固体物理第三章晶格振动与晶体的热力学函数
第三章晶格振动与晶体的热力学函数
一、填空体
1. 若在三维空间中，晶体由N个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的
振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。
2. 体积为V的ZnS晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω。
3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T3。
4. 某三维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。
5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T2。
6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T。
7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T4。
8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T3。
9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T的关系为U~T2。
10.绝缘体中与温度有关的内能来源于晶格振动能。
11.导体中与温度有关的内能来源于晶格振动能和价电子热运动动能。
12. 某二维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。
13. 某一维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；
另有 2N 支光学波。
14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ωη ，准动量为 q ρ
η 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：
3
)
2(V
π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：
2
)2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的
波矢密度为：
π
2L
。 二、基本概念 1. 声子
晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件
即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度
波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3
c
)2(V π，Vc 为晶体体积。
4. 模式密度
单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。
答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。
6.简谐近似
答：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。
7.格波
答：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的，这种波就叫格波。
三、简答题
1.试分析爱因斯坦模型和德拜模型的特点及局限性.
特点：
1）爱因斯坦模型假设晶体中所有原子都以相同的频率作振动；
2）德拜模型的基本思想是把格波作为弹性波来处理。
局限性：
1）在爱因斯坦的假设下，解释了在甚低温时温度的变化趋势，但是不能解释为什么晶体热熔随温度T3的速度变化，这是因为，爱因斯坦模型只考虑了光学支格波，忽略了声学支格波，而在甚低温决定晶体热容的主要是长声学波。爱因斯坦模型过于简化。
2）德拜模型不仅能够很好解释在甚低温时晶体热容随温度的变化趋势，同时得出了在甚低温下，热容与T3成正比的规律。但是德拜模型忽略了晶体的各向异性，即光学波和高频声学波对热容的贡献。
2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?
答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没
有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.
3. 晶体中声子数目是否守恒?
答：频率为的格波的(平均) 声子数为
,
即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
4. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多?
答：频率为的格波的(平均) 声子数为
.
因为光学波的频率比声学波的频率高, ( )大于( ), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
5. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多?
答：设温度TH>TL, 由于( )小于( ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.
6. 高温时, 频率为的格波的声子数目与温度有何关系?
答：温度很高时, , 频率为的格波的(平均) 声子数为
.
可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.
7. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化?
答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化. 8. 试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度。 答：由一维单原子链的色散关系2
sin
2
qa
m
β
ω= 可求得一维单原子链中振动格波的相速度为2
/2sin
qa
qa m
a
q
p β
ω
υ== 群速度为
9. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？
答：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第Nt+j 个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。
引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。
10. 下图表示一维双原子复式晶格振动的两支格波的色散关系。请简要分析并判断：在长波极限下，图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的质心振动？图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的相对振动？ 答:
上半部分曲线表示光学支，光学支格波反映了晶体中分子内两个原子的相对振动；下半部分曲线表示声学支，声学支格波反映了晶体中分子的质心振动。
由N个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模式的取值数各为多少？
答：共有3r支色散关系，波矢取值数=原胞数N，模式取值数=晶体的总自由度数。
11.对于初基晶胞数为N的二维晶体，基元含有四个原子，声学支震动模式和光学支震动模式的数目各为多少？
答：2N，6N。
12.在三维晶体中，格波独立的点数N，格波个数，格波总支数，声学波支数分别等于多少？
答：在三维晶格中，格波独立的点数是，格波个数有3Nn，格波总支数是3nN，对每个波矢q，有3支声学波，（3n-3）支光学波。
13.试述长光学波与长声学波的本质区别?
答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。
14. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化?
答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移。长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。
15. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?
答:按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 1013
, 属于光学支频
率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。
16. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?
