相似三角形的性质(精品练习)
相似三角形的定义、判定及性质(习题及答案).
相似三角形的定义、判定及性质（习题）➢例题示范例1：如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点 F 在边CD 上，且CF=3FD，△ABE 与△DEF 相似吗？为什么？解：△ABE 与△DEF 相似．理由如下：在正方形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB=AD=CD设AB=AD=CD=4a∵E 为边AD 的中点，CF=3FD∴AE=DE=2a，DF=a∴ AB=4a= 2 ，AE =2a = 2DE 2a∴ AB=AEDF aDE DF又∵∠A=∠D∴△ABE∽△DEF➢巩固练习1.在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x= ，y= ，m= ，n= ．2.如图，△ADE∽△ABC，AD=BC，BD=4，DE=9，则AD= ，AE= ．EC3.如图，在△ABC 中，AC=8，BC=10，AB=12，D，E 分别是△ABC 的边AB，AC 上的动点，且始终满足△ABC∽△AED．当AE=AC 时，BD= ；当AE=BD 时，AE= ，DE=；BC在D，E 移动的变化过程中，AD:DE:AE= ．4.如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个条件：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2 =AP ⋅AB ；④ AB ⋅CP =AP ⋅CB ．其中能判定△ABC∽△ACP 相似的是．第4 题图第5 题图5.如图，在正三角形ABC 中，D，E 分别在AC，AB 上，且AD=1，AC 3AE=BE，则有（）A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD6.在如图4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A B C D7.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC，BD 交于点O，OD=1，若OA=1，OB =9，则OD= ，AD=．OC 2 2 BC8.如图，∠APB=120°，点M，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三角形．若AMNB =1，AB=26，则NB 长为．99.如图，在△ABC 中，∠A=90°，点E 在线段AB 上，点D 在线段AC 上，且满足△ABC∽△ADE，若AE=6，EB=3，2AD=DC，则AD= ，DE= ．10.如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=12，BC=8，点D，E分别在边BC，AC 上，且BD=3，CE=2．求证：△ABD∽△BCE．11.如图，在△ABC 中，CD=CE，∠A=∠ECB．求证：CD2=AD·BE．12.将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积是△ABC 面积的一半．已知BC=2，求△ABC 平移的距离．13.求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC 及线段A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′ 为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出己知、求证和证明过程．14.如图，在△ABC 中，EF∥BC，AB=3AE，若S 四边形BCFE=16，=（）则S△ABCA．16 B．18 C．20 D．2415.如图，△ABC，△FGH 中，D，E 两点分别在AB，AC 上，F点在DE 上，G，H 两点在BC 上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG:GH:HC=4:6:5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（）A．2:1 B．3:2 C．5:2 D．9:4➢思考小结1. 回顾相似三角形相关概念，并填空．①相似三角形对应边成比例，对应角相等；②两角分别相等的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似．以上概念都是围绕三角形相似，角度相等，线段成比例等信息进行的．不同处在于：利用性质时，三角形相似是条件，角度相等，线段成比例是结论；利用判定时，角度相等，线段成比例是，三角形相似是．由此我们可以发现，当碰到线段成比例和角度相等等条件或结论时，要考虑相似三角形的应用．【参考答案】➢巩固练习1. 32；15；70°；60°22. 12；33. 20；7.2；3 3 54. ①②③5. B6. B7. 3；1；4:5:6 2 38. 189. 4；3 610. 证明略11. 证明略12. △ABC 平移的距离为2 2 ．13. 证明略14. B15. D➢ 思考小结1. 条件；结论。
相似三角形的性质及应用练习题1
相似三角形的性质及应用练习卷一、填空题1.已知两个相似三角形的相似比为3, 则它们的周长比为；2.若△ABC∽△A′B′C′, 且, △ABC的周长为12cm, 则△A′B′C′的周长为；3、如图1, 在△ABC中, 中线BE、CD相交于点G, 则= ；S△GED: S△GBC= ；4.如图2, 在△ABC中, ∠B=∠AED, AB=5, AD=3, CE=6, 则AE= ；5.如图3, △ABC中, M是AB的中点, N在BC上, BC=2AB, ∠BMN=∠C, 则△∽△ ,相似比为 , = ；6、如图4, 在梯形ABCD中, AD∥BC, S△ADE: S△BCE=4: 9, 则S△ABD: S△ABC= ；7、如图5, 在△ABC中, BC=12cm, 点D、F是AB的三等分点, 点E、G是AC的三等分点, 则DE+FG+BC= ；8、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm, 则它们的对应角的平分线的比为；9、两个三角形的面积之比为2: 3, 则它们对应角平分线的比为 , 对应边的高的比为；对应边的中线的比周长的比10、已知有两个三角形相似, 一个边长分别为2、3、4, 另一个三角形最长边长为12, 则x、y的值为；二、选择题11.下列多边形一定相似的为（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形12、在△ABC中, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, 另一个和它相似的三角形的最短边是5cm, 则最长边是（）A.18cmB.21cmC.24cmD.19.5cm13、如图, 在△ABC中, 高BD.CE交于点O, 下列结论错误的是（）A.CO·CE=CD·CA B、OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·AB D、CO·DO=BO·EO14.已知, 在△ABC 中, ∠ACB=900, CD ⊥AB 于D, 若BC=5, CD=3, 则AD 的长为（ ）A.2.25B.2.5C.2.75D.315.如图, 正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上,其余两个顶点A.D 在PQ 、PR 上, 则PA ：PQ 等于（ ）A.1:B.1: 2C.1: 3D.2: 316.如图, D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, = =3,且∠AED=∠B, 则△AED 与△ABC 的面积比是（ ）A 、1: 2B 、1: 3C 、1: 4D 、4: 9三、解答题17、如图, 已知在△ABC 中, CD=CE, ∠A=∠ECB, 试说明CD2=AD ·BE 。
