求动点的轨迹方程方法例题习题答案
动点轨迹方程的常见求法
动点轨迹方程的常见求法湖南省临澧县第一中学 朱福文 胡鸥 415200一、待定系数法；它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。
其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。
例1、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为3 / 7。
求椭圆和双曲线的方程。
解：如果双曲线和椭圆的焦点在x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x 轴上，那么可设椭圆方程为22a x +22b y = 1，双曲线的方程为22m x －22ny = 1。
2c = 213 , ∴c = 13 .a – m = 4 , m c : n c = 73 , ∴a = 7 , m = 3 . b 2 = a 2－c 2 = 36 , n 2 = c 2－ m 2 =4 .∴椭圆方程为492x +362y = 1，双曲线的方程为92x －42y = 1 ； 如果双曲线和椭圆的焦点在y 轴上，同理可得：∴椭圆方程为492y +362x = 1，双曲线的方程为92y －42x = 1 。
二、直译解析法；该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。
它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。
例2、已知两定点A 、B ，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB 成立的动点P 的轨迹方程。
解： 以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立直角坐标系如右图： 则B 点坐标为(3, 0)，设P 点坐标为(x, y),∠PAB = α , 则∠PBA =2α 3-x y = K PB = tg(π－2α) = - tg2α=αα212tg tg -- = 2)(1)(2xy x y -- = 222y x xy -- ∴y = 0 (0<x<3) 或31-x = 222y x x --， 即y = 0 (0<x<3) 或（x －1）2－32y = 1 (x ≥2)。
求动点轨迹方程的常用方法
例1 :已知圆C的方程为 : ( x - 1) 2 y 2 1, 过原点O作任一弦OA, 求 弦OA的中点M的轨迹方程.
y A M O C(1,0) x 解：方法一 五步法(直接法或直译法): 第一步 建系设点:
过原点任作一弦OA，其中点为M(x, y).
第二步 列等式:
３．代入法：要有双动点和已知其一动点轨迹方程．
４．向量法：要能找到垂直或平行的动向量． ５．交轨法：动点为两动曲线的交点．
６．参数法：已知特殊曲线方程．
相应习题
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则 y=0(x≥1) P点的轨迹方程是______________. → → → → 2.已知OP与OQ是关于y轴对称，且2OP· OQ=1，则点P(x、y) -2x2+y2=1 的轨迹方程是______________________
由垂径定理可知： CM OA | MO |2 | MC |2 | OC |2
第三步 第四步 第五步
代入: 化简:
x y
2
2
2
( x 1) y
2
2
2
12
x 2 - x y2 0
(x - 1 ) 2 y 2 1 (圆) 2 4
证明与检验:
1 4
由于原点 (0,0)为方程的解，却不在轨 迹上，应舍去。 所以所求方程为： - 1 ) 2 y 2C的方程为 : ( x - 1) 2 y 2 1, 过原点O作任一弦OA, 求 弦OA的中点M的轨迹方程.
y A M O C(1,0) x
方法二 定义法(公式法):先判断并证明轨 迹形状,再根据特殊曲线定义写出方程.
