离散数学第三章消解原理
离散数学第三章课件ppt
以|P(A)|＝Cn0＋Cn1＋…＋Cnn＝2n。
定理3.6 设A和B是两个集合，则： (1)B∈P(A)BA。 (2)ABP(A)P(B)。 (3)P(A)＝P(B)A＝B。 (4)P(A)∈P(B)A∈B。 (5)P(A)∩P(B)＝P(A∩B)。 (6)P(A)∪P(B)P(A∪B)。
A∪B＝B。
反之，若A∪B＝B，因AA∪B，所以AB。 同理可证ABA∩B＝A。
定义3.7
设A和B为两个集合，所有属于A而不
属于B的元素组成的集合称为B对于A的补集
(Complement) ， 或 相 对 补 。 记 作 A － B ＝
{x|x∈A∧xB} 。 A － B 也 称 为 A 和 B 的 差 集
A的真子集，但A不是A的真子集。 注：∈与表示元素和集合的关系，而、与＝
表示集合和集合的关系。 例如，若A＝{0，1}，B＝{0，1，{0，1}}，则 AB且AB。
定理3.3 设A、B和C是三个集合，则
(1)(AA)。 (2)AB(BA)。 (3)AB∧BCAC。
证 仅证(2)和(3) 明 (2)AB x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)
例如，若A＝{0，{0}}，则P(A)A＝(P(A)－A)∪(A－ P(A))＝{，0，{{0}}，{0，{0}}}。
定理3.9 设A、B和C为三个集合，则： (1)AB＝BA。 (2)(AB)C＝A(BC)。 (3)A∩(BC)＝(A∩B)(A∩C)。
例1 设A和B为两个集合，且AB，则A∩CB∩C。
证 对任意的 x∈A∩C ，则有 x∈A 且 x∈C 。而 AB ， 明 由 x∈A 得 x∈B ，则 x∈B 且 x∈C ，从而 x∈B∩C 。所
以，A∩CB∩C。 例2 设A和B为两个集合，则ABA∪B＝BA∩B＝A。
屈婉玲离散数学第三章讲解学习
牢记 P 系统中各条推理规则 熟练掌握构造证明的直接证明法、附加前提证明法和归谬
法 会解决实际中的简单推理问题
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练习1：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确: (1) 前提：pq, q 结论：p
解 推理的形式结构: (pq)qp 方法一：等值演算法
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)= 公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
6
自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:
1. 字母表
(1) 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … (2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗Fra bibliotek：(, ), ，
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练习2：构造证明
2. 在系统P中构造下面推理的证明： 如果今天是周六，我们就到颐和园或圆明园玩. 如果颐和 园游人太多，就不去颐和园. 今天是周六，并且颐和园游 人太多. 所以, 我们去圆明园或动物园玩.
证明： (1) 设 p：今天是周六，q：到颐和园玩，
r：到圆明园玩，s：颐和园游人太多 t：到动物园玩 (2) 前提：p(qr), sq, p, s 结论：rt
(6) 化简规则
AB ∴A
(8) 假言三段论规则 AB BC
∴AC
(5) 附加规则
A ∴AB
(7) 拒取式规则 AB B ∴A
(9) 析取三段论规则 AB B ∴A
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推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC
∴BD (12) 合取引入规则
A B ∴AC
(11) 破坏性二难推理规则 AB CD
消解的目的和原理离散数学
消解的目的和原理离散数学
消解是离散数学中的一种常见的问题解法技巧，其目的是将一个复杂的问题分解为更简单的子问题来解决，以达到简化问题和提高问题解决效率的目的。
消解的原理是利用问题的特征和条件来逐步缩小问题的规模，逐步向问题的解决方向靠拢。
