离散数学第三章
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第三章集合与关系
二.全序(线序、链) 定义：<A,≤>是偏序集，任何x,y∈A，如果x与y都是可 比较的，则称≤是全序关系(线序、链)。 例2 B={1,2,4,8},≤表示整除关系， 1。 8 则≤是全序关系，如图：
2
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。 4
全序关系一定是偏序关系，但是偏序不一定是全序。 偏序关系的有向图，不能直观地反映出元素之间的次 序，所以下面介绍另外一种图---Hasse图。通过这个 图，就能够清晰地反映出元素间的层次。 下面介绍Hasse图。
第三章集合与关系
本节重点： 等价关系概念、证明。 等价类概念、性质。 求商集。
作业：第134页 ⑵、(3)、⑷
第三章集合与关系
3-11 相容关系
相容关系是另一种常见关系， 如朋友关系、同 学关系等。这些关系的共性是自反的、对称的。 一.定义:给定集合X上的关系r, 若r是自反的、 对称的,则r是A上相容关系。 显然：等价关系一定是相容关系，相容关系不一 定是等价关系。 例子：X 是由一些英文单词构成的集合。 X={fly, any, able, key, book, pump, fit}, X上 关系r: r={<α,β>|α∈X,β∈X且α与β含有相同字母}
第三章集合与关系
1
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2
1
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2
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1
2
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R1
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R2
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R3
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上述三个等价关系各有几个等价类？说出对应的 各个等价类。 从上述模3同余关系例子中，可以归纳出等价 类的性质：任何两个等价类要么相等，要么不相交； 那么在什么情况下相等？那么在什么情况下不相交？
第三章集合与关系
3.等价类性质 R是A上等价关系，任意a,b,c∈A ⑴同一个等价类中的元素，彼此有等价关系R。 即任意x,y∈[a]R，必有<x,y>∈R 证明：任取x,y∈[a]R，由等价类定义得，<a,x>∈R, <a,y>∈R ,由R对称得，<x,a>∈R，又由R传递得 <x,y>∈R。 ⑵ [a]R∩[b]R=Φ， 当且仅当 <a,b>R。 证明:(充分性)设<a,b>R，假设[a]R∩[b]R≠Φ,则存在 x∈[a]R∩[b]R，∴x∈[a]R∧x∈[b]R, ∴<a,x>∈R , <b,x>∈R,由R对称得 <x,b>∈R又由R传递得 <a,b>∈R,产生矛盾。 (必要性)若[a]R∩[b]R=Φ,而<a,b>∈R,由等价类定义得
第三章集合与关系
3-12 序关系
次序关系也是常遇到的重要关系，例如： 数值的≤、＜、≥、＞关系； 集合的、关系； 图书馆的图书按书名的字母次序排序； 词典中的字(词)的排序； 计算机中文件按文件名排序； 程序按语句次序执行；……. 本节讨论几种次序关系。
第三章集合与关系
一. 偏序关系(partial order relation)
1
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2
2。 。 3 2。 。 。 3
R1
R2
。 3
R3
第三章集合与关系
定理1: 集合A上的等价关系R，决定了A的一个划分， 该划分就是商集A/R. 证明：由等价类性质可得 ： 1) A/R中任意元素[a]R，有[a]RA. 2) 设[a]R,[b]R是A/R的两个不同元素，有 [a]R[b]R=Φ 3) 因为A中每个元素都属于一个等价类，所以所有 等价类的并集必等于A。 所以商集A/R是A的一个划分。 定理2： 设R1和R2是非空集合A上的等价关系，则 R1=R2当且仅当A/R1=A/R2 。 (这个定理显然成立。)
2.等价关系的有向图
4 1
。
7
2
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3
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5
6
1)等价关系的有向图:从关系图可看出，R是自 反、对称、传递的关系，所以R是等价关系。