相似三角形的性质 文档
（第25题）A B O M 图丙A B C O P M D 图乙?图甲M P O C B A 相似三角形性质专项练习.例 题：1 .△ABC 中，AB ＝12，BC ＝18，CA ＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的 一边是（ ）A 、27 B 、12 C 、18 D 、202.如图，锐角△ABC 中，AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，DE=2，则AC 边上的高为______________.3. 如图，已知D 、E 分别是的AB 、 AC 边上的点，且那么等于（ ） A ．1：9 B ．1：3 C ．1：8 D ．1：2（2题） （3题）7、已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．8 .已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动,两直角边分别与边OA ，OB 交于点C ，D.①在图甲中，证明：PC=PD ；②在图乙中，点G 是CD 与OP 的交点，且PG=23PD ，求△POD 与△PDG 的面积之比. （2）将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动，一直角边与边OB 交于点D ，OD=1，另一直角边与射线OA 交于点C ，射线OB 的反向延长线交于点E ，使以P ，D ，E 为顶点的三角形与△OCD 相似，在图丙中作出图形，试求OP 的长.练习：6．如图△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD 于E ，连接AE ．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC 与△BEA 的面积之比．7. 如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，． （1）求证：EG CG AD CD=； （2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由 F A G CE D B。
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。
证明：=。
当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。
2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。
证明：AC^2=AF•AD。
联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。
3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。
证明：△APC∽△ACB。
若AP=2，PC=6，求AC的长。
4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。
证明：△ABF∽△EAD。
若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。
5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。
证明：AB•BC=AC•CD。
6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。
说明AF•BE=2S的理由。
7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。
若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。
若AE=2，试求AP•AF的值。
若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。
8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。
证明。
9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。
证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。
10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。
12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。
三角形相似性质练习题
三角形相似性质练习题一、选择题1. 若两个三角形的两边之比相等，且夹角相等，那么这两个三角形（）。
A. 全等B. 相似C. 不一定全等D. 不一定相似2. 在ΔABC中，若AB=6cm，AC=8cm，且∠A=30°，在ΔDEF中，若DE=12cm，DF=16cm，且∠D=30°，则ΔABC与ΔDEF（）。
A. 全等B. 相似C. 不一定全等D. 不一定相似3. 下列关于相似三角形的性质，错误的是（）。
A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长成比例D. 面积相等二、填空题1. 若两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形（）。
2. 在ΔABC中，若AB=5cm，AC=7cm，且ΔABC∽ΔDEF，若DE=10cm，则DF的长度为（）cm。
3. 若两个相似三角形的面积比为9:16，则它们的边长比为（）。
三、解答题1. 在ΔABC中，AB=6cm，AC=8cm，∠A=45°，在ΔDEF中，DE=12cm，DF=16cm，求∠D的度数，并判断ΔABC与ΔDEF是否相似。
2. 已知ΔABC与ΔDEF相似，且AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，DE=3cm，求DF的长度。
3. 在ΔABC中，∠A=60°，∠B=70°，AB=5cm，AC=8cm，求ΔABC的面积。
4. 证明：若两个三角形的两边成比例，且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似。
5. 在ΔABC中，AB=5cm，AC=7cm，∠A=45°，在ΔDEF中，DE=10cm，DF=14cm，求∠D的度数，并判断ΔABC与ΔDEF是否相似。
四、判断题1. 如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形一定相似。
（）2. 两个相似三角形的面积比等于它们对应边长比的平方。
（）3. 任意两个等腰三角形都是相似的。
（）4. 如果两个三角形的周长比是2:3，那么它们的面积比也是2:3。
相似三角形性质专题(附答案
