总复习工程力学

根据A点的位移图，变形方程为
即
l 2 l1 l3 0 sin 30 tan 30 0
l3 2l2 3l1
变形方程
l3
建立补充方程
l1
l 2 l1 0 sin 30 tan 30 0
（4）
由虎克定律
FN1l1 FN1 3 EA EA
l2
FN 2l2 FN 2 2 EA EA F l F 1 l3 N 3 3 N 3 EA EA
ymax [ y],max [ ]
轴向拉伸与压缩
基本要求： 1. 轴力计算，绘轴力图； 2. 横截面上的正应力计算，强度计算； 3. 绘变形与位移图，变形与位移计算； 4. 材料的力学性质； 5. 求解简单拉压超静定问题。 难点： 绘变形与位移图；求解简单拉压超静定问题。
典型例题：
例1 钢木构架如图a所示。BC杆为钢制圆杆，AB杆为木杆。若F=10kN， 木杆AB的横截面面积为A1=10000mm2，弹性模量E1=10GPa，许用应力[σ]= 7MPa；钢杆BC的横截面面积为A2=600mm2，许用应力[σ]=160MPa。试：(1) 校核两杆的强度；(2)求许用载荷[F]；(3)根据许用载荷，重新设计钢杆BC 的直径。
向移动。当AB 杆的温度升高30℃时，试求两杆内横截面上的应力。已知 两杆的面积均为A＝1000mm2 材料的线膨胀系数α＝ 12×10－6/℃，弹性模 量E＝200GPa。 解 （1）画出A点的受力图（见图b） 因为节点A有三个未知力，而 平面汇交力系只有两个独立的平衡 方程，所以本题为一次超静定问题。 列静力平衡方程 ∑Fix＝ 0， FN1 cos30°＋FN2＝0
二力构件：
２、力系的简化与合成
平面任意力系的简化： 力系简化 → 用一简单力系代替一复杂力系。
３、力系的平衡条件及平衡方程应用
平面任意力系的平衡方程：
①一矩式
X
②二矩式
0
X 0
m A ( Fi ) 0
条件：x AB连线
B
A
③三矩式 m A ( Fi ) 0
Y 0
mO ( Fi ) 0
FAB 1.73MPa 7 MPa A 1 FBC 33.3MPa 160MPa A2
BC
由上述计算可知，两杆内的正应力都远低于材料的许用应力,强度 尚没有充分发挥。因此，悬吊物的重量还可以增加。
（二）求许用载荷
两杆分别能承担的许用应力为
FAB 1 A1 70KN FBC 2 A2 96KN
mB ( Fi ) 0
mB ( Fi ) 0
mC ( Fi ) 0
条件：A, B, C 不共线
x
B A
C
解得： FAx 0.71kN
FAy 0.35kN
M A 2.72kN m
FBx 25N
a
I
a
FC
I
解：1. 对DE：
M
D
a (F ) 0 FEsin 45º - M = 0，
水平位移 垂直位移 δ
δ
Bx＝BB1＝△l1＝
Fa EA
（→）
By＝BB＂＝
l2 l1 t an 450 sin 450
2
Fa 2 Fa Fa = (1 2 2 ) EA （↓） EA EA
＝
讨论 画结构变形图或节点位移图时，杆杆 受拉力，则在延长线上画伸长变形；杆件 受压力则画缩短变形。 由于我们在画节点位移图时，是按杆 件的伸长或缩短的实际情况而绘制的，即 在画节点位移图时已考虑了是拉伸还是压 缩这一现实，所以，在节点位移图中各线 段之间的关系仅是一般的几何关系，计算 位移时，只要代之以各杆伸长或缩短的绝 对值就可以了。
（5） 各杆的横截面面积计算 根据题意，三杆面积相同，由杆③的强度条件
FN 3 3 [ ] A3
FN 3 55.8 103 A3 398 106 m 2 398m m2 [ ] 140 106
即 A1＝A2＝A3＝398mm2
例4
简单构架如图a所示。A 点为铰接，可作水平移动，但不能作竖
* FS S z My , Iz bIz
FS 外力
应力
强度条件 变形 刚度条件
max [ ]
M nl GI P
max
M n max 180 [ ] GI P
, max [ ] max [ ] 1、积分法 2、叠加法
FN l l EA
（2）
FN 1 43.6 103 1 43.6MPa 6 A 100010
FN 2 37.8 103 2 37.8MPa 6 A 100010
例：图示杆系结构， l1 l2 , E1 A1 E2 A2 , E3 A3，求：各杆的内力。
B D C 2
解：、平衡方程:
2M FE a
2. 取CEB：
M C (F ) 0
FB 2a - F'E 2 a = 0，
M FB = a
桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。
节点
杆件
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。 桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；
②杆端铰接；
③外力作用在节点上。
S1 S1
力学中的桁架模型 ( 基本三角形) 三角形有稳定性
杆数
n
m
n 2m 3 0
平面静定桁架
节点数
2(m 3) n 3
求解桁架内力的方法：节点法，截面法。
准备工作：给各杆编号１，２，３，… ,并给节点加符号。
１）节点法：以节点为研究对象
E
S7
S6
D
4 2
I
8
H
S9
S11
1
A
5
7 6
9
11
D
10
B
3
C
P
P 各杆都假定为受拉力。 节点Ｄ的受力为一汇交力系，用汇交力系的方法来解，即：
例3 如图a所示结构中三杆的截面和材 料均相同。若F＝60kN，[ ]＝140MPa， 试计算各杆所需的横截面面积。 解 这是一次超静定问题。 （1）画出A点的受力图（见图b） 静力平衡方程 ∑Fix＝0 ， FN1－FN2cs30°＝0 (1) ∑Fiy＝0， FN3＋FN2sin30°－F＝0 (2) （2）画节点A的位移图 根据内力和变形一致的原则，绘A点位移图 如图c所示。 （3）建立变形方程
l 2
FN 2 l 2 EA