第三章集合与关系
2)完全关系(全域关系A×A)图，下面分别是当A 中只有1、2、3个元素时的完全关系图。
A={1,2} 1
A={1}
1
。 。
2
1
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A={1,2,3}
b)二个独立子图的情形，则( )个等价关系 。 c)一个独立子图的情形，则( )个等价关系 。 一共有( )个不同的R中的等价关系。 二. 等价类 我们经常用等价关系对集合进行划分，得到的 划分块称之为等价类。
第三章集合与关系
1.定义：R是A上的等价关系，a∈A,由a确定的集合 [a]R={x|x∈A∧<a,x>∈R} 称集合[a]R为由a形成的R等价类。简称a等价类。 可见 x∈[a]R <a,x>∈R 上例中，A={1,2,3,4,5,6,7}, R是A上的模3同余关系， [1]R={1,4,7}= [4]R = [7]R ----余数为1的等价类 [2]R={2,5}= [5]R ----余数为2的等价类 [3]R={3,6}= [6]R ----余数为0的等价类 思考题：此例为什么只有三个等价类？ 2. 由等价关系图求等价类： R图中每个独立子图上的结点，构成一个等价类。不 同的等价类个数=独立子图个数。
生 日 快 乐
用刀分
{
快
乐
生
日
}
第三章集合与关系
定义：R是A上等价关系，由R的所有等价类构成的 集合称之为A关于R的商集。记作A/R。即 A/R={[a]R |a∈A} 例如A={1,2,3,4,5,6,7} , R上模3同余关系，则 A/R= {[1]R,[2]R,[3]R} ={{1,4,7},{2,5},{3,6}} 练习 X={1,2,3},X上关系R1、R2 、R3，如上图所示。 X/R1={[1]R1,[2]R1,[3]R1}={{1},{2},{3}} X/R2={[1]R2 ,[2]R2}={{1},{2,3}} 1 X/R1={[1]R3}={{1,2,3}} 。 1。
1. 定义：R是A上自反、反对称和传递的关系，则称R 是A上 的偏序关系。并称<A,R>是偏序集。 例如数值的≤、≥关系和集合的都是偏序关系。 因为数值≤是熟知的偏序关系，所以用符号“≤”表 示任意偏序关系，但要注意!!“≤”不一定是“小于或等 1 于”的含义。 6 例1 A={1,2,4,6}, ≤是A中的整 除关系，其关系图如右图，显然 2 4 ≤是自反、反对称和传递的，即 它是个偏序关系。 2. x与y是可比较的：<A,≤>是偏序集，x,y∈A，如果要 么x≤y,要么y≤x, 则称x与y是可比较的。 上例中1,2,4或1,2,6间是可比较的。而4与6间是不可比较的
第三章集合与关系
即<x,y>∈R x(mod 3)=y(mod3) 例如 4(mod 3)=7(mod3) 3(mod 3)=6(mod3) R={<1,1>,<1,4>, <1,7>,<2,2>,<2,5>,<3,3>,<3,6>, <4,1>, <4,4>,<4,7>,<5,2>,<6,3>,<6,6>,<7,1>, <7,4>,<7,7>}
第三章集合与关系
⑸ 任意两个等价类 [a]R、[b]R， 要么[a]R=[b]R ，要么[a]R∩[b]R=Φ 。 (因为要么<a,b>∈R，要么<a,b>R。) ⑹ R的所有等价类构成的集合是A的一个划分。 (由性质⑷⑸即得。) (这个划分称之为商集) 三. 商集 商”和除法有关，比如把一块蛋糕平均分成四份， 从两种不同的角度看这件事： 从算术角度看：1除以4,每份1/4,这就是“商”,于是: 1=1/4+1/4+1/4+1/4 从集合角度看：
第三章集合与关系
定理3: 集合X的一个划分可以确定X上的一个等价关系。 证明：假设A={A1, A2,... ,An}是X的一个划分，如下构造 X 上的一个等价关系R: 2 2 2 2 R= A1∪A2∪,…,∪An 其中Ai = Ai×Ai，(i=1,2…n). 1) 证R自反：任取a∈X，因为A是X的划分，必存在 AiA使aAi ,于是<a,a>∈Ai×Ai , 又Ai×Ai R∴有aRa。 2) 证R对称：任取a,b∈X, 设aRb，必存在AiA使得 <a,b>∈Ai×Ai ,于是a,bAi , bRa, R是对称的。 3) 证R传递：任取a,b,c∈X, 设aRb，bRc, 必存在AiA使 得<a,b>∈Ai×Ai ,<b,c>∈Ai×Ai , (不可能有另一个划分块AkA使得<b,c>∈Ak×Ak, 因为 如果这样，就使得, 既b∈Ai又bAk ,与A是划分矛盾。) 于是a,b,cAi , 所以<a,c>∈Ai×Ai ，又Ai×Ai R∴有aRc 所以R传递。最后得R是集合X中的等价关系。
第三章集合与关系
四. 由划分确定等价关系
A/R
