分层随机抽样.
4
3 层的划分原则
1
• 层内单元具有相同性质，通常按调查对象的不同类型进行划 分。这时，分层抽样能够对每一类的目标量进行估计。
2
• 尽可能使层内单元的标志值相近，层间单元的差异尽可能大， 从而达到提高抽样估计精度的目的。
3
• 既按类型又按层内单元标志值相近的原则进行多重分层，同 时达到实现估计类值以及提高估计精度的目的。
18
19
4
• 为了抽样组织实施的方便，通常按现有的设置进行分层。
5
4 基本函数及表达式
6
4 基本函数及表达式
7
5 估计量的性质
8
5 估计量的性质
9
6 文献阅读——分层抽样中样本量的分配方法研究
10
6.1 本文的研究内容
本文立足于分层随机抽样的重要性以及样本容量分 配的重要意义,从分析影响样本容量的因素入手,讨论 实践中分层抽样样本量分配的方法体系并进行比较评 价,得出各种方法的适用性,期望对调查实践具有一定 的借鉴价值。
分层随机抽样
1
报告内容
1. 定义 2. 优缺点 3. 层的划分原则 4. 基本函数及表达式 5. 估计量的性质
6. 文献阅读—分层抽样中样本量的分配方法研究
2
1 定义
分层随机抽样（Stratified sampling）是随机抽样中的一种抽样方 法。 在抽样前先对母群体依某些特征分成若干层,再利用简单随机抽样,自 各层中抽取样本. 类型随机抽样，又称分层随机抽样，它是先将总体各单位按一定标准 分成各种类型（或层）；然后根据各类型单位数与总体单位数的比例，确 定从各类型中抽取样本单位的数量；最后，按照随机原则从各类型中抽取 样本。
14
6.3.2 最优分配（optimum allocation）
(1)第h 层所含有的单元数较多; (2) 第h 层内部单元的差异程度较大; (3) 第h 层每个样本所需的费用较低,则对第h 层需要多抽取一些样本单元。
15
6.3.3 内曼最优分配（neyman optimum allocation）
最优分配的 特例
当样本量n 固定时,内曼分配的样本容量可使
达到最小值
16
6.4 总结
综上所述:比例分配的优点是可以得到自加权 样本,抽样实施简单。内曼分配考虑到层权和各层变 异程度的因素,会使抽样精度大大提高。然而现实中 往往会存在费用问题,最优分配同时考虑到三者的影 响。但现实中也并非考虑因素越多越好,理论上的最 优分配实践中未必真能做到。因此,选择样本容量分 配方法,应立足于现实情况,深刻剖析调研目的,具体 问题具体分析。
11
6.2 样本容量分配的影响因素分析
最优设计
影 响 因 素
层的大小
各层的变异程度 费用
费 用 精度
其他因素
12
6.3 单变量调查样本容量的分配
比例分配
最优分配 内曼最优分配
13
6.3.1 比例分配（proportional allocation） 大规模的多变
量调查
在大规模的抽样调查中,特别是在涉及多阶段抽样的调查中,很难保证最 终获得的样本是严格自加权的。
17
7 参考文献
[1] 刘文卿, 实验设计[M], 清华大学出版社.2005,2,1. [2] 李章华.模糊综合评价的分层抽样方法[J]. 清华大学学报2002,42,8:1075-1078. [3] 张峰, 唐樟春, 刘永寿, 岳珠峰. 基于分层抽样法的可靠性灵敏度分析.[J], 计算力学学报, (2012)06-0841-06 [4] 刘爱芹, 吴玉香. 分层抽样中样本量的分配方法研究.[J], 山东财政学院学报.