相似三角形的性质专题练习（附答案）1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC= .2.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是3.已知在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，点D是射线BC上的一点（不与端点B重合），连接AD，如果△ACD与△ABC相似，那么BD= .4.如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边AB上一点（不与A、B重合），F是边BC上一点（不与B、C重合）．若△DEF和△BEF是相似三角形，则CF= .5.如图，正方形ABCD的边长是2，E为BC的中点，点M、N分别在CD和AD上，且MN=1，当DM= 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．如图，D是等边△ABC的边BC上一动点，ED∥AC交AB于点E．DF⊥AC交AC于点F，DF=3，若△DCF与E、F、D三点组成的三角形相似，则BD的长等于1.解：∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵D 是AB 边的中点，∴CD=BD=AB 21=5 ∵以D 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似， ∴∠DPC=90°或∠CDP=90°， （1）若∠DPC=90°，则DP ∥AC ，∴21==BC BP AB BD ∴BP=421=BC ，则PC=4； （2）若∠CDP=90°，则△CDP ∽△BCA ，∴1085,PC AB PC BC CD ==即，∴PC=425． ∴PC=4或425 2.解：根据△B′FC 与△ABC 相似时的对应情况，有两种情况：①△B′FC ∽△ABC 时，BC CF AB F B ='， 又因为AB=AC=6，BC=8，B'F=BF ，所以886'BF F B -=， 解得BF=724； ②△B′CF ∽△BCA 时，CACF BA F B ='， 又因为AB=AC=6，BC=8，B'F=CF ，BF=B′F ，又BF+FC=8，即2BF=8，解得BF=4．故BF 的长度是4724或. 3.解：解：①若点D 在线段BC 上，∵△ACD ∽△BCA ，∴AC CD BC AC =，即121612CD =， 解得：CD=9，则BD=BC-CD=16-9=7；②若点D 在线段BC 的延长线上当△D AC ∽△ABC 时，则AC CD BC AC =，即121612CD =， 解得：CD=9，则BD=BC+CD=16+9=25； 当△ACD ∽△ACB 时，则BC CD AC AC =， 即BCCD =1212，∴CD=16， 则BD=BC+CD=16+16=32．故答案为：7或25或32．4.解：：①如图1，∠DEF=90°时，设AE=x ，则BE=4-x ，易求△ADE ∽△BEF ，∴EF DE BE AD =，即EFDE x =-43， ∵△DEF 和△BEF 是相似三角形， ∴△DEF 和△ADE 是相似三角形，∴ADAE EF DE AE AD EF DE ==或 ∴343343x x x x =-=-或， 整理得，6x=12或x 2-4x+9=0（无解），解得x=2，∴BE=4-2=2，BF 223=，解得BF=34，CF=3-34=35；②如图2，∠DFE=90°时，设CF=x ，则BF=3-x ，易求△BEF ∽△CFD ，∴EF DF BF DC =，即EF DF x =-34，∵△DEF 和△BEF 是相似三角形，∴△DEF 和△DCF 是相似三角形，∴DCCF EF DF CF DC EF DF ==或，即434434x x x x =-=-或， 整理得，8x=12或x 2-3x+16=0（无解），综上所述，CF 的值为5/3或3/25.答案自己给出6.解：∵ED ∥AC 交AB 于点E ，△ABC 是等边三角形， ∴△BDE 是等边三角形，∠FDC=30°，当△DCF ∽△EFD ， ∴∠FED=∠FDC=30° ∴DE=3333tan ==∠FED DF ，∴BD=DE=3；当△DCF ∽△FED ，∴∠EFD=∠FDC=30°，∴BD=DE =DF•tan ∠A=1．故答案为：1或3．7.在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，以斜边BC 上距离B 点3cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt △DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 1.44 cm 2．解：根据旋转的性质可知，△PSC ∽△RSF ∽△RQC ∽△ABC ，△PSC ∽△PQF ，∵∠A=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，∴BC=5，PC=2，S △ABC =6，∵S △PSC ：S △ABC =1：4，即S △PSC =23， ∴PS=PQ=23， ∴QC=27， ∴S △RQC ：S △ABC =QC 2：BC 2，∴S △RQC =50147， ∴S RQPS =S △RQC -S △PSC =1.44cm 2．。
相似三角形性质完整的题型+答案
相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。
4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。
二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。
变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。
A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。
(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。
变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。
(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。
(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。
例题:如图，已知DE//BC ，AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 4:15 。
变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。
A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2答案：D 。
例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求: (1)S △AOD :S △BOC 的值；(2)S △AOB :S △AOD 的值. 答案:(1)9:25 (2)5:3。
相似三角形的性质经典题
相似三角形的性质典型题1、△ABC 中，DE ∥FG ∥BC （1）若AD=DF=FB ，求S 1:S 2:S 3 （2）若S 1:S 2:S 3=1:8:27，求AD:DF:FB 的值。
2、梯形ABCD ，AD:BC=1:3，EF ∥AD 且EF 平分梯形ABCD 的面积。
求AE:BE 的值。
DABCE F拓展：梯形ABCD ，AD=a ，BC=b ，EF ∥AD 且EF 平分梯形ABCD 的面积。
求EF 的长。
DABCE F3、如图，O 是△ABC 的内心，OD ∥AB ，OE ∥AC ，求证：BC 2=DE （AB+BC+AC ）ABCODE4、△ABC 中，AB=6，AC=9，D 在AC 上，且AD=4，E 、F 分别是BD 、BC 的中点，AE=3，求AF 的长。
ABCDEF5．已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为41，那么两底的比为______S3S1S2A BCD E FG6．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AC ⊥BD ，已知kADBC =，求BDAC 的值。
OCBA D7、梯形ABCD ，AC 、BD 交于点O. 求证：（1）231S S S ）（梯形+= （2）探究S 1+S 3与S 2+S 4的大小关系。
S1S2S3S4ODABC8、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ABO =256S 梯形ABCD ，，求△AOD 与△BOC 的周长比。
