天津高一下期末数学试题及答案
天津市部分区2019～2020学年度第二学期期末考试
高一数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．题号
12345678910答案C D A B C D D A C B
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11．0.5612．313．4-14．3
315．1
3
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）i)i)((i)i)((i i +-+-=--=1113131z i i +=+=2224……………………………………3分所以5
12||221=+=z …………………………………………………6分（Ⅱ）设()2z 2i a a =+∈R ,……………………………………………7分则i i i )4()22()2)(2(21++-=++=a a a z z ,
……………………………………9分因为21z z 的虚部为0，所以
04=+a ，即4-=a ．…………………………………………………11分
所以i 242+-=z ．
…………………………………………………12分17．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1，
…………………1分所以10(0.0050.010.020.0250.01)1a ⨯+++++=，………………4分解得0.03a =.…………………………………………………6分（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于80分的频率为
10(0.0250.01)0.35⨯+=.………………………………9分由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为6000.35210⨯=.
……………………12分18．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）由三角形的余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，………………2分
得A cos 852857222⨯⨯-+=．
……………………………………3分所以，21cos =A ．…………………………………………………………4分
因为π<<a 0．
…………………………………………………………5分所以3
π=A ．……………………………………………………………………6分（Ⅱ）由三角形的正弦定理
sin sin a b A B =，……………………………………8分得a
A b
B sin sin =．……………………………………9分143
5723
5=⨯=…………………………………………11分
所以内角B 的正弦值为14
35．…………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3:2:1………2分由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师，因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人，2人，1人．…………………………4分（Ⅱ）（ⅰ）从抽出的6名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为
{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，
，{}C D ，，{}C E ，
，{}C F ，，{}D E ，，{}D F ，，{}E F ，，共15种．………7分（ⅱ）由（Ⅰ），不妨设抽出的6名教师中，来自甲学校的是A B C ，，，来自乙学校的是D E ，，来自丙学校的是F ，则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果
为{}A B ，
，{}A C ，，{}B C ，，{}D E ，，共4种．………………………………10分
所以，事件M 发生的概率()415P M =．…………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）证明：因为在ABC ∆中,点M ,N 分别是AB ,AC 的中点所以//MN BC ………………………………2分
又因为MN ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ………4分
所以//MN 平面PBC ……………………5分
（Ⅱ）因为点N 是AC 的中点,且PA PC
=所以PN AC ⊥………………………………7分
又因PN AB
⊥，AB⊂平面ABC,AC⊂平面ABC………………………………8分
=
,……………………………………………………………………9分
AB AC A
故PN⊥平面ABC…………………………………………10分
因为BC⊂平面ABC……………………………………………………………………11分所以PN BC
⊥………………………………………………………………………12分。
天津高一高中数学期末考试带答案解析
天津高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如果，则下列不等式中成立的只有（）A．B．C．D．2.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值是（）A．B．C．D．3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．B．C．D．4.如图所示程序框图中，输出（）A．B．C．D．5.已知关于的方程的两根之积等于两根之和，且边为的两内角所对的边，则是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形6.已知数列为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为（）的前项和，则的值为（）A．B．C．D．7.下列命题正确的是（）①函数的一个对称中心是；②从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥而不对立的两个事件；③将的图象向右平移个单位长度，即得到函数的图象；④若函数的图象都在轴上方，则实数的取值范围是．A．①③B．①④C．②④D．③④8.对于实数和，定义运算:，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.利用计算机产生区间内的均匀随机数，则事件“”的概率为．2.如图是某学校抽取的个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则的值是．3.已知的取值如表所示:若与呈线性相关，且回归方程为，则等于．2344.正项等比数列中，若，则= ．5.如图中，已知点在边上，，则的长为．6.在中，为边上一点，且，为上一点，且满足，则的最小值为．三、解答题1.（本小题满分8分）一个盒子中装有张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是 1，2，3，4，5现从盒子中随机抽取卡片（1）若一次抽取张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于的概率（2）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次抽到数字的卡片的概率．2.（本小题满分10分）已知函数的最小正周期为，（1）求函数的表达式并求在区间上的最小值；（2）在中，分别为角所对的边，且，，求角的大小；3.（本小题满分12分）已知关于的不等式（1）若不等式的解集为，求的值．（2）求不等式的解集4.（本小题满分l2分）已知数列{}的前项和为，且满足．数列{}满足，且，{}前项和为．（1）求数列{}、{}的通项公式;（2）设，求数列的前项和，并证明．5.（本小题满分14分）已知数列满足且，且，设，数列满足．（1）求证是等比数列并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）对于任意恒成立，求实数的取值范围．天津高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.如果，则下列不等式中成立的只有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，可得，故不正确，正确．再根据，可得不正确，只有选项成立，故选．【考点】不等式关系与不等式2.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】变量满足的约束条件的可行域如图所示，点，在点处有最小值，故选B．【考点】线性规划3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图可知甲的得分共有9个，中位数为28，所以甲的中位数为28．乙的得分有9个，中位数为36，所以乙的中位数为36，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64．故选C．【考点】茎叶图和中位数4.如图所示程序框图中，输出（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由程序框图值，第一次运行；第二次运行；第三次运行；…指导满足条件，运行终止，此时，，故选D．【考点】程序框图5.已知关于的方程的两根之积等于两根之和，且边为的两内角所对的边，则是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因为方程的两根之积等于两根之和，所以，由正弦定理可得，因为为三角形的两内角，，三角形为等腰三角形，故选A．【考点】（1）正弦定理（2）三角形形状的判断6.已知数列为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为（）的前项和，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，公差，代入数据可得，，故选D．【考点】等差数列前项和7.下列命题正确的是（）①函数的一个对称中心是；②从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥而不对立的两个事件；③将的图象向右平移个单位长度，即得到函数的图象；④若函数的图象都在轴上方，则实数的取值范围是．A．①③B．①④C．②④D．③④【答案】D【解析】对于①，函数的一个对称中心是；不正确，一个对称中心应该是；对于②，从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥不对立的两个事件；“至少有一个红球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，即事件A与事件B为互斥事件，至少有一个红球包含一个红球一个白球额两个红球，与恰有2个白球是对立事件，故②不正确；对于③，强的图像向右平移个单位长度，即可到函数的图像，所以③正确；若函数的图都在轴上方，可得并且，解得，所以④正确．故选D．【考点】命题的真假判断与应用8.对于实数和，定义运算:，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得当时，不等式恒成立，即恒成立，故函数的最小值大于等于0．由于函数的对称轴为，当，即时，的最小值为，求得．当时，即，的最小值为，综上可得实数的取值范围是，故选B．【考点】函数恒成立问题二、填空题1.利用计算机产生区间内的均匀随机数，则事件“”的概率为．【答案】【解析】，即，则事件发生的概率为．【考点】几何概型2.如图是某学校抽取的个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则的值是．【答案】48【解析】因为各小组频率之和为1，而后两组频率之和为：，所以前三组频率之和为1-0．25=0．75，又因为从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，故第三组频率为，因为第3小组的频数为18，则抽取的学生人数是．【考点】频率分布直方图3.已知的取值如表所示:若与呈线性相关，且回归方程为，则等于．234【答案】0．5【解析】，【考点】线性回归方程4.正项等比数列中，若，则= ．【答案】16【解析】，因为数列为等比数列，所以=．【考点】等比数列的性质5.如图中，已知点在边上，，则的长为．【答案】【解析】，，在中，，根据余弦定理得：．【考点】余弦定理6.在中，为边上一点，且，为上一点，且满足，则的最小值为．【答案】【解析】，又为上一点，不妨设，，不共线，，则=当且仅当，即时等号成立．【考点】平面向量的基本定理及其意义三、解答题1.（本小题满分8分）一个盒子中装有张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是 1，2，3，4，5现从盒子中随机抽取卡片（1）若一次抽取张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于的概率（2）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次抽到数字的卡片的概率．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先写出三张卡片上的数字全部可能的结果，一一列举出，把满足数字之和大于9的找出来，由此求所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率．（2）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，从前面列举出的结果中找出来，根据互斥事件的概率公式计算即可得到所求答案．试题解析：（1）令事件A “三张卡片之和大于9”，且从5张卡片中任取三张所有结果共十种：（1，2，3）（1，2，4）（1，2，5）（1，3，4，）（1，3，5）（1，4，5）（2，3，4）（2，3，5）（2，4，5）（3，4，5）三张卡片之和大于9的概率（2）令事件B为“两次抽取至少一次抽到数字3”则其对立事件“两次都没抽到数字3”第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片共16种结果：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4），（3，1）（3，2）（3，3）（3，4），（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）两次抽取至少一次抽到数字3的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率2.（本小题满分10分）已知函数的最小正周期为，（1）求函数的表达式并求在区间上的最小值；（2）在中，分别为角所对的边，且，，求角的大小；【答案】（1）-2（2）【解析】（1）本题考察的是求三角函数的解析式，一般采用三角函数中的恒等变换，化简求函数的解析式．可得，利用周期公式可求，由，可求范围，由正弦函数的图像和性质即可求出最小值．（2）本题考察的是解三角形的问题，由已知及正弦定理可解得的值，结合，即可求得角的值．试题解析：（1）函数因为（2）因为，由正弦定理得=又0又因为，所以【考点】（1）三角恒等变化（2）正弦函数的图像（3）正弦定理3.（本小题满分12分）已知关于的不等式（1）若不等式的解集为，求的值．（2）求不等式的解集【答案】（1）（2）①当时，或②当时，③当时，④当时，⑤当时，原不等式解集为【解析】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知的两根为，且，根据根与系数的关系，即可求出的值．（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为，然后通过对参数进行分类讨论，即可求出不等式的解集．试题解析：（1）将代入则…………1分不等式为即不等式解集为或（2）不等式为，即当时，原不等式解集为当时，方程的根为，①当时，，或②当时，，③当时，，④当时，，综上所述，原不等式解集为①当时，或②当时，③当时，④当时，⑤当时，原不等式解集为【考点】一元二次不等式的解法4.（本小题满分l2分）已知数列{}的前项和为，且满足．数列{}满足，且，{}前项和为．（1）求数列{}、{}的通项公式;（2）设，求数列的前项和，并证明．【答案】（1），（2）【解析】（1）本题考察的是数列的通项，由且当时，，即可得的通项公式；由等差数列的求和公式，可得公差，进而得到的通项公式．（2）本题察的是求数列的前项和，由（1）把的通项公式代入的式子，得到，运用裂项相消法求和，，化简即可得到前项和，再由单调性即可证明．试题解析：（1）因为①∴②∴①-②得且当时，∴由已知∴数列为等差数列，令其公差为又∴∴∴（2）∴∴……函数为的单调递减函数（另：因为，∴单调递增）∴为单调递增，∴【考点】（1）数列的通项公式（2）数列求和5.（本小题满分14分）已知数列满足且，且，设，数列满足．（1）求证是等比数列并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）对于任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）本题考察的是等比数列的证明，一般采用定义法或者等比中项法，本题中根据题目所给条件得到，即可证明是等比数列．然后求出新数列的通项公式，从而求出数列的通项公式．（2）本题考察的是求数列的前项和，根据（1）求出的数列的通项公式，求出，继而求出的通项公式，然后通过错位相减法求出的前项和．（3）本题考察的是不等式恒成立问题，根据的单调性，求出的最大值，然后由含参一元二次不等式恒成立，然后根据一元二次不等式在定区间恒成立，从而求出参数的取值范围．试题解析：（1）因为∴，∴是等比数列，其中首项是，公比为∴，（2）由（1）知，，两式相减得（3）…10分∴当时，当∴当或时，取最大值是只须即对于任意恒成立即【考点】（1）等比数列的通项公式（2）求数列的前项和（3）不等式恒成立问题。
天津市武清区2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析
