠QFA∠∠GAC （AAS ），∠AG ＝FQ ，∠EP ＝FQ ；（3）结论：EH ＝FH ，理由：如图，∠EP∠AG ，FQ∠AG ，∠∠EPH ＝∠FQH ＝90°，在∠EPH 和∠FQH 中，EHP FHQ EPH FQH EP FQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠EPH∠∠FQH （AAS ），∠EH ＝FH ．（4））∠∠EPH∠∠FQH ，∠EPA∠∠AGB ，∠FQA∠∠AGC ，∠S ∠FQA ＝S ∠AGC ，S ∠FQH ＝S ∠EPH ，S ∠EPA ＝S ∠AGB ，∠S ∠AEF ＝S ∠EPA +S ∠FQA＝S ∠AGB +S ∠AGC＝S ∠ABC ＝12×BC×AG ＝12×10×12 ＝60故答案为：60．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．20．详见解析【解析】【分析】延长BF 至G ，使FG BF =，连结EG ，得BFD GFE ∆∆≌，90DBF G ∠=∠=︒，BF=GF，再证ABC BEG ∆∆≌，得2AC BG BF ==.【详解】证明：延长BF 至G ，使FG BF =，连结EG ，在∠BDF 和∠GEF 中，BF=GF BFD=GFE DF=EF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∠BDF GEF ∆∆≌ ，∠90DBF G ∠=∠=︒，BF=GF ，∠BG=2BF ，∠BE∠BA ，∠∠C=∠G=90°，∠A=∠EBG ，在∠ABC 和∠BEG 中，C=G A=EBG AB=BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∠ABC BEG ∆∆≌，∠AC=BG=2BF.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．21．点A 的坐标为()2,1-【解析】【分析】过点A 作AE x ⊥轴于点E ，先证出ACE CBO ∆∆≌，则CE=BO=3，1AE OC ==，根据点A 在第二象限即可得点A 的坐标．【详解】解：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，∠在直角坐标系中，点()0,3B -，点()1,0C ，∠BO=3，OC=1，OC∠OB∠,AC BC AC BC =⊥∠OBC ECA ∠=∠ ，BOC CEA ∠=∠∠ACE CBO ∆∆≌，CE BO ∴==3，1AE OC ==，∠点A 在第二象限，∴点A 的坐标为()2,1-.故答案为点A 的坐标为()2,1-.【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形，要注意第二象限点的坐标符号是（-，+）．22．见解析【详解】通过证明两个三角形全等，可以证明两条对应线段相等．。
重难点04全等三角形中“手拉手”模型(原卷版)-【暑假预习】2024年新八年级数学核心知识点与常见题
重难点04全等三角形中“手拉手”模型【知识梳理】【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；【考点剖析】例1.某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：DC与BE的位置关系．【变式1】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC 交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.【变式2】如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．（1）求证：AC＝BD．（2）求∠APB的度数．【变式3】已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？【变式4】（2023•定西模拟）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．【变式5】阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置．操作与证明：（1）操作：固定等边△ABC，将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系．（2）操作：若将图1中的△BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论．猜想与发现：（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论．【过关检测】一．选择题（共1小题）1．（2021秋•普陀区期末）如图，AB＝3，AC＝，连结BC，分别以AC、BC为直角边作等腰Rt△ACD 和等腰Rt△BCE，连结AE、BD，当AE最长时，BC的长为（）A．2B．3C．D．二．填空题（共3小题）2．（2022秋•椒江区校级月考）如图，△ADB≌△ECB，且点A的对应点是点E，点D的对应点是点C，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为．3．（2022秋•上城区校级期中）如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F，延长AD至点G，若GE平分∠DGC，CE平分∠DCH，则下列结论：①∠ABE＝∠ACF；②∠GEB＝45°；③EO＝EC；④AE﹣CE＝BF；⑤AG﹣CG＝BC，其中正确的结论有（写序号）．4．（2020秋•金东区校级月考）等边三角形ABC和等边三角形ADE的位置如图所示，若∠1＝25°，则∠2的度数为．三．解答题（共13小题）5．