答：在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发,得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符。
四、证明计算
1. 证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波方程， 证明：
第n 个原子的运动方程为 因为
所以第n 个原子的运动方程化为 在长波近似下， 运动方程又化为
在长波近似下，当l 为有限整数时，
上式说明，在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集体运动．因此（ l ）式可统一写成
观上的质点位移u ，从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离a l n )(+可视为准连续坐标x ，即 于是（2）化成 其中
2. 在一维双原子链中，如1>>m M ，求证 证明：双一维原子链声学支
m M >>Θ，
14<<∴
mM mM
由近似式()nx x n
-≈-11，）当1(< 得 () }]sin )(4211[1{2/122 21qa M m mM mM M m +- -+= βω qa M qa M m 22sin 2sin 2β β≈+= ， 对2 2ω，由于m M >>，M m M ≈+ 0220=-=M m A B ββ 故B ＝0， 重原子静止。 3.在一维无限长的简单晶格中，原子质量为M ，若只考虑近邻原子之间的相互作用，恢复力系数为β，试求格波的色散关系。 解：设原子的质量为 M ，第n 个原子对平衡位置的位移为un 第n+1和n-1个原子对平衡位置的位移分别为un+1与 un-1，则第n+m 和n-m 个原子对第n 个原子的作用力为 因此第 n 个原子的运动方程为 将格波的试解 代入运动方程，得 由此得格波的色散关系为 4. 证明：在温度T 时，一个量子谐振子的能量为 讨论当温度很高时，结果又会怎样？ 证明：按照量子理论，一个谐振子的能级是 式中，ω为谐振子的角频率；n 取正整数。在热平衡条件下，谐振子的平均能量为 ∑=n n n P εε 式中 n P 为谐振子处于能级 n ε的几率。若按玻耳兹曼统计计算，上式写成 因为 故从上式得 在高温下，12< η，有 故得 T k B ≈ε 可见，在高温下，一个量子谐振子的平均能量与经典理论的结论相同。 5.在一维无限长的简单晶格中，若考虑原子间的长程作用力，第 n 个与第 n +m 或 n-m 个原子间的恢复力系数为m β，试求格波的色散关系。 解：设原子的质量为 M ，第n 个原子对平衡位置的位移为un 第n+m 和n-m 个原子对平衡位置的位移分别为un+m 与 un-m ，则第n+m 和n-m 个原子对第n 个原子的作用力为 第 n 个原子受力的总合为 因此第 n 个原子的运动方程为 将格波的试解 代入运动方程，得 由此得格波的色散关系为 7.已知三维晶体在0=q 附近一支光学波的色散关系为 ()() 2 220z y x Cq Bq Aq q ++-=ωω ， 试求格波的模式密度()ωρ 解：2220z y x Cq Bq Aq ++=-ωωΘ 则 102 0202=-+-+-C q B q A q z y x ωωωωωω 这是q 空间的一个椭球面，其体积为abc π3 4 ，而 2 /10A a ω ω-= ，2 /10B b ω ω-= ，2 /10C c ω ω-= q 空间内的波矢密度()33 )2(2ππρV L q = ?? ? ??= ，故椭球内的总状态数N 为 故 ()2 /1022 /102 /12414ABC V ABC V d dN ωωπω ωπωωρ-= -? ? ? ??== 8.计算一维单原子链的模式密度)(ωD 解：设单原子链长度L Na = 一维单原子链的色散关系为： 其中M m β ω2 = 模式密度为ω πωq L D ?= 2 2)( 对一维单原子链而言 因为 既有 dq qa qa a d m )2 1cos()21 sin(22 ωωω= 所以 模式密度为 7. 已知一个频率为i ω的简谐振动在温度T 下的平均能量 试用爱因斯坦模型求出由N 个原子组成的单原子晶体晶格振动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。 解:由N 个原子组成的单原子晶体共有3N 个自由度，独立晶格振动方式数也等于3N ，晶体振动的总能量便等于晶体振动的总能量便等于这3N 个谐振动的能量之和，即 依照爱因斯坦模型，ωωωω====N 321Λ，于是上式变为 设T T k x E B Θ== ωη，E Θ为爱因斯坦温度 )1 21(3-+=x B e x x T Nk E (1) 在高温极限下，x<<1，x e x ≈-1，(1)式化作 上式中的第二项是3N 个经典谐振子的平均能量之和；第一项与温度无关，是爱因斯坦模型 下的零点振动能。 在低温极限下，x>>1，x x e e ≈-1，从(1)式得 8. 设晶格中每个振子的零点振动能为2ω η，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能 解：状态密度 ()()3 2 223v V V g ωπωωρ== 则 ()ωωπωωωρεωωd v V d E D D 32 20 002321η? ?== 9.设有三维间立方晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限声子数目与T 3。 