天津市武清区2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A ．B ．2C ．3D ．2．化简()1111232240,0a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为（ ） A ．a B ．b C ．abD ．b a3．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．34k ≥或 4k ≤- B ．34k ≥或 14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤ 4．若平面α∥平面β，直线l ⊂平面α，直线n ⊂平面β，则直线l 与直线n 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．异面 C ．相交D ．平行或异面5．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4B ．4C ．125-D ．1256．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π B ．4π C ．2π D ．π7．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．过点（1，0）且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ）A ．210x y ＝B ．210x y ＝C ．210x y +-＝D ．220x y ＝9．将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5:3:2，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（ ） A ．20B ．40C ．60D ．10010．一支田径队有男运动员 560 人，女运动员 420 人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取 16 人，从女生中任意抽取 12 人进行调查．这种抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样法 B ．抽签法 C ．随机数表法D ．分层抽样法二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市南开区2024届高一数学第二学期期末达标测试试题含解析
天津市南开区2024届高一数学第二学期期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．2B ．23+C ．32+D ．122．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=，则101a 的值为： A ．52B ．51C ．50D ．493．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20184．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数()f x 的“下确界”.若函数()3cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭的“下确界”为12-，则m 的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,66ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭5．为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移724πB ．向右平移724π C ．向左平移712πD ．向右平移712π6．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 7．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2=NB PN ，则三棱锥-N PAC 与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:3D ．1:68．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形9．函数3()arctan f x x x =+的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若10091a =-，m =12320162017()()()()()f a f a f a f a f a +++++，则（ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0d >时，m 恒为正数；当0d <时，m 恒为负数D ．当0d >时，m 恒为负数；当0d <时，m 恒为正数10．点M(4，m ）关于点N （n, － 3）的对称点为P （6，-9）则（ ） A ．m ＝－3,n ＝10 B ．m ＝3,n ＝10 C ．m ＝－3, n ＝5D ．m =3, n = 5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021-2022学年天津市河西区、四十一中高一下学期期末考试数学试题(解析版)
天津市河西区、四十一中2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．实部为2-，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限〖解 析〗实部为2-，虚部为1的复数所对应的点的坐标为(2,1)-，位于第二象限． 〖答 案〗B2．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( ) A ．落在相应各组的数据的频数 B ．相应各组的频率C ．该样本所分成的组数D ．该样本的样本容量〖解 析〗频率分布直方图中，各个长方形的面积表示相应数据的频率， 它等于这组的频数除以样本容量的值， 小长方形的个数表示该样本所分成的组数． 〖答 案〗B3．已知(5,2)a =-，(4,3)b =--，(,)c x y =，若230a b c -+=，则(c = ) A ．8(1,)3B ．138(,)33C ．134(,)33D ．134(,)33-- 〖解 析〗由题意可得：23(133,43)0a b c x y -+=++=， 所以1330x +=，并且430y +=，所以133x =-，43y =-． 〖答 案〗D4．将无盖正方体纸盒展开如图，则直线AB 、CD 在原正方体中的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交成60︒D ．异面〖解 析〗将正方体还原得到A ，B ，C ，D 的位置如图因为几何体是正方体，所以连接AC ，得到三角形ABC 是等边三角形，所以60ABC ∠=︒；〖答 案〗C5．已知||4a =，e 为单位向量，当向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，则向量a 在向量e 上的投影向量为( ) A ．2eB ．2e -C ．3eD ．3e -〖解 析〗||4a =，e 为单位向量，向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，∴||||cos15041(a e a e ⋅=︒=⨯⨯=-∴向量a 在向量e 上的投影||a ee ⋅为-a 在向量e 上的投影向量为3e -． 〖答 案〗D6．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．则下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品B ．至少有1件次品和全是次品C ．至少有1件正品和至少有1件次品D ．至少有1件次品和全是正品〖解 析〗从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，∴在A 中，恰好有1件次品和恰好有2件次品不能同时发生，但能同时不发生， ∴恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件但不是对立事件，故A 成立；在B 中，至少有1件次品和全是次品，能同时发生， ∴至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有1件正品和至少有1件次品能同时发生， ∴至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C 不成立；在D 中，至少有1件次品和全是正品不能同时发生，也不能同时不发生， ∴至少有1件次品和全是正品是对立事件，故D 不成立．〖答 案〗A7．两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是( ) A ．两个角均为锐角 B ．一个角为0︒，一个角为90︒ C ．两个角均为0︒D ．两个角均为90︒〖解 析〗两条异面直线与同一平面所成的角，两个角均为锐角，所以A 正确， 如果异面直线互相垂直时，一条直线与平面平行，另一条直线与平面垂直， 满足一个角为0︒，一个角为90︒，所以B 正确；如果两条异面直线都与平面平行，此时两条异面直线与同一平面所成的角两个角均为0︒，所以C 正确；如果两个角均为90︒，则两条直线与平面垂直，两条直线是平行线，所以D 不正确． 〖答 案〗D8．袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则( ) A ．P （A ）P =（B ） B ．2P （A ）P =（B ）C ．P （A ）2P =（B ）D ．3P （A ）P =（B ）〖解 析〗袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．基本事件总数246n C ==， 设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则A 中包含的基本事件个数221222m C C =+=，B 中包含的基本事件个数112224m C C ==， P ∴（A ）2163==，P （B ）4263==，2P ∴（A ）P =（B ）． 〖答 案〗B9．如图，圆柱OO '中，AA '是侧面的母线，AB 是底面的直径，C 是底面圆上一点， 则( )A ．BC ⊥平面A AC 'B ．BC ⊥平面A AB 'C ．AC ⊥平面A BC 'D ．AC ⊥平面A AB '〖解 析〗C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，且AB 是圆柱底面圆的直径，BC AC ∴⊥，AA '⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AA BC '∴⊥，AA AC A '=，AA '⊂平面AA C '，AC ⊂平面AA C '，BC ∴⊥平面A AC '．〖答 案〗A二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．已知i 是虚数单位，若复数z 满足(1)2i z +=，则z 的虚部为 ；z = ． 〖解 析〗(1)2i z +=，22(1)11(1)(1)i z i i i i -∴===-++-， 故z 的虚部是1-，1z i =+． 〖答 案〗1-，1i +11．某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为 ． 〖解 析〗分层抽样的抽取比例为701350050=， 总体个数为350015005000+=，∴样本容量1500010050n =⨯=． 〖答 案〗10012．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为 ．〖解 析〗由题意可知四棱锥111A BB D D -的底面是矩形，边长：1四棱锥的高：1112AC =．则四棱锥111A BB D D -的体积为：11133⨯=．〖答 案〗1313．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 ． 〖解 析〗从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有2510C =种情况， 和为5的有(1，4)(2，3)两种情况，故所求的概率为：20.210=． 〖答 案〗0.214．已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题： ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；④若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直． 其中真命题是 （写出所有正确命题的序号） 〖解 析〗已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题：①若//a b ，//b c ，根据平行线的传递性可得：//a c ，正确； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 平行、相交或为异面直线，因此不正确； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥，正确；④若a 与b 异面，则有无数条直线与a ，b 都垂直，因此不正确． 其中真命题是 ①③． 〖答 案〗①③15．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ． 〖解 析〗如图所示，ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，2BD DC =，∴AD AB BD =+23AB BC =+2()3AB AC AB =+-1233AB AC =+，又()AE AC AB R λλ=-∈，∴12()()33AD AE AB AC AC AB λ⋅=+⋅-221212()3333AB AC AB AC λλ=-⋅-+221212()32cos603243333λλ=-⨯⨯⨯︒-⨯+⨯=-， ∴1113λ=，解得311λ=． 〖答 案〗311三、解答题：本大题共5小题，共49分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（9分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F ，G 分别是AD ，BC 的三等分点1(3AF AD =，13BG BC =．设AB a =，AD b =．（1）用a ，b 表示EF ，EG ； （2）如果3||||2b a =，EF ，EG 有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 解：（1）11113232EF AF AE AD AB b a =-=-=-，1111122323EG EB BG AB AF AB AD a b =+=+=+=+， （2）EF EG ⊥，证明：由（1）得，1132EF b a =-，1132EG b a =+，∴2222111111191()()0323294944EF EG b a b a b a a a ⋅=-⋅+=-=⨯-=，∴EF EG ⊥，EF EG ∴⊥．17．（10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos()6b A a B π=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）设2a =，3c =，求b ． 解：（Ⅰ） 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，又sin cos()6b A a B π=-．可得sin cos()6B B π=-，1sin sin 2B B B ∴=+，则tan B ． 又(0,)B π∈，可得3B π=．（Ⅱ） 在ABC ∆中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，2222cos 49223cos73b ac ac B π∴=+-=+-⨯⨯⨯=，解得b =．18．（10分）为了了解某学校高一年级的712名学生身高的情况，现从该学校386名女生中抽取一个样本容量为27的样本，其观测数据（单位：)cm 如下： 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 （1）计算女生身高的样本平均数；（2）若该学校男生平均身高为170.6cm ，试估计该校高一年级学生的平均身高； （3）根据女生的样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数． 解：（1）根据题意，女生身高的样本平均数1(163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.027x =++++++++++ 154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0)160.6cm ++++++++++++++++≈，（2）根据题意，高一年级共712名学生，其中女生386名，则男生有712386326-=， 则高一年级学生的平均身高为386160.6326170.6165.2712cm ⨯+⨯=，（3）根据题意，女生身高从小到大排列为：148、149、154、154、155、155.5、157、157、158、159、161、161、162、162.5、162.5、163、163、164、164、164、165、170、171、172、172， 又由2775%20.25⨯=，则女生身高的第75百分位数为第21个数据，即164， 故该学校高一年级女生身高的第75百分位数为164cm ．19．（10分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求0X =，1X =的概率； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：（1）由题意可知1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=． （2）两辆车共遇到1个红灯的概率为11111111142424448P =⨯+⨯=， 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148． 20．（10分）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，AD =90BAD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，AD AB ⊥， 得AD ⊥平面ABC ，故AD BC ⊥；（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ，M 为棱AB 的中点，故//MN BC ，DMN ∴∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成角，在Rt DAM ∆中，1AM =，故DM =，AD ⊥平面ABC ，故AD AC ⊥，在Rt DAN ∆中，1AN =，故DN ==在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MNDMN DM ∠==．∴异面直线BC 与MD （Ⅲ）解：连接CM ，ABC ∆为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM AB ⊥，CM =又平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，则CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成角．在Rt CAD ∆中，4CD =，在Rt CMD ∆中，sin CM CDM CD ∠==．∴直线CD 与平面ABD ．。