考点练习(必修二)：与圆有关的轨迹问题(附答案)
与圆有关的轨迹问题1. 动点P 与定点A(-1,0)，B(1,0)的连线的斜率之积为-1，则点P 的轨迹为（ ）A.221x y +=B. ()2211x y x +=≠±C. ()2211x y x +=≠ D. ()2210x y x +=≠2. 点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝13. 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝24. 已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|P A|＝2|P B|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．5. 自A(4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．6. 已知动点M 到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段A M 的中点，试求点N 的轨迹．7. 已知线段AB 的长为4，且端点A ，B 分别在x 轴与y 轴上，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为________．8. 点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A. （x﹣2）2+（y+1）2=1B.（x﹣2）2+（y+1）2=4C. （x+4）2+（y﹣2）2=1D.（x+2）2+（y﹣1）2=19. 已知△ABC的边AB长为2a，若BC边上的中线为定长m，求顶点C的轨迹．10. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．11. 已知圆的方程是x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R.(1)求证：a取不为1的实数时，圆过定点；(2)求圆心的轨迹方程．12. 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.13. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．14. 已知线段AB的端点B在圆C1：x2＋(y－4)2＝16上运动，端点A的坐标为(4，0)，线段AB的中点为M.(1)试求M点的轨迹C2的方程；(2)若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长.15. 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.参考答案 与圆有关的轨迹问题1. 【答案】B2. 解析：选A 设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3. 解析：选D 设P (x ，y )，则由题意知，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)、半径为1，∵P A 是圆的切线，且|P A |＝1，∴|PC |＝2，即(x －1)2＋y 2＝2，∴点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.4. 【解析】设点P (x ，y )，由题意知(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4. 可知圆的面积为4π.5. 【解析】设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴y x ·4yx -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴y x ·4yx -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．6. 【解析】(1)设动点M 的坐标为(x ，y )，∵A(2,0)，B(8,0)，|M A|＝12|M B|，∴(x －2)2＋y 2＝14[(x －8)2＋y 2]． 化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16. (2)设点N 的坐标为(x ，y )，∵A(2,0)，N 为线段A M 的中点，∴点M 的坐标为(2x －2,2y )．又点M 在圆x 2＋y 2＝16上，∴(2x －2)2＋4y 2＝16，即(x －1)2＋y 2＝4. ∴点N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．7. 【解析】 设M 点坐标为(x ，y )，A 点坐标为(x 0,0)，B 点坐标为(0，y 0)．∵点M 是线段AB 的中点，∴000202x x y y +⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨+⎪⎪=⎪⎪⎩⎭，即0022.x xy y =⎧⎨=⎩∴A(2x,0)，B(0,2y )．又∵|AB|＝4， ∴()()222002x y -+-＝4，即x 2＋y 2＝4.8. 【解析】设圆上任意一点为（x 1，y 1），中点为（x ，y ），则 得:，代入x 2+y 2=4得（2x ﹣4）2+（2y +2）2=4，化简得（x ﹣2）2+（y +1）2=1．故选A ． 9. 【解析】以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如右图)，则A(－a,0)，B(a,0)，设C(x ，y )，BC 中点D(x 0，y 0)．故x 0＝2x a+，y 0＝2y .①∵|AD|＝m ，∴(x 0＋a )2＋y 20＝m 2.② 将①代入②，整理得(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－3a,0)为圆心，以2m 为半径的圆，除去(－3a ＋2m,0)和(－3a －2m,0)两点．10. 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.11. 【解析】(1)证明：将方程x 2＋y 2－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0，整理得x 2＋y 2－4y ＋2－a (2x －2y )＝0(a ≠1，且a ∈R)．令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＋2＝0，2x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以a 取不为1的实数时，圆过定点(1,1)． (2)由题意知圆心坐标为(a,2－a )，且a ≠1，又设圆心坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2－a ，消去参数a ，得x ＋y －2＝0(x ≠1)，即为所求圆心的轨迹方程．12. 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况).13. [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.14. 解 (1)设M (x ，y )，B (x ′，y ′)，则由题意可得⎩⎨⎧x ＝x ′＋42，y ＝y ′2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ，∵点B 在圆C 1：x 2＋(y －4)2＝16上，∴(2x －4)2＋(2y －4)2＝16，即(x －2)2＋(y －2)2＝4. ∴M 点的轨迹C 2的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋（y －2）2＝4，x 2＋（y －4）2＝16，得直线CD 的方程为x －y －1＝0，圆C 1的圆心C 1(0，4)到直线CD 的距离d ＝|－4－1|2＝522，又圆C 1的半径为4， ∴线段CD 的长为242－⎝⎛⎭⎫5222＝14.15. 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y ). 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165.。
