中考试题中的数学文化第三节 反比例函数

第三章 函 数

第三节 反比例函数

中考试题中的数学文化

帕普斯与三等分角

【文化背景】

帕普斯(Pappus )是古希腊数学家，3～4世纪人，他是亚历山大学派的最后一位伟大的几何学家，生前有大量著作，但只有《数学汇编》保存下来．《数学汇编》对数学史具有重大的意义．

【中考对接】

1. 阅读下列材料，完成相关试题： (1)求证：点Q 在直线OM 上；

(2)你能说明∠MOB ＝13

∠AOB 的理由吗？ (3)当给定的已知角是钝角或直角时，你还会求三等分角吗？

三等分角是古希腊三大几何问题之一，

如今数学上已证实了这个问题用尺规作图无解．但是帕普斯利用反比例函数的图象及性质解决了此问题，方法如下：

第1题图

如图，将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，角的一边OA 与y ＝1x

的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交图象于点R .分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两线相交于点M ，Q ，连接OM 得到∠MO B.

参考答案

中考试题中的数学文化

1. (1)证明：设P 、R 两点的坐标分别为P (a 1，1a 1)，R (a 2，1a 2

)，则Q (a 1，1a 2)，M (a 2，1a 1

)， 设直线OM 的关系式为y ＝kx ，

∴1

a 1＝ka 2，∴k ＝1a 1a 2.∴y ＝1a 1a 2x .

当x ＝a 1时，y ＝1a 2，

∴点Q (a 1，1a 2)在直线OM 上；

(2)解：如解图，设PR 与OM 的交点为C ，

第1题解图

∵四边形PQRM 是矩形，

∴PC ＝12PR ＝CM ，

∴∠2＝2∠3，

∵PR ＝2PC ，PR ＝2OP ，

∴PC ＝OP ，

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝∠4，

∴∠1＝2∠4，

1

即∠MOB＝

3∠AOB.