【精品】2015学年福建省宁德市五校联考高二上学期期中数学试卷和解析(文科)
2023年福建省宁德市部分达标中学高二上学期期中联合考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，则直线AB 的倾斜角是( )2023年福建省宁德市部分达标中学高二上学期期中联合考试数学试题A. B.C.D. 2.设为等差数列的前n 项和，已知，，则( )A. 3 B. 4C. 5D. 63.某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为( )A. B. C.D. 4.已知椭圆C ：的离心率为，且点在椭圆C 上，则该椭圆的短轴长为( )A. 1 B.C. 2D.5.已知直线，直线的法向量与直线的方向向量互相平行，则( )A.B. 8C.D. 26.已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上任意一点，若是与的等差中项，则此椭圆的标准方程为( )A.B.C. D.7.苏州有很多圆拱的悬索拱桥如寒山桥，经测得某圆拱索桥如图的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是米注意：( )A. B. C. D.8.已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线：，：，：不能围成三角形，则实数a的取值可能为( )A. 1B.C.D.10.下列命题正确的有( )A. 直线恒过定点B.已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为C. 圆与圆恰有三条公切线，则D. 已知点分别为圆与直线上的动点，则的最小值为11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上，若是直角三角形，则的面积可能为( )A. 5B. 4C.D.12.下列结论成立的有( )A.若是等差数列，且，，则B.C. 数列的通项公式为，则前99项和D. 若两个等差数列、的前n项和、且，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【精品】2016学年福建省宁德市部分一级达标中学高二上学期期中数学试卷和解析(文科)
2015-2016学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式x2+2x﹣3≤0的解集为（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，1]D．[1，3]2．（5分）若a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．B．ac＞bd C．a2+c2＞b2+d2 D．a+c＞b+d3．（5分）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3=7﹣a2，则S4=（）A．15 B．14 C．13 D．124．（5分）在△ABC中，，则a等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值（）A．6 B．C．﹣1 D．6．（5分）已知正项等比数列{a n}，且a2a10=2a52，a3=1，则a4=（）A．B．C．D．27．（5分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列，边a，b，c成等比数列，则sinA•sinC的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=9，S5=35，则使S n取最大值的n的值为（）A．8 B．10 C．9或10 D．8和910．（5分）已知a＞0，b＞0，且，则a+4b的最小值为（）A．4 B．9 C．10 D．1211．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．12．（5分）数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，则等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．（5分）不等式的解集是．14．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=（﹣1）n（2n﹣1），则a1+a2+…+a10=．}满足a1=1，=3，则数列{a n}的通项公式为15．（5分）已知数列{aa n=．16．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD=4，AB=5，AD⊥CD，cos∠ADB=，∠DCB=135°，则BC=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若b2+c2=a2+bc，求角A的大小；（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．18．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}，若a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2n，求数列{a n+b n}的前n项和S n．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=2csinA．（1）求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=2，且a+b=3，求△ABC的面积．20．（12分）已知f（x）=kx+b的图象过点（2，1），且b2﹣6b+9≤0（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式x2﹣（a2+a+1）x+a3+3＜f（x）．21．（12分）某工厂引入一条生产线，投人资金250万元，每生产x千件，需另投入成本w（x），当年产量不足80干件时，w（x）=x2+10x（万元），当年产量不小于80千件时，w（x）=51x+﹣1450（万元），当每件商品售价为500元时，该厂产品全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）与年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年产量为多少千件时该厂的利润最大．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）不等式x2+2x﹣3≤0的解集为（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，1]D．[1，3]【解答】解：不等式x2+2x﹣3≤0可化为（x+3）（x﹣1）≤0，该不等式对应方程的两个实数根为﹣3和1，所以该不等式的解集为[﹣3，1]．故选：C．2．（5分）若a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．B．ac＞bd C．a2+c2＞b2+d2 D．a+c＞b+d【解答】解：∵a＞b，c＞d，∴设a=1，b=﹣1，c=﹣2，d=﹣5分别代入选项A、B、C均不符合，故A、B、C均错，而选项D正确，故选：D．3．（5分）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3=7﹣a2，则S4=（）A．15 B．14 C．13 D．12【解答】解：由题意可知a3=7﹣a2，a3+a2=7，S4=a1+a2+a3+a4=2（a3+a2）=14．故选：B．4．（5分）在△ABC中，，则a等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：a===．故选：D．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值（）A．6 B．C．﹣1 D．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=3x﹣y得y=3x﹣z，显然直线过（2，0）时z最大，z的最大值是：6，故选：A．6．（5分）已知正项等比数列{a n}，且a2a10=2a52，a3=1，则a4=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵正项等比数列{a n}，且a2a10=2a52，a3=1，∴，且q＞0，解得，q=，a4==．故选：C．7．（5分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°=OC2，即，150 2+1002﹣2×150×100×=r2，解得r=50（米）．故选：B．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列，边a，b，c成等比数列，则sinA•sinC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC中，A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，…（6分）又b2=ac，由正弦定理得sinAsinC=sin2B=…（12分）另解：b2=ac，=cosB==，…（6分）由此得a2+c2﹣ac=ac，得a=c，所以A=B=C，sinAsinC=．故选：A．9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=9，S5=35，则使S n取最大值的n的值为（）A．8 B．10 C．9或10 D．8和9【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=9，S5=35，∴，解得d=﹣1，∴S n==﹣（n2﹣19n）=﹣（）2+，∴使S n取最大值的n的值为9或10．故选：C．10．（5分）已知a＞0，b＞0，且，则a+4b的最小值为（）A．4 B．9 C．10 D．12【解答】解：∵a＞0，b＞0，且，∴a+4b=（a+4b）（+）=5++≥5+2=9，当且仅当=即a=3且b=时取等号．故选：B．11．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．【解答】解：==2∴a=2sinAA+C=180°﹣45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A≤45°，则C≥90°，这样A+B＞180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以＜sinA＜1a=2sinA所以2＜a＜2故选：C．12．（5分）数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，∴a n﹣a n=1+n，+1∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=．∴=．则=2++…+=2=．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．（5分）不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式，即（x﹣3）（x+2）＞0，求得x＜﹣2，或x＞3，故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．14．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=（﹣1）n（2n﹣1），则a1+a2+…+a10= 10．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式为，∴a1+a2+…+a10=﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣13+15﹣17+19=2+2+2+2+2=10．故答案为：10．}满足a1=1，=3，则数列{a n}的通项公式为15．（5分）已知数列{aa n=（3n﹣2）2．【解答】解：∵a 1=1，=3，∴数列{}是首项为1、公差为3的等差数列，∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴a n=（3n﹣2）2，故答案为：（3n﹣2）2．16．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD=4，AB=5，AD⊥CD，cos∠ADB=，∠DCB=135°，则BC=．【解答】解：∵cos∠ADB=，∴=，解得BD=6，∵AD⊥CD，∴sin∠BDC=cos∠ADB=，在△BCD中，由=得：==6，∴BC=．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若b2+c2=a2+bc，求角A的大小；（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）∵由已知得cosA===，…（3分）又∵∠A是△ABC的内角，∴A=．…（5分）（Ⅱ）在△ABC中，由acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB，…（6分）∴sin2A=sin2B．…（7分）∴2A=2B或2A+2B=π．…（9分）∴A=B或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．…（10分）18．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}，若a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2n，求数列{a n+b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）依题意可知，a2=1+d，a5=1+4d，∵a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1+4d，即d2=2d，解得：d=2或d=0（舍），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）可知等差数列{a n}的前n项和P n==n2，∵b n=2n，∴数列{b n}的前n项和Q n==2n+1﹣2，∴S n=n2+2n+1﹣2．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=2csinA．（1）求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=2，且a+b=3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵由正弦定理可得2sinCsinA=sinA，sinA≠0，即有sinC=，∴由C∈（0，π），则C=或．（2）∵△ABC为锐角三角形，∴C=，c=2，且a+b=3，∴由余弦定理可得：4=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=9﹣3ab，解得：ab=，∴absinC=×=．20．（12分）已知f（x）=kx+b的图象过点（2，1），且b2﹣6b+9≤0（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式x2﹣（a2+a+1）x+a3+3＜f（x）．【解答】解：（1）∵f（x）=kx+b的图象过点（2，1），且b2﹣6b+9≤0，∴，解得b=3，k=﹣1．∴f（x）=﹣x+3．（2）∵a＞0，x2﹣（a2+a+1）x+a3+3＜f（x），∴﹣x+3＞x2﹣（a2+a+1）x+a3+3，∴x2﹣（a2+a）x+a3＜0，解方程x2﹣（a2+a）x+a3=0，得x1=a，，当0＜a＜1时，原不等式的解集为：{x|a2＜x＜a}；当a=1时，原不等式的解集为：{x|x≠1}；当a＞1时，原不等式的解集为：{x|a＜x＜a2}．21．（12分）某工厂引入一条生产线，投人资金250万元，每生产x千件，需另投入成本w（x），当年产量不足80干件时，w（x）=x2+10x（万元），当年产量不小于80千件时，w（x）=51x+﹣1450（万元），当每件商品售价为500元时，该厂产品全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）与年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年产量为多少千件时该厂的利润最大．【解答】解：（Ⅰ）当每件商品售价为0.05万元时，x千件销售额0.05×1000x=50x （万元）当0＜x＜80时，L（x）=50x﹣（x2+10x）﹣250=﹣x2+40x﹣250；当x≥80时，L（x）=50x﹣（51x+﹣1450）﹣250=1200﹣（x+）；故L（x）=；（Ⅱ）当0＜x＜80时，L（x）=﹣x2+40x﹣250；当x=60时，L（x）有最大值为950；当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）；当且仅当x=，即x=100时，L（x）有最大值为1000；∴年产量为100千件时该厂的利润最大．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n+1）]=3n，又∵S1=+=3满足上式，∴a n=3n；（2）由（1）可知T n==，∵T1==9，T2==，T3==，T4==，=﹣=＞0，即T n≤且当n≥4时，T n﹣T n+1T4=，∴当n=2或3时，T n取最大值为，∴m≥．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
福建省宁德市福宁古五校教学联合体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷(解析)
