2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
09-10学年第二学期期末考试试卷少解答
3x2f(x3y)
10. 交换积分1次 dy 序 y f(： x,y)dx
0
y2
解:
1
y
1
y
dy
0
y2
f(x,
y)dx
dx
0
x2
f(x,y)dy
11. 将
2
dx
4x2 f(x,y)dy化为极坐标下分 的二
0
0
解:
2
4x2
0dx0 f(x,y)dy
xn
(
xn1x)
[
1
1]xn1x
n2(n2)! n2n!
n2 (n2)! n!
1x[n2n1]xn 收敛域 ( ,为 ).
n2
n!
五、解答题（本题共2小题，每题8分，满分16分).
1.6求 zx3y4在条 xy件 2的极大x 值 ,y非 ， .负
解: 令 L (x ,y ) x 3 y 4 (x y 2 ) 则
1
ln1( )
n1
n1
1
ln(1 )
lim
n1 1
n
1
n1
而 1
发散，
1
ln1( )
发散，
n1 n1
n1
n1
级数 (1)n1lnn(2)条件收敛
n1
n1
14. 求级数 [(1)n1]xn 的收敛域，并数 求其
n1
n
解: [ (1)n1]xn2x2n x 2n
n1
n
n1 2n n1 n
n1
n1
解:
un
l
n(n2) n1
l
n1(
1 )
09-10高数下试卷
一
二
三
四
五
总分
2
3
4
5
6
7
1
2
分值
10
15
7
7
7
7
7
7
7
9
9
8
阅卷人
(全名)
考生注意事项：1、本试卷共6页，总分100分，考试时间120分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、填空题(每题2分，共10分)
得分
评阅人
二、选择题(每题3分，共15分)
得分
评阅人
三、计算题(每题7分，共49分)
得分
评阅人
证
得分
评阅人
解：
所求方程为
即
得分
评阅人
解：设过已知直线的投影平面方程为
即
于是
因此
投影平面方程为
投影直线方程为
得分
评阅人
解；
或
得分
评阅人
解：
或
得分
评阅人
解：令 ，
则
法线方程为
或法线方程为
得分
评阅人
解：因为
所以 ，
得分
评阅人
四、综合题(每题9分，共18分)
得分
评阅人
积分与路径无关
得分
评阅人
解：
五、证明题(8分)
华东交通大学2009—2010学年第二学期考试卷
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业班级学号学生签名：
2009-2010高等数学B第二学期试卷A1.
北京林业大学2009--2010学年第二学期考试试卷课程名称：高等数学B（A卷）课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。
本试卷共计 4 页，共十大部分，请勿漏答；2. 考试时间为 120分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 本试卷所有答案均写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一、填空：（每小题3分，共30分）1. 微分方程的通解为。
2. 微分方程的特解可设为________________________________________。
3. 以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________________________。
4. 直线与平面间的关系是______________(平行、垂直、相交。
5. 二元函数在点处两个偏导数与存在是在该点处连续的__________________________条件。
6. 若函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则有_______________ ，___________________。
7. 已知平面区域D是由直线，及所围成，则= 。
8.交换二次积分I=的积分顺序，则。
9. 函数展开为的幂级数的形式为 __________ 。
10. 幂级数的收敛半径为。
二、（6分）求的通解三、（6分）求微分方程满足初始条件的特解四、（6分）求过点及直线的平面方程五、（6分）设求六、（6分）设，求七、（6分）计算八、（6分）求曲面与所围立体的体积。
九、（6分）判别级数的敛散性十、（6分）判别级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？十一、（6分）在曲面上找点，使其到点的距离为最小。
十二、（6分）设具有二阶连续导数，且满足，求的表达式。
十三、（4分）设发散，又，证明收敛。
东南大学考试卷(A)2009-2010学年高等数学期末试卷(后附答案)
东南大学考试卷（A卷）课程名称高等数学B期末考试学期09-10-3 得分适用专业选修高数B的各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e4xzx x y yzπ-++=在点(0,1,2)处的法线方程是；2.设u=，则梯度；3.已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B，则A在B方向的投影；4.设闭曲线:1C x y+=，取逆时针方向，则曲线积分2d dCy x x y-⎰的值是；5.设函数(,)F x y具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.二重积分()2221e cos d dxx yy xy x y+≤+⎰⎰的值是；7. 设S为球面：2222x y z R++=，则曲面积分()222dSx y z S++⎰⎰的值是；8.设C是折线11(02)y x x=--≤≤，则曲线积分dCy s⎰的值是；9.取（注：答案不唯一），可使得级数2nna∞=∑收敛，且级数2lnnna n∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x yϕ=-，其中f具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂.解11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dx xy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥. 解12．（本小题满分8分）计算二次积分1121321d e d xxyx y y -⎰⎰. 解，13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标. 解三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z ==垂直的直线方程. 解四（15）。
