湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷(一)数学(理)试题(PDF版)
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19. 2019年长沙四校高考模拟卷(一)理科数学
空隙不能插入隔板，在剩余的8个空隙中插入5块隔板，
分成6组，
共有C85 56种方法.
8. 执行如图所示的程序框图, 则输出的结果为( B )
A. 2
B. 1
C. 1
2
n 1时, a f (2) 1 1 1 ;
22
D. 2
开始
a2
n 2时, a
f
1 2
1
2
1;
f (x) 1 1 , n 1 x
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 钝角三角形
若A
B
2
,
则A
2
B,
sin
A
sin
2
B
cos
B,
cos
A
cos
2
B
sin
B,
此时(*)成立,
此时C
2
,
所以△ABC一定是直角三角形
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知随机变量X服从正态分布N (2, 2 ), 若P( X 3)
2
2. 如图,已知集合A
{x|Βιβλιοθήκη x210},
B
x
1 4
≤
1 x 2
≤ 1
则图中阴影部分表示的集合为( C )
A. [0,1)
B. (1, 0]
C. (1, 0)
D. [1, 2]
A { x | x2 1 0} (1,1),
B
x
1 4
≤
1 x 2
≤ 1
x
1
2
2
≤
1 x 2
0 ≤ x ≤ 1时, f ( x) x, 则函数g( x) e x f ( x)在区间[1, 5]
湖南省长沙市第一中学2019届高三高考模拟卷一理科数学
炎德·英才大联考长沙市一中高考模拟卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，集合，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，所以，选A.2. 已知非空集合，则命题“”是假命题的充要条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】等价于，因为“”是假命题，故其否定为，它是真命题，故“”是假命题的充要条件是，选D.3. 已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据流程图，有，故选C.4. 已知实数满足，设，则的最小值为（）A. B. C. 0 D. 2【答案】B【解析】可行域如图所示，当动直线过时，有最小值，又，故的最小值为，选B.5. 传说战国时期，齐王与田忌各有上等，中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强。
有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜。
如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如田忌获胜，则必须是田忌的上马胜齐王的中马，中马胜齐王的下马，下马输给齐王的上马，而田忌的马随机出阵比赛，共有种情形，故田忌获胜的概率为.选C.6. 已知函数，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则，化简得，因此在上都是增函数.又，故选B.7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以．故应选B．考点：空间几何体的三视图.8. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】C【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，则在，有，从.在中，，从而，又，从而，故，，选C.9. 已知在中，是边上的点，且，，,则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，则，，所以，整理得到，解得或者（舎），故，而，故.选A.10. 设为两个非零向量的夹角，若对任意实数，，则下列说法正确的是（）A. 若确定，则唯一确定B. 若确定，则唯一确定C. 若确定，则唯一确定D. 若确定，则唯一确定【答案】A【解析】题设可以化为，如图，表示线段的长度，其中为定点，为动点，当时，最小，所以，故当确定时，是确定的，但当确定时，因，故可能会有两个不同的解，总是不确定的，故选A.点睛：向量问题，首先寻找向量关系式是否有隐含的几何性质，如果找不到合适的几何性质，就利用代数的方法（如转化为坐标等）去讨论.11. 已知球与棱长为4的正方形的所有棱都相切，点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为球与正方体的每条棱都相切，故其直径为面对角线长，所以半径为，如图，球心为正方体的中心，球心与的外接圆上的点的距离为，其长为体对角线的一半，故，故，也就是，选C.点睛：这是组合体问题，关键是确定出球心的位置以及球心与三角形外接圆上的点的距离.12. 已知函数，下列说法中错误的是（）A. 的最大值为2B. 在内所有零点之和为0C. 的任何一个极大值都大于1D. 在内所有极值点之和小于55【答案】D【解析】因为，故为偶函数.当时，，故，当时等号成立，故，故 A对；又为偶函数，内非零的零点成对出现，且关于原点对称，故其和为，故B；当时，，如下图，考虑与的图像在上的交点，它们有两个交点，它们的横坐标为且满足，，当，，当，，当，，在处取极大值，又，令，故（由三角函数线可得），其他极大值同理可得，故C对；如下图，在内，有，类似地，，，，，故10个极值点的和大于，故D错误，选D.点睛：函数为偶函数，故只要考虑上的函数性质，但导函数的零点无法求得，只能通过两个熟悉的函数图像的交点来讨论函数的极值，讨论函数极值时需要利用极值点满足的条件去化简极值并讨论极值的范围.而诸极值点和的范围的讨论，也得利用两个熟悉函数图像的交点的性质去讨论.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每题5分13. 若复数为纯虚数，且（为虚数单位），则__________________.【答案】【解析】设，所以，故，所以，所以，填.14. 已知过点的双曲线的两条渐近线为，则该双曲线的方程为____________. 【答案】【解析】不妨设，因为过，故，故，所以双曲线的方程为，填.15. 若当时，函数取得最小值，则________________.【答案】【解析】，所以，因为在，所以，所以，故或者（舎），故填.点睛：一般地，的最值，有两种处理方法：（1）（辅助角公式）；（2）如果在有最值，那么，从而求出对应的的值.16. 设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值___________________.【答案】【解析】试题分析：根据题意易得：，由得：在R上恒成立，等价于：，可解得：，则：，令，，故的最大值为．考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列中，，数列中，.（1）分别求数列的通项公式；（2）定义，是的整数部分，是的小数部分，且.记数列满足，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）因为为等差数列，故可以把已知条件转化为基本量的方程组，求出其值即得通项公式，而满足递推关系，它可以变形为也就是是等比数列，从而求得的通项. （2）根据题设给出的定义得到，所以，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法可以求出其前项和.解析：（1），，∴是首项为，公比为的等比数列，∴，∴.（2）依题意，当时，，∴，所以，令，两式相减，得故.18. 2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数() 10 20 30 40 50 60 70 80愿意整体搬迁人数8 17 25 31 39 47 55 66 ()请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：.【答案】(1) 线性回归方程为,当时，.(2) . 【解析】试题分析：（1）依据公式计算回归方程，在根据求出的结果得到相应的预测值.（2）是离散型随机变量，它服从超几何分布，故根据公式计算出相应的概率，得到分布列后再利用公式计算期望即可.解析：（1）由已知有，,故变量关于变量的线性回归方程为，所以当时，.（2）由题意可知的可能取值有1，2,3,4.，.所以的分布列为1 2 3 419. 如图所示，三棱柱中，已知侧面.（1）求证：平面；（2）是棱长上的一点，若二面角的正弦值为，求的长.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）通过AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．试题解析：证明：因为平面，平面，所以，在中，，，，由余弦定理得：，故，所以，又，∴平面.由可以知道，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，.令，∴，.设平面的一个法向量为，，令，则，，∴，平面，∴是平面的一个法向量，，两边平方并化简得，所以或.∴或.点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。