福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学试题（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.已知集合{}30,21x M x Q x x x ⎧⎫-=≤=∈≤⎨⎬+⎩⎭N ，则M Q ⋂=（）A.{}0,1,2 B.[]0,2C.(]2,2- D.{}1,2【答案】A 【解析】【分析】通过解不等式求出,M N 的元素，进而利用集合的交集运算即可求解.【详解】不等式301x x -≤+的解集等价于不等式组()()31010x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩的解集，即131x x -≤≤⎧⎨≠-⎩，得13x -<≤，又2x ≤，解得22x -≤≤，于是{}30131x M xx x x ⎧⎫-=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭，{}{}{}2220,1,2Q x x x x =∈≤=∈-≤≤=N N ，则{}0,1,2M Q ⋂=.2.某一物质在特殊环境下的温度变化满足：1015lnw w T w w -=-（T 为时间，单位为0min,w 为特殊环境温度，1w 为该物质在特殊环境下的初始温度，w 为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min ，该物质的温度最接近（参考数据：e 2.72≈）（）A.54℃B.52℃C.50℃D.48℃【答案】C 【解析】【分析】由题意得到100201515ln20w -=-，进而求解即可.【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min 代入题中式子得：100201515ln20w -=-，即80e 20w =-，即8080202049.41e 2.72w =+≈+≈.故选：C.3.在ABC V 中，已知tan tan A,B 是关于x 的方程2670x x -+=的两个实根，则角C 的大小为（）A.3π4B.2π3C.π3D.π4【答案】D 【解析】【分析】利用韦达定理结合两角和的正切公式求出()tan A B +的值，根据诱导公式得出tan C ，即可求得C 角的值.【详解】由题意，tan tan 6,tan tan 7A B A B +=⋅=，所以()tan tan 6tan 11tan tan 17A B A B A B ++===--⋅-，由()()tan tan πtan A B C C +=-=-，故tan 1C =，又0πC <<，所以π4C =.故选：D4.对任意实数()2,x ∈+∞,“4a x x<+”是“4a ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】我们需要先求出4y x x=+在(2,)+∞上的取值范围，再根据充分必要条件的定义来判断.【详解】对于函数4y x x=+，根据均值不等式a b +≥a b =时取等号），则44y x x =+≥=.当4x x =即2x =时取等号，但是(2,)x ∈+∞，所以44y x x =+>判断充分性:若4a x x <+，因为(2,)x ∈+∞时44x x+>，那么4a ≤，所以充分性成立.判断必要性:若4a ≤，当(2,)x ∈+∞时44x x+>，显然4a x x <+，所以必要性成立.所以“4a x x<+”是“4a ≤”的充要条件.故选：C.5.函数221sin ln x y x x+=-⋅的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊函数值验证求解.【详解】函数221sin ln x y x x+=-⋅的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，()()()()()222211sin ln sin ln x x f x x x f x xx -++-=--⋅=⋅=--，则函数为奇函数，排除选项A 和B ；当πx =时，函数值为0，取2π4ln 102πf ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除选项D ,故选：C.6.已知函数()332e e 1xxf x x x -=-+-+，若()()2232f a f a -+≥，则实数a 的取值范围为（）A.(],1-∞B.[]3,1-C.(][),13,-∞-+∞ D.(][),31,-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由导数确定函数的单调性，然后确定()2()f x f x -=-，利用此性质化简不等式为12()()f x f x ³形式，再由单调性求解．【详解】由已知222()92e e 9290x x f x x x x -'=-++≥-+=≥，当且仅当0x =时等号成立，所以()f x 是R 上的增函数，又2()33e e 1x x f x x x --=-++-+2()f x =-，所以不等式()()2232f a f a-+≥化为2()2(23)(32)f a f a f a ≥--=-，所以232a a ≥-，解得1a ≥或3a ≤-．故选：D ．7.已知1215sin ,ln ,223a b c -===，则（）A.c b a <<B.a b c <<C.a c b <<D.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】利用()()21sin 0,1ln 1x x x x x x x -<>-≥≥+计算即可.【详解】令()()()()()21sin 0,1ln ,ln 1x f x x x x g x x x h x x x -=->=--=-+，则()()()()()()22211141cos 0,,011x x f x x g x h x x x x x x --'=-≥===+''≥+，显然01x <<时()0g x '<，1x >时()0g x '>，所以()(),f x h x 在0,+∞上单调递增，()g x 在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以()()()()0sin ,101ln f x f x x g x g x x >⇒<≥=⇒-≥（1x =时取得等号），()()()()21101ln 1x h x h x x x -≥=≥⇒≥+（1x =时取得等号），故52111523sin ln 52233213⎛⎫- ⎪⎝⎭<=<<<+，即a b c <<.故选：B8.已知函数()2e ln xf x x x x a x =---，若对任意的0x >，都有()1f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.[]4,4- B.[]3,3-C.[]22-,D.[]1,1-【答案】D 【解析】【分析】利用同构分离参数，构造函数证明e 1x x ≥+得出()2ln e 2ln 10x x x x x+-+-≥即可计算参数范围.【详解】()()2ln 1,e2ln 1x xf x x x x a x +≥∴-++-≥ ，即()2ln e 2ln 11x x x x a x+-+--≤，令()()e 1e 1xxg x x g x =--⇒=-'，显然0x >时()0g x '>，0x <时()0g x '<，即()g x 在0,+∞上单调递增，在(),0∞-上单调递减，所以()()00g x g ≥=，则()2ln e 1,e 2ln 10xx xx x x +≥+∴-+-≥，又()2ln 2ln 10,0x x e x x x x+-+->∴≥ ，当且仅当2ln 0x x +=时，等号成立．()2ln min2ln 10,10,11x x e x x a a x +⎛⎫-+-∴=∴-≤∴-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭．故选：D ．【点睛】思路点睛：对于指对结合的复杂函数，有时利用同构思想处理比较方便，通过常用的函数放缩计算参数范围即可.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知三次函数()fx 的图象如图，则下列说法正确的是（）A.()()()Δ01Δ1lim 1Δx f x f f x→+-=-' B.()()23f f '<'C.0f= D.()0xf x '>的解集为()(),10,1∞--⋃【答案】ACD 【解析】【分析】设()32f x bx cx dx e =+++，分析可知()f x 的极值点为1、1-，以及()f x 为奇函数，可求得0c e ==，3d b =-，根据函数()f x 的单调性可得出0b <，逐项分析可得出合适的选项.【详解】由图可知，三次函数()f x 为奇函数，且()f x 的极值点为1、1-，设()32f x bx cx dx e =+++，则()00f e ==，可得()32f x bx cx dx =++，由奇函数的定义可得−=−，即()()()3232b x c x d x bx cx dx ⋅-+⋅-+⋅-=---，所以0c =，可得()3f x bx dx =+，则()23f x bx d '=+，由题意可得()130f b d '=+=，可得3d b =-，则()233f x bx b '=-，由图可知，函数()f x 的单调递增区间为−1,1，故不等式()2330f x bx b -'=>的解集为−1,1，所以0b <，对于A 选项，由题意可知，()()110f f '-'==，由导数的定义可得()()()()Δ01Δ1lim11Δx f x f f f x→+-=''=-，故A 正确；对于B 选项，()21239f b b b -'==，()327324f b b b =-='，由0b <，924b b >，所以()()23f f '>'，故B 错误；对于C 选项，()33f x bx bx =-，所以0f=-=，故C 正确；对于D 选项，由()()()()2313110xf x x b x bx x x '=⋅-=-+>，可得()()110x x x -+<，解得1x <-或01x <<，因此，不等式()0xf x '>的解集为()(),10,1∞--⋃，故D 正确.故选：ACD10.已知函数()()ππ2cos 2,2sin 236f x x g x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.()f x 与()g x 的图象有相同的对称中心B.()f x 与()g x 的图象关于x 轴对称C.()f x 与()g x 的图象关于y 轴对称D.()()f x g x ≥的解集为()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】ABD 【解析】【分析】根据诱导公式先得出()()g x f x =-，再利用三角函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】()()πππ2sin 22cos 2323g x x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()f x 与()g x 的图象关于x 轴对称，令ππππ2π32122k x k x +=+⇒=+，且有相同的对称中心()ππ,0Z 122k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，故A 、B 正确，C 错误；由不等式()()()π20cos 203f x g x f x x ⎛⎫≥⇒≥⇒+≥ ⎪⎝⎭，令()πππ5ππ2π22ππ,πZ 2321212k x k x k k k ⎡⎤+≥+≥-+⇒∈-++∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ABD11.已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f ≠，若()()()f x y f x f y xy +-=-，则（）A.()00f =B.()f x 关于()1,0-中心对称C.()e xf x > D.函数()y xf x =-有最大值【答案】BD 【解析】【分析】利用赋值法及抽象函数的性质一一判定即可.【详解】令0,1x y ==，则()()()1010f f f -⋅=，又()()10,01f f ≠∴=，故A 错误；令1,1x y ==-，则()()()()()0111,110f f f f f -⋅-=∴⋅-=，又()10f ≠，()10f ∴-=，再令()()()()1,11,1y f x f x f x f x x =---⋅-=∴-=，()()1,f x x f x ∴=+∴的图象关于()1,0-中心对称，故B 正确；由B 得()1f x x =+，当0x =时，1x e x =+，故C 错误；由B 得()()21,f x x y xf x x x =+=-=--，在12x =-时取到最大值，故D 正确．【点睛】方法点睛：对于抽象问题利用赋值法是常用方法，结合B 的结论确定函数解析式即可判定C 、D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分12.已知复数z 满足()34i 5i z -=，则z =______．【答案】1【解析】【分析】利用复数的除法运算，共轭复数的定义及模长公式计算即可.【详解】由()()()()5i 34i 5i 3434i 5i i 34i 34i 34i 55z z +-=⇒===---+，则1z z ===.故答案为：113.已知,,20,1a b a b a b ∈>>+=R ，则112a b b+-的最小值为______．【答案】4+【解析】【分析】凑配出积的定值，再由基本不等式得最小值．【详解】因为20a b >>，1a b +=，所以111132()(23)44222b a ba b b a b b a b b a b b-+=+-+=++≥+---，当且仅当322b a b a b b -=-，即33,66a b +-==时等号成立，故答案为：4+．14.已知()()()eln e ,xxf x ax ag x x=-∈=R ，若函数()()y f g x a =-恰有三个零点，则a 的取值范围为______．【答案】e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】先通过导数研究()g x 的单调性与最值，结合换元法将问题化为()e 1ta t =+的零点问题，根据导数的几何意义计算参数即可.【详解】设()g x t =，则()f t a =，()21ln e 0xg x x -'=⋅=，得e x =，当()()()0,e ,0,x g x g x >'∈单调递增，当()()()e,0,x g x g x '∈+∞<,单调递减，当e x =时，函数()g x 取得最大值1，如图1，画出函数()t x g =的图象，由()f t a =，即e t at a -=，则()()e 1,1ta t y a t =+=+恒过点()1,0-，如图，画出函数e t y =的图象，设过点()1,0-的切线与e t y =相切于点()00,e tt ，则00e e 1t t t =+，得00t =，即切点()0,1，所以切线方程为1y x =+，如图2，则()1y a t =+与e t y =有2个交点，1a >，如图可知，若函数()()y f g x a =+恰有三个零点，则110t -<<，201t <<，则()le 11a >+，所以e 2a <，综上可知，e 12a <<．故答案为：e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点问题，通常利用换元法与数形结合的思想.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()1e 1x f x a =++为R 上的奇函数．（1）求a ；（2）若函数()()()2e 12xg x f x x =++，讨论()g x 的极值．。
数学-高二-福建省宁德市民族中学等五校高二上期中联考数学理试卷
2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．1．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．B．|a|＞|b|C．a2＞b2D．a3＞b32．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形个数为（）A．0 B．1 C．2 D．以上都不对3．数列{a n}的首项a1=1，a n+1=a n+2n，则a5=（）A．B．20 C．21 D．314．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=4，面积为，则c的长度为（）A．4 B．C．8 D．5．在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78，则此数列前12项和等于（）A．96 B．108 C．204 D．2166．在△ABC中，若2cosCsinA=sinB，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形7．设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则+的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．8．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若=4，则=（）A．3 B．4 C．D．139．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB=2sinC，a2﹣c2=3bc，则A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知在S n中有S17＜0，S18＞0，那么S n中最小的是（）A．S10B．S9C．S8D．S711．已知点P（x，y）的坐标满足条件，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，则k的值为（）A．B．C．﹣6 D．612．如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A，B，C三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（）A．B．C． D．π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．不等式的解集为．14．对任意实数x，不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是．15．台风“海马”以25km/h的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C 点，这时观测站与台风中心的距离AC等于km．16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2016项的值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2csinA=a．（1）求角C的大小；（2）若c=2，a2+b2=6，求△ABC的面积．18．（12分）已知f（x）=x2﹣（a+b）x+3a．（1）若不等式f（x）≤0的解集为，求实数a，b的值；（2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．19．（12分）已知等差数列{a n}的首项和公差都为2，且a1、a8分别为等比数列{b n}的第一、第四项．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，求{c n}的前n项和S n．20．（12分）某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？21．（12分）在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=．（1）若cos∠ADC=，求AB的值；（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且2S n=a n+1+2n．（1）求a2；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）令b n=（2n﹣1）（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和T n．2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．1．（2016秋•福鼎市期中）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．B．|a|＞|b|C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；简易逻辑；不等式．【分析】举出反例，可分析出A，B，C错误，由幂函数的单调性，可判断D正确【解答】解：若a＞0＞b，则，故A错误；若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误；若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a2＞b2，故C错误；函数y=x3在R上为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故D正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．2．（2016秋•福鼎市期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形个数为（）A．0 B．1 C．2 D．以上都不对【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】根据正弦定理求出B，然后进行判断即可．