方程与函数的思想方法3

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数学中的五大主要解题思路

数学中的五大主要解题思路数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

今天小编给大家讲讲数学中的五大主要解题思路，希望可以帮助到大家。

函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。

利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。

数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。

它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此我们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。

不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样精彩。

(某些选择题的最佳方法) 极限思想解题步骤极限思想解决问题的一般步骤为：(1)对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;(3)构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。

分类讨论思想我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。

引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。

在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。

初中数学思想方法之函数与方程思想

初中数学思想方法之函数与方程思想
函数与方程思想是初中数学的一个重要思想，是数学学习的理论基础。

函数与方程思想是数学分析的重要方法，是数学思维方法的核心。

函数与方程思想的概念是数学分析的核心，它把复杂的问题简化为基
本概念，从而找出解决问题的办法。

它是学习数学的基础。

学会函数与方
程思想，可以帮助学生掌握数学的基本概念，把学习的内容归纳起来，提
高学习效率，为学习其他数学知识奠定坚实的基础。

函数与方程思想，所谓的函数，就是一个有输入和输出的过程，一个
函数将一个或多个未知变量的输入变换为一个输出，表示为y=f（x），
其中x是变量，f（x）是函数，y是函数的输出。

函数是数学分析的基础，它可以用数学语言表达自然现象，把复杂的问题简化，从而帮助人们更好
地理解自然现象。

方程是一个等式，表示两边（等式左边和等式右边）相等，有时也可
以表示两边的大小关系，如一元二次方程，可以表示为ax2+bx+c=0。

通
过求解方程，我们可以找到一个或多个解，这就是解方程的思想。

求解方
程是数学学习的重要方法，它不仅可以帮助我们得到问题的解决方法，还
可以丰富我们的思维方式，是理解数学的重要方式之一
函数与方程思想是初中数学学习的重要思想。

2021年中考数学复习精讲课件专题3 方程、函数思想 - 副本

精讲释疑
重重点点题题型型
题组训练
题型一用方程思想解决实际问题
例1.欣欣服装店某天用相同的价格a(a＞0)卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是( B )
A．盈利
B．亏损
C．不盈不亏
D．与售价a有关
重重点点题题型型
题组训练
【解析】列一元一次方程求出两件衣服的进价，进而求出总盈亏．设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x(1＋20%)＝a，设第二件衣服的进价为y元，依题意得：y(1－20%)＝a，得出x(1 ＋20%)＝y(1－20%)，整理得：3x＝2y，该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x－0.2y＝0.2x－0.3x＝－0.1x，即赔了 0.1x元．
DF，EF.若∠EFD＝90°，则 AE 长为( B )
A．2 B． 5
C．3 2 2
D．3
3 2
重点题型
题题组组训训练练
4．(2020·咸宁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F. (1)求证：BF＝DF； (2)若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
14×40)×20%，解得：a≤95 .答：a 的最大值为95 .
重点题型
题题组组训训练练
1．(2020·牡丹江)某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打__8__折．
重点题型
题题组组训训练练
2．(2020·湘西州)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为 20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个． (1)求口罩日产量的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝-解析版