2020届天津市和平区高一下期末数学试卷(有答案)(加精)
天津市和平区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）A．组距 B．频率 C．组数 D．频数2．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则事件A的互斥事件为（）A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到1件次品3．期中考试过后，高一年级组把参加数学考试的全体高一学生考号末位为5的学生召集起来开座谈会，运用的抽样方法是（）A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．抽签法4．若事件A与B是互为对立事件，且P（A）=0.4，则P（B）=（）A．0 B．0.4 C．0.6 D．15．不等式3x﹣4y+6＜0表示的平面区域在直线3x﹣4y+6=0的（）A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方6．如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜20 B．i＞20 C．i＜10 D．i＞107．目标函数z=x+y，变量x，y满足，则（）A．z min=2，z max=3 B．z min=2，无最大值C．z max=3，无最小值D．既无最大值，也无最小值8．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．用辗转相除法或更相减损术求459与357的最大公约数是．10．某中学高一有400人，高二有320人，高三有280人，用简单随机抽样方法抽取一个容量为n的样本，已知每个人被抽取到的可能性大小为0.2，则n=．11．已知两个正变量x，y，满足x+y=4，则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围是，当x=，y=时等号成立．12．如图所示，如果执行如图所示的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p=．13．如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（2，0）且点C与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为．14．设x．y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为13，则a+b的最小值为．三.解答题：6题52分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为40秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为50秒（没有两灯同时亮），当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯．16．雾霾天气是一种大气污染状态，PM2.5被认为是造成雾霾天气的“元凶”，PM2.5日均值越小，空气质量越好．国家环境标准设定的PM2.5日均值（微克/立方米）与空气质量等级对应关系如表：PM2.5日均值（微克/立方米）0﹣﹣3535﹣﹣7575﹣﹣115115﹣﹣150150﹣﹣250250以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染由某市城市环境监测网获得4月份某5天甲、乙两城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示，如图所示．（Ⅰ）试根据统计数据，分别写出两城区的PM2.5日均值的中位数，并从中位数角度判断哪个城区的空气质量较好？（Ⅱ）考虑用频率估计概率的方法，试根据统计数据，估计甲城区某一天空气质量等级为3级轻度污染的概率；（Ⅲ）分别从甲、乙两个城区的统计数据中任取一个，试求这两城区空气质量等级相同的概率．17．已知D是以点A（4，1），B（﹣1，﹣6），C（﹣2，3）为顶点的三角形区域（包括边界及内部）．（1）写出表示区域D的不等式组；（2）设点B（﹣1，﹣6）、C（﹣2，3）在直线4x﹣3y﹣a=0的异侧，求a的取值范围；（3）若目标函数z=kx+y（k＜0）的最小值为﹣k﹣6，求k的取值范围．18．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．19．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组[18，28） 5 0.5 第2组[28，38）18 a第3组[38，48）27 0.9 第4组[48，58）x 0.36 第5组[58，68） 3 0.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．20．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A（件）产品B（件）研制成本、搭载费用之和（万元）20 30 计划最大资金额300万元产品重量（千克）10 5 最大搭载重量110千克预计收益（万元）80 60试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？天津市和平区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）A．组距 B．频率 C．组数 D．频数【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图的做法，可得正确答案【解答】解：小长方形的长为组距，高为，所以小长方形的面积为：组距×=频率故选B2．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则事件A的互斥事件为（）A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到1件次品【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由于在所有的基本事件中，不能同时发生的两个事件是互斥事件，由此可得结论．【解答】解：在所有的基本事件中，不能同时发生的两个事件是互斥事件，事件A：“至少抽到2件次品”，故“至多抽到1件次品”与A是互斥事件，故选：D．3．期中考试过后，高一年级组把参加数学考试的全体高一学生考号末位为5的学生召集起来开座谈会，运用的抽样方法是（）A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．抽签法【考点】系统抽样方法．【分析】根据末位为5的学生的学生号码之间的关系进行判断即可．【解答】解：∵末位为5的学生的学生号码间距相同都为10，∴高一年级组运用的抽样方法是系统抽样，故选：B．4．若事件A与B是互为对立事件，且P（A）=0.4，则P（B）=（）A．0 B．0.4 C．0.6 D．1【考点】互斥事件与对立事件．【分析】根据对立事件的概率公式p（）=1﹣P（A），解得即可．【解答】解：因为对立事件的概率公式p（）=1﹣P（A）=0.6，故先C．5．不等式3x﹣4y+6＜0表示的平面区域在直线3x﹣4y+6=0的（）A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据二元一次不等式表示平面区域的性质确定不等式对应的平面区域即可．【解答】解：∵当x=0，y=0时，3x﹣4y+6=6＞0，∴原点位于不等式3x﹣4y+6＞0表示的平面区域内，∴不等式3x﹣4y+6＜0表示的平面区域位于直线3x﹣4y+6=0的左上方．故选：C．6．如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜20 B．i＞20 C．i＜10 D．i＞10【考点】循环结构．【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当条件满足时，用+s的值代替s 得到新的s，并用n+2代替n、用i+1代替i，直到条件满足时，输出最后算出的s值．由此结合题意即可得到本题答案．【解答】解：由题意，该程序按如下步骤运行经过第一次循环得到s=，n=4，i=2；经过第二次循环得到s=+，n=6，i=3；经过第三次循环得到s=++，n=8，i=4；…看到S中最后一项的分母与i的关系是：分母=2（i﹣1）∴20=2（i﹣1）解得i=11时需要输出所以判断框的条件应为i＞10．故选D．7．目标函数z=x+y，变量x，y满足，则（）A．z min=2，z max=3 B．z min=2，无最大值C．z max=3，无最小值D．既无最大值，也无最小值【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求目标函数z=x+y的最值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点C时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即C（2，0），代入目标函数z=x+y得z=2+0=2．即目标函数z=x+y的最小值为2．无最大值．故选：B．8．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求（x+y）（）的最小值；展开凑定值【解答】解：已知不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求（x+y ）（）的最小值≥9∵≥∴≥9∴≥2或≤﹣4（舍去），所以正实数a的最小值为4，故选项为B．二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．用辗转相除法或更相减损术求459与357的最大公约数是51．【考点】用辗转相除计算最大公约数．【分析】根据辗转相除法：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．【解答】解：辗转相除法：∵459=357×1+102，357=102×3+51，102=51×2故459和357的最大公约数是51，故答案为：51．10．某中学高一有400人，高二有320人，高三有280人，用简单随机抽样方法抽取一个容量为n的样本，已知每个人被抽取到的可能性大小为0.2，则n=200．【考点】简单随机抽样．【分析】根据抽样的性质，每个个体被抽到的概率相等，建立方程即可．【解答】解：在抽样中，每个个体被抽到的概率相等，则n=×0.2=1000×0.2=200，故答案为：20011．已知两个正变量x，y，满足x+y=4，则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围是（﹣∞，]，当x=，y=时等号成立．【考点】基本不等式．【分析】运用乘1法，可得+=（x+y）（+）=（5++），由基本不等式可得最小值，进而得到m的范围和相应x，y的值．【解答】解：x＞0，y＞0，且x+y=4，可得+=（x+y）（+）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当y=2x=， +取得最小值，由不等式+≥m恒成立，可得m≤．故答案为：（﹣∞，]，，．12．如图所示，如果执行如图所示的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p=2520．【考点】程序框图．【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，m=4，k=1，p=1p=3不满足条件k＞4，执行循环体，k=2，p=12不满足条件k＞4，执行循环体，k=3，p=60不满足条件k＞4，执行循环体，k=4，p=360不满足条件k＞4，执行循环体，k=5，p=2520满足条件k＞m，退出循环，输出p的值为2520．故答案为：2520．13．如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（2，0）且点C与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据函数的解析式求出A，C，D的坐标，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵B的坐标为（2，0），∴当当x=2时，f（2）=2+1=3，即C（2，3），由f（x）=﹣x+1=3，得x=﹣4，即D（﹣4.3），A（﹣4，0），则矩形ABCD的面积S=6×3=18，阴影部分的面积S=，则对应的面积S==，故答案为：14．设x．y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为13，则a+b的最小值为6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求a+b 的最小值．【解答】解：由z=abx+y（a＞0，b＞0）得y=﹣abx+z，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=﹣abx+z的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=﹣abx+z，由图象可知当y=﹣abx+z经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（1，4）．此时z=ab+4=13，即ab=9，则a+b=2=2×3=6，当且仅当a=b=3时取=号，故最小值为6，故答案为：6．三.解答题：6题52分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为40秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为50秒（没有两灯同时亮），当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式分别进行求解即可．【解答】解：全部时间为40+5+50=95秒，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型，记“看见红灯”为事件A，“看见黄灯”为事件B，“看见绿灯”为事件C，“看见的不是红灯”为事件D，则（1）P（A）=．（2）P（B）=．（3）P（D）=P（B）+P（C）=．16．雾霾天气是一种大气污染状态，PM2.5被认为是造成雾霾天气的“元凶”，PM2.5日均值越小，空气质量越好．国家环境标准设定的PM2.5日均值（微克/立方米）与空气质量等级对应关系如表：PM2.5日均值（微克/立方米）0﹣﹣3535﹣﹣7575﹣﹣115115﹣﹣150150﹣﹣250250以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染由某市城市环境监测网获得4月份某5天甲、乙两城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示，如图所示．（Ⅰ）试根据统计数据，分别写出两城区的PM2.5日均值的中位数，并从中位数角度判断哪个城区的空气质量较好？（Ⅱ）考虑用频率估计概率的方法，试根据统计数据，估计甲城区某一天空气质量等级为3级轻度污染的概率；（Ⅲ）分别从甲、乙两个城区的统计数据中任取一个，试求这两城区空气质量等级相同的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（I）由茎叶图可知甲乙两个城市5天数据由小到大排列，求出中位数，比较两个中位数的大小可得哪个城市的空气质量较好；（II）由茎叶图可知在抽取的五天中，甲城市空气质量等级为3级轻度污染的频数为3，进而得到频率，进而估算出概率；（Ⅲ）从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，共有25种不同情况，统计这两个城市空气质量等级相同的情况个数，代入古典概型概率计算公式可得答案．【解答】解：（Ⅰ）甲城市5天数据由小到大排列：59，83，87，95，116，乙城市5天数据由小到大排列：66，68，85，88，98，∴甲的中位数是87，乙的中位数是85，∴乙城市的空气质量较好．（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为3级轻度污染的频率为，则估计甲城市某一天的空气质量等级为3级轻度污染的概率为．（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：（59，66），（59，68），（59，85），（59，88）（59，98）（83，66），（83，68），（83，85），（83，88）（83，98）（87，66），（87，68），（87，85），（87，88）（87，98）（95，66），（95，68），（95，85），（95，88）（95，98），，，，其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为2级良的为甲59，乙66，乙68；同为3级轻度污染的为甲83，甲87，甲95；乙85，乙88，乙98；则空气质量等级相同的为：（59，66），（59，68），（83，85），（83，88），（83，98），（87，85），（87，88），（87，98），（95，85），（95，88），（95，98），共11个结果．所以这两个城市空气质量等级相同的概率为．17．已知D是以点A（4，1），B（﹣1，﹣6），C（﹣2，3）为顶点的三角形区域（包括边界及内部）．