八年级数学培优——分式方程及其应用
培优班八年级数学提高班——分式方程六大技巧精品教案
分式问题六大解题技巧一、整体取代法例1．若73212++y y 的值为81,则96412-+y y 的值是（ ） （A ）21- （B ）171- （C ）71- （D ）71 1.解：根据题意,8173212=++y y .可得1322=+y y . 所以().7932296422-=--=-+y y y y所以7196412-=-+y y . 故选（C ）二、基本性质法解题要点： a b =c d =a c b d++=k 注意 k 的灵活应用 2．已知x z z y x +=+=531,则zy y x +-22的值为（ ） （A ）1 （B ）23 （C ）23- （D ）41 解:由xz z y x +=+=531得x x z x z y 5,3=+=+.从而.,4x y x z -== 所以.2342222=+-+=+-x x x x z y y x 故选（B ）若d c b a ,,,满足a d d c c b b a ===,则2222dc b a da cd bc ab ++++++的值为（ ） （A ）1或0 （B ）1- 或0 （C ）1或2-（D ）1或1-解：设 k ad d c c b b a ====,则ak d dk c ck b bk a ====,,,. 上述四式相乘,得4abvdk abcd =.从而1±=k .当1=k 时,d c b a ===, 12222=++++++d c b a da cd bc ab ; 当1-=k 时, d c b a -==-=.144222222-=-=++++++a a d c b a da cd bc ab . 故选（D ） 练习：若11,11=+=+zy y x ,则=xyz _____. 三、通分“消元”法3．若对于3±=x 以外的一切数98332-=--+x x x n x m 均成立,则mn 的值是（ ） （A ）8 （B ）8- （C ）16 （D ）16-.解: 98332-=--+x x x n x m . 左边通分并整理,得()()9893322-=-+--x x x n m x n m . 因为对3±=x 以外的一切数上式均成立,比较两边分子多项式的系数,得⎩⎨⎧=+=-.033,8n m n m 解得⎩⎨⎧-==.4,4n m所以()1644-=-⨯=mn .故选（D ）练习：已知:b a b a +=+511,则ba ab +的值为_____. 已知2+x a 与2-x b 的和等于442-x x ，求b a ,之值.四、分式夹逼法4.有三个连续正整数,其倒数之和是6047,那么这三个数中最小的是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解：设这三个连续的正整数分别为2,1,++x x x .则有 604721111=++++x x x .根据题意,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯<+⨯>.3604721,360471x x 解得.4739347391<<x 因x 是正整数,所以2=x 或3=x .经检验2=x 适合原方程.故选（B ）五、对应取值法.方程71011=++zy x 的正整数解()z y x ,,是_____. 解:由71011=++z y x ,得73111+=++z y x . 因为是正整数,故必有1=x ,因而 312371+==+z y . 又因为z y ,也是正整数,故又必有3,2==z y .经检验()3,2,1是原方程的根.因此,原方程的正整数解()z y x ,,是()3,2,1..设y x ,是两个不同的正整数,且5211=+y x ,则._____=+y x 六，因式分解法解题要点;14．解方程:708115209112716512311222222-+=+++++++++++++x x x x x x x x x x x x . . 解:因为方程的左边解:因为方程的左边()()()()()()()()()().5551151414131312121111115414313212111120911271651231122222+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++++++++++++=+++++++++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 故原方程可变为()708115552-+=+x x x x . 所以()7081152-+=+x x x x .解得118=x .经检验118=x 是原方程的根.。
初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)
（2）若商店按售价为每个书包 元，销售完这两批书包，总共获利多少元？
15．某服装加工厂计划加工4000套运动服，在加工完1600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高 ，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
16．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
13．科幻小说《流浪地球》的销量急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次购进该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？每套进价多少元？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
11．小明家用 元网购的 型口罩与小磊家用 元在药店购买的 型口罩的数量相同， 型与 型口罩的单价之和为 元，求 两种口罩的单价各是多少元？
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为 的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前 天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）
7．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价多少元？
八年级数学_分式方程及其应用
第一部分 基础知识梳理详解点一 、分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的重要特征是：①含分母；②分母里含未知数。
分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数。
例如：错误!未找到引用源。
；3432=++x x 是分式方程；53422x x =++是整式方程，不是分式方程。
详解点二 、分式方程的解法1、解分式方程的思想和方法2、解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在分式方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，得出整式方程的根；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母（或原方程）检验，看结果是不是零，使最简分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