【解答】解：∵a=3，，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB===1，∴B=90°，即满足条件的三角形个数为1个．故选：B．【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．3．（2016秋•福鼎市期中）数列{a n}的首项a1=1，a n+1=a n+2n，则a5=（）A．B．20 C．21 D．31【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】把已知数列递推式变形，考查了a n+1﹣a n=2n，然后利用累加法求得a5的值．【解答】解：由a n+1=a n+2n，得a n+1﹣a n=2n，又a1=1，∴a5=（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1=2（4+3+2+1）+1=21．故选：C．【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题．4．（2016秋•福鼎市期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=4，面积为，则c的长度为（）A．4 B．C．8 D．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形．【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵A=60°，b=4，面积为，∴4=bcsinA=4×c×，∴解得：c=4．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．5．（2016秋•福鼎市期中）在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78，则此数列前12项和等于（）A．96 B．108 C．204 D．216【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质求出a2、a11，由等差数列的前n项和公式求出此数列前12项和．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78，∴3a2=﹣24，3a11=78，解得a2=﹣8，a11=26，∴此数列前12项和==6×18=108，故选B．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．6．（2016秋•福鼎市期中）在△ABC中，若2cosCsinA=sinB，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】利用sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA，即可得出结论．【解答】解：∵A+B+C=180°，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA，∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即sin（C﹣A）=0，∴A=C 即为等腰三角形．故选：D．【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．7．（2016春•西宁期末）设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则+的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【考点】等比数列的性质．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；不等式．【分析】根据等比数列的性质，建立方程关系，利用1的代换，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：∵是5a与5b的等比中项，∴5a•5b=（）2=5，即5a+b=5，则a+b=1，则+=（+）（a+b）=1+1++≥2+2=2+2=4，当且仅当=，即a=b=时，取等号，即+的最小值为4，故选：B【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．8．（2016秋•福鼎市期中）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若=4，则=（）A．3 B．4 C．D．13【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由S n为等比数列{a n}的前n项和，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8也成等比数列，即可解出．【解答】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，=4，∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8也成等比数列，且S8=4S4，∴（S8﹣S4）2=S4×（S12﹣S8），即9S42=S4×（S12﹣4S4），解得=13．故选：D．【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．9．（2016秋•福鼎市期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB=2sinC，a2﹣c2=3bc，则A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．【解答】解：由sinB=2sinC，由正弦定理可知：b=2c，代入a2﹣c2=3bc，可得a2=7c2，所以cosA===﹣，∵0＜A＜180°，∴A=120°．故选：C．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查．10．（2016秋•福鼎市期中）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知在S n中有S17＜0，S18＞0，那么S n中最小的是（）A．S10B．S9C．S8D．S7【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】由S16＜0，S17＞0，利用求和公式及其性质可得：a8＜0，a9＞0，即可得出．【解答】解：∵S16＜0，S17＞0，∴=8（a8+a9）＜0，=17a9＞0，∴a8＜0，a9＞0，∴公差d＞0．∴S n中最小的是S8．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（2016秋•福鼎市期中）已知点P（x，y）的坐标满足条件，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，则k的值为（）A．B．C．﹣6 D．6【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；函数思想；高考数学专题；不等式．【分析】由目标函数z=x+3y的最大值为8，我们可以画出满足条件的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，由，解得y=0，x=，（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，故选B．【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．12．（2016秋•福鼎市期中）如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A，B，C三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（）A．B．C． D．π【考点】三角函数线．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】由题意可求三角形的三边长为sinα、sinβ、sin（α+β），设边长为sin（α+β）的所对的三角形内角为θ，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cosθ=﹣cos（α+β），结合角的范围利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，利用正弦定理可求三角形外接圆的半径，利用圆的面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：由题意可得：|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin（α+β），设边长为sin（α+β）的所对的三角形内角为θ，则由余弦定理可得，cosθ==﹣cosαcosβ=﹣cosαcosβ=sinαsinβ﹣cosαcosβ=﹣cos（α+β），∵α，β∈（0，）∴α+β∈（0，π）∴sinθ==sin（α+β）设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R==1，∴R=，∴外接圆的面积S=πR2=．故选：A．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（2016秋•福鼎市期中）不等式的解集为（0，1．【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．14．（2016秋•福鼎市期中）对任意实数x，不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣4，0．故答案为：（﹣4，01，31，3hslx3y3h时，方程x2﹣（a+b）x+3a=0的两根为1和3，由根与系数的关系得，解得a=1，b=3；（2）当b=3时，不等式f（x）＞0可化为x2﹣（a+3）x+3a＞0，即（x﹣a）（x﹣3）＞0；∴当a＞3时，原不等式的解集为：{x|x＜3或x＞a}；当a＜3时，原不等式的解集为：{x|x＜a或x＞3}；当a=3时，原不等式的解集为：{x|x≠3，x∈R}．【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．19．（12分）（2016秋•福鼎市期中）已知等差数列{a n}的首项和公差都为2，且a1、a8分别为等比数列{b n}的第一、第四项．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，求{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由等差数列通项公式可知：a n=2+（n﹣1）2=2n，分别求得a1和a8，则由等比数列性质可知：，根据等比数列通项公式求得{b n}的通项公式；（2）由（1），采用“裂项法”即可求得数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由等差数列通项公式可知：a n=2+（n﹣1）2=2n，当n=1时，2b1=a1=2，b4=a8=16， (3)设等比数列{b n}的公比为q，则， (4)∴q=2， (5)∴ (6)（2）由（1）可知：log2b n+1=n (7)∴ (9)∴，∴{c n}的前n项和S n，S n=． (12)【点评】本题考查等比数列及等差数列通项公式，等比数列性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•福鼎市期中）某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，可得y与x之间的函数关系式；（2）求出年平均盈利额，利用基本不等式可得结论．【解答】解：（1）（x∈N*） (6)（2）盈利额为…当且仅当即x=7时，上式取到等号 (11)答：使用游艇平均7年的盈利额最大． (12)【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．21．（12分）（2016秋•福鼎市期中）在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=．（1）若cos∠ADC=，求AB的值；（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（1）由已知利用诱导公式可求cos∠ADB，利用同角三角函数基本关系式可求sin ∠ADB，进而利用正弦定理可求AB的值．（2）由已知利用正弦定理可得，从而利用三角函数恒等变换的应用可得f（θ）=，利用正弦函数的性质即可得解．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵，∴，∴…2分（注：先算∴sin∠ADC给1分）∵，…3分∴，…5分（2）∵∠BAD=θ，∴，…6 由正弦定理有，…7分 ∴，…8分 ∴，…10分 =，…11分 当，即时f （θ）取到最大值9．…12分【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．22．（12分）（2016秋•福鼎市期中）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=3，且2S n =a n +1+2n ．（1）求a 2；（2）求数列{a n }的通项公式a n ；（3）令b n =（2n ﹣1）（a n ﹣1），求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由n=1时，2S 1=2a 1=a 2+2，a 2=4；（2）当n ≥2时，2a n =2s n ﹣2s n ﹣1=a n +1﹣a n +2，整理可得a n +1=3a n ﹣2，a n +1﹣1=3（a n ﹣1），因此{a n ﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列，由，，；（3）由（2）可知：，，利用“错位相减法”即可求得数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=a2+2，∴a2=4…1；（2）当n≥2时，2a n=2s n﹣2s n﹣1=a n+1+2n﹣a n﹣2（n﹣1）=a n+1﹣a n+2，∴a n+1=3a n﹣2，∴a n+1﹣1=3（a n﹣1）…4，∴，∴{a n﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5，∵，∴，∴；（3）∴ (8)∴① (9)∴②①﹣②得：，=，=（2﹣2n）×3n﹣4， (11)∴ (12)【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n 项和，考查计算能力，属于中档题．。
2014-2015年福建省宁德二中高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年福建省宁德二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：13．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135° D．150°4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，则a1等于（）A．﹣1221 B．﹣21.5 C．﹣20.5 D．﹣206．（5分）下列各对不等式中同解的是（）A．2x＜7与 B．（x+1）2＞0与x+1≠0C．|x﹣3|＞1与x﹣3＞1 D．（x+1）3＞x3与7．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b8．（5分）如果实数x，y满足x2+y2=1，则（1+xy）（1﹣xy）有（）A．最小值和最大值1 B．最大值1和最小值C．最小值而无最大值 D．最大值1而无最小值9．（5分）设集合（）A．B．C．D．10．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=．12．（4分）数列{a n}是等差数列，a4=7，S7=．13．（4分）等差数列{a n}中，a2=5，a6=33，则a3+a5=．14．（4分）一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为．15．（4分）当x=时，函数y=x2（2﹣x2）有最值，且最值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．三个数成等差数列，其比为3：4：5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，求这三个数．17．在△ABC中，若A+B=120°，则求证：+=1．18．解不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2．19．求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件．20．已知a＞2，求证：log（a﹣1）a＞log a（a+1）21．如果x2+y2=1，求3x﹣4y的最大值．2014-2015学年福建省宁德二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：c==4，b=atan30°=2∴c﹣b=4﹣2=2故选：C．2．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．3．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135° D．150°【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵a 4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a 32=a1•a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选：B．5．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，则a1等于（）A．﹣1221 B．﹣21.5 C．﹣20.5 D．﹣20【解答】解：∵a1+a2+…+a50=200 ①a51+a52+…+a100=2700 ②②﹣①得：50×50d=2500，∴d=1，∵a1+a2+…+a50=200，∴na1+n（n﹣1）d=200，∴50a1+25×49=200，∴a1=﹣20.5，故选：C．6．（5分）下列各对不等式中同解的是（）A．2x＜7与 B．（x+1）2＞0与x+1≠0C．|x﹣3|＞1与x﹣3＞1 D．（x+1）3＞x3与【解答】解：A、2x＜7，解得x＜，2x+＜7+，解得：0≤x＜，不是同解不等式本选项错误；B、（x+1）2＞0与x+1≠0为同解不等式，本选项正确；C、|x﹣3|＞1化为x﹣3＜﹣1或x﹣3＞1，与x﹣3＞1不是同解不等式，本选项错误；D、（x+1）3＞x3变形得：x+1＞x，即1＞0恒成立，而＜，x+1≠0且x≠0，不是同解不等式，本选项错误，故选：B．7．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选：C．8．（5分）如果实数x，y满足x2+y2=1，则（1+xy）（1﹣xy）有（）A．最小值和最大值1 B．最大值1和最小值C．最小值而无最大值 D．最大值1而无最小值【解答】解：∵x2+y2=1，∴x=sinθ，y=cosθ，∴（1﹣xy）（1+xy）=1﹣x2y2=1﹣（sinθcosθ）2=1﹣=1﹣sin22θ，当sin2θ=0时，1﹣sin22θ有最大值1；当sin2θ=±1时，1﹣sin22θ有最小值．∴（1﹣xy）（1+xy）的最大值是1，最小值是．故选：B．9．（5分）设集合（）A．B．C．D．【解答】解：集合A中的不等式，当x＞0时，解得：x＞；当x＜0时，解得：x＜，集合B中的解集为x＞，则A∩B=（，+∞）．