（2021秋•临海市月考）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求证：AE＝CD；（2）证明：∠1＝∠3．6．如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，当B、C、E三点在同一条直线上时，连接BD、AE交于点F，易证：△ACE≌△BCD．聪明的小明将△DCE绕点C旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！（探究一）如图2，当B、C、E三点不在同一条直线上时，小明发现∠BFE的大小没有发生变化，请你帮他求出∠BFE的度数．（探究二）阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等．例如：如图3，如果△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的边BC、B′C′上的高，那么容易证明AD＝A′D′．小明带着这样的思考又有了新的发现：如图4，若连接CF，则CF平分∠BFE，请你帮他说明理由．（探究三）在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段AF、BF、CF之间还存在一定的数量关系，请你写出它们之间的关系，并说明理由．7．（2021秋•北仑区期末）如图，已知AB∥EF，∠A＝∠E，BD＝CF，试证明：AC∥DE．8．（2021秋•鹿城区校级期中）已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AB＝DC，∠B＝∠C，BE＝CF．（1）求证：△ABF≌△DCE．（2）若∠AGE＝70°，求∠AFE的度数．9．（2020秋•开化县期末）如图，△ABC和△ADE是正三角形，点D在BC边上，连结CE．（1）证明：△BAD≌△CAE；（2）当AB＝4，BD：CD＝3：1时，求CE的长．10．（2021秋•余杭区月考）在△ABC中，AB＝AC，D是射线BC上一点，点E在AD的右侧，线段AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC，连结CE．（1）如图1，点D在线段BC上，求证：∠BAC+∠DCE＝180°．（2）如图2，点D在线段BC延长线上，判断∠BAC与∠DCE的数量关系并说明理由．11．如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数；（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．12．（2020秋•萧山区期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．（1）求证：AC＝BD．（2）求∠APB的度数．13．（2021秋•东阳市期末）以△ABC的AB，AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α．CD与BE相交于O，连结AO，如图①所示．（1）求证：BE＝CD；（2）判断∠AOD与∠AOE的大小，并说明理由．（3）在EB上取点F，使EF＝OC，如图②，请直接写出∠AFO与α的数量关系．14．（2021秋•武义县期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的左侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接BE．（1）当点D在线段BC上时，求证：△ABE≌△ACD．（2）如图2，若BE∥AC，BC＝2．①求△ABC的面积．②在点D在运动过程中，若△ABE的最小角为25°，求∠EAC的度数．15．（2021秋•定海区期末）（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图2，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD＝6，线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，点D、E、B恰好共线，求△BDC的面积；（3）如图3，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG＝AE．16．（2022秋•义乌市校级月考）在△ABC中，AB＝AC，点，D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①找出图2中的一对全等三角形：，并写出其全等的依据：；②如图2，当点D在线段BC上移动，请直接写出α，β之间的数量关系；②当点D在线段BC或CB的延长线上时，请直接写出α，β之间的数量关系．17．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）如图1，点D在△ABC内，求证：AD⊥BE；（2）如图2，A，D，E三点在同一条直线上，若AB＝13，DE＝10，求△ACD的面积；（3）如图3，若AB＝9，点D在边AB上运动，求△BDE周长的最小值．。
初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全(含答案)
