勾股定理全章知识点总结大全讲课教案
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方法一：， 4S
S正方形EFGH
S正方形ABCD
4 1 ab (b a)2 2
c2 ，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 1 ab c2 2ab c2
2
大正方形面积为 S (a b)2 a2 2ab b2
a
c
cb
c
b
c
a
a
b
5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形 的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的 理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把
D C
H
E
G
F
b
a
A
c
B
其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾 股定理与勾股定理逆定理）
2．已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。
3、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。 A 四边形 ABCD 的面积。 例 2：已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边。 B
求： D
C
练习：在 ABC 中，AB=13，AC=15，高 AD=12，则 BC 的长为多少？
精品文档勾股定理全章Fra bibliotek识点总结大全一．基础知识点： 1：勾股定理
直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一， 其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC 中，C 90 ，则 c a2 b2 ，
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三 角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用
过程中易犯的主要错误。
b
a
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a，b，c 有下 列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定 理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
A aD
cb
c
E
a
B
bC
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勾股定理典型例题及专项训练 专题一：直接考查勾股定理及逆定理 例１.在 ABC 中， C 90 ． ⑴已知 AC 6 ，BC 8 ．求 AB 的长 ⑵已知 AB 17，AC 15 ，求 BC 的长分析：
练习：1、如图所示，在四边形 ABCD 中， BAD= 90 ， DBC= 90 ，AD=3，AB=4， BC=12，求 CD。
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例 3：（1）.已知 ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足 (a b)2 (b c)2 0 ，则 ABC 为
三角形
（2）.在 ABC 中，若 a 2 =（ b + c ）（ b - c ），则 ABC 是
三角形，且
90
练习：1、已知 x 12 x y 25 与 z 2 10z 25 互为相反数，试判断以 x 、 y 、 z 为三边的三角形的形状。
9,12,15；8,15,17；9,40,41；12,16,20 等
③用含字母的代数式表示 n 组勾股数： n2 1,2n,n2 1（ n 2, n 为正整数）；
2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1（ n 为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（ m n, m ，n 为正整数）
二、规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
b c2 a2 ， a c2 b2 ）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a2+b2＝c2，那么这个三角形是直 角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它 通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ABC 是以∠C 为 直角的直角三角形 （若 c2>a2+b2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若 c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。 （定理中 a ， b ， c 及 a2 b2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若 三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 c2 b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角 三角形，但是 b 为斜边） 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命 题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：
2、.若 ABC 的三边 a 、b 、c 满足条件 a 2 b2 c2 338 10a 24b 26c ，试判 断 ABC 的形状。
3.已知 a 6 2b 8 (c 10)2 0, 则以 a 、 b 、 c 为边的 三角形是 4：已知如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB= 4 3 ，AC=4，AD 是 BC 边上的高，求 BC 的长。
所以 a2 b2 c2
方法三：
S梯形
1 (a 2
b) (a
b)
，
S梯形
2SADE
SABE
2
1 ab 2
1 c2 2
，化简得证
6：勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 b2 c2 中，a ，
b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ；
勾股定理小结与复习初中数学原创课件
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
A
c
如果三角形的三边长a，b，c满足 b
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. C a B
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例4 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b， c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为 直角三角形． 【解析】要证∠C＝90°，只要证△ABC是直角三角形，并且 c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2＋b2＝c2即可．
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边 于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直 径于B点，交半圆于A点. 在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米， 所以AB2＝22－1.42＝2.04. 因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96， 所以卡车可以通过． 答：卡车可以通过，但要小心．
∴AC= AB2 BC2 =24米，
已知AD=4米，则CD=24-4=20（米）， ∵在直角△CDE中，CE为直角边，
∴CE= DE2 CD2 =15（米），
BE=15-7=8（米）．故选C．
针对训练
3.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家 具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通 过这个通道？
第十七章 勾股定理
要点梳理
一、勾股定理
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
勾股定理单元复习教案
年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：专题勾股定理章节复习目标掌握勾股定理及其逆定理重难点勾股定理的应用常考点勾股定理的计算、勾股定理的应用勾股定理知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
