带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题动态放缩法的分析和应用
2024年高考物理热点磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。
带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。
带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。
2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。
一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。
如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。
(完整版)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。
粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。
如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
专题八 带电粒子在有界磁场中的临界极值问题讲解
方法二 旋转圆法
粒子速度大小不变，方向改变，则 r＝mqBv大小不变，但轨迹 的圆心位置变化，相当于圆心在绕着入射点滚动(如图所示)．
例 2 (2015·四川理综)(多选)如图所示，S 处有一电子源，可
向纸面内任意方向发射电子，平板 MN 垂直于纸面，在纸面内的 长度 L＝9.1 cm，中点 O 与 S 间的距离 d＝4.55 cm，MN 与直线 SO 的夹角为 θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于 纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B＝2.0×10－4T.电子质量 m＝ 9.1×10－31 kg，电荷量 e＝－1.6×10－19C，不计电子重力．电子 源发射速度 v＝1.6×106 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能 位置的区域的长度为 l，则( )
B．从 ac 边中点射出的粒子，在磁场中的运动时间为 2πm 3qB
C．从 ac 边射出的粒子的最大速度值为23qmBL D．bc 边界上只有长度为 L 的区域可能有粒 子射出
[解析] 带电粒子在磁场中运动的时间是看圆心角的大小， 而不是看弧的长短，A 项错误；作出带电粒子在磁场中偏转的示 意图，从 ac 边上射出的粒子，所对的圆心角都是 120°，所以在 磁场中运动的时间为 t＝13T＝23πqmB，B 项正确；从 ac 边射出的最 大速度粒子的弧线与 bc 相切，如图所示，半径为 L，由 R＝mqBv⇒ v＝qBmR＝qmBL，C 项错误；如图所示，在 bc 边上只有 Db＝L 长 度区域内有粒子射出，D 项正确，选 B、D 项．
例1 (多选)如图所示，在直角三角形 abc 中，有垂直纸面的匀强
磁场，磁感应强度为 B.在 a 点有一个粒子发射源，可以沿 ab 方向源 源不断地发出速率不同，电荷量为q(q>0)、质量为 m 的同种粒子．已 知∠a＝60°，ab＝L，不计粒子的重力，下列说法正确的是( )
带电粒子在磁场中的临界问题
识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界
即可．
第三页，编辑于星期一：十二点 二十四分。
【解析】 粒子从 A点进入磁场后受洛伦兹力做匀速圆
周运动，要使粒子必能从 EF射出，则相应的临界轨
迹必为过点 A并与 EF相切的轨迹如图乙所示，作出 A、 P点速度的垂线相交于 O即为该临界轨迹的圆心．
y轴正方向的夹角
为 a ，由几何关系可得
a
Rsina=R-
④
2
Rsina=a-Rcosa ⑤
又 sin2a+cos 2a= 1 ⑥
由④⑤⑥式得
R=(2-
6
2
)a
⑦
由②⑦式得 v= (2- 6 ) aqB ⑧
磁场，磁场方向垂直于纸面向里，
磁感应强度的大小 B＝0.60 T ，磁
场内有一块平面感光板 ab，板面
与磁场方向平行，在距 ab 的距离 l＝16 cm 处，
有一个点状的 α 放射源 S，它向各个方向发射 α
粒子， α 粒子的速率都是 v＝3.0×106 m/s. 已知 α
粒子的电荷量与质量之比
q＝
作轨迹，从而探索出临界条件，使
问题迎刃而解，这种方法称为“放
缩法”．
第六页，编辑于星期一：十二点 二十四分。
变式题 1
如右图所示，宽度为 d 的匀强
有界磁场，磁感应强度为 B，
MM′和 NN ′是磁场左右的两 条边界线．现有一质量为 m， 电荷量为 q 的带正电粒子沿图 示方向垂直射入磁场中， θ＝45°.要使粒子不能 从右边界 NN ′射出，求粒子入射速率的最大值 为多少？
第七页，编辑于星期一：十二点 二十四分。
小专题(十四) 带电粒子在匀强磁场中运动的临界多解和动态圆问题
A.
