(完整word版)判断一个图是否有环无向图有向图讲解
第七章 图论
12
7.1 图及相关概念
7.1.5 子图
Graphs
图论
定义7-1.8 给定图G1=<V1,E1>和G2=<V2,E2> ， (1)若V1V2 ，E1E2 ，则称G1为G2的子图。 (2)若V1=V2 ，E1E2 ，则称G1为G2的生成子图。
上图中G1和G2都是G的子图，
但只有G2是G的生成子图。
chapter7
18
7.1 图及相关概念
7.1.6 图的同构
Graphs
图论
【例4】 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图，则
它们之间至少有几个是同构的？ 解：由下图可知，4阶3条边非同构的无向简单图共有3个， 因此G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
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4/16/2014 5:10 PM chapter7 10
7.1 图及相关概念
7.1.3 完全图
Graphs
图论
【例2】证明在 n（n≥2 ）个人的团体中，总有两个人在 此团体中恰好有相同个数的朋友。 分析 :以结点代表人，二人若是朋友，则在结点间连上一 证明：用反证法。 条边，这样可得无向简单图G，每个人的朋友数即该结点 设 G 中各顶点的度数均不相同，则度数列为 0 ， 1 ， 2 ， …， 的度数，于是问题转化为： n 阶无向简单图 G中必有两个 n-1 ，说明图中有孤立顶点，与有 n-1 度顶点相矛盾（因 顶点的度数相同。 为是简单图），所以必有两个顶点的度数相同。
vV1
deg(v) deg(v) deg(v) 2 | E |
vV2 vV
由于 deg( v) 是偶数之和，必为偶数，
vV1
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
七章图ppt课件
有向图与无向图
在有向图中，顶点对<x, y> 是有序的。 在无向图中，顶点对(x, y)是无序的。
完全图
若有 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2 条边, 则 此图为无向完全图。
3
6
39 5 2 4
011
0 1 4
A.edge
3
0 5
9 0
2 8
6 0
用邻接矩阵表示的结构定义
const int NumVertices = 10; //顶点个数
typedef char VertexData; //顶点数据类型
typedef int EdgeData;
//边上权值类型
强连通图与强连通分量
在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj, 都存 在一条从vi到vj和从vj到vi的路径, 则称此图是 强连通图。
非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分 量。
A
H
K
BCDE
I
L MN
F
G
J
O
非连通无向FE
无向图 连通图
A
B
E
CF
有向图 强连通图
生成树
图的遍历
从图中某一顶点出发访遍图中所有的顶点， 且使每个顶点仅被访问一次，这一过程就 叫做图的遍历 (Traversing Graph)。
图中可能存在回路，且图的任一顶点都可 能与其它顶点相通，在访问完某个顶点之 后可能会沿着某些边又回到了曾经访问过 的顶点。
数学中的图论基础
数学中的图论基础大家好，今天我们要探讨的是数学中的一门有趣且重要的领域——图论。
无论你是否热爱数学，图论都有着让人着迷的魅力。
让我们一起来揭开这个神秘的数学领域的面纱吧！图论入门在数学中，图论是研究图的性质和图之间关系的学科。
什么是图呢？图由节点（顶点）和边组成，节点之间用边连接。
节点代表实体，边代表这些实体之间的关系。
图论被广泛运用于计算机科学、网络分析、电路设计等领域，可以说是应用广泛、实用性强的数学分支之一。
图的分类图按照边的性质可以分为有向图和无向图。
有向图的边有方向，表示节点之间的关系是单向的；而无向图的边则没有方向，表示节点之间的关系是双向的。
图还可以根据是否允许有环分为无环图和有环图，根据边的权重分为加权图和非加权图等等。
图的基本概念度：顶点的度是指与该顶点相关联的边的数量，分为入度和出度（有向图中）。
路径：指顶点之间沿着边依次连接形成的序列。
连通图：如果图中任意两个节点之间都存在路径，则该图是连通图。
树：是一种无环且连通的图结构。
图的应用领域图论作为一门应用广泛的数学分支，其应用领域涵盖众多领域，包括但不限于：社交网络分析：通过图模型分析社交网络中个体之间的关系。