具体来说，消解通常包括以下几个步骤：
1. 设定初始条件：根据问题的要求，设定问题的初始条件和限制，明确问题的规模和边界。
2. 将问题分解：将复杂的问题分解为多个相对较简单的子问题，每个子问题都能独立考虑和解决。
3. 解决子问题：按照一定的方法和步骤，解决每个子问题，得到其中的解或结果。
4. 合并子问题的解：将每个子问题的解或结果合并起来，得到原问题的解或结果。
通过这样的分解和求解过程，消解能够将一个原本复杂且难以处理的问题转化为多个简单易解的子问题，进而提高问题的解决效率和可行性。
消解在离散数学中广泛应用于逻辑、图论、计算机科学等各个领域，常用的消解方法包括数学归纳法、递推关系、图的遍历和搜索等。
在实际应用中，消解能够帮助我们更好地理解问题的本质和结构，设计有效的算法和模型，解决复杂的实际问题。
离散数学第3章
集合间的关系
例如，设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5}, C = {2, 4}。
文氏图：
A B C
则有集合B和C都是A的子集，且都是真子集，
即有 B A 和 C A
但B不是C的子集，C也不是B的子集．
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集合间的关系
定理1 对任一集合A , 必有 定理2 对任一集合A , 必有
Ｎ代表自然数集合(包括0) Ｚ代表整数集合， Ｑ代表有理数集合， Ｒ代表实数集合， Ｃ代表复数集合．
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3.1.1 集合的基本概念
如果b是集合A中的元素，称b属于A，并记作
b A
如果b不是集合A中的元素，称b不属于A，并 记作 b A93.1.1 源自合的基本概念例如：
把握好∈和
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判断下列等式是否成立
(1) (2) (3) (4)
{{a, b}, c, } {{a, b}, c} {a, b, a} {a, b} {{a},{b}} {{a, b}} { ,{}, a, b} {{ ,{}}, a, b}
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列出下列集合的元素
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注意事项
1. 空集是个很重要的概念，一定要弄清Ø≠{Ø}， Ø中不含有 任何元素，而{Ø}中含有一个元素Ø. 2. 注意符号∈和 区别. ∈:元素与集合的关系， ：集合与集合的关系. 但是，由于集合也可以作为另一个集合的元素，所以，存在 着这样的情况： 集合A包含于集合B，集合A又属于集合B 例如： A={a,b} B={a,b,{a,b}} 此时就有A既是B的子集，又是B中的元素。 即有A B和A ∈ B同时成立。
消 解 原 理
.
1.1 斯柯伦标准形
1.1.1 斯柯伦标准形
✓定理1.（1 斯柯伦定理）
对任意只含自由变元x, y1,…,yn的公式 A(x, y1,…,yn)，xA(x, y1,…,yn)可满足， 当且仅当A(f(y1,…,yn), y1,…,yn)可满足。 这里f为一新函数符号；当n=0时，f 为 新常元。
称该序列为S的一个否证（refutation）。
.
1.2 命题演算消解原理
✓定理1.3
如果子句集S有一个否证，
那么S是不可满足的。
.
1.3 谓词演算消解原理
1.3.1 代换及一致化
✓定义3.4
形如{t1/v1, t2/v2, …, tn/vn}的有穷集合称为一个代换 （substitution），其中v1,…, vn为任意变元，t1,…,tn为
.
1.1 斯柯伦标准形
1.1.1 斯柯伦标准形
✓定义1.1
设公式A的前束范式为B。C是利用 斯柯伦常元和斯柯伦函数消去B中量词 （称斯柯伦化）后所得的合取范式，那么称
C为A的斯柯伦标准形
（Skolem normal form）。
.
1.1 斯柯伦标准形
1.1.2 子句集及其可满足性
✓定义1.2
子句集S称为可满足的，如果存在一个
任意个体项，但ti≠vi(i=1,2, …,n)。当代换为一空集合
时，称为空代换。代换用小写希腊字母表示，空代换
记为，“对任意公式或项X作代换”记为X，其意 为对X中变元v1,v2,…, vn分别作代入t1,…,tn，即
X= X(t1/v1, t2/v2, …, tn/vn) 对于空代换有X= X。
.