（1）写出表示区域D的不等式组；（2）设点B（﹣1，﹣6）、C（﹣2，3）在直线4x﹣3y﹣a=0的异侧，求a的取值范围；（3）若目标函数z=kx+y（k＜0）的最小值为﹣k﹣6，求k的取值范围．【考点】简单线性规划．【分析】（1）先分别求出AB，BC，AB的方程，结合二元一次不等式组表示平面区域进行表示，（2）根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式关系进行求解即可．（3）根据线性规划的知识建立直线斜率关系进行求解即可．【解答】解：（1）A（4，1），B（﹣1，﹣6），C（﹣2，3）为顶点，则直线方程AB：得7x﹣5y﹣23=0，AC：，即x+3y﹣7=0，BC：，即9x+y+15=0，则对应的不等式组为．（2）∵点B（﹣1，﹣6）、C（﹣2，3）在直线4x﹣3y﹣a=0的异侧，∴将点的坐标分别代入得（14﹣a）（﹣17﹣a）＜0，即（a﹣14）（a+17）＜0，得﹣17＜a＜14．（3）∵z=kx+y（k＜0）的最小值为﹣k﹣6，这也是将点B（﹣1，﹣6）的坐标代入的结果，∴B是目标函数的最优解，∵y=﹣kx+z，∴0＜﹣k＜k AB或k BC＜﹣k＜0，（∵k＜0，∴这种情况不存在）∵k AB=，∴0＜﹣k＜，即﹣＜k＜0．18．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；（2）由2x+8y=xy，变形得+=1，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，2x+8y﹣xy=0，∴xy=2x+8y≥2，∴≥8，∴xy≥64．当且仅当x=4y=16时取等号．故xy的最小值为64．（2）由2x+8y=xy，得： +=1，又x＞0，y＞0，∴x+y=（x+y）•=10++≥10+=18．当且仅当x=2y=12时取等号．故x+y的最小值为18．19．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组[18，28） 5 0.5第2组[28，38）18 a第3组[38，48）27 0.9第4组[48，58）x 0.36第5组[58，68） 3 0.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由回答对的人数：每组的人数=回答正确的概率，分别可求得要求的值；（2）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，…第2组频率为：0.2，人数为：100×0.2=20，所以a=18÷20=0.9，…第4组人数100×0.25=25，所以x=25×0.36=9，…（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．…∴P（A）=．…答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为．…20．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A（件）产品B（件）研制成本、搭载费用之和（万元）20 30 计划最大资金额300万元产品重量（千克）10 5 最大搭载重量110千克预计收益（万元）80 60试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【考点】简单线性规划的应用．【分析】我们可以设搭载的产品中A有x件，产品B有y件，我们不难得到关于x，y的不等式组，即约束条件和目标函数，然后根据线行规划的方法不难得到结论．【解答】解：设搭载产品Ax件，产品By件，预计总收益z=80x+60y．则，作出可行域，如图．作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，，解得，即M（9，4）．所以z max=80×9+60×4=960（万元）．答：搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大，为960万元．。
天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷(含答案)
天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学学科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内．1．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）A ．B ．0C ．1D ．22．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．四边形确定一个平面C ．三角形确定一个平面D ．一条直线和一个点确定一个平面3．某校高一数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：35，36，37，38，40，41，51，51，52，54，56，59，则该组数据的极差为（ ）A ．53B ．52C ．51D ．244．在中，若，则（ ）A ．B ．C ．10D ．5．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果，记事件为“所得点数之和小于4”，则事件的概率为（ ）A．B ．C ．D ．6．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）A ．B ．C ．D ．7．从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”，则与事件对立的事件是（ ）A ．所取的2个球中至多有一个是黑球B ．所取的2个球中恰有1个黑球1个红球C ．所取的2个球都是红球D ．所取的2个球中至少有一个红球8．某校组织“交通安全”知识测试，随机调查1000名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）()21i z m m =++-i m =2-ABC △π4,5,6AB BC B ===AB BC ⋅= --(),x y A A 11219536512π3π22π35π6A A [)[)[]50,60,60,70,,90,100A ．图中B ．估计样本数据的第80百分位数为93分C ．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分D ．测试成绩低于80分的人数为450人9．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．已知平面向量，则下列说法不正确的是（ ）A ．与共线的单位向量的坐标为或B ．在方向上的投影向量为C ．与垂直的单位向量的坐标为或D ．若向量与向量垂直，则11．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12．《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，是的中点，过三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论：①过三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形②该三棱台的表面积为0.001x =,αβ,m n ,m m αβ∥∥αβ∥,m n αα⊥∥m n ⊥,m αβα⊥∥m β⊥,m n n α⊥⊥m α∥()()2,1,4,3a b =-=-b 43,55⎫⎛- ⎪⎝⎭43,55⎫⎛- ⎪⎝⎭b a 115a- a ⎛ ⎝a b λ+ a b + 37λ=ABC △,,A B C ,,a b c cos cos b aA B c--=ABC △12,4,AB BC AA M ===11A C ,,B C M ,,B C M 172+③二面角④三棱锥的外接球的表面积为其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．13．若复数（是虚数单位），则___________．14．一支羽毛球队有男运动员64人，女运动员56人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为30的样本，如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取的人数为___________．15．已知一组样本数据：3，4，4，4，6，6，7，8，8，则该组样本数据的众数为___________，中位数为___________．16．已知一组数据的平均数是3.6，方差是2，则新数据的平均数是___________，方差是___________．17．如图，用斜二测画法画水平放置的的直观图得，其中的面积为，则其直观图中边上的高的长度为___________．18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，底面，为的中点，为底面的中心．（ⅰ）三棱锥的体积为___________；（ⅱ）直线与所成的角为___________．19．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居1M BC C --M ABC -81π413i1iz +=+i z =12,,,n x x x 122,2,,2n x x x +++ AOB △()45A O B x O y ''''''∠=︒△AOB △2O B '='O B ''A C ''P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PA E =PA O ABCD A EBD -OE CD中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为___________．20．在中，，并且满足．（ⅰ）角___________；（ⅱ）若点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），则线段的长度为___________．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．（本小题满分12分）已知向量满足．（Ⅰ）求向量的数量积；（Ⅱ）求向星夹角的余弦值；（Ⅲ）求的值．22．（本小题满分12分）甲、乙两名同学进行某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率；（Ⅰ）甲、乙两同学都能通过；（Ⅱ）甲、乙两同学恰有一人通过；（Ⅲ）甲、乙两同学中至少有一人通过．23．（本小题满分13分）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．ABC △5,3AB AC ==25CB AB ⋅=A =DBC D ,B C AD P 12AP =43PA mPB m PC ⎫⎛=+- ⎪⎝⎭mCD ,a b ()()2,1,1,3a b ==-,a b a b ⋅,a bθ2a b +2334111ABC A B C -E AC（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．24．（本小题满分13分）已知的三个内角的对边分别为，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的面积是，求；（Ⅲ）若为边上一点，且满足，，试求的最大值．滨海新区2023-2024学年度第二学期期末检测卷高一年级数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．123456789101112ACDAABCDBCDA 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．1314．16 15．4，616．5.6，2 17．2 18 19．20．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．说明：解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．1AB ∥1BC E 1BC E ⊥11ACC A M 1A A 114AM AA =BM 1BC E ABC △,,A B C ,,a b c 222b ac bc =-+A ABC △2c b =a D AC cos cos AB BD BA BD AB A BD CDB λ⎫⎛⎪ +=+⎪ ∠⎝⎭a =BD CD +π3725π221．解：（Ⅰ）（Ⅱ）又（Ⅲ）22．解：设“甲通过”，“乙通过”，则“甲没通过”，“乙没通过”．由于两人测试的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立．由已知可得，．（Ⅰ）“两人都通过”，由事件的独立性定义，得所以两人都通过的概率为（Ⅱ）“恰好有一人通过”，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得所以甲、乙两人中恰好有一人通过的概率为（Ⅲ）事件“至少有一人通过”，且与两两互斥所以所以两人中至少有一人通过的概率为23解：（Ⅰ）连接交于点，连接．()21131a b ⋅=⨯+⨯-=-a === cos ab a b θ⋅==== ()()()22,121,34,5a b +=+-=-2a b ∴+==A =B =A =B =A B A B AB A B ()()()()2311,,,3434A P A PB B P P ====AB =()()()231342P AB P A P B ==⨯=12AB AB = AB AB ()()()()()()()A A P AB B P AB P B P A P P B A B P =+=+ 211311534346412=⨯+⨯=+=512AB AB AB = ,AB AB AB ()()()()()()151121212P AB AB AB P AB P AB P AB P AB P AB AB =++=+=+= 11121B C 1BC G EG在中，为的中点，为的中点．是的中位线，平面平面平面（Ⅱ）在正三棱柱中，平面平面，在等边中，为的中点，又是平面内的两条相交直线．平面，又平面，平面平面（Ⅲ）连接，和都是直角三角形，且，，，由（Ⅱ）得，平面平面，平面平面，又平面，1AB C △G 1B C E AC EG ∴1AB C △1EG AB ∴∥EG ∈ 11,BC E AB ⊄1BC E1AB ∴∥1BC E111ABC A B C -1CC ⊥ ,ABC EB ⊂ABC 1CC EB∴⊥ABC △E AC AC EB ∴⊥AC EB∴⊥1CC AC 、11ACC A EB ∴⊥11ACC A EB ⊥1BC E ∴1BC E ⊥11ACC A EM AEM △1CC E △12CC AECE AM==11,AEM CC E CC E AEM ∴∠=∠△∽△111ππ,22CC E CEC CEC AEM ∠+∠=∴∠+∠= 1ME C E ∴⊥1BC E ⊥11ACC A 1BC E 111ACC A C E =ME ∈11ACC A平面为直线与平面所成的角．在中，所以直线与平面24．解：（Ⅰ）由余弦定理得，（Ⅱ）由面积公式得，又（Ⅲ）取的中点，则，又为等边三角形ME ∴⊥1BC EEBM ∴△BM 1BC E Rt BME △BE ME ==tan ME EBM BE ∴==△BM 1BCE222cos 2b c a A bc +-=2221cos 222b c a bc A bc bc +-===()π0,,3AA π∈∴=ABC △1sin 2ABC S bc A =△11πsin sin 4223ABC S bc A bc bc ====∴=△222,2,8c b b c =∴== 2226a b c bc a =+-=∴=AD E 2BA BD BE +=()2cos cos AB AC BD AC BA BD AC BE AC AB A BD CDB λ⎫⎛⋅⋅⎪ ∴+⋅=⋅=+⎪ ∠⎝⎭()AC AC λ=-=,BE AC BA BD∴⊥=π,3A ABD =∴ △在中，由余弦定理得，又由基本不等式得，当且仅当时，等号成立的最大值为4．2π3BDC ∴∠=BCD △2222cos a BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅∠2222()12a BD CD BD CD BD CD BD CD =++⋅=+-⋅=222()3()12244BD CD BD CD BD CD BD CD +++⎫⎛⋅≤=≤ ⎪⎝⎭BD CD =4BD CD ∴+≤BD CD ∴+。
天津市部分区2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题【含解析】