3
2 分层随机抽样的优缺点来自优点是，它适用于总体单 缺点是，必须对总体各单 位数量较多、内部差异较 位的情况有较多的了解， 大的调查对象。与简单随 否则无法作出科学的分类。 机抽样和等距随机抽样相 而这一点在实际调查之前 比较，在样本数量相同时，又往往难以做到。 它的抽样误差较小；在抽 样误差的要求相同时，它 所需的样本数量较少。
【抽样调查】分层随机抽样
【抽样调查】分层随机抽样第2部分：分层随机抽样⽬录概述分层随机抽样的思路：当N ,n 都较⼤，总体单元之间的差异也较⼤时，简单随机抽样会出现⾼成本、低精度情形，解决⽅法是将总体划分为若⼲个⼦总体、减少总体单元之间的差异。
假设在各个⼦总体内已经满⾜实施简单随机抽样的条件，则可以在各个⼦总体内独⽴地进⾏简单随机抽样，再将各个⼦总体参数的估计值进⾏加权，得到总体参数的估计。
分层抽样的概念：层：如果⼀个包含N 个单位的总体可以分成不重不漏的L 个⼦总体，即每个单元必定属于且仅属于⼀个⼦总体，则这样的⼦总体称为层。
有N 1+⋯+N L =N 。
分层抽样：在每⼀层中独⽴进⾏抽样，总的样本由各层样本组成，总体参数⼜按照各层样本参数的汇总作出估计。
有n 1+⋯+n L =n 。
分层随机抽样：每层的样本，都独⽴地按照简单随机抽样进⾏，这样的分层抽样称为分层随机抽样。
符号规定：h ：层。
从⽽N h 代表第h 层的单位总数，n h 代表第h 层的样本数。
i ：层内单位号。
从⽽Y hi 代表第h 层第i 个总体单元，y hi 代表第h 层第i 个样本单元。
W h ：层权，即W h =N h N 。
f h ：层内抽样⽐，即f h =n hN h 。
¯Yh,Y h,S 2h：层内总体参数（均值、总值与⽅差）。
¯y h ,y h ,s 2h：层内样本参数（样本均值、样本总值与样本⽅差）。
简单估计量分层抽样⾸先根据各层的样本，计算出各层均值¯Y h的适当估计值ˆ¯Y h ，然后再使⽤总体层权加权平均，得到总体均值¯Y 的估计，即ˆ¯Y st =L∑h =1W h ˆ¯Y h =1N L∑h =1N h ^¯Y h .对于分层随机抽样，每⼀层的ˆ¯Y h就是h 层的样本均值¯y h ，即ˆ¯Y st =L∑h =1W h ¯y h =1N L∑h =1N h ¯y h .注意这⾥的线性形式。
分层随机抽样
抽样均按简单随机抽样进行，求全市年 平均户收入的估计及其 90%的置信区间。
解： 计算层权： W1=N1/N=0.137, W2=N2/N=0.863。 (1) y st W1 y1 W2 y 2 0.137 15180 0.863 9856 10585.39
(2)求v( y st )
6 第 h 层抽样比为：
nh fh Nh
第二节 简单估计量及其性质
一、对总体均值与总量的估计
（一）对总体均值与总量的估计 1 对一般分层抽样：
ˆ WY ˆ, Y hh st
h 1 L
ˆ Y ˆ Y st h
h 1
L
ˆ , 则： ˆ NY 如果每个Y h h h ˆ ˆ Y NY
s( y st ) v( y st ) 142.312 1 90%, 1.645 全市年户均收入Y 的90%的置信区间为 10585.39 1.645 142.312，即： [10351.29元， 10819.49元]
二、对总体比例（成数） 的估计
1 成数 P 或总数 A 的估计: 层比例 Ph=Ah/Nh , Qh=1－Ph 层样本比例 ph=ah/nh , qh=1－ph Ah 与 ah 是第 h 层总体及样本中具有 所研究特征的单元数。
st st
2 对一般的分层抽样：
ˆ 是Y 的无偏估计， 若Y h h ˆ (Y ˆ )也是Y (Y )的无偏估计： 则Y
st st
由于各层的抽样是相互独立的，因此： ˆ ) V( W Y ˆ ) W 2V (Y ˆ) V (Y h h h st
h 1 h 1 L L
ˆ ) V (Y ˆ) V (Y st h
抽样技术分层随机抽样
抽样技术：分层随机抽样引言在数据分析中，抽样是一种常见的技术，用于从总体中选择一部分样本进行研究和分析。
抽样的目的是获得对总体的准确、可靠的估计，同时降低研究成本和时间。
然而，在实际应用中，总体往往是复杂多样的，包含不同属性或特征的子群体。
这时，分层随机抽样就是一种有效的抽样技术，可以提高抽样的精确性和代表性。
本文将介绍分层随机抽样的概念、步骤和应用。
什么是分层随机抽样?分层随机抽样是一种按照总体的分层结构进行抽样的方法。
总体根据某种特征或属性被划分为若干层，然后从每一层中随机选择一部分样本，构成最终的样本集。
这种抽样方法能够充分考虑总体内部的差异，保证样本对总体的代表性和准确性。
分层随机抽样的步骤分层随机抽样一般包括以下几个步骤：步骤1：总体划分层首先，需要根据某种特征或属性将总体划分为若干层。
层与层之间应具有较大的差异，而层内部的差异应尽可能小。
步骤2：确定每层的样本量和抽样比例根据抽样的目标和总体的特点，可以确定每一层的样本量。
通常情况下，样本量应当足够大，以获得准确的统计结果。