OADCB9、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求BF 的长度。
10、（2009年安徽）如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ． （1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长．11、如图，点A 1、A 2、A 3、A 4在射线OA 上，点B 1、B 2、B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3，．若△A 2B 1 B 2△A 3B 2 B 3，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．12、如图，在R t △ABC 中，∠A=90°，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜边BC 上距离B 点6㎝的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF ，求旋转前后两个三角形重叠部分的面积.13、将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5；（2）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB=2a ，问△CMG 的周长是否与点M 的位置有关？若有关，请把△CMG 的周长用含DM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由.O A 1 A 2 A3A 4 AB B 1 B 2 B 3 1 4 A BCDEFMG HGABCDFEP14．如图，在△ABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿AB 以每秒4㎝的速度向点B 运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3㎝的速度向A 点运动，设运动的时间为x ． (1)当x 为何值时，PQ ∥BC? （2）当31=∆∆ABCBCQ S S 时，求ABCBPQ S S ∆∆的值；(3)△APQ 能否与△CQB 相似?若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由．B A CQ P15.（2009恩施市）如图，在△ABC 中，∠A=90°,BC=10，△ABC 的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设DE=x ，以DE 为折线将△ADE 翻折（使△ADE 落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的△A ′DE 与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ．（1）用x 表示△ADE 的面积；（2）求出0<X ≤5时y 与x 的函数关系式； （3）求出0<X<10时y 与x 的函数关系式；（4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？EA 'DBCA B CA16、（09太原）如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C 、D 重合），压平后得到折痕MN ．当21CDCE =时，求BNAM 的值．类比归纳在图（1）中，若31CDCE =则BNAM 的值等于 ；若n1CDCE =则BNAM 的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C 、D 重合），压平后得到折痕MN ．设)1(1BCAB >=m m当21CDCE =时，求BNAM 的值．（用含m ，n 的式子表示）BDACFNEM17、△ABC 和△PQM 是全等的等边三角形，重叠部分是六边形EFGHIJ ，六条边长分别为a 、b 、c 、d 、e 、f ，求证：a 2+c 2+e 2=b 2+d 2+f 2bdf ceaJ I H G F EM CABP Q图（2）NABC D EFM19．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在Y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处．已知折叠CE=55，且tan ∠EDA=43．20．（1）判断△OCD 与△ADE 是否相似？请说明理由；（2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线L ，使直线L 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线L 、直线CE 与Y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．三角形内接多边形问题20、△ABC 作一正方形DEFG,已知BC=12，△ABC 面积为48，求EF 的长。
《相似三角形的性质》习题精选
A C G FB DE G 《相似三角形的性质》习题精选一． 填空：1． 在△ABC 中，AB=AC ，∠A=360 ，∠B 的平分线交 AC 于 D ， △BCD ∽△____，且BC_____。
2． △ABC ∽△A 1B 1C 1，，AB=4，A 1B 1=12，则它们对应边上的高的比是 ，若BC 边上的中线为1.5，则B 1C 1上的中线A 1D 1=_______3． 如果两个相似三角形的周长为6cm 和15cm ，那么两个相似三角形的相似比为_______4． 在△ABC 中，BC=54cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，若另一个与它相似的三角形的最短边长为15cm ，则其周长为_____5． 在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，若BD=9，DC=12，则AD=_____，BC=_____6． △ABC ∽△A 1B 1C 1，，且△ABC 的周长：△A 1B 1C 1的周长=11：13，又A 1B 1－AB=1cm ，则AB=_____cm ，A 1B 1=_______cm 。
7． 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 分成的两部分面积的比是1：2，EF 是中位线，则被EF 分成的两部分面积的比S 四边形AEFD ：S 四边形BCEF =_______ 8． 如图，DEFG 是Rt △ABC 的内接正方形，若CF=8，DG=42， 则BE=_______，二． 选择题：9．两相似三角形面积的比是1：4，则它们对应边的比是（ ） A.1：4 B 1：2 C 2：1 D 1：210 在Rt △ABC 中，∠C=900，，∠B=300，，AD 为∠A 的平分线，DC 长为5cm ，那么BD=（ ）A 10 cmB 5 cmC 15 cmD 以上都不对11．三角形的3条中位线长是3cm ，4cm ，5cm ，则这个三角形面积是（ ）A ． 12cm B. 18cm C 24cm D 48cm12．在◇ABCD ，AE ：EB=1：2，S △AEF =6，S △CDF =（ ）A 12 B 15 C 24三． 几何证明13．