11第十一章 多元函数积分学
多元函数的微积分全篇
当点P(x， 沿 轴趋于点(0， 时函数的极限为零 时函数的极限为零， 当点 ，y)沿 x 轴、y 轴趋于点 ，0)时函数的极限为零， 当点P(x， 沿直线 沿直线y=k x 趋于点 ，0)时 趋于点(0， 时 当点 ，y)沿直线
0 < pp0 = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ
的一切点P(x， ∈ 的一切点 ，y)∈D ， 都有 |f (x，y)−A|<ε 成立， ， − 成立， 则称常数A为函数 ， 当 时的极限， 则称常数 为函数f (x，y)当x →x0，y →y0时的极限， 为函数 记为 这里ρ=|P P0|． ． 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限
解
∂z = 3 x 2 y 2 − 3 y 3 − y, ∂x
∂ 2z = 6 xy 2 , ∂x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∂z = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x; ∂y
∂ 2z = 6 x 2 y − 9 y 2 − 1; ∂y∂x
∂ 2z = 6 x 2 − 9 y 2 − 1, ∂x∂y
∂ 2z = 2 x 3 − 18 xy; ∂y 2
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3. 二阶偏导数的计算
二阶偏导数： 二阶偏导数： 设函数z=f(x，y)在区域 内具有偏导数 设函数 = ， 在区域D内具有偏导数 在区域
∂f ∂f = f x ( x , y ), = f y ( x , y ). ∂x ∂y 那么在D 都是x， 的函数． 那么在 内fx(x，y)、fy(x，y)都是 ，y 的函数．如果这两个函数 ， 、 ， 都是
高等数学第十一章多元函数积分学
1.化整为零
分D为 n 个小区域，
1, 2, , n
相应柱体分为n部分
V V 1 V 2 V n
D底面
Vi
i
顶面f(x,y) 侧面
曲顶柱体的体积
1.化整为零 V V 1 V 2 V n 平行于xoy面的平面
一、直角坐标系下二重积分的计算
方法 y
当 f(x,y)0时，D为有界区域，视二重积分为曲顶柱体的体积
f(x,y)dV曲顶柱体
D
z
D
y
x
b
V曲顶柱体a A(x)dx
f(x,y)dabA(x)dx
D
a
bx
A(x)
A(x) 怎样求得？
直角坐标系下二重积分的计算
d
z
A(x)c f(x,y)dy
2(x) f (x, y)dy 1(x)
0
i n1 jn 1(n in j)n12
n
1 n4
nn
i
i1 j1
j 1[n(n1)]21
n n4 2
4
3．二重积分的性质
◣ k (fx,y)dkf(x,y)d （k为常数）
D
D
◣ [f ( x ,y g ( x ,y )d ] f( x ,y ) d g ( x ,y ) d
D
D
D
解：因f(x,y)=xy在D上连续
xyd 存在
D
ij
将D均分为 n 2 个正方形小区域 ij
ij
1 n2
(i ,i ) 取右上角顶点( i , j ) nn
f(i,i)ijn injn12
n n ( i j) 1
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点一、知识概述《多元函数微积分知识点》①基本定义：多元函数呢，就是一个函数里有好几个变量，不像一元函数只有一个变量。
打个比方，一元函数就像是一个人在一条笔直的跑道上跑步，变量就是他跑的距离。
而多元函数就像是一群人在一个操场上到处跑，每个方向的位置就是不同的变量。
多元函数微积分就是对这种有多个变量的函数进行微分和积分的一套数学方法。
②重要程度：在数学里，多元函数微积分可是相当重要的哦。
在物理学、工程学、经济学等好多学科都要用到它。
比如说，在物理中计算物体在多个力作用下的运动情况，或者经济里分析多个经济因素对某个指标的影响，没有多元函数微积分就很麻烦。
③前置知识：你得先掌握好一元函数微积分的知识，像函数的概念、极限、导数、积分这些。
还有简单的代数知识，像多元方程之类的。
④应用价值：实际中的应用太多了。
比如在建筑设计里，考虑到很多因素影响建筑物的稳定性，像风力、地质条件等，就可以用多元函数微积分来分析和设计；在计算机图形学里，可以用来处理三维模型的各种参数。
二、知识体系①知识图谱：多元函数微积分就坐落在多元函数这一块内容里，它就像是多元函数大厦里的核心支柱，很多关于多元函数性质和变化的研究都离不开它。
②关联知识：和线性代数有联系，因为多元函数里变量之间的关系有时候可以用矩阵等线性代数的知识来表示；还和概率论有关联，在处理多变量的概率分布时，多元函数微积分能派上用场。
③重难点分析：掌握的难度在于要同时处理好几个变量的关系，这很容易让人脑子乱。
关键就是要理解各个变量在函数中的角色和相互影响。