FN 2 3 200109 1000106
代入变形方程得补充方程
FN 1 3.46 200109 100010 6 12106 30 3.46

FN 2 3 200109 100010 6
例4
简单构架如图a所示。A 点为铰接，可作水平移动，但不能作竖
（2）变形计算
FN 1l1 Fa AB 杆： l1 EA EA
F l l 2 N 2 2 BC 杆： EA 2 F 2a 2 Fa EA EA
（3）节点B 的位移计算 结构变形后，两杆仍应相交在一点， 这就是变形条件，根据变形条件，作出 结构的变形图（见图c）. 因为AB 杆受的是拉力，所以沿AB 延 长线量取BB1等于 △ L1 ；同理，CB 杆受 的也是拉力，所以沿杆CB 的延长线量取 BB2 等于△L。 分别在点B1 和B2 处作BB1 和BB2 的垂 线，两垂线的交点B′为结构变形后节点B 应有的新位置。即结构变形后成为 ABˊC 的形状。图c称为结构的变形图。 为了求节点B的位置，也可以单独作出节点B的位移图。位移图的作 法和结构变形图的作法相似，如图d所示。 结构变形图和节点位移图，在计算节点位移中是等价的。在今后的 计算中，可根据情况选作一图。由位移图的几何关系可得
(1)
（2）画节点A的位移图（见图c） （3）建立变形方程 △L1＝△L2cos30° （4）建立补充方程 △L1＝△LN1＋△LT，
即杆①的伸长△l1由两部份组成，△l N1表示由轴力FN1引起的变形， △lT表示温度升高引起的变形，因为△T 升温，故△lT 是正值。
FN l1 aTl1 EA FN 1 3.46 12 106 30 3.46 200 109 1000 106 l1
由前面两杆的内力与外力F之间的关系可得
FAB 3F , F1 FBC 2 F , F2
FAB 40.4 KN
3 2
FBC 48KN
根据上面计算结果，若以BC 杆为准，取[F]=48KN ，则 AB 杆的强 度显然不够，为了结构的安全，应取[F]=40.4KN。
向移动。当AB 杆的温度升高30℃时，试求两杆内横截面上的应力。已知 两杆的面积均为A＝1000mm2 材料的线膨胀系数α＝ 12×10－6/℃，弹性模 量E＝200GPa。 FN1 cos30°＋ FN2＝0 即 2.598 FN2－3.46 FN1＝ 249×103 联立（1）、（2）式，得 FN1＝－43.6kN（压） FN2＝37.8kN （拉） （5）应力计算 (1)
1
3 a a A
X 0 F sin a F sin a 0 Y 0 F cosa F cosa F F 0
N1 N2
N1 N2 N3
(1)
(2)
、几何方程——变形协调方程：
l3
l2
A2
y
l1
A3
l1 l2 L3 cosa
A1
、物理方程－变形与受力关系
d

25.4m m
例2 结构受载荷作用如图所示，已知杆AB 和杆BC 的抗拉刚度为EA. 试求节点B 水平及铅垂位移。