考点2. 勾股定理的证明【例2】如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：222a b c +=变式 如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：222a b c +=考点3 勾股定理的应用【例3】 如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域． （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？变式1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？变式2 一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？考点4. 直角三角形的判定【例4】三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a:b:c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c) D ． a:b:c =13∶5∶12 变式1 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.变式2 已知，△ABC 中，17AB cm =，16BC cm =，BC 边上的中线15AD cm =，试说明△ABC是等腰三角形．变式3 如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ， 求证：AF ⊥EF ．考点5. 勾股定理及其逆定理相关面积计算【例5】一个零件的形状如图，已知∠A=900，按规定这个零件中∠DBC 应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, BC = 12 , DC=13，问这个零件是否符合要求，并求四边形ABCD 的面积．变式1 如图示，有块绿地ABCD ，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，∠ADC=90°，求这块绿地的面积。
初中数学《勾股定理》整章教案共6个
三、例题讲解例1：如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？学生理解勾股定理的逆定理应用四、巩固新知师巡视学生做练习后评讲1、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。
2、如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
完成练习，指名回答板书五、归纳小结教师强调，今天，我们共同探究了利用勾股定理的逆定理来求角度、求边长以及生活中的实际问题，课下要反复思索理解。
学生梳理并理解勾股定理的逆定理解决实际问题六、布置作业课本P34第4、5题板书设计17.2 勾股定理的逆定理（二）1．利用勾股定理逆定理求角的度数2．利用勾股定理逆定理求线段的长3．利用勾股定理逆定理解决实际问题教学反思工作单位姓名课题第十九章《勾股定理》小结复习课时第15课时教学目标1.复习勾股定理和勾股定理的逆定理2.能进行相应的计算，并能在实际问题中应用3.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题重点难点重点：能熟练运用勾股定理进行计算和证明。
难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教法学法归纳法教学准备多媒体课件教学步骤教师活动学生活动二次备课一、导入新课问题 1 如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数学联想？学生回答问题，叙述勾股定理及其逆定理二、巩固旧知一、理清脉络、构建框架知识1：已知两边求第三边知识2：利用方程求线段长知识3：判断一个三角形是否是直角三角形学生按知识点回顾知识，点名回答问题。
新人教版第十七章勾股定理教案
新人教版第十七章勾股定理教案第十七章勾股定理第1课时勾股定理(1)教学目标：1.知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能够应用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
2.过程与方法：通过观察、猜想、归纳、验证的数学发现过程，发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想。
3.情感态度与价值观：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐。
教学重点：知道勾股定理的结果，并能运用于解题。
教学难点：进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
教学准备：彩色粉笔、三角尺、图片、四个全等的直角三角形。
教学过程：一、课堂导入2002年世界数学家大会在我国北京召开，出示了本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。
今天我们就来一同探索勾股定理。
二、合作探究让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
这个事实是我国古代3000多年前有一个叫XXX的人发现的。
他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
讨论：32+42与52有何关系？52+122和132有何关系？通过计算得到32+42=52，52+122=132，于是有勾2+股2=弦2.那么对于任意的直角三角形也有这个性质吗？用四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，其等量关系为：4S△+S小正=S大正，即4×ab＋（b－a）2=c2，化简可得a2+b2=c2.三、证明定理勾股定理的证明方法达300余种。
下面这个古老的精彩的证法出自我国古代无名数学家之手。
已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
十八章勾股定理全章教案
第十八章勾股定理18.1 勾股定理课时安排: 4课时第1课时 18.1 .1 勾股定理(1)三维目标一、知识与技能让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．二、过程与方法1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．三、情感态度与价值观1．培养学生积极参与、合作交流的意识，2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．教学重点探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。
从而发现勾股定理．教学难点以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．教具准备学生准备若干张方格纸。
教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗?问题2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火?问题3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么童义?为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽?二．实际操作，探索直角三角形的三边关系活动2问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么?是否也和大哲学家有同样的发现呢?问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗?问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗?观察下图，并回答问题：(1)观察图1正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________个单位面积；正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________个单位面积；正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________个单位面积．(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?你是如何得到上述结果的?与同伴交流．(3)?活动3问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗?如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．)问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗?