一元二次方程的应用 教学设计

一元二次方程的应用

【教学目标】

列一元二次方程解应用题，会用一元二次方程解决最大利润问题。

【教学重点】

列一元二次方程解应用题，要正确理解题意，分析、寻找数量之间的关系，建立恰当的方程模型，将实际问题抽象成数学模型，即要先解决好数学问题。

【教学难点】

列一元二次方程解应用题，找到等量关系，建立方程解应用题。

【教学过程】

一、复习预习

方程类应用题是初中数学的重要内容，也是中考的重点和热点。近年来各地中考数学试题中，方程应用题占有相当的比重。涉及丰富的现实生活背景，重点对初中所学有关列方程（组）解应用题的知识点进行考查，考查同学们的阅读理解能力、综合分析能力、解决问题的能力，但由于同学们缺乏社会经验与生活常识，再加之有些试题中名词、术语专业性太强、阅读量大、数量关系复杂，客观上给我们解答造成了思维障碍，甚至一些同学见之望而生畏。通过本讲典例学习，你会进一步提高分析、解决问题的能力，获取解决实际问题的技巧。

一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

一般表达式：

方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

把（A 、B 、C 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。

二、知识讲解

考点/易错点1

要正确理解题意，分析、寻找数量之间的关系，建立恰当的方程模型，将实际问题抽象成数学模型，即要先解决好数学问题，再进一步解决应用问题，可应用以下一般方法：认真阅读，理解题意------抽象概括，寻找方程关系------解决数学问题------解决实际问题。

)0(02≠=++a c bx ax 02=++c bx ax

考点/易错点2

列方程（组）解应用题的基本思路：（1）审题→（2）设恰当的未知数→（3）找等量关系，列方程（组）→（4）解方程（组）→（5）检验→（6）答。

考点/易错点3

一元二次方程解应用题的步骤与以前列方程解应用题一样。其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元，直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件。方程的解必须进行实际题意的检验。

三、例题精析

【例题1】

【题干】某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

【答案】解：设每千克水果应涨价x元，

依题意得方程：（500-20x）（10+x）=6000，

整理，得x2-15x+50=0，

解这个方程，得x1=5，x2=10.

要使顾客得到实惠，应取x=5．

答：每千克水果应涨价5元。

【解析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可。

【例题2】

【题干】某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。

（1）设该经营户将每千克小型西瓜降价x元，请用代数式表示每天的销售量；

（2）若该经营户每天的房租等固定成本共24元，该经营户想要每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

【答案】

解：（1）每天的销售量为（200+），即（200+400x ）千克。（2）设应将每千克小型西瓜的售价降低y 元，根据题意，得

（3）（3-y-2）（200+400y ）-24=200，

（4）整理，得50y 2-25y+3=0，

（5）解得y=0.2或y=0.3．

（6）∵200+400×0.2＜200+400×0.3，

（7）∴y=0.2不合题意，舍去，

（8）答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元。

【解析】（1）根据每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，知每千克小型西瓜降价x

元，则每天可多售出千克；（2）根据利润=总售价-总进价-固定成本，列方程求解。

【例题3】

【题干】）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间。据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出。每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间。该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。（收益=租金-各种费用）

（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，计算能租出多少间和年收益为多少？

（2）设每间商铺的年租金定为x 万元，年收益为y 万元，求y 与x 的函数关系？

（3）为了使租户得到实惠，每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为275万元？

【答案】

解：（1）租出间数为：30-（130000-100000）÷5000=30-6=24间；

收益为：（13-1）×24-6×0.5=285万元；

（2）y=（x-1）×[30-（x-10）÷0.5]-[（x-10）÷0.5]×0.5，

=-2x 2+51x-40；

1

.040x 1

.040x

（3）275=-2x2+51x-40，

解得x1=10.5，x2=15

∵使租户得到实惠，

∴x=10.5．

【解析】

（1）租出间数=30-增加了多少个5000元，年收益=租出去的商铺的收益-未租出的商铺的

费用；

（2）年收益=租出去的商铺的收益-未租出的商铺的费用；

（3）把（2）得到的关系式中的函数值等于275计算即可。

四、课堂运用

【基础】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均

每天可多售出2件。设每件商品降价x元。据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加( )件，每件商品盈利( )元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达

到2100元？

解：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-x，故

答案为2x；50-x；

（2）由题意得：（50-x）（30+2x）=2100（4分）

化简得：x2-35x+300=0，即（x-15）（x-20）=0，

解得：x1=15，x2=20（5分）

∵该商场为了尽快减少库存，

∴降的越多，越吸引顾客，

∴选x=20，

答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元

解析：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的

盈利-降低的钱数；

（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到

合适的解即可。