集合的划分 例如，X={1,2,3,4}, 等价关系 ？ A={{1,2},{3},{4}}, A是X 的一个划分，求X上一个 1。 3。 等价关系R，使得X/R=A。 4。 2。 显然R的图如右图所示： R={1,2}2∪{3}2∪{4}2 。 一般地A={A1,A2,…,An}是X的一个划分，则构造一个 X中的等价关系R，使得X/R=A。 2 R= A21∪A22∪,…,∪A2n 其中Ai= Ai×Ai， 下面证明R是X中的等价关系。
第三章集合与关系
3-10
等价关系与等价类
下面我们介绍一类很重要的关系，也是我们遇 到最多的关系，例如，数值相等关系=、命题间的 等价关系 、三角形相似∽和全等关系≌，….. 一.等价关系 1.定义:设R是A上关系,若R是自反的、对称的和 传递的，则称R是A中的等价关系。若a,bA，且aRb， 则称a与b等价。 例子，集合A={1,2,3,4,5,6,7}, R是A上的模3同 余关系，即 R={<x,y>|x-y可被3整除(或x/3与y/3的余数相同)}
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离散数学 第三章 函数
下面先规定几个标准集合的基数： 1) 空集的基数为0。 2) 设n为一自然数，Nn为从1到n的连贯的自然数集合， Nn={1,2,3,…,n}，Nn的基数为n，|Nn|=n 。 3) 设N为自然数的全体，N={1,2,3,…},N的基数为ℵ0(读成 阿列夫零， ℵ是希伯莱文的第一个字母)。 4) 设R为实数的全体，R的基数为ℵ ,|R|= ℵ 。 • • 以上四项规定，对于空集及Nn的基数，实际上就是集 合中元素的个数，关于ℵ0及ℵ，下面将予探讨。 有了标准基数之后，我们可以对各种集合测量其基数。 测量的手段是以双射函数为主体的等价关系一等势。 比如说，一个集合与N等势，那么这个集合的基数为 ℵ0 。
定理6 设A及B为两个可数集，那么A×B为一可数集。 定理 推论1 推论 设A1,A2,A3,…,An为n个可数集，那么 × A是可数集。
i=1 i n
定理7 (0,1)开区间上的实数不是可数集。 定理 定理8 设A为一集Y的函数，若f 是双射函数，则f 的逆关系 f –1是从Y到X的双射函数。 定理2 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数，则复合关 系f οg是从 X到Z的函数，将f ο g记为g ο f 。 定理3 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数。 1）若f 和g是满射函数，则g ο f 是满射函数； 2）若f 和g是单射函数，则g ο f 是单射函数； 3）若f 和g是双射函数，则g ο f 是双射函数。 定理4 定理 设f 是从X到Y的双射函数， f –1是f 的逆函数，则 1) (f –1) –1 = f 2) f –1 ο f = IX 3) f ο f –1 = IY
定义3 定义 设 |X|=n，P是从X到X的双射函数，称P为X上的置 换，称n为置换的阶。 • 在n个元素的集合中，不同的n阶置换的个数为n!。 • 通常用下面的方法表示置换。 x1 x2 x3 … xn P = p(x ) p(x ) p(x ) … p(x ) 1 2 3 n • 若∀xi∈X 有 p(xi) = xi ，则称P是恒等置换。 • P的逆函数P-1可表示为 p(x1) p(x2) p(x3) … p(xn) P-1 = x1 x2 x3 … xn • 置换的复合与关系的复合相同。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
离散数学---集合
特定的一些集合的表示符号
自然数集N={0，1，2，…} ， ， ， 自然数集 整数集合Z={…-2，-1，0，1，2，…} 整数集合 ， ， ， ， ， 有理数集合Q={xx=P⁄⁄q，p,q∈Z} 有理数集合 ， ∈ 实数集合R={ x x是实数 是实数} 实数集合 是实数 复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=-1}
E B A
集合的相等
2、 相等： 、 相等： 定义： 相等， 定义：若 A⊆ B，且B⊆ A则 称A，B相等， ⊆ ， ⊆ 则 ， 相等 记 作A=B。 。 即 ∀ x∈A则 x∈B， 并且有 ∀ x∈B则 x∈A。 ∈ 则 ∈ ， 并且有∀ ∈ 则 ∈ 。 若A，B 不相等记 作 A≠ B
真子集： 真子集：
集合的说明： 集合的说明：
1、描述法中A={ x 1≤x≤5}与A={y1≤y≤5} 、描述法中 与 是表示同一个集合 2、集合中元素是无序的。 、集合中元素是无序的。 {a,b,c},{a,c,b},{b,c,a}表示同一个集合 。 表示同一个集合。 表示同一个集合 3、集合中的元素可能也是集合， 、集合中的元素可能也是集合， 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} ， ， ， ， ， =5， {2}∈ A,{6}∈ A=5，2∈A，{2}∈A，6∉A,{6}∈A