故选：B．10．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是即方程ax2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2，a+b=﹣14．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=﹣．【解答】解：A=180°﹣30°﹣135°=15°，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据正弦定理得=∴a==﹣故答案为﹣12．（4分）数列{a n}是等差数列，a4=7，S7=49．【解答】解：==7a4=49．故答案：49．13．（4分）等差数列{a n}中，a2=5，a6=33，则a3+a5=38．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=5，a6=33，则a3+a5 =a2+a6=5+33=38，故答案为38．14．（4分）一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为13或24．【解答】解：设十位数字为x，则个位数字为（x+2），∴10＜10x+x+2＜30，解得＜x＜，∵x取整数，则x=1或2，当x=1时，该两位数为13；当x=2时，该两位数为24．故这两个数字为13或者24．故答案为：13或24．15．（4分）当x=±1时，函数y=x2（2﹣x2）有最大值，且最值是1．【解答】解：当x2＜2时，函数y=x2（2﹣x2）=1，当且仅当x2=1，即x=±1时取等号．∴函数y=x2（2﹣x2）有最大值1，故答案分别为：±1，大，1．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．三个数成等差数列，其比为3：4：5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，求这三个数．【解答】解：设三个数分别为：3x，4x，5x，（x≠0），∵最小数加上1，则三数成等比数列，①当x＞0时，最小的数为3x，则3x+1，4x，5x成等比数列，∴（4x）2=5x（3x+1），化简可得x2﹣5x=0，即x（x﹣5）=0，解得x=0（舍去）或x=5，∴原三个数是15，20，25；②当x＜0时，最小的数为5x，则3x，4x，5x+1成等比数列，∴（4x）2=（5x+1）•3x，化简可得x2﹣3x=0，即x（x﹣3）=0，解得x=0（舍去）或x=3，又∵x＜0，∴x无解．综合①②可得，原三个数为15，20，25．17．在△ABC中，若A+B=120°，则求证：+=1．【解答】证明：∵在△ABC中，A+B=120°，∴C=60°，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴c2+ab=a2+b2，∴c2+ab+ac+bc=a2+b2+ac+bc，∴（c+a）（c+b）=a（a+c）+b（b+c），∴1=+，则+=1．18．解不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2．【解答】解：不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2可化为8＞x2+2x+3＞4，它等价于；解①得，x2+2x﹣5＜0，∴﹣1﹣＜x＜﹣1+；解②得，x2+2x﹣1＞0，∴x＜﹣1﹣，或x＞﹣1+；综上，﹣1﹣＜x＜﹣1﹣，或﹣1+＜x＜﹣1+；∴不等式的解集为{x|﹣1﹣＜x＜﹣1﹣，或﹣1+＜x＜﹣1+}．19．求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件．【解答】解：作出约束条件所对应的区域，可知当目标直线z=2x+y过直线y=﹣1与直线x+y=1的交点（2，﹣1）时取最大值，代入可得z=2×2﹣1=3故z=2x+y的最大值为：320．已知a＞2，求证：log（a﹣1）a＞log a（a+1）【解答】证明（法一）：∵=．因为a＞2，所以，log a（a﹣1）＞0，log a（a+1）＞0，所以，log a（a﹣1）•log a（a+1）=）a﹣log a（a+1）＞0，命题得证．所以，log（a﹣1证明2：因为a＞2，所以，log a（a﹣1）＞0，log a（a+1）＞0，所以，由法1可知：log a（a﹣1）•log a（a+1）=∴＞1．故命题得证21．如果x2+y2=1，求3x﹣4y的最大值．【解答】解：设3x﹣4y=b，即3x﹣4y﹣b=0，则圆心到直线的距离d=，即|b|≤5，解得﹣5≤b≤5，故3x﹣4y的最大值5．。
福建宁德市五校2015-2016学年2015-2016学年高二下学期半期考试数学Word版含解析
福建宁德市五校2015-2016学年高二下学期半期考试一、选择题：共12题1．复数(i为虚数单位)等于A.iB.-iC.D.【答案】A【解析】本题考查复数的四则运算..选A.2．“e是无限不循环小数,所以e为无理数.”该命题是演绎推理中的三段论推理,其中大前提是A.无理数是无限不循环小数 B.有限小数或有限循环小数为有理数C.无限不循环小数是无理数D.无限小数为无理数【答案】C【解析】本题考查演绎推理.由题意得:大前提是无限不循环小数是无理数.选C.3．下列值等于1的是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查定积分.,排除A;,排除B;,排除C;.选D.【备注】逐个验证,一一排除.4．设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为__.A.4B.-C.2D.-【答案】A【解析】本小题主要考查导数的基本运算法则、导数几何意义的恰当应用以及依据函数解析式确定相关的函数值等综合应用能力.依题意得f '(x)=g'(x)+2x,f '(1)=g'(1)+2=4,选A.5．若,则等于A.2B.0C.-2D.-4【答案】D【解析】本题考查导数的运算.由题意得,令,则,解得,所以;所以.选D.6．观察下列各式:,若,当时,的值为A.57B.59C.61D.63【答案】C【解析】本题考查归纳推理.由题意得;当时,,解得,所以.选C.【备注】找出规律是关键.7．函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】本题考查指数、对数函数,函数的图像.由题意得函数的定义域为R，排除B;,排除C;而指数函数比对数函数增长的快,所以当时,,排除D;选A.【备注】“知式求图”,排除法.8．设,则A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查合情推理.由题意得==.选C.9．若是定义在上的可导函数,且的图象如图所示,则的递减区间是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查函数的图象与性质,导数在研究函数中的应用.由图象可得的解为,即的解为,即的递减区间是.选D.【备注】体会化归与转化思想.10．做一个圆柱形锅炉,容积为8,两个底面的材料每单位面积的价格为2元,侧面的材料每单位面积的价格为4元.则当造价最低时,锅炉的底面半径与高的比为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查空间几何体的体积,导数在研究函数中的应用.设圆柱形锅炉的底面圆半径为,圆柱高为;由题意得8=,整理得;所以圆柱形锅炉的造价;而,解得,所以时, 造价取得最小值;此时,,即锅炉的底面半径与高的比为2:2=1.选B.11．命题:若数列为等差数列,且,则.现已知等比数列,且,类比上述结论,则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查类比推理,等差、等比数列的性质.由题意得:等差数列中的可类比等比数列中的与;等差数列中的可类比等比数列中的;所以等差数列中的可类比等比数列中的;选B.12．若函数的图象与过原点的直线有且只有三个交点,交点的横坐标的最大值为,则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查三角函数的图像与性质,导数的几何意义.画出相应的函数图像,令直线与函数相切于点,由题意得(;当时,,所以,可得,即;所以==.选A.【备注】体会数形结合思想.二、填空题：共4题13．复数(为虚数单位)的模为________.【答案】【解析】本题考查复数的概念与运算.由题意得=,所以复数的模为=.【备注】熟记复数的概念与运算.14．一质点的运动方程为,则它在时的速度为________.【答案】【解析】本题考查导数的物理意义.由题意得,所以=.【备注】理解导数的物理意义.15．已知数列为其前项和,计算得.观察上述结果,归纳计算.【答案】【解析】本题考查归纳推理.观察的分母:3,5,7,9,,即分母可表示为;再观察的分子:1,3,6,10,,即1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,,分子可表示为;所以=.【备注】找出其中的规律是关键.16．已知函数在其定义区间上满足①;②;③对任意的,式子恒成立.记,则的大小关系为.(按由小到大的顺序)【答案】【解析】本题考查函数的性质,导数在研究函数中的应用,定积分.由题意得函数在上是凹函数,画出图形(如图所示);由定积分的意义可得;而;;很明显,最小,最大,所以;而有可能成立,所以亦有可能成立,所以的大小关系为.【备注】体会数形结合思想,化归与转化思想.三、解答题：共6题17．已知z1＝-(10-a2)i,z2＝＋(2a-5)i,a∈R,i为虚数单位. 若z1＋z2是实数. (Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)求的值.【答案】(Ⅰ)依题意得为实数,∵z1＋z2＝＋＋[(a2-10)＋(2a-5)]i,∴解得a＝3.(Ⅱ)此时,,.【解析】本题考查复数的概念与运算.18．已知函数,其导函数的图象(如右图所示)经过点.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)若方程恰有2个根,求的值.【答案】(Ⅰ)依题意,可得的解为故解得所以.(Ⅱ),当时,或;当时,.所以函数的单调增区间为和,单调减区间为,当时,,当时,.故方程恰有2个根,得或.【解析】本题考查函数的图像,导数在研究函数中的应用. (Ⅰ)联立方程解得所以.(Ⅱ)求导得,.故恰有2个根,得或.19．已知点列,其中是线段的中点,是线段的中点,是线段的中点,设.(Ⅰ)写出与之间的关系式并计算;(Ⅱ)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法加以证明.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)猜想证明:①当时,,当时,成立.②假设当时成立.则当时,当时,公式成立综上①②得,对任意,公式成立.【解析】本题考查数列的通项与求和,数学归纳法.(Ⅰ)代入可得;(Ⅱ)猜想,当时,成立.假设当时成立,推得当时,公式成立，综上成立.【备注】掌握数学归纳法.20．某商场柜台销售某种产品,每件产品的成本为元,并且每件产品需向该商场交元()的管理费,预计当每件产品的售价为元()时,一天的销售量为件.(Ⅰ)求该柜台一天的利润 (元)与每件产品的售价的函数关系式;(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,该柜台一天的利润最大,并求出的最大值. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ),令,则或,,①若,即时,在上是减函数..②若时,当时,,此时在是增函数;当时,,此时在是减函数.∴当时,售价为20元时利润最大,最大利润为;当时,售价为元时利润最大,最大利润为.【解析】本题考查函数模型及其应用,导数在研究函数中的应用.(Ⅰ)由题意列出函数解析式;(Ⅱ)求导并分类讨论得的最大值.【备注】列出解析式是关键.21．已知.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:.【答案】(Ⅰ)(1)若则,;;(2)若,则;综上所述总有(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得.【解析】本题考查不等式的证明. (Ⅰ)证得:右-左,即左右;(Ⅱ)由(Ⅰ)可证明.【备注】熟悉常用的证明方法:作差法、作商法.22．已知函数.(Ⅰ)若,求在处的切线方程;(Ⅱ)若对恒成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)当时,, ,,切线方程为.(Ⅱ).①当时,,又,∴,在上为增函数,又当时,,与题意不符.②当,令,得,且时,时,,在时有极小值,也是最小值,,记,则,令,得,当时,,当时,,∴在处有极大值就是最大值为,最大值为0,又,故,即当且仅当时恒成立【解析】本题考查导数的几何意义,导数在研究函数中的应用. (Ⅰ)由题意得,切线方程为. (Ⅱ)求导分类讨论可得有极大值即最大值为,解得.【备注】体会化归与转化思想,分类讨论思想.。
福建省宁德市福宁古五校教学联合体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷(含答案)
福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学试题（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min ，该物质的温度最接近（参考数据：）（ ）A ．54℃B ．52℃C ．50℃D ．48℃3．在中，已知是关于的方程的两个实根，则角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．4．对任意实数，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的大致图象是（ ）{}30,21x M x Q x x x ⎧⎫-=≤=∈≤⎨⎬+⎩⎭N M Q = {}0,1,2[]0,2(]2,2-{}1,21015lnw w T w w -=-T 0min,w 1w w e 2.72≈ABC △tan ,tan A B x 2670x x -+=C 3π42π3π3π4()2,x ∈+∞4a x x<+4a ≤221sin ln x y x x +=-⋅A ．B ．C ．D ．6．已知函数，若，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．7．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．的解集为10．已知函数，则（ ）A ．与的图象有相同的对称中心B ．与的图象关于轴对称()332e e 1x x f x x x -=-+-+()()2232f a f a -+≥a (],1-∞[]3,1-(][),13,-∞-+∞(][),31,-∞-+∞ 1215sin ,ln ,223a b c -===c b a <<a b c <<a c b <<b a c<<()2ln x f x xe x x a x =---0x >()1f x ≥a []4,4-[]3,3-[]2,2-[]1,1-()f x ()()()Δ01Δ1lim1Δx f x f f x→+-=-'()()23f f '<'0f=()0xf x '>()(),10,1-∞- ()()ππ2cos 2,2sin 236f x x g x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()g x ()f x ()g x xC ．与的图象关于轴对称D ．的解集为11．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）A ．B ．关于中心对称C ．D ．函数有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分12．已知复数满足，则______．13．已知，则的最小值为______．14．已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数为上的奇函数．（1）求；（2）若函数，讨论的极值．16．（15分）在锐角中，内角的对边分别为，且．（1）求角A 的大小；（2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．17．（15分）在三棱锥中，底面，分别为的中点，为线段上一点．（1）求证：平面；()f x ()g x y()()f x g x ≥()5πππ,π1212k kk ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x R ()10f ≠()()()f x y f x f y xy +-=-()00f =()f x ()1,0-()x e f x >()y xf x =-z ()34i 5i z -=z =,,20,1a b a b a b ∈>>+=R 112a b b+-()()()eln e ,xxf x ax ag x x=-∈=R ()()y f g x a =-a ()11x f x a e =++R a ()()()212xg x e f x x =++()g x ABC △,,A B C ,,a b c tan tan A B +=BC =D BC AD P ABC -PM ⊥,,1ABC AB AC AB ⊥=,AC M N =,BC AC E AP BN ⊥APM（2）若平面底面且，求二面角的正弦值．18．（17分）已知函数，其中是实数．（1）若，求的单调区间；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若恒成立，求的最小值．19．（17分）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且函数图象过点．（1）若函数是偶函数，求的最小值；（2）令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值；（3）设函数，如果对于定义域D 内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的“级周期函数”，周期为T ．请探究是否存在非零实数，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，并证明你的结论．福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学参考答案一、单选题12345678ACDCCDBD8．解：，即，易知EBN ⊥ABC 12PM =A ENB --()()2311ex x f x a x b -=----,a b 1a =()f x ()f x a ()0f x ≤5a b +()()πsin ,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭π2()f x ⎛ ⎝()y f x m =+m ()()41g x f x =+()g x 17π31π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦12,,,n x x x 1231222n n x x x x x -+++++ (),y x x D ϕ=∈x P ()()x T P x ϕϕ+=⋅()x ϕP λ()1π26xh x f x λ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2ln 1,2ln 1x x f x e x x x a x +≥∴-++-≥ ()2ln 2ln 11x xe x x a x+-+--≤，又，当且仅当时，等号成立．．故选D ．二、多选题91011ACDABDBD11．解：令，则，又，故A 错误；令，则，又，，再令，的图象关于中心对称，故B 正确；由B 得，当时，，故C 错误；由B 得，在时取到最大值，故D 正确．三、填空题12．1； 13．14．14．