人教A版高中数学选修2-1课件：3-2立体几何中的向量方法 第5课时 用向量计算空间角
(3)二面角:从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫作 二面角,以二面角棱上任意一点为端点,在两个平面内分别垂直 于棱的两条射线所成的角叫作二面角的平面角,平面角是直角的 二面角叫作直二面角. 想一想:异面直线所成的角,线面角,二面角的取值范围分 别是 .(抢答)
π π 【答案】(0, ],[0, ],[0,π] 2 2
预学 2:用向量法求两异面直线所成的角 两异面直线所成的角记为θ,它们的方向向量 a,b 所成的角 记为<a,b>. (1)θ与<a,b>的关系:若<a,b>∈(0, 2 ],则θ=<a,b>;若<a,b> ∈( ,π),则θ=π-<a,b>. (2)计算公式:cos θ=|cos<a,b>|=
|a ·b | |a |·|b | π 2 π
【解析】l1 与 l2 所成的角与其方向向量的夹角相等或互补, 但异面直线所成角的范围为(0, ].故选 A. 【答案】A
π 2
3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 C1C 的中点,则直线 BE 与平面 B1BD 所成的角的正弦值为 .
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长 为 2,则 D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1).∴ BD=(-2,-2,0),BB1 =(0,0,2),BE=(-2,0,1).设平面 B1BD 的法向 量为 n=(x,y,z). 则 n·BD = 0, 即 -2x-2y = 0,∴ x = -y, z = 0. n·BB1 = 0, 2z = 0,
π π (1)θ与<a,n>的关系:若<a,n>∈[0, 2 ],则θ= 2 -<a,n>;若 π π <a,n>∈( 2 ,π),则θ=<a,n>- 2 .
(2)计算公式:sin θ=|cos<a,n>|=
|a ·n |
|a |·|n |
预学 4:用向量法计算二面角的大小 二面角α-l-β的大小记为θ,平面α的法向量 m 与平面β的 法向量 n 所成的角记为<m,n>. (1)θ与<m,n>的关系是相等或互补. (2)计算公式:|cos θ|=|cos<m,n>|=
【解析】注意法向量的夹角可能与二面角的大小相等或互补, 不能错选 B.利用法向量求二面角的大小时,要结合具体题目选择 相等或互补的角. 【答案】D
2.若异面直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角为 150°,则 l1 与 l2 所成的角为( ). A.30° B.150° C.30°或 150° D.以上均不对
.
议一议:两条异面直线所成的角的两个关注点是什么?(指 定小组回答,其他组补充)
【解析】(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定 为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角. (2)范围:异面直线所成的角θ∈(0, 2 ],故两直线的方向向 量夹角α的余弦值为负时,应取其绝对值.
π
预学 3:用向量法求直线与平面所成的角 直线 l 与平面α所成的角记为θ,这条直线的方向量 a 与这 个平面的法向量 n 所成的角记为<a,n>.
令 y=2,则 x=2,z=-1. 所以平面 BDC1 的一个法向量为 n=(2,2,-1).
设 CD 与平面 BDC1 所成的角为α,
|CD ·n | |-2a | 2 则 sin α=|cos<CD,n>|= = =. |CD ||n | a×3 3 2 【答案】 3
1.已知二面角α-l-β的大小为 60°,且 m⊥α,n⊥β,则 m、n 的 夹角为( ). A.30° B.60° C.120° D.60°或 120°
令 y=1,则 n=(-1,1,0).
10 ∴cos<n,BE>= = ,设直线 BE 与平面 B1BD 所成角为θ, |n ||BE | 5 10 则 sin θ=|cos<n,BE>|= 5 . 10 【答案】 5
n ·BE
4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高 为 1,求异面直线 AD1 和 C1D 所成角的余弦值.
|m ·n | |m |·|n |
,根据θ的象限
确定 cos θ的符号. 练一练:在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值为 .
【解析】如图所示建立空间直角坐标系.设 AA1=2AB=2a,则 B(a,0,0),D(0,a,0),C1(a,a,2a),C(a,a,0), 所以CD=(-a,0,0),BD=(-a,a,0),BC1 =(0,a,2a). 设平面 BDC1 的法向量为 n=(x,y,z), 则 BD·n = 0, -ax + ay = 0, 即 BC1 ·n = 0, ay + 2az = 0.
