神经网络正则化
神经网络中常见的正则化方法
神经网络中常见的正则化方法神经网络是一种强大的机器学习工具，可以用于解决各种复杂的问题。
然而，当网络的规模变得很大时，容易出现过拟合的问题。
过拟合指的是网络在训练集上表现良好，但在测试集上表现较差的现象。
为了解决这个问题，人们提出了各种正则化方法。
正则化是指通过在目标函数中引入额外的约束项，来限制模型的复杂性。
这样可以防止网络过拟合，并提高其泛化能力。
下面将介绍几种常见的正则化方法。
一种常见的正则化方法是L1正则化。
L1正则化通过在目标函数中添加网络权重的绝对值之和，来限制权重的大小。
这样可以使得一些权重变为0，从而实现特征选择的功能。
L1正则化可以有效地减少网络的复杂性，并提高其泛化能力。
另一种常见的正则化方法是L2正则化。
L2正则化通过在目标函数中添加网络权重的平方和，来限制权重的大小。
与L1正则化不同，L2正则化不会使得权重变为0，而是将权重逼近于0。
L2正则化可以有效地减少网络的过拟合现象，并提高其泛化能力。
除了L1和L2正则化，还有一种常见的正则化方法是dropout。
dropout是指在网络的训练过程中，随机地将一些神经元的输出置为0。
这样可以强迫网络学习多个独立的特征表示，从而减少神经元之间的依赖关系。
dropout可以有效地减少网络的过拟合问题，并提高其泛化能力。
此外，还有一种正则化方法是批量归一化。
批量归一化是指在网络的每一层中，对每个批次的输入进行归一化处理。
这样可以使得网络对输入的变化更加稳定，从而减少过拟合的风险。
批量归一化可以有效地提高网络的训练速度和泛化能力。
除了上述几种常见的正则化方法，还有一些其他的方法，如数据增强、早停止等。
数据增强是指通过对训练集进行一系列的变换，来增加训练样本的多样性。
这样可以提高网络对新样本的泛化能力。
早停止是指在网络的训练过程中，根据验证集的性能来确定何时停止训练。
早停止可以有效地防止网络的过拟合现象。
综上所述，正则化是神经网络中常见的一种方法，用于防止过拟合并提高网络的泛化能力。
神经网络中的正则化方法
神经网络中的正则化方法神经网络在机器学习领域具有广泛的应用价值，在语音识别、图像分类、自然语言处理等方面都发挥了很好的作用。
即使得到了很好的训练结果，但仍然需要在正则化方面进行优化，以避免过拟合的问题，进而提升网络的泛化性能。
本文主要探讨神经网络中的正则化方法。
1. 正则化的概念在机器学习中，过拟合是指模型过于复杂，导致仅适用于训练集，而不能很好地适用于新的数据集。
因此，正则化的目的就是减少模型的复杂性，优化模型的拟合效果，提高其泛化性能。
2. 常用的正则化方法2.1 L1正则化L1正则化的主要思想是增加权值向量中非零元素的数量，使得它们更加稀疏。
这个想法的出发点是为了减少模型中冗余的特征，提高模型的效率和泛化性能。
L1正则化的损失函数为：L1(w) = ||w||1 = Σ|wi|其中，||w||1是权重向量的绝对值和，wi是权值向量中的第i个元素。
2.2 L2正则化L2正则化与L1正则化的主要区别在于，它增加了权值向量中各个元素的平方和，并使较大的元素权重下降，将较小的权重值向零收缩。
它在一定程度上防止了过拟合，提高了泛化性能。
L2正则化的损失函数为：L2(w) = ||w||2^2 = Σwi^2其中，||w||2是向量w的模长。
2.3 Dropout正则化Dropout是一种基于神经网络中的正则化方法，可以有效降低过拟合的风险。
它随机删除模型中一些神经元，并且随机选择一些神经元进行训练，使得每个神经元都会在多个模型中进行学习，从而防止过拟合。
通过Dropout，网络的每次迭代都基于不同的子集进行计算。
该方法已经被广泛地应用于深度学习中。