1.3 谓词演算消解原理
离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)PPT课件
主讲教师
13.11.2020
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第三章 集合的基本概念和运算
§3.1 集合的基本概念 §3.2 集合的基本运算 §3.3 集合中元素的计数
13.11.2020
离散数学
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集合论 集合论是研究集合一般性质的数学分支,它的创 始人康托尔(G.Cantor ,1845－1918)。在现代数学中， 每个对象(如数，函数等)本质上都是集合，都可以用 某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研 究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象 的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表 达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关 系数据库，操作系统等都有重要应用。本课程在第三， 四章中介绍集合论的内容。
如：
A∪B
E
A∩B
E
AB
E
~A
E
AB
E
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离散数学
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二、文氏图 （Jahn Venn）
例4：用文氏图表示下面集合
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离散数学
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二、文氏图 （Jahn Venn）
例5：用集合公式表示下面文氏图中的阴影部分
(1)A ∩ B ∩ C，
(2) (A∩B )∪(B∩C)∪(C∩A)
或A = B x(x A x B)
x(x A x B) x(x B x A)
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离散数学
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四、集合之间的关系
3、真子集： B A。 BABABA BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A}
n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
离散数学讲解第三章
函数概念的第五次扩张，提出了“近代函数定义”。
美国数学家维布伦的函数定义，这个定义是建立在重新定义变量、变域 和常量的基础上的。 所谓变量，是代表某集合中任意一个“元素”的记号，由变量所表示的 任一元素，称为该变量的值。变量x代表的“元素”的集合,为该变量的变域， 而常量是上述集合中只包含一个“元素”情况下的特殊变量。这样的变量与 常量的定义，比原来的定义更趋一般化了，而且克服了以往变量定义的缺陷， 变量“变动”改进为变量在变域（集合）中代表一个元素。 利用这一变量的定义，维布伦给出了近代函数定义：“设集合X、Y，如 果X中每一个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应，那么我们就把此对应 叫做从集合X到集合Y的映射,记作f：XY，y=f(x)”。 从“数集”到“集”仅一字之差，但含意却大不相同。从而使函数概念 摆脱了数的束缚，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支及其它学科 中。
根据定义，若在A中有一个元素a，使得f(a) ≠g (a) , 则f≠g 。
设 A 和 B 都 是 有 限 集 , ＃ A ＝ n, ＃ B ＝ m, 设 A={a1,a2,…,an}, B={b1,b2, …,bm}。