（本题满分7分）计算d Sx S z⎰⎰，其中S 是柱面222(0)x y ay a +=>被锥面z 和平面2z a =所截下的部分.解五（16）. （本题满分7分）计算 ()e cos d 5e sin d x x CI y x xy y y =+-⎰，其中C 为曲线x =y 增大的方向.解 六（17）（本题满分7分）计算()()222d d d d ()d d SI y xz y z z y z x x z x y =+∧++∧+-∧⎰⎰，其中S为2z =0z =所截部分，取上侧.解七（18）（本题满分6分）证明不等式1(1)eyyx x-<，01x<<，0y<<+∞.证08-09-3高数B 期末试卷（A ）参考答案09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e 4xzx x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是1222x y z -==-； 2.设u =(1,2,0)14,,033u⎧⎫=⎨⎬⎩⎭grad ； 3. 已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B ，则A 在B方向的投影()=B A 4. 设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分2d d Cy x x y -⎰的值是2-； 5. 设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分(,)(d d )ABF x y y x x y +⎰与路径无关的充分必要条件是x y xF yF =； 6. 二重积分()2221ecos d d xx y y xy x y +≤+⎰⎰的值是0；7. 设S 为球面：2222x y z R ++=，则曲面积分()222d Sxy z S ++⎰⎰的值是44R π； 8. 设C 是折线11(02)y x x =--≤≤，则曲线积分d Cy s ⎰9.取21ln n a n n =（注：答案不唯一），可使得级数2n n a ∞=∑收敛，且级数2ln n n a n ∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ϕ=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂. 解12zf f xϕ∂=+∂， 21111222()z f x f x f f x y ϕϕϕϕϕ∂'''=++--∂∂ 11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dxxy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥.解21230013(1)d d 0d d 224Dx xy x y ππϕρρπ++=++=⎰⎰⎰⎰12．（本小题满分8分）计算二次积分11213021d e d xxyx y y-⎰⎰. 解，1111111211133200222111d e d d e d e 1d e 2x x xy y y yx y y x y y y y ---⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标.解 0x y ==（1分）)22cos 340122cos 240125d sin cos d d 2518d sin d d 3r rz r rππθππθπϕθθθϕθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z==垂直的直线方程. 解 设312x y z l m n-+-==为所求直线L 的方程，（1分）由于直线L 与z 轴相交，所以三个向量{},,l m n =s ，OA 及k 共面，从而312001l m n -=，即30l m --= （1），又由于L 与1L 互相垂直，得11023l m n ++=，即6320l m n ++= （2）联立（1），（2）解得3l m =-，152n m =，所求直线L 的方程为3126215x y z -+-==-- 四（15）。
2009-2010学年第二学期高等数学B试卷(E卷答案)
2008 — 2009学年第二学期《高等数学B 》期末试题（A ）答案及评分标准一、单选题(每题3分，共15分)CCDDD二、填空(每题3分，共18分)1．3222．''2'20y y y -+= 3．1 4.ln 2 5．23cos 4()d f d πϕπϕρρρ⎰⎰6． (4,6)三、解答题(每题8分，共40分)1.求解微分方程3"2'3cos xy y y ex --=+的通解解：先求齐次化方程 03'2"=--y y y则特征方程为 0322=--r r ---- ------------------------ (2分) 得特征根 1,321-==r r ，于是齐次化微分方程的通解为x x e C e C y -+=231------------------------（4分）分别求得非齐次项 xe 3属x m e x P λ)(型）（3,0==λm ，由于3=λ是特征方程0322=--r r 的单根，所以设特解为3x*1bxe =y代人解得 41=b ， 即特解 3x41*1xe =y -----------------（6分） 类似对于非齐次项x cos 属)sin B cos (x x A e x ωωλ+型)0,1,1,0(====B A ωλ，由于0=λ不是特征方程0322=--r r 的特征根，所以可设特解为x c x a y sin cos *2+=，代入解得10151,-=-=c a ，即特解为xx y sin cos 10151*2--= 故原方程的通解为xx e C e C y x x sin cos xe 10151x 341231--++=-------------(8分) 2. 