解：按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为 . 作变量代换 ， . 其中 是德拜温度. 高温时, , 即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比. 低温时, , , 即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比. 10. 有N 个相同原子组成的面积为S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述 在低温极限比热正比与2 T 。 证明：在k 到k dk +间的独立振动模式对应于平面中半径n 到n dn +间圆环的面积 2ndn π，且()22 532222L s ndn kdk kdk d v ρω πρωωπππ===即则 11.有三维简单晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限声子数目与T 3。 按照德拜模型, 晶体中的声子数目N '为 . 作变量代换 ， . 其中是德拜温度. 高温时, , 即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比. 低温时, , , 即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比. 12.有N个相同原子组成的体积为L的一维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与T。. 13. 在一维无限长的简单晶格中，原子质量为M，若只考虑近邻原子之间的相互作用，恢复力系数为β，试求格波的色散关系。 解：设原子的质量为 M ，第n个原子对平衡位置的位移为un第n+1和n-1个原子对平衡位置的位移分别为un+1与 un-1，则第n+m 和n-m个原子对第n个原子的作用力为 因此第 n 个原子的运动方程为 将格波的试解 代入运动方程，得 由此得格波的色散关系为 14. 计算色散关系为2 ω的模式密度二维的模式密度。 = cq 解：q空间也约化为二维空间，其等频面实际为一个圆，圆半径为： 二维情况下的q空间中的密度为：A/(2π)2，（这里A为二维晶格的面积），而且有：所以对于ω=c2q，二维情况的模式密度为： 计算色散关系为2 ω的模式密度一维的模式密度。 cq = 解：一维情况下的q空间中的等频面退化为两个等频的点，因此有 q 空间有两个等频点+q 和-q 。仿上面的方法可以得到： 15 对三维单原子点阵，计算德拜模型下的模式密度。 解：（ 解法一） 设横波和纵波具有相间波速v ，有 ()() () ()() () 3 23 22323 23 2D D D D K K K K K K dK g vK d dKK vK dKK vK ωδωπδωπδωπ<<<'=-=Ω-= -? ??? (1) 令,z vK dz vdK ==，上式化为 其中简正模式的最高频率是D ω，如果晶体中原子密度为n ，则 相应的德拜截止波矢为 （解法二） 对于长声学波的色散关系 波矢空间中的频率等值面()K ωω ≡是一球面，如该球面内所包围的模式数为 式中3 V L =是晶体体积．利用色散关系式将和模式数化为对频率ω的函数 于是得到 以上是就色散关系的一支求得的，考虑到一个波矢K 有三种偏振态，单原子点阵的色散关系有三支，纵波和横波有不同波速，总的模式密度应对各支求和，于是 式中l v 是纵波的波速，i v 是两个横波的波速．如果用v 表示纵波和横波的平均波速 德拜模式密度又可写为 2.4 晶格振动与声子 绝热近似下，固体的运动近似地简化为两个相对较小的子系统：电子和核（或原子实）的运动问题。前面对电子体系的运动状态作了讨论，现在对第二个问题，即核（或原子实）子系统的运动作一简要回顾。如2.1中所述，对给定的电子系 状态n ，原子实系统 感受到的 有效势场 ()()() N LL n V V E =+R R R ， 原子实间的库伦相互作用() LL V R + 依赖于核构型的电子能() n E R 描述原子实系统运动的哈密顿方程为： ()()()()() 2 2 12I n LL S I I X E V X E X M ??-?++=??∑R R R R R （2.4-1） 2.4.1 简谐近似和正则振动模 上述方程涉及大量粒子的运动，数学上很难求解。需要一个好的近似作为讨论的出发点。我们感兴趣的是：有效势有极小值（即具有稳定平衡构形），原子偏离平衡位置不太远的情形。 设晶体包含N 个原胞，每个原胞有υ个原子，采用周期性边界条件。 第n 个原胞中，第α个原子的平衡位置为 n n R R R αα=+， n R 和R α分别为原胞（代表点）位置和原子α在原胞中相对代表点的位置。 原子相对平衡位置的瞬时位移的直角坐标分量为()n i s t α （1,2,3i =）。 将有效势场() N V R 在平衡核构形{}0n R α=R 处作泰勒展开： ()() 201......2N N N n i n i n in i n i n i V V V s s S S αααααα''''''''' ?=++??∑R R （2.4-2） 取常数项为零，一次项在平衡构型下恒等于零，展开式中第一个不为零的项就是二次项。考虑原子实围绕平衡位置作小振动的情形，高次项可忽略，这就是所谓的 简谐近似。