天津市部分区2019~2020学年度第二学期期末考试高一数学一、选择题1.下列命题正确的是（ ）A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C 【解析】【分析】根据公理对选项逐一分析，由此确定正确选项.2【详解】对于A 选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A 选项错误.对于B 选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B 选项错误.对于C 选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C 选项正确.对于D 选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查公理的理解和运用，属于基础题.22.复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）42z i =-i A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】求得对应的坐标，由此得出正确选项.z 【详解】复数对应的坐标为，在第四象限.42z i =-()4,2-故选：D【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.3.用斜二测画法画边长为2的正方形的直观图时，以射线，分别为轴、ABCD AB AD x 轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图，则该直观图y A B C D ''''的面积为（ ）【答案】A 【解析】【分析】根据原图和直观图面积关系，求得题目所求直观图的面积.【详解】设原图的面积为，直观图的面积为，则.S 'S ''SS S =⇒=正方形的面积为，所以其直观图的面积为.ABCD224S =⨯='4S S ===故选：A【点睛】本小题主要考查斜二测画法有关的面积计算，属于基础题.4.一个袋子中装有大小和质地相同的3个红球和2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中红球和白球各有1个的概率为（ ）A. B. C. D. 45352515【答案】B 【解析】【分析】利用古典概型概率计算公式，求得所求的概率.【详解】依题意，这个球中红球和白球各有个的概率为.2111322563105C C C ==故选:B【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.5.已知，，且，则向量与的夹角为（ ）5a = 4b = 10a b ⋅=- a bA. B. C. D. 6π3π23π56π【答案】C 【解析】【分析】利用向量夹角公式求得向量与的夹角的余弦值，由此求得向量与的夹角.a b a b【详解】设向量与的夹角为，则，由于，所以a b θ101cos 542a b a b θ⋅-===-⨯⋅ []0,θπ∈.23πθ=故选：C【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，属于基础题.6.在中，已知，，，则（ ）ABC AC =3AB =30A =︒BC =A. 4 B. 2C. 3【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理求得的值.BC 【详解】依题意BC =.==故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题.7.已知向量，则与平行的单位向量的坐标为（ ）()1,2a =-raA.B.或⎛⎝⎛⎝C.D.或⎛ ⎝【答案】D【解析】【分析】由单位向量的定义，计算，即得．a a± 【详解】由已知，所以与平行的单位向量为或a == a aa=．(a a-= 故选：D ．【点睛】本题考查单位向量的概念，解题时要注意与与平行的单位向量有两个，一个与a同向，一个与反向．a a8.四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）（注：一组数据的平均数为，它的方差为12,,...,n x x x x ）()()()2222121...n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦A. 平均数为2，方差为2.4 B. 中位数为3，众数为2C. 平均数为3，中位数为2 D. 中位数为3，方差为2.8【答案】A 【解析】【分析】假设出现6点，根据均值估计方差的大小，错误的可举反例说明．【详解】若平均数是2，若出现6点，则方差，不可能是2.4，因此A 中221(62) 3.25s >-=一定不会出现6点，其它选项可各举一反例：如，中位数是3，众数是2；2,2,3,4,6如，平均数为3，中位数为2；2,2,2,3,6如，中位数为3，方差为2.8．1,2,3,3,6故选：A ．【点睛】本题考查样本数据特征，掌握均值，方差，中位数，众数等概念是解题基础．属于基础题．9.棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（ ）（注：球的体积，其中为球的半径）343V R π=RC.D. 【答案】C【解析】【分析】利用正方体的体对角线计算出球的直径，由此得到半径，进而求得球的体积.，设球的半径为，则=R ，2R R==所以球的体积为.334433R ππ⨯=⨯=故选：C【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，属于基础题.10.已知的三个内角的对边分别为.向量，ABC ,,A B C ,,a b c (),m a b c =+，若，则（ ）)cos ,1n C C =+- m n ⊥A =A. B. C. D. 6π3π23π56π【答案】B 【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，结合正弦定理进行化简，由此求得的值，进sin 6A π⎛⎫- ⎪⎝⎭而求得的大小.A 【详解】由于，所以，由正弦定理得m n ⊥0m n ⋅=sin cos 0C a C b c +--=，sin sin cos sin sin 0A C A C B C +--=，()sinsin cos sin sin 0A C A C A C C +-+-=sin sin cos sin cos cos sin sinA C A C A C A C C +---=，sin cos sin sin 0A C A C C --=由于，所以，0C π<<sin 0C >，cos 10A A --=，12sin 1sin 662A A ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于，50,666A A ππππ<<-<-<所以.,663A A πππ-==故选：B【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，考查两角和与差的正弦公式、辅助角公式，属于中档题.二、填空题11.已知甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为0.7和0.8，且甲、乙两人射击的结果互不影响.若甲、乙两人各射击一次，则两人都中靶的概率为_______.【答案】0.56【解析】【分析】利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】根据相互独立事件概率计算公式可知，两人都中靶的概率为.0.70.80.56⨯=故答案为：0.56【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.12.已知四面体各棱的长均为1，则这个四面体的表面积为_______.【解析】【分析】四个面均为正三角形，计算出三角形面积后可得四面体的表面积．【详解】由题意四面体的表面积为2141sin 602S =⨯⨯⨯︒=．【点睛】本题考查正四面体的表面积，掌握表面积的概念是解题基础．本题属于基础题．13.已知，是两个不共线的向量，，.若与是共线向量，1e 2e 122a e e =+ 122b e ke =- a b则实数的值为______.k 【答案】4-【解析】【分析】根据向量共线定理求解．【详解】∵与是共线向量，∴存在实数，使得，即，a bm b ma = 121222()e ke m e e +-= ∴，解得．22m k m =⎧⎨-=⎩4k =-故答案为：－4．【点睛】本题考查平面向量共线定理，属于基础题．14.在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为1111D ABC A B C D -1AC ABCD____________.【解析】分析：根据直线和平面所成角的定义即可得到结论．详解：连结AC ，则AC 是A 1C 在平面ABCD 上的射影，则∠A 1CA 即为直线A 1C 与平面ABCD 所成角的正弦值，设正方体的棱长为1，则，则，点晴：本题需要先找出线面角所成角的平面角，然后放在三角形中进行解决即可15.已知中，为边上的点，且，若，ABC D BC 2BD DC =(),AD mAB nAC m n R =+∈则______.m n -=【答案】13【解析】【分析】以为基底表示出，由此求得，进而求得.,AB AC AD ,m n m n -【详解】依题意，()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC=+=+=+-=+所以.211,,333m n m n ==-=故答案为：13【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.三、解答题16.已知是虚数单位，.i 131i z i -=+（Ⅰ）求；1z （Ⅱ）若复数的虚部为2，且的虚部为0，求.2z 12z z 2z 【答案】；（Ⅱ）.242z i =-+【解析】【分析】（Ⅰ）利用复数的四则运算求出后可求其模.1z （Ⅱ）设，利用复数的乘法计算出后再根据虚部为0求出，从而可()22z a i a R =+∈12z z a 得.2z 【详解】解：（Ⅰ），()()()()131********i i i iz i i i i -+-+====+--+所以，1z ==（Ⅱ）设，()22z a i a R =+∈则，()()()()1222224z z i a i a a i =++=-++因为的虚部为0，所以，12z z ，即.40a +=4a =-所以.242z i =-+【点睛】本题考查复数的乘法和除法，前者运算时注意分子分母同乘以分母的共轭复数，另外，对于含参数的复数问题，我们常通过将复数设成的形式将问题转化为实(),a bi a b R +∈数问题.17.从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩（分）分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：，，...，后，[)40,50[)50,60[]90,100得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求图中实数的值；a （Ⅱ）若该校高一年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）210.0.03a =【解析】【分析】（Ⅰ）由等比数列性质及频率分布直方图，列出方程，能求出．a （Ⅱ）利用频率分布直方图能求出成绩不低于80分的人数．【详解】解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1，所以，()100.0050.010.020.0250.011a ⨯+++++=解得.0.03a =（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于80分的频率为.()100.0250.010.35⨯+=由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为.6000.35210⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．18.在中，内角所对的边分别为，已知，，.ABC ,,A B C ,,a b c 7a =5b =8c =（Ⅰ）求角的大小；A （Ⅱ）求角的正弦值.B 【答案】（Ⅰ）.3A π=【解析】【分析】（Ⅰ）用余弦定理计算出后可得；cos A A （Ⅱ）用正弦定理计算．sin B 【详解】解：（Ⅰ）由三角形的余弦定理，2222cos a b c bc A =+-得.222758258cos A =+-⨯⨯所以，.1cos 2A =因为.0a π<<所以.3A π=（Ⅱ）由三角形的正弦定理，sin sin a b A B =得.sin sin b A B a===所以内角.B【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键，本题属于基础题．19.己知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80.为助力疫情防控，现采用分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动.（Ⅰ）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；（Ⅱ）设抽出的6名教师志愿者分别记为，，，，，，现从中随机抽取2名A B C D E F 教师志愿者承担测试体温工作.（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件发生的概率.M M 【答案】（Ⅰ）3人，2人，1人；（Ⅱ）（i ），{},A B ，，，，，，，，，{},A C {},A D {},A E {},A F {},B C {},B D {},B E {},B F {},C D ，，，，；（ⅱ）{},C E {},C F {},D E {},D F {},E F 415【解析】【分析】（Ⅰ）按照分层抽样规则计算可得；（Ⅱ）（i ）将所有可能结果一一列举，做到不重复不遗漏；（ii ）根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3:2:1由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师，因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）（ⅰ）从抽出的 名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为，，，，，，，，，{},A B {},A C {},A D {},A E {},A F {},B C {},B D {},B E {},B F ，，，，，，共15种.{},C D {},C E {},C F {},D E {},D F {},E F （ⅱ）由（Ⅰ），不妨设抽出的6名教师中，来自甲学校的是，，，来自乙学校的是A B C ，，来自丙学校的是，则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的D E F所有可能结果为，，，，共4种.{},A B {},A C {},B C {},D E 所以，事件发生的概率.M ()415P M =【点睛】本题考查分层抽样及古典概型的概率计算，属于基础题.20.如图，在三棱锥中，点，分别是棱，的中点，且，P ABC -M N AB AC PA PC =.PN AB ⊥（Ⅰ）求证：平面；//MN PBC （Ⅱ）求证：.PN BC ⊥【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）通过证明，证得平面.//MN BC //MN PBC （II ）通过证明，结合证得平面，由此证得.PN AC ⊥PN AB ⊥PN ^ABC PN BC ⊥【详解】（Ⅰ）证明：因为在中，点，分别是，，ABC M N AB AC 所以，//MN BC 又因为平面，平面，MN ⊄PBC BC ⊂PBC 所以平面.//MN PBC （Ⅱ）因为点是的中点，且，N AC PA PC =所以，PN AC ⊥又因为，平面，平面，PN AB ⊥AB ÌABC AC ⊂ABC ，AB AC A =I 故平面，PN ^ABC 因为平面，BC ⊂ABC 所以.PN BC ⊥【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，属于中档题.。
2022-2023学年天津市部分区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A ．正方形的直观图是正方形 B ．矩形的直观图是矩形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形3．已知向量a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．（﹣1，﹣2）4．若i 为虚数单位，则1−i 1+i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣15．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互为对立事件 B ．P （A ）＝P （B ）C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥6．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） 注：球的体积V =43πR 3，其中R 为球的半径． A ．π6cm 3B ．√2π3cm 3 C ．√3π2cm 3 D ．π3cm 37．在△ABC 中，角A ，BC ，的对边分别为a ，b ，c ．若b ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则a 的值为（ ） A ．2√2B ．23√6C ．√6D ．43√38．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A ．34B ．23C ．57D ．5129．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A ．若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥βB ．若m ∥n ，m ∥β，则n ∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°．若P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →，则BQ →⋅CP →的最大值为（ ） A ．−8615B ．−295C ．−234D ．﹣6二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.3，则P （A ∪B ）＝ ．12．已知向量a →=(4，2)，b →=(m ，3)，若存在实数λ，满足a →=λb →，则实数m 的值为 ． 13．某工厂对一批产品的长度（单位：mm ）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm 以下的产品有30个，则长度在区间[20，30）内的产品个数为 ．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点，则直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为 ．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC =√3．若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →(λ∈R)，且AN →⋅AM →=8，则λ的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知i 是虚数单位，复数z ＝（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求|z |； （2）若z 是纯虚数，求m 的值；（3）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．17．（12分）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由．注：一组数据x1，x2，…，x n的平均数为x，它的方差为s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2] 18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，c＝2，求△ABC的面积．