回顾一下二面角的定义,两个半平面形成的二面角与这两个 半平面的法向量的夹角的关系.
预学 1:空间角的分类和概念 (1)两异面直线所成的角:在空间内任取一点 O,过点 O 分别作 两异面直线的平行线,这两条平行线所成的锐角或直角叫作异面 直线所成的角. (2)直线与平面所成的角:平面的一条斜线与斜线在平面内 的射影所成的锐角叫作斜线与平面所成的角.特别地,如果直线 与平面平行或在平面内,直线与平面所成的角为 0,当直线与平面 垂直时,所成的角为 2 .
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(2,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),AD1 =(-2,0,1),DC1 =( 0,2,1). 故异面直线 AD1 和 C1D 所成角余弦值为 |cos<AD1 ,DC1 >|=
第 5 课时 用向量计算空间角
重点:用向量求空间角的方法. 难点:判断二面角与两平面的法向量所成的角之间的关系. 学法指导:通过预习导学案中基础预学部分的知识,明确所 求角(线线角、线面角、面面角)与对应向量夹角间的关系.通过 对例题和习题的处理,总结各种常见几何体(长方体、三棱柱、三 棱锥、四棱锥等)的建系方式.另外计算也是本部分解题的重点所 在,因此要仔细计算,减少失误.
高中数学人教A选修2-1 3-2 立体几何中的向量方法 课件(16张)
A
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
练习1: SA 平面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a , 求A到平面SCD的距离。 z
S A B x C D y
练2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
一、求点到平面的距离 如何利用空间向量求点到平面的距离：
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
则 d=| PO |= | PA | cos APO. ∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
解：如图建立坐标系 C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). z CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), C 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2 x 2 y 4 z 0 n AB 0
y
二、求异面直线的距离
M
a
A
n
d
AB n n
N
B
b
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向 量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线 a、b间的距离为
2018年秋高中数学人教A版选修2-1课件：3-2立体几何中的向量方法 精品
面面垂直 u v u v 0
点击
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
探究3：夹角 (0 )
2
线线夹角 l, m的夹角为，cos
| a b|
点击 | a|| b |
线面夹角 l,的夹角为， sin | a u|
面面夹角
点击
, 的夹角为，cos
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
分析: BD1 BA BC BB1
其中ABC ABB1 120，B1BC 60
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，
D1 A1
并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等
D
于 , 那 么有这个四棱柱的对角线的长可以 A
确定棱长吗?
C1
练习：
（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两 点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面 内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8， 求CD的长。
C
A B
D
图4
（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三 角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。
2、例题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为 端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个 顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设 AB AA1 AD 1，BAD BAA1 DAA1 60
化为向量问题
D1
C1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提
人教A版高中数学选修2-1课件新《32立体几何中的向量方法》(5)
是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多
少时，才能提起这块钢板？
F3
分析:钢板所受重力的大
F1
C
小为 500kg ，垂直向下作用在
F2
三角形的中心 O ，如果能将各
顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用 向量形式表示，求出其合力，A 就能判断钢板的运动状态.
作业
P113
A组 11 12 B组 1 2组卷网
ห้องสมุดไป่ตู้
o B
500kg
F2
F1
F3
F2 F3 F1
F1 A
F3
F2 C
O
B
500kg
合力就是以 F1 、 F2 、 F3 为棱的平行六面体的对角线 向量(如图所示)
解：如图，以点A为原点，平面ABC为xAy坐标
平面，AB方向为y轴正方向，AB 为y轴的单位长度
建立空间直角坐标系Axyz,则正三角形的顶点
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3.2立体几何中的向量方法(五)
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用坐标法解决立体几何中问题的一般 步骤:
1.建立适当的空间直角坐标系； 2.写出相关点的坐标及向量的坐标； 3.进行相关的计算； 4写出几何意义下的结论.
例1、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质
量为500kg,在它的顶点处分别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都
（1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB ⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小。
P
F
E
D
C
A
人教A版高中数学选修2-1《3.2立体几何中的向量方法(二)》课件
知识点二 向量法判断线面垂直
思考
若直线 l 的方向向量为 μ1＝2，43，1，平面 α 的法向量为 μ2＝ 3，2，32，则直线 l 与平面 α 的位置关系是怎样的？如何用向量 法判断直线与平面的位置关系？ 答案
梳理
设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔a∥μ⇔ a＝kμ(k∈R) .