可以证明，由这样的简谐势联系在一起的N υ个粒子构成 晶格振动与声子 2010-04-24 16:38:01| 分类：微电子物理| 标签：|字号大中小订阅 （什么是声学波？什么是光学波？什么是声子？） 作者：Xie M. X. (UESTC，成都市) （1）格波： 晶格振动(Crystal lattice vibration) 就是晶体原子在格点附近的热振动，这是个力学中的小振动问题, 可用简正振动和振动模来描述。由于晶格具有周期性，则晶格的振动模具有波的形式，称为格波。一个格波就表示晶体所有原子都参与的一种振动模式。格波可区分为声学波和光学波两类——两种模式。 声学波是晶格振动中频率比较低的、而且频率随波矢变化较大的那一支格波；对于波矢比较小的长声学波，与弹性波一致，它表示着原胞中所有原子的一致运动[相位和振幅都相同]；声学波的能量虽然较低，但是其动量却可能很大，因此在对于载流子的散射与复合中，声学波声子往往起着交换动量的作用。 光学波是复式晶格振动中频率比较高的、而且频率随波矢变化较小的那一支格波；对于长光学波，它表示着相位相反的两种原子的振动，即表示着两种格子的相对振动[但质心不变]。光学波声子具有较高的能量，而高能量声子的动量往往很小，所以光学波声子在与载流子的相互作用中往往起着交换能量的作用。 （2）声子： 格波的能量是量子化的: 频率ω的格波具有谐振子一样的分离能量：E = ( n + 1/2 ) ?ω, n = 0,1,2,2,…。则当格波与载流子相互作用时, 格波能量的改变只能是?ω的整数倍; 该晶格振动能量?ω的量子即称为声子（Phonon ）。当格波能量减少?ω时, 就说晶格放出一个声子; 如格波能量增加?ω时, 就说晶格吸收一个声子. 因此晶格与载流子的相互作用可看成是格波对载流子的散射(碰撞)。 由于晶格振动有声学波和光学波两种模式，所以相应的就有两种声子——声学波声子和光学波声子。一个格波,即一种振动模,就称为一种声子；当这种振动模处于(nq+1/2) ?ωq 本征态时，就说有nq个声子, nq是声子数。晶格中共有3Nr个格波,即有3Nr种声子;共有3支声学波声子和(3r－3)支光学波声子；又可有纵向声子和横向声子。 声子本身不导电，但是它能够传热，并且还对载流子产生散射作用——声子散射。晶体的比热、热导、电导等都与声子有关。 用声子可以简明地描述晶格振动,它反映的是晶体原子集体运动状态的激发单元（元激发），因此声子是固体中的一种典型的元激发。声子是Bose子, 则每一个晶格振动的状态可被很多声子所占据；而声子的数目仅与晶格振动的能量有关(决定于温度)，一个晶格振动模式平均的声子占据数目为nj(q) = {exp[?ωj(q) /kT]－1}-1 . 因此,系统中声子的数目随着温度的上升而增加。由于声子的动量q不确定（q和q+ Gn表示相同的晶格振动状态，Gn是倒格子矢量），而且系统中的声子数不守恒(与温度有关), 因此,声子并不是真实的粒子, 而是所谓“准粒子”。 光学波的能量较高（最高能量的格波量子——声子，称为拉曼声子），但是较高能量光学波的动量却很小，因此在载流子的散射和复合过程中往往起着交换能量的作用。晶体中声子的相互作用，有一种过程是两个声子碰撞而产生第三个声子的过程，但声子的动量没有发生变化，即有? q1 + ? q2 = ? q3 （q1、q2和q3分别是第一、第二和第三个声子的动量），这种碰撞就常常简称为正规过程（Normal process）或者N过程。因为正规碰撞过程只改变动量的分布，而不影响热流的方向，故对热阻没有贡献。 第三章 晶格振动 参考答案 2011 3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21ββ>。 试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频 支，其格波频率为? ? ??????????????+-±+=212 21221212 )2(sin 411M ）（ββββββωqa 证明： 第2n 个原子所受的力 1 21122221212121222)()()(-+-++++-=-+-=n n n n n n n n u u u u u u u F ββββββ 第2n+1个原子所受的力 n n n n n n n n u u u u u u u F 22121122112221222112)()()(ββββββ+++-=-+-=++++++ 这两个原子的运动方程： n n n n n n n n u u u u m u u u u m 221211221121 211222212)()(ββββββββ+++-=+++-=+++-+&&&& 方程的解 ? ???? ? +-+? ???? ? -==q a n t i n q a n t i n Be u Ae u 2)12(122)2(2ωω 代入到运动方程，可以得到 B A e e B m A B e e A m q a i q a i q a i q a i )()(21222122122212ββββωββββω+-??? ? ??+=-+-??? ? ??+=--- 经整理，有 0)(0)(22122212221221=-+-??? ? ?? +=??? ? ??+--+--B m A e e B e e A m q a i q a i q a i q a i ωββββββωββ 若A ，B 有非零解，系数行列式满足 ,.,2 212 22 12 22 1221=-+++-+--ω ββββββωββm e e e e m q a i q a i q a i q a i 根据上式，有 ? ? ??????????????