路由算法：计算机网络中的路由算法就是基于图论来设计和优化的。
电路设计：图论在电路设计中有着重要的应用，帮助优化电路布局和连接。
城市规划：通过图模型分析城市道路网格，优化交通流。
语义分析：在自然语言处理中，图模型可以用来描述词汇之间的关系，进行语义分析。
通过以上简要介绍，我们可以看到图论作为数学中的一个重要分支，在现实生活中有着广泛的应用。
无论是计算机科学领域还是社会科学领域，图论都扮演着不可或缺的角色。
希望通过本文的介绍，大家对图论有了更深入的了解，也能对数学这门学科有更多的兴趣和探索欲望。
图论，是数学中一颗璀璨的明珠，永远闪耀着其独特的光芒，引领着我们探索数学的无尽奥秘。
图论基础知识
end;
end;
end;
End； 15
End； End；
以上dfs(i)的时间复杂度为O（n*n）。 对于一个非连通图，调用一次dfs(i)，即按深度优先顺序依次访问了顶点i所在的（强）连通分支，所以 只要在主程序中加上：for i:=1 to n do {深度优先搜索每一个未被访问过的顶点}
if not Visited（I) then dfs(i);
Begin
访问顶点i；Visited[i]:=true;顶点i入队q；
while 队列q非空 do
begin
从队列q中取出队首元素v；
for j:=1 to n do
begin
if (not Visited[j]) and (a[v,j]=1) then
begin
时间：O（n*n）
访问顶点j；Visited[j]:=true;顶点j入队q
强连通分支：一个有向图的强连通分支定义为该图的最大的强连通子图， 右图含有两个强连通分支，一个是1和2构成的一个子图，一个是3独立构 成的一个子图。
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图论算法与实现
一、图论基础知识
3、图的存储结构（n阶e条边）：
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图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 从图中某一顶点出发系统地访问图中所有顶点，使每个顶点恰好
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图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 图的宽（广）度优先遍历：类似于树的按层次遍历。从图中某个顶点V0出 发，访问此顶点，然后依次访问与V0邻接的、未被访问过的所有顶点，然 后再分别从这些顶点出发进行广度优先遍历，直到图中所有被访问过的顶 点的相邻顶点都被访问到。若此时图中还有顶点尚未被访问，则另选图中 一个未被访问过的顶点作为起点，重复上述过程，直到图中所有顶点都被 访问到为止。
图论：图的基本概念
空子集且 E1 是 E 的子集 如果 G1 是 G 的子图,则说 G 包含 G1
Tips:
1.注意，顶点集合非空
∑ 2.显然的，Kn 有
p
k(k ‒ ������)
������(������,������)·2 ������ 个子图
Tips:
1.生成子图中包含原图的所有顶点
n(������ ‒ ������)
2.显然的，Kn 有2 ������ 生成子图
表示
设 x 是 G 的一条边,则 G 的生成子图(V,E\{x})简记为 G-x(生成子
图只能去边)
如果 u 和 v 是 G 的两个不邻接的顶点,则图(V,E∪{u,v})简记成
设 G 是一个连通图，则下列命题等价： (1)G 是一个欧拉图 (2)G 的每个顶点的度都是偶数 (3)G 的边集能划分成若干互相边不相交的圈
(3)延伸---欧拉迹 1.包含图的所有顶点和边的迹称为欧拉迹 判定 图 G 有一条欧拉迹当且仅当 G 是连通的且有两个奇度顶点 2.一笔画问题 若每个顶点的度均为大于或等于 2 的偶数,图又是连通的,则这个图能 一笔画出,并且最后还能回到出发点。
(2)当 v0=vn 时，则称此通道为闭通道(回路/复杂回路) (3)在计算通道的长时，重复走过的边重复计算
(4)如果一条闭通道上的各边互不相同，则此闭通道称为闭迹(简单回
路)
(5)如果闭通道上各顶点互不相同,则称此闭通道为圈,或回路(初级回
路)
(6)可见，迹和路是通道的特例，闭迹和回路是闭通道的特例。
图 G 为偶图的充分必要条件是它的所有圈都是偶数长 6.5 欧拉图
有向图的名词解释
有向图的名词解释一、有向图的名词解释有向图是指把由几个点及其连线所构成的一种有序图形称为有向图。