3. 正则化方法的参数在进行神经网络中的正则化方法的时候，需要设置一些参数。
对于L1和L2正则化，需要设置对应的惩罚系数λ，对于Dropout，需要设置丢失率p。
惩罚系数λ通常通过交叉验证进行设置。
通常情况下，λ越大，则惩罚越大，这会导致有界约束。
然而，在选择Dropout的参数时，并没有明显的标准方式。
神经网络的优化方法及技巧
神经网络的优化方法及技巧神经网络是一种模拟人脑神经元工作方式的计算模型，它可以通过学习和训练来实现各种复杂的任务。
然而，神经网络的优化是一个复杂而耗时的过程，需要考虑许多因素。
本文将探讨神经网络的优化方法及技巧，帮助读者更好地理解和应用神经网络。
一、梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化方法，通过迭代地调整网络参数来最小化损失函数。
其基本思想是沿着损失函数的负梯度方向更新参数，使得损失函数不断减小。
梯度下降法有多种变体，如批量梯度下降法、随机梯度下降法和小批量梯度下降法。
批量梯度下降法使用所有训练样本计算梯度，更新参数；随机梯度下降法每次只使用一个样本计算梯度，更新参数；小批量梯度下降法则是在每次迭代中使用一小批样本计算梯度，更新参数。
选择合适的梯度下降法取决于数据集的规模和计算资源的限制。
二、学习率调整学习率是梯度下降法中的一个重要参数，决定了参数更新的步长。
学习率过大可能导致参数在损失函数最小值附近震荡，而学习率过小则会导致收敛速度缓慢。
为了解决这个问题，可以使用学习率衰减或自适应学习率调整方法。
学习率衰减是指在训练过程中逐渐减小学习率，使得参数更新的步长逐渐减小；自适应学习率调整方法则根据参数的梯度大小自动调整学习率，如AdaGrad、RMSProp和Adam等。
这些方法能够在不同的训练阶段自动调整学习率，提高训练效果。
三、正则化正则化是一种用来防止过拟合的技巧。
过拟合是指模型在训练集上表现良好，但在测试集上表现较差的现象。
常见的正则化方法有L1正则化和L2正则化。
L1正则化通过在损失函数中添加参数的绝对值，使得模型更加稀疏，可以过滤掉一些不重要的特征；L2正则化通过在损失函数中添加参数的平方和，使得模型的参数更加平滑，减少参数的振荡。
正则化方法可以有效地减少模型的复杂度，提高模型的泛化能力。
四、批标准化批标准化是一种用来加速神经网络训练的技巧。
它通过对每个隐藏层的输出进行标准化，使得网络更加稳定和收敛更快。
机器学习技术中的神经网络优化方法解析
机器学习技术中的神经网络优化方法解析神经网络是机器学习中最为重要和强大的模型之一，具有广泛的应用领域，如图像识别、语音识别、自然语言处理等。
神经网络的优化方法对于提高模型的准确性和性能至关重要。
本文将对机器学习技术中的神经网络优化方法进行解析，包括梯度下降、自适应学习率和正则化等。
梯度下降是神经网络优化中最常用的方法之一。
其思想是通过计算损失函数对模型参数的导数，并根据导数的信息调整参数的值，从而使得损失函数尽可能地减小。
具体地，梯度下降将参数更新为当前参数减去学习率乘以损失函数对参数的导数。
学习率决定了每次更新的步长，取值过大会导致震荡，取值过小会导致收敛速度慢。
梯度下降的变种有批量梯度下降（BGD）、随机梯度下降（SGD）和小批量梯度下降（MBGD）等。
自适应学习率方法旨在解决学习率过大或过小的问题。
其中最常见的方法是动量梯度下降（Momentum），其通过引入一个动量变量来加速梯度下降的收敛速度，并可以跳出局部最优解。
动量变量的值由当前迭代步骤的梯度和上一步动量的乘积加上当前梯度得到。
此外，自适应学习率方法还包括Adagrad、RMSprop和Adam 等。