求幂集的过程
写出A的全部子集 设A={0，1，2}写出 的全部子集。 ， ， 写出 的全部子集。 元子集： 解：A的0元子集：∅ 的 元子集 A的1元子集：{0}，{1}，{2} 元子集： ， ， 的 元子集 A的 2元子集 ： {0， 1}， {0， 2}， {1， 2}。 元子集： ， ， ， ， ， 。 的 元子集 元子集： ， ， A的3元子集：{0，1，2} 的 元子集 A共有 个子集，即P（A）=8 共有8个子集， （ ） 共有 个子集 一般地如果 ， 一般地如果A=n， 元子集有1个即空集 则A的0元子集有 个即空集∅， 的 元子集有 个即空集∅ A的1元子集共有 n1个， 元子集共有C 的 元子集共有 A的 2元子集共有 2n个，…， 元子集共有C 的 元子集共有 ， A的m元子集共有 mn个，… 元子集共有C 的 元子集共有 n元子集共有 nn=1个， 元子集共有C 元子集共有 个 所以A的子集个数为 的子集个数为C 所以 的子集个数为 0n+ C1n+…+ Cnn=2n
离散数学第3章 集合
命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表集合公式) (1) 证XY
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
27
第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
32
第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
11
第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
12
第三章 集合
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
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第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
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第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
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第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
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第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
12
第三章 集合
《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
17
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
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3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
离散数学 第三章
思考： 思考： ≠ 和 ⊄ 的定义 注意 ∈ 和 ⊆ 是不同层次的问题
空集与全集
空集 ∅ 不含任何元素的集合 实例 {x | x2+1=0∧x∈R} 就是空集 ∧ ∈ 定理 空集是任何集合的子集 ∅⊆A ∈∅→x∈ ∅⊆ ⇔ ∀x (x∈∅→ ∈A) ⇔T ∈∅→ 空集是惟一的. 推论 空集是惟一的. 假设存在∅ 证 假设存在∅1和∅2，则∅1⊆∅2 且∅1⊆∅2， 因此∅ ∅ 因此∅1=∅2 全集 E 相对性 在给定问题中，全集包含任何集合， 在给定问题中，全集包含任何集合，即∀A (A⊆E ) ⊆
1、集合基本运算的定义 、 ∪ ∩ − ∼ ⊕ 2、文氏图（John Venn） 、文氏图（ ） 3、例题 、 4、集合运算的算律 、 5、集合 A∪B = { x | x∈A ∨ x∈B } ∪ ∈ ∈ A∩B = { x | x∈A ∧ x∈B } ∩ ∈ ∈ A−B = { x | x∈A ∧ x∉B } − ∈ ∉ A⊕B = (A−B)∪(B−A) ⊕ − ∪ − = (A∪B)−(A∩B) ∪ − ∩ 绝对补 ∼A = E−A −
i =1 m 1≤i < j ≤ m
∑
| Ai ∩ Aj | −
1≤i < j < k ≤ m
∑
| Ai ∩ Aj ∩ Ak | +...