+-±+=212 2122 1212)2(sin 411M ）（ββββββωqa 第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、 填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。 11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。 12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ω ，准动量为 q 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 ) 2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2 )2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c )2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。 方解石晶体振动模式的群论分析和红外光谱的DFT 研究 摘要：本文分别运用因子群对称分析法和位置群对称分析法对方解石（CaCO 3）晶体的振动模式进行了详细的理论分析，并明确指出了各振动模式的光谱特性。对建立的方解石晶体超晶胞模型，采用基于密度泛函的动力学赝势方法进行了红外光谱的计算，计算结果与群论的理论分析一致，且比晶格动力学方法更好地符合实验结果。 关键词：群论方法；方解石；振动模式；DFT Abstract ：The factor group symmetry analysis method and position symmetry analysis method were used to analyse the vibration spectrum of calcite crystal (CaCO 3). It clearly points out the activated results of infrared and Raman spectrum. The frequencies were studied by using dynamics calculations based on density-functional theory and pseudopotential method. The results match up to the group symmetry analysis very well, and perform more well than lattice dynamical methods compared with the experimental vibrational frequencies. Keywords: group symmetry analysis ；calcite ；vibration spectrum ；DFT 序言：分子振动模式的确定是进行分子振动光谱研究的基础。运用群论方法[1][2]可以不求解复杂的久期方程而迅速地确定振动模式。关于方解石晶体振动模式的群论方法分析，尚未见文献报导，本文将分别运用因子群对称分析法和位置对称分析法对方解石晶体振动模式进行详细的理论分析。目前，人们大多运用经验的分析方法对红外光谱进行讨论，理论分析的工作相对较少。本文采用基于密度泛函方法的从头算量子力学程序（Castep ）对方解石晶体进行红外光谱的计算。计算结果表明，其与群论方法的分析一致，且比晶格动力学方法更好地符合实验结果。 1.理论分析： 1.1 特征标的约化公式[3]： 在晶格振动的情况下，特征标的约化公式为： 1 ()()m m R n R R h χχ= ∑ （1） ()()[12cos(2/)]R U R k n χπ=?±+ （2） n m 为第m 个不可约表示出现的次数，h 为群阶，χ(R)为元素R 可约表示的特征标，χm (R)为元素R 在第m 个不可约表示中的特征标，求和遍及群元素。U(R)为不动的原子数目，+，－分别表示真操作和非真操作。 1.2因子群对称分析法： 由于晶体中等同原子以相同的位相作相同的位移，因此通过对一个原胞的分析就可以确定整个晶体的振动模式[4]。CaCO 3方解石晶体的对称点群是D 3d 6 ，对应的同态点群就是D 3d ，原胞包含2个CaCO 3分子，有10个原子，其空间结构图如图1，角顶的原子与其相邻的8个晶胞共用。其对称操作包含：E ,2C 3,3C 2,I ,2S 6,3σd 。 第五章 晶格振动习题和答案 1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。 2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？ [解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。 3． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答] 频率为ω的格波的（平均）声子数为 1 1)(/-= T k B e n ωω 因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0-T k B e ω ）大于（1/-T k B A e ω ），所以在温度一定情况下， 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。 