这些方法通过根据参数的历史梯度二阶矩估计和二阶矩下降来适应地调整学习率。
正则化是一种常见的神经网络优化方法，用于防止模型的过拟合。
过拟合是指模型在训练集上表现很好，但在新样本上表现较差的情况。
正则化的目标是通过约束模型的复杂度降低模型的方差，并提高模型在新样本上的普适性。
L1和L2正则化是最常见的两种正则化方法。
L1正则化通过在损失函数中添加参数的绝对值之和，使得某些参数变为零，从而实现特征选择的效果。
而L2正则化通过在损失函数中添加参数的平方和，使得参数的值趋近于零，从而减小参数的值。
除了上述方法外，还有其他一些神经网络优化方法。
例如，批归一化（Batch Normalization）通过在每个小批次上对输入进行归一化来加速模型的收敛。
提高神经网络泛化能力的方法概述
提高神经网络泛化能力的方法概述神经网络是一种模拟人脑神经元工作原理的数学模型，在许多领域都取得了重要进展。
然而，神经网络的泛化能力问题一直是一个研究的焦点。
泛化能力指的是神经网络在处理未知样本时的性能和能力。
在不进行特定训练的情况下，神经网络能否对新样本进行准确分类，是评估其泛化能力的关键因素。
本文将概述提高神经网络泛化能力的方法。
首先，正则化是提高神经网络泛化能力的一种常用方法。
正则化技术可以控制网络的复杂度，防止过拟合。
L1正则化和L2正则化是两种常用的正则化方法。
L1正则化将权重加入到损失函数中，使得模型更倾向于选择较少的特征。
L2正则化通过加入权重平方的和来惩罚模型中较大的权重值，以防止神经网络过度拟合。
其次，数据增强是提高神经网络泛化能力的另一种方法。
数据增强通过对训练数据进行一系列的随机操作，增加了训练集的多样性，提高了网络对新样本的适应能力。
数据增强的常见方法包括旋转、平移、缩放、翻转等操作。
这些操作可以生成具有不同变换的样本，使得网络能够更好地应对各种变化和噪声。
另外，减少模型复杂度也可以提高神经网络的泛化能力。
模型复杂度指的是网络中的参数数量。
过复杂的模型会导致过拟合，使得网络对训练数据的适应能力较强，对新样本的泛化能力较差。
因此，减少模型复杂度是提高泛化能力的重要手段。
可以通过减少网络的层数、每层的神经元数量以及使用适当的正则化技术来实现。
此外，集成学习也是提高神经网络泛化能力的有效方法之一、集成学习通过将多个网络的预测结果进行集成，提高了模型的鲁棒性和泛化能力。
常见的集成学习方法包括投票集成、平均集成和堆叠集成。
这些方法利用了多个模型的优势，提高了模型的预测能力。
最后，跨领域学习可以进一步提高神经网络的泛化能力。
在跨领域学习中，模型将在一个领域中学习，然后将其知识应用于另一个相关领域。
这种迁移学习的方式可以提高网络在新领域中的性能，减少对大量新数据的需求。
总结起来，提高神经网络泛化能力的方法包括正则化、数据增强、减少模型复杂度、集成学习和跨领域学习。
卷积神经网络中的正则化方法介绍
卷积神经网络中的正则化方法介绍卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）是一种在计算机视觉领域广泛应用的深度学习模型。
它通过模仿人类视觉系统的工作原理，能够自动地从图像中提取特征，并用于图像分类、目标检测等任务。
然而，由于CNN模型的复杂性和参数众多，往往容易出现过拟合的问题。
为了解决这个问题，研究人员提出了一系列的正则化方法。
一、L1和L2正则化L1和L2正则化是最常见的正则化方法之一。
它们通过在损失函数中添加正则化项，对模型的参数进行约束，以减小模型的复杂性。
L1正则化通过对参数的绝对值进行惩罚，可以使得部分参数变为0，从而实现特征选择的效果。
而L2正则化则通过对参数的平方进行惩罚，可以使得参数的值都变得较小，从而使得模型更加稳定。