比如说，在求多元函数的偏导数时，要清楚是对哪个变量求导，而把其他变量暂时当作常数。
④考点分析：在数学考试里可是个重点。
考查方式多种多样，可能会让你求多元函数的极限、偏导数、全微分，也可能是多元函数的积分计算等。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：多元函数的核心概念是有多个自变量的函数。
就好比确定一个地点需要经度、纬度和海拔三个因素，这就是三个自变量组成的多元函数，可以表示为z = f(x,y)这种形式（这里假设是两个自变量x、y的情况，实际上可以有更多自变量）。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分一、概念多元函数是指具有多个自变量的函数。
在多元函数中，自变量可以有两个、三个甚至更多。
相应地，函数的取值也不再是一个数，而是一个有序组。
多元函数的微积分研究的是多元函数的导数、偏导数、不定积分、定积分等性质。
二、多元函数的导数1. 偏导数在多元函数中，偏导数指的是只以其中一个自变量为变化量，其余自变量视为常数时求取的导数。
偏导数有两种表示形式，一种是用∂表示，被当作普通的符号；另一种是用d表示，表示它是一个变差量。
对于二元函数y=f(x, z)，其偏导数可以通过以下公式计算：∂f/∂x = ∂y/∂x = dy/dx∂f/∂z = ∂y/∂z = dy/dz2. 方向导数方向导数告诉我们，一个函数在给定点上沿着某个特定方向变化的速率。
对于函数f(x, y, z)而言，其在点(a, b, c)处沿着向量v=(v1, v2, v3)的方向导数可以通过以下公式计算：Dv(f) = ∂f/∂x * v1 + ∂f/∂y * v2 + ∂f/∂z * v3三、多元函数的积分1. 不定积分多元函数的不定积分与一元函数的不定积分类似，是求解原函数的过程。
对于多元函数f(x, y)，其不定积分可以写为：∫f(x, y) dx = F(x, y) + C1其中，C1是常数，F(x, y)是f(x, y)的一个原函数。
2. 定积分对于多元函数f(x, y)在区域D上的定积分，其结果为对D内每个小区域的积分之和。
具体计算过程中，常用的方法是先将区域D切割成许多小的面积，然后对每个小面积进行积分累加。
定积分的计算方法包括直接计算和变量替换两种方式。
四、应用领域多元函数的微积分在实际问题中有广泛的应用。
具体领域包括但不限于：1. 经济学：研究供给与需求函数、利润函数、效用函数等方面的微积分问题。
2. 物理学：研究质点的质量、速度、加速度等与时间和空间的关系。
3. 工程学：研究材料特性、电力电子等领域的微积分问题。
11第十一章多元函数积分学共12页文档
第十一章多元函数积分学一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质.2．掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法.3．会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量).4．了解曲线积分的概念和性质.5．会计算简单的曲线积分.重点二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.难点直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.（二）内容提要1．二重积分设二元函数),(yxfz=是定义在有界闭区域D上的连续函数，用微元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即⎰⎰Dyxfσd),(称为函数),(yxfz=在闭区域D上的二重积分，其中),(yxf称为被积函数，σd),(yxf称为被积表达式，D称为积分区域，σd称为面积元素，yx与称为积分变量.2．二重积分的几何意义在区域D上当0),(≥yxf时，⎰⎰Dyxfσd),(表示曲面),(yxfz=在区域D上所对应的曲顶柱体的体积.当),(y x f 在区域D 上有正有负时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积的代数和.3． 二重积分的性质(1)可加性 []⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDy x g y x f y x g y x f σσσd ),(d ),(d ),(),(.(2)齐次性 ⎰⎰⎰⎰=DDk y x f k y x kf )( d ),(d ),(为常数σσ.(3)对积分区域的可加性 设积分区域D 可分割成为1D 、2D 两部分，则有⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12d ),(d ),(d ),(D D Dy x f y x f y x f σσσ.(4)(积分的比较性质) 若),(),(y x g y x f ≥，其中D y x ∈),(，则 σσd ),(d ),(⎰⎰⎰⎰≥DDy x g y x f .