19．（12分）一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为3，4，5的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异．（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用x表示，白球的标号用y表示．求满足条件y﹣x＞2的概率．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB=AD=12 BC．（1）求证：AD∥平面BCEF；（2）求证：平面DCE⊥平面ABCD；（3）求直线BE与平面DCE所成的角的正切值．2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分， 7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变， 故选：C ．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A ．正方形的直观图是正方形 B ．矩形的直观图是矩形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形解：根据题意，依次分析选项：对于A ，正方形的直观图可以是平行四边形，A 错误； 对于B ，矩形的直观图可以是平行四边形，B 错误；对于C ，正方形是特殊的菱形，其直观图不是菱形，C 错误； 对于D ，平行四边形的直观图是平行四边形，D 正确． 故选：D ．3．已知向量a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．（﹣1，﹣2）解：由a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，可得：a →⋅b →=−1×1+1×（﹣2）＝﹣3． 故选：A ．4．若i 为虚数单位，则1−i 1+i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣1解：1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ．故选：B ．5．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互为对立事件 B ．P （A ）＝P （B ）C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”， 事件A 与B 能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD 均错误； P （A ）＝P （B ）=12，故B 正确；事件A 与事件B 不是同一个事件，故C 错误． 故选：B ．6．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） 注：球的体积V =43πR 3，其中R 为球的半径． A ．π6cm 3B ．√2π3cm 3C ．√3π2cm 3D ．π3cm 3解：正方体的棱长为1，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体， 则球的直径为1cm ，半径为12cm ，∴可能制作的最大零件的体积为43π×(12)3=16πcm 3．故选：A ．7．在△ABC 中，角A ，BC ，的对边分别为a ，b ，c ．若b ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则a 的值为（ ） A ．2√2B ．23√6C ．√6D ．43√3解：因为b ＝2，A ＝45°，C ＝75°， 所以B ＝180°﹣A ﹣C ＝60°，由正弦定理a sinA =bsinB，可得a =b⋅sinA sinB =2×√22√32=2√63．故选：B ．8．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A ．34B ．23C ．57D ．512解：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得， 则所求概率是23（1−34）+34（1−23）=512，故选：D ．9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A ．若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥β B ．若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β解：对于A ，若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β，故A 错误． 对于B ，若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β或n ⊂β，故B 错误； 对于C ，若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α与β相交，故C 错误；对于D ，若m ∥n ，n ⊥β，由直线与平面垂直的性质可得m ⊥β，故D 正确． 故选：D ．10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°．若P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →，则BQ →⋅CP →的最大值为（ ） A ．−8615B ．−295C ．−234D ．﹣6解：∵BQ →=BA →+AQ →=(1−λ5)AC →−AB →，CP →=AP →−AC →=λAB →−AC →，AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cosA =2×3×12=3，∴BQ →⋅CP →=[(1−λ5)AC →−AB →]⋅(λAB →−AC →)=λ(1−λ5)AC →⋅AB →−(1−λ5)AC →2−λAB →2+AB →⋅AC → =3λ(1−λ5)−9(1−λ5)−4λ+3 =−35λ2+45λ−6 =−35(λ−23)2−8615，∵P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →， ∴{0≤λ≤10≤1−λ5≤1，∴0≤λ≤1，∴当λ=23时，BQ →⋅CP →有最大值为−8615．故选：A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.3，则P （A ∪B ）＝ 0.8 ．解：∵事件A 与B 互斥，∴P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.5+0.3＝0.8． 故答案为：0.8．12．已知向量a →=(4，2)，b →=(m ，3)，若存在实数λ，满足a →=λb →，则实数m 的值为 6 ． 解：∵a →=λb →，∴（4，2）＝（m λ，3λ），∴{mλ=43λ=2，解得{m =6λ=23． 故答案为：6．13．某工厂对一批产品的长度（单位：mm ）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm 以下的产品有30个，则长度在区间[20，30）内的产品个数为 55 ．解：长度在20mm 以下的频率为5×（0.02+0.04）＝0.3， 所以抽查的产品总数为300.3=100，所以长度在区间[20，30）内的产品个数为5×（0.08+0.03）×100＝55． 故答案为：55．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点，则直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为π3．解：连接AC ，则A 1C 1∥AC ，连接AE 、EC ，则异面直线A 1C 1与AE 所成的角的平面角为∠EAC ， 设AB ＝t ，又AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点， 则AE ＝AC ＝EC =√2t ， 则△AEC 为等边三角形， 即∠EAC =π3，即直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为π3．故答案为：π3．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC =√3．若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →(λ∈R)，且AN →⋅AM →=8，则λ的值为 2 ．解：根据题设，建立如图所示坐标系， 则A （0，0），B （0，3），C （√3，0）， 由CM →=2MB →，可得M （√33，2）， ∴AN →=λAC →+AB →=（√3λ，3）， 又AN →⋅AM →=8， 则（√3λ，3）•（√33，2）＝λ+6＝8， 解得λ＝2． 故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知i 是虚数单位，复数z ＝（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求|z |；（2）若z 是纯虚数，求m 的值；（3）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围． 解：（1）当m ＝1时，z ＝﹣2+2i ， 所以|z|=√(−2)2+22=2√2；（2）若复数是纯虚数，则{m 2−3m =0m 2−5m +6≠0，解得{m =0或m =3m ≠2且m ≠3，所以m ＝0；（3）复数z 在复平面内对应的点位于第二象限 则{m 2−3m ＜0m 2−5m +6＞0；即{0＜m ＜3m ＜2或m ＞3，所以实数m 的取值范围是（0，2）．17．（12分）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由．注：一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，它的方差为s 2=1n[(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯+(x n −x)2] 解：（1）根据题意，把甲的数据按从小到大排列如下：4 4 5 7 7 7 8 9 9 10， 则甲的数据里的众数是7，因为85%×10＝8.5，所以第9个数据是第85百分位数，即第85百分位数为9； （2）x 甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7， 则S 2甲=110[（7﹣7）2+…+（4﹣7）2]＝4；x 乙=110(5+6+6+7+7+7+7+8+8+9)=7， 则S 2乙=110[（9﹣7）2+…+（7﹣7）2]＝1.2； （3）由（2）结论：x 甲=x 乙＝7，但有S 2甲＞S 2乙，即甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小故乙的成绩较稳定，所以选乙参加比赛．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，c＝2，求△ABC的面积．解：（1）因为2a sin B=√3b，由正弦定理可得2sin A sin B=√3sin B，因为sin B≠0，所以sin A=√32，因为△ABC是锐角三角形，所以A=π3；（2）因为a=√7，c＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2ac cos A，整理可得：b2﹣2b﹣3＝0，解得b＝3，所以S△ABC=12bc sin A=12×3×2×√32=3√32．19．（12分）一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为3，4，5的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异．（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用x表示，白球的标号用y表示．求满足条件y﹣x＞2的概率．解：（1）记摸一次得到黑球的事件为A，得到白球的事件为B，则P(A)=25，P(B)=35，又事件A与B相互独立，所以P（AB）＝P（A）P（B）=25×35=625；（2）从中摸两个球，所得样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，共包含10个样本点，满足条件y﹣x＞2的样本点有（1，4），（1，5），（2，5）共3个，满足条件y﹣x＞2的事件的概率为310．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB=AD=12 BC．（1）求证：AD∥平面BCEF；（2）求证：平面DCE⊥平面ABCD；第11页（共11页） （3）求直线BE 与平面DCE 所成的角的正切值．（1）证明：因为AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ，所以AD ∥平面BCEF ．（2）证明：因为四边形ADEF 为正方形，所以ED ⊥AD ，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ， 所以ED ⊥平面ABCD ，因为ED ⊂平面DEC ，所以平面DCE ⊥平面ABCD ．（3）解：连接BD ，设AB ＝1，因为∠BAD =90°，AB =AD =12BC ，所以BD =√2，∠ADB ＝45°，BC ＝2， 因为AD ∥BC ，所以∠DBC ＝45°，在△BCD 中，由余弦定理得，DC 2＝BD 2+BC 2﹣2BD ×BC ×cos45°＝2+4﹣2×√2×2×√22=2， 所以DC =√2，所以DC 2+BD 2＝BC 2，即BD ⊥DC ，由（2）知ED ⊥平面ABCD ，则BD ⊥ED ，而DE ∩DC ＝D ，所以BD ⊥平面DCE ，所以∠BED 就是直线BE 与平面DCE 所成的角，在Rt △BDE 中，tan ∠BED =BD DE =√2，所以直线BE 与平面DCE 所成的角的正切值为√2．。
2022-2023学年天津市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（）A．3B．4C．5D．6解：该校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，则应在高三年级招募的志愿者数目为12×5102040=3．故选：A．2．一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（）A．34B．35C．36D．37解：0.85×8＝6.8，则一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为：37．故选：D．3．已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，γ⊥β，则α∥γD．若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ解：对于A，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，错误，原因是β不一定是经过直线m的平面；故A错误；对于B，若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥β错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否α与β一定垂直，故B错误；对于C ，若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ，错误，例如教室的墙角，不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β 为地面，满足α⊥β，γ⊥β，但α与γ相交，故C 错误；对于D ，因为α∩β＝m ，m ⊥γ，由面面垂直的判定定理得：α⊥γ，故D 正确． 故选：D ．4．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A 与事件B 互斥却不互为对立（ ）A ．事件A ：3个球中至少有1个红球；事件B ：3个球中至少有1个白球 B ．事件A ：3个球中恰有1个红球；事件B ：3个球中恰有1个白球C ．事件A ：3个球中至多有2个红球；事件B ：3个球中至少有2个白球D ．事件A ：3个球中至多有1个红球；事件B ：3个球中至多有1个白球解：对于A ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故A 错误；对于B ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件A 与事件B 互斥却不互为对立，故B 正确；对于C ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故C 错误；对于D ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件A 与事件B 是互斥事件也是对立事件，故D 错误． 故选：B ．5．为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛．已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（ ） A ．1720B ．3140C ．3740D ．1920解：由题意，甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25， 则甲、乙、丙三位同学在比赛中不能成功包制一个粽子的概率分别为12，14，35．则没有一人成功的概率为12×14×35=340，∴至少一人成功的概率为1−340=3740． 故选：C ．6．如图，A ，B 是以CD 为直径的半圆圆周上的两个三等分点，AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，则DM →=（ ）A ．13DC →+12DN →B ．12DC →+23DN →C ．12DC →+13DN →D ．