我们通过对A、B、C，A'、B'、C'几个正方形面积关系的分析可知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方，一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论?我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0,5，1.2的直角三角形来进行验证．生：也有上述结论．这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．勾股定理到底是谁最先发现的呢?我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．三、例题剖析活动4问题：(1)如下图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?(2)求斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积．解：(1)解：由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：92＋122＝15(m)；15＋9＝24(m)，所以旗杆折断之前高为24m．(2)解：另一直角边的长为172－152＝8(cm)，所以此直角三角形的面积为12×8×15＝60(cm2)．师：你能用直角三角形的三边关系解答活动1中的问题2．请同学们在小组内讨论完成．四、课时小结1．掌握勾股定理及其应用；2．会构造直角三角形，利用勾股定理解简单应用题．五.布置作业六．板书设计18．1．1勾股定理（1）第2课时勾股定理（2）三维目标一、知识与技能1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．2．运用勾股定理解决一些实际问题．二、过程与方法1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．三、情感态度与价值观1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．教学重点经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．教学难点经历用不同的拼图方法证明勾股定理．教具准备每个学生准备一张硬纸板．教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式(a＋b(a－b)＝a2－b2，完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导．如下：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2；所以(a±b)2＝a2±2ab＋b2；生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．例如：图(1)中，阴影部分的面积为a2－b2，用剪刀将(1)中的长和宽分别为(a－b)和b的长方形剪下来拼接成图(2)的形式便可得图(2)中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)．而这两部分面积是相等的，因此(a＋b)(a－b)＝a2－b2成立．生：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图(3)我们用两个边长分别a和b的正方形，两个长和宽分别a和b的长方形拼成一个边长为(a＋b)的正方形，因此这个正方形的面积为(a＋b)2，也可以表示为a2＋2ab＋b2，所以可得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．师：你能用类似的方法证明上一节猜想出的命题吗?二、探索研究活动2我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：(1)在一张纸上画4个与图(4)全等的直角三角形，并把它们剪下来．(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗?(3)有人利用图(4)这4个直角三角形拼出了图(5)，你能用两种方法表示大正方形的面积吗?大正方形的面积可以表示为：_______________，又可以表示为________________．对比两种衷示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗?生：我也拼出了图(5)，而且图(5)用两种方法表示大正方形的面积分别为(a＋b)2或4× ab＋c2．由此可得(a＋b)2＝4×12 ab＋c2．化简得a2＋b2＝c2．由于图(4)的直角三角形是任意的，因此a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理全章教案
17.1勾股定理（1）一、教学目标：1．体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。
2．在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力。
3．通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。
二、教学重点、难点：重点：探索和验证勾股定理过程； 难点：通过面积计算探索勾股定理。
三、教学方法及教学手段：采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。
四、教学过程：1．创设情境，导入课题多媒体演示勾股树图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题。
2．自主探索，合作交流 活动一：动脑想一想小明用一边长为cm 1的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？①这个问题你是怎样想的？请说出你的想法。
②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为cm 1），你能知道斜边的长吗？③观察图形，并填空：⑴正方形P 的面积为2cm ， 正方形Q 的面积为2cm ， 正方形R 的面积为2cm 。
⑵你能发现图中正方形P 、Q 、R 的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？活动二：动手做一做其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向） （图中每一小方格表示21cm ）⑴正方形P 的面积为2cm ，正方形Q 的面积为2cm ， 正方形R 的面积为2cm 。
⑵正方形P 、Q 、R 的面积之间的关系 是什么？⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P 、Q 、R 的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流。
第十七章勾股定理知识归纳总结(教案)
-突破方法：利用实物模型或计算机软件进行三维展示，帮助学生建立空间观念。
本节课的难点与重点是紧密联系的，教学过程中需针对这些难点进行深入讲解和反复练习，确保学生能够透彻理解并掌握勾股定理的精髓和应用。通过具体的例子和多样的教学方法，帮助学生克服难点，提升解题能力。
在实践活动和小组讨论中，我观察到学生们在合作解决问题时表现得非常积极。他们不仅能够运用勾股定理来解决实际问题，还能够将其与其他数学知识结合起来，这显示了他们良好的知识整合能力。但同时，我也注意到有些学生在将理论应用到具体问题中时还存在困难，这需要我在今后的教学中进一步关注和指导。
我也注意到，在小组讨论时，有些学生不够积极，可能是由于害羞或是不够自信。我会在接下来的课程中，更加注重鼓励这些学生发表自己的观点，增强他们的自信心和参与感。
第十七章勾股定理知识归纳总结（教案）
一、教学内容
第十七章勾股定理知识归纳总结
1.勾股定理的概念及表述
-直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的证明
-平面几何法
-代数法
-欧几里得证法
3.勾股定理的应用
-求直角三角形的边长
-计算平面图形的面积
-解决实际问题
4.勾股数及勾股数列
-勾股数的定义及性质
。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过勾股定理的证明过程，使学生掌握严密的逻辑推理方法，提高分析问题和解决问题的能力。
2.强化数学建模素养：引导学生运用勾股定理解决实际问题，建立数学模型，培养学生将现实问题转化为数学问题的生建立空间观念，提高空间想象力和几何直观。
勾股定理全章教案 人教版优秀教案.docx
第十八章勾股定理. 勾股定理（一）―、教学目标.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点.重点：勾股定理的内容及证明。
.难点：勾股定理的证明。
三、例题的意图分析例（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维, 锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
进一步让学生确信勾股定理的正确性。
四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为和的直角△,用刻度尺量出的长。