求函数(sin ,cos ,)x yz f x y e +=的二阶偏导数2zx y∂∂∂，其中函数f 具有二阶连续的偏导数解：''13cos x y zxf e f x +∂=+∂ -------------------------------------------------------------（4分） 2"""22"'121332333cos sin cos sin x y x y x y x y z x yf xe f e yf e f e f x y++++∂=-+-++∂∂ --------------------------------------（8分） 3. 计算二重积分22(1())Dy xf x y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与1y =所围成的闭区域.解：积分区域 D 如图令22(,)()g x y xf x y =+，因为D 是关于y 轴对称且(,)(,)g x y g x y -=-，所以22()0Dxf x y dxdy +=⎰⎰-------------------------（3分）从而2112214(1())5xDDy xf x y dxdy ydxdy dx ydy -++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------（8分） 4. 求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离.解：设曲面22()1x y z --=上任一点为(,,)x y z ，则根据两点距离公式 222l x y z =++，要求 l 最小，等价要求2l 最小.--------------(2分)记 2222S l x y z ==++，根据拉格郎日乘数法令22222(,,,)(()1)G x y z x y z x y z λλ=+++------------------(3分)()()()()2222()0122()022203()104Gx x y x G y x y yG z z z G x y z λλλλ∂⎧=+-=-------⎪∂⎪∂⎪=--=-------⎪∂⎪⎨∂⎪=-=--------⎪∂⎪∂⎪=---=-------⎪∂⎩-------------------------（4分） 由(3)可得 1λ=或0z =,若1λ=,代入(1),(2)可得4242x y y x =⎧⎨=⎩,易得00x y =⎧⎨=⎩结合(4)可知矛盾,故舍去.------------(6分) 从而取0z =,以及由(1),(2)可得1xy=-,代入(4)易得 12120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,或者12120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,结合实际情况可知这两点到原点距离最小且相等, 故2min 2l =---------------------------------------------(8分)5. 判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散.解：由于1111sin()sin cos cos sin (1)sin ln ln ln ln n n n n n n n nπππ+=+=-----（2分） 当3n ≥时,易得1sin 0ln n>且单调递减趋于零,根据莱布尼茨判别法 可得 2211sin (1)sin ln ln nn n n n n π∞∞=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑收敛.---------------(4分)又因为11ln ln 22sin()sin nn n n n π∞∞==+=∑∑ -------------------------（6分）根据比较判别法可得(对任意0δ>)1ln 1sin limlim ln nn n n n n δδ→∞→∞==+∞,由于21(01)n n δδ∞=<<∑发散,故21sinln n n ∞-∑也发散. 综上所述, 可知级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是条件收敛.---------(8分)四（共10分）判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222263y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续性，并求),(),,(y x f y x f y x .解： 分别取路径 3,0x y x ==,可得,0lim 26300=+=→y x y x x y 21lim lim 66330263033=+=+=→=→x x x x y x y x xy x xy x , 可得函数),(y x f 在)0,0(不连续.-------------------------------------------(4分)2382262222330(,)()00x x y x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩93222622220(,)()00y x x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩-------------（10分）五（10分）求幂级数41141n n x n ∞+=+∑的收敛区间，并求在收敛区间内的和函数()s x . 解：收敛区间为(1,1)------------------------------------------------------------------------（3分）令：4101()41n n s x x n ∞+==+∑, 441()1n n s x x x ∞='==-∑---------------------（7分） 111()ln arctan (1,1)412x s x x x x +=+∈-------------------------------（10分）六（7分）设()f u 连续，试证：111()()x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰证11111011()()()xxxx x y f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy +-----+≤+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰——（3分）令x y u +=，012111121()()xx dx f u du dx f u du +--+⎰⎰⎰⎰=11121112()()u u f u du dx f u du +---=⎰⎰⎰-----------------（7分）。