(5)（积分的估值性质） 设M y x f m ≤≤),(，其中D y x ∈),(，而M m ,为常数，则⎰⎰≤≤DM y x f m σσσd ),( ,其中σ表示区域D 的面积.(6)（积分中值定理）若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则在D 上至少存在一点D ∈),(ηξ，使得σηξσ),(d ),(f y x f D=⎰⎰.4. 二重积分的计算⑴ 二重积分在直角坐标系下的计算 直角坐标系下的面积元素y x •d d d =σ , ①若D:)()(21x y x ϕϕ≤≤,bx a ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=x y y x f x x b ad d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ϕϕ， ②若D:)()(21y x y ψψ≤≤,dy c ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=y x y x f y x d cd d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ψψ. ⑵二重积分在极坐标系下的计算极坐标系下的面积元素θσd d d r r =，极坐标与直角坐标的关系⎩⎨⎧θ=θ=.sin ,cos r y r x 若D : )()(21θθr r r ≤≤,βθα≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=⎰⎰Dr r r r f θθθd d )sin ,cos (=θθθθθβαd d )sin ,cos ()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰r r r r r r f .5. 对坐标的曲线积分设L 是有向光滑曲线,j ),(i ),(),F(y x Q y x P y x +=是定义在L 上的向量函数,且),( , ),(y x Q y x P 在L 上连续,利用微元法,先写出弧微元j i l y x d d d +=,作乘积=w d L F d ⋅=y )y ,x (Q x )x ,x (P d d +,再无限累加,由这两步所得的表达式,即⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P L d d 称为函数)y ,x (F 在有向曲线L 上对坐标的曲线积分,其中有向曲线L 称为积分路径. 如果),( , ),(y x Q y x P 中有一个为零，则这时曲线积分的形式为 ⎰⎰y )y ,x (Q x )y ,x (P L L d d 或,如果曲线L 是封闭曲线，L 上积分记为⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P L d d . 6.对坐标的曲线积分的性质① 设L 为有向曲线弧，-L 是与L 方向相反的有向曲线弧，则 y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L d d d d +-=+⎰⎰-.② 如果21L L L +=，则有.y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L Ld d d d d d 21+++=+⎰⎰⎰7.格林公式 设D 是平面上以分段光滑曲线L 为边界的有界闭区域,函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上有一阶连续偏导数,则有格林公式⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+σd d d D L y P x Q y Q x P ,其中L 是区域D 的正向边界. 8.曲线积分与路径无关(1)定义 设D 是一个单连通区域,将),(y x P 简称为),(,y x Q P 简称为Q ,如果对D 内任意指定的两点A ,B 以及D 内从A 点到B 点的任意两条不相同的曲线21 , L L ,若有y Q x P y Q x P L L d d d d 21+=+⎰⎰,则称曲线积分⎰+y Q x P L d d 在D 内与路径无关.这时,可将曲线积分记为⎰+BA y Q x P d d .(2)曲线积分与路径无关的定理①在单连通区域D 内，曲线积分⎰+y Q x P L d d 与路径无关的充分必要条件是：对D 内任意一条闭曲线L ，均有 ⎰=+0d d y Q x P L .②设函数),(y x P 和),(y x Q 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则曲线积分⎰+L x Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是:yPx Q ∂∂=∂∂在区域D 内恒成立.9. 