同时，需要确定每一层的抽样比例，比例应考虑到层内部的差异和样本数量。
步骤3：随机抽样在每一层内，根据抽样比例，从层内随机选择样本。
随机抽样可以保证样本的无偏性和代表性。
步骤4：组成样本集将每一层内抽取的样本进行组合，形成最终的样本集。
样本集应能够反映总体的属性和特征。
分层随机抽样的优点相比于简单随机抽样和系统抽样，分层随机抽样具有以下优点：提高估计的精确性分层随机抽样可以将总体划分为若干个层，然后分别从每一层抽取样本。
这样做有助于充分考虑总体内部的差异，提高估计的精确性。
降低误差由于分层随机抽样将样本分布在不同层中，可以降低抽样误差和估计误差，从而提高研究结论的可靠性。
保证样本的代表性分层随机抽样能够从每一层中抽取样本，使样本更具代表性。
这样可以在不损失总体属性和特征的情况下，降低样本的偏差。
分层随机抽样的应用分层随机抽样在社会调查、市场研究、医学研究等领域有着广泛的应用。
简单随机抽样和分层抽样的比较
简单随机抽样和分层抽样的比较抽样是社会科学研究中常用的一种数据收集方法。
在大规模的调查研究中，研究者不可能对所有人进行调查，因此需要从总体中选取一部分样本进行研究。
简单随机抽样和分层抽样是常用的两种抽样方法，它们有着不同的特点和应用场景。
简单随机抽样是指从总体中随机选取样本的方法。
在简单随机抽样中，每个样本都有相等的机会被选中，且每个样本之间是相互独立的。
这种抽样方法的优点是简单易行，能够保证样本的代表性。
然而，简单随机抽样也存在一些限制，比如在样本容量较小的情况下，可能会出现样本不够代表性的问题。
此外，简单随机抽样也无法考虑到总体的特征差异，可能导致在某些特征上的抽样误差。
相比之下，分层抽样是一种根据总体的特征进行分层，然后在每个层次中进行随机抽样的方法。
分层抽样能够更好地考虑到总体的特征差异，确保样本在各个层次上的代表性。
例如，在研究一个国家的人口结构时，可以将总体按照性别、年龄、地区等特征进行分层，然后在每个层次中进行抽样。
这样可以保证样本在各个层次上的代表性，减小抽样误差。
然而，分层抽样也存在一些问题。
首先，分层抽样需要对总体进行详细的划分，这在一些场景下可能会比较困难。
例如，在研究一个复杂的社会问题时，可能无法准确划分出所有的层次。
此外，分层抽样也需要考虑到各个层次的样本容量，以保证样本的代表性。
如果某个层次的样本容量较小，可能会导致该层次的抽样误差较大。
综上所述，简单随机抽样和分层抽样都是常用的抽样方法，各有其适用的场景和优缺点。
在实际研究中，研究者需要根据研究目的和总体特征选择合适的抽样方法。
如果总体特征较为复杂，且需要考虑到各个层次的代表性，那么分层抽样可能是更好的选择。
而对于总体特征较为简单的情况，简单随机抽样可以提供一个简单有效的抽样方法。
无论选择哪种抽样方法，都需要保证样本的代表性和抽样误差的控制，以保证研究结果的可靠性和有效性。
总之，简单随机抽样和分层抽样是社会科学研究中常用的两种抽样方法。
分层、分段随机抽样的区别
分层、分段随机的区别简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
分段抽样又称多级抽样或多阶段抽样，就是把从总体中抽取样本的过程分成两个或多个阶段进行的抽样方法。
它是在总体内个体单位数量较大，而彼此间的差异不太大时，先将总体各单位按一定标志分成若干群体，作为抽样的第1阶段单位，并依照随机原则，从中抽出若干群体作为第1阶段样本；然后将第1阶段样本又分成若干小群体，作为抽样的第2阶段单位，从中抽出若干群体作为第2阶段样本，依此类推，直到满足需要为止。
最末阶段抽出的样本单位的集合，就是最终形成的总体样本。
一般在抽取前阶段样本时采用分类抽样或等距抽样，抽取后阶段样本时用整群抽样或简单随机抽样。
多阶段抽样的意义在于缩小总体范围，提高抽样效率，降低抽样成本。
其最大优点就是可以达到以最小的人财物消耗和最短的时间获得最佳调查效果的目的，特别适用于调查范围大、单位多、情况复杂的调查对象。
此外，多阶段抽样由于在各阶段抽样时可根据具体情况灵活选用不同的抽样方法，所以能够综合各种抽样方法的优点，有利于提高样本质量。
多阶段抽样的不足之处是抽样误差较大。
由于每次抽样都必然产生误差，所以抽样阶段越多抽样误差就越大。
分层抽样，也叫类型抽样。
就是将总体单位按其属性特征分成若干类型或层，然后在类型或层中随机抽取样本单位。
特点是：由于通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本。
该方法适用于总体情况复杂，各单位之间差异较大，单位较多的情况。
群集抽样法即将母体按某种标准分为若干群集(cluster) ; 其次，以群集为抽样单位。
然后，由这些群集中用简单随机抽样法抽出若干群集为一组群集样本，这种抽样程序即称为群集随机抽样法。
其所抽出的样本称为群集样本。
系统抽样，也叫机械抽样或等距抽样。
是将总体各单位按一定标志或次序排列成为图形或一览表式（也就是通常所说的排队），然后按相等的距离或间隔抽取样本单位。
抽样技术第三章_分层随机抽样
4
4
4