（4）写出分式方程的根。
详解点三、分式方程的增根1、分式方程的增根是适合去分母后的整式方程但不适合原方程的根；2、增根产生的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，我们在解分式方程时，为去分母，要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母，当最简公分母为0时，就产生了增根。
3、排除增根的方法由于产生增根的原因是在方程的两边同时乘以了“隐形”的零——最简公分母，因此，判断是否是增根，应将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则，这个解不是原分式方程的根。
详解点四、列分式方程解应用题1、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．2、列分式方程解应用题的步骤：（1）审：审清题意，找出相等关系和数量关系（2）设：根据所找的数量关系设出未知数（3）列：根据所找的相等关系和数量关系列出方程（4）解：解这个分式方程（5）检：对所解的分式方程进行检验，包括两层，不仅要对实际问题有意义，还要对分式方程有意义（6）答：写出分式方程的解第二部分 例题解析例题1、下列关于x 的方程21=+x x ，300015009000+=x x ，42480-300=xx ，x-2=0，21-3x x =，x x 31-2=，4x-5=0，哪些是整式方程，哪些是分式方程？例题2、解分式方程：（1）42480-300=x x ；（2）2--313-x -2x x =；（3）125552=-+-x x x （4）21221=x 3x+3x 9---（5）22416222-+=--+-x x x x x （6）()()365212222-=+----x x x x x x x【变式练习1】解方程：（1）26x x x 30x 3--+=+ （2）2x 61+=x+3x 3x 9--例2、 a 为何值时，方程323-+=-x a x x 会产生增根？【变式练习2】 （1）分式方程0332=--x x x 的增根是 ． （2）若分式方程424-+=-x a x x 有增根，则=a ．例3．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？【变式练习3】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A 地同时出发到B ．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？【变式练习4】 A 、B 两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度．【变式练习5】 甲、乙两地相距50千米，A 骑自行车，B 乘汽车同时从甲城出发去乙城，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍,B 中途休息了半个小时,还比A 早到2小时,求A 和B 两人的速度?【变式练习6】、轮船顺水航行100千米所需的时间和逆水航行80千米所需的时间相同，已知水流速度 为2千米/小时，求船在静水中的速度。
(完整版)分式方程及其应用(习题及答案)
八年级数学上册 分式方程及其应用（习题）班级 姓名➢ 例题示范例1：解分式方程：11322x x x-=---． 【过程书写】1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解：检验：把x =2代入原方程，不成立 ∴x =2是原分式方程的增根 ∴原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度. 【思路分析】 列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ，由题意得，1201200.51.2x x =-解得，x =40 经检验：x =40是原方程的解，且符合题意 答：慢车的速度是40km/h ．➢ 巩固练习1. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（ ）A ．1a b a x a ++=B ．x a b x b a +=-11C ．b x a a x 1-=+D ．1=-+++-nx mx m x n x 2. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（ ） A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程： 2(1)3(1)6x x -++=C ．解这个整式方程，得1x =D ．原方程的解为1x =3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（ ）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=- 4. 若方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则m =_________． 5. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是________．6. 解分式方程： （1）43(1)1x x x x +=--； （2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--； （4）11222x x x-=---．7.某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍．A，B 两车间共同完成一半的生产任务后，A车间因出现故障而停产，剩下的全部由B车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A，B两车间每天分别能加工多少件该款夏装？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】8.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】附加题：1. 解分式方程：（1）2115225x x x ++=--；（2）100602020x x=+-；（3）3201(1)x x x x +-=--；（4）2216124x x x ++=---；（5）2236111x x x +=+--； （6）2221114268x x x x x +-=----+．【参考答案】 ➢ 巩固练习1. C2. D3. B4. 35.x =36. （1）x =2（2） （3）无解 （4）无解7. A 车间每天能加工384件该款夏装B 车间每天能加工320件该款夏装 8. 商厦共盈利90 260元附加题；1. （1）（2）（3）无解 （4）无解 （5）无解 （6）x =143x =43x =5x =。