高考数学 典型例题22 轨迹方程的求法 试题
智才艺州攀枝花市创界学校高考数学典型例题详解轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其本质就是利用题设中的几何条件，用“●难点磁场(★★★★)A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的间隔比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.●案例探究［例1］如下列图，P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.“相关点代入法〞求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：利用平面几何的根本知识和两点间的间隔公式建立线段AB 中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，假设学生考虑不深入，发现不了问题的本质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，那么在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.［例2］设点A 和B 为抛物线y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年、春招)“参数法〞求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系.错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2〞的讨论.技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2)假设x 1≠x 2,那么有2121214y y px x y y +=--⑥①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=－16p 2⑦⑥代入④，得yx y y p -=+214⑧⑥代入⑤，得py x y y x x y y y y p442111121--=--=+ 所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2 ⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)① ② ③ ④ ⑤当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b 由OM ⊥AB ，得k =－yx 由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0所以x 1x 2=22kb ,消x ,得ky 2－4py +4pb =0所以y 1y 2=kpb4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以k pk4=－22kb ,b =－4kp故y =kx +b =k (x －4p ),用k =－yx 代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2cm 和一个直径为1cm 的HY 圆柱，检测一个直径为3cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个适宜的同号HY 圆柱，问这两个HY 圆柱的直径为多少？“定义法〞求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的才能，属★★★★★级题目. 知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键. 技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如下列图的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,那么 |PA |+|PO |=1+r +－r∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x －21)2+34y 2=1② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ●锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法假设动点轨迹的条件符合某一根本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法假设动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.“轨迹〞与“轨迹方程〞是两个不同的概念. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，假设延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是()2.(★★★★)设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，那么直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为()A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y 二、填空题3.(★★★★)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,那么动点A 的轨迹方程为_________.4.(★★★★)高为5m 和3m 的两根旗杆竖在程度地面上，且相距10m ，假设把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.(★★★★★)双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.(★★★★★)椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程； (2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积获得最大值时，求k 的值.参考答案 难点磁场解：建立坐标系如下列图， 设|AB |=2a ,那么A (－a ,0〕,B (a ,0). 设M (x ,y 〕是轨迹上任意一点.那么由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2M 的轨迹是以(－221)1(λ-λ+a ，0〕为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆. 歼灭难点训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的间隔等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A2.解析：设交点P (x ,y 〕,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 一共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 一共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=- 4.解析：设P (x ,y 〕，依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0〕(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2.即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，那么Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),那么A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x m x y --②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0〕,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,那么(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2.故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，。