曲线积分的计算方法⑴积分路径由参数方程给出设xOy 面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==,)t (y ,)t (x ψϕ且满足:① 当参数t 单调地由α变到β时,曲线上的点由起点A 运动到终点B;② )(t ϕ,)(t ψ在以α和β为端点的闭区间I 上具有一阶连续导数,且()()0)()(22≠'+'t t ψϕ;③),(y x P ,),(y x Q 在有向曲线弧L 上连续.则曲线积分⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 存在,且y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d +⎰={}t )t ()]t (),t ([Q )t ()]t (),t ([P d ψψϕϕψϕβα'+'⎰.⑵ 积分路径由)(x f y =给出设xOy 面上的有向曲线弧L 的方程为 )(x f y =，这时可先将有向曲线弧L 的方程看作是以x 为参数的参数方程⎩⎨⎧==,)x (f y ,x x 然后再按（1）中的方法计算.要特别注意:在将对坐标的曲线积分转换为定积分时,积分下限一定要对应积分路径的起点， 积分上限一定要对应积分路径的终点. 二 、主要解题方法1．在直角坐标系下二重积分的计算例1 计算 ⎰⎰Dy x y x d d 2其中D 由直线2=y ，x y =和曲线1=xy 所围成.解 画出区域D 的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标A （21，2）, B （1，1）, C （2，2），选择先对x 积分，这时D 的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,y x y,y 121 于是⎰⎰Dy x y xd d 2=x y x y y y d d 1221⎰⎰=y x y yy d ]3[11321⎰ =⎰-2142d )1(31y yy =3312111()333y y -+ =7249. 分析 本题也可先对y 积分后对x 积分，但是这时就必须用直线1=x 将D 分1D 和2D 两部分.其中1D ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21,121y xx 2D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,2,21y x x 由此得⎰⎰Dy x y x d d 2=⎰⎰1d d 2D y x y x +⎰⎰2d d 2D y x y x =y yx x xd d 212121⎰⎰+y yx x x d d 2221⎰⎰=⎰121212d ][ln x y x x+⎰2122d ][ln x y x x=⎰+1212d ]ln 2[ln x x x +⎰-212d ]ln 2[ln x x x=7249. 显然，先对y 积分后对x 积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.例2 计算σ++⎰⎰d )1(Dy x ，其中D ：1≤+y x .解 画出积分区域D 的图形，无论先对x 积分后对y 积分还是先对y 积分后对x 积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较繁，这里选择先对y 积分后对x 积分，其中110,11,x D x y x -≤≤⎧⎨--≤≤+⎩201,11,x D x y x ≤≤⎧⎨-≤≤-⎩ 因此σ++⎰⎰d )1(Dy x =σ++⎰⎰d )1(1D y x +σ++⎰⎰d )1(2D y x=σ++⎰⎰+---d )1(d 1101x x y x x +σ++⎰⎰--d )1(d 1110xx y x x =4σ+⎰d )1(21-x +4x x d )1(10⎰-=423+103=. 例3 已知 I =x y x f y y d ),(d 010⎰⎰+x y x f y yd ),(d 2021⎰⎰- 改变积分次序.解 积分区域21D D D +=，其中1D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,0,10y x y 2D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,20,21y x y画出积分区域D 的图形， 改变为先对y 积分后对x 积分， 此时 D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,2,102x y x x 因此I=xy x f y yd ),(d 010⎰⎰+2xx y x f y y d ),(d 2021⎰⎰-=y y x f x x xd ),(d 2210⎰⎰- .