待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝在运用函数与方程思想解题的过程中,在确定函数、方程、不等式的参变数的值时需要运用待定系数法,而构造法又常常与待定系数法紧密相联,换元法往往可以使较为复杂的问题变为基本题型,许多数学问题就是在不断转换的过程中加以解决的.如函数问题可以转换为方程问题求解,方程问题可以转换为函数问题通过图像结合不等式知识求解,善于转换是数学核心素养的体现.典型例题1设抛物线y =ax 2+bx +c 过点A 1,2 和B -2,-1 .(1)试用a 表示b 和c ;(2)对于任意非零实数a ,抛物线都不过点P m ,m 2+1 ,试求m 的值.【分析】对本题题意的理解是关键,什么是抛物线都不过某点呢?换一种说法是:将该点的坐标代入所给的抛物线方程,方程无实数解,所以本题体现了一种等价转换的思想以及待定系数法在研究函数与方程问题中的应用.【解析】1 依题意,a +b +c =2,4a -2b +c =-1, 解得b =1+a ,c =1-2a .(2)y =ax 2+1+a x +1-2a ,将m ,m 2+1 代人,得am 2+1+a m +1-2a =m 2+1,整理得m 2+m -2 a =m 2-m .由题意,关于a 的方程无非零实数解,由m 2+m -2=0,m 2-m ≠0, 得m =-2;由m 2+m -2≠0,m 2-m =0, 得m =0.故所求的值为m =-2或m =0.2(1)已知数列a n 中,a 1=10,且a n =15a n -1+2⋅5n ,求这个数列的通项公式;(2)已知数列a n 中,a 1=3,a 2=5,a n =a n -2+4n -3n ≥3 ,求通项公式a n .法构造新的特殊数列,从而使问题获解;第2 问,一般解法是设待定系数A ,即由a n +An 2=a n -2+An 2+4n -3配方,得a n +An 2=a n -2+A (n -2)2+4A +4 n -4A -3,令4A +4=0,解得A =-1,从而构造等差数列.当然,如果直接对递推关系变形很难看出解题者的数学核心素养.【解析】(1)先对递推式进行变形,a n 5n =15a n -15n +2.即a n 5n =3⋅a n -15n -1+2.设b n =a n 5n n ∈N * ,则b n =3b n -1+2.(1)引人待定系数α,β,使α,β满足b n -β=αb n -1-β .展开得b n =αb n -1-αβ+β.(2)对照(1)式和(2)式,可得方程组α=3,-αβ+β=2,解得α=3,β=-1. 即数列b n +1 是以b 1+1=a 15+1=3为首项,3为公比的等比数列,所以b n +1=3⋅3n -1=3n ,b n =3n -1.于是,b n =a n 5n =3n -1,a n =15n -5n n ∈N * .(2)由条件可得a n -n 2=a n -2-(n -2)2+1n ≥3 .令b n =a n -n 2,则数列b n 可化为两类等差数列,其中b 2n -1 是以b 1=a 1-1=2为首项,d =1为公差;b 2n 是以b 2=a 2-22=1为首项,d =1为公差.因此,b 2n -1=2+n -1 ,b 2n =1+n -1 .所以a 2n -1=(2n -1)2+n +1,a 2n =(2n )2+n .故a n =122n 2+n +3(n 为奇数)122n 2+n(n 为偶数) 可简化为a n =122n 2+n +341+(-1)n +1 .3设a 为实数,函数f x =a 1-x 2+1+x +1-x 的最大值为g a .(1)设t =1+x +1-x ,求t 的取值范围,并把f x 表示为t 的函数m t ;(2)求g a ;(3)试求满足g a =g 1a的所有实数.【分析】本例是一道苐进式的综合题,主要考查函数、方程等基础知识,考查分类与整合以及函数与方程的思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力,难度上循序渐进,第(1)问考查变量代换的技巧,难点在新变量范围的确定,可以有不同的方法求解;第(2)问是含参函数在区间上最大值的求法.分类与整合并结合函数单调性是解答的关键;第3 问实质是解方程,由于g a 是分段的,对于方程g a =g 1a 解的讨论更要分类全面、环环相扣.正如罗素所言:“数学不仅拥有真理,而且还拥有至高的美一种冷峻而严肃的美,正像雕塑所具有的美一样⋯⋯”本题的解决过程不仅能显示解题者的数学功力,也展现了“一种冷峻而严肃的美”.【解析】(1) 【解法一】 (代数法)令t =1+x +1-x ,要使t 有意义,必须1+x ≥0,1-x ≥0,即-1≤x ≤1.