《概率论与数理统计》习题三问题详解-设二维随机变量(x,y)

《概率论与数理统计》习题及答案

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222

??

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324

C 35= 32

4

C 35= 322

4

C 35= 11322

4

C C 12C 35=132

4

C 2C 35

= 21322

4

C C 6C 35

= 2324

C 3

C 35

=

3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=?????≤

≤≤≤.,

020,20,sin sin 其他ππy x y x

求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域?

??

?

??≤<≤<36,40πππy x 的概率. 【解】如图πππ

{0,}(3.2)463

P X Y <≤

<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636

F F F F --+

ππππππ

sin sin sin sin sin0sin sin0sin

434636

2

(31).

4

=--+

=-

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X，Y）的分布密度

f（x，y）=

?

?

?>

>

+

-

.

,0

,0

,0

,)4

3(

其他

y

x

A y

x

e

求：（1）常数A；

（2）随机变量（X，Y）的分布函数；

（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.

【解】（1）由-(34)

00

(,)d d e d d1

12

x y

A

f x y x y A x y

+∞+∞+∞+∞

+

-∞-∞

===

????

得A=12

（2）由定义，有

(,)(,)d d

y x

F x y f u v u v

-∞-∞

=??

(34)34

00

12e d d(1e)(1e)0,0,

0,

0,

y y u v

x y

u v y x

-+--

??-->>

?

==

??

?

??

??

其他

(3) {01,02}

P X Y

≤<≤<

12

(34)38

00

{01,02}

12e d d(1e)(1e)0.9499.

x y

P X Y

x y

-+--

=<≤<≤

==--≈

??

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

?

?

?<

<

<

<

-

-

.

,0

,4

2,2

),

6(

其他

y

x

y

x

k

（1）确定常数k；

（2）求P{X＜1，Y＜3}；

（3）求P{X<1.5}；

（4）求P{X+Y≤4}.

【解】（1）由性质有

2

4

2

(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞

-∞

-∞

=--==??

?

?

故 18

R =

（2） 13

{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞

<<=??

1

3

0213

(6)d d 88

k x y y x =

--=?? (3) 1

1.5

{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=

??

??如图

1.5

4

2127d (6)d .832

x x y y =

--=?

?

(4) 2

4

{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=??

??如图b

2

40

2

12d (6)d .83

x

x x y y -=

--=?

?

题5图

6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为

f Y （y ）=?

??>-.,0,

0,55其他y y e

求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.

题6图

【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为

1

,00.2,

()0.2

0,

.X x f x ?<

55e ,0,

()0,

.y Y y f y -?>=?

?其他 所以

(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立

5515e

25e ,00.20,0.20,0,y

y x y --???<<>?==??

???

且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y x

D

P Y X f x y x y x y -≤≤=

??

??如图

0.2

0.2

-5500

-1

d 25

e d (5e 5)d =e 0.3679.

x

y

x x y x -==-+≈???

7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=???>>----.,

0,

0,0),1)(1(24其他y x y x e e

求（X ，Y ）的联合分布密度.

【解】(42)28e ,0,0,

(,)(,)0,

x y x y F x y f x y x y -+?>>?==?

???其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,

0,.y x x y x -≤≤≤≤??

?

其他

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

x

204.8(2)d 2.4(2),01,

=0,.0,

y x y x x x ??--≤≤?=??

????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞

-∞

=

?

12y 4.8(2)d 2.4(34),01,

=0,.0,

y x x y y y y ?-?-+≤≤?

=??????其他

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???<<-.,

0,

0,其他e y x y

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

e d e ,0,

=0,.0,

y x x y x +∞

--??>?=??

????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞

-∞

=?

0e d e ,0,

=0,.0,

y

y x x y y --??>?=??

????其他

题10图

10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???≤≤.,

0,

1,22其他y x y cx

（1） 试确定常数c ；

（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

(,)d d (,)d d D

f x y x y f x y x y +∞+∞

-∞

-∞

??

??如图

21

1

2-1

4

=

d d 1.21

x

x cx y y c =

=?

? 得

214

c =

. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

2124

22121

(1),11,

d 84

0,0,

.x x x x x y y ??--≤≤??==???????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞

=?

52

2217d ,01,

4

20,0, .y y x y x y y -??≤≤??==??????

?其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=??

?<<<.

,

0,

10,,1其他x x y

求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.

题11图

【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

?

1d 2,01,

0,

.x

x y x x -?=<

11

1d 1,10,

()(,)d 1d 1,01,0,

.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞

-∞

?=+-<

???

??

?其他

所以

|1

,||1,

(,)(|)2()0,

.Y X X y x f x y f y x x

f x ?<

?其他