2019年长沙四校高考模拟卷(一)理科数学(解析版)
C
A
12．在△ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，若 A, B 是锐角，且 a sin A b sin B c ，则△ABC
一定是（ ） A．锐角三角形 12．答案：B
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．钝角三角形
解析：由 a sin A b sin B sin C 及正弦定理可得 sin2 A sin2 B sin C ．
生参加，其中高三（1）班至少派 2 名学生参加，则不同的选派方式有（ ）
A．72 种
B．60 种
C．50 种
D．56 种
7．答案：D
解析：首先需满足高三（1）班选 2 名学生，其余班级各选 1 名学生，然后只需分配剩下的 3 个名额，这 3
个名额可以分到一个班，有 C61 种分法，也可以分到两个班，其中一个班 1 名，1 个班 2 名，有 A62 种方法，
3
,
3
，
z
x2
4x
y2
2
(x
2)2
y2
2
的几何意义为可行
2 4
域内的点 (x, y) 到点 P(2, 0) 的距离的平方减去 2．过点 P 作直线 x 2 y 0 的垂线，垂足为 D ，
2 11．在等腰三角形 ABC 中， AB 2, ACB 90 ，点 P 是△ABC 所在平面内一点，且满足 BP ，
2
若 AP AB AC ，则 的最小值是（ ）
A．1 11．答案：D
1
B．
4
C．2
1
D．
2
解析：以 C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则 A( 2, 0), B(0, 2) ，点 P 在以 B(0, 2) 为
湖南省长沙市第一中学2019届高三数学下学期模拟卷(一)文(含解析)
长沙市一中2019届高考模拟卷（一）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}(4)0,3,0,1,3A x x x B =-<=-，则A I B=（ ） A. {}3,1-- B. {}1,3 C. {}3,1,0-- D. {}0,1,3【答案】B 【解析】 【分析】通过不等式的解法求出集合A ，然后求解交集即可． 【详解】由已知得{|(4)0}{|04}A x x x x x =-<=<<， 所以{1,3}A B =I ， 故选B.【点睛】本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．2.已知函数1()()xxf x e e=-，则下列判断正确的是（ ） A. 函数()f x 是奇函数，且在R 上是增函数 B. 函数()f x 是偶函数，且在R 上是增函数 C. 函数()f x 是奇函数，且在R 上是减函数 D. 函数()f x 是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】 【分析】求出()f x 的定义域，判断()f x 的奇偶性和单调性，进而可得解. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()()xx 1f x e f x e-=-=-；∴()f x 是奇函数；又xy e =和x1y ()e=-都是R 上的增函数；()x x 1f x e ()e∴=-是R 上的增函数．故选：A ．【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题．3.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则m ＝2n 的概率为（ ） A.118B.112C.19D.16【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数n ＝6×6＝36，利用列举法求出m ＝2n （k ∈N *）包含的基本事件有3个，由古典概型概率公式计算即可．【详解】由题意得，基本事件总数有：6636⨯=种，事件“2m n =”包含的基本事件有：(2,1)，(4,2)，(6,3)共3个，所以事件“2m n =”的概率为313612P ==.故选B. 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，是基础题．4.已知复数1z ，2z 在复平而上对应的点分别为A （1，2），B （－1，3），则12z z 的虚部为（ ） A. 1 B. 12i -C. iD. 12-【答案】D 【解析】 分析】点的坐标得到复数z 1，z 2，代入12z z 后由复数代数形式的除法运算化简求值即可得到12z z 的虚部．【详解】解：由复数12z z ，在复平面上对应的点分别是A （1，2），B （﹣1，3）， 得：1z ＝1+2i ，2z ＝﹣1+3i则()()()()12121312551131313102i i z ii i z i i i +--+--====-+-+--． 12z z 的虚部为12- 故选：D ．【点睛】本题考查了复数代数形式的表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．5.若双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ）A. y x =±B. 2y x =±C. 12y x =±D. 2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的实轴长求出a ，然后求解渐近线方程即可．【详解】双曲线的实轴长为2，得1a =，又1b =，所以双曲线的渐近线方程为y x =±. 故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线方程，属于基础题．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（ ）A. 242+B. 442+C. 2D. 22【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的几何特点，利用三视图的数据，求出侧视图的面积即可．【详解】由三视图的数据，结合“长对正，宽相等”可得俯视图斜边上的高2即为侧视图的底边长，正视图的高即为侧视图的高， 所以侧视图的面积为：12222⨯⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查三视图在形状、大小方面的关系，考查空间想象能力，属于基础题．7.等比数列{}n a 各项为正，354,,a a a -成等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则42S S =（ ） A. 2 B.78C.98 D.54【答案】D 【解析】 【分析】设{}n a 的公比为q （q ≠0，q ≠1），利用a 3，a 5，﹣a 4成等差数列结合通项公式，可得2a 1q 4＝a 1q 2﹣a 1q 3，由此即可求得数列{}n a 的公比，进而求出数列的前n 项和公式，可得答案．【详解】设{}n a 的公比为(0,1)q q q >≠， ∵3a ，5a ，成等差数列，∴4231112a q a q a q =-，10a ≠，0q ≠，∴2210q q +-=，得12q =或1q =-（舍去），∴4242211()1521()1241()2SS-==+=-.故选D.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）A. A1O∥DCB. A1O⊥BCC. A1O∥平面BCDD. A1O⊥平面ABD【答案】C【解析】【分析】推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O∥平面B1CD1．再利用空间线线、线面的位置关系排除其它选项即可.【详解】∵由异面直线的判定定理可得A1O与DC是异面直线，故A错误；假设A1O⊥BC，结合A1A⊥BC可得BC⊥A1ACC1，则可得BC⊥AC，显然不正确，故假设错误，即B错误；∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故C正确；又A1A⊥平面ABD，过一点作平面ABD的垂线有且只有一条，则D错误，故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.