4． 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？ [解答] 设温度H T 〉L T ，由于（1/-H B T k e ω ）大于（1/-L B T k e ω ），所以对同一个振动模式，温度 高时的声子数目多于温度低时的声子数目。 5． 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？ [解答] 温度很高时，T k e B T k B /1/ωω +≈ ，频率为ω的格波的（平均）声子数为 ω ωω T k e n B T k B ≈-= 1 1)(/ 可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。 6． 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ [解答] 晶格振动谱的测定中，光波的波长与格波的波长越接近，光波与声波的相互作用才越显著。喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说，该波长属于长波长范围。因此，喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用。长光学波声子的波矢很小，相应的动量q 不大。而能产生倒逆散射的条件是光的入射 3.6 晶格振动的实验观测 一. 一般描述 二. 非弹性X-射线散射 三. Raman 散射和Brilouin 散射 四. 远红外和红外吸收光谱 参考黄昆36Kitt l 845五. 非弹性中子散射 六. 隧道谱 参考：黄昆书3.6 节, Kittel 8 版4.5 节 P .Bruesch Phonons: Theory and Experiments Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ其中第2卷是测量方法。 由于多种原因我国晶格振动的实验观测相对落后由于多种原因，我国晶格振动的实验观测相对落后，各种固体教材中介绍该内容相对较少，应该予以弥补。 一.一般描述： 从上面讨论中我们已经看到晶格振动是影响固体很多从上面讨论中我们已经看到：晶格振动是影响固体很多性质的重要因素，而且只要T ≠0K ，原子的热运动就是理解。所以从实验上观测晶格振动的固体性质时不可忽视的因素所以从实验观测晶格振动的规律是固体微观结构研究的重要内容，是固体物理实验方法的核心内容之一。（晶体结构测定；晶格振动谱测定；费米面测定缺陷观测等）面测定；缺陷观测；等。） ： 晶格振动规律主要通过晶格振动谱反映 1.晶格振动色散关系： ()j q ωω=f 2.态密度：()() g ωω= 实验观测就围绕着这两条曲线的测 定进行,包括各种因素对它们的影响以及 声子的寿命等。主要通过辐射波和晶格 振动的相互作用来完成。 其中最重要、最普遍的方法是： Far-Infrared and (FIR)Infrared Spectroscope (IR) 远红外和红外光谱Raman Spectroscope (R) 电磁波Raman Spectroscope (R) 喇曼光谱Brillouin Spectroscope (B) 布里渊散射谱Diffuse X-Ray Scattering X 射线漫散射Inelastic neutron Scattering (INS) e ast c eut o Scatte g (S) 非弹性中子散射Ultrasonic methods (US) 超声技术 （IETS)非弹性电子隧道谱 第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为 3 c )2(V ，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。 6.简谐近似 答：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。 7.格波 答：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的，这种波就叫格波。 三、简答题 1. 试分析爱因斯坦模型和德拜模型的特点及局限性. 特点： 1）爱因斯坦模型假设晶体中所有原子都以相同的频率作振动； 2）德拜模型的基本思想是把格波作为弹性波来处理。 局限性： 1） 在爱因斯坦的假设下，解释了在甚低温时温度的变化趋势，但是不能解释为什么晶体热 熔随温度T 3的速度变化，这是因为，爱因斯坦模型只考虑了光学支格波，忽略了声学支格波，而在甚低温决定晶体热容的主要是长声学波。爱因斯坦模型过于简化。 2） 德拜模型不仅能够很好解释在甚低温时晶体热容随温度的变化趋势，同时得出了在甚低 温下，热容与T 3成正比的规律。但是德拜模型忽略了晶体的各向异性，即光学波和高频声学波对热容的贡献。 2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? 答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 3. 晶体中声子数目是否守恒? 答：频率为 的格波的(平均) 声子数为 , 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量. 