二、Dropout正则化Dropout正则化是一种随机失活的正则化方法。
它通过在训练过程中随机地将一部分神经元的输出置为0，来减少神经元之间的依赖性。
这样一来，每个神经元都不能依赖于其他神经元的输出，从而强迫每个神经元都学习到有用的特征。
同时，Dropout还可以视为一种模型集成的方法，通过训练多个具有不同结构的子模型，并将它们的预测结果进行平均，来提高模型的泛化能力。
三、批量归一化批量归一化（Batch Normalization, BN）是一种通过规范化输入数据的方法来加速模型训练的技术。
在CNN中，每一层的输入都可以看作是一个mini-batch的数据，批量归一化通过对每个mini-batch的数据进行归一化，使得每个特征的均值为0，方差为1。
这样一来，可以使得模型的输入更加稳定，从而加速模型的训练过程。
此外，批量归一化还可以起到正则化的作用，减少模型的过拟合风险。
四、数据增强数据增强是一种通过对训练数据进行一系列随机变换来扩充数据集的方法。
这些随机变换包括平移、旋转、缩放、翻转等操作，可以生成更多样化的训练样本。
数据增强不仅可以增加训练数据的数量，还可以增加数据的多样性，从而提高模型的泛化能力。
神经网络优化方法
神经网络优化方法神经网络优化方法是改进神经网络的训练过程，以提高其性能和准确性。
在神经网络中，优化方法的目标是寻找最优的权重和偏置，以最小化损失函数。
以下是几种常见的神经网络优化方法：1. 梯度下降法（Gradient Descent）：梯度下降法是一种常见且简单的优化方法，它通过求解损失函数对权重和偏置的梯度来更新参数。
根据梯度的方向和大小，将参数沿着负梯度方向进行迭代调整，直至找到最优解。
2. 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）：批量梯度下降法是梯度下降法的一种改进方法。
它与梯度下降法的区别在于，批量梯度下降法在每次迭代时使用全部训练样本来计算梯度。
由于计算量较大，因此对于大数据集，批量梯度下降法的训练速度相对较慢。
3. 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）：随机梯度下降法是梯度下降法的另一种改进方法。
与批量梯度下降法不同的是，随机梯度下降法在每次迭代时只使用一个样本来计算梯度。
这种方法可以加快训练速度，但也可能使收敛过程变得不稳定。
4. 小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）：小批量梯度下降法是批量梯度下降法和随机梯度下降法的折中方法。
它在每次迭代时，使用一小部分（通常是2-100个）样本来计算梯度。
这种方法可以加快训练速度，并且具有较好的收敛性。
5. 动量法（Momentum）：动量法是一种在梯度下降法的基础上引入动量项的优化方法。
动量法通过累积之前的梯度信息，并将其作为下一次迭代的方向进行调整。
这样可以在参数更新过程中减少震荡，提高收敛速度。
6. 学习率衰减（Learning Rate Decay）：学习率衰减是一种动态调整学习率的方法。
在训练的早期，使用较大的学习率可以快速逼近全局最优解，而在训练的后期，使用较小的学习率可以细致调整参数，提高性能。
7. 自适应学习率方法（Adaptive Learning Rate）：自适应学习率方法是根据梯度的变化自动调整学习率的方法。
神经网络模型的优化与泛化能力提升技巧
神经网络模型的优化与泛化能力提升技巧在人工智能领域中，神经网络模型是一种被广泛应用的机器学习模型。
然而，仅仅构建一个模型是远远不够的，我们还需要优化这个模型并提升其泛化能力，以便在实际应用中取得准确、可靠的结果。