2022年人教版八年级下册数学培优训练——《分式》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ；【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-． 【答案与解析】解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2020•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣． 类型三、分式方程的解法4、（2020•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x +1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【答案与解析】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x +1），得3x +3﹣x ﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x +1）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解．类型四、分式方程的应用5、（2020•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得： ﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ． 根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+． 解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。
八年级上册数学分式方程应用题及答案
问：两人每小时各加工多少个零件？
解：设李刚每小时加工 x 个，则列方程为： 15 0.5 15 （注：此方程去分母后化为一元二次方程）
x 1
x
7、某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款 1.5 万元，乙工
程队款 1.1 万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用 5 天；
方案三：若甲、乙两队合做 4 天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。
试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。
解：设规定时间为 x 天，则
4 x 1 解，得 x＝20 x x5
1
八年级数学培优（刘老师）
八年级上数学分式方程专项练习
1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要 40 分完工；若甲、乙共同整理 20 分钟后， 乙需要再单独整理 20 分才能完工。问：乙单独整理需多少分钟完工？ 解：设乙单独整理需 x 分钟完工，则
20 20 20 1 解，得 x＝80 40 x
解：设第一天有 x 人，则
4800 6000 解，得 x＝200 x x 50
经检验：x＝200 是原方程的解。
x＋x＋50＝450（人）
答：两天共参加捐款的人数是 450 人。
10、某超市用 5000 元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨 11000 元资金购
进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了 0.5 元，购进苹果数量是试销时的 2 倍。
经检验：x＝20 是原方程的解。
八年级上册数学同步培优：第14讲 解分式方程--尖子班
第14讲 解分式方程知识点1 分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程 （2）解这个整式方程（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母：如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；如果最简公分母的值为0，则整式方程的解是原方程的增根，即不是原方程的解.【典例】1.解分式方程223124x x x --=+- 【方法总结】1、分式方程分母是多项式的要先进行因式分解，再确定最简公分母；不含分母的项也要乘以最简公分母；2、求出整式方程的根后，要注意验根，将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；如果最简公分母的值为0，则整式方程的根是原分式方程的增根.2.解分式方程：21421242x x x x x x +-=---+ 【方法总结】1、去分母时，每一项都要乘以()()22x x +-，“-1”项不要漏乘。
2、求出的整式方程的解，不一定是原分式方程的解，所以最后需要验根【随堂练习】1．（2018春•市中区期末）探索发现：=1﹣；=﹣；=﹣…根据你发现的规律，回答下列问题： （1）=﹣ ，= ﹣ ； （2）利用你发现的规律计算：+++…+（3）灵活利用规律解方程：++…+=．2．（2018春•砀山县期末）化简与解方程： （1）﹣+．（2）+1=知识点2 分式方程的解1、类型：给出分式方程的解的限制条件，求分式方程的字母系数，例如：“关于x 的分式方程()()51212x kx x x -=-+-+的解为非负数，求k 的取值范围．” 2、此类问题的步骤（1）解方程：用含字母系数的式子表示分式方程的解；（2）根据“解的限制条件”和“最简公分母不为0”，来列所求系数的关系式； （3）解（2）中的关系式，取公共部分，即为系数的取值范围.【典例】1.关于x 的分式方程()()51212x kx x x -=-+-+的解为非负数，求k 的取值范围． 【方法总结】1、“非负数”是大于等于0的数.2、不要漏掉727k +≠-，717k+≠这两个限制条件. 【随堂练习】1．（2018•重庆）若数a 使关于x 的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程+=1有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是（ ） A ．﹣10B ．﹣12C ．﹣16D ．﹣18 2．（2018•北碚区校级模拟）若关于x 的不等式组至少有一个整数解，且关于x 的方程=的解为整数，则符合条件的整数a 的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个知识点3 分式方程的增根概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根【典例】1.若关于x 的方程2151111k k x x x --+=-+-有增根，则k =________. 【方法总结】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤： ① 去分母，化分式方程为整式方程； ② 让最简公分母为0，从而确定增根；③ 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2.