有向图按其点和连线所经过的路径，分为点有向图和连通有向图；按照顶点和边的关系，可以分为单向有向图和无向有向图；按照边与顶点的数目，又可分为简单有向图和非简单有向图。
在实际应用中，若不要求一定给出有向图的具体表示方法，常采用以下命名方式。
将点和边的集合记作(1)将点和边的连接记作(2)( 3)。
例如用一个有向边围成的空间，称为一个n边有向图(n≥0)。
例如将由n个点所组成的有向图记作x0-1，也就是说x0-1是由一个顶点x的集合点(x∈{(0， 1)，(0， 2)}， n≥0)所组成的有向图。
例如在有向图中，每个顶点只出现一次，故有向图又叫一次图。
有向图是一类重要的图，例如电路网络图、运输线路图等都是有向图。
这类图具有层次清楚、网络结构简单、便于计算等优点。
有向图具有以下两个基本性质：(1)同度线必互相平行，或者至少平行的那条边平行。
(2)如果两条边不平行，则从一条边出发的直线必能到达另一条边，反之亦然。
有向图是由一些不同特征的有向子图构成的，每一个有向子图对应着一类特殊的有向图。
如在图论中可用x0-1表示x0图，也就是说， x0-1图有唯一确定的开始和结束，但没有开始和结束的图。
有向图可分为有向可连通图和有向不可连通图。
无向图就是这样的有向图。
有向图在图论中有广泛的应用。
这类图可由矩阵构成。
每一个n×n的矩阵都叫做一个n阶有向图，记作y。
因此，有向图是非空的当且仅当它的非空子集是无向图。
一个有向图x的子集f的任何一点p有且仅有一条路径不经过其余点而到达该点，即有向图x的每一点都至多有一条路径。
图的强连通性(strong connectivity)定义为存在两个不同图x与y有着不同度数的边集合，使得对任意两个点p，存在一条不同路径从p到y的p而又到x的一个点的集合。
(1)在无向图上，如果每个顶点被有向边(有向边)环绕的数目都是固定的，那么，该无向图就是简单有向图。
图论及其应用习题答案
图论及其应用习题答案图论及其应用习题答案图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图是由节点和边组成的，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论在计算机科学、电子工程、物理学等领域有着广泛的应用。
下面是一些图论习题的解答，希望对读者有所帮助。
1. 问题：给定一个无向图G，求图中的最大连通子图的节点数。
解答：最大连通子图的节点数等于图中的连通分量个数。
连通分量是指在图中，任意两个节点之间存在路径相连。
我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，统计连通分量的个数。
2. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在从节点A到节点B的路径。
解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，查找从节点A到节点B的路径。
如果能够找到一条路径，则存在从节点A到节点B的路径；否则，不存在。
3. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在环。
解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录遍历过程中的访问状态。
如果在搜索过程中遇到已经访问过的节点，则存在环；否则，不存在。
4. 问题：给定一个加权无向图G，求图中的最小生成树。
解答：最小生成树是指在无向图中，选择一部分边，使得这些边连接了图中的所有节点，并且总权重最小。
我们可以使用Prim算法或Kruskal算法来求解最小生成树。
5. 问题：给定一个有向图G，求图中的拓扑排序。
解答：拓扑排序是指将有向图中的节点线性排序，使得对于任意一条有向边(u, v)，节点u在排序中出现在节点v之前。
我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录节点的访问顺序，得到拓扑排序。
6. 问题：给定一个加权有向图G和两个节点A、B，求从节点A到节点B的最短路径。
解答：我们可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来求解从节点A到节点B的最短路径。
这些算法会根据边的权重来计算最短路径。
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一、无向图： 方法1： 如果存在回路，则必存在一个子图，是一个环路。环路中所有顶点的度>=2。 n算法：
第一步：删除所有度<=1的顶点及相关的边，并将另外与这些边相关的其它顶点的度减一。