本文将介绍一些优化神经网络模型并提升其泛化能力的技巧。
首先，正则化是一种常用的技巧，可以帮助减少过拟合。
过拟合是指模型在训练集上表现良好，但在未知数据上表现欠佳的情况。
正则化技术包括L1 和 L2 正则化，L1 正则化通过增加 L1 范数作为惩罚项来限制模型的复杂度，使得模型更加稀疏化；L2 正则化则通过增加 L2 范数作为惩罚项来限制模型的权重，使得模型参数更加平滑。
正则化技术可以有效地减少模型的过拟合现象，并提升模型的泛化能力。
其次，模型集成是另一种有效提升神经网络模型泛化能力的技巧。
模型集成是通过组合多个不同的模型来提高预测性能。
常见的模型集成方法包括投票集成、平均集成和堆叠集成等。
投票集成通过让多个模型投票来决定最终预测结果，平均集成通过计算多个模型的平均预测结果来得到最终结果，而堆叠集成则是将多个模型的预测结果作为输入，再通过另一个模型来预测最终结果。
模型集成能够充分利用多个模型的优势，提升模型的准确性和泛化能力。
另外，数据增强是一种常见的优化神经网络模型的技巧。
数据增强通过对输入数据进行一系列的随机变换来扩充训练数据集，从而增加模型的泛化能力。
常见的数据增强方法包括随机裁剪、旋转、平移、缩放等。
数据增强可以帮助模型更好地适应各种不同的输入数据样式，从而提高模型的鲁棒性和泛化能力。
此外，逐层预训练是一种有效的优化神经网络模型的技巧。
逐层预训练是指将大型神经网络模型分为多个层次进行训练和优化的过程。
首先，通过训练浅层网络来学习低级特征，然后逐步增加模型的深度，将前一层的输出作为后一层的输入，并对整个模型进行微调。
逐层预训练可以解决深层神经网络难以收敛和过拟合的问题，提高模型的泛化能力。
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本章主要关注的是为处理内罚 项找到一个合适的度量，而寻 找的度量就是Rayleigh商的分 子fTLf。
引入光滑函数：
（7.114）
通过已得到的式（7.114）中的光滑函数SG(F)，可以把式（7.107）中的代价函数重写 成预期的形式：
(7.119)
引入矩阵符号
（7.124）
求解最小点值a*，得到：
（7.125）
• 与普通正则化最小二乘算法相比： 即为将内在正则化参数λ I设定为0,少了反映无类标样本所在输入空间的内在几何 结构。 • 与最小二乘算法相比，该算法不需要计算权值向量。 利用得到的a*，可以计算优化逼近函数Fλ*(x)
谢 谢
戴非凡 2018.1.4
正则化逼近函数：
线性加权和
训练样本长度
输入数据点数m=N，且输入向量xi与Green函数G(x，xi)(i=1，2，…，N)之间 是一一对应关系。
【4
广义径向基函数网络】
降低复杂度后在一个较低维的空间中得到一 个次优解，来逼近式（7.36）的正则化解。
这里可以通过利用称为Galerkin方法的标准 技术实现，得到一个近似解： ≈
流形正则化
其实就是在机器学习问题中的正则化项中加入和流形相关的项，可以挖掘数 据分布的几何形状，利用数据中的几何结构，起到半监督的作用，比如：两个样 本在流形中距离相近，那么他们的标签也应该一样或相似。
【8 广义正则化理论】
• 经典正则化理论，使用的是一个反映类标样本所在外围空间的简单罚函数。 • 广义正则化理论，使用的是一个反映无类标样本所在的输入空间内在几何结构的罚 函数，并使用半监督函数学习的思想。
如何选择好的正则化参数？
1.给出一个在整个给定集合上的均方误差R(λ )，要想得到最佳λ ，就是使R(λ )取最小时的值 2.求R(λ )的期望值
均方误差： （7.80）
其中，f(x)为模型回归函数，Fλ(xi)为在正则化参数λ 某一值下的解的逼近函数。