A中n个元素的取值方式是 种, 因此由A到B的函数有mn个, n个 m m m
2018/12/20
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２.对下列每一函数，确定是否内射，是否满射，是否双射。分别将 “内”、“满”或“双”填入相应的括号内。
(1)
f1 : I I
i 2 i是偶数 f1 i 1 i是奇数 2
满
(2)
f2 : R R
f3 : N 2 N
f 2 r 2r 15
记ＢA={f|f: A→B}, 则#(BA)=(#B)#A
谓词演算与消解归结原理
合一 算法
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Department of Computer Science & Technology, Nanjing University Artificial Intelligence Spring
3.3.2 合一
是判断两个谓词表达式匹配所需的一种代入算法
在谓词演算中,变元有两种约束使用的方法:
在特定解释下,命题对变元的变域中的所有常元指派
为真,则称该变元是全称性变元。代表全称量词的符号 是 ,括号常常用于表示量词的约束范围
存在性变元。至少存在变元的变域中的一个值使包含
变元的表达式为真时，表达式才为真。代表存在量词 的符号是彐
Department of Computer Science & Technology, Nanjing University Artificial Intelligence Spring
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2
3.1 命题演算
3.1.2
命题演算的语义
—如两个命题表达式 在任何真值指派下都有相同的值， 则称为是等价的
12
3.2.2 谓词演算的语义
一个论域D上的解释： 假设论域D是一个非空集合，在D上的一个解释把论域D的 实体指派给一个谓词演算表达式的每一个常元、变元、谓词 及函词符号，于是有： 1）每一个常元指派了D的一个元素。 2）对每一个变元，指派D的一个非空集合，这是该变元的 变域。 3）每个n元谓词P定义在论域D中的n个参数上，并定义了从 Dn到{T，F}的一个映射。 4) 每个m元函词f定义在论域D的m个参数上，并定义了从 Dm到{T，F}的一个映射。 在一种解释下，一个表达式的意义是在该解释下的一个真值 指派。
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*第三章消解原理斯柯伦标准形内容提要我们约定，本章只讨论不含自由变元的谓词公式(也称语句,sentences)，所说前束范式均指前束合取范式。
全称量词的消去是简单的。
因为约定只讨论语句，所以可将全称量词全部省去，把由此出现于公式中的“自由变元”均约定为全称量化的变元。
例如A(x)实指xA(x)。
存在量词的消去要复杂得多。
考虑xA(x)。
（1）当A(x)中除x外没有其它自由变元，那么，我们可以像在自然推理系统中所做那样，可引入A(e/x)，其中e为一新的个体常元，称e为斯柯伦（Skolem）常元，用A(e/x)代替xA(x),但这次我们不把A(e/x)看作假设,详见下文。
（2）当A中除x外还有其它自由变元y1,…,y n，那么xA(x, y1,…,y n) 来自于y1…y n xA(x, y1,…,y n)，其中“存在的x”本依赖于y1,…,y n的取值。
因此简单地用A(e/x, y1,…,y n)代替xA(x, y1,…,y n) 是不适当的，应当反映出x对y1,…,y n的依赖关系。
为此引入函数符号f，以A(f(y1,…,y n)/x, y1,…,y n) 代替xA(x, y1,…,y n)，它表示：对任意给定的y1,…,y n, 均可依对应关系f确定相应的x，使x, y1,…,y n满足A。
这里f是一个未知的确定的函数，因而应当用一个推理中尚未使用过的新函数符号，称为斯柯伦函数。
定理（斯柯伦定理）对任意只含自由变元x, y1,…,y n的公式A(x, y1,…,y n)，xA(x, y1,…,y n)可满足，当且仅当A(f(y1,…,y n), y1,…,y n)可满足。
这里f为一新函数符号；当n = 0时，f为新常元。
定义设公式A的前束范式为B。