轨迹方程的求法
解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐标
原点，建立如图所示的直角坐标系，则B
（一a/2，0），C（a/2，0），设A（x，y）
则
由sinC－ sinB=
∴c-b=
1 2
a
1 2
sinA
A
B
C
即|AB|-|AC|=
1 2
a（定值）
些密如发丝的暗青色珠粒被烟一晃，立刻变成皎洁辉映的珠光，不一会儿这些珠光就闪烁着飞向罕见异绳的上空，很快在四金砂地之上 变成了隐隐约约的凸凹飘动的摇钱树……这时，宝石状的物体，也快速变成了树皮模样的湖青色胶状物开始缓缓下降……只见女政客
4、参数法 例题4、已知线段AB的长为a，P分AB为
AP∶PB= 2∶l两部分，当A点在y轴上运动时， B点在x轴上运动，求动点P的轨迹方程。
解 ： 设 动 点 P （ x ， y ） ， AB 和 x 轴 的 夹 角 为 θ ，
|θ|≤
2
，作PM⊥x于M,
PN⊥y轴于N
∵|AB|= a, | AP | 2
皮肤时浓时淡渗出水睡朦胧般的晃动！接着玩了一个，飞蟒吊灯翻一千零八十度外加狐嚎排骨旋七周半的招数，接着又来了一出，怪体 牛蹦海飞翻七百二十度外加笨转四百周的尊贵招式……紧接着异常的如同原木一样的脚立刻蠕动变形起来……鲜红色酒罐耳朵闪出水绿 色的团团明烟……深灰色麦穗样的嘴唇闪出中灰色的点点神响。最后摆起多变的深黄色土堆模样的卷发一嚎，飘然从里面涌出一道佛光， 她抓住佛光冷峻地一颤，一件银晃晃、黄澄澄的咒符『蓝鸟骨怪火腿宝典』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边转化，一边发出“咝 咝”的神响。骤然间女政客Ｔ．克坦琳叶女士急速地弄了一个侧卧扭曲炸蛤蟆的怪异把戏，，只见她修长的淡灰色怪石一样的脑袋中，威
轨迹方程的求法及典型例题含答案
轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有1直接法；2定义法；3待定系数法4参数法5交轨法；6相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点,找漏点.一、知识复习例1：点P－3,0是圆x2+y2－6x－55=0内的定点,动圆M与已知圆相切,且过点P,求圆心M的轨迹方程;例2、如图所示,已知P 4,0是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足∠APB =90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ,坐标为x ,y ,则在Rt △ABP 中,|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理：在Rt △OAR 中,|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－x 2+y 2 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有x －42+y 2=36－x 2+y 2,即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Qx ,y ,Rx 1,y 1,因为R 是PQ 的中点,所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 错误!, |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.解法一：如图建立坐标系,以l 1为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,点O 为坐标原点;依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛物线的一段,其中A ,B 分别为C 的端点;设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ,其中x A,x B 分别为A ,B 的横坐标,P=|MN|;)2(92)2()1(172)2(3||,17||)0,2(),0,2(22=+-=++==-A A A A px px px px AN AM p N p M 得由所以 由①,②两式联立解得p x A 4=;再将其代入①式并由p>0解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====2214A A x p x p 或 因为△AMN 是锐角三角形,所以Ax p >2,故舍去⎩⎨⎧==22A x p∴p=4,x A =1由点B 在曲线段C 上,得42||=-=pBN x B ;综上得曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y解法二：如图建立坐标系,分别以l 1、l 2为作AE ⊥l 1,AD ⊥l 2,BF ⊥l 2垂足分别为E 、D 、F 设Ax A , y A 、Bx B , y B 、Nx N , 0 依题意有)0,63)(2(8}0,,)(|),{(),(6||||4||||||||||22||||||3|||||22222222>≤≤-=>≤≤=+-====++=+=∆=+======y x x y C y x x x x y x x y x P C y x P NB BE x AE AM ME EN ME x AMN DA AM DM y AN DA ME x B A N B N A A 的方程故曲线段属于集合上任一点则由题意知是曲线段设点为锐角三角形故有由于例4、已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y =x ,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解：PA 和QB 的交点Mx ,y 随A 、B 的移动而变化,故可设)1,1(),,(++t t B t t A , 则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t ,得.082222=+-+-y x y x当t =－2,或t =－1时,PA 与QB 的交点坐标也满足上式,所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x例5、设点A 和B 为抛物线 y 2=4pxp ＞0上原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB ,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解法一：设Mx ,y ,直线AB 的方程为y =kx +b 由OM ⊥AB ,得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ,消去y ,得k 2x 2+2kb －4px +b 2=0 所以x 1x 2=22kb , y 1y 2=kpb 4,由OA ⊥OB ,得y 1y 2=－x 1x 2所以k pk4=－22kb , b =－4kp故y =kx +b =kx －4p , 得x 2+y 2－4px =0x ≠0故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0x ≠0,它表示以2p ,0为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.