解：设，则，，得，当单调递增，当单调递减，当时，函数取得最大值1，如图1，画出函数的图象，()2ln 1,2ln 10x x xe x ex x +≥+∴-+-≥()2ln 2ln 10,0x x e x x x x+-+->∴≥ 2ln 0x x +=()2ln min 2ln 10,10,11x x e x x a a x +⎛⎫-+-∴=∴-=∴-≤≤ ⎪⎝⎭0,1x y ==()()()1010f f f -⋅=()()10,01f f ≠∴=1,1x y ==-()()()()()0111,110f f f f f -⋅-=∴⋅-=()10f ≠()10f ∴-=()()()()1,11,1y f x f x f x f x x =---⋅-=∴-=()()1,f x x f x ∴=+∴()1,0-()1f x x =+0x =1xe x =+()()21,f x x y xf x x x =+=-=--12x =-4+1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x t =()f t a =()21ln e 0xg x x-'=⋅=e x =()()()0,e ,0,x g x g x >'∈()()()e,,0,x g x g x '∈+∞<e x =()g x ()t g x =由，即，则恒过点，如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点，则，得，即切点，所以切线方程为，如图2，则与有2个交点，，如图可知，若函数恰有三个零点，则，，则，所以，综上可知，．故答案为：四、解答题15．（1）因为函数为上的奇函数，由，此时，显然为奇函数．所以（2）由（1）得：定义域为，，()f t a =e tat a -=()()e 1,1t a t y a t =+=+()1,0-e t y =()1,0-e ty =()00,e tt 000e e 1t t t =+00t =()0,11y x =+()1y a t =+e ty =1a >()()y f g x a =+110t -<<201t <<()l e 11a >+e 2a <e 12a <<e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()11xf x a e =++R ()100,2f a =∴=-()()121xx e f x e -=+12a =-()()()()21221,xxg x e f x x x e g x =++=-+R ()2x g x e ∴=-'由得；由得，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，；无极小值16．（1）因为，由余弦定理得，由正弦定理得，又是锐角三角形，所以，所以，所以又，所以．（2）由余弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得解得，则，所以，所以，()0g x '>ln2x <()0g x '<ln2x >()g x ∴(),ln2-∞()g x ()ln2,+∞()g x ln2x =()()ln22ln21f x f ==-极大值tan tan A B +=tan tan A B +===()sin sin sin sin sin cos sin cos sin tan tan sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B B A CA B A B A B A B A B A B+++==+===ABC △sin 0,cos 0C B >>sin A A =tan A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =222222cos 3a c b cb A c b cb =+-=+-=()12AD AB AC =+ ()()222222111()2444AD AB AC AB AC AB AC c b bc =+=++⋅=++ ()13132442bc bc =+=+2sin sin sin a b cA B C===2sin b B =2π12sin 2sin 2sin 32c C B B B ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎝⎭⎭2111cos2π4cos sin 42sin 212226B bc B B B B B ⎫⎫-⎛⎫=+=+⋅=-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎭π0,22ππ0,32B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62B <<ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(]2,3bc ∈所以，所以线段长的取值范围为17．（1）解法一：连接交与点0，则，，故，从而，从而，底面底面，又，故平面（1）解法二：连接，由分别为的中点，所以，，又因为，所以，故，从而，底面底面，又，故平面（2）因为，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，因为平面底面，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，279,44AD ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦AD 32⎤⎥⎦AM BN MAC MCA ∠=∠tan tan AB AN MCA ABN AC AB ∠==∠==ABN MCA MAC ∠=∠=∠90MAB ABN MAB MAC ∠+∠=∠+∠=︒AM BN ⊥PM ⊥ ,ABC BN ⊂,ABC PM BN ∴⊥AM PM M = BN ⊥APMAM ,M N ,BC AC 1122AM AB AC =+12BN AB AC =-+,1,AB AC AB AC ⊥==1110222AM BN AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AM BN ⊥AM BN ⊥PM ⊥ ,ABC BN ⊂,ABC PM BN ∴⊥AM PM M = BN ⊥APMAB AC ⊥A ,AB AC ,x y A ABC z ()()()110,0,0,,1,0,0,,22A C B P N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11,,22AC BN AP ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭EBN ⊥ABCEBN ()1n =PAC ()2,,n x y z =则，可得，令可得，设二面角为，则故二面角．18．（1）当时，，则，令，解得，令，解得，所以在单调递增，单调递减；（2）函数的图象是连续的，且在定义域上是单调函数，在定义域内恒成立，或，在定义域内恒成立．在为负，为正，所以在单调递减，单调递增，（1）若在定义域内恒成立，只需，即，（2）若在定义域内恒成立，时，，故该情况无解．综上：．（3）若恒成立，则，当时，，即，2200AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 110220x y z ⎧++=⎪⎨=1x =()21,0,1n =- A EN B --θ12cos cos ,n n θ=〉〈==A ENB --1a =()()231x x f x x e -=--()33xxf x e-'=-()0f x '>0x <()0f x '<0x >()f x (),0-∞()0,+∞ ()f x ()330x x f x a e -∴=-≥'()330xxf x a e -'-=≤()4x x f x e='-'(),4-∞()4,+∞()33xxf x a e -='-(),4-∞()4,+∞()330x xf x a e-'-=≥()min 41()430f x f a e ==--'≥'413a e≤-()330xxf x a e -'-=≤x →-∞ ()f x '→+∞a 413a e ≤-()0f x ≤()23110ex x a x b -----≤2x =510a b ---≤51a b +≥-下证成立，由得，恒成立，即，记，故，而，则，解得，只需证恒成立，，由（2）得在上单调递减，在上单调递增，又在上为正，在上为负，在上为负，在上单调递增，在上单调递减，，即恒成立，最小值为．19．解：（1）图象的相邻的两条对称轴间的距离为的最小正周期为，又的图象过点．因为函数是偶函数．的最小值．51a b +=-51a b +=-()23150e xx a x a ---+≤()2360ex x a x ---≤()()()23620e xx F x a x F -=--⇒=()20F '=()33e x x F x a -'=-2130e a -=213ea =()()221360e 3x x F x x e-=--≤()231e x x F x e'-=-()F x '(),4-∞()4,+∞()()20,F F x ='∴'(),2-∞()2,4()4,+∞()F x ∴(),2-∞()2,+∞()max ()20F x F ∴==()0F x ≤5a b ∴+1-()f x π2()f x ∴π2πT 2π0,22Tωω=⨯=>∴== ()()sin 2f x x ϕ∴=+()f x (),0sin f ϕ⎛∴== ⎝()πππ,,sin 2233f x x ϕϕ⎛⎫<∴==+ ⎪⎝⎭ ()πsin 223y f x m x m ⎛⎫=+=++⎪⎝⎭()()ππππ2π,32122k m k k m k ∴+=+∈∴=+∈Z Z m ∴π12（2）由可得设，由与图象可知在共有8个交点．，同理，．（3）假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，即，恒有，则，恒有成立，则，恒有成立，当时，，则，所以，，要使得恒成立，则有当时，则，即，令，其中，()()π414sin 2103g x f x x ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭π1sin 234x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭17π31ππ5π11π,,2,1212322x x ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦π23i i x t +=sin y t =14y =-5π11π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦182736453πt t t t t t t t +=+=+=+=1818ππ7π223π,336x x x x ∴+++=∴+=2345672222227πx x x x x x +++++=1234567849π2222226x x x x x x x x ∴+++++++=()()()π1π1sin 2,sin 23262x x f x x h x f x x λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∴=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ λ()1sin22xh x x λ⎛⎫= ⎪⎝⎭R T T x ∀∈R ()()h x T T h x +=⋅x ∀∈R ()11sin 22sin222x T xx T T x λλλ+⎛⎫⎛⎫+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∀∈R ()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅0λ≠x ∀∈R 2,22x x T λλλ∈+∈R R ()1sin21,1sin 221x x T λλλ-≤≤-≤+≤()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅21TT ⋅=±21T T ⋅=0T >12T T =()12x p x x=-0x >则，且函数在上的图象是连续的，由零点存在定理可知，函数在上有唯一的零点，此时，恒成立，则，即；当时，则，即，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的图象没有公共点，故方程无实数解．综上所述，存在满足题意，其中满足．()120,121102p p ⎛⎫=-<=-=> ⎪⎝⎭()p x ()0,+∞()p x ()0,+∞()sin 22sin2x T x λλλ+=()22T m m λπ=∈Z ()m m T πλ=∈Z 21T T ⋅=-0T <2T T --=y x =-2x y -=2x y x y -=-=、21T T ⋅=-()m m T πλ=∈Z T 21T T ⋅=。
【精品】2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中等五校联考高二上学期期中数学试卷和解析(文科)
2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．1．（5分）数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式a n为（）A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2）D．（﹣1）n+13n﹣22．（5分）在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=8，则a7=（）A．3 B．6 C．7 D．83．（5分）在△ABC中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（）A．13 B． C． D．214．（5分）若a＜b＜0，则（）A．0＜＜1 B．ab＜b2C．＞D．＜5．（5分）在△ABC中，，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角D．等腰或直角三角形6．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（）A．16 B．6 C．4 D．87．（5分）等差数列{a n}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于（）A．B．6 C．D．38．（5分）在△ABC中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（）A．60°B．120°C．120°或60°D．45°9．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=3，公比q=2，则a2和a8的等比中项为（）A．48 B．±48 C．96 D．±9610．（5分）不等式的解集为（）A．{x|x＜﹣2或x＞3}B．{x|x＜﹣3或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣3＜x＜2}11．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知在S n中有S16＜0，S17＞0，那么S n中最小的是（）A．S6B．S7C．S8D．S912．（5分）已知x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，则m的取值范围（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣3y的最大值为．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+2n，则数列的通项a n=．15．（5分）如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为km．16．（5分）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}满足a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{b n}且b2=a4，b3=a8（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}前n项的和S n．18．（12分）如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．（1）求∠BDA的大小（2）求BC的长．19．（12分）已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）求不等式f（x）＜0的解集．20．（12分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC的面积．21．（12分）某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m2，鸡舍侧面的造价为20元/m2，地面及其他费用合计为1800元．（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=na n﹣n（n﹣1）．（1）求证：数列{a n}为等差数列，并分别求出a n的表达式；（2）设数列的前n项和为P n，求证：P n＜；（3）设C n=，T n=C1+C2+…+C n，试比较T n与的大小．2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．1．（5分）数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式a n为（）A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2）D．（﹣1）n+13n﹣2【解答】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）n+1，绝对值为3n﹣2，故通项公式a n=（﹣1）n+1（3n﹣2）．故选：C．2．（5分）在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=8，则a7=（）A．3 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵在等差数列{a n}中a1=2，a3+a5=8，∴2a4=a3+a5=8，解得a4=4，∴公差d==，∴a7=a1+6d=2+4=6故选：B．3．（5分）在△ABC中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（）A．13 B． C． D．21【解答】解：∵a=1，b=4，C=60°，∴由余弦定理可得：c===．故选：B．4．（5分）若a＜b＜0，则（）A．0＜＜1 B．ab＜b2C．＞D．＜【解答】解：∵a＜b＜0，∴0＜＜1，正确；ab＜b2，错误；＜＜0，错误；0＜＜1＜，错误；故选：A．5．（5分）在△ABC中，，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角D．等腰或直角三角形【解答】解：∵，又∵cosC=，∴=，整理可得：b2=c2，∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形．故选：A．6．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（）A．16 B．6 C．4 D．8【解答】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，∴S=absinC==8．△ABC故选：D．7．（5分）等差数列{a n}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于（）A．B．6 C．D．3【解答】解：由等差数列的性质可得：S15==15a8=45，则a8=3．故选：D．8．