已知函数()sin()(0,)22f x x ππωθωθ=+>-≤≤的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，若将函数()f x 的图象向左平移6π后得到偶函数()g x 的图象，则函数()f x 的一个单调递减区间为（ ） A. [,]36ππ-B. 7[,]412ππC. [0,]3πD. 5[,]26ππ【答案】B 【解析】 【分析】由对称中心之间的距离为2π可得三角函数的周期，从而可求得ω的值，利用经过平移变换后得到的函数()g x 是偶函数求得θ的值，从而根据正弦函数的单调性可得结果． 【详解】因为函数()()sin (0,)22f x x ππωθωθ=+>-≤≤的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，所以T π=，可得2ω=， 将函数()f x 的图象向左平移6π后，得到()sin 23g x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数， 所以()32k k Z ππθπ+=+∈，解得()6k k Z πθπ=+∈，由于22ππθ-≤≤，所以当0k =时6πθ=．则()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，单调递减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 由于][72,,41263n ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递减区间，故选B ． 【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性和单调性的应，以及三角函数图象的平移变换规律，属于中档题．函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点M 在第一象限的抛物线C 上，直线MF 点M 在直线l 上的射影为A ，且△MAF 的面积为，则p 的值为（ ）A. 1B. 2C. D. 4【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，由直线MF ，可得∠AMF ＝60°．再利用抛物线的定义得出面积的表达式，解出p 即可． 【详解】如图所示，∵直线MF 的斜率为3，∴∠MFx ＝60°． ∴∠AMF ＝60°，由抛物线的定义可得：|MA |＝|MF |， ∴1sin 6043,2MAF S MF MA ∆=⋅︒=得4MA MF ==，所以MAF ∆为等边三角形，∴24MA p ==，2p =， 故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推那么该数列的前50项和为()A. 1044B. 1024C. 1045D. 1025【答案】A 【解析】 【分析】将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：02，第二组：02，12，第三组：02，12，22，…第k 组：02，12，22，…，12k -，根据等比数列前n 项和公式，能求出该数列的前50项和．【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1， 即：第一组：02， 第二组：02，12，第三组：02，12，22， …第k 组：02，12，22，…，12k -， 根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：121-，221-，321-，…，21k -， 每项含有的项数为：1，2，3，…，k ， 总共的项数为()11232k k N k +=+++⋯+=，当9k =时，()1452k k+=，故该数列的前50项和为()912395021221212121124816931104412S -=-+-+-+⋯+-+++++=-+=-．故选：A ．【点睛】本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．12.若不等式1ln x m m e x +-≤+对1[,1]x e∈成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1[,)2-+∞B. 1(,]2-∞-C. 1[,1]2-D. [1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】 设1ln t x x =+，由题意将原问题转化为求max ||t m -，利用导数分析1ln t x x=+的单调性求得最大值，代入解不等式即可. 【详解】设1ln t x x =+，由1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则22111t x x x x ='-=-在1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上t 0'≤恒成立，∴1ln t x x=+单调递减，则[1,1]t e ∈-； 当2em ≤时，max ||1t m e m m e -=--≤+， 解得：12m ≥-；当2em >时，max ||1t m m m e -=-≤+，恒成立； 综上知：当m R ∆1[,)2-+∞时，不等式1ln x m m e x +-≤+对1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立. 故选A.【点睛】本题考查了利用导数求解函数最值的问题，考查了绝对值不等式的解法，考查了恒成立问题的转化，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC 于点H ，若AH AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=_________.【答案】43. 【解析】 【分析】由题意可得13BH BC =u u u r u u u r ，从而由13AH AB BH AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，解得λ+μ．【详解】∵AB ＝2，∠ABC ＝60°， ∴BH ＝1，∴13 BH BC=u u u r u u u r，∴13AH AB BH AB BC=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rλAB+u u u rμBCuuu r，，故λ1=，μ13=，故λ+μ43=；故答案为：43．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．14.已知x，y满足约束条件202010x yx yy++≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y=-的最大值为__________________。
湖南省长沙一中、师大附中、雅礼中学、长郡中学2019届高三五月份联考书卷数学(理科)试题(解析版)
2019年湖南省长沙一中、师大附中、雅礼中学、长郡中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）a为正实数，i为虚数单位，，则a＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合A＝{x∈Z|∈Z}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，3}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2，3} 3．（5分）如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个B．与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长C．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元D．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省4．（5分）设0≤x≤2π，且＝sin x﹣cos x，则（）A．0≤x≤πB．C．D．5．（5分）设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是（）A．③④B．①③C．②③D．①②6．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，且g（x）＝f（x﹣1），若f（2）＝2，则f（2019）的值为（）A．2B．0C．﹣2D．±27．（5分）若的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，则＝（）A．36πB．C．D．25π8．（5分）已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|＝||||sinθ，若＝（2，0），﹣＝（1，﹣），则|×（+）|＝（）A．4B．C．6D．29．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线PF2与圆E：（x﹣）2+y2＝相切，则双曲线的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 10．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，函数y＝f（x）图象的一条对称轴是x＝﹣，则ω取得最小值时，函数f（x）的单调增区间是（）A．[3kπ﹣，3kπ﹣]，k∈Z B．[3kπ﹣，3kπ﹣]，k∈ZC．[2kπ﹣，2kπ﹣]，k∈Z D．[2kπ﹣，2kπ﹣]，k∈Z11．（5分）已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角A ﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）A．25πB．26πC．27πD．28π12．（5分）已知函数f（x）＝（2a+2）lnx+2ax2+5．设a＜﹣1，若对任意不相等的正数x1，。