△ABC 中，∠C=900，D ，E 分别是 AB ，AC 上的点，AD · AB=AE ·AC ，求证 ED ⊥AB(13) (14) (15)14 在△ABC 中，M 是AC 边的中点，且AE=41BA ，连接EM ，并延长交BC 的延长线于D ，求证 BC=2CD15 已知等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ， 求证 ：BF 2=EF ·EG16 已知：在△ABC 中，∠BAC=900 AD ⊥BC 于D ，P 为AD 中点，BP 延长线交AC 于E ，EF ⊥BC 于F 求证： EF 2=AE ·AC17 已知△ABC ，（1）∠ACB=900，P 为AB 边上一动点（不与点A 、B 重合）过点P 引直线截△ABC ，使截得三角形与△ABC 相似，则符合题意的直线最多能引多少条？并画图说明；（2）在第一问中，若BC=3，AC=4，设线段AP=X ，过点P 的直线截得的三角形面积为Y ，求Y 与X 之间的函数关系式，并注明X 的取值范围；（3）若∠ACB 为锐角或钝角，请回答第（1）问的问题答案1、△BCD ∽△ABC BC=BD2、1：3 4：53、2：54、54cm5、16，256、511，516 7、5：7 8、4 9 、B 10、A 11、C 12、D 13、证 △ADE ∽△ACB ∠ADE=∠C=900 所以ED ⊥AB 14、过点C 作CF ∥ED ，交AB 于F ，易得F 是AB 中点，∴BF=2EF ，又CF ∥ED ，∴2==CDBC EF BF ，即 BC=2CD 15、先证BE=EC ，∠EBC=∠ECB ，可得∠ABF=∠ACF ，又 AB ∥CG ，∴∠ABF=∠G ，∴△ECF ∽△EGC ，∴EC 2=EF ·EG ，即 BF 2=EF ·EG16、延长BA 、FE 交于点G ，由条件得AD ∥FG ，∴BE BP EF PD =，BEBP EG AP =，又AP=PD ∴EF=EG ，再证△AEG ∽△FEG ，故 EF 2=AE ·EC17、⑴符合条件的最多可引三条（图略）；⑵当直线PD ∥BC 时，Y=256X 2（0∠x ∠5），当直线PE ∥AC 时，Y=256X 2—512X+6（0∠x ∠5）⑶当直线PC ⊥AB 时，则有①Y=83X 2 （0∠x ≤516），②Y=32X 2——320X+350( 516≤x ＜5 ＝ ③符合条件的最多也引三条（图略）。
最新相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)
相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案）1．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD．（1）求证：=；（2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°．2．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足．（1）求证：AC2=AF•AD；（2）联结EF，求证：AE•DB=AD•EF．3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC．（1）求证：△APC∽△ACB；（2）若AP=2，PC=6，求AC的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．5．已知：如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB•BC=AC•CD．6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF•BE=2S 的理由．7．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．8．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．10．如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H 两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？11．如图，AB和CD交于点O，当∠A=∠C时，求证：OA•OB=OC•OD．12．如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．13．已知：如图，△ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2=BD•BA．（1）求证：△CED∽△ACD；（2）求证：．14．如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD=∠BGD=∠C，联结AG．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：∠BGA=∠BAC．15．已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，BE，AD相交于点G，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，DF=6．（1）求AE的长；（2）求的值．16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD中点，且∠AMD=∠BMD，AP∥CD交BC延长线于P点，延长BM交PA于N点，且PN=AN．（1）求证：MN=MA；（2）求证：∠CDA=2∠ACD．17．已知：如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得∠CAD=∠B，DC=3且S△ACD：S△ADB﹦1﹕2．（1）求AC的值；（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且AB∥DE，求的值．18．在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．19．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE 交于点E．（1）求证：∠BAD=∠FDE；（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB=6，AE=5时，求线段AG的长．20．如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？21．已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED 交AC于点F，连接DC、AE．（1）求证：△ADE≌△DFC；（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；（3）若BG=，CH=2，求BC的长．22．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BE∥BC交AC于点E．（1）求证：AE•BC=AC•CE；（2）若S△ADE：S△CDE=4：3.5，BC=15，求CE的长．23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．25．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．26．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．27．如图，△ABC是等边三角形，且AB∥CE．（1）求证：△ABD∽△CED；（2）若AB=6，AD=2CD，①求E到BC的距离EH的长．②求BE的长．28．如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．（1）若AC=3，AB=4，求；（2）证明：△ACE∽△FBE；（3）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．29．如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：（1）△ABD∽△ECA；（2）BC2=DB•CE．