∵t 2=2+21-x 2,x ∈-1,1 ,t ≥0(1)∴t 的取值范围是2,2 ,由(1)式得1-x 2=12t 2-1,故m t =a 12t 2-1 +t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 .【解法二】(三角换元法)令x =sin2θ,θ∈-π4,π4.t =1+x +1-x =1+sin2θ+1-sin2θ=sin θ+cos θ +sin θ-cos θ=sin θ+cos θ-sin θ+cos θ=2cos θ,a 1-x 2=a 1-sin 22θ=a cos2θ由于θ∈-π4,π4 ,所以cos θ∈22,1,即t ∈2,2 ,f x =m t =a cos2θ+t ,又cos2θ=2cos 2θ-1=2×t 24-1=t 22-1故m t =a 12t 2-1 +t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 .(2)由题意知g a 即为函数m t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 的最大值.注意到直线t =-1a 是抛物线m t =12at 2+t -a 的对称轴,故分以下几种情况讨论.①当a >0时,函数y =m t ,t ∈2,2 的图像是开口向上的一段抛物线,∵t =-1a <0,知m t 在2,2上单调递增,∴g a =m2 =a+2.②当a=0时,∵m t =t,t∈2,2,∴g a =2.③当a<0时,函数y=m t ,t∈2,2的图像是开口向下的一段抛物线.若t=-1a∈0,2.即a≤-22,则g a =m2=2;若t=-1a∈2,2,即-22<a≤-12,则g a =m-1a=-a-12a;若t=-1a∈2,+∞,即-12<a<0,则g a =m2 =a+2.综上可得:g a =a+2a>-12-a-12a-22<a≤-122 a≤-22(3)①当a<-2时,1a >-12,此时g a =2,g1a=1a+2.由2+1a=2,解得a=-1-22,与a<-2矛盾.②当-2≤a<-2时,-22<1a≤-12.此时g a =2⋅g1a=-1a-a2.2=-1a-a2,解得a=-2与a<-2矛盾.③当-2≤a≤-22时,-2≤1a≤-22,此时g a =2=g1a,所以-2≤a≤-2 2④当-22<a≤-12时,-2≤1a<-2,此时g a =-a-12a,g1a= 2.由g a =g1a 即得-a-1 2a = 2.解得a=-22与a>-22矛盾.⑤当-12<a<0时,1a<-2,此时g a =a+2,g1a=2.由g a =g1a即得a+2=2,解得a=2-2与a>-12矛盾.(6)当a>0时,1a >0,此时g a =a+2,g1a=1a+2.由g a =g1a即得a+2=1a+2.解得a=±1,由a>0得a=1.综上可得,满足g a =g1a的所有实数a为-2≤a≤-22或a=1.4如图3-3所示,设直线l与椭圆x22+y2=1相切,切点为P,点M是坐标原点O在直线l上的正投影,求MP的最大值和最小值.【分析】本例的解答分3步:第一步,求出切线l 的方程和直线OM 的方程;第二步,求出点M 的坐标用点P x 0,y 0 的坐标表示,运用两点间距离公式求得|MP |2关于y 20的函数关系式;第三步,进入求MP 最值的流程,然而函数解析式太复杂了,可通过换元法变为基本函数求最值问题,当然新元的取值范围一定要紧紧㧓住!【解析】设P x 0,y 0 ,则-1≤y 0≤1,x 20=21-y 20 (点P 在椭圆上),切线l 的方程为x 0x +2y 0y =2(已知切点求䢶圆的切线方程),由OM ⊥l 得直线OM 的方程为2y 0x -x 0y =0.联立两直线方程,求得点M x ,y 的坐标为x =2x 0x 20+4y 20=2x 021-y 20 +4y 20=x 01+y 20x 20=2(1- y 20) ，y =4y 0x 20+4y 20=2y 01+y 20∴|MP |2=x -x 0 2+y -y 0 2=y 201+y 20 2x 20y 20+1-y 20 2 =y 201-y 20 1+y 200≤y 20≤1 设y 20=t 0≤t ≤1 ,则|MP |2=g t =t 1-t 1+t =-t +2-21+t =3-t +1+2t +1≤3-22(由基本不等式求得).当且仅当t +1=2t +1,即t =2-1时等号成立.∵0<2-1<1.∴函数g t 在区间0,1 上有最大值3-22,最小值0.即MP 的最大值和最小值分别为MP |max =3-22=2-1, MP |min =0.。