以上这个事实是我国古代多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角, 两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是，长的直角边（股）的长是，那么斜边（弦）再画的长是。
一个两直角边为和的直角八，用刻度尺量的长。
你是否发现与的关系，和的关系，即，，那么就有勾股弦。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例（补充）已知：在△中，Z°, Z, /、Z的对边为、、。
求证：+。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：△小正大正X-+ （-）,化简可证。
2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》复习教案
第17章勾股定理全章复习教学目标：1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。
教学过程：(一)知识结构图：见PPT(二)基础知识：1.勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a2 + b2 = c2几何语言：在Rt △ABC 中, ∠C=90°∴a2+b2=c2练习：1.求出下列直角三角形中未知的边．2.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X=3. 三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC8A 15B 30° 2C B A 2 45° A CB2 .勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形 几何语言： 在△ABC 中,∵a2+b2=c2∴ △ABC 是直角三角形，∠C=90°互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.基础练习二：1．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( )A 5，12，13B 2，3，3C 4，7，5D 1， 2 ， 52.若△ABC 中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,求AC 边上的高.三、典例分析：例1、如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD 的面积变式 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
121334归纳： 转化思想例2、下图是学校的旗杆,小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮他D BA C归纳： 方程思想 例3、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
人教版八下数学17.1 课时1 勾股定理教案+学案
人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理教案【教学目标】1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．.【教学重点】1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.【教学难点】了解利用拼图验证勾股定理的方法．【教学过程设计】一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究知识点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理例1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用例2在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC 的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理的证明例3探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )，整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．知识点二：勾股定理与图形的面积例4 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．【板书设计】17.1 勾股定理课时1 勾股定理1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．【教学反思】在课堂教学中应注意调动学生学习数学的积极性．让学生满怀激情地投入到数学学习中，提高数学课堂教学效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理学案【学习目标】1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；2.会用勾股定理进行简单的计算.【学习重点】掌握用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.【学习难点】能够运用勾股定理进行有关的运算．【自主学习】一、知识回顾网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢？AB CCBA方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：S c=__________________________;右图：S c=__________________________.方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：S c=__________________________;右图：S c=__________________________.二、合作探究考点1：勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A，B和C面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？2.右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)4.正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.证法利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”＝________，证明：∵S大正方形S小正方形＝________,S大正方形＝___·S三角形＋S小正方形，∴________=________+__________.要点归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形：222222, ，=+--.a cb bc a c a b知识点2：利用勾股定理进行计算【典例探究】例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.变式题1 在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.变式题2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．【跟踪训练】求下列图中未知数x、y的值：三、知识梳理内容勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.注意1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c22. 如图，Rt△ABC（∠C=90°）的主要性质：（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：____________________.（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：_________.3.如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么_________.4. 右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.5.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c=_______.（2）若c=13，b=12，则a=_______.6.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.7.如图所示，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6，则正方形A，B的面积的和为_______.8.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.9.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．10.如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。