ˆ v Y ˆ 23208 s Y
ˆ 209650 2 23208 ˆ ts Y Y
2015/11/6
23
三、对总体比例的估计
总体比例P的估计为：pst Wh ph
h 1
L
估计量的性质
对于一般的分层抽样，如果 ph是 P h 的无偏估计 （h 1,2,, L ），则 pst 是 P的无偏估计。 p 的方差为：
W 2V Y V Y h h st
h1
L
只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。
各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量是无 偏的，则对总体的推算也是无偏的。
11
2015/11/6
证明性质1
由于对每一层有
ˆ Y EY h h
L L ˆ ˆ ˆ E Y E W Y W E Y st h h h h 因此， h1 h1
L
L
N Y hh
h 1
L
分层随机样本，总体均值 Y 的简单估计
1 y st Wh y h N h 1
N
h 1
L
h
yh
10
2015/11/6
估计量的性质
是 Yh 的无 性质1&2：对于一般的分层抽样，如果 Y h 偏估计（ h 1,2, , L ），则 Y 是Y 的无偏估计。 st Yst 的方差为：
7
三、符号
所有总体参数的估计量都采用下标“st”以示区别：
记 号 代表的含义
h
下标
i
分层随机抽样概述
总体均值 Y 和总体总量Y的分别比率估计量:
yRs
L
Wh yRh
h1
L
Wh
h1
yh xh
X
h
已知各层的 均值和总量
YˆRs
2020/11/17
NyRs
L h1
yh xh
X
h
L
YˆRh
h1
41
▪ 对分别比估计，若各层样本量都比较大，则有:
EyRS Y
L
MSEyRS V yRs V ( Wh yRh ) h1
V pst Wh2V ( ph ) h1
2020/11/17
33
性质９ 对于分层随机抽样，
的一个无偏估计为：
2020/11/17
34
【例3.3】
▪ 了解某地区居民户拥有家庭电脑的情况如下，估计该 地区家庭拥有电脑的比例及估计的标准差。
样本户拥有家庭电脑情况
层 居民户
样本户拥有家庭电脑情况
S yh2 Rh2Sxh2 2Rh hS yhSxh
所以
L
L
EyRS Wh E( yRh ) WhYh Y
h1
h1
V Yˆst
V
L WhYˆ h
h1
L h1
Wh2V
Yˆ h
L
2
L WhWjcov Yˆ h , Yˆ j
h1 jh
L Wh2V Yˆh h1
2020/11/17
14
性质2 对于分层随机抽样 , 是 的无偏估计, 的方差为:
2020/11/17
15
性质3 对于分层随机抽样, 计为：
2020/11/17
8
如：对全国汽车货运量调查，目的是不仅要 了解全国货运量，而且推算不同经济成分 货运量。
抽样调查-3分层随机抽样
V (Yˆst ) N 2V (Yˆst )
L
V (Yˆh )
h1
样
N 2 L Wh2V (Yˆh ) L N h2V (Yˆh )
h1
h1
调
2
对分层随机抽样，Yˆ st
=Ny st
是Y的无偏
估计。
查
V (Yˆst )
N 2V (Yˆst )
L h1
N h2V (Yˆh )
L h1
不漏”的L个子总体，即每个单元必属于且层（stratum）。
N N1 N2 NL
N {Y1,Y2 ,,YN }
Nh {Yh1 ,Yh2 ,,YhNi } h 1,2,, L
2020/7/27
2
定义3.2 3.3 分层随机抽样
抽
分层抽样又称为类型抽样或分类抽样，即抽样
查
三、总体比例的估计
Chap 3 分层随机抽样
抽
3.1 定义与符号
3.2 简单估计量及其性质
样
3.3 比率估计及其性质
调
3.4 回归估计及其性质
3.5 各层样本量的分配
3.6 总样本量的确定
查
3.7 其它相关问题
§3.1 定义与符号
抽 一、定义与符号
（一）定义
样
定义3.1 层（类）：
调
如果一个包含N个基本单元的总体可以分成“不重
N
2 h
1 fh nh
S
2 h
L
3分层随机抽样：v(Yˆst ) Nh2v( yh ) h1
2020/7/27
L h1
N
2 h
1 fh nh
sh2
11
抽
▪ 例3.1 调查某地区的居民奶制品年消费支出， 样 以居民户为抽样单元，根据经济及收入水
9.1.2 分层随机抽样
探究
抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单 随机抽样是使总体中每一个个体都有相 等的机会被 抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较 “极端”的样本.例如.在对 树人中学高一年级学生 身高的调査中，可能出现样本中50个个体大部分来 自高个子或矮 个子的情形.这种“极端”样本的平 均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计值 出现较大的误差.