若方程()()6=1111mx x x -+--有增根，则它的增根是（ ） A. x=0 B. x=1 C. x=﹣1 D. x=1和﹣1【方法总结】此题考查了分式方程的增根的知识，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，可按如下步骤进行：① 化分式方程为整式方程；② 让最简公分母为0确定可能的增根；③ 把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的根，是原方程的增根；整式方程不成立，则不是原方程的增根.注意：使最简公分母为0的x 值，不一定是分式方程的增根.【随堂练习】1．（2018春•唐河县期中）关于x 的分式方程有增根，则m 的值为___．2．（2017秋•凤庆县期末）若解关于x 的分式方程+=会产生增根，求m 的值．3．（2017春•简阳市期中）当k 为何值时，分式方程有增根？4．（2017春•长泰县月考）已知关于x 的分式方程+=（1）若方程的增根为x=1，求m 的值 （2）若方程有增根，求m 的值 （3）若方程无解，求m 的值．知识点4 分式方程无解分式方程无解的情况：（1）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解. （2）解出的整式方程的根是增根.【典例】1.解分式方程：24163242x x x -=---+ 【方法总结】1、当解出的整式方程的根是增根时，分式方程无解2、注意增根的检验：检验：当x=2时， ()()22x x +-=0，所以x=2是原方程的增根，原方程无解。
八年级数学培优——分式方程及其应用
第16讲分式方程及其应用考点·方法·破译1．分式方程(组)的解法解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便.2．分式方程增根在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).3．列分式方程解应用题列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义.经典·考题·赏析【例1】解下列方程:⑴22xx-+－2164x-＝1⑵12x+－2244xx-－22x-＝4⑶45xx--＋89xx--＝78xx--＋56xx--【变式题组】⑴12xx--＝12x-－2⑵2xx-＋2＝3(2)xx-⑵14x-－23x-＝32x-－41x-⑷12x+＋242xx-＋22x-＝1【例２】当m 为何值时，分式方程1m x +－21x -＝231x -会产生增根?【变式题组】 01．分式方程22x x -+－22x x +-＝2164x -的增根是__________. 02．若分式方程()()611x x +-－1mx -＝1有增根，则它的增根为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1，－1 03．若关于x 的方程23x -＝1－3m x -无解.则m 的值为___________.04．分式方程1m x +－21x -＝232x -无解，则m 的值为___________.【例３】已知关于x 的方程22x mx +-＝3的解是正数，则m 的取值范围是_________.【变式题组】01．关于x 的方程21x ax +-＝1的解是正数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞－1 B ． a ＞－1，且a ≠0 C ．a ＜－1 D ． a ＜－1，且a ≠－202．当m 为何值时，关于x 的方程22m x x --＝1x x +－12x x --的解是正数?【例４】某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.⑴该商场两次共购进这种运动服多少套?⑵如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元?【变式题组】01．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套?在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为( )A ．160x ＋()400120%x +＝18 B ．160x ＋()400160120%x -+＝18 C ．160x ＋40016020%x -＝18 D ．400x ＋()400160120%x-+＝1802．铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销的2倍.⑴试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元?03．由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3:2，两队合做6天可以完成.⑴求两队单独完成此项工程各需多少天?⑵此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?演练巩固·反馈提高01．关于x 的分式方程5mx -＝1，下列说法正确的是( ) A ．方程的解是x ＝m ＋5 B ．m ＞－5时，方程的解是正数 C ．m ＜－5时，方程的解是负数D ．无法确定02．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( )A ．8B ．7C ．6D ．5 03．用换元法解分式方程1x x -－31x x -＋1＝0时，如果设1x x-＝y ，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是( )A ．y 2＋y －3＝0 B ．y 2－3y ＋1＝0 C ． 3y 2－y ＋1＝0 D ． 3y 2－y －1＝004．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900㎏和1500㎏.已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300㎏，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设第一块试验田每亩收获蔬菜x ㎏，根据题意，可得方程( )A ．900300x +＝1500x B ．900x ＝1500300x -C ．900x ＝1500300x + D ．900300x -＝1500x05．若关于x 的分式方程1x a x --－3x＝1无解，则a ＝___________. 06．方程1x x +＋3＝21x +的解为___________. 07．若x ＝1是方程21x a +＋22x a-＝0的解，则a ＝___________. 08．若A ＝1x x -，B ＝231x -＋1，当x ＝___________时，A ＝B ． 09．若x ＝3是方程102x +＋2k ＝0的解，则3k k +－269k -÷23k -的值为___________.10．如果关于x 的方程1＋2x x -＝224m x -的解，也是不等式组1222(3)8xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的一个解，求m 的取值范围.11．