解法二：设Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,Mx ,y依题意,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x yx y px y px y①－②得y 1－y 2y 1+y 2=4px 1－x 2 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥ ①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2 ③代入上式有y 1y 2=－16p 2⑦⑥代入④,得yxy y p -=+214 ⑧ ⑥代入⑤,得py x y y x x y y y y p442111121--=--=+所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=yy 1+y 2－y 12－y 1y 2 ⑦、⑧代入上式,得x 2+y 2－4px =0x ≠0 当x 1=x 2时,AB ⊥x 轴,易得M 4p ,0仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0x ≠0它表示以2p ,0为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.① ②③ ④ ⑤|轨 迹 方 程练习11．08、山东文22已知曲线1C ：||||1(0)x y a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为 45,曲线1C 的内切圆半径为253,记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．1求椭圆2C 的标准方程； 2设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦,L 是线段AB 的 垂直平分线,M 是L 上异于椭圆中心的点．①若||MO ＝λ||OA O 为坐标原点,当点A 在椭圆2C 上运动时,求点M 的轨迹方程；②若M 是L 与椭圆2C 的交点,求AMB ∆的面积的最小值．解：1由题意得22245253ab ab a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩⇒4522==b a ，⇒椭圆方程：2254x y +＝1．2若AB 所在的斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为y ＝kxk≠0,A A A y x ，．①由22154,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩⇒2222220204545A A k x y k k ==++， ⇒2222220(1)||45AAk OA x y k+=+=+． 设Mx,y,由|MO|＝λ|OA|λ≠0⇒|MO|2＝λ2|OA|2⇒2222220(1)45k x y k λ++=+．因为L 是AB 的垂直平分线,所以直线L 的方程为y ＝1x k -⇒k ＝x y-,代入上式有：22222222222220(1)20()4545x x y y x y x y x yλλ+++==++⨯,由022≠+y x ⇒2225420x y λ+=, 当k ＝0或不存时,上式仍然成立.,综上所述,M 的轨迹方程为22245x y λ+=,λ≠0．②当k 存在且k ≠0时,2222220204545AA k x y k k ==++，⇒|OA|2＝222220(1)45A A k x y k ++=+． 由221541x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⇒2222220205454M M k x y k k ==++，⇒22220(1)||54k OM k +=+． ⇒222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++＝209． 222119||||20OA OB OA OM≤+=⨯⇒||||OB OA ⨯≥940．||||21OB OA S AMB ⨯⨯⨯=∆＝||||OB OA ⨯≥40,当且仅当4＋5k 2＝5＋4k 2时,即k ＝±1时等号成立．当1400229AMB k S ∆==⨯=>，； 当k 不存在时,140429AMB S ∆==>．综上所述,AMB ∆的面积的最小值为409．2．07、江西理21设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ,2APB θ∠=,且存在常数(01)λλ<<,使得212sin d d θλ=．1证明：动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程；2过点B 作直线与双曲线C 的右支于M N ，两点,试确定λ的范围,使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．解：1在PAB △中,2AB =,即222121222cos 2d d d d θ=+-, 2212124()4sin d d d d θ=-+,即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<常数,点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点,实轴长221a λ=-的双曲线,方程为：2211x y λλ-=-． 2设11()M x y ，,22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(11)M ，,(11)N -，在双曲线上．即2111511012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-, 因为01λ<<,所以512λ-=． ②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得： 2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦,由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦ ⇒21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--,2122(1)()(1)k x x kλλλλ--+=-- ⇒22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--． 由OM ·ON ＝0,且M N ，在双曲线右支上,所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>-⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩． 由①②知32215<≤-λ．3．09、海南已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．1求椭圆C 的方程；2若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,2OP e OMe 为椭圆C 的离心率,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．解：Ⅰ设椭圆长半轴长及分别为a,c ．由已知得⎩⎨⎧=+=-71c a c a ⇒a ＝4,c ＝3⇒椭圆C 的方程为221167x y +=． 2设Mx,y,P 0x ,0y ． 其中0x ∈－4,4,0x ＝x ．有22001167x y +=……① 由OP e OM=得：2240022x y e x y +=+＝169． 故22220016()9()x y x y +=+下面是寻找关系式0x ＝fx,y,0y ＝gx,y 的过程又⎪⎩⎪⎨⎧-==167112220220x y x x ……………………………………②②式代入①：22001167x y +=并整理得：47(44)3y x =±-≤≤,所以点M 的轨迹是两条平行于x 轴的线段．轨 迹 方 程练习24．09、重庆理已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为433y =,离心率32e =,M 是椭圆上的动点． 