C是利用斯柯伦常元和斯柯伦函数消去B中量词（称斯柯伦化）后所得的合取范式，那么称C为A的斯柯伦标准形（Skolem normal form）。
以下我们约定：斯柯伦标准形中，各子句之间没有相同的变元。
定义子句集S称为是可满足的，如果存在一个个体域和一种解释，使S中的每一个子句均为真，或者使得S的每一个子句中至少有一个文字为真。
否则, 称子句集S是不可满足的。
习题解答练习1、求下列各式的斯柯伦标准形和子句集。
（1）┐(xP(x)→y zQ(y, z))（2）x(┐E(x, 0)→y(E(y, g(x))∧z(E(z, g(x))→E(y, z))))（3）┐(xP(x)→y P(y))（4）（1）∧（2）∧（3）解（1）┐(xP(x)→y zQ(y, z))┝┥┐xP(x)∧y zQ(y, z)┝┥x┐P(x)∧y zQ(y, z)斯柯伦标准形：┐P(e1)∧Q(e2, z)子句集：{┐P(e1)，Q(e2, z)}（2）x(┐E(x, 0)→y(E(y, g(x))∧z(E(z, g(x))→E(y, z))))┝┥x y z (E(x, 0)∨(E(y, g(x))∧(┐E(z, g(x))∨E(y, z))))┝┥x y z ((E(x, 0)∨E(y, g(x)))∧(E(x, 0)∨┐E(z, g(x))∨E(y, z)))斯柯伦标准形：(E(x, 0)∨E(f(x), g(x)))∧(E(x, 0)∨┐E(z, g(x))∨E(f(x), z))子句集：{ E(x, 0)∨E(f(x), g(x)), E(x, 0)∨┐E(z, g(x))∨E(f(x), z)}（3）┐(xP(x)→y P(y))┝┥xP(x)∧┐y P(y)┝┥xP(x)∧y┐P(y)┝┥x y (P(x)∧┐P(y))斯柯伦标准形：P(x)∧┐P(y)子句集：{P(x),┐P(y) }（4）（1）∧（2）∧（3）斯柯伦标准形：┐P(e1)∧Q(e2, z)∧(E(x, 0)∨E(f(x), g(x)))∧(E(u, 0)∨┐E(y, g(u))∨E(f(u), y))∧P(w)∧┐P(v)子句集：{┐P(e1)，Q(e2, z), E(x, 0)∨E(f(x), g(x)), E(u, 0)∨┐E(y, g(u))∨E(f(u), y), P(w),┐P(v)}2、设公式A1，A2的子句集分别为S1，S2，如果S1与S2等值（表示对应的斯柯伦标准形有相等的真值），问是否一定有A1与A2等值，为什么解 不一定有A1与A2等值。
例如，个体域为自然数集合，A1为y P(y)，A2为y Q(y)，P(y)表示：y 是偶数，Q(y)表示：y 是负数。
y P(y)与y Q(y)不等值，但P(e1)与Q(e2)在解释I 把e1，e2确定为奇数时，却是等值的。
3、假如要利用子句集不可满足性来证明(P →Q)∧(Q →R)→(P →R)永真。
试作出待证公式否定的子句集。
解 待证公式否定的子句集为：{ ┐P ∨Q, ┐Q ∨R,P, ┐Q}4、要利用子句集不可满足性来证明例的推理是正确的。
试作出这一推理的否定（┐（前提1∧前提2→结论））的子句集。
解5. 试简述A(e/x) 或A(f(y 1,…,y n )/x, y 1,…,y n ) 可以在应用消解原理的推理中代替 xA(x) 或 y 1…y n xA(x, y 1,…,y n ) 的原因,以及选择e,f 应注意的事项。
解 A(e/x) 或A(f(y 1,…,y n )/x, y 1,…,y n ) 可以在应用消解原理的推理中代替 xA(x) 或 y 1…y n xA(x, y 1,…,y n ) 的原因是：（1） （1）用消解原理证明定理A 或证明 ┝A ，是通过确认┐A 和B 1∧∧B n ∧┐A(B 1,,B n 为中公式)的不可满足性来实现的。
（2） （2）A(e/x) ，A(f(y 1,…,y n )/x, y 1,…,y n )与xA(x) ，y 1…y n xA(x,y 1,…,y n )的不可满足性是相同的。
选择e,f 应注意选择新常元和新函数符号，即在推理过程中尚未使用过的常元和函数符号。
命题演算消解原理内容提要关于命题演算的消解原理。
设C1，C2为两个子句，L1，L2是分别属于C1，C2的互补文字对，用C-L 表示从子句C 中删除文字L 后所得的子句，那么消解原理可表示为)22()11(2,1L C L C C C -∨- 其中C1,C2称为消解母式，L1，L2称为消解基，而(C1-L1)∨(C2-L2)称为消解结果。