X = X1 +X2 +
M
+X M
=1 M
M i 1
X
，
i
x= x1 +x2 +
m
+xm
=
1 m
m i 1
xi，
则第2层的总体平均数和样本平均数分别为
Y = Y1 +Y2 +
N
+YN
=1 N
N
Yi，
i 1
y= y1 +y2 +
n
+yn
=
1 n
n i 1
xi，
总体平均数和样本平均数分别为
M
N
和第2层包含的个体数分别为M和 N,抽取的样本量
分别为m和n.我们用X1，X2,…，XM表示第1层各个 个体的变量值, 用x1，x2,…，xm 表示第1层样本的各 个个体的变量值；用Y1，Y2,…，YN表示第2层各个 个体的变量值，用y1，y2,…，yn表示第2层样本的各 个个体的变量值.
则第1层的总体平均数和样本平均数分别为
一般地，分层抽样的操作步骤 第一步，将总体分成互不交叉的层; 第二步，计算样本容量与总体的个体数之比. 按比例确定各层要抽取的个体数. 第三步，用简单随机抽样在各层中抽取相应数量 的个体.
第四章分层随机抽样
第四章分层随机抽样第一节分层随机抽样概述分层抽样也叫做类型抽样，它是实际工作中最常用的抽样技术之一。
分层抽样是在抽样之前，先将总体按一定标志划分为若干个层（组），后在各层内分别独立地进行抽样。
由此所抽得的样本称之为分层样本。
各层所抽的样本也是互相独立的。
如果每层中的抽样都是简单随机的，则这种抽样就叫做分层随机抽样。
由此所得到的样本称做分层随机样本。
从以上概念可以看出，分层抽样的实质是在各层间作全面调查，而在各层内作抽样调查。
因此，分层抽样的误差只与各层内的差异有关，而同各层间的差异无关。
所以，为了能有效地降低抽样误差，提高抽样效果，在分层时应遵循“尽可能使层内差异小，而使层间差异大”的原则，同时要使分层的结果既无重复又无遗漏。
进行分层抽样时应注意：①层内抽样设计的选择；②分层变量的选择；③各层样本量的分配；④层数；⑤层的分界。
以前只重视③，近年来，④和⑤引起了越来越多的关注。
同简单随机抽样相比，分层抽样具有以下特点：①分层抽样能够充分地利用关于总体的各种已知信息进行分层，因此抽样的效果一般比简单随机抽样要好。
但当对总体缺乏较多的了解时，则无法分层或不能保证分层的效果。
②在分层抽样中，总体的方差一般可以分解为层间方差和层内方差两部分。
由于分层抽样的误差只与层内差异有关，而与层间差异无关，因此，分层抽样可以提高估计量的精度。
③由于分层抽样是在每层内独立地进行抽样，因此，使得分层样本能够比简单随机样本更加均匀地分布于总体之内，所以其代表性也更好些。
④分层抽样的随机性具体体现在层内各单元的抽取过程之中，也即在各层内部的每一个单元都有相同的机会被抽中，而在层与层之间则是相互独立的。
⑤分层抽样适合于调查标志在各单元的数量分布差异较大的总体。
因为对这样的总体进行合理的分层后可将其差异较多地转化为层间差异，从而使层内差异大大减弱。
⑥分层抽样中除了可以推断总体参数外，还可以推断各不同层的数量特征，并进一步作对比分析，从而满足不同方面的需要，也能帮助人们对总体作更全面、更深入的了解。