1若C 、D 的坐标分别是0,√3、0,－√3,求||MC ·||MD 的最大值；2如图,点A 的坐标为1,0,点B 是圆221x y +=上的点,点N 是点M 椭圆上的点在x 轴上的射影,点Q 满足条件：OQ ＝OM ＋ON ,QA ·BA ＝0．求线段QB 的中点P 的轨迹方程．解：1设椭圆方程为：22221x y a b +=a ＞b ＞0．准线方程3y =＝c a 2,2e =＝ac ⇒2=a ,32=c 1=⇒b ⇒椭圆方程为：2214y x +=．所以：C 、D 是椭圆2214y x +=的两个焦点⇒||MC ＋||MD ＝4．||MC ·||MD ≤4)2||||(2=+MD MC ,当且仅当||MC ＝||MD ,即点M 的坐标为(1,0)±时上式取等号⇒||MC ·||MD 的最大值为4．2设M(,),(,)m m B B x y B x y ,(,)Q Q Q x y ,N 0，m x ⇒4422=+m m y x ,122=+B B y x ． 由OQ ＝OM ＋ON⇒m Q x x 2=,m Q y y =⇒4)2(2222=+=+m m Q Qy x y x ………①由QA ·BA ＝0 ⇒Q Q y x --，1·B B y x --，1＝Q x -1B x -1＋B Q y y ＝0 ⇒=+B Q B Q y y x x 1-+B Q x x …………②记P 点的坐标为P x ,P y ,因为P 是BQ 的中点⇒B Q P x x x +=2,B Q P y y y +=2⇒2222)2()2(BQ B Q P P y y x x y x +++=+＝)22(412222B Q B Q B Q B Q y y x x y y x x +++++ ＝)]1(25[41-++B Q x x ＝)245(41-+P x ⇒P P P x y x +=+4322 ⇒动点P 的方程为：1)21(22=+-y x ．5．09、安徽已知椭圆22a x ＋22by ＝1a ＞b ＞0的离心率为33．以原点为圆心,以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．1求a 与b 的值；2设该椭圆的左,右焦点分别为1F 和2F ,直线1L 过2F 且与x 轴垂直,动直线2L 与y 轴垂直,2L 交1L 于点p.求线段1PF 的垂直平分线与直线2L 的交点M 的轨迹方程,并指明曲线类型解：1e ＝33⇒22a b ＝32．又圆心0,0到直线y ＝x ＋2的距离d ＝半径b ＝22112+, ∴2b ＝2,2a ＝3．12322=+y x 21F －1,0、2F 1,0,由题意可设P 1,tt ≠0.那么线段1PF 的中点为N0,2t ． 2L 的方程为：y ＝t,设M M M y x ,是所求轨迹上的任意点.下面求直线MN 的方程,然后与直线2L 的方程联立,求交点M 的轨迹方程直线1PF 的斜率k ＝2t ,∴线段1PF 的中垂线MN 的斜率＝－t2． 所以：直线MN 的方程为：y －2t ＝－t 2x ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==22t x t y t y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=t y t x MM 42, 消去参数t 得：M M x y 42-=,即： x y 42-=,其轨迹为抛物线除原点．又解：由于MN ＝－x,2t －y,1PF ＝－x,2t －y ．∵MN ·1PF ＝0, ∴⎪⎩⎪⎨⎧==---ty y t x t x 0)2(·)2,(，,消参数t 得：x y 42-=x ≠0,其轨迹为抛物线除原点．6．07湖南理20已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．直接法求轨迹1若动点M 满足1111F M F A F B FO =++其中O 为坐标原点,求点M 的轨迹方程；2在x 轴上是否存在定点C ,使CA ·CB 为常数 若存在,求出点C 的坐标；若不存在,请说明理由．解：1由条件知1(20)F -，,2(20)F ，,设11()A x y ，,22()B x y ，．设()M x y ，,则1(2)F M x y =+，,111(2)F A x y =+，,1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，, 由1111F M F A F B FO =++⇒121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩ ⇒12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩⇒AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时,1212024822y y y y x x x x --==----, 即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上,所以22112x y -=,22222x y -=,两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式,化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ，,也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． 2假设在x 轴上存在定点(0)C m ，,使CA ·CB 为常数． 当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-,于是CA ·CB 22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA ·CB 是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时CA ·CB ＝－1．当AB 与x 轴垂直时,点A B ，的坐标可分别设为(2,(2,此时CA ·CB ＝1,√2·1,－√2＝－1．故在x 轴上存在定点(10)C ，,使CA ·CB 为常数．。
专题四：求动点轨迹方程5种方法(解析版)
专题四：求动点轨迹方程5种方法（解析版）一、直接法步骤：1、建立恰当的坐标系，设动点坐标()y x ，；2、由已知条件列出几何等量关系式，建立关于y x ，的方程()0=y x f ，；3、化简整理；4、检验，检验点轨迹的纯粹性与完备性。
[例1] 已知圆O 的方程是0222=-+y x ，圆O '的方程是010822=+-+x y x ，如图所示。
由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，求动点P 的轨迹方程。
【解析】设()y x P ，，由圆O 的方程为：222=+y x ，圆O '的方程为()6422=+-y x 。
由已知得BP AP =，所以22BP AP =，所以2222B O P O OA OP '-'=-，则6222-'=-P O OP 。
所以()6422222-+-=-+y x y x ，化简得23=x 。
所以动点P 的轨迹方程为23=x 。
[练习1] 已知平面上两定点()20-，M ，()20，N ，点P 满足MN PN MN MP ⋅=⋅，求点P 的轨迹方程。
【解析】设()y x P ，，则()2+=y x MP ，，()40，=MN ，()y x PN --=2，，因为MN PN MN MP ⋅=⋅，所以()()222424y x y -+=+，所以()2222y x y -+=+。
两端同时平方得：2224444y y x y y +-+=++，整理得：y x 82=。
所以点P 的轨迹方程为y x 82=二、定义法步骤：1、分析几何关系；2、由曲线的定义直接得出轨迹方程。
[例2] 已知圆A ：()36222=++y x ，()02，B ，点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。
【解析】 由题可得，()02，-A ，4=AB 。
因为Q 点在线段PB 的中垂线上，所以QB PQ =。
求点的轨迹方程的六种常见方法
解：以AB所在直线为x轴,过o垂直AB 直线为y轴,建立如图直角坐标系.