2019届湖南省长沙市高考模拟一理科数学试卷【含答案及解析】
2019届湖南省长沙市高考模拟一理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、选择题1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A． -4 ____________________ B． -1 ______________ C． 1______________ D． 42. 以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量一定增加0.2单位；④对于两分类变量与，求出其统计量，越小，我们认为“ 与有关系”的把握程度越小.A．①④ _________ B．②③ ______________ C．①③ ___________ D．②④3. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的实数的取值范围是（）A． ______________ B． ______________ C．______________ D．4. 某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形如图（2），其中，则该几何体的侧面积为（）A．64 ______________ B．80 ______________ C．96 ______________ D．1285. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（） A． ________________________ B． ______________ C．____________________ D．6. 长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A． ______________ B．________________________ C．________________________ D．7. 已知函数，函数，若存在实数使得关于的方程有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A． ____________________________ B． 6 ______________________________ C． 12 D．8. 在菱形中，，，将折起到的位置，若三棱锥的外接球的体积为，则二面角的正弦值为（）A． ____________________________ B． ________________________C． ____________________________ D．9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点，且，则双曲线的离心率为（）A． ______________ B． ______________ C．______________ D．10. 已知点，平面区域由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为8，则的最小值为（）A． ______________ B． 2 ___________ C． 4 ______________D． 811. 已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（）A． ____________________ B． 3____________________________C． ____________________________ D．12. 设函数，是方程的根，且，当时，关于函数在区间内的零点个数的说法中，正确的是（）A．至少有一个零点 ____________________ B．至多有一个零点C．可能存在2个零点 ______________ D．可能存在3个零点二、填空题13. 已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______________________________ .14. 在等差数列中，为数列的前项和，为数列的公差，若对任意，都有，且，则的取值范围为______________________________ .15. 设椭圆与函数的图象相交于两点，若点在椭圆上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是______________________________ .16. 已知（，且）可以得到几种重要的变式，如：，将赋给，就得到，…，进一步能得到：.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：______________________________ .三、解答题17. 已知函数 .（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角的对边为，已知，，求的面积.18. 《环境空气质量指标（）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标分组表表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，指数与当天的空气水平可见度的情况.表2：表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日指数频数统计表. 表3：（1）设，根据表2的数据，求出关于的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元.（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.（用最小二乘法求线性回归方程系数公式， . ）19. 如图所示，异面直线互相垂直，，，，，，截面分别与相交于点，且平面，平面 .（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.20. 如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，过作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且 .（1）求抛物线和圆的方程；（2）过点作倾斜角为的直线，且直线与抛物线和圆依次交于，求的最小值.21. 已知函数，，当时，（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的取值范围.22. 如图，是圆的直径，弦交于，，， .（1）求圆的半径；（2）求线段的长.23. 已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.24. 关于的不等式 .（1）当时，解此不等式；（2）设函数，当为何值时，恒成立？参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷(一)数学(文)试题(PDF版)(答案)
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【全国百强校首发】湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷(一)理科综合
长沙市一中20 1 9届高考模拟卷（一）理科综合能力测试注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C－12 0-16 S-32 CI－35.5 Fe-56 Ag-108第1卷（选择题，共21小题，共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列有关生物体内化合物的说法错误的是A．胆固醇是人体细胞膜的重要成分，还参与血液中脂质运输，但饮食中也不能过多摄人B．脂肪具有缓冲和减压的作用，但过多的脂肪会增加内脏器官的负担C．在鸡蛋清中加入一些食盐，会看到白色的絮状物，这是蛋白质变性的结果D．细胞中大多数无机盐以离子的形式存在2．具有特定生物催化功能的，DN A分子称为脱氧核酶或酶性DN A。