+(−1)m | A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Am |
应用
之间（ 在内） 例1 求1到1000之间（包含 和1000在内）既不能 到 之间 包含1和 在内 整除， 整除的数有多少个？ 被 5 和6 整除，也不能被 8 整除的数有多少个？ 解：S ={ x | x∈Z, 1≤ x ≤1000 }, ∈ ≤ 如下定义 S 的 3 个子集 A, B, C： ： A={ x | x∈S, 5 | x }， ∈ ， B={ x | x∈S, 6 | x }， ∈ ， C={ x | x∈S, 8 | x } ∈
离散数学 第3章 基于归结原理的推理证明
7
3.1.1.2 斯柯林(Skolem)标准范式
定义 3.1.2 从前束范式中消去全部存在量词所得到的公式即为 Skolem 标准范式。 例如，如果用 Skolem 函数 f(x)代替前束形范式 x (y)(z)( P( x) F ( y, z) Q( y, z)) 中 的 y 即得到 Skolem 标准范式： ( x) ( z)(P(x)∧F(f(x), z)∧Q(f(x), z)) Skolem 标准型的一般形式是
(x1 )(x2 )...(xn )M ( x1, x2 ,...,xn )
其中，M(x1,x2,…,xn)是一个合取范式，称为 Skolem 标准型的母式。
8
将谓词公式 G 化为 Skolem 标准型的步骤如下： （1）消去谓词公式 G 中的蕴涵（→）和双条件符号（） ，以A∨B 代替 A→B，以(A∧ B)∨(A∧B)替换 AB。 （2）减少否定符号（）的辖域，使否定符号“”最多只作用到一个谓词上。 （3）重新命名变元名，使所有的变元的名字均不同，并且自由变元及约束变元亦不同。 （4）消去存在量词。这里分两种情况，一种情况是存在量词不出现在全称量词的辖域内，此 时，只要用一个新的个体常量替换该存在量词约束的变元，就可以消去存在量词；另一种情况 是，存在量词位于一个或多个全称量词的辖域内，这时需要用一个 Skolem 函数替换存在量词 而将其消去。
15
例 3.2.1 求子句集 S＝{T(x)∨Q(z),R(f(y))}的 H 域。 解 此例中没有个体常量，任意指定一个常量 a 作为个体常量；只有一个函数 f(y)，有： H0={a} H1={a,f(a)} H2={a,(a),f(f(a))} …… H∞={a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),…}
《离散数学》谓词逻辑
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
7
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
3.1 自然语言的谓词符号化
第 3章 谓词逻辑
8
命题是具有真假意义的陈述句，从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。
学习要求
重点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词公式的解释 3 特性谓词识别与翻译 4 基本等价规律 5 量词去掉/添加规则 6 谓词逻辑的推理
第 3章 谓词逻辑
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难点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词逻辑与命题逻辑的联系与区别 3 谓词翻译的两条原则 4 合式公式的解释 5 量词去掉/添加规则的正确使用
历史人物
第 3章 谓词逻辑
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1848-1923，德国数学家、 逻辑学家和哲学家
1906-1978，美籍奥地利数学家、逻 辑学家和哲学家，二十世纪最伟大的 逻辑学家之一
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
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1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
(x)(P(x)∧C(x))
谓词符号
变量符号
提出问题
第 3章 谓词逻辑
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符号化“李兰的母亲是高级工程师”
设M(x,y)：x是y的母亲，
设g(x)：x的母亲；
P(x)：x是高级工程师；
P(x)：x是高级工程师；
离散数学导论第三章消解原理
在自然语言处理中的应用
总结词
消解原理在自然语言处理中用于解决语义歧义和信息抽取。
详细描述
在自然语言处理中，消解原理主要用于解决语义歧义和信息抽取问题。通过消解语义歧 义，可以确定句子中词语的准确含义，提高自然语言处理的准确率。此外，消解原理还 可以用于信息抽取，从大量的文本数据中抽取关键信息，为后续的数据分析和知识挖掘
提供支持。
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总结与展望
消解原理的总结
消解原理是离散数学中的一种重要理论，主要用于解决逻辑推理和决策问题。它通过将问题分解为更 小的子问题，并利用已知信息来逐步解决这些子问题，最终达到解决原始问题的目的。
消解原理的应用范围广泛，包括人工智能、自然语言处理、计算机科学等领域。它为许多问题提供了有 效的解决方案，如逻辑推理、规划、约束满足问题等。
02
例如，在约束满足问题中，可以 通过改进消解原理来减少搜索空 间的大小，从而更快地找到满足 约束条件的解。
混合消解原理
混合消解原理是指将不同的消解原理结合起来，形成一个新的消解原理，以处理特定的问题或领域。
例如，在电路验证中，可以将约束满足问题和逻辑推理中的消解原理结合起来，形成一个混合消解原 理，以更有效地处理电路验证问题。
05
消解原理的应用案例
在逻辑电路设计中的应用
总结词
详细描述
消解原理在逻辑电路设计中发挥了重要作用， 通过消解矛盾的逻辑表达式，可以优化电路 设计，减少冗余和冲突。
在逻辑电路设计中，消解原理主要用于解决 逻辑表达式的矛盾。通过将矛盾的逻辑表达 式进行消解，可以找到最简化的解决方案， 优化电路设计。消解原理的应用可以减少冗 余的逻辑门，降低电路的复杂度，提高电路 的性能和可靠性。
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《离散数学》第三章集合的基数
第三章 集合的基数
本章讨论集合论中较为困难的问题—集 合的基数问题；但只限于对基数作一简 单介绍；如学时较少可不讲本章或对本 章作恰当的删减.