思考
若直线l1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l2的方向向量为μ2＝ (1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂 直的一般方法是什么？ 答案
梳理
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)， 则l⊥m⇔ a·b＝0 ⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 .
跟踪训练3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝ 90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥ 平面ABC. 证明
当堂训练
1.下列命题中，正确命题的个数为 答案 解析
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β； ②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n1·n2＝0； ③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所 以a⊥b，故选B.
12345
3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则
A.l∥α
规律与方法
几何法
2019-2020学年度最新高中数学人教A版选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法课件(21张)-优质PPT课件
内在联系，从而可以用向量方法解决立
体几何问题.
2.立体几何研究的基本对象是点、直
线、平面以及由它们组成的空间图形.为
了用空间向量解决立体几何问题，首先
必须把点、直线、平面的位置用向量表
示出来，然后再建立相应的解题原理.
3.上一节所学习的内容是空间向量的基 础知识，如何利用这些基础知识解决立 体几何中的实际问题，是本节学习的主 体内容.
探究（一）：空间点、线、面的向量表示
1、在空间中，取定点O作为基点，可以
用什么方法表示空间任意一点P与点O的
相对的位置？
P
O
向量 OP 称为点P的位置向量
2、过空间一点A可以作无数条直线，其 中以某非零向量a为方向向量的直线有几 条？如何用向量式表示？
a P
A
AP ta
3、过空间不同两点A、B的直线如何用向 量式表示？
βv
u α
α⊥β u⊥v u·v＝0.
3、直线l和m所成的角θ与向量a，b的关
系如何？
m
b
θ
α
a
l
cos q = | a ×b | | a || b |
4、直线l和平面α所成的角θ与向量a，u 的关系如何？
l
au
θ α
sin q = | a × u | | a || u |
5、平面α和平面β所成的角θ与向量u，v 的关系如何？
PB A
AP t AB
4、设过点O的两条相交直线确定的平面 为α，如何用向量形式表示平面α内的 点P的位置？
a α Ob
P
OP ＝xa＋yb
5、若直线l⊥平面α，a为直线l的方向向 量，则向量a叫做平面α的法向量，如何 用向量形式表示过点O且法向量为a的平
(教师参考)高中数学 3.2.2 立体几何中的向量方法课件1 新人教A版选修2-1
（3）u v u v0
β
u
v
α
精选ppt
13
A E = 3 F G AE // FG 2
AE与FG不共线
A
AE//FG
X
D
精选ppt
几何法呢？
EG
F
B
C Y
5
例2、 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点， (1)求证：PA//平面EDB.
Z
解1 立体几何法
P
E
D
, 的法向量分别为 u, v ，则
(1) lma b ab0
l
a
b
m
精选ppt
11
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l① a//u au
l
② a ⊥ A B , a ⊥ A C
u
a
C
A
B
精选ppt
12
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
F
E
2DBDE2EA
3
3
N
A
D
2(D A D C )D E 2(D A D E ) B M
3
3
C
几何法呢？
2DC1DE 所 以 M N 、 D C 、 D E 共 面 33
但 M N 平 面 C D E 故 M N//平 面 C D E
精选ppt
10
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
DE
人教A版高中数学选修2-1课件3.2.5立体几何中的向量方法
3.2.5 立体几何中的向量方法
距离问题：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则
AB = (x1 - x2 )2 + (y1 - y2 )2 + (z1 - z2 )2
A1
E
C1
B1
A1 E与BD1的距离为
d D1 A1 n 14
n
14
D
A
x
Cy
B
例7、如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水
坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）
的距离AC和BD分别为a 和b ,CD的长为ｃ, AB的长为d .
求库底与水坝所成二面角的余弦值.
解１：如图，
答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6 倍。
A1
D
A
图1
B1
C
B
例1、 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端 点
的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解2：如图1，设AB AA1 AD 1 ，BAD BAA1 DAA1 60
C1
B1
D
C
A
B
例5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.
解3
D1
A1
D
A
C1
B1
C
B
例6、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长
人教A版高中数学选修2-1课件3.2立体几何中的向量方法2(33张PPT).pptx
注意：1.这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合。
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
图1
练习.(P107.2)如图，60°的二面角的棱上
有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的
两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB＝4,AC＝6，
BD＝8，求CD的长.