小结 把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时，正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积分域而忘了被积函数.2． 在极坐标系下二重积分的计算 例4 计算⎰⎰σDxyd arctan，其中D 由422=+y x , 122=+y x ,0=y ,x y =所围成的第一象限内的区域.解 画出积分区域D 的图形， 由于积分区域的边界曲线有圆周， 所以选极坐标系积分. 此时 θ=xy arctan ，于是⎰⎰σDxyd arctan=⎰θ4π0d ⎰θ21d r r =⎰πθθ40d 212]2[r=234π022θ=6432π.例5 求半球体2220y x a z --≤≤在圆柱ax y x =+22(0>a )D 内那部分的体积.解 把所求立体投影到y x o 面，即圆柱ax y x =+22(0>a ）内部,容易看出所求立体的体积以D 为底，以上半球面222y x a z --=为顶的曲顶柱体的体积.由于积分区域的边界曲线为圆周，所以采用极坐标系较好.此时D ⎪⎩⎪⎨⎧θ≤≤≤θ≤-,cos 0,2π2πa r 故 V =y x y x a Dd d 222⎰⎰--=⎰-θ2π2πd ⎰θ-cos 022d a rr r a=32⎰θθ-2π033d )cos 1(a =（3π94-）3a . 小结 在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜.3．对坐标的曲线积分的计算方法 例 6 设 I =⎰--Ly y x x xy x d d )3(222 ，其中L 是沿上半圆周22y x +=1上的点A （1，0）到)0,1(-B 一段弧，如图.解一 首先验证曲线积分是否与路径无关.223xy x P -=，y x Q 2-=，因为y P ∂∂=xy 2-=xQ∂∂ ， 所以曲线积分与路径无关，可选一条简单路径，即选择线段AB 路径.θ得I =⎰--ABy y x x xy x d d )3(222 ，在线段AB 上0=y ，0d =y ，x 从1到1-，所以I =⎰-112d 3x x =113-x =2-.解二 用参数方程代入法，设t 为参数t x cos = ，t y sin =，t 从0到π 得I =⎰---π0222d ]cos sin cos )sin )(sin cos cos 3[(t t t t t t t t=⎰--π02d ]4sin 41sin cos 3[t t t t =（t 3cos +161cos4t ）π0=2-.显然，法一比法二简单.例7 计算⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( ，其中L 为),0(a A ,)0,(a B 联成直线段.解 显然积分路径不是封闭曲线，不能直接用格林公式， 加直线段BO ，OA 构成封闭曲线，所以⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =⎰++---OABO L xxy y x y y d )1cos e (d )sin (e⎰-+--BOx x y y x y y d )1cos e (d )sin e (⎰-+--Axxy y x y y 0d )1cos e (d )sin e (，其中 y y P x -=sin e ，1cos e -=y Q x ，y p ∂∂= 1cos e -y x ，xQ∂∂= y x cos e . 因为封闭曲线是反方向，所以由格林公式，得⎰++-+-OA BO L x x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =y x y P x Q D d d )(⎰⎰∂∂-∂∂-=y x Dd d ⎰⎰-=22a -. 又因为在BO 上0=y ，0=dy ，故⎰---BO x x y y x y y d )1cos e (d )sin e (=0. 在OA 上 0=x ，0d =x ，y 从0变到a ，于是⎰---Ax x y y x y y 0d )1cos e (d )sin e (=⎰-a y y 0d ]1[cos =a a -sin ，因此 ⎰---L xx y y x y y d )1c o s e (d )s i n e (=--22a （a a -sin ）. 小结 计算对坐标的曲线积分⎰+Ly y x Q x y x P d ),(d ),(，（1） 若在单连通域内 x Q ∂∂=yP ∂∂时，曲线积分与路径无关。
多元函数微积分的基本概念与运算
多元函数微积分的基本概念与运算多元函数微积分，亦称为多元微积分，是微积分学的一个分支，它涉及到多个变量的函数的微积分。
多元函数微积分在物理、工程、金融等领域中具有重要应用价值。
本篇文章将介绍多元函数微积分的基本概念与运算。
一、多元函数的概念在多元函数微积分中，我们首先需要了解的是多元函数的概念。
在数学上，多元函数可以定义为具有多个自变量的函数。
例如，二元函数f(x,y)可以表示为：f(x,y) = x^2 + y^2其中x和y为自变量，f(x,y)是因变量。