初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全基础模型 : △ABC 中, AD 是 BC 边中线思路 1：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BEE思路 2：间接倍长 ,延长 MD到 N，使 DN=MD，连接 CN思路 3, 作 CF⊥ AD于 F，作 BE⊥AD的延长线于 EE1．如图，在△ABC 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是（）A．1<AB<29 B．4<AB<24 C．5<AB<19 D．9<AB< 192．如图，△ABC 中，AB=AC，点D 在AB 上，点 E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F，且DF=EF，3．如图，在△ABC 中，AD 为中线，求证：AB+AC>2AD．4．小明遇到这样一个问题，如图 1，△ABC 中， AB=7，AC=5，点 D 为 BC 的中点，求 AD 的取 值范围．延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的 做法是：如图 2，延长 AD 到 E ，使 DE=AD ，连接 BE ，构造△BED ≌△ CAD ，经过推理和计算使 问题得到解决．请回答：（1）小明证明 △BED ≌△CAD 用到的判定定理是： （用字母表示） （2）AD 的取值范围是 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在正方形 ABCD 中 ，E 为 AB 边的中点， G 、F 分别为 AD ，BC 边 上的点，若 AG=2，BF=4， ∠GEF=90 °，求 GF 的长．5．已知：在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， E 是AD 上一点，且 BE=AC ，延长 BE 交 AC 于 F ，6．已知：如图，△ABC （AB ≠AC ）中，D 、E 在 BC 上，且 DE=EC ，过 D 作 DF ∥BA 交 AE 于点 F ， DF=AC ．求证： AE 平分∠BAC ．7-10,换汤不换药 （多题一解 ）7．如图， D 是△ABC 的 BC 边上一点且 CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线．小明发现老师讲过的 “倍长就是将三角形的8．如图，已知 D 是△ABC 的边 BC 上的一点， CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线． （1）若∠B=60，°求∠C 的值； （2）求证： AD 是∠EAC 的平分线．11．已知：如图， △ABC 中，∠C=90°，CM ⊥AB 于 M ，AT 平分∠BAC 交 CM 于 D ，交 BC 于 T ，12．如图①，点 O 为线段 MN 的中点， PQ 与 MN 相交于点 O ，且 PM ∥NQ ，可证△PMO ≌△ QNO ．根据上述结论完成下列探究活动：如图②，在四边形 ABCD 中，AB ∥DC ，E 为 BC 边的中 点，∠BAE=∠EAF ，AF 与 DC 的延长线相交于点 F．试探AE 是△ABD 的中线，求证： AC=2AE ．CE=2CD ．求证：究线段AB 与AF、CF 之间的数量关系，13．如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点 E 是 BC 的中点， EF ∥AD 交 CA 的延长线于点 F ，14．如图，已知在 △ABC 中，∠CAE=∠B ，点 E 是 CD 的中点，若 AD 平分∠BAE ．（1）求证： AC=BD ；（2）若 BD=3，AD=5，AE=x ，求 x 的取值范围．15．已知在 △ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角（图 3 是原题的第 问并证明你的结角形，如图，求证：EF=2AD．1.解：如图，延长AD 至E，使DE=AD，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD，在△ABD 和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，14﹣5=9，∴9<CE<19，2．证明：如图，过点 D 作DG∥AE，交BC 于点G；4．解：（1）如图 2 中，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE．（2）∵△BED≌△CAD，∴BE=AC=5，∵AB=7，∴2<AE<12，∴2<2AD<12，∴1<AD<6．解决问题：如图 3 中，在△BED 和△CAD中，∴△BED≌△CAD（SAS）．解：延长GE交CB 的延长线于M ．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥ CM，∴∠AGE=∠M，在△AEG和△BEM 中，，∴△AEG≌△BEM，∴GE=EM，AG=BM=2，∵EF⊥MG，∴FG=FM，∵BF=4，∴MF=BF+BM=2+4=6，∴GF=FM=6．5．证明：如图，延长AD 到点G，使得AD=DG，连接BG．∵AD 是BC 边上的中线已知），∴DC=DB，在△ADC 和△GDB 中，∴∠ CAD=∠G，BG=AC 又∵BE=AC，∴BE=BG，∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，∴AF=EF．∴△ ADC≌△ GDB （SAS），∴∠BED=∠G，6．证明：如图，延长FE 到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF和△CEG中，∵，∴△DEF≌△CEG．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠G=∠CAE．∴∠ BAE=∠CAE．即AE 平分∠BAC．7．证明：延长AE 到F，使EF=AE，连接DF，∵AE是△ABD 的中线∴BE=ED，在△ABE 与△FDE中∵，∴△ ABE≌△FDE（SAS），∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，∵∠ADB 是△ADC 的外角，∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD，∴∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD，∴∠ADF=∠ADC，∵AB=DC，∴DF=DC，在△ADF 与△ADC 中∵，∴△ ADF≌△ ADC（SAS）∴∠ C=∠AFD=∠ BAE．