30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC=CD=，又E，D为CB的三等分点．（1）证明：△ADE∽△BDA；（2）证明：∠ADC=∠AEC+∠B；（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE，则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由．相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案：1．解：（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，且∠CDG=∠BAD，∴∠ADG=∠B；∵∠BAC=∠DAG，∴△ABC∽△ADG，∴=．（2）∵∠BAC=∠DAG，∴∠BAD=∠CAG；又∵∠CDG=∠BAD，∴∠CDG=∠CAG，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠DAG+∠DCG=180°；∵GC⊥BC，∴∠DCG=90°，∴∠DAG=90°，∠BAC=∠DAG=90°．2．解：（1）如图，∵∠ACB=90°，CF⊥AD，∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC，∴△ACD∽△AFC，∴，∴AC2=AF•AD．（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴A、E、F、C四点共圆，∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B；∵∠FAE=∠BAD，∴△AEF∽△ADB，∴AE：AD=BD：EF，∴AE•DB=AD•EF．3．解：（1）∵PB=PC，∴∠B=∠PCB；∵PC平分∠ACB，∴∠ACP=∠PCB，∠B=∠ACP，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB．（2）∵△APC∽△ACB，∴，∵AP=2，PC=6，AB=8，∴AC=4．∵AP+AC=PC=6，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，∴该题无解．4．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE=180°，∵∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠EDA，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠AED，∴△ABF∽△EAD；（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE=90°，∵AB=4，∠BAE=30°，∴AE=2BE，由勾股定理可求得AE=5．证明：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠C，∴BD=CD，在△ABD和△ACB中，，∴△ABD∽△ACB，∴=，即AB•BC=AC•BD，∴AB•BC=AC•CD．6．证明：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠B=45°，∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；∴∠BCE=∠2，∵∠A=∠B，∴△ACF∽△BEC．∴，∴AC•BC=BE•AF，∴S△ABC=AC•BC=BE•AF，∴AF•BE=2S．7．（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P 的路径为：．所以，点P经过的路径长为或3．8．证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴=．9．证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．∴∠BDE=∠CED，∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE；（2）由△DEF∽△BDE，得．∴DE2=DB•EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴，∴DE2=DG•DF，∴DG•DF=DB•EF．10．解：设EC=x，CH=y，则BE=2﹣x，∵△ABC、△DEF都是等边三角形，∴∠B=∠DEF=60°，∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，∴∠BDE=∠HEC，∴△BED∽△CHE，∴，∵AB=BC=2，点D为AB的中点，∴BD=1，∴，即：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1．∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点11．解：∵∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，∴△OAD∽△OCB，∴=，∴OA•OB=OC•OD．12．解：（1）猜测BE和直线AC垂直．证明：∵△AEC是等边三角形，∴AE=CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∵BE=BE，∴△AEB≌△CEB（SSS）．∴∠AEB=∠CEB，∵AE=CE，∴BE⊥AC；（2）∵△AEC是等边三角形，∴∠EAC=∠AEC=60°，∵BE⊥AC，∴∠BEA=∠AEC=30°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，∴∠BAE=15°，∴∠EBF=45°，∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，∴△BEF∽△ACB，延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=a﹣a，∴相似比是：===13．证明：（1）∵BC2=BD•BA，∴BD：BC=BC：BA，∵∠B是公共角，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A，∵CD平分∠ECB，∴∠ECD=∠BCD，∴∠ECD=∠A，∵∠EDC=∠CDA，∴△CED∽△ACD；（2）∵△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD，∴=，=，∴．14．证明：（1）∵∠DBG=∠EBC，∠BGD=∠C，∴△BDG∽△BEC，∴=，则BD•BC=BG•BE；（2）∵∠DBA=∠ABC，∠BAD=∠C，∴△DBA∽△ABC，∴=，即AB2=BD•BC，∵BD•BC=BG•BE，∴AB2=BG•BE，即=，∵∠GBA=∠ABE，∴△GBA∽△ABE，∴∠BGA=∠BAC．15．解：（1）∵在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，∴AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵BF∥AC，∴∠CBF=∠C=60°，∵AD⊥BC，∴∠FDB=90°，∴∠F=30°，∵DF=6，∴BD=2，∵AE=EC=BD=DC，∴AE=2；（2）∵∠BDF=90°，∠F=30°，BD=2，∴BF=2DB=4，∵AC∥BF，∴△AEG∽△FBG，∴=（）2=．16．证明：（1）∵AP∥CD，∴∠AMD=∠MAN，∠BMD=∠MNA，∵∠AMD=∠BMD，∴∠MAN=∠MNA，∴MN=MA．（2）如图，连接NC，∵AP∥CD，且PN=AN．