（5分）在△ABC中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（）A．60°B．120°C．120°或60°D．45°【解答】解：∵a=2，b=6，A=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵B∈（0°，180°），∴B=120°或60°．故选：C．9．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1=3，公比q=2，则a2和a8的等比中项为（）A．48 B．±48 C．96 D．±96【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a1=3，公比q=2，∴a2=3×2=6，=384，∴a2和a8的等比中项为=±48．故选：B．10．（5分）不等式的解集为（）A．{x|x＜﹣2或x＞3}B．{x|x＜﹣3或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣3＜x＜2}【解答】解：不等式，即＞0，即（x﹣3）•（x+2）＞0，求得x＞3，或x＜﹣2，故选：A．11．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知在S n中有S16＜0，S17＞0，那么S n中最小的是（）A．S6B．S7C．S8D．S9【解答】解：∵S16＜0，S17＞0，∴=8（a8+a9）＜0，=17a9＞0，∴a8＜0，a9＞0，∴公差d＞0．∴S n中最小的是S8．故选：C．12．（5分）已知x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，则m的取值范围（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]【解答】解：x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，所以（x+y）（+）=10+≥10=16，当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；故m的取值范围是（﹣]；故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣3y的最大值为5．【解答】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即C（2，﹣1）．代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，故答案为：5．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+2n，则数列的通项a n=2n﹣1．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n+2n，∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=22，…a n﹣a n﹣1=2n﹣1，相加得：a n﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1，a n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1，15．（5分）如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为km．【解答】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，在△ABC中，根据正弦定理得：BC==海里，则这时船与灯塔的距离为海里．故答案为．16．（5分）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是．【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S==，（0＜x＜1）令3﹣x=t，t∈（2，3），∴S===，当且仅当t=即t=2时等号成立；故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}满足a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{b n}且b2=a4，b3=a8（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}前n项的和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由，可得，…（1分）解得：，∴由等差数列通项公式可知：a n=a1+（n﹣1）d=n，∴数列{a n}的通项公式a n=n，∴a4=4，a8=8设等比数列{b n}的公比为q，则，解得，∴；（2）∵…（7分）∴，=，=，∴数列{c n}前n项的和S n=．18．（12分）如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．（1）求∠BDA的大小（2）求BC的长．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…（2分）=…（4分）∴∠BDA=60°…（6分）（2）∵AD⊥CD，∴∠BDC=30°…（7分）在△ABC中，由正弦定理得，…（9分）∴．…（12分）19．（12分）已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）求不等式f（x）＜0的解集．【解答】解：（1）当a=1时，依题意得x2﹣3x+2≤0因式分解为：（x﹣2）（x﹣1）≤0，解得：x≥1或x≤2．∴1≤x≤2．不等式的解集为{x|1≤x≤2}．（2）依题意得x2﹣3ax+2a2＜0∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0…（5分）对应方程（x﹣a）（x﹣2a）=0得x1=a，x2=2a当a=0时，x∈∅．当a＞0时，a＜2a，∴a＜x＜2a；当a＜0时，a＞2a，∴2a＜x＜a；综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅；当a＞0时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}；当a＜0时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}；20．（12分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2bsinA=a，以及正弦定理，得sinB=，又∵B为锐角，∴B=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2﹣ac=36，∵a+c=8，∴ac=，==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴S△ABC21．（12分）某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m2，鸡舍侧面的造价为20元/m2，地面及其他费用合计为1800元．（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？【解答】解：（1）…（4分）=…（5分）定义域是（0，7]…（6分）（2）∵，…（9分）当且仅当即x=6时取=…（10分）∴y≥80×12+1800=2760…（11分）答：当侧面长度x=6时，总造价最低为2760元．…（12分）22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=na n﹣n（n﹣1）．（1）求证：数列{a n}为等差数列，并分别求出a n的表达式；（2）设数列的前n项和为P n，求证：P n＜；（3）设C n=，T n=C1+C2+…+C n，试比较T n与的大小．【解答】解：（1）证明：∵S n=na n﹣n（n﹣1）∴S n=（n+1）a n+1﹣（n+1）n…（1分）+1=S n+1﹣S n=（n+1）a n+1﹣na n﹣2n…（2分）∴a n+1∴na n﹣na n﹣2n=0+1﹣a n=2，∴a n+1∴{a n}是以首项为a1=1，公差为2的等差数列…（3分）由等差数列的通项公式可知：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，数列{a n}通项公式a n=2n﹣1；…（4分）（2）证明：由（1）可得，…（6分）=…（8分）（3）∴，=，两式相减得…（9分）=，=，=，=，∴…（10分）∴…（11分）∵n∈N*，∴2n＞1，∴，∴…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
【精品】2015年福建省宁德市五校联考高一上学期期中数学试卷
2014-2015学年福建省宁德市五校联考高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡的相应位置.）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B为（）UA．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}2．（5分）已知集合，则下列关系中正确的是（）A．π∉A B．{π}∈A C．π⊆A D．{π}⊆A3．（5分）下列函数中，与函数f（x）=lnx有相同定义域的是（）A．y=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=e x4．（5分）函数y=x2﹣2x，x∈[0，3]的值域是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，3]C．[0，3]D．[﹣1，0]5．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=x B．y=﹣x3C．y= D．6．（5分）三个数a=0.62，b=log20.6，c=20.6之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）8．（5分）函数f（x）=﹣x2+2ax+5在区间（4，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，4）C．[4，+∞）D．（4，+∞）9．（5分）函数的图象是（）A． B．C．D．10．（5分）给出定义：若x﹣≤m＜x+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．例如{0.1}=0，{0.5}=0，{0.6=1}．如果定义函数f （x）=x﹣{x}，给出下列命题：①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[﹣，]；②函数y=f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点；③函数y=f（x）是奇函数；④函数y=f（x）在（﹣，）上是增函数．其中正确的是（）A．①②B．②④C．②③D．①④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置11．（4分）已知幂函数f（x）=x a经过点P（2，），则a=．12．（4分）若函数f（x）=，则f[f（3）]=．13．（4分）函数y=a x﹣1+1 （a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是．14．（4分）设f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（﹣2）=0，则满足不等式f（x）＜0的x取值范围是．15．（4分）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合A={0}为闭集合；②集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；③集合A={n|n=3k，k∈Z}为闭集合；④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中所有正确结论的序号是．三.解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（13分）计算下列各式的值：（Ⅰ）27﹣（﹣8.5）0+；（Ⅱ）2lg5+lg4+4log43．17．（13分）已知集合A={x|2＜x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（Ⅰ）求A∪B，（∁R A）∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．18．（13分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c有两个零点0和3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=，试判断函数g（x）在区间（0，3）上的单调性并用定义证明．19．（13分）闽东某电机厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产某型号电机产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（Ⅰ）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使利润最多？20．（14分）已知函数f（x）=log a（2+x），g（x）=log a（2﹣x），a＞0且a≠1且设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求函数h（x）的定义域；（Ⅱ）判断h（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）当f（x）＞g（x）时，求x的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0，a≠1）且f（0）=0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围．（Ⅲ）当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年福建省宁德市五校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡的相应位置.）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B为（）UA．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选：D．2．（5分）已知集合，则下列关系中正确的是（）A．π∉A B．{π}∈A C．π⊆A D．{π}⊆A【解答】解：∵集合，π≈3.14，∴π∈A，{π}⊆A，故选：D．3．（5分）下列函数中，与函数f（x）=lnx有相同定义域的是（）A．y=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=e x【解答】解：函数f（x）=lnx的定义域为x＞0，f（x）=的定义域为x＞0，故A成立；f（x）=的定义域为x≠0，故B不成立；f（x）=的定义域为x≥0，故C成立；f（x）=e x的定义域为R，故D不成立；故选：A．4．（5分）函数y=x2﹣2x，x∈[0，3]的值域是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，3]C．[0，3]D．[﹣1，0]【解答】解：函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，函数的对称轴为直线x=1∴函数在[0，1]上单调减，在[1，3]上单调增∴x=1时，函数取得最小值﹣1；x=3时，函数取得最大值3∴函数y=x2﹣2x，x∈[0，3]的值域是[﹣1，3]故选：B．5．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=x B．y=﹣x3C．y= D．【解答】解：对于A，是一次函数，在其定义域内是奇函数且是增函数；对于B，是幂函数，在其定义域内既是奇函数又是减函数；对于C，是幂函数，在其定义域内既是奇函数，但不是减函数；对于D，是指数函数，在其定义域内是减函数，但不是奇函数；综上知，B满足题意故选：B．6．（5分）三个数a=0.62，b=log20.6，c=20.6之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵0＜0.62＜1，log20.6＜0，20.6＞1，∴0＜a＜1，b＜0，c＞1，∴b＜a＜c，故选：C．7．（5分）函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：∵函数f（x）=3x+x﹣2单调递增，∴f（0）=﹣1，f（1）=2，f（）=＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是（0，），故选：A．8．（5分）函数f（x）=﹣x2+2ax+5在区间（4，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，4）C．[4，+∞）D．（4，+∞）【解答】解：∵对称轴x=a，开口向下，若函数f（x）在（4，+∞）递减，∴a≤4，故选：A．9．（5分）函数的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：令f（x）==，其定义域为{x|x≠0}．∵f（﹣x）==﹣f（x），因此函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，C；当x＞0时，∵函数y=，y=﹣x为单调递减，故排除A．综上可知：正确答案为D．10．（5分）给出定义：若x﹣≤m＜x+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．例如{0.1}=0，{0.5}=0，{0.6=1}．如果定义函数f （x）=x﹣{x}，给出下列命题：①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[﹣，]；②函数y=f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点；③函数y=f（x）是奇函数；④函数y=f（x）在（﹣，）上是增函数．其中正确的是（）A．①②B．②④C．②③D．①④【解答】解：①中，令x=m+a，a∈[﹣，），m∈Z，∴f（x）=x﹣{x}=a∈[﹣，），所以①错误；②中令x=m+a，a∈[﹣，），m∈Z，∴当a=0时，f（x）=x﹣{x}=a；此时m为整数，故函数y=f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，故②正确；③中，x=﹣时，f（﹣）=﹣，x=时，f（）=﹣，故函数y=f（x）不是奇函数，故③错误；④中，当x∈（﹣，）时，f（x）=x﹣{x}=x为增函数，故④正确；故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置11．（4分）已知幂函数f（x）=x a经过点P（2，），则a=．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a经过点P（2，），∴2a=，解得：a=，故答案为：12．（4分）若函数f（x）=，则f[f（3）]=．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f[f（3）]=f（﹣2）=2﹣2=，故答案为：13．（4分）函数y=a x﹣1+1 （a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是（1，2）．