北京理工大学2009-2010学年第二学期工科数学分析期末试题(A卷)答案
2009-2010第二学期工科数学分析期末试题解答(A 卷)一.1.11,65arccos(2分,2分)2.(1,2,7),4(2分,2分)3.25-,}52,51{-(2分,2分)4.∑∞=+--01)1(4)1(n nn n x ,∑∞=---+11)1(4)1(4ln n nn n x n (2分,2分)5.dy dx 2-,}2,1{-(2分,2分)6.x x y ln ,34ln(2分,2分)7.0，ππ324+，0，12+π(1分，1分，1分，1分)二.⎰=Ly dlx I μ2…………………….(2分)⎰+=15322)1(1dxx x μ……………………(6分)μμ35611532=+=⎰dx x x ……………………(9分)三.设V 在第一卦限部分为1V ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==122486V VdVx dV x I ……………(3分)⎰⎰⎰---=yx xdzdy dx x 101010248……………..(6分)⎰⎰---=xdyy x dx x 10102)1(48………………..(7分)⎰-=1022)1(24dx x x …………………(8分)54=…………………(9分)四.令02==∂∂x xz，014=-=∂∂y yz………………(2分)解得0=x ,41=y ,得驻点)41,0(,………………..(3分)由122=+y x ，得221y x -=，代入目标函数得62+-=y y z )11(≤≤-y ………………..(4分)令012=-=y dydz，得21=y ，此时23±=x ，得两点)21,23(±………..(6分)当1±=y 时，0=x ，得两点)1,0(±………………..(7分)83941,0(=z ，42321,23(=±z ，8)1,0(=-z ，6)1,0(=z 8max =z ，839min =z ……………..(9分)五．由题意,有yXx Y ∂∂=∂∂……………………….(1分)λλλλλλλλ2121)()()33()(3)()()3()(3y x y x y y x y x y x x y y x ++--+=++--+---…….(3分)即033=--+y x y x λλ，3=λ…………………….(4分)1),()1,1(33)(3)(3),(C dy y x xy dx y x x y y x u y x ++-++-=⎰…………………….(6分)11313)(3)(3C dy y x x y dx y x xy x++-++-=⎰⎰……………………(8分)C y x yx ++-=2)(……………………(10分)注：没有加C 不扣分。
中国传媒大学-高等数学-2009至2010学年第二学期期末考试试卷A卷(含答案)
1，
ns
n1
s 1 时级数
1 收敛； s 1 时，级数
1 发散。
ns
n1
ns
n1
2、（本小题 8 分）
求级数
x 4n 的和函数 S( x) 。
n1 (4n)!
解:由幂级数的分析性质得微分方程
S (4) (x)
x 4n4
1 S( x)
n1 (4n 4)!
（8 分）
且 S(0) S(0) S(0) S(0) 0
1、设 u arcsin x ( y 0) 则 u
x2 y2
y
第1页共6页
x (A)
x2 y2
x (B)
x2 y2
x (C)
x2 y2
x (D)
x2 y2
答（ A ）
2、设 为球面 x2 y2 z2 a2 在 z h 部分， 0 h a ，则
3、若幂级数 an x n 的收敛半径为 R ,那么 n0
6
得分 评卷人
（3 分） （5 分）
四、解答下列各题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，总计 21 分） 1、（本小题 7 分）
改变二重积分
1
2y
dy f ( x, y)dx
3
dy
3 y
f ( x, y)dx的积分次序
0
0
1
0
解：原式
2
dx
0
3 x x
f
( x,
y)dy
。
2
（7 分）
判别级数 a n ， (a 0, s 0) 的敛散性。 n1 n s 解： 由比值判别法
l
i
a m
n1
a n n
2010学年度第二学期期末考试高一数学试题参考答案
2010学年度第二学期期末考试高一数学试题参考答案 及评分标准一、选择题：CDABC BCACC 二、11. 5 12. 3 13. [0,]3π或(0,)3π14.5972-三、15.解：（1）sin (cos )sin (sin )()(cos )sin sin cos f ααααααααα--=- 8分 （每项1分）t a n α=- 10分（2）()3f π= 12分16.解：3339,22a S ==2132a q ∴=① 2分211192a a q a q ++= ② 4分②÷①得2213q qq++= 6分2210q q ∴--= 7分 (21)(1)0q q +-= 8分 12q ∴=-或1q = 9分当1q =时，132a = 10分当12q =-时，16a = 11分所以13,12a q ==或116,2a q ==-12分或解：当1q =时，123339,22a a a S ====， 1分所以1q =成立 2分当1q ≠时，313(1)912a q S q-==- ① 4分2132a q ∴=② 6分①÷②得3213(1)qq q -=- 8分322310q q ∴-+= 2(1)(21)0q q ∴-+= 9分 12q ∴=-10分6a ∴= 11分 所以13,12a q ==或116,2a q ==- 12分17.