23DC →+12DN →解：由圆的几何性质知，2AB ＝CD 且AB ∥CD ，因为AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，所以DM →=12(DC →+DA →)=12DC →+12(DN →+NA →)=12DC →+12DN →+12×23BA →=12DC →+12DN →+13BA →=12DC →+12DN →+13×12DC →=23DC →+12DN →． 故选：D ．7．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 在棱A 1B 1（不含端点）上运动，现有如下命题： ①平面AA 1D 1D 内不存在直线与DE 垂直； ②平面A 1DE 与平面ABCD 所成的锐二面角为π4；③当点E 运动到棱A 1B 1的中点时，线段A 1C 上存在点P ，使得BC ∥平面AEP ； ④设点P 为线段A 1C 的中点，则三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值． 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：对①，如图，易知DE 在平面AA 1D 1D 内的射影为A 1D ，而AD1⊥A1D，∴根据三垂线定理可知AD1⊥DE，∴①错误；对②，如图，由正方体的性质易知：平面A1DE即为对角面A1DCB1，又易知DC⊥平面B1CB，∴平面A1DE与平面ABCD所成的锐二面角即为∠B1CB=π4，∴②正确；对③，如图，当点E运动到棱A1B1的中点时，设AE∩A1B＝F，则易知F为线段A1B上靠近A1的三等分点，∴在A1C上取靠近A1的三等分点P，连接FP，则FP∥BC，连接PE，P A，又BC⊄平面AEP，FP⊂平面AEP，∴BC∥平面AEP，∴③正确；对④，如图，当点P为线段A1C的中点时，由正方体的性质易知：平面PBC 1即为对角面ABC 1D 1， 又易知A 1B 1∥对角面ABC 1D 1，∴E 到平面ABC 1D 1的距离为定值，又三角形PBC 1的面积也为定值， ∴三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值，∴④正确． 故②③④为真命题，共计3个． 故选：C ．8．月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A 处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B 处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C 处）的距离，她在点A 处利用测角仪器测得点B 的俯角为5°，点C 的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D 处，测得点A ，B ，C 的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离BC ＝（ ）A ．50(√3+1)米B ．50(√3−1)米C ．50(√6+√2)米D ．50(√6−√2)米解：由题意知，AD ＝100，∠BAC ＝45°，∠BAD ＝75°，∠ADC ＝45°，∠BDC ＝30°， 在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC +∠BDC ＝75°，∠ABD ＝180°﹣（∠BAD +∠ADB ）＝30°， 由正弦定理知，AB sin∠ADB=AD sin∠ABD，所以AB =100⋅sin75°sin30°=100sin(45°+30°)sin30°=100⋅√22⋅(√32+12)12=50√2（√3+1），在△ACD 中，∠ACD ＝180°﹣（∠BAC +∠BAD +∠ADC ）＝15°， 由正弦定理知，AC sin∠ADC=AD sin∠ACD，所以AC =100sin45°sin15°=100sin45°sin(45°−30°)=100⋅√22√22(√32−12)=100（√3+1），在△ABC 中，由余弦定理知，BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC cos ∠BAC ＝5000（√3+1）2， 所以BC ＝50√2（√3+1）＝50（√6+√2）米． 故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.9．i 为虚数单位，若复数z =2i+1i−2，则|z |＝ 1 ． 解：z =2i+1i−2， 则|z |=|1+2i −2+i |=|1+2i||−2+i|=√22√(−2)+1=1．故答案为：1．10．已知正四面体ABCD 的棱长为1，则直线AB 与平面BCD 所成角的余弦值为 √33．解：如图所示：在正四面体ABCD 中，点A 在等边△BCD 的投影为△BCD 的中心O ， 则AB 与平面BCD 所成角为∠ABO ， 因为正四面体ABCD 的棱长为1， 所以BE =√32，BO =23⋅BE =√33， 所以cos ∠ABO =BOAB =√33．故答案为：√33．11．已知向量a →=（4，3），向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4），则|a →−b →|的最小值为 √5 ．解：向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4）， 则b →∥c →，可设b →=λc →=（2λ，4λ），a →=（4，3），则a →−b →=(4−2λ，3−4λ)，故|a →−b →|2=（4﹣2λ）2+（3﹣4λ）2＝20（λ﹣1）2+5， 当λ＝1时，|a →−b →|的最小值为√5． 故答案为：√5．12．在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为310．解：记2袋已经过了保质期的牛奶为A ，B ，3袋未过保质期的牛奶为a ，b ，c ，从5袋牛奶中任取2袋，所有情况为：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共10种情况， 其中全是未过保质期的牛奶的情况为：ab ，ac ，bc ，共3种情况， 所以所求概率为310．故答案为：310．13．设三角形ABC 是等边三角形，它所在平面内一点M 满足AM →=13AB →+23AC →，则向量AM →与BC →夹角的余弦值为 √714．解：设△ABC 边长为1，AM →=13AB →+23AC →，则|AM →|2＝（13AB →+23AC →）2=19AB →2+49AB →⋅AC →+49AC →2=19+49×1×1×cos60°+49=79， 所以|AM →|=√73，因为AM →⋅BC →=(13AB →+23AC →)(AC →−AB →)=−13AB →2+23AC →2−13AB →⋅AC →=−13+23−13×1×1×cos60°=16，设向量AM →与BC →夹角为θ， 则cos θ=AM →⋅BC →|AM →||BC →|=16√73=√714．故答案为：√714． 14．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为S 1，该雕塑内可容纳最大球的表面积为S 2，该雕塑外接球表面积为S 3，则S 1＝1189，S 2：S 3＝ 1：6 ．解：由题意，该雕塑的表面积是16个矩形及两个正方形与8个等腰直角三角形的面积的和，所以S 1=13×2×16+2×1×1+8×12×13×13=1189； 该雕塑内可容纳最大球的半径为12，表面积为S 2=4π×(12)2=π，该雕塑外接球的半径为√12+(22)2=√62，表面积为S 3=4π×(√62)2=6π，所以S 2：S 3＝1：6． 故答案为：1189，1：6．三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求出图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （Ⅲ）若从成绩来自[40，50）和[90，100]两组的学生中随机选取两名学生： （i ）写出该试验的样本空间：（ii ）求这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10×（0.005+0.01+0.02+a +0.025+0.01）＝1， 解得a ＝0.03；（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1﹣10×（0.005+0.01）＝0.85， 由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544；（Ⅲ）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在[40，50）分数段的两名同学为A 1，A 2，在[90，100]分数段内的同学为B 1，B 2，B 3，B 4， （i ）从这6名学生中随机抽取2人样本空间Ω＝{（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4）}；（ii ）如果2名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10，则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大10的取法有（A 1，A 2），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4），共7种取法， 所以所求概率为P =715． 16．（15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cosA=b+c cosB+cosc．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）已知a ＝3， （i ）若△ABC 的面积为√32，求△ABC 的周长： （ii ）求△ABC 周长的取值范围．解：（Ⅰ）由题意及正弦定理可得：sinAcosA =sinB+sinCcosB+cosC，整理可得：sin A cos B﹣cos A sin B＝sin C cos A﹣cos C sin A，即sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），在三角形中，可得A﹣B＝C﹣A，即2A＝B+C＝π﹣A，解得A=π3；（Ⅱ）（i）因为S△ABC=12bc sin A=12bc•√32=√32，可得bc＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，即（b+c）2＝15，解得b+c=√15，所以三角形的周长为a+b+c＝3+√15；（ii）a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，所以（b+c）2＝a2+3bc≤9+3•（b+c2）2，当且仅当b＝c时取等号，解得b+c≤6，而b+c＞a＝3，所以b+c∈（3，6]．所以三角形的周长为a+b+c∈（6，9]．17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝AD＝AA1，过A1作底面的垂线，垂足在线段AC上，点M，N分别为棱AB和C1D1的中点．（Ⅰ）证明D，M，B1，N四点共面，且AD1∥平面DMB1N；（Ⅱ）证明直线A1C与平面DMB1N不垂直；（Ⅲ）若AC1⊥平面A1BD，求∠BAA1的大小．（Ⅰ）证明：取A1B1的中点E，连接EM，ED1，因为点M，N分别为棱AB和C1D1的中点，所以D1N∥B1E，D1N＝B1E，DD1∥EM，DD1＝EM，所以四边形B1ED1N和四边形DD1EM是平行四边形，第11页（共11页） 所以B 1N ∥D 1E ∥DM ，所以D ，M ，B 1，N 四点共面，因为D 1N ∥AM ，D 1N ＝AM ，所以四边形D 1AMN 是平行四边形，所以AD 1∥MN ，又AD 1⊄平面DMB 1N ，MN ⊂平面DMB 1N ，所以AD 1∥平面DMB 1N ．（Ⅱ）证明：因为过A 1作底面的垂线，垂足在线段AC 上，且垂线在平面ACC 1A 1上， 所以平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，所以A 1C 在底面ABCD 上的投影为AC ，假设直线A 1C 与平面DMB 1N 垂直，因为DM ⊂平面DMB 1N ，所以A 1C ⊥DM ，所以AC ⊥DM ，因为底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝AD ，所以四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，所以点M 与点B 重合，这与题意相矛盾，故假设不成立，即直线A 1C 与平面DMB 1N 不垂直．（Ⅲ）解：若AC 1⊥平面A 1BD ，因为A 1D ⊂平面A 1BD ，所以AC 1⊥A 1D ，因为AC 1→=AB →+AD →+AA 1→，A 1D →=AD →−AA 1→，所以AC 1→•A 1D →=（AB →+AD →+AA 1→）•（AD →−AA 1→）=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→+AD →2−AD →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→−AA 1→2=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→=|AB →|2cos60°−|AB →|2cos ∠BAA 1＝0，所以cos ∠BAA 1=12，又∠BAA 1∈（0°，90°），所以∠BAA 1＝60°．。
2022-2023学年天津市西青区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市西青区高一（下）期末数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．复平面内，复数z =21−i对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面3．已知△ABC 是等边三角形，边长为2，则满足AB →⋅BC →=（ ） A ．2B ．﹣2C ．√3D ．−√34．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ）A ．2√2B ．1C ．√2D ．2（1+√2）5．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（ ） A ．14，12B ．12，16C ．14，16D ．16，146．有关一组8个数据2，6，8，3，3，3，7，8 ①这组数据的中位数是3； ②这组数据的方差是112；③这组数据的众数是8；④这组数据的第75百分位数是7.5． 以上四个结论正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1=√3，则异面直线AD 1与DB 所成角的余弦值为（ ） A ．√24B ．√25C ．√26D ．√288．抛掷一枚质地均匀骰子2次，设事件A ＝“第一次骰子正面向上的数字为2”，设事件B ＝“两次骰子正面向上的数字之和为7”，设事件C ＝“两次骰子正面向上的数字之和为5”，则（ ） A ．事件A 和事件C 互斥B ．事件B 和事件C 互为对立 C ．事件A 和事件B 相互独立D ．事件A 和事件C 相互独立9．某单位对全体职工的某项指标进行调查，按性别进行分层随机抽样，得到样本职工该项指标数据，分别计算他们的数据平均分和方差，结果如下：则以此估计总体的方差为（ ） A ．3.56B ．2C ．0.2D ．3.2510．第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“5G +光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D ．已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为10√3km ；基站A ，B 在江的北岸，测得∠ACB ＝75°，∠ACD ＝120°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 两个基站的距离为（ ）A ．10√2kmB ．10√3kmC ．15kmD ．10√5km二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．把答案写在答题纸相应的横线上．11．复数（m 2﹣5m +6）+（m 2﹣3m ）i 是纯虚数，则实数m ＝ ．12．已知e →为一个单位向量，a →与e →的夹角为45°，若a →在e →上的投影向量为2e →，则|a →|= ． 13．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为 ．14．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →•BC →的值为 ．15．2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为34和23，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为 ，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为 ．16．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为G ，两臂拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，F 1与F 2的夹角为θ，则以下四个结论中： ①|F 1|的最小值为12|G|；②当θ=π2时，|F 1|=√22|G|； ③当θ=2π3时，|F 1|＝|G |；④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ．三．解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且asinC =√3ccosA ． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =√7，b +c ＝4，求△ABC 的面积．18．（12分）已知向量a →，b →满足a →=(2，3)，|b →|=2√13． （Ⅰ）若a →∥b →，求向量b →的坐标；（Ⅱ）若(a →+b →)⊥(5a →−2b →)，求a →与b →的夹角θ．19．（12分）今年“五一”小长假是继春节之后的第一个较长假期，也是疫情放开后的首个“五一”假期．五一期间各个景区推出了各种丰富多彩的文旅活动，游客纷至沓来，迎来了旅游高峰期．