DF
y
C
依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
P
E
设 BE CF DG =k(0≤k≤1),由此有
G
BC CD DA
A
o
Bx
E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak) 直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0……………①
且 BE CF DG .P为GE与OF的交点（如图）. BC CD DA
问：是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
y
DF
C
E P
G设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，
使得P到两定点距离的和为定值.按题意有A(2, 0)，B(2, 0)，C(2, 4a)，D(, 2, 4a).
整理得
x2 1
(y a)2 a2
1.
2
当a2 1 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 2
当a2 1 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
当a2 1 时，点P到椭圆两个焦点( 1 a2 , a)和( 1 a2 , a)的距离之和为定值 2.
2
2
• 以下举一个例子说明：
1.定义法
【例1】在ΔABC中，已知BC=a，当动点A满足条件sinC-sinB= 1 sinA时， 2
求动点A的轨迹方程.
解：以BC边所在直线为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
因为sinC-sinB= 1 sinA，由正弦定理得：AB - AC = 1 BC ，
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求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。
求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。
求动点轨迹的常用方法动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标（x, y ）满足的关系式。
1. 直接法（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
例题 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长等与MQ ，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(x,y)，直线MN 切圆C 于N 。
依题意：MN MQ =，即22MN MQ = 而222NO MO MN-=,所以122-=MO MQ(x-2)2+y 2=x 2+y 2-1化简得：x=45。
动点M 的轨迹是一条直线。
2. 定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。
依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。
例题：动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：0822=-+x y x 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r 。
若圆M 与圆C 相外切，则有 ∣MC ∣=r ＋4 若圆M 与圆C 相内切，则有 ∣MC ∣=r-4 而∣MP ∣=r, 所以∣MC ∣-∣MP ∣=±4动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。
其中a=2, c=4。
动点的轨迹方程为：112422=-y x 3. 相关点法若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y 0)的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程。
这种方法称为相关点法。
例题：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆22:(1)4C x y ++=上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
解：设M(x,y), A(B A y x ,),依题意有：x=24A x +, y=23Ay + 则：x A =2x -4, y A =2y-3, 因为点A(B A y x ,)在圆22:(1)4C x y ++=上，所以4)32()42(22=-+-y x点M 的轨迹方程为：1)()2(2232=-+-y x动点M 的轨迹为以（2,23）为圆心，1为半径的圆。
4. 参数法例题：已知定点A （-3,0），M 、N 分别为x 轴、y 轴上的动点（M 、N 不重合），且MN AN ⊥,点P 在直线MN 上，MPNP 23=。
求动点P 的轨迹C 的方程。
解：设N(0,t), P(x,y ) 直线AN 的斜率3t k AM =， 因为MN AN ⊥，所以直线MN 的斜率tk MN 3-=直线MN 的方程为y-t=x t3-,令y=0 得x =32t ,所以点M(32t ,0)),(t y x NP -=, ),3(2y t x -=由MPNP 23=, 得 x=3(232t x -), y-t=y 23,则 ⎩⎨⎧-==t y t x 22所以动点P 的轨迹方程为：x y 42=5. 交轨法例题：如图，在矩形ABCD 中，8,4,,,,AB BC E F G H ==分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设)0(,≠==λλλCF CQ OF OP 。
求直线EP 与GQ 的交点M 的轨迹Γ的方程。
解：设(,)M x y ，由已知得(4,0),(4,22)P Q λλ-，y x o MQ P H G F EDC B A则直线EP 的方程为22x y λ=-，直线GQ 的方程为22x y λ=-+， 即 y+2=λ2xy-2= - 2xλ两式相乘，消去λ即得M 的轨迹Γ的方程为221(0)164x y x +=≠．练习与答案1. 设圆C 与圆x 2+（y.3）2=1外切，与直线y =0相切，则C 的圆心轨迹为A A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆2. 已知圆221:(4)25M x y ++=，圆222:(4)1M x y -+=，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