十大数学思想方法

十大数学思想方法数学思想是数学研究活动中解决问题的根本方法,是数学的灵魂和生命力。

因此,在教学过程中,要重视数学思想的提炼、渗透。

分析近几年的高考试题,高考中重点考察学生函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化或化归思想。

在不等式解题中,若能恰当地运用这些思想方法,可使许多复杂问题化难为易,化繁为简,从而达到优化解题过程,提高思维能力的目的。

一、函数与方程思想函数与方程是高中数学内容之重点,应用广泛,是解决数学问题的有力工具,在高考中占据非常重要的地位。

因此,在教学中要培养学生如何建立函数关系或构造函数,运用函数的图像、性质去分析问题,解决问题。

例1已知某∈(0,+∞),求证: 根据不等式的结构特征,恰当地构造辅助函数,此时,若均值不等式取最值时等号不成立,常常考虑利用函数的单调性来解决。

二、分类讨论思想分类讨论是数学能力培养的一个重要组成部分,在解某些数学问题时,当在整个范围内不易解决时,往往可以将这个大范围划分成若干个小范围来讨论研究。

分类讨论只能确定一个标准,必须坚持不重不漏的原则。

例2.设a为实数,函数f(某)=2某2+(某-a)|某-a|。

(1)求f(某)的最小值; (2)设函数h(某)=f(某),某∈(a,+∞)解不等式h(某)≥1评注:分类讨论的关键是要根据问题实际找到分类的标准,本题函数解析式中含有绝对值,所以首先必须分类讨论去绝对值,其次在解不等式中必须对判别式△进行讨论,当△>0时还需讨论根的大小。

分类时标准的确定须使任何两类交集为空集且并集为全集,这样才能在解题过程中,做到分类合理,并力求最简。

三、数形结合思想数与形是现实世界中客观事物的抽象与具体的反映。

数形结合思想,其实质是将代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机结合起来,通过对图形的处理,实现代数问题几何化,几何问题代数化。

解题时要充分进行数形转换,借助数的逻辑推演与形的直观特性求解,既直观又深刻。

例3.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元。

例谈函数与方程思想用于数学解题的思路与方法

文献标识码：Ａ
文章编号：１００５— ６３５１（２０１３）一０９— ００７３ — ０１
数学中的函数思想是从运动和变化的角度去分析和研究自数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。① 求出函数
＜Ｕ
ｏ）＞０），则实数。的取值范围是（
Ａ．（一∞ ，一１）ｕ（２，＋∞ ）Ｃ．（一２，１）
）
手）＿，（一 ÷）＝一 ÷ 。＋ｌ ÷）；，（ ÷）＇．．．一下１ａ＋１：
在实际应用中很多问题常常通过建立函数模型来解决，比如
）形式，再运用函数的有关性质来解决问题。在解数学题中，以函
Ａ．０Ｂ．７Ｃ．１４Ｄ．２１
且．口１）＋，（）＝１４．贝Ｈ口。＋ …＋＝（
解析：由，（）＝（一３）＋一１，令：ｇ（ｘ）＝）一２＝（一
从以下几个方面人手： ①利用函数与方程的性质解题； ②用函数
为２的函数，在区间［一，］上）｛Ｌ丝导，十ｌ０ ≤ ≤ １，其中
思想解决数列问题； ③ 函数与方程思想解决几何问题； ④构造函ｔｌ，６ＥＲ，若 ÷ ）－，（ ÷），则口＋２ｂ的值为 — — 。数与方程解题等等。本文通过举例探讨函数与方程思想用于数解析：考查周期函数的性质，确定参数的值。。．。）是定义在