《晶格振动光谱学》课程教学大纲 课程英文名称：Lattice Vibration Spectroscopy 课程编号：0332282002 课程计划学时：32 学分：2 课程简介： 本课程地阐述了晶格振动光谱学的基本理论、实验和研究进展.课程包括两大部分,第一部分为晶格动力学基础,主要包括晶体结构及其对称性、晶格动力学基础和晶格振动的对称性等内容,第二部分为晶格振动光谱,主要包括晶格振动的电磁理论和量子理论、晶格振动的布里渊谱、拉曼光谱、红外反射光谱、二级红外吸收光谱和拉曼光谱等内容.本书介绍了晶格振动光谱研究方面的新进展,并吸收及其插入化合物、单管壁碳纳米管拉曼光谱等方面的研究成果,有利于学生了解、分析物质结构，是材料物理学生必修的一门课程。 本课程的授课对象为数理系材料物理专业的学生。 一、课程教学内容及教学基本要求 第一章晶格动力学基础（2学时） 本章重点：热力学行为的简单近似处理；双原子链的振动；晶格振动的频谱和比热；光学支的长波晶格振动；长波光学振动和红外色散的原子理论；离子晶体红外色散的实验研究。 本章难点：晶格振动的频谱和比热；光学支的长波晶格振动；红外色散及晶格振动的推迟效应；长波光学振动和红外色散的原子理论；离子晶体红外色散的实验研究。 第一节热力学行为的简单近似处理 本节要求掌握热力学行为的简单近似处理，掌握长波光学振动和红外色散的原子理论，以及红外色散及晶格振动的推迟效应。了解晶格的基本振动形式。本节建议采用的主要教学形式（讲授、习题）。 第二节双原子链的振动 本节要求掌握热双原子链的振动基本形式(考核概率10%)。 第三节晶格振动的频谱和比热 本节要求掌握晶格振动的频谱和比热(考核概率10%)。 第四节光学支的长波晶格振动 本节要求掌握光学支的长波晶格振动(考核概率10%)。 第五节红外色散及晶格振动的推迟效应 本节要求掌握红外色散及晶格振动的推迟效应(考核概率10%)。 第六节长波光学振动和红外色散的原子理论 本节要求掌握长波光学振动和红外色散的原子理论(考核概率10%)。 第二章 晶格振动和晶格缺陷 上一章里，把组成晶体的原子或离子看成是固定不动的，都处在其平衡位置上。实际晶体中的原子却是不停地在其平衡位置附近做热振动的，并且随着温度的升高，振动会不断加剧。这种热振动也称晶格振动，它会破坏晶格的周期性，在晶格中造成缺陷，从而对半导体的性质产生重要影响。实际三维晶体中原子的振动现象很复杂，我们只分析一维晶体（单原子和双原子链）的振动，然后将所得到的规律和结论推广到三维晶体中。 §2-1 一维均匀线的振动 为研究一维原子链的振动，首先复习一下一维均匀线中弹性波（纵波）的传播现象。设均匀线的质量密度为ρ，弹性模量为K ，又设线上每一点只能沿线本身的方向运动，如图2-1所示。 若在线段x ?上施加一作用力，它将引起x 点的纵向位移u （x ）。此时在x 处的 相对伸长，即形变为x u x e ??=)(，在x x ?+处的形变则为x x u x e x x e ???+=?+22)()(。 因此在线元x ?上的作用力 []x x u K x e x x e K F x ???=-?+=?22)()( （2-1） 此作用力还可表示为线元质量x ?ρ乘上加速度22t u ??，即 22t u x F x ???=?ρ （2-2） 从而有 22t u ??=22 222x u x u K ??=??υρ （2-3） 式中，ρ υK = 是弹性波的传播速度（声波速度），与振动频率无关。（2-3）式 称线性振动方程，其解为具有如下形式的简谐波 [ ])(e x p ),(t qx i A t x u ω-= （2-4） 式中，A 为振幅，πνω2=为角频率，ν为振动频率，λ π 2=q 为波矢（波数 λ 1 π2?）， λνυ=为波速，从而有 q υλπυπνω===/22 （2-5） Lattice vibrational modes and Raman scattering spectra of strained phosphorene Ruixiang Fei and Li Yang Citation: Applied Physics Letters 105, 083120 (2014); doi: 10.1063/1.4894273 View online: https://www.360docs.net/doc/9515842708.html,/10.1063/1.4894273 View Table of Contents: https://www.360docs.net/doc/9515842708.html,/content/aip/journal/apl/105/8?ver=pdfcov Published by the AIP Publishing Articles you may be interested in Direction dependent thermal conductivity of monolayer phosphorene: Parameterization of Stillinger-Weber potential and molecular dynamics study J. Appl. Phys. 117, 214308 (2015); 10.1063/1.4922118 Silicon nanocrystals with high boron and phosphorus concentration hydrophilic shell—Raman scattering and X-ray photoelectron spectroscopic studies J. Appl. Phys. 