解;(1)由题意得 ()()0a k b a k b +-=2分2220a k b∴-=4分4,3a b ==21690k ∴-= 5分43k ∴=±6分所以当43k =±时()a k b + 与()a k b - 互相垂直 7分（2） (2)(3)44a b a b +-=-22644a a b b ∴--=- 9分6a b ∴=10分cos a b a b θ=⋅11分1cos 2θ∴=12分60θ∴=︒ 13分 即a 与b的夹角为60° 14分 18.解：（1）在R t O B C ∆中，cos O B α= 1分s i n B C α= 2分t a n 603D A O A=︒=3分i n 333O A D A B α∴ 4分c o s s i n 3O A O B O A αα∴=-=- 5分所以(cos )sin 3S AB BC ααα=⋅=-6分2s i n c o s s i n (0)33παααα=-<<7分（2）1sin 2cos 2)26S αα=--1sin 22266αα=+-9分1s i n 2c o s 23226αα=+- 10分)366πα=+- 11分 50,02666πππαα<<∴<+< 12分所以当2,=626πππαα+=即时S 最大，且 13分=6S 最大 14分19.解：（1）15,1a d ==-211115(1)(1)222n S n n n n n ∴=+--=-+ 2分 2111121()228n =--+ 4分因为n 为正整数，所以当n =5或6时，n S 最大，且 5分 =15n S 6分或解：15,1a d ==- 5(1)(1)n a n ∴=+-- 2分=60n -+≥ 3分 6n ≤ 4分 所以当5n =或6时，n S 最大，且最大值是 5分15n S = 6分（2）由（1）知当6n ≤时，0n a ≥ 7分 211122n T n n ∴=-+8分 当6n >时，0n a < 9分12678n n S a a a a a a ∴=+++---- 10分115[(6)(1)(6)(7)(1)]2n nn =---+--- 12分 =21113022n n -+ 13分22111(6)2211130(6)22n n n n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩ 14分 20.解：（1）由题意知45,60BCD BDA ∠=︒∠=︒ 1分 在B C D ∆中，120,15BDC CBD ∠=︒∴∠=︒ 2分 20301060C D =⨯= 3分s i n 15s i n 45C DB D∴=︒︒ 4分sin 15BD ∴=︒5分在BAD ∆中，1806015105BAD ∠=︒-︒-︒=︒180105601ABD ∴∠=︒-︒-︒=︒ 6分s i n 15s i n 105A DB D∴=︒︒ 7分s i n 151107.32s i n 1054BD AD ⋅︒∴===≈︒ 9分 所以船从D 处到达A 处大约需要7.326014.641530⨯=≈分钟 10分（2）在ABD ∆中，sin 60sin 105A B B D =︒︒11分2s i n 105B D A B ∴=︒2sin 105sin 15=︒︒12分2cos15sin 15=︒︒ 13分sin 30=︒=24.5≈，所以A B 的距离大约是24.5海里。
江苏省扬州中学09-10学年高二下学期期末考试(数学)
江苏省扬州中学2009—2010学年第二学期期末考试高二数学试卷 2010.7一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合A={-1,1,3}，B={a+1,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a = . 2．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ．3．已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ .4．已知0.26log 0.2,6a b ==，60.2c =，则,,a b c 的大小关系是______. 5．函数y=x 3+lnx 在x=1处的导数为 . 6. ()232)94(2lg 5lg 2lg 5lg -+++ = .7.函数 f （x ）=121-+x 的值域为 .8. 若函数)(x f y =的定义域为[?1,1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为 .9．曲线2xy x =-在点(1,1)-处的切线方程为 . 10. 设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +====,,n N *∈则2008()f x = .11. 若函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是（a-1，a ），（Z a ∈），则a= .12. 函数f （x ）=112-+-x x a 为奇函数的充要条件为 .13. 函数y=f （x+2）的图像与函数y=f （3-x ）的图像关于直线___________对称。
14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<=.8x 7x 21,80,lg )(，x x x f ，若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是 .二、解答题（本大题共6道题，共计90分） 15.(14分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈R ，m ∈R }． （1）若A ∩B ＝[2，4]，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若A ⊆?R B ，求实数m 的取值范围．16．(14分) 已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．（1）类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义；（2） 已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，求 18a 的值，并猜出这个数列的通项公式(不要求证明)。
2010年下期高二期末考试(含答案)
52010年下期高二期末考试（含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分。