在这个函数中，我们可以通过给定x和y的值来计算出f(x,y)的值。
二、偏导数在多元函数微积分中，我们可以通过偏微分来计算多元函数的变化情况。
偏导数可以理解为多元函数在某一自变量上的变化率。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它在x处的偏导数：∂f/∂x = 2x这个结果的意义是，在x这个自变量上，当y不变时，f(x,y)在x处的变化率是2x。
同样地，我们可以计算出f在y处的偏导数：∂f/∂y = 2y三、梯度梯度是多元函数微积分中的另一个重要概念，它是一个向量，由多个偏导数组成。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它的梯度：∇f = <2x, 2y>这个梯度的意义是，在（x,y）处，f(x,y)在x方向上的变化率是2x，在y方向上的变化率是2y。
梯度的模表示函数变化率的大小，方向表示函数变化率的方向。
四、方向导数方向导数是多元函数在某一方向上的变化率。
我们通常使用单位向量来描述方向。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，在点（1,1）处，我们可以计算出它在（1,1）处沿着向量<1,1>的方向导数：Df(1,1)<1,1> = ∇f(1,1)·<1,1> = 2(1)+2(1) = 4这个结果的意义是，在（1,1）处，f(x,y)沿着向量<1,1>的方向变化率是4。
多元函数积分学课件
解析
首先将二重积分拆分为两个定积 分，然后分别进行计算。
答案
$frac{4}{9}$
答案
$-frac{1}{6}$
解析
同样拆分二重积分，然后进行计 算。
例题2
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{y}(x y)dxdy$
三重积分习题与解析
例题1
计算 $int_{0}^{1}int_{0}^{1}int_{0}^{x}xydzdxdy $
传导问题。
在几何中的应用
曲面面积和体积计算
积分可以用来计算曲面的面积和三维物体的体积，这在几何学中 非常重要。
曲线积分
在几何学中，曲线积分被用来计算曲线长度、面积和线段上的变化 量。
参数曲线和曲面
参数曲线和曲面可以用积分表示，这有助于研究几何对象的形状和 性质。
在工程中的应用
流体动力学
在航空航天、船舶和车辆设计中 ，积分被用来计算流体动力学效 应，如压力分布、速度场和流线 。
多元函数积分学课件
目 录
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的计算方法 • 多元函数积分的几何意义 • 多元函数积分的性质与定理 • 多元函数积分的应用 • 多元函数积分习题与解析
01
多元函数积分学概述
定义与性质
定义
多元函数积分学是研究多元函数的积 分及其性质的一门学科，其基础概念 包括二重积分、三重积分、曲线积分 和曲面积分等。
计算步骤
首先确定积分区域，然后选择合适的 积分次序，最后根据定积分的计算公 式进行计算。
曲线上的第一类曲线积分计算
定义
第一类曲线积分是计算曲线上的函数值 与其对应的参数的乘积的积分，即求曲 线上的一个物理量（如质量、热量等） 的分布情况。
(整理)第十一章多元函数的积分学
第十一章多元函数的积分学1. 计算下列二重积分：(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，．2 . 将二重积分化为不同顺序的累次积分：(1) 由轴与所围成；(2) 由及所围成；(3) 由和围成；(4) ．3 .改变下列累次积分的次序：(1) ；(2) ；(3) ．4 .设在所积分的区域上连续，证明．5. 计算下列二重积分：(1) ( ), 是由围成的区域；(2) 是由和围成的区域；(3) ：；(4) ：；(5) 由所围成；(6) 由所围成；(7) 是以和为顶点的三角形；(8) 由和所围成．6. 求下列二重积分：(1) ；(2) ；(3) ．7. 用极坐标变换将化为累次积分：(1) ：半圆；(2) ：半环；(3) ：圆；(4) ：正方形．8. 用极坐标变换计算下列二重积分：(1) ：；(2) 是圆的内部；(3) 由双纽线围成；(4) 由阿基米德螺线和半射线围成；(5) 由对数螺线和半射线围成．9. 在下列积分中引入新变量，将它们化为累次积分：(1) 若；(2) ( ) ，若；(3) ，其中＝，若；(4) ，其中＝( ) ，若．10 .作适当的变量代换，求下列积分：(1) 是由围成的区域；(2) 由围成；(3) 由围成．11 、利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1) ；(2) ；(3) 球面与圆柱面（）的公共部分；(4) ( ) ；(6) ；(6) ．。
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f (x, y)d = f (x, y)d f (x, y)d .