将Fλ(xi)表示为给定的一组可观察值的线性组合： 等价矩阵形式： （7.80） （7.81）
第7章
1、正则化基础 2、良态及病态问题 3、Tikhonov正则化理论 4、广义径向基函数网络 5、再论正则化最小二乘估计
正则化理论
6、正则化参数估计 7、半监督学习 8、广义正则化理论 9、光谱图理论 10、拉普拉斯正则化最小二乘算法
【1 正则化基础】
监督学习算法共同点：通过样本训练网络，对于给定的输 入模式给出输出模式，等价于构造一个超平面，也就是多维映 射。为了得到一条好的超平面，通常都是根据训练数据，利用 最小化误差来使得更好地得到一条超平面，但是训练误差小不 是我们的最终目标，我们的目标是希望模型的测试误差小，也 就是能够准确地预测新的样本。但是，往往当参数太多的情况 下，会导致模型复杂度上升，当在追求尽可能小的误差时就容 易过拟合，过拟合从直观上理解就是在对训练数据进行拟合时， 要照顾到每个点（相关特征与无关特征），从而使得拟合函数 波动性非常大。那我们就希望模型“简单”一些，在这个基础 上最小化训练误差，这样得到的参数才具有较好的泛化性能。 这里模型的“简单”就是通过正则化函数来实现的。
（7.84）
（7.78）
影响矩阵
（7.85）
（7.86）
（7.85）代入（7.84）得：
（7.86）
求R(λ )的期望值：
但是，一个给定数据集的均方误差R(λ )在实际中并不好用，因为其中需要回归函 数f(x)的知识，这个f(x)是未知的，是有待重建的函数。
引入R(λ )的估计：
（7.91）
Ϭ2已知
Tikhonov泛函的Frechet微分： （下面都是为求泛函最小值Fλ(X)做的工作）
进行代价泛函的最小化，则它的Frechet微分可以解释为一个最佳局部线性逼近。
（式7.2）
引入Riesz表示定理：
表示H空间上两 个函数的内积
式（7.7）重写为：
1>除了零点以外的点都等于0 2>在整个定义域上的积分等于1
对于不同的k，akk(λ )的值是不同的，说明 （7.98） 不同的数据点在V0(λ )中具有不同的作用。
通过坐标旋转 引入广义交叉 验证
对于一个很大的N，使V(λ )最小的λ ，同时 也使R(λ )接近最小的可能值。 （7.102）
【7 半监督学习】
监督学习： 根据给定的训练样本学习一个输入输出映射关系，这样的数据集 为带标记的。
经典正则化理论 广义正则化理论，通过引入叫做“流行正则化算子”。（半监督学习）
【2 病态良态问题】
如果一个学习问题不具有连续性，则所计算的输入输 出映射与学习问题的准确解无关。
病态问题：上述三个条件中的任何一个都不满足 （过拟合情况的发生）。 要解决这些困难就必须附加先验知识。
【3 Tikhonov正则化理论】
其作用类似于转置矩阵
只有当
满足时，（7.13）式才为0
为了求Fλ(x)做准备
代表展开系数，与系统估计误差呈线性关系，与正则化参数成反比。
确定展开系数
令： （7.23） （7.22）
（7.24）
G是对称的
联立式（7.30）和（7.31）得：
实际上，总将正则化参数取足够大，（7.31） 使得 正定的，从而是可逆 （7.32） 的，则有唯一解
流形正则化项
广义正则化理论潜在的前提是： 如果两个数据点xi和xj在输入空间中很接近，半监督函数学习的目标是找到一 个记为F(x)的映射，使得能把相应的输出F(xi),F(xj)映射到位于同一条实线上且距离 很近的可能性较大。
为了达到这个目标，就需要在经典正则化理论中所考虑的罚项外，引入一个新的罚 项。 （7.107）
【9 光谱图理论】
——用一个图来对输入空间的内在几何结构建模的办法
因此，N×N的权值矩阵：W={wij} 是个对称非负定矩阵，其所有的元素都非负。我们指由权值 矩阵W表示的无向图为G。