关于x的分式方程61x-＝()31xx x+-－kx有解，求k的取值范围.12．要使关于x、y的二元一次方程组21620x ayx y+=⎧⎨-=⎩有正整数解，求整数a的值.13．某工程准备招标，指挥部接到甲、乙两个工程队的标书，从标书中得知:乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍，该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.⑴求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天?⑵已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问:该工程预算的施工费用是否够用?若不够用，需要追加预算多少万元?请说明理由.14．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算:甲队单独完成这项工程需要60天;若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.⑴乙队单独完成这项工程需要多少天?⑵甲队施工一天，需付工程款3．5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱?培优升级·奥赛检测01．若实数x 、y 、z 满足方程组:122232xyx y yzy z zxz x ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，则有( )A ．x ＋2y ＋3z ＝0B ． 7x ＋5y ＋3z ＝0C ． 9x ＋6y ＋3z ＝0D ．10x ＋7y ＋z ＝002．某段公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为V 1、V 2、V 3，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为( )A ．1233V V V ++B ．1231113V V V ++C ．1231111V V V ++D ．1233111V V V ++03．解分式方程31x +＋51x -＝21mx -会产生增根，则m ＝___________. 04．方程()11x x +＋()()112x x ++＋…＋()()120102011x x ++＝1＋1x 的解是___________.05．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_________分钟.06．解下列方程:⑴12x x ++－17x +＝23x x ++－16x +⑵432x x +-＋324x x -+＝207．已知方程组22xy x y +＝23，32yz y z -＝－9，53xyzxy yz zx-+＝157恰好有一组解为x ＝a ，y ＝b ，z ＝C ．求a 2＋b 2＋c 2的值.08．设x、y都是整数，1x－1y＝12010.求y的最大正整数的解.09．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买入选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还.某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额15000元.根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台?⑴设购买电视机x台，依题意填充下列表格:项目家电种类购买数量(台)原价购买总额(元)政府补贴返还比例补贴返还总额(元)每台补贴返还金额(元)冰箱40000 13%电视机x 15000 13%⑵列出方程(组)并解答.10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.⑴今年三月份甲种电脑每台售价多少元?⑵为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?⑶如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使⑵中所有方案获利相同，a值应是多少?此时，哪种方案对公司更有利?。
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第16讲分式方程及其应用考点·方法·破译1．分式方程(组)的解法解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便.2．分式方程增根在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).3．列分式方程解应用题列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义.经典·考题·赏析【例1】解下列方程:⑴22xx-+－2164x-＝1⑵12x+－2244xx-－22x-＝4⑶45xx--＋89xx--＝78xx--＋56xx--【变式题组】⑴12xx--＝12x-－2⑵2xx-＋2＝3(2)xx-⑵14x-－23x-＝32x-－41x-⑷12x+＋242xx-＋22x-＝1【例２】当m 为何值时，分式方程1m x +－21x -＝231x -会产生增根?【变式题组】 01．分式方程22x x -+－22x x +-＝2164x -的增根是__________. 02．若分式方程()()611x x +-－1mx -＝1有增根，则它的增根为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1，－1 03．若关于x 的方程23x -＝1－3m x -无解.则m 的值为___________.04．分式方程1m x +－21x -＝232x -无解，则m 的值为___________.【例３】已知关于x 的方程22x mx +-＝3的解是正数，则m 的取值范围是_________.【变式题组】01．关于x 的方程21x ax +-＝1的解是正数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞－1 B ． a ＞－1，且a ≠0 C ．a ＜－1 D ． a ＜－1，且a ≠－202．当m 为何值时，关于x 的方程22m x x --＝1x x +－12x x --的解是正数?【例４】某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.⑴该商场两次共购进这种运动服多少套?⑵如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元?【变式题组】01．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套?在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为( )A ．160x ＋()400120%x +＝18 B ．160x ＋()400160120%x -+＝18 C ．