西青区统计局为进一步了解五一期间居民对本区旅游景点服务满意度情况，开展了社情民意电话热线调查，现从本区居民中随机选取了年龄（单位：岁）在[25，50]内的男、女居民各100人，以他们的年龄为样本，得到女居民的频率分布直方图和男居民的年龄频数分布表如下．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本中女居民年龄的中位数（精确到整数）；（Ⅲ）在上述样本中用分层随机抽样的方法从年龄[25，35）内的女居民中抽取4人，从年龄在[25，35）的男居民中抽取5人，记这9人中年龄在[30，35）内的居民有m人，再从这m人中随机抽取2人．①求人数m的值；②从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）；③从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，求社情民意调查中抽取的这2人是异性的概率．20．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AD＝1，M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：SC⊥平面AMN；（Ⅲ）求直线AC与平面AMN所成角的余弦值．2022-2023学年天津市西青区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．复平面内，复数z =21−i对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：复数21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i∴复数的在复平面内的对应点（1，1）． 在复平面内，复数21−i对应的点位于第一象限．故选：A ．2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面解：α内有无数条直线与β平行，不一定有α∥β，也可能相交，故A 错误； α内有两条相交直线与β平行，则α∥β，反之成立，故B 正确； α，β平行于同一条直线，不一定有α∥β，也可能相交，故C 错误； α，β垂直于同一平面，不一定有α∥β，也可能相交，故D 错误． 故选：B ．3．已知△ABC 是等边三角形，边长为2，则满足AB →⋅BC →=（ ） A ．2B ．﹣2C ．√3D ．−√3解：AB →⋅BC →=|AB →||BC →|cos(π−∠ABC)=2×2×（﹣cos60°）=4×(−12)=−2． 故选：B ．4．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ）A ．2√2B ．1C ．√2D ．2（1+√2）解：由题意正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以OB =√2，对应原图形平行四边形的高为：2√2， 所以原图形的面积为：1×2√2=2√2． 故选：A ．5．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（ ） A ．14，12B ．12，16C ．14，16D ．16，14解：将两名男生编号为a ，b ，两名女生编号1，2， 记A ＝“抽到的两人都是女生”，从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为：Ω1＝{（a ，a ），（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（b ，a ），（b ，b ），（b ，1），（b ，2），（1，a ），（1，b ），（1，1），（1，2），（2，a ），（2，b ），（2，1），（2，2）}，共16个样本点， 其中A ＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}，有4个样本点， 所以P(A)=416=14， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为：Ω2＝{（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（b ，a ），（b ，1），（b ，2），（1，a ），（1，b ），（1，2），（2，a ），（2，b ），（2，1）}，共12个样本点，其中A ＝{（1，2），（2，1）}，有2个样本点， 所以P(A)=212=16． 故选：C ．6．有关一组8个数据2，6，8，3，3，3，7，8 ①这组数据的中位数是3； ②这组数据的方差是112；③这组数据的众数是8；④这组数据的第75百分位数是7.5． 以上四个结论正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：根据题意，将8个数据从小到大排列：2，3，3，3，6，7，8，8， 依次分析4个结论：对于①这组数据的中位数是12（3+6）＝4.5，①错误；对于②，这组数据的平均数为18（2+3+3+3+6+7+8+8）＝5，则其方差S 2=18（9+4+4+4+1+4+9+9）=112，②正确； 对于③，这组数据的众数是3，③错误；对于④，8×75%＝6，这组数据的第75百分位数是12（7+8）＝7.5，④正确；有2个结论正确． 故选：B ．7．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1=√3，则异面直线AD 1与DB 所成角的余弦值为（ ） A ．√24B ．√25C ．√26D ．√28解：连接D 1B 1，AB 1，由DB ∥D 1B 1， 可得∠AD 1B 1为异面直线AD 1与DB 所成角．由在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1=√3， 可得AD 1=√1+3=2，D 1B 1=√2，AB 1=√1+3=2，所以cos ∠AD 1B 1=AD 12+D 1B 12−AB 122AD 1⋅B 1D 1=4+2−42×2×2=√24．故选：A ．8．抛掷一枚质地均匀骰子2次，设事件A ＝“第一次骰子正面向上的数字为2”，设事件B ＝“两次骰子正面向上的数字之和为7”，设事件C ＝“两次骰子正面向上的数字之和为5”，则（ ） A ．事件A 和事件C 互斥B ．事件B 和事件C 互为对立 C ．事件A 和事件B 相互独立D ．事件A 和事件C 相互独立解：由题意可知，P （A ）=16，抛掷一枚质地均匀骰子2次，共有6×6＝36种可能，事件B 包含：（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），共6种，故P （B ）=636=16，事件C 包含：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），共4种，故P （C ）=436=19， 事件AB 包含：（2，5），故P （AB ）=136， P （AB ）＝P （A ）P （B ）=136， 所以事件A 和事件B 相互独立，故C 正确； 事件AC 包含：（2，3），故P （AC ）=136，P （AC ）≠P （A ）P （C ）， 故事件A 和事件C 不相互独立，故D 错误；事件A 和事件C 可以同时发生，不为互斥事件，故A 错误； 事件B 和事件C 为互斥事件，故B 错误． 故选：C ．9．某单位对全体职工的某项指标进行调查，按性别进行分层随机抽样，得到样本职工该项指标数据，分别计算他们的数据平均分和方差，结果如下：则以此估计总体的方差为（ ） A ．3.56 B ．2 C ．0.2 D ．3.25解：由题意得， 总体平均数为20×7+5×820+5=7.2，则总体方差为2025×[4+(7−7.2)2]+525×[1+（8﹣7.2）2]＝3.56． 故选：A ．10．第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“5G +光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D ．已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为10√3km ；基站A ，B 在江的北岸，测得∠ACB ＝75°，∠ACD ＝120°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 两个基站的距离为（ ）A ．10√2kmB ．10√3kmC ．15kmD ．10√5km解：在△ACD 中，∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°， 所以∠CAD ＝30°，即∠CAD ＝∠ADC ， 根据等角对等边，得AC ＝CD ＝10√3．在△BDC 中，∠CBD ＝180°﹣（∠BCD +∠BDC ）＝180°﹣（45°+75°）＝60°． 由正弦定理得，BC sin∠BDC=CD sin∠CBD，解得BC =10√3×sin75°sin60°=5（√6+√2），在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠BCA ＝（10√3）2+（5（√6+√2））2﹣2×10√3×5（√6+√2）×cos75°＝500，解得AB ＝10√5，即两个基站A 、B 之间的距离为10√5km ． 故选：D ．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．把答案写在答题纸相应的横线上．11．复数（m 2﹣5m +6）+（m 2﹣3m ）i 是纯虚数，则实数m ＝ 2 ．解：当 {m 2−5m +6=0m 2−3m ≠0时，即{m =2或m =3m ≠0且m ≠3⇒m =2时复数z 为纯虚数．故答案为：2．12．已知e →为一个单位向量，a →与e →的夹角为45°，若a →在e →上的投影向量为2e →，则|a →|= 2√2 ． 解：∵a →在e →上的投影向量为2e →，且|e →|＝1，∴a →⋅e →|e →|⋅e →=2e →，∴a →⋅e →=2，又∵a →与e →的夹角为45°， ∴a →⋅e →=|a →||e →|cos45°=√22|a →|=2，∴|a →|＝2√2． 故答案为：2√2．13．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为 16π ．.解：设正△ABC 的外接圆圆心为O 1，知O 1A ＝3×sin60°×23=√3， 在Rt △AOO 1A 中，∵球心O 到平面ABC 的距离为1，即OO 1＝1， ∴OA =√(√3)2+12=2， ∴球O 的表面积为4π×22＝16π． 故答案为：16π．14．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →•BC →的值为18．解：如图，连接AE ，则AE ⊥BC ；根据条件，DE =12AC ，且DE ＝2EF ； ∴EF →=12DE →=14AC →；∴AF →=AE →+EF →=AE →+14AC →；∴AF →⋅BC →=(AE →+14AC →)⋅BC →=AE →⋅BC →+14AC →⋅BC → =0+14×1×1×12 =18． 故答案为：18．15．2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为34和23，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为38，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为 512 ．解：由题意，甲在两轮活动中答对1个问题的概率为C 21×34×14=38；“粽队”两轮活动中答对三个问题，等价于其中一人答对两个，另外一人答对一个，概率为（34）2×C 21×23×13+（23）2×C 21×34×14=14+16=512． 故答案为：38；512．16．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为G ，两臂拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，F 1与F 2的夹角为θ，则以下四个结论中：①|F 1|的最小值为12|G|； ②当θ=π2时，|F 1|=√22|G|； ③当θ=2π3时，|F 1|＝|G |；④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ①②③ ．解：画出受力分析，如图所示：对于①，当身体处于平衡状态时，|F 1|＝|F 2|=12|G |，所以①正确；对于②，当θ=π2时，|F 1|＝|F 2|＝|G |cos π4=√22|G |，所以②正确； 对于③，当θ=2π3时，|F 1|＝|F 2|＝|G |，所以③正确； 对于④，由受力分析图知，当θ越大时越费力，所以④错误．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且asinC =√3ccosA ．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =√7，b +c ＝4，求△ABC 的面积．解：（Ⅰ）因为asinC =√3ccosA ，由正弦定理得sin A sin C =√3sin C cos A ，因为sin C ＞0，所以sin A =√3cos A ，即tan A =√3，所以A ＝60°；（Ⅱ）因为a =√7，b +c ＝4，由余弦定理得cos A =12=b 2+c 2−a 22bc =(b+c)2−2bc−a 22bc =16−2bc−72bc ， 所以bc ＝3，故△ABC 的面积S =12bcsinA =12×3×√32=3√34． 18．（12分）已知向量a →，b →满足a →=(2，3)，|b →|=2√13．（Ⅰ）若a →∥b →，求向量b →的坐标；（Ⅱ）若(a →+b →)⊥(5a →−2b →)，求a →与b →的夹角θ．解：（Ⅰ）因为a →=(2，3)，且a →∥b →，所以b →=λa →=（2λ，3λ），λ∈R ；又因为|b →|=2√13，所以4λ2+9λ2＝4×13，解得λ＝±2，所以b →=±（4，6）；（Ⅱ）若(a →+b →)⊥(5a →−2b →)，则5a →2+3a →•b →−2b →2=0，即5×13+3×√13×2√13×cos θ﹣2×52＝0，解得cos θ=12，又因为θ∈[0，π]，所以a →与b →的夹角θ=π3．19．（12分）今年“五一”小长假是继春节之后的第一个较长假期，也是疫情放开后的首个“五一”假期．五一期间各个景区推出了各种丰富多彩的文旅活动，游客纷至沓来，迎来了旅游高峰期．西青区统计局为进一步了解五一期间居民对本区旅游景点服务满意度情况，开展了社情民意电话热线调查，现从本区居民中随机选取了年龄（单位：岁）在[25，50]内的男、女居民各100人，以他们的年龄为样本，得到女居民的频率分布直方图和男居民的年龄频数分布表如下．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本中女居民年龄的中位数（精确到整数）；（Ⅲ）在上述样本中用分层随机抽样的方法从年龄[25，35）内的女居民中抽取4人，从年龄在[25，35）的男居民中抽取5人，记这9人中年龄在[30，35）内的居民有m人，再从这m人中随机抽取2人．①求人数m的值；②从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）；③从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，求社情民意调查中抽取的这2人是异性的概率．解：（Ⅰ）因为5（a+3a+3a+2a+a）＝1，解得a＝0.02；（Ⅱ）不妨设中位数为x，因为5（0.02+0.06）＝0.4＜0.5，5（0.02+0.06+0.06）＝0.7＜0.5所以中位数在区间[35，40）内，此时0.02×5+0.06×5+0.06×（x﹣35）＝0.5，解得x≈37，则中位数为37；（Ⅲ）①若用分层随机抽样的方法从年龄[25，35）内的女居民中抽取4人，则年龄在[25，35）内的有4×0.020.02+0.06=1人，在[30，35）内的有4﹣1＝3人，从年龄在[25，35）的男居民中抽取5人，则年龄在[25，35）内的有5×3030+20=3人，在[30，35）内的有5﹣3＝2人，所以在这9人中年龄在[30，35）内的居民有5人，则m＝5；②因为抽取的5名居民中女居民有3人，记为a，b，c；男居民有2人，记为x，y，若随机抽取2人进行社情民意调查，则样本空间为Ω＝{（a，b），（a，c），（a，x），（a，y），（b，c），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（x，y）}③记抽取的这2人是异性为事件A，由②知，A＝{（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y）}，则社情民意调查中抽取的这2人是异性的概率P（A）=610=35．20．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AD＝1，M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：SC⊥平面AMN；（Ⅲ）求直线AC与平面AMN所成角的余弦值．（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，则O为BD的中点，因为M时SD的中点，所以OM∥SB，又OM⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，所以SB∥平面ACM．（Ⅱ）证明：因为正方形ABCD ，所以AD ⊥CD ，因为SA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，所以SA ⊥CD ， 又AD ∩SA ＝A ，AD 、SA ⊂平面SAD ，所以CD ⊥平面SAD ， 因为AM ⊂平面SAD ，所以CD ⊥AM ，因为SA ＝AD ，M 为SD 的中点，所以AM ⊥SD ，又CD ∩SD ＝D ，CD 、SD ⊂平面SCD ，所以AM ⊥平面SCD ， 因为SC ⊂平面SCD ，所以AM ⊥SC ，又AN ⊥SC ，且AM ∩AN ＝A ，AM 、AN ⊂平面AMN ， 所以SC ⊥平面AMN ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知SC ⊥平面AMN ，即NC ⊥平面AMN ， 所以∠CAN 就是直线AC 与平面AMN 所成角，在Rt △ACS 中，cos ∠CAN ＝cos ∠ASC =SA SC =11+1+1=√33， 故直线AC 与平面AMN 所成角的余弦值为√33．。