第二步：将度数变为1的顶点排入队列，并从该队列中取出一个顶点重复步骤一。 如果最后还有未删除顶点，则存在环，否则没有环。 n算法分析： 由于有m条边，n个顶点。 i)如果m>=n，则根据图论知识可直接判断存在环路。（证明：如果没有环路，则该图必然是k棵树 k>=1。根据树的性质，边的数目m = n-k。k>=1，所以：m
ii)如果m每删除一个度为1的顶点（同时删一条边）操作一次（最多m次）。这两种操作的总数不会超过m+n。由于m 注：
该方法，算法复杂度不止O(V)，首先初始时刻统计所有顶点的度的时候，复杂度为(V + E)，即使在后来的循环中E>=V，这样算法的复杂度也只能为O(V + E)。其次，在每次循环时，删除度为1的顶点，那么就必须将与这个顶点相连的点的度减一，并且执行delete node from list[list[node]]，这里查找的复杂度为list[list[node]]的长度，只有这样才能保证当degree[i]=1时，list[i]里面只有一个点。这样最差的复杂度就为O(EV)了。
方法2：
DFS搜索图，图中的边只可能是树边或反向边，一旦发现反向边，则表明存在环。该算法的复杂度为O(V)。 方法3： 摘自：http://blog.csdn.net/lzrzhao/archive/2008/03/13/2175787.aspx PS：此方法于2011-6-12补充 假定：图顶点个数为M，边条数为E 遍历一遍，判断图分为几部分（假定为P部分，即图有 P 个连通分量） 对于每一个连通分量，如果无环则只能是树，即：边数＝结点数－1 只要有一个满足 边数 > 结点数－1 原图就有环 将P个连通分量的不等式相加，就得到： P1:E1=M1-1 P2:E2=M2-1 ... PN:EN>MN-1 所有边数(E) > 所有结点数(M) - 连通分量个数(P) 即： E + P > M 所以只要判断结果 E + P > M 就表示原图有环，否则无环.
实例代码如下： 1. #include 2. #include 3. using namespace std; 4. #define maxNum 100 //定义邻接举证的最大定点数 5. int visited[maxNum];//通过visited数组来标记这个顶点是否被访问过，0表示未被访问，1表示被访问 6. int DFS_Count;//连通部件个数，用于测试无向图是否连通，DFS_Count=1表示只有一个连通部件，所以整个无向图是连通的 7. int pre[maxNum]; 8. int post[maxNum]; 9. int point;//pre和post的值 10. 11. //图的邻接矩阵表示结构 12. typedef struct 13. { 14. char v[maxNum];//图的顶点信息 15. int e[maxNum][maxNum];//图的顶点信息 16. int vNum;//顶点个数 17. int eNum;//边的个数 18. }graph; 19. void createGraph(graph *g);//创建图g 20. void DFS(graph *g);//深度优先遍历图g 21. void dfs(graph *g,int i);//从顶点i开始深度优先遍历与其相邻的点 22. void dfs(graph *g,int i) 23. { 24. //cout<<"顶点"
注意：有向图不能使用此方法。比如1->2,1-3,2->3,4->5，如果使用上述方法会判定为含有还，但并非如此。
二、有向图： 主要有深度优先和拓扑排序2中方法 1、拓扑排序，如果能够用拓扑排序完成对图中所有节点的排序的话，就说明这个图中没有环，而如果不能完成，则说明有环。
2、可以用Strongly Connected Components来做，我们可以回忆一下强连通子图的概念，就是说对于一个图的某个子图，该子图中的任意u->v,必有v->u，则这是一个强连通子图。这个限定正好是环的概念。所以我想，通过寻找图的强连通子图的方法应该可以找出一个图中到底有没有环、有几个环。
3、就是用一个改进的DFS 刚看到这个问题的时候，我想单纯用DFS就可以解决问题了。但细想一下，是不能够的。如果题目给出的是一个无向图，那么OK，DFS是可以解决的。但无向图得不出正确结果的。比如：A->B,A->C->B,我们用DFS来处理这个图，我们会得出它有环，但其实没有。
我们可以对DFS稍加变化，来解决这个问题。解决的方法如下： 图中的一个节点，根据其C[N]的值，有三种状态： 0，此节点没有被访问过 -1，被访问过至少1次，其后代节点正在被访问中