根据催化功能的不同，脱氧核酶具有包括切割RN A的脱氧核酶、切割DNA的脱氧核酶、具有DNA连接酶功能的脱氧核酶等几种类型。
1994年以来，人们合成了多种脱氧核酶，这是生命科学史上的又一个重要．的里程碑。
-充分说明DN A并不只是性质不活泼的遗传信息的载体。
以下有关脱氧核酶的说法正确的是A．脱氧核酶有多种类型，但一种切割DN A的脱氧核酶只能特异性切割1种DNA分子B．研究脱氧核酶，有助于在抗病毒、治疗肿瘤及遗传性疾病方面获得突破C．脱氧核酶能催化两个不同的DNA分子通过磷酸二酯键连接起来，此过程不需要ATP的参与D．由于DNA分子结构较稳定，脱氧核酶的活性不受温度和pH的影响3．某二倍体生物(2n)的一个细胞在分裂过程中，其染色体数、同源染色体对数以及染色单体数目的变化如下表所示，下列相关叙述错误的是A．根据以上各种物质数目的变化判断该细胞进行有丝分裂B．该细胞同源染色体对数由2n－-n，是因为同源染色体分离C．当染色单体由0变为4n时，光镜下还看不见染色单体D．该细胞分裂过程中的核DN A数目变化与染色体数目变化一样，但两者加倍时期不同4．如图所示为某生物基因表达的过程，下列叙述正确的是A．图中肽链若排出到细胞外，则还需要内质网和高尔基体的加工B．为了快速合成肽链，多个核糖体同时进行一条肽链的翻译C．RN A聚合酶的主要作用是根据碱基互补配对原则形成氢键D．1个核糖体中可同时容纳2个tRN A5．下列有关神经调节的叙述，正确的是A．短期记忆主要与神经元的活动及神经元之间的联系有关B．正常机体内兴奋在反射弧中的传导是双向的C．下丘脑是体温、呼吸、水盐平衡等生命活动的神经中枢D．两个神经元之间具有突触结构，它包括突触前膜、突触间隙、突触后膜和突触小泡等6．田鼠是主要生活在农田中的植食性鼠类，当田鼠种群刚迁入一个新的栖息地后，种群开始增长，随着时间的推移，种群停止增长并维持相对稳定。
2019届湖南省长沙市第一高考模拟数学（理）试题
2019届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．∅ B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞【答案】D【解析】先化简{}{}|216|4xB x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B求解. 【详解】因为{}{}|216|4xB x x x =<=<，又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ， 所以4a <. 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ）A ．x D ∀∈，()f x x >B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤C ．xD ∀∉，()f x x > D ．0x D ∃∈，()00f x x >【答案】D【解析】根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】因为p ：x D ∀∈，()f x x ≤是全称命题， 所以其否定是特称命题，即0x D ∃∈，()00f x x >. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为A ．122- B ．122i + C ．122i + D ．122i - 【答案】C【解析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】z 1z 2＝（cos23°+i sin23°）•（cos37°+i sin37°）＝cos60°+i sin60°＝12+． 故答案为C ． 【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.4．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】A【解析】根据直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到2b a =，再求双曲线方程.【详解】因为直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，所以()5,0F -，所以5c =， 又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，所以25a =，220b =，所以双曲线方程为221520x y -=.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a=+近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值【答案】B【解析】根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（）cm3A．243π+B．342π+C．263π+D．362π+【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为： V=V 三棱柱+V 半圆柱=×2×2×3+12•π•12×3=（6+1.5π）cm 3． 故答案为6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．7．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．-3 C ．2 D ．3【答案】C【解析】先研究511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，再分()2x a +中，取2x 和a 两种情况求解.【详解】因为511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()5151r r r r T C x -+=-，所以()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为：()32320551112(1)0x C C x a a -+--=--=-，解得2a =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）A ．118B ．54C ．14D ．18【解析】设BA a =，BC b =，作为一个基底，表示向量()1122DE AC b a ==-，()3324DF DE b a ==-，()1324AF AD DF a b a =+=-+-5344a b =-+，然后再用数量积公式求解. 【详解】设BA a =，BC b =，所以()1122DE AC b a ==-，()3324DF DE b a ==-，()1324AF AD DF a b a =+=-+-5344a b =-+，所以531448AF BC a b b b ⋅=-⋅+⋅=.故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A ． BC D ．3【答案】A【解析】根据平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解. 【详解】 如图所示：设()1,0A -，()10B ,，(),P x y ，则()()22221221x y x y ++=-+， 化简得()2238x y ++=，当点P 到AB （x 轴）距离最大时，PAB ∆的面积最大， ∴PAB ∆面积的最大值是1222222⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.10．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．533B ．23C ．33D 73【答案】D【解析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=， 则13AC =，从而133CD =， 由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即3sin 213α=， 从而()3cos cos 90sin 213BCD αα-∠=︒+=-=， 在BCD ∆中，由余弦定理得：21313349923333213BD =++⨯⨯⨯=， 则733BD =. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC B C ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形 【答案】D【解析】A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行； B 项利用线面垂直的判定定理；C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形. 