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。

以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。

函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

中学数学中常见的数学思想有哪些

中学数学中常见的数学思想有哪些答题内容：1、化归的思想方法：所谓化归思想方法又叫转换思想方法、也叫转换思想方法、也叫转化思想方法,是一种把未解决的问题或特解决的问题,通过某种方式的转化,归化到一类已经能解决或比较容易解决的问题,最终得原问题的解答的思想方法.化归思想方法的三要素：化归谁化归对象、化归到哪化归目标、怎样化归化归方法.常见的化归方式有：已知与未知的化归、特殊与一般的化归、动与静的化归、抽象与具体的化归等.化归思想方法的特点：是实际问题的规范化、简单化、熟悉化、模式化、直观化、正难侧反思化、以便应用已知的理论、方法和技巧到解决问题的目的.其形式如图所示：例如方程问题转化为不等式问题：已知关于,的方程组,的解满足,求的取值范围.解析：先解关于,的方程组,再把用表示的,的代数式代入不等式组中,解关于的不等式组.2、数形结合的思想方法所谓数形结合的思想方法是指把数学问题用数量关系与图形结合起来解答数学问题.数形结合的思想方法的特点：数→形→问题的解答；形→数→问题的解答；数形,问题的解答.例如：如图所示、在数轴上的位置,请化简+的结果是:3、分类讨论的思想方法所谓分类讨论的思想方法是指根据所研究的问题的某种相同性和差异性将它们分类来进行研究的思想方法.分类讨论的思想方法的特点：分类不能重复也不能遗漏；同一次分类时,标准须相同；分类须有一定的范围,不能超范围.例如：三角形按边分类方法：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形,等腰三角形又可分为等边三角形、底边和腰不相等的等腰三角形.三角形按角分类方法：三角形可分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形.4、类比与归纳的思想方法所谓类比与归纳的思想方法是包括类比思想方法和归纳思想方法.类比思想方法是指不同的研究对象在某些方面有相似或相同之处,来联想、推导、猜想这些研究对象在其它方面也可能相同或相似,并作出某种判断的推理的思想方法.其特点是从特殊到特殊的推理方式.例如：从分数性质到分式性质；从全等三角形到相似三角形等.归纳思想方法是指由个别的、特殊的事例来推出同一类事物一般性的方法.其特点是由特殊至一般的推理方式.例如：1个点分割直线为2个部分,2个点分割直线为3个部分,3个点分割直线为4个部分,4个点分割直线为5个部分,5个点分割直线为6个部分,┉,n个点分割直线为1个部分.类比与归纳的思想方法活动过程如下：研究对象形成命题证明5、数学建模的思想方法所谓数学建模的思想方法是根据所研究问题的一些属性、关系,用形式化的数学语言表示的一种数学结构,中学数学中常用的数学模型有：图形、图象、表格和数学表达式,具体讲有方程模型、函数模型、几何模型、三角模型、不等式模型和统计模型.数学建模的思想方法一般原则：简化原则、可推演原则、反映性原则,其一般形式如图所示：例如：某公司计划购买若干台电脑,现从两家协力商厂了解到同一型号的电脑报价均为5000元,并且多买都有一定的优惠,A协力商厂优惠条件：第一台按原报价收款,共余每台优惠30%；B协力商厂优惠条件：每台优惠20%.如果你是老板,你该怎么考虑,如何选择分析：什么情况下,两家协力商厂收费相同；什么情况下,A协力商厂优惠；什么情况下,B协力商厂优惠；列不等式解决实际问题的数学建模的思想方法.解：设购买台电脑,如果到A协力厂更优惠,则移项且合并得,不等式两边同除以-500得.所以购买大于3台时A协力厂更优惠；购买小于3台时B协力厂更优惠；购买3台时两家协力商厂收费相同.6、整体的思想方法所谓整体的思想方法是指将有共同特征的某一类问题看成一个完整的整体,通过对其全面深刻的观察,着眼于问题的整体结构上,从整体上把握问题的内容和解决的方向和策略的思想方法.例如：已知二元一次方程组为,求=,=.分析：通过观察可知两式相减得,则=；两式相加得,则+=15,即得.7、方程的思想方法所谓方程的思想方法是指在研究数学问题时,从问题中的已知量和未知量之间的数量关系中找出相等关系,运用数学语言将这种相等关系列出方程组,然后解方程组,从而使这个数学问题得解.其特点是将繁琐的过程简单化,殊殊的问题一般化.例如：把一长为30米的绳子做成一个长方形,已知宽：长=1：2,求这个长方形的宽和长各是多少解析：宽和长总和为30米,其比为1：2,所以设方程解答.解：设宽为米,长为米.解得：答：长方形的宽为5 米,长为10 米.8、符号化的思想方法所谓符号化的思想方法：指用符号及符号组成的数学语言来表达数学的概念、运算和命题等的思想方法,是方程思想方法的基础.例如：∥、∠、≤、≥、=、、、%、{}、≠、∴、∵、⊙、⊥、△、、、、等等.9、统计思想方法所谓统计思想方法：是通过样本来推断总体,是关于如何收集数据、整体数据、描述数据、分析数据,如何解释数据统计结果的思想方法.例如：为了了解某所初级中学学生对6月5日“世界环境日”是否知道,从该校全体学生1000名中,随机抽查了100名学生,结果显示有2名学生“不知道”．由此,估计该校全体学生中对“世界环境日”约有名学生“不知道”.10、公理化的思想方法所谓公理化的思想方法：指从尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题即公理公设出发,按照逻辑规则推导出其他命题,建立起一个演绎科学理论系统的方法.例如：平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.11、函数的思想方法。