图拉普拉斯是构造一个合适的光滑函 数而处理内罚项的关键所在。
用f表示一个人造的关于输入向量x的向量值函数。其中x是关于图G中的每一个结点 赋一个实数值。用如下的比值来定义拉普拉斯算子L的Rayleigh商:
主动学习： 先用带标签的样本训练模型，然后拿一个未标签样本对其引入额 外专家知识，即通过外界交互将其转变为有标记样本，然后重新 训练这个模型，然后再拿一个未标记样本，重复操作。
若不与专家交互，没有获得额外信息，还能利用未标记样本提高泛化性能吗？ ——半监督学习 半监督学习： 让学习器不依赖外界交互、自动地利用未标样本来提升学习性能。
【5 再论正则化最小二乘估计】
指出：式（7.57） 计看作该式的一个特例。 包括正则化最小二乘估计，并且最小二乘估
逼近（7.63）和（7.4）中的代价函数，则有
用训练样本{xi，di}i=1N的形式重申式(7.57),得：
【6 正则化参数估计】
先考虑一个非线性回归问题，第i时间步的输入向量xi相对应的可观测输出yi定义为：
正则化方法：
目的就是通过最小化如下的代价函数的方法把超平面重构问题的求解限制在压缩 子集中： （正则化代价函数）=（经验代价函数）+（正则化参数）×（正则化项） 经验代价函数：由误差平方和定义，最小化误差让模型更好地拟合训练数据； 正则化算子：用来平滑超平面重构问题的解，也就是防止模型过分拟合训练数据 （包括噪声和异常点）。 引入正则项，在训练过程中，避免了过分依赖某一维（或几维）的特征。
可以证明
：
所以，使估计
最小的λ 值可以作为正则化参
数λ 的一个好的选择。
Ϭ2未知
广义交叉验证
为使泛函最小化的函数:
(7.93)
我们从修改通常的交叉验证的留一形式处理此问题，令
标准误差项中省略了第k项
通过留出这一项，用
预报缺损数据点dk的能力来衡量参数λ 的好坏。引入性能度量：
（7.94）
经过系列变换
要利用未标记样本，必然要 做一些将未标记样本所揭示的数 据分布信息与类别标记相联系的 假设，最常见的是“聚类假设”， 即假设数据存在簇结构，同一个 簇的样本属于同一个类别，图 13.1就是基于聚类假设来利用未 标记样本。
半监督学习中一种常见的假设是“流 行假设”，即假设数据分布在一个流行结 构上，邻近的样本拥有相似的输出值。 “邻近”的程度常用“相似”程度来刻画， 因此，流形假设可看作聚类假设的推广。
引入下一节 LapRLS算法。
【10 拉普拉斯正则化最小二乘算法】
算法的实用性： 1、对该算法的训练既使用带类标样本，又使用无类标样本，因此，可把算法的实用性提升到比那些 现有的单独的监督训练算法更广的范围。 2、通过核方法，算法可以对非线性可分离的模式进行识别，因此，拓展了最小二乘估计的应用。
使用表示定理：
现实中，无标签（即不带有预期响应的样本）数据数量常常极大于有标签数据数量，若 要构建模型，一方面，只有那些有标记的样本有用未标记的信息就浪费了；另一方面，带标 记的样本不足导致模型泛化能力不佳。 若想要将未标记的样本利用起来并且以监督学习的方式训练一个网络，就必须将那些未 标记的样本全部标记后用于学习，但这是一个耗时耗力的工作，也易出错。
正则化的基本思想就是通过某些含有解的先验信息的非负的辅助泛函 来使解稳定。
Tikhonov的正则化理论包含两项：
最小化 标准误差项
约束 条件
复杂度 罚函数模型
• 当正则化参数趋近0时无约束，泛函最小点解完全由样本确定，即有很大不确定性。 • 当正则化参数趋近∞时，正则化项占支配地位，微分算子D施加的先验光滑约束对 求解泛函最小点是充分的，此时样本是不可靠的。 • 正则化参数应取在这两个极限条件之间的某个值，这样训练样本和先验知识都能 对求解泛函最小点起作用。