【详解】A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；B 项，如图：当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确； C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确； D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误. 故选D 【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.12．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234B ．1114C ．1054D ．1174【答案】C【解析】根据()f x 的零点和最值点列方程组，求得,ωϕ的表达式（用k 表示），根据()1f x 在ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，求得ω的取值范围，求得对应k 的取值范围，由k 为整数对k 的取值进行验证，由此求得ω的最大值. 【详解】由题意知1122ππ,3,πππ+,32k k k Z k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，则()()321,421π,4k k ωϕ⎧+=⎪⎪⎨='+⎪⎪⎩其中12k k k =-，21k k k '=+．又()1f x 在ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，所以ππ2π251515T -=≤，得030ω<≤，即()321304k +≤，所以19.5k ≤，又k Z ∈，因此19k ≤． ①当19k =时，1174ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1173π 2.7π,6.6π44x +∈，所以当11173π 4.5π44x +=或6.5π时，()13f x =都成立，舍去；②当18k =时，1114ω=，此时取π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()111π 2.1π,5.8π44x +∈，所以当1111π2.5π44x +=或4.5π时，()13f x =都成立，舍去；③当17k =时，1054ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1053π 2.5π,6π44x +∈，所以当11053π 4.5π44x +=时，()13f x =成立；综上所得ω的最大值为1054． 故选:C 【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．设()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2xf x m =+（m 为常数），若()312f =，则实数m 的值为______. 【答案】1【解析】根据()f x 为定义在R 上的偶函数，得()()11f f =-，再根据当0x <时，()2x f x m =+（m 为常数）求解.【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数， 所以()()11f f =-，又因为当0x <时，()2xf x m =+，所以()()131122f f m -=-=+=， 所以实数m 的值为1. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A 作品获得一等奖”；乙说：“C 作品获得一等奖”；丙说：“B ，D 两项作品未获得一等奖”；丁说：“是A 或D 作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．【答案】C【解析】假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.【详解】A B C D分别获奖的说对人数如下表：,,,获奖作品 A B C D甲对错错错乙错错对错丙对错对错丁对错错对说对人数 3 0 2 1故获得一等奖的作品是C.【点睛】本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件. 15．某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300、原元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A B 料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是__________元.【答案】2800元【解析】设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得2122120x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥∈⎩，且， 目标函数300400z x y =+ ，作出可行域，如图所示作直线340L x y +=：， 然后把直线向可行域平移， 由图象知当直线经过A 时，目标函数300400z x y =+ 的截距最大，此时z 最大， 由212212x y x y +⎧⎨+⎩＝＝ 可得44x y ⎧⎨⎩＝＝，即44A （，）此时z 最大300440042800z =⨯+⨯= ，即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为2800．【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．16．设实数0a >，若函数()()()2aln 0120x x x f x x a x x ⎧->⎪=⎨+++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的最大值为______. 【答案】32e【解析】根据()1f a -=，则当0x >时，2ln a x x a -≤，即()2ln 1a x x -≤.当01x <≤时，()2ln 1a x x -≤显然成立；当1x >时，由()2ln 1a x x -≤，转化为21ln 1x a x -≥，令()()2ln 11x g x x x -=>，用导数法求其最大值即可. 【详解】因为()1f a -=，又当0x >时，2ln a x x a -≤，即()2ln 1a x x -≤.当01x <≤时，()2ln 1a x x -≤显然成立；当1x >时，由()2ln 1a x x -≤等价于21ln 1x a x -≥， 令()()2ln 11x g x x x -=>，()332ln 'xg x x -=， 当321,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 单调递增，当32,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 单调递减，()32max312g g e ex ⎛⎫= ⎪⎝⎭=，则3112a e ≥，又0a >，得32a e ≤， 因此a 的最大值为32e . 故答案为：32e 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5=45，a 2+a 6=14． （I ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足：12222b b ++…1()2n n n b a n N *+=+∈，求{b n }的前n 项和． 【答案】（I ）21n a n =-；（Ⅱ）224n +- 【解析】【详解】 （Ⅰ）设等差数列的公差为4，则依题设2d =．由,可得2n c =． 由，得，可得．所以．可得． （Ⅱ）设，则.即，可得2n c =，且． 所以，可知．所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．所以前n 项和．【考点】等差数列通项公式、用数列前n 项和求数列通项公式．18．如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，60BCD ∠=︒，23AB =，3BC =，E 为线段CD 上一点，满足BC CE =，F 为BE 的中点，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥平面ABED .（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）能否在线段AB 上找到一点P （端点除外）使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34？若存在，试确定点P 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 3【解析】（1）在直角梯形ABCD 中，根据3BE BC ==，60BCD ∠=︒，得BCE ∆为等边三角形，再由余弦定理求得AE ，满足222AE BE AB +=，得到AE BE ⊥，再根据平面BCE ⊥平面ABED ，利用面面垂直的性质定理证明.