8．（1）解：∵∠ B=60°，∠ BDA=∠BAD，∴∠ BAD=∠BDA=60 ，°∴AB=AD，∵CD=AB，∴CD=AD，∴∠DAC=∠C，∴∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C，∵∠ BAD=60，°∴∠ C=30 ；°（2）证明：延长AE 到M ，使EM=AE，连接DM，在△ABE 和△MDE 中，，∴△ ABE≌△ MDE，∴∠B=∠MDE，AB=DM，∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠MDE+∠BDA=∠ADM，在△MAD 与△CAD，，∴△MAD≌△CAD，∴∠MAD=∠CAD，∴AD 是∠EAC 的平分线．9．证明：延长AE 至F，使AE=EF，连接BF，在△ADE 与△BFE 中，，∴△ AED≌△ FEB，∴BF=DA，∠FBE=∠ADE，∵∠ABF=∠ABD+∠FBE，∴∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC，在△ABF 与△ADC 中，，∴△ ABF≌△ CDA，∴AC=AF，∵AF=2AE，∴AC=2AE．10．证明：取AC 的中点F，连接BF；∵B为AE 的中点，∴BF 为△AEC 的中位线，∴EC=2BF；在△ABF 与△ACD 中，，∴△ABF≌△ ACD（SAS），∴CD=BF，11．证明：过T 作TF⊥AB 于F，∵AT 平分∠BAC，∠ACB=90 ，° ∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠ACB=90，°CM⊥AB，∴∠ADM+∠DAM=90°，∠ATC+∠CAT=90 °，∵AT 平分∠BAC，∴∠ DAM=∠CAT，∴∠ADM=∠ATC，∴∠CDT=∠CTD，∴CD=CT，又∵CT=TF（已证），∴CD=TF，∵CM⊥AB，DE∥AB，∴∠CDE=90 °，∠B=∠DEC，在△CDE和△TFB 中，，∴△CDE≌△TFB（AAS），∴CE=TB，∴CE﹣TE=TB﹣TE，即CT=BE．12．解：（1）AB=AF+CF．如图2，分别延长DC、AE，交于G 点，根据图①得△ABE≌△ GCE，∴AB=CG，又AB∥DC，∴∠ BAE=∠G 而∠BAE=∠EAF，∴∠G=∠EAF，∴AF=GF，∴CE=2CD．13．解：延长FE，截取EH=EG，连接CH，∵E 是BC 中点，∴BE=CE，∴∠BEG=∠CEH，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△ CEH（SAS），∴∠BGE=∠H，∴∠BGE=∠FGA=∠H，∴BG=CH，∵CF=BG，∴CH=CF，∴∠F=∠H=∠FGA，∵EF∥AD，∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠FGA，∴∠CAD=∠BAD，∴AD 平分∠BAC．14．（1）证明：延长AE 到F，使EF=EA，连接DF，∵点 E 是CD 的中点，∴EC=ED，在△DEF与△CEA 中，，∴△DEF≌△CEA，∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE，∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD 平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，在△ABD 与△AFD 中，，∴△ ABD≌△ AFD，∴ BD=FD，∴AC=BD；（2）解：由（1）证得△ABD≌△AFD，△DEF≌△CEA，∴AB=AF，∵AE=x，∴AF=2AE=2x，∴AB=2x，∵BD=3，AD=5，∴在△ABD 中，，解得：1<x<4，15 证明：延长AD 至点G，使得AD=DG，连接BG，CG，∵AD=DG，BD=CD，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC=AF=BG，AB=AE=CG，∠BAC+∠ABG=180，° ∵∠ EAF+∠ BAC=180 ，°∴∠ EAF=∠ ABG，在△EAF和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF=AG，∵AG=2AD，∴EF=2AD．。
全等三角形模型总结及经典练习题
全等三角形模型及习题练习第一部分全等模型图一、平移模型特征：可看成是三角形在一边所在直线上移动构成的，故在同一直线上的对应边的相等关系一般可由加（减）公共边证得，对应角的相等关系可由平行线的性质证得。
二、平行模型(X型)特征：平行线所形成的同位角、内错角相等三、折叠轴对称模型（翻转型，部分X型）特征：图形关于某一条直线对称，则这条直线两边的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应点。