D
D1
D2
性质 4 (中值定理) 设 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续, 是区域 D 的面积，则在 D 上至少有一点
( ,) 使得下式成立 f (x, y)d f ( ,) .
D
二、在直角坐标系中计算二重积分
在直角坐标系中我们采用平行于 x轴和 y 轴的直
D
D
O
d
x
2.极坐标系下化二重积分为累次积分
设D(图 a)位于两条射线 和 之间，D的
两段边界线极坐标方程为 r r1( ),r r2 ( )
则二重积分就可化为如下的累次积分
f (x, y)d
d
r2( ) f (r cos , r sin )rdr .
r1( )
D
如果极点O在D内部(图 b),则有
D
D 的面积.
3．二重积分的性质
性质 1 常数因子可提到积分号外面，即
kf (x, y)d k f (x, y)d .
D
D
性质 2 函数和与差的积分等于各函数积分的和与
差,即
[ f (x, y) g(x, y)]d = f (x, y)d g(x, y)d .
D
D
D
性质 3 若积分区域 D 分割为 D1与 D2 两部分, 则有
x2dxdy
2π
d
2 r 2 cos2 rdr
2π cos2 d
2 r3dr
0
1
0
1
D
y
= 2π1 cos 2 d 2 r3dr 15 π.
0
2
1
4
O 1 2x
例 8 求由锥面 z 4 x2 y2 与旋转抛物面
2z x2 y2所围立体的体积(见下图). z
4
解 选用极坐标计算.
y
D
00
02
11
x(1
x2 )dx
1
x2 (
x4
)
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1.
02
22 40 8
1
D
本题若先对 x积分，解法类似.
O
x1
x
例 3 计算 2xy2dxdy ,其中 D 由抛物线 y2 x 及直
D
线 y x 2所围成.
解 画D的图形(见下图).选择先对 x积分,这
时
D的表示式为
y2
x
y
2,
1 y 2 y
数(得到一族过极点的射线)的两组曲线，将 D分成
许多小区域(见下图),于是得到了极坐标系下的面
积元素为
d rdrd .
再分别用 x r cos , y sin 代换被
积函数 f (x, y)中的 x, y,这样二重积分在
d rd
极坐标系下表达形式为
dr
f (x, y)d f (r cos , r sin )rdrd .
例 2 计算 xydxdy ,其中 D: x2 y2≤1
D
x≥0， y≥0.
解 作D 的图形(见下图).先对 y 积分(固定
x), y 的变化范围由 0 到 1 x2 ,然后再在 x 的
最大变化范围[0,1]内对 x 积分，于是得到
xydxdy
1
dx
1 x 2
xydy
1 x(1 y2)
思考题
1. 把一元定积分的数学模型推广到二维空间，可
到一个式子
D
f (x, y)d
n
lim
0 i1
f ( i ,i ) i .
你对这个式子要说些什么吗？回顾一元定积分的定义，
可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型，
被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻
炼，对微元法模型的理解会更深刻，不妨一试.
第 二 步 : 将 体 积 微 元 dV f (x, y)d
在区域 D 上无限累加(这一步记为
“ ”),则得所求曲顶柱体体积为
O
D
V f (x, y)d .
D d
D
x
y
2．二重积分的概念
设 z f (x, y) 为定义在有界闭区域D 上的连续函
数，则上述两步后所得的表达式 f (x, y)d ,即为函数
0
0
o
1x
(e-1)2.
化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：
（1）累次积分的下限必须小于上限; y
（2）用公式①或②时,要求 D 分
DⅡ
别满足:平行于 y 轴或 x 轴的直线 与 D 的边界相交不多于两点.如果
Ⅰ Ⅲ
D 不满足这个条件，则需把 D 分割
成几块(见右图),然后分块计算;
O
x
(3)一个重积分常常是既可以先对 y 积分(公式①), 又可以先对 x 积分(公式②),而这两种不同的积分次序， 往往导致计算的繁简程度差别很大,那么，该如何恰当地 选择积分次序呢?我们结合下述各例加以说明.