（2）建立空间直角坐标系：假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34，且AP AB λ=，()0,1λ∈，求得平面PCF 的一个法向量，再利用线面角公式()()22342332141cos ,CA n λλ=⋅-+-=求解. 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，3BE BC ==，60BCD ∠=︒， 因此BCE ∆为等边三角形，从而3BE =，又23AB = 由余弦定理得：21292233cos303AE =+-⨯︒=，∴222AE BE AB +=，即AE BE ⊥，且折叠后AE 与BE 位置关系不变， 又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE 平面ABED BE =.∴AE ⊥平面BCE ，∵AE ⊂平面ACE ， ∴平面ACE ⊥平面BCE .（2）∵BCE ∆为等边三角形，F 为BE 的中点，∴CF BE ⊥，又∵平面BCE ⊥平面ABED ，且平面BCE 平面ABED BE =，∴CF ⊥平面ABED ，取AB 的中点G ，连结FG ，则//FG AE ，从而FG BE ⊥，以F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：则33,,02A ⎫-⎪⎭，330,0,2C ⎛ ⎝⎭，则3333,,22CA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭， 假设在AB 上存在一点P 使直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34，且AP AB λ=，()0,1λ∈，∵30,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()3,3,0AB =-，故()3,3,0AP λλ=-，∴)()33331,21,22CP CA AP λλ=+=⎛--- ⎭，又33FC ⎛= ⎝⎭，该平面PCF 的法向量为(),,n x y z =，()()333312100220330x y z n CP n FC z λλ⎧-+--=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪=⎪， 令()21y λ=-得()()()321,21,0n λλ=--，∴()()2232332141cos ,CA n λλ=⋅-+-=， 解得12λ=或76λ=（舍）， 综上可知，存在点P 是线段AB 的中点，使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34. 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次．．，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X ，求X 的分布列及期望.【答案】（1）见解析；（2）（i ）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii ）若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，()34E X =. 【解析】（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望. 【详解】（1）第一组数据平均数为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 第二组数据平均数为5442325.18 5.20 5.22 5.24 5.26 5.28 5.22202020202020⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩， 可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（ （2）（i ）对于采用延长光照时间的方法：每亩平均产量为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24⨯+⨯+⨯+⨯=千斤. ∴该农场一年的利润为()5.242160.22100426⨯⨯--⨯=千元. （ii ）对于采用降低夜间温度的方法： 每亩平均产量为5.185 5.204 5.224 5.242 5.263 5.2825.2220⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤，∴该农场一年的利润为()5.222160.2100424⨯⨯--⨯=千元.因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3，()315320910228C C P X ===；()2115532035176C C C P X ===；()121553205238C C C P X ===；()3532013114C P X C ===.所以X 的分布列为所以()3551312376381144E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.20．已知椭圆E ：22221x y a b+=的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，过左焦点的直线l 交椭圆E 于C 、D 两点（异于A 、B 两点），当直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为6． （1）求椭圆的方程；（2）设直线AC 、BD 的交点为Q ；试问Q 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）是为定值，Q 的横坐标为定值4-【解析】（1）根据“直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为6”列方程，由此求得b ，结合椭圆离心率以及222a bc =+，求得,a c ，由此求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程1x my =-，联立直线l 的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线,AC BD 的方程，并求得两直线交点Q 的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得Q 的横坐标为定值4-. 【详解】（1）依题意可知212262b a a⨯⋅=，解得23b =，即b =12e =，即2a c =，结合222a b c =+解得2a =，1c =，因此椭圆方程为22143x y +=（2）由题意得，左焦点()1,0F -，设直线l 的方程为：1x my =-，()11,C x y ，()22,D x y ．由221,3412,x my x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得()2234690m y my +--=，∴122634m y y m +=+，122934y y m -=+． 直线AC 的方程为：()1122y y x x =++，直线BD 的方程为：()2222yy x x =--．联系方程，解得1221124263my y y y x y y +-=+，又因为()121223my y y y -=+．所以()1221121212626124433y y y y y y x y y y y -++---===-++．所以Q 的横坐标为定值4-．【点睛】本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知()()ln f x x m =+，()xg x e =.（1）当2m =时，证明：()()f x g x <；（2）设直线l 是函数()f x 在点()()()000,01A x f x x <<处的切线，若直线l 也与()g x 相切，求正整数m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2m =.【解析】（1）令()()()()ln 2xF x g x f x e x =-=-+，求导()1'2xF x e x =-+，可知()'F x 单调递增，且()1'02F =，()1'110F e-=-<，因而()'F x 在()1,0-上存在零点a ，()F x 在此取得最小值，再证最小值大于零即可.（2）根据题意得到()f x 在点()()()000,01A x f x x <<处的切线l 的方程()0000ln x xy x m x m x m=-++++①，再设直线l 与()g x 相切于点()11,x x e ， 有101x me x =+，即()10ln x x m =-+，再求得()g x 在点()11,xx e 处的切线直线l 的方程为()0000ln 1x m x y x m x m x m+=+++++ ②由①②可得()()000000ln 1ln x m x x m x m x m x m+-+=+++++，即()()0001ln 1x m x m x +-+=+，根据010x m +->，转化为()0001ln 1x x m x m ++=+-，001x <<，令()()()1ln 011h x x m x x m x +=+-<<+-，转化为要使得()h x 在()0,1上存在零点，则只需()10ln 01m h m =-<-，()()21ln 10h m m =+->求解. 