∴==，∴MC=MD，∴CN为直角△ACP斜边AP的中线，∴CN=NA，∠NCA=∠NAC，∵AP∥CD，∴∠NAC=∠ACD，∴∠NCM=2∠ACD，∵∠CMN=∠DMB，∠DMA=∠BMD，∴∠CMD=∠DMA，在△CMN和△DMA中，，∴△CMN≌△DMA（SAS），∠ADM=∠NCM=2∠ACD．即：∠CDA=2∠ACD．17．解：（1）∵S△ACD：S△ADB﹦1：2，∴BD=2CD，∵DC=3，∴BD=2×3=6，∴BC=BD+DC=6+3=9，∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，∴△ABC∽△DAC，∴=，即=，解得AC=3；（2）由翻折的性质得，∠E=∠C，DE=CD=3，∵AB∥DE，∴∠B=∠EDF，∵∠CAD=∠B，∴∠EDF=∠CAD，∴△EFD∽△ADC，∴=（）2=（）2=18．（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴=（）2=．∵S△ABC=×BC×AG=×8×=18，∴S△FCD=S△ABC=．19．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，由三角形的外角性质得，∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B，∵∠ADE=60°，∴∠BAD=∠FDE；（2）解：如图，过点D作DH∥AC交AB于H，∵△ABC为等边三角形，∴△BDH是等边三角形，∴∠BHD=60°，BD=BH，∴∠AHD=180°﹣60°=120°，∵CE是△ABC的外角平分线，∴∠ACE=（180°﹣60°）=60°，∴∠DCE=60°+60°=120°，∴∠AHD=∠DCE=120°，又∵AH=AB﹣BH，CD=BC﹣BD，∴AH=CD，在△AHD和△DCE中，，∴△AHD≌△DCE（ASA），∴AD=DE，∵∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE=∠DEA=60°，AE=AD=5，∵∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∠EAG=∠DAE﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠EAG，∴△ABD∽△AEG，∴=，即=，解得AG=．20．解：（1）设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ面积为8cm2，由题意得（6﹣x）•2x=8，解之，得x1=2，x2=4，经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，△PBQ的面积为8cm2，综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm2；（2）当P在AB上时，经x秒，△PCQ的面积为：×PB×CQ=×（6﹣x）（8﹣2x）=12.6，解得：x1=（不合题意舍去），x2=，经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14﹣x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x﹣8）cm，过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB得，即QD=，由题意得（14﹣x）•=12.6，解之得x1=7，x2=11．经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ的面积等于12.6cm2．经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14＞10，点Q已超出CA的范围，此解不存在．综上所述，经过7秒和秒时△PCQ的面积等于12.6cm221．（1）证明：如图，∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE，∴∠EDB=60°，DE=DB．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°．∴∠EDB=∠B．∴EF∥BC．∴DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°．∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等边三角形．∴AD=DF．∴△ADE≌△DFC．（2）解：由△ADE≌△DFC，得AE=DC，∠1=∠2．∵ED∥BC，EH∥DC，∴四边形EHCD是平行四边形．∴EH=DC，∠3=∠4．∴AE=EH．∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°．∴△AEH是等边三角形．∴∠AHE=60°．（3）解：设BH=x，则AC=BC=BH+HC=x+2，由（2）四边形EHCD是平行四边形，∴ED=HC．∴DE=DB=HC=FC=2．∵EH∥DC，∴△BGH∽△BDC．∴．即．解得x=1．∴BC=3．22．（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AEC=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠DCE，∴∠DCE=∠EDC，∴DE=CE，∴=，即AE•BC=AC•CE；（2）∵S△ADE：S△CDE=4：3.5，∴AE：CE=4：3.5，∴=，∵由（1）知=，∴=，解得DE=6，∵DE=CE，∴CE=8．23．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．24．（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：3．25．（1）证明：如图1，连接PN，∵N、P分别为△ABC边BC、CA的中点，∴PN∥AB，且．∴△ABF∽△NPF，∴．∴BF=2FP．（2）解：如图2，取AF的中点G，连接MG，∴MG∥EF，AG=GF=FN．∴△NEF∽△NMG，∴S△NEF=S△MNG=×S△AMN=××S△ABC=S．26．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ADC∽△CDB，∴=；（2）解：∵CE=AC，BF=BC，∴===，又∵∠A=∠BCD，∴∠ACD=∠B，∴△CED∽△BFD，∴∠CDE=∠BDF，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．27．解；（1）∵AB∥CE，∴∠A=∠DCE，又∵∠ADB=∠EDC，∴△ABD∽△CED；（2）①过点E作EH⊥BF于点H，∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，∴==，∠A=∠ACB=60°，∴CE=3，∵AB∥CE，∴∠ECH=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=180°﹣60°﹣60°=60°，∴EH=CE•sin60°=3×=；②在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，CE=3，∴CH=CE•cos60°=3×=，∴BH=BC+CH=6+=，∴BE===3．28．（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′，∴由旋转可知：∠CAB=∠C′AB′，∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′，又∵∠ACB=∠AC′B′=90°，∴△ACC′∽△ABB′，∵AC=3，AB=4，∴==；（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分）∴∠CAC′=∠BAB′，∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，∴∠ACC′=∠ABB′，（3分）又∵∠AEC=∠FEB，∴△ACE∽△FBE．