0
4
=4
2
4
y
x2 y
1
0
12
y3
164 x2 0
dx
=16 3
2
(4
x2
)
3
2dx
16π
.
0
y 4 y 16 4 x2
z z 4 x2 y2 4
D
O
2
x
(a)
O
2 x
(b)
4
y
三、在坐标系中计算二重积分
1. 极坐标系下的面积元素
设函数的积分区域为 D，用 r 取一系列常数
(得到一族中心在极点的同心圆)和 取一系列常
e(x2y2)dxdy =
er2 rdrd
2π
d
a er2 rdr
0
0
D
D
=
2π - 1 er2
a
d
π(1 ea2
).
0 2 0
例 7 计算 x2dxdy ,其中 D 是两圆 x2 y2 1和
D
x2 y2 4之间的环形区域.
解 作D的图形(见下图),选用极坐标，它可表示
为 1≤r ≤2,0≤ ≤2π 于是
曲顶柱体的体积
设 f (x, y)≥0,求曲顶柱体(如下图)的体积.
第一步：将区域 D 无限细分，在微小区域 d 上取
一点(x, y) ,用以 f (x, y) 为高，d 为底的平顶柱体体积
f (x, y) d 近似代替d 上的小曲顶柱体体积，即得体积
微元
dV f (x, y)d .
z z f (x,y)
从而
2 xy 2dxdy =
2
dy
y2 2xy2dx
2
1
y2
D
2 y2 (x2 ) | y 2 dy
1
2
y
O
2 ( y4 4 y3 4 y2 y6 )dy 1
1
= y5 y4 4 y3 y7 2 15 6 .
5
3
7 1 35
x y2 D
B(4,2) x y 2
x A(1, 1)
第一节 二重积分的概念与计算
一、二重积分的概念与性质
曲边梯形面积计算回顾
第一步:将[a,b] 无限细分,在微小 区间 [x, x dx]上“以直代曲”,求 得面积微元为 dA f (x)dx 这一步即局部线性化.
第二步:将微元dA 在[a,b]上无 限累积，即得面积为
A a f (x)dx . b
V [(4 x2 y2 ) 1 (x2 y2 )]dxdy
D
2
D
=
D
4
r
r2 2
rdrd
,
O
y
x
求立体在 xOy面上的投影区域
D .由
z
4 2z
x2 x2
y2 y2
,
消去 x, y 得(z 4)2 2z即z2 10z 16 0
亦即 (z 2)(z 8) 0 得 z 2, z 8(舍去)
与柱体相交得到的截面面积为 S (x)= y2(x) f (x, y)dy . y1( x)
见上页图(b),由定积分的“平行截面面积为已知,
求立体体积”的方法可知,所求曲顶柱体体积为
V
a
S(x)dx
a
[
y2(x) f (x, y)dy]dx ，
b
b y1( x)
所以
f (x, y)dxdy
因此，D 由 x2 y2 4即r 2围成.
故得
V
2π
d
2 4r r 2 r3 dr 2π 2r 2 r3 r 4 2 20 π.
0
0
2
3 80 3
说明：二重积分在两种坐标系中的计算选取适当的 坐标系对计算二重积分是至关重要的.一般说来，当积分 区域为圆形、扇形、环行区域，而被积函数中含有 x2 y2 的项时,采用极坐标计算往往比较简便.
2．试述二重积分的几何意义.
第二节 二重积分应用举例
一、平面薄板的质量 二、平面薄板的重心 三、平面薄板的转动惯量
第二节 二重积分应用举例
一、平面薄板的质量
例 1 设一薄板的占有区域为中心在原点，半径为 R的圆域，面密度为 x2 y2 ，求薄板的质量.
解 应用微元法，在圆域 D上任取一个微小区域
D
解 积分区域如图所示,在直角坐标系下
计算该积分,取d dxdy ,先对 x 积分，再对 y 积分,则 x 由0 1, y 也由0 1,于是
exydxdy
1
[
1 e x y dx]dy
00