【详解】（1）证明：设()()()()ln 2xF x g x f x e x =-=-+，则()1'2xF x e x =-+，()'F x 单调递增，且()1'02F =，()1'110F e-=-<， 因而()'F x 在()1,0-上存在零点a ，且()F x 在()2,a -上单调递减，在(),a +∞上单调递增，从而()F x 的最小值为()()()211ln 2022a a F a e a a a a +=-+=+=>++. 所以()0F x >，即()()f x g x <. （2）()1'f x x m =+，故()001'f x x m =+，故切线l 的方程为()0000ln x x y x m x m x m=-++++①设直线l 与()g x 相切于点()11,x x e ，注意到()'x g x e =， 从而切线斜率为101x me x =+， 因此()10ln x x m =-+，而()1101x g x e x m ==+，从而直线l 的方程也为()0000ln 1x m x y x m x m x m+=+++++ ②由①②可知()()000000ln 1ln x m x x m x m x m x m+-+=+++++， 故()()0001ln 1x m x m x +-+=+，由m 为正整数可知，010x m +->，所以()0001ln 1x x m x m ++=+-，001x <<， 令()()()1ln 011h x x m x x m x +=+-<<+-， 则()()()()21'01x x m x m x m h x ++=>++-，当1m =时，()()1ln 1x x h x x ++-=为单调递增函数，且()1ln 220h =-<，从而()h x 在()0,1上无零点；当1m 时，要使得()h x 在()0,1上存在零点，则只需()10ln 01m h m =-<-，()()21ln 10h m m=+->， 因为()11ln 1h m m m =--为单调递增函数，()11ln 3230h =->， 所以3m <；因为()()22ln 1h m m m=+-为单调递增函数，且()21ln 220h =-<， 因此1m ；因为m 为整数，且13m <<，所以2m =.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：()2sin 2cos 0a a ρθθ=>.过点()2,4P --的直线l：2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 相交于M ，N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若MN PN PM MN=，求实数a 的值. 【答案】（1）()220y ax a =>，20x y --=；（2）1a =. 【解析】（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入2sin 2cos a ρθθ=求解，由2242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）消去t 即可.（2）将2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与22y ax联立得)()24840t a t a -+++=，设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t，则)124t t a +=+，()1284t t a =+，再根据MN PN PM MN=，即2MN PM PN =，利用韦达定理求解. 【详解】（1）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 2cos a ρθθ=， 得()220y ax a =>，由242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 消去t 得20x y --=，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是()220y ax a =>，20x y --=. （2）将24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入22y ax得)()24840t a t a -+++=，设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t，则)124t t a +=+，()1284t t a =+， 由MN PN PM MN=得2MN PM PN =， 所以()21212t t t t -=，即()212125t t t t +=，所以()()284584a a +=⨯+，而0a >，解得1a =.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知函数1()||()3f x x a a =-∈R . （1）当2a =时，解不等式1()13x f x -+≥； （2）设不等式1()3x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果. （2）利用等价转化的思想，可得不等式|31|||3x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关系，可得结果.【详解】（1）当2a =时，原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥.①当13x ≤时， 则33012x x x -++-⇒≤≥，所以0x ≤；②当123x <<时， 则32113x x x -+≥⇒≥-，所以12x ≤<；⑧当2x ≥时， 则332132x x x +≥⇒≥--，所以2x ≥. 综上所述：当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥.（2）由1||()3x f x x -+≤， 则|31|||3x x a x -+-≤，由题可知：|31|||3x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+， 所以1114312312a a a ⎧-≤⎪⎪⇒-≤≤⎨⎪+≥⎪⎩故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，属中档题.。
2019届长沙市高三统一检测长沙市2019届高三年级统一模拟考试理科数学试题及参考答案及评分标准
等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所
对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为.
A．8－ 4 3
B．8－
C．8－ 2 3
D．4－ 2
9．已知 P(1, 2) 是函数 f (x) Asin(x )(A 0, 0) 图象的一个最高点， B,C 是
4. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.
姓名 准考证号
绝密★启用前
长沙市 2019 届高三年级统一模拟考试
理科学
高考湘军
长沙市教科院组织名优教师联合命制 本试题卷共 7 页，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
科目：数学（理科）
（试题卷）
注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和
该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。 2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草
稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答 题。
3. 本试题卷共 7 页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否 则后果自负。
A．12
B．10
C． 9
D． 4.5
12．设正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1 ，E 为 DD1 的中点，M 为直线 BD1 上一点，N 为平面 AEC 内一点，则 M，N 两点间距离的最小值为
A． 6 3
B． 6 6
C． 3 4
D． 3 6
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把各题答案的最简形式写在题 中的横线上.