115, 084301 (2014); 10.1063/1.4866497 Vibrational mode and dielectric function spectra of BGaP probed by Raman scattering and spectroscopic ellipsometry J. Appl. Phys. 109, 053504 (2011); 10.1063/1.3549806 Raman scattering on quadrupolar vibrational modes of spherical nanoparticles J. Appl. Phys. 104, 073519 (2008); 10.1063/1.2981083 Raman spectra of P 4 at low temperatures J. Chem. Phys. 119, 5918 (2003); 10.1063/1.1602062 第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。 11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。 12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ω ，准动量为 q 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 ) 2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 2 )2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 第三章晶格振动与晶体的热力学函数 一、填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V的ZnS晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T3。 4. 某三维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T的关系为U~T2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于晶格振动能。 11.导体中与温度有关的内能来源于晶格振动能和价电子热运动动能。 12. 某二维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学 波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ωη ，准动量为 q ρ η 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 )2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 2 ) 2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间 中的波矢密度为：π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c ) 2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。 §3-6 晶格振动的模式密度 3. 6. 1 晶格模式密度定义 为了准确求出晶格热容以及它与温度的变化关系，必须用较精确的办法计算出晶格振动的模式密度（也叫频率分布函数）。原则上讲，只要知道了晶格振动谱ωj (q )，也就知道了各个振动模的频率，模式密度函数g (ω)也就确定了。但是，一般来说，ω与q 之间的关系是复杂的，除非在一些特殊的情况下，得不到g (ω)的解析表达式，因而往往要用数值计算。图3-6-1给出了一个实际的晶体（钾）的模式密度，同时给出了德拜近似下的模式密度进行比较，可以看出除在低频极限以外，两个模式密度之间存在有一定的差别。这可以说明为什么德拜热容理论只是在极低温下才是严格正确的。因为在极低温下，只有那些低频振动模才对热容有贡献。 了解晶格振动模密度的意义不仅局限于晶格热容的量子理论。实际上，计算所有热力学函数时都要涉及到对各个晶格振动模的求和，这就需要知道模式密度函数。以后还会看到，在讨论晶体的某些电学性质、光学性质时，也要用到晶格振动模式密度函数。根据式（3-5-12），我们可以定义： ()0lim n g ωωω ?→?=?…………………………………………………………（3-6-1） Δn 表示在ω—ω+Δω间隔内晶格振动模式的数目，如果在q 空间中，根据ω (q )=常数作出等频面，那么在等频面ω和ω+Δω之间的振动模式的数目就是Δn 。由于晶格振动模（格波）在q 空间分布是均匀的，密度为V/3 (2)π（V 为晶体体积），因此有： 3 ((2) V n ωωωπ?= ??频率为和+的等频率面间的体积)…………（3-6-2） 图3-6-1 钾的模式密度与德拜近似模式密度的比较晶格振动与声子
晶格振动与声子
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晶格振动光谱学
第二章 晶格振动和晶格缺陷
apl应变黑磷晶格振动模式及拉曼散射
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§3-6晶格振动的模式密度