【解答】解：由于函数y=a x经过定点（0，1），令x﹣1=0，可得x=1，求得f（1）=2，故函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0，a≠1），则它的图象恒过定点的坐标为（1，2），故答案为（1，2）．14．（4分）设f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（﹣2）=0，则满足不等式f（x）＜0的x取值范围是{x|x＜﹣2或x＞2} ．【解答】解：f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（﹣2）=0，∴f（2）=0，如图所示：∴不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞2}故答案为：{x|x＜﹣2或x＞2}．15．（4分）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合A={0}为闭集合；②集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；③集合A={n|n=3k，k∈Z}为闭集合；④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中所有正确结论的序号是①③．【解答】解：①0+0=0，0﹣0=0，0∈A，故①正确；②当a=﹣4，b=﹣2时，a+b=﹣4+（﹣2）=﹣6∉A，故不是闭集合，∴②错误；当a=﹣3，b=﹣1时，a+b=﹣3+（﹣1）=﹣4∉A，故不是闭集合，∴②错误；③由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，∴③正确；④假设A1={n|n=3k，k∈Z}，A2={n|n=5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，∴④错误．正确结论的序号是①③．故答案为：①③三.解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（13分）计算下列各式的值：（Ⅰ）27﹣（﹣8.5）0+；（Ⅱ）2lg5+lg4+4log43．【解答】解：（I）原式=﹣1+3==．（II）原式=lg（52×4）+3=2+3=5．17．（13分）已知集合A={x|2＜x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（Ⅰ）求A∪B，（∁R A）∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵A={x|2＜x＜7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜7}，∁R A={x|x≤2或x≥7}，则（∁R A）∩B={x|7≤x＜10}；（Ⅱ）∵B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}，且C⊆B，∴当C=∅时，则有5﹣a≥a，即a≤2.5时，满足题意；当C≠∅时，5﹣a＜a，即a＞2.5，则有，解得：2.5＜a≤3，综上，a的范围为a≤3．18．（13分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c有两个零点0和3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=，试判断函数g（x）在区间（0，3）上的单调性并用定义证明．【解答】解：（Ⅰ）将（0，0），（3，0）代入函数的解析式，得：c=0，b=﹣3，∴f（x）=x2﹣3x；（Ⅱ）∵g（x）==∴g（x）在（0，3）递减，证明如下：设0＜x1＜x2＜3，∴g（x1）﹣g（x2）=﹣=，∵x2＞x1，（x1﹣3）（x2﹣3）＞0，∴g（x1）＞g（x2），∴函数g（x）在（0，3）递减．19．（13分）闽东某电机厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产某型号电机产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（Ⅰ）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使利润最多？【解答】解：（Ⅰ）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵R（x）=，∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（7分）（Ⅱ）当x＞12时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（12）=13.2（万元）．…（10分）当0≤x≤12时，函数f（x）=﹣0.2（x﹣10）2+17.2，当x=10时，f（x）有最大值为17.2（万元）．…（14分）所以当工厂生产10百台时，可使赢利最大为17.2万元．…（15分）20．（14分）已知函数f（x）=log a（2+x），g（x）=log a（2﹣x），a＞0且a≠1且设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求函数h（x）的定义域；（Ⅱ）判断h（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）当f（x）＞g（x）时，求x的取值范围．【解答】解：（I）h（x）=f（x）﹣g（x）=log a（2+x）﹣log a（2﹣x），∴，解得﹣2＜x＜2．∴函数h（x）的定义域为（﹣2，2）．（II）∵h（﹣x）=log a（2﹣x）﹣log a（2+x）=﹣h（x），∴函数h（x）为奇函数．（III）∵f（x）＞g（x），∴log a（2+x）＞log a（2﹣x）．当0＜a＜1时，0＜2+x＜2﹣x，解得﹣2＜x＜0，即x的取值范围是（﹣2，0）．当1＜a时，2+x＞2﹣x＞0，解得0＜x＜2，即x的取值范围是（0，2）．21．（14分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0，a≠1）且f（0）=0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围．（Ⅲ）当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于函数f（x）=1﹣（a＞0，a≠1），由f（0）=1﹣=0，求得a=2，故f（x）=1﹣=1﹣．（Ⅱ）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k=2x+1﹣2+k=2x﹣1+k 有零点，则函数y=2x 的图象和直线y=1﹣k有交点，∴1﹣k＞0，求得k＜1．（Ⅲ）∵当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，即1﹣＞m•2x﹣2恒成立．令t=2x，则t∈（1，2），且m＜﹣==+．由于+在∈（1，2）上单调递减，∴+＞+=，∴m≤．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
福建省闽清高中等四校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)
福建省福州市闽清高中等四校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）若＜＜0，则下列结论正确的是（）A．a2＞b2B．a b＞b2C．+＞2 D．|a|+|b|＞|a+b|2．（5分）已知{a n}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（）A．﹣2 B．﹣C．D．23．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，b=，B=60°，则角A等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（5分）若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=（）A．12 B．13 C．14 D．155．（5分）设函数则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）6．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．27．（5分）已知△ABC内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定8．（5分）设x，y满足约束条件，则Z=3x﹣2y的最大值是（）A．0B．2C．4D．69．（5分）设0＜x＜，则函数y=x（3﹣2x）的最大值是（）A．B．C．2D．10．（5分）已知等比数列{a n}，a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则S5=（）A．45 B．﹣45 C．93 D．﹣9311．（5分）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）海里．A．10B．20C．10D．2012．（5分）设函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N+，且数列{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．，3）D．（1，2）二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=s3=12，则a n=．14．（4分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=c=2，A=C=30°，则b=．15．（4分）已知x，y为正实数，且2x+y=1，则的最小值是．16．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6＜S7，S7＞S8，则（1）此数列的公差d＜0；（2）S9一定小于S6；（3）a7是各项中最大的项；（4）S7一定是S n中的最大值；其中正确的是（填入序号）三、解答题（17-21每题12分，第22题14分，共74分）17．（12分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．18．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．19．（12分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B，不等式x2+ax+b ＜0的解集为A∩B，求a，b的值．20．（12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．（1）写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项公式a n满足S n=（1﹣a n）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=na n，求T n=b1+b2+…+b n的值．22．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），b n=a n（a n+1）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n；（3）设T n=，证明：T1+T2+T3+…+T n＜n（n≥2）福建省福州市闽清高中等四校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）若＜＜0，则下列结论正确的是（）A．a2＞b2B．a b＞b2C．+＞2 D．|a|+|b|＞|a+b|考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由＜＜0，可得1＞＞0，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵＜＜0，∴1＞＞0，∴＞2，故选：C．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．2．（5分）已知{a n}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（）A．﹣2 B．﹣C．D．2考点：等差数列．专题：计算题；方程思想．分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=﹣，故选B．点评：本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．3．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，b=，B=60°，则角A等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：运用正弦定理，求出A，再由三角形的边角关系，即可判断．解答：解：由正弦定理，，即有sinA===，则A=45°或135°，由于a＜b，即有A＜B=60°，则A=45°．故选B．点评：本题考查正弦定理和运用，考查三角形的边角关系，属于基础题和易错题．4．（5分）若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=（）A．12 B．13 C．14 D．15考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，然后代入通项公式求解即可．解答：解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a7=1+6×2=13，故选B．点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．5．（5分）设函数则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先求f（1），依据x的范围分类讨论，求出不等式的解集．解答：解：f（1）=3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3如果x＜0 则x+6＞3可得x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．如果x≥0 有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或0≤x＜1综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞）故选A．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．6．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．2考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．解答：解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q=，故a1=．故选B．点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．7．（5分）已知△ABC内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定考点：三角形的形状判断；正弦定理．专题：解三角形．分析：依题意，利用正弦定理可知sin（B+C）=sinA=sin2A，易求sinA=1，从而可得答案．解答：解：△ABC中，∵bcosC+ccosB=asinA，∴由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=sin2A，即sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA=sin2A，又sinA＞0，∴sinA=1，A∈（0，π），∴A=．∴△ABC的形状是直角三角形，故选：C．点评：本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与诱导公式的应用，考查转化思想．8．（5分）设x，y满足约束条件，则Z=3x﹣2y的最大值是（）A．0B．2C．4D．6考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数Z=3x﹣2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×0﹣2×（﹣2）=4．故选：C．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（5分）设0＜x＜，则函数y=x（3﹣2x）的最大值是（）A．B．C．2D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵0＜x＜，∴3﹣2x＞0．∴函数y=x（3﹣2x）==，当且仅当x=时取等号．∴函数y=x（3﹣2x）的最大值是．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．10．（5分）已知等比数列{a n}，a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则S5=（）A．45 B．﹣45 C．93 D．﹣93考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得公比q的方程，解公比代入求和公式易得．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴4a2=4a1+a3，即12q=12+3q2，解得q=2，∴S5===93，故选：C．点评：本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．11．（5分）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）海里．A．10B．20C．10D．20考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：根据题意画出图象确定∠BAC、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值．解答：解：如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=20，从而∠ACB=45°．在△ABC中，由正弦定理可得BC=×sin30°=10．故选：A．点评：本题主要考查正弦定理的应用，考查三角形的解法，属于基本知识的考查．12．（5分）设函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N+，且数列{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．，3）D．（1，2）考点：数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：根据函数的单调性，n∈N*，得出，求解即可．解答：解：∵函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N+，且数列{a n}是递增数列∴，解得：，即：2＜a＜3，故选：B点评：本题考查了函数的单调性，数列的特殊性，n∈N*，属于中档题，容易出错，自变量的范围．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=s3=12，则a n=2n．考点：等差数列的通项公式．分析：由a6=s3=12，利用等差数列的前n项和公式和通项公式得到a1和d的两个方程，从而求出a1和d，得到a n．解答：解；由a6=s3=12可得解得{a n}的公差d=2，首项a1=2，故易得a n=2+（2﹣1）n=2n．故答案为：2n点评：此题很好的考查了等差数列的基本公式和方程思想．