图①中有公共角∠A；图②中对顶角相等（∠AOC=∠BOD)；图③④中分别有公共边AB,BD四、旋转模型特征：可看成是以三角形某一个顶点为中心旋转构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角、某些角的和或差中五、角平分线模型旋转有重叠特征：角平分线形成的两个角相等,若把角平分线看成一条公共边,在角的两边再截取相等的线段,就可根据SAS得到全等三角形（如图①,ΔA1BD1≌ΔC1BD1),或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等找到一组相等的边,就可根据HL得到全等三角形（如图②,ΔA2BD2≌ΔC2BD2)六、双直角三角形模型特征：证明多数可以用到同（等）角的余角相等这个定理,相等的角就是对应角七、一线三等角模型（K型）特征：如图①,,三个等角指的是α(图②中,α=90°),利用外角定理可证得∠1=∠2或∠3=∠4第二部分精选例题例1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM 交DA的延长线上于E.交BC于N,求证:AE=CN.思路分析:欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中,设法证这两个三角形全等即可.结合图形可发现△AME≌△FCN可证.题设告知AM=CF,AD∥BC,AB∥CD.由两平行条件,可找两对角相等.∵∠1=∠2(对顶角相等)∴∠2=∠E(等量代换)∴AE=CN (全等三角形的对应边相等)例2.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C的一条直线CE⊥AE于E，BD⊥CE的延长线于D，求证：AE=BD+DE.思路分析：从本例的结论知是求线段和的问题，由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维角度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由此可发现△ACE与△CBD好像(猜测)全等.那么AE=CD=CE+DE.又BD=CE.那么,此时已水落石出.AC=BC（已知）∠1=∠3 （已证）∠AEC=∠CDB（已证）∴△ACE≌△CBD（AAS）∴BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等）∵AE=CE=CE+DE∴AE=BD+DE（等量代换）例3．如图，AD是△ABC的中线，DE，DF分别平分∠ADB和∠ADC，连接EF，求证：EF<BE+CF. 定对象：△ABC定角度：三角形全等分析:由结论EF<BE+CF很容易与定理“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图形，BE，CF，EF 条件分散，不在一个三角形中，必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角的平分线这一线索,可将△BDE沿角平分线翻转180°,即B点落在AD的点B'上(如图)(也就是在DA上截取DB＇=BD),连结EB＇,B＇F,此时△BDE与△B＇DE完全重合,所以△BDE≌△B＇DE(两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=B＇E(全等三角形的对应边相等).在△EFB＇中,EF<B＇E+B＇F(三角形的两边之和大于第三边).∴EF<BE+CF(等量代换).例4 如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C= 20°，AB=10，AD= 4， G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数和CE的长．定对象：如图定角度：三角形全等分析：(1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt△ACD 和Rt△ABE；△ABE≌△ACD，△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG．例5已知：如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交 DE于G，∠ACB=105°，∠CAD＝10°，∠D=25°．求∠EAC，∠DFB，∠DGB的度数．例6.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝20 cm，则△DBE的周长等于多少？分析：对象：△DBE的周长角度：（1）BD，DE，BE的长解：因为DE⊥AB，所以AED ACD∠=∠因为AD是∠BAC的平分线，所以EAD CAD≅则AE=AC ∠=∠又因为AD为公共边所以AED ACD DE=DC所以△DBE的周长=BE+DE+BD=AB-AE+BC=20例7如图13—3—8所示，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：EF⊥AD．分析：对象：△ABC 角度：（1）AD是∠BAC的平分线，（2）DE⊥AB于E，DF⊥AC于F证明：因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以0∠=∠=又因AED AFD90为AD是∠BAC的平分线，所以EAD FAD∠=∠由于AD是公共边所以AED AFD≅则AE=AF 因为AD是∠BAC的平分线所以EF⊥AD。
专题13 全等三角形重难点模型(五大模型)(原卷版)
专题13全等三角形重难点模型（五大模型）模型一：一线三等角型模型二：手拉手模型模型三：半角模型模型四：对角互补模型模型五：平行+线段中点构造全等模型【典例分析】【模型一：一线三等角型】如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。
结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
【典例1】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【典例2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE ＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【模型二：手拉手模型】应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。