C.
B.
D.
B )
解析:根据牛顿第二定律有 qv0B=
,解得 B=
,故粒子在磁场中的轨迹半径越大,
磁感应强度越小,如图,根据几何关系 () - =5L- () - 可得圆形磁
,解得 v0=
=
(n=1,2,3,…),故 A、B、C 错误,D 正确。
考点三
动态圆模型在电磁学中的应用
1.“放缩圆”模型的应用
速度方向 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时,
一定,
这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化
大小不同 而变化
由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与静电力
方向相同时,根据牛顿第二定律可知 4qvB=m ,得 v=
电荷所受的洛伦兹力与静电力方向相反时,有 2qvB=m ,得 v=
=
,故 A、C 正确。
,负电荷运动的角速度为ω==
ABC 区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场。现有一带正电、电荷量为 q、质
量为 m 的粒子,由 AB 边上距 A 点
a 的 P 点,以初速度 v0 垂直于 AB 边进入磁场,后从 AC
边离开磁场,则磁场磁感应强度的大小可能是(
A.
B.
C.
用,则粒子能通过B点时发射的速率v0可能为(
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题(解析版)
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．1．临界条件的挖掘(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大(前提条件是劣弧)，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运动时间越长。
(4)当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，则以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的偏转角最大。
2．不同边界磁场中临界条件的分析(1)平行边界：常见的临界情景和几何关系如图所示。
(2)矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。
(3)三角形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。
粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。
3. 审题技巧许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．【典例1】如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。
一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。
现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是( )A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场 【答案】 AC 【解析】 如图所示，【典例2】放置在坐标原点O 的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，带电粒子的速率均为v ，方向均在纸面内，如图8－2－14所示．若在某区域内存在垂直于xOy 平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B ，则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x 轴放置的挡板PQ 上，求：(1)挡板PQ 的最小长度； (2)磁场区域的最小面积． 【答案】 (1)mv Bq (2)⎝⎛⎭⎫π2＋1m 2v 2q 2B2【解析】 (1)设粒子在磁场中运动的半径为R ，由牛顿第二定律得qvB ＝mv 2R ，即R ＝mvBq【跟踪短训】1. 在xOy 平面上以O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面．一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图8－2－24所示．不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )．A ．若r <2mv qB ，则0°<θ<90° B ．若r ≥2mv qB ，则t ≥πmqBC ．若t ＝πm qB ，则r ＝2mv qBD ．若r ＝2mv qB ，则t ＝πmqB【答案】 AD【解析】 带电粒子在磁场中从O 点沿y 轴正方向开始运动，圆心一定在垂直于速度的方向上，即在x 轴上，轨道半径R ＝mv qB .当r ≥2mvqB 时，P 点在磁场内，粒子不能射出磁场区，所以垂直于x 轴过P 点，θ最大且为90°，运动时间为半个周期，即t ＝πm qB ；当r <2mvqB 时，粒子在到达P 点之前射出圆形磁场区，速度偏转角φ在大于0°、小于180°范围内，如图所示，能过x 轴的粒子的速度偏转角φ>90°，所以过x 轴时0°<θ<90°，A 对、B 错；同理，若t ＝πmqB ，则r ≥2mv qB ，若r ＝2mv qB ，则t 等于πm qB，C 错、D 对． 2. 如图所示，磁感应强度大小为B ＝0.15 T 、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R ＝0.10 m 的圆形区域内，圆的左端跟y 轴相切于直角坐标系原点O ，右端跟很大的荧光屏MN 相切于x 轴上的A 点。
物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，所以常常出现临界和极值问题。
1．临界问题的分析思路临界问题分析的是临界状态，临界状态存在不同于其他状态的特殊条件，此条件称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破口。