160x ＋40016020%x -＝18 D ．400x ＋()400160120%x-+＝1802．铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销的2倍.⑴试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元?03．由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3:2，两队合做6天可以完成.⑴求两队单独完成此项工程各需多少天?⑵此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?演练巩固·反馈提高01．关于x 的分式方程5mx -＝1，下列说法正确的是( ) A ．方程的解是x ＝m ＋5 B ．m ＞－5时，方程的解是正数 C ．m ＜－5时，方程的解是负数D ．无法确定02．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( )A ．8B ．7C ．6D ．5 03．用换元法解分式方程1x x -－31x x -＋1＝0时，如果设1x x-＝y ，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是( )A ．y 2＋y －3＝0 B ．y 2－3y ＋1＝0 C ． 3y 2－y ＋1＝0 D ． 3y 2－y －1＝004．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900㎏和1500㎏.已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300㎏，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设第一块试验田每亩收获蔬菜x ㎏，根据题意，可得方程( )A ．900300x +＝1500x B ．900x ＝1500300x -C ．900x ＝1500300x + D ．900300x -＝1500x05．若关于x 的分式方程1x a x --－3x＝1无解，则a ＝___________. 06．方程1x x +＋3＝21x +的解为___________. 07．若x ＝1是方程21x a +＋22x a-＝0的解，则a ＝___________. 08．若A ＝1x x -，B ＝231x -＋1，当x ＝___________时，A ＝B ． 09．若x ＝3是方程102x +＋2k ＝0的解，则3k k +－269k -÷23k -的值为___________.10．如果关于x 的方程1＋2x x -＝224m x -的解，也是不等式组1222(3)8xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的一个解，求m 的取值范围.11．关于x的分式方程61x-＝()31xx x+-－kx有解，求k的取值范围.12．要使关于x、y的二元一次方程组21620x ayx y+=⎧⎨-=⎩有正整数解，求整数a的值.13．某工程准备招标，指挥部接到甲、乙两个工程队的标书，从标书中得知:乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍，该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.⑴求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天?⑵已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问:该工程预算的施工费用是否够用?若不够用，需要追加预算多少万元?请说明理由.14．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算:甲队单独完成这项工程需要60天;若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.⑴乙队单独完成这项工程需要多少天?⑵甲队施工一天，需付工程款3．5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱?培优升级·奥赛检测01．若实数x 、y 、z 满足方程组:122232xyx y yzy z zxz x ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，则有( )A ．x ＋2y ＋3z ＝0B ． 7x ＋5y ＋3z ＝0C ． 9x ＋6y ＋3z ＝0D ．10x ＋7y ＋z ＝002．某段公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为V 1、V 2、V 3，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为( )A ．1233V V V ++B ．1231113V V V ++C ．1231111V V V ++D ．1233111V V V ++03．解分式方程31x +＋51x -＝21mx -会产生增根，则m ＝___________. 04．方程()11x x +＋()()112x x ++＋…＋()()120102011x x ++＝1＋1x 的解是___________.05．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_________分钟.06．解下列方程:⑴12x x ++－17x +＝23x x ++－16x +⑵432x x +-＋324x x -+＝207．已知方程组22xy x y +＝23，32yz y z -＝－9，53xyzxy yz zx-+＝157恰好有一组解为x ＝a ，y ＝b ，z ＝C ．求a 2＋b 2＋c 2的值.08．设x、y都是整数，1x－1y＝12010.求y的最大正整数的解.09．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买入选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还.某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额15000元.根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台?⑴设购买电视机x台，依题意填充下列表格:项目家电种类购买数量(台)原价购买总额(元)政府补贴返还比例补贴返还总额(元)每台补贴返还金额(元)冰箱40000 13%电视机x 15000 13%⑵列出方程(组)并解答.10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.⑴今年三月份甲种电脑每台售价多少元?⑵为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?⑶如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使⑵中所有方案获利相同，a值应是多少?此时，哪种方案对公司更有利?。