专题解题有魂——领悟贯通4大数学思想 2023高考数学二轮复习课件

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|技法点拨| 此题是一道典型的求离心率的题目，一般需要通过a，b，c之间的关系，得出关于a，c的方程，经过恒等变形就可以求出离心率．
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在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为
3 15，b－c＝2，cos A＝－14，则 a＝____8____．
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构造函数关系解决问题在高考试题中，综合问题的比较大小、求最值等，一般均需利用构造函数法才能完成．如何正确的构造出恰当的函数，是解决此类问题的关键，因此充分挖掘原问题的条件与结论间的隐含关系，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出恰当的函数，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．
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|技法点拨| 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数 y＝x1＋ln x 的单调性巧妙地求出实数 k 的取值范围．此法也叫主元法．
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已知函数 f(x)＝33xx－＋11＋x＋sin x，若存在 x∈[－2，1]，使得 f(x2＋x)＋f(x－k) ＜0 成立，则实数 k 的取值范围是__(_－__1_，__＋__∞__)__．解析：由题意知，函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数．又 f′(x)＝（2l3nx＋3·1）3x2＋1＋cos x＞0 在 x∈[－2，1]上恒成立，函数 f(x)在 x∈[－ 2，1]上单调递增．若存在 x∈[－2，1]，使得 f(x2＋x)＋f(x－k)＜0 成立，则 f(x2＋x)＜－f(x－k)⇒f(x2＋x)＜f(k－x)⇒x2＋x＜k－x，故问题转化为存在 x∈[－2，1]，k＞x2＋2x，即 k＞(x2＋2x)min，当 x∈[－2，1]时，y＝x2＋2x＝ (x＋1)2－1 的最小值为－1.故实数 k 的取值范围是(－1，＋∞)．

数学答题如何找解题思路？小编教你四种数学解题思想！

数学答题如何找解题思路？小编教你四种数学解题思想！学习资料第一栏第二栏第三栏第四栏第五栏高考数学解题思想一：函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。