（4分）（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由：在△ACC′中，∵AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C====90°﹣α，（6分）在Rt△ABC中，∠ACC′+∠BCE=90°，∴∠BCE=90°﹣90°+α=α，∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE，（8分）∴CE=BE，由（2）知：△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE．（9分）29．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，∴∠DAB+∠CAE=60°，∵∠ABC是△ABD的外角，∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°，∴∠CAE=∠D，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACE=120°，∴△ABD∽△ECA；（2）∵△ABD∽△ECA，∴=，即AB•AC=BD•CE，∵AB=AC=BC，∴BC2=BD•CE30．（1）证明：∵AC=CD=DE=EB=，又∠C=90°，∴AD=2，∴=，==，∴=，又∵∠ADE=∠BDA，∴△ADE∽△BDA；（2）证明：∵△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠B，又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE，∴∠ADC=∠AEC+∠B；（3）解：∵点P为线段AB上一动点，根据勾股定理得：AE==，BE=，∴PE的最大值为．作EF⊥AB，则EF=，则PE的最小值为∴≤EP≤，∵EP为整数，即EP=1，2，3，结合图形可知PE=1时有两个点，所以PE长为整数的点P个数为4个．输血过程质量管理监控及效果评价制度一、输血护理服务的规定1、血液必须保存在指定的血库冰箱内，温度应保持在4℃，保存温度不当可能导致血细胞破坏或细菌感染，血液自血库取出后应在30分钟内输入。
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测试5 相似三角形的性质
学习要求
掌握相似三角形的性质，解决有关的计算或证明问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．相似三角形的对应角______，对应边的比等于______．
2．相似三角形对应边上的中线之比等于______，对应边上的高之比等于______，对应角的角平分线之比等于______． 3．相似三角形的周长比等于______． 4．相似三角形的面积比等于______．
5．相似多边形的周长比等于______，相似多边形的面积比等于______． 6．若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的周长比等于______．
7．若两个相似多边形的对应边之比为5∶2，则它们的周长比是______，面积比是______．
8．同一个圆的内接正三角形与其外切正三角形的周长比是______，面积比是______． 9．同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是______，面积比是______．
10．同一个圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长比是______，面积比是______． 11．正六边形的内切圆与它的外接圆的周长比是______，面积比是______． 12．在比例尺1∶1000的地图上，1cm 2所表示的实际面积是______． 二、选择题
13．已知相似三角形面积的比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为( )
A ．9∶4
B ．4∶9
C ．3∶2
D ．81∶16
14．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于点Q ，若
△DQE 的面积为9，则△AQB 的面积为( )
A ．18
B ．27
C ．36
D ．45
15．如图所示，把△ABC 沿AB 平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分的面积是
△ABC 面积的一半，若2=
AB ，则此三角形移动的距离AA '是( )
A ．
12-
B ．
2
2 C ．1 D ．
2
1
三、解答题
16．已知：如图，E 、M 是AB 边的三等分点，EF ∥MN ∥BC ．求：△AEF 的面积∶四
边形EMNF 的面积∶四边形MBCN 的面积．
综合、运用、诊断
17．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是角平分线．
(1)求证：AD 2＝CD ·AC ； (2)若AC ＝a ，求AD ．
18．已知：如图，□ABCD 中，E 是BC 边上一点，且AE BD EC BE ,,2
1
相交于F
点．
(1)求△BEF 的周长与△AFD 的周长之比；
(2)若△BEF 的面积S △BEF ＝6cm 2，求△AFD 的面积S △AFD ．
19．已知：如图，Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，DE ∥AB ．
(1)当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时，求CD 的长；
(2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长．
拓展、探究、思考
20．已知：如图所示，以线段AB上的两点C，D为顶点，作等边△PCD．
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB．
(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB．
21．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于O点，若S△AOD∶S△DOC ＝2∶3，求S△AOB∶S△COD．
22．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请问：在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．
答案与提示
测试5
1．相等，相似比．2．相似比、相似比、相似比．
3．相似比．4．相似比的平方．
5．相似比．相似比的平方． 6．4∶5． 7．5∶2，25∶4． 8．1∶2，1∶4． 9．.2:1,2:
1 10．.4:3,2:3
11．.4:3,2:3 12．100m 2．
13．C. 14．C ． 15．A ． 16．1∶3∶5． 17．(1)提示：证△ABC ∽△BCD ；(2).2
15a -
18．(1);31
(2)54cm 2． 19．(1);22
(2)
⋅
7
24
20．(1)CD 2＝AC ·DB ；(2)∠APB ＝120°． 21．4∶9 22．BP ＝2，或
,3
11或9．
当BP ＝2时，S △ABP ∶S △PCD ＝1∶9； 当3
11=BP
时，S △ABP ∶S △DCP ＝1∶4；
当BP ＝9时，S △ABP ：S △PCD ＝9∶4．。