特别地，当C1，C2都是单文字子句，且互补时，C1，C2的消解结果不含有任何文字，这时我们称其消解结果是“空子句”（nil ），常用符号 □ 表示之, 空子句□是永远无法被满足的。
关于消解原理我们有：定理 设C 是C1，C2的消解结果，那么C 是C1和C2的逻辑结果。
本定理的证明可仿以上对式（）的证明，请读者自行完成。
据本定理知，消解原理作为推理规则是适当的。
作为特别情况，p 与┐p 的消解结果是□，□实质上是p ∧┐p 的另一种表示形式,它们都是不可满足的，因而也满足定理的结论。
定义 设S 为一子句集，称C 是S 的消解结果，如果存在一个子句序列C 1，C 2 ，…,C n （= C ），使C i (i = 1,2, …,n) 或者是S 中子句，或者是C k ，C j (k,j < i) 的消解结果。
该序列称为是由S 导出的C 的消解序列。
当□是S 的消解结果时，称该序列为S 的一个否证（refutations ）。
定理 如果子句集S 有一个否证，那么S 是不可满足的。
习题解答练习1、 1、完成定理证明。
证 设C1，C2为两个子句，L1，L2是分别属于C1，C2的互补文字对，用C-L 表示从子句C 中删除文字L 后所得的子句，那么消解原理可表示为)22()11(2,1L C L C C C -∨- 设C1，C2分别为L1∨C1’，L2∨C2’ ; L1，L2为消解基， 即C1’=C1- L1 ，C2’= C2- L2。
由于L2 = ┐L1，那么（L1∨C1’）∧（L2∨C2’）┝（L1∨C1’）∧（┐L1∨C2’）┝ （L1∧C2’）∨（C1’∧┐L1）∨（C1’∧C2’）┝ C1’∨C2’于是我们有(L1∨C1’)∧(L2∨C2’)┝（C1- L1）∨（C2- L2）即C1∧C2┝（C1- L1）∨（C2- L2）。
这就是说，C1与C2的消解结果是C1和C2的 逻辑结果。
2、证明下列子句集是不可满足的。
（1）S = {p ∨q, ┐q ∨r, ┐p ∨q, ┐r}解（1）p ∨q（2）┐q ∨r（3）┐p ∨q（4）┐r（5）┐q 由（2）（4）消解得（6）p 由（1）（5）消解得（7）┐p 由（3）（5）消解得（8）□（2）S = {p ∨q, q ∨r, r ∨w, ┐r ∨┐p, ┐w ∨┐q, ┐q ∨┐r}解（1）p ∨q（2）q ∨r（3）r ∨w（4）┐r ∨┐p（5）┐w ∨┐q（6）┐q ∨┐r（7）┐r ∨q 由（1）（4）消解得（8）q 由（2）（7）消解得（9）┐w 由（5）（8）消解得（10）┐r 由（6）（8）消解得（11）r 由（3）（9）消解得（12）□ 由（10）（11）消解得3、用消解原理证明下列逻辑蕴涵式。
（1）(p ∨q)→r ┝ (p →r)∧(q →r)解 S = {┐p ∨r,┐q ∨r, p ∨q , p ∨┐r, q ∨┐r, ┐r}（1）┐p ∨r（2）┐q∨r（3）p∨q（4）p∨┐r（5）q∨┐r（6）┐r（7）┐p 由（1）（6）消解得（8）┐q 由（2）（6）消解得（9）q 由（3）（7）消解得（10）□由（8）（9）消解得（2）(p→r)∧(q→r) ┝ (p∨q)→r解S = {┐p∨r,┐q∨r, p∨q , ┐r}（1）┐p∨r（2）┐q∨r（3）p∨q（4）┐r（5）┐p 由（1）（4）消解得（6）┐q 由（2）（4）消解得（7）q 由（3）（5）消解得（8）□由（6）（7）消解得（3）(p→(┐q∨(r∧s)))∧p∧┐s┝┐q解S = {┐p∨┐q∨r, ┐p∨┐q∨s, p,┐s, q }（1）┐p∨┐q∨r（2）┐p∨┐q∨s（3）p（4）┐s（5）q（6）┐q∨s 由（2）（3）消解得（7）s 由（5）（6）消解得（8）□由（4）（7）消解得（4）(p∨q)∧(p→r)∧(q→s) ┝ r∨s解S = { p∨q,┐p∨r, ┐q∨s, ┐r,┐s }（1）p∨q（2）┐p∨r（3）┐q∨s（4）┐r（5）┐s（6）┐q 由（3）（5）消解得（7）p 由（1）（6）消解得（8）r 由（2）（7）消解得（9）□由（4）（8）消解得4、已知有如下化学反应方程式MgO+H2→Mg+H2OC+O2→CO2CO2+H2O→H2CO3现假定有物质MgO，H2，O2和C，形式证明可生成H2CO3。