14．（4分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=c=2，A=C=30°，则b=2．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由A与C的度数求出B的度数，利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosB的值代入求出b的值即可．解答：解：∵A=C=30°，∴B=120°，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=4+4+4=12，则b=2．故答案为：2点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15．（4分）已知x，y为正实数，且2x+y=1，则的最小值是9．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：可利用均值不等式求最值，因为求最小值，所以必须凑积为定值，可利用2x+y=1，让求最值的式子乘以2x+y=1，再化简即可．解答：解：∵2x+y=1，∴==5+∵x，y为正实数，∴≥2=4∴5+≥9∴的最小值为9故答案为：9点评：本题考查了均值不等式求最值，做题时应细心观察，找到变形式子，属于基础题．16．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6＜S7，S7＞S8，则（1）此数列的公差d＜0；（2）S9一定小于S6；（3）a7是各项中最大的项；（4）S7一定是S n中的最大值；其中正确的是（1）（2）（4）（填入序号）考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．hslx3y3h分析：由已知条件S6＜S7且S7＞S8，得到a7＞0，a8＜0．进一步得到d＜0，然后逐一判断四个结论得答案．解答：解：由S6＜S7，得S7﹣S6＞0，即a7＞0，S7＞S8，得S8﹣S7＜0，即a8＜0．∴d=a8﹣a7＜0，故（1）正确；S9﹣S6=a9+a8+a7=3a8＜0，故（2）正确；∵a1﹣a7=﹣6d＞0，即a1＞a7，命题（3）错误；数列{a n}的前7项为正值，即前7项的和最大，命题（4）正确．∴正确的结论是（1）（2）（4）．故答案为：（1）（2）（4）．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了等差数列的函数特性，关键在于得到公差d的符号，是中低档题．三、解答题（17-21每题12分，第22题14分，共74分）17．（12分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差为d，然后根据第三项为﹣6，第六项为0利用等差数列的通项公式列出方程解出a1和d即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）根据b2=a1+a2+a3和a n的通项公式求出b2，因为{b n}为等比数列，可用求出公比，然后利用首项和公比写出等比数列的前n项和的公式．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d．因为a3=﹣6，a6=0所以解得a1=﹣10，d=2所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，所以﹣8q=﹣24，即q=3，所以{b n}的前n项和公式为点评：考查学生会根据条件求出等差数列的通项公式和等比数列的前n项和的公式，此题是一道基础题．18．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，即可确定出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入，并利用完全平方公式变形，把b+c=4代入求出bc=2，联立求出b与c的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（1）由正弦定理及2asinB=b得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A是锐角，∴A=；（2）由a=2，b+c=4，cosA=及余弦定理可得：cosA=，即=，整理得：b2+c2﹣4=bc，即（b+c）2﹣4=3bc，化简得：bc=2，解得：b=c=2，则△ABC面积S=bcsinA=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19．（12分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B，不等式x2+ax+b ＜0的解集为A∩B，求a，b的值．考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：利用一元二次不等式解法可得不等式的解集A，B，A∩B，再利用根与系数的关系即可得出．解答：解：由x2﹣2x﹣3＜0解得：﹣1＜x＜3，∴A=（﹣1，3）．由x2+x﹣6＜0解得﹣3＜x＜2，∴B=（﹣3，2）．∴A∩B=（﹣1，2）．∵不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B=（﹣1，2），∴﹣1，2是方程x2+ax+b=0的两个实数根．由方程的根与系数关系可得：，∴．点评：本题考查了一元二次不等式解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了计算能力，属于基础题．20．（12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．（1）写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）考点：函数模型的选择与应用；函数最值的应用．专题：应用题．分析：（1）由已知得，楼房每平方米的平均综合费为每平方米的平均建筑费用为560+48x与平均地皮费用的和，由已知中某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋x层，每层2000平方米的楼房，我们易得楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）由（1）中的楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式，要求楼房每平方米的平均综合费用最小值，我们有两种思路，一是利用基本不等式，二是使用导数法，分析函数的单调性，再求最小值．解答：解：（1）设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得y=（560+48x）+=560+48x+（x≥10，x∈N*）；（定义域不对扣1﹣2分）（2）法一：∵x＞0，∴48x+≥2=1440，当且仅当48x=，即x=15时取到“=”，此时，平均综合费用的最小值为560+1440=2000元．答：当该楼房建造15层，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．法二：先考虑函数y=560+48x+（x≥10，x∈R）；则y'=48﹣，令y'=0，即48﹣=0，解得x=15，当0＜x＜15时，y'＜0；当x＞15时，y'＞0，又15∈N*，因此，当x=15时，y取得最小值，ymin=2000元．答：当该楼房建造15层，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项公式a n满足S n=（1﹣a n）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=na n，求T n=b1+b2+…+b n的值．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）首先利用前n项和公式证明数列是等比数列，进一步求出通项公式．（2）利用（1）的结论求出新数列的通项，进一步利用乘公比错位相减法求数列的和．解答：解：（1）当n≥2时，所以：3a n=a n﹣1即：所以数列{a n}是以a1为首项，公比是的等比数列．当n=1时，求出（2）由（1）知：所以：①=②①﹣②得：﹣解得：即：点评：本题考查的知识要点：利用前n项和公式求数列的通项公式，乘公比错位相减法的应用．属于基础题型．22．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），b n=a n（a n+1）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n；（3）设T n=，证明：T1+T2+T3+…+T n＜n（n≥2）考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）首先利用数列的递推关系求出数列的通项公式．（2）根据（1）的结论进一步求出通项公式，在求数列的和．（3）根据（2）的结论，再对关系式进行变换，最后求得结果．解答：解：（1）a n+1=﹣2a n+1所以：a n+1+1=2（a n+1）即：由于：a1+1=2所以：数列{a n+1}是以2为首项，公比为2的等比数列．（2）b n=a n•（a n+1）由（1）知：=（3）由（2）知：=设所以：c n+1＞c nT n+1＜T n≤1（当且仅当n=1时等号成立）所以：T1+T2+…+T n＜n（n≥2）点评：本题考查的知识要点：用递推关系式求数列的通项公式及数列的和．数列的通项的应用，属于基础题型．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1页（共18页） 2014-2015学年福建省宁德市五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知实数m是1和5的等差中项，则m等于（ ） A． B． C．3 D．±3 2．（5分）点（1，2）在不等式x+y﹣a＞0表示的平面区域内，则a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，﹣3） C．（3，+∞） D．（﹣3，+∞） 3．（5分）在△ABC中，若AB=4，AC=3，A=30°，则S△ABC=（ ） A．3 B．6 C．3 D．6 4．（5分）已知等差数列{an}中，a2+a4=6，则前5项和S5为（ ） A．5 B．6 C．15 D．30 5．（5分）已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．ac2＞bc2
6．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a：b：c=3：5：7，则△ABC中的最大内角为（ ） A．60° B．90° C．120° D．150°
7．（5分）已知等比数列{an}中，=2，a4=8，则a6=（ ） A．31 B．32 C．63 D．64 8．（5分）已知正实数a，b满足+=1，x=a+b，则实数x的取值范围是（ ） A．[6，+∞） B．{2，+∞） C．[4，+∞） D．[3+2，+∞） 9．（5分）若不等式x2+kx+1＜0的解集为空集，则k的取值范围是（ ） A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C．（﹣2，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 10．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1，则a1+a9等于（ ） 第2页（共18页）
A．19 B．20 C．21 D．22 11．（5分）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（ ） A． B． C． D．
12．（5分）对于正项数列{an}，定义Gn=为数列{an}的“匀称”值．已知数列{an}的“匀称”值为Gn=n+2，则该数列中的a10，等于（ ） A．2 B． C．1 D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．（4分）不等式x（1﹣x）＞0的解集是 ． 14．（4分）一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为 km． 15．（4分）已知数列{an}中，a1=2，a8=58，an+1=an+cn（c为常数），则c的值是 ． 16．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，有下列结论： ①若A＞B，则sinA＞sinB； ②若c2＜a2+b2，则△ABC为锐角三角形； ③若a，b，c成等差，则sinA+sinC=2sin（A+C）； ④若a，b，c成等比，则cosB的最小值为． 其中结论正确的是 ．（填上全部正确的结论）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）公差不为0的等差数列{an}中，a1=3，a5=7． （Ⅰ）求数列{an}的通项an； （Ⅱ）若数列{bn}中，bn=2，求数列{bn}前n项的和Sn． 18．（12分）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，2bsinC=c （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若b=2，△ABC的面积为，求a，c的值． 第3页（共18页）
19．（12分）红旗化肥厂生产A、B两种化肥．某化肥销售店从该厂买进一批化肥，每种化肥至少购买5吨，每吨出厂价分别为2万元、1万元．且销售店老板购买 化肥资金不超过30万元． （Ⅰ）若化肥销售店购买A、B两种化肥的数量分别是x（吨）、y（吨），写出x、y满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示）； （Ⅱ）假设该销售店购买的A、B这两种化肥能全部卖出，且每吨化肥的利润分别为 0.3万元、0.2万元，问销售店购买A、B两种化肥各多少吨时，才能获得最大利润，最大利润是多少万元？
20．（12分）如图：在平面四边形ABCD中，AB=3，AC=6，∠ACB=45°． （Ⅰ）求∠ACB的大小； （Ⅱ）若∠CAD=∠CBD=60°，求CD的长．
21．（12分）已知数列{an}中，a1=3，an+1=4an+3． （Ⅰ）试写出数列{an}的前三项； （Ⅱ）求证：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an； （Ⅲ）设bn=log2（an+1），记数列{}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．
22．（14分）已知f（x）=x2﹣abx+2a2． （Ⅰ）当b=3时， 第4页（共18页）
（ⅰ）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，求实数a的值； （ⅱ）求不等式f（x）＜0的解集； （Ⅱ）若f（2）＞0在a∈[1，2]上恒成立，求实数b的取值范围． 第5页（共18页） 2014-2015学年福建省宁德市五校联考高二（上）期中数
学试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知实数m是1和5的等差中项，则m等于（ ） A． B． C．3 D．±3 【解答】解：因为实数m是1和5的等差中项， 所以2m=1+5=6．则m=3， 故选：C．
2．（5分）点（1，2）在不等式x+y﹣a＞0表示的平面区域内，则a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，﹣3） C．（3，+∞） D．（﹣3，+∞） 【解答】解：∵点（1，2）在不等式x+y﹣a＞0表示的平面区域内， ∴点（1，2）满足不等式成立， 即1+2﹣a＞0， ∴a＜3， 即a的取值范围为（﹣∞，3）． 故选：A．
3．（5分）在△ABC中，若AB=4，AC=3，A=30°，则S△ABC=（ ） A．3 B．6 C．3 D．6 【解答】解：S△ABC===3． 故选：A．
4．（5分）已知等差数列{an}中，a2+a4=6，则前5项和S5为（ ） 第6页（共18页）
A．5 B．6 C．15 D．30 【解答】解：在等差数列{an}中，由a2+a4=6，得2a3=6，a3=3． ∴前5项和S5=5a3=5×3=15． 故选：C．
5．（5分）已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．ac2＞bc2
【解答】解：对于选项A，当a＞0，b＜0时，不成立， 对于选项B，当a=0，b=﹣2时，不成立， 对于选项D，当c=0时，不成立， 故选：C．
6．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a：b：c=3：5：7，则△ABC中的最大内角为（ ） A．60° B．90° C．120° D．150° 【解答】解：根据题意设a=3k，b=5k，c=7k，且C为最大角，
由余弦定理得：cosC===﹣， 则△ABC最大内角C=120°， 故选：C．
7．（5分）已知等比数列{an}中，=2，a4=8，则a6=（ ） A．31 B．32 C．63 D．64 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
由=2，a4=8，得
，解得：． 第7页（共18页）
∴． 故选：B．
8．（5分）已知正实数a，b满足+=1，x=a+b，则实数x的取值范围是（ ） A．[6，+∞） B．{2，+∞） C．[4，+∞） D．[3+2，+∞） 【解答】解：∵+=1，
∴x=a+b=（a+b）（+）=2+1++≥3， （当且仅当=即b=，a=2+时，等号成立）， 故选：D．
9．（5分）若不等式x2+kx+1＜0的解集为空集，则k的取值范围是（ ） A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C．（﹣2，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 【解答】解：∵不等式x2+kx+1＜0的解集为空集， ∴△=k2﹣4≤0，解得﹣2≤k≤2， ∴k的取值范围是[﹣2，2]． 故选：A．
10．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1，则a1+a9等于（ ） A．19 B．20 C．21 D．22 【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1， ∴a1+a9=S1+S9﹣S8
=（1+1+1）+（81+9+1﹣64﹣8﹣1）
=21． 故选：C．
11．（5分）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（ ） A． B． C． D． 第8页（共18页）
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB 把已知AC=，BC=2 B=60°代入可得，7=AB2+4﹣4AB× 整理可得，AB2﹣2AB﹣3=0 ∴AB=3 作AD⊥BC垂足为D Rt△ABD中，AD=AB×sin60°=，
即BC边上的高为 故选：B．
12．（5分）对于正项数列{an}，定义Gn=为数列{an}的“匀称”值．已知数列{an}的“匀称”值为Gn=n+2，则该数列中的a10，等于（ ） A．2 B． C．1 D．
【解答】解：∵Gn=， 数列{an}的“匀称”值为Gn=n+2， ∴a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+2），① ∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=（n﹣1）（n+1），② ①﹣②，得nan=2n+1， ∴an=，n≥2， 当n=1时，a1=G1=3满足上式， ∴an=，
∴． 故选：D．