第I 卷 第n 卷3至6页。
考试结束后.只将第n 卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题共60 分）注意事项：1 •答第I 卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题 卡上。
2 •每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：本 大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个 选项中，只有 「项是符合题目要求的。
顶点在原点，且过点（4,4）的抛物线的标准方程是A . y24xB. x 24yC. y 2 4x 或 x 2 4yD .2 2y 4x 或 x4y以下四组向量中,互相平行的有（)组.r r(1) a(1,2,1),b (1, 2,3); r⑵ a (8,4, 6),b (4,2,r3)； （3）a (0,1, 1),b (0, 3,3);(4) a ( 3,2,0) ,b (4,3,3) A. 一B.二C. r三D.四r …c1），则平若平面 的法向量为 m （3,2,1）, 平面的法向量为n 2面与夹角的余弦是■70 A.-B.远C.70470 D.--1410 141051“k,k Z ”是“ sin 2”的122A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件“直线l 与平面 内无数条直线都垂直 ” 是 “直线1与平面垂直”的（）条件A .充要B .充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要1.2. 1至2页。
6.在正方体ABCD5的余弦值为210B •迈107.已知两定点斤(5,0) , F 2( 5,0)，曲线上的点 P 到 F i 、 F 2的距离之差的绝二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分。
把本大题答案填在第□卷题中横线上。
13•请你任意写出一个全称命题 —r;其否命题为r _____________ .14. 已知向量 a (0, 1,1) , b (4,1, 0) , I a b | 29 且0，贝y = ____________ .15.已知点M (1 , — 1, 2),直线AB 过原点O,且平行于向量(0, 2, 1),则点M 到直线 AB 的距离为 _____________ .16•已知点P 到点F(3,0)的距离比它到直线 x 2的距离大1,则点P 满足 的方程为 .17•命题“至少有一个偶数是素数”的否定为 _____________________2 218. 已知椭圆x 4y 16 ,直线AB 过点P (2, — 1),且与椭圆交于 A 、B 1 两点，若直线 AB 的斜率是一，贝y AB 的值为 _____________________ .2对值是6,则该曲线的方程为x 2B.— 16 2xA.—98.已知直线 2y16l 过点 2y- 192xC.-25 2乂 1 36(2,1,1)，平面2D. 乂25 36过直线l 与点P(1,0,— 1),平行于向量a M(1,2,3)，则平面 的法向量不可能是11B.( , 1<)42 则a c c ,贝U a c ,则a 2y m 2B. 5. A. (1, — 4,2) 9.命题“若A.若a c.若a b , b b 2x 10 .已知椭圆10 mC. 1 1(-,1,-)4 2的逆否命题是 B.若aD. (0,— 1,1)be ，贝U a b be ，则 a b，若其长轴在y 轴上•焦距为4，则m 等于A. 4.11.以下有四种说法，其中正确说法的个数为:(1) (2) (3) (4) C. 7. D.8.“ m 是实数”是 是“ 是“ B ” “a “ x “ AI “ m 是有理数”的充分不必要条件;的充要条件；3 a 2 b 2 ” x 2 2x 是“ A A. 0个B. 1个2笃 1 ( a 0, b 2倾斜角为30°的直线交双曲线右支于的离心率为A .62x 12。
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2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学（下）课程考试试题册A
试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)
命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷
说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．
2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答
题作废．
一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)
a m
b ==r r
，则当m = 时，
向量
a b
⊥r r ．
2．
(,)(2,0)
sin()
lim
x y xy y →= ．
3．设区域D 为
22y x +≤
x 2，则二重积分
D
d σ=⎰⎰ ．
4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具
有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)L
P x y dx Q x y dy
+⎰与路径无关，则(,),(,)
P x y Q x y 应满足条
件 ．
5． 当p 时，级数21
1p
n n +∞
=∑收敛．
二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）
1．直线221:314
x y z L -+-==
-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．
A ．直线L 与平面π平行；
B ．直线L 与平面π垂直；
C ．直线L 在平面π上；
D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．