本章主要概念为:集合的等势、有限集与 无限集、可数集与不可数集及较为常见 的集合的基数.
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1 2020/2/14
第一节 无穷集的概念
本节主要内容: 1.两个集合等势的定义； 2.基数的概念:基数是集合的一种性质，一
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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4 2020/2/14
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
种与该集合等势的集合所构成的集合族 的共同性质，即任何两个集合，如果它 们等势，它们便有相同的基数 （Von.Neumann的观点）； 3.利用等势的概念来定义有限集与无限集.
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第二节 可数集与不可数集
可数集是无限集中最简单的一种，本节把无 限集区分为可数集与不可数集，主要结论有:
1.任意可数集都有一个与其等势的真子集; 2.任意一个无限集都包含一个可数子集； 3.可数集的任意无限子集是可数集； 4.可数集与有限集的并集是可数集； 5.两个（因而有限个）可数集的并集仍是可数
集； 6.可数个可数集的并集是可数集； 7.两个（因而有限个）可数集合的笛卡尔积仍
然是可数集.
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本章讨论集合论中较为困难的问题—集 合的基数问题；但只限于对基数作一简 单介绍；如学时较少可不讲本章或对本 章作恰当的删减.
本章主要概念为:集合的等势、有限集与 无限集、可数集与不可数集及较为常见 的集合的基数.
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1 2020/2/14
第一节 无穷集的概念
本节主要内容: 1.两个集合等势的定义； 2.基数的概念:基数是集合的一种性质，一
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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4 2020/2/14
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
种与该集合等势的集合所构成的集合族 的共同性质，即任何两个集合，如果它 们等势，它们便有相同的基数 （Von.Neumann的观点）； 3.利用等势的概念来定义有限集与无限集.
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第二节 可数集与不可数集
可数集是无限集中最简单的一种，本节把无 限集区分为可数集与不可数集，主要结论有:
1.任意可数集都有一个与其等势的真子集; 2.任意一个无限集都包含一个可数子集； 3.可数集的任意无限子集是可数集； 4.可数集与有限集的并集是可数集； 5.两个（因而有限个）可数集的并集仍是可数
集； 6.可数个可数集的并集是可数集； 7.两个（因而有限个）可数集合的笛卡尔积仍
然是可数集.
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离散数学第3章 命题逻辑
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一般来说, 只要不是非常明显的不可兼就使用.
例 p: 今天晚上我在寝室上自习, q :今天晚上我去电影 院看电影. 今天晚上我在寝室上自习或去电影院看电影。 p q.
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5. 蕴涵(条件)联结词 : p q p: 我有时间, q : 我去看望我的父母. p q : 如果我有时间, 那么我去看望我的父母 . “”相当于“如果…那么…”, “若…则…”,等. p q 可读作“(若)p则q”. p称为前件, q称为后件.
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 pq 1 1 1 0
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4. 异或联结词 : p q “不可兼或”, 它表示两者不能同时为真
例 p: 明天去深圳的飞机是上午八点起飞, q :明天去深圳 的飞机是上午八点半起飞. p q: 明天去深圳的飞机是上午八点或上午八点半起飞 . p 1 1 0 q 1 0 1 pq 0 1 1 p q pq 1 1 1
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例
判断下列语句是否是命题. 2 + 3 = 5. √ 大熊猫产在我国东北. √ x > 3. 立正！ 这朵花真漂亮！ 你喜欢网络游戏吗? 1+1=10. √ 火星上有生物. √ 我说的都是假话. 小王和小李是同学. √ 你只有刻苦学习,才能取得好成绩. √
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2. 命题的真值 命题的真值就是命题的逻辑取值. 经典逻辑值只有两个: 1和0 在数理逻辑中, 更多时候逻辑真是用 T(True) 或 t, 逻辑假用 F(False) 或 f 表示的.