解1
68
C
A
B D
补充知识点1：点到面的距离问题：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
r uuur r
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,
P r
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
n
则
d=|
uuur PO
|=
|
uuur PA
|
cos
APO.
A O
∵
uuur PO
⊥
,
r n
,
∴
uuur PO
∥
r n
.
∴cos∠APO=|cos
uuur PA,
r n
|.
∴d=|
uuur PA
所以PB 平面EFD X
D
C Y
B
例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (2)求证：PB⊥平面EFD
(教师参考)高中数学 3.2.3 立体几何中的向量方法课件1 新人教A版选修2-1
u v 0,
平面精E选BppDt 平面C1BD.
13
例3、正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1,E是AA1中点， 求证：平面EBD 平面C1BD.
证明2：
E
•
精选ppt
14
夹角问题：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(1) l,m 的 夹 角 为 ，coscosa,b
证明： 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系
E(0,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)
EB(2,0,1)
ED(0,2,1)
E
设平面EBD的一个法向量是
u(x,y,1)
由 u E B u E D 0
得u (1 , 1 ,1) 22
平面C1BD的一个法向量是
vC A 1( 1 , 1 ,1 )
MN⊥AB, 同理 M精选Np⊥pt CD.
6
例1、四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证明3： 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.
B(0, 0, 0) D(0,2,0) C( 3,1, 0)
Z
A
M
M( 3,1, 6) 623
N ( 3 , 3 ,0) 22
证明：设正方体棱长为1，以 D A ， D C ,D D 1 为单位
正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
DA(1,0,0)， DE(1,1,,1)
1
2
z
D1
D1F (0, 2,1)
A1
则 Ｄ １ Ｆ D A 0 ， Ｄ １ Ｆ D E 0
则 Ｄ １ Ｆ D A ， Ｄ １ Ｆ D E ． D
【人教A版】高中选修2-1数学：3.2-立体几何中的向量方法(一)-教学课件
§3.2 立体几何中的向量方法(一)空间向量与平行关系学习目标1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.内容索引问题导学题型探究当堂训练问题导学知识点一 直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案梳理(1)用向量表示直线的位置条件直线l 上一点A表示直线l 方向的向量a (即直线的 )形式在直线l 上取 ＝a ，那么对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得 ＝____作用定位置点A 和向量a 可以确定直线的_____定点可以具体表示出l 上的任意_____一点方向向量位置(2)用向量表示平面的位置①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b来确定：条件平面α内两条相交直线的方向向量a ，b 和交点O 形式对于平面α上任意一点P ，存在有序实数对(x ，y )使得 ＝x a ＋y b ②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：平面的法向量直线l ⊥α，直线l 的 ，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A ，以向量a 为法向量的平面是完全确定的方向向量(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的向量a ，叫做直线l 的一个方向向量平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的 ，叫做平面α的法向量方向向量n 非零(4)空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔⇔a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔_______面面平行α∥β⇔μ∥v⇔____________μ＝k v(k∈R)a∥ba·μ＝0知识点二 利用空间向量处理平行问题思考(1)设v 1＝(a 1，b 1，c 1)，v 2＝(a 2，b 2，c 2)分别是直线l 1，l 2的方向向量.若直线l 1∥l 2，则向量v 1，v 2应满足什么关系.由直线方向向量的定义知若直线l 1∥l 2，则直线l 1，l 2的方向向量共线，即l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ∈R ).答案思考(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.答案(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.答案梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.题型探究类型一 求直线的方向向量、平面的法向量图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，例1 如E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.解答引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.解答反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).(6)得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF 的法向量.解答类型二 利用空间向量证明平行问题B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的例2 已知正方体ABCD－A1中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；证明令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.解答当堂训练1.若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为A.(1，2，3)B.(1，3，2)C.(2，1，3)D.(3，2，1)答案解析√2.已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3，5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若l 1∥l 2，则x ，y 的值分别是A.6和－10 B.－6和10 C.－6和－10 D.6和10所以x ，y 的值分别是6和－10.√答案解析3.若μ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是A.(0，－3，1) B.(2，0，1)C.(－2，－3，1)D.(－2，3，－1)能作为平面α的法向量的向量与μ＝(2，－3，1)共线，(－2，3，－1)＝－μ.√答案解析A.－4B.－6C.－8D.8√答案解析5.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一个法向量为_______________________.(1，1，1)(答案不惟一)答案解析规律与方法1.应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.2.证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R ).。