2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．
A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100
(,)y dy f x y dx
⎰
⎰
．
A ．1
(,)x
dx f x y dy ⎰⎰； B ．1
1
(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．1
1
(,)x dx f x y dy ⎰⎰；
D ．11
(,)x
dx f x y dy ⎰⎰
4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1
884n n n
n B ．
∑∞
=-1
884n n n
n C ．
∑∞
=+1
824n n n
n
D ．
1
248n n
n n ∞
=⨯∑．
5
．级数1...-++
A. 发散
B. 绝对收敛
C. 条件收敛
D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2
每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin u
z e v
=，而u xy =，v x y =- 求x
z ．
2．设22(,tan())
u f x y xy =
-，其中f 具有一阶连续偏导数，求y
z ． 3．求旋转抛物面2
21
z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方
程及法线方程． 4．计算 2
2
D
x d y σ⎰⎰
，其中D 是由直线y x =．2x =和曲
线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L
⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．
6．计算2
2()(sin )L
x
y dx x y dy
--+⎰，其中L 是上半圆周
y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．
7．将函数1()3
f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑
++⎰⎰，其中∑为
1x y z ++=，0,x =
y =，0z =所围立体的外侧．
9．求抛物面2
2
z x
y =+到平面10x y z +++=的最短距离．
2009 至 2010 学年度第 2 期
高等数学（下）课程试题A 参考答案
试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银
一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1
-； 2. 2； 3. π； 4.
y P ∂∂=x
Q ∂∂； 5.
1
2
p >
二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，
1~2
每题7 分，3~9每题8 分）．
1．
z z u z v
x u x v x
∂∂∂∂∂=+
∂∂∂∂∂
……4分
sin cos u u ye v e v
=+
(sin()cos())
xy e y x y x y =-+-
……7分 2．
2212()(tan())y y u
f x y f xy y
∂''''=⋅-+∂ …
…4分
2122sec ()()y
yf f xy xy '''=-+
2122sec ()
yf xf xy ''=-+
……7分 3． 令2
2(,,)1F x y z x
y z
=+--，则
法
向量(2,2,1)
n x y =-r
，
(2,1,4)
(4,2,1)
n
=-r ……3分
在点(2,1,4)
处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0
x y z -+---=．
即
4260
x y z +--=． (6)
分
法
线方程为
214
421
x y z ---==-． ……8分 4．
2
2D
x d y
σ⎰⎰
2
2
1
21
x
x
x dx dy y
=
⎰
⎰
……4分
2
21/11(
)x x
x dx
y
=-⎰
……6分
2
31()x x dx =-⎰
32
2
1
11(
)42
x x =-94
=
……8分
5．令cos ,sin x a y a θθ==，则
sin ,cos x a y a θθ
''=-=，
ds θ=ad θ
= ……3分
20
a L
e ad π
θ
=⎰⎰ ……
6分
＝
2a
ae π ……8分
6．2
P x
y
=-，1P y ∂=-∂ ，2
(sin )Q x y =-+，1Q x
∂=-∂ ， ……
4分
(
)0D
D
Q P
I dxdy dxdy x y
∂∂=
-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分
=
……8分 7．
11
36(3)
x x =
++-
11
3
616
x =
-+ ……4分 当3
16
x -<，即 39
x -<<时，
13x +013
()66
n
n x +∞=-=-∑ ……8分
8． ⎰⎰∑
++zxdxdy yzdzdx xydydz
=
()x y z dxdydz Ω
++⎰⎰⎰
……4分 =1110
()x
x y
dx dy x y z dz
---++⎰⎰
⎰
……
6分
8
1=
……8分
9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为
1d x y z =+++
满
足条件
220
x y z +-= ……3分 拉
格
朗
日
函
数
为
222(1)()
3
x y z L x y z λ+++=++- ……5分
2(1)
20
3x x y z L x λ+++=
+=，2(1)
20
3
y
x y z L
y λ+++=
+=
2(1)
3
z x y z L λ+++=
-=，220
L
x y z λ
=+-=
解方程组得，12x y ==-，1
2
z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为
0.5,0.5,0.5)
d --=
6
=
……8分。