(x>0) 3.过点A(4，0)作圆O ∶x 2+y 2=4的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹。
(x-2)2+y 2=4 (0≤x<1)4. 已知圆C ：2)3(-x +(y-4)2=1, 动点P 是圆外一点，过P 作圆C 的切线，切点为M ， 且︱PM ︱=︱PO ︱（O 为坐标原点）。
求动点P 的轨迹方程。
提示：︱PO ︱2=︱PM ︱2=12-PC3x+4y-12=05. 已知圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P 到圆1C ,2C 上点的距离的最小值相等.求点P 的轨迹方程。
解：动点P 到圆C 1的最短距离为︱PC 1︱-1, 动点P 到圆C 2的最短距离为︱PC 2︱-1,依题意有：︱PC 1︱-1=︱PC 2︱-1， 即︱PC 1︱=︱PC 2︱所以动点P 的轨迹为线段C 1C 2的中垂线。
所以动点 P 的轨迹方程为：2x+y-5=06. 已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为12,A A , 点P （12,x y ），Q （12,x y -） 是双曲线上不同的两个动点。
求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程。
解：由12,A A 为双曲线的左右顶点知，12(2,0), (2,0),A A -112422=-y x111:(2)2A P y x x =++，121:(2)2A Q y x x =--，两式相乘222121(2)2y y x x -=--，因为点11(,)P x y 在双曲线上，所以221112x y -=，即2121122y x =-，故221(2)2y x =--， 所以2212x y +=，即直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程为2212x y += 7. 已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程。
解：（1）联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)25,21(Q ，设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则225,221ty s x +=+=，即252,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上， ∴2)212(252-=-x y 化简可得8112+-=x x y ，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即4541<<-x ，∴中点M 的轨迹方程为8112+-=x x y （4541<<-x ）. 8. 已知点C （1，0），点A 、B 是⊙O ：229x y +=上任意两个不同的点，且满足0=⋅BC AC ，设P 为弦AB 的中点。
求点P 的轨迹T 的方程。
解： 连结CP ，由0AC BC ⋅=，知AC ⊥BC∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝1||2AB ，由垂径定理知222||||||OP AP OA += 即22||||9OP CP +=设点P （x ，y ），有2222()[(1)]9x y x y ++-+=化简，得到224x x y -+=。
9.设椭圆1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足)(21+=，当l 绕着M 旋转时，求动点P 的轨迹方程。
解：直线l 过点)1,0(M ，设其斜率为k ，则直线l 的方程为1+=kx y ， 记),(11y x A ，),(22y x B ，由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x ),(22y x是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 的解，其方程组中消取y 得032)4(22=-++kx x k∴⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=+2212214842k y y k k x x ∵)(21OB OA OP +=∴点P 的坐标为)2,2(2121y y x x ++ 即：点P 为)44,4(22kk k ++-， 设点P 为),(y x ，则P 点的轨迹参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=22444k y k k x （k 为参数）消去参数k 得：0422=-+y y x当斜率k 不存在时，A 、B 的中为原点（0，0）也满足上述方程，故：动点P 的轨迹方程为0422=-+y y x 。
10. 设圆C与两圆2222(4,(4x y x y +=-+=中的一个内切，另一个外切。
求圆C 的圆心轨迹L 的方程。
解：两圆半径都为2，设圆C 的半径为R，两圆心为1(0)F、20)F ，由题意得12||2||2R CF CF =-=+或21||2||2R CF CF =-=+，1212||||||425||CF CF F F ∴-=<=，可知圆心C 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，设方程为22221x y a b -=，则22224,2,5,1,1a a c b c a b ====-==，所以轨迹L 的方程为2214x y -=．11. 如图所示，已知P （4，0）是圆3622=+y x 内的一点。
A 、B 是圆上两动点，且满足090=∠APB ,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设R(x,y), 依题意，有｜OR ｜2+｜RA ｜2=36,而｜RA ｜=｜RP ｜,所以｜OR ｜2+｜RP ｜2=36, 即36)4(2222=+-++y x y x化简得：14)2(22=+-y x设Q(X, Y),因为R(x,y)是 QP 的中点，所以有x =24X +,y=2Y,故 14)2()224(22=+-+YX 化简得：X 5622=+Y12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP 。