2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：(1)根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；(2)借助几何知识确定极值所对应的状态，然后进行直观分析3．四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
【典例】平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。
一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。
粒子沿纸面以大小为v的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。
已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。
不计重力。
粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（）【应用练习】1、如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小相等的带正电的粒子（重力不计），已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。
则粒子在磁场中运动的最长时间为（）3．如图所示，直角坐标系中y轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为B，右边界PQ平行于y轴，一粒子(重力不计)从原点O以与x轴正方向成θ角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为( )4、如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。
2019_2020学年高中物理第三章磁场小专题1带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题课件新人教版选修3_1
(1)速度的大小； (2)速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦值．
【解析】 设粒子的发射速度为 v，粒子做圆周运动的轨道 半径为 R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得 qvB＝mvR2
单面边界磁场
(多选)如图所示，S 处有一电子源，可向
纸面内任意方向发射电子，平板 MN 垂直于纸面，
在纸面内的长度 L＝9.1 cm，中点 O 与 S 间的距离
d＝4.55 cm，MN 与 SO 直线的夹角为 θ，板所在平面有电子源
的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B＝
2.0×10－4 T，电子质量 m＝9.1×10－31 kg，电量 e＝－1.6×10－19
【答案】 AD
平行边界磁场
如图所示，竖直线 MN∥PQ，MN 与 PQ 间
距离为 a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应
强度为 B，O 是 MN 上一点，O 处有一粒子源，某时刻
放出大量速率均为 v(方向均垂直磁场方向)、比荷一定的
带负电粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计)，已知沿图中
与 MN 成 θ＝60°角射出的粒子恰好垂直 PQ 射出磁场，则粒子在
(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向 夹角为 60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过 A 点，则初速度 的大小是多少？
(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多 少？
【解析】 (1)如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为 R1，
则由几何关系得 R1＝ 33r， 又 qv1B＝mvR112 得 v1＝ 33Bmqr.
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带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题动态放缩法的分析和应用
摘要：带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题是高中磁场部分教学中的难点，在高考中考查的频率很高，本知识点既联系了匀速圆周运动的内容，又承接
带电粒子在磁场中所受洛伦兹力的内容，既是力学知识和电磁学知识的综合体现，又是临界极值问题的全新知识模型的建构，对学生的思维能力要求较高，可以很
好地考察学生的核心素养。
由于带电粒子往往是在有界磁场中的运动的，粒子在磁场中只运动一段圆弧
就飞出磁场，其轨迹不是完整的圆。
这类问题往往根据带电粒子的运动轨迹做出
相关图示去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应的物理规律
分析求解。
关键词：有界磁场；动态放缩法；临界问题；极值问题
1.动态放缩法
在空间内存在一个无限大的匀强磁场。
一个带负电的粒子以某一速度垂直进
入该磁场，那么该粒子就会在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。
根据洛伦兹力
提供向心力就可以得出R=mv/qB,当粒子速度增大时，轨道半径不断增大，轨迹圆
不断变大。
那如果现在限定这个磁场是一个有界磁场。
则粒子在磁场中的运动就存在了临界极值问题。
比如，当磁场边界缩小到与运动轨迹相切
时，那么轨迹与边界的切点便是粒子运动的临界点或极值点。
当带电
粒子在有界磁场中运动，粒子速度同向不同速时，其做圆周运动的圆
心都在磁场边界上，v的大小或者B变化时，轨道半径随即变化。
可以入射点为
定点做出半径不同的一系列轨迹。
当轨迹与右边界相切时，粒子恰好能从左边界
射出磁场，即恰好不能从右边界射出磁场。
这种以入射点为定点做出半径不同的
一系列轨迹，来确定粒子运动的临界和极值问题的方法称为动态放缩法。
画出与
边界相切的临界轨迹、找到临界点、极值点，根据几何关系确定临界极值条件是
解决问题的关键。
2.双边界磁场的临界极值问题
如图1，不同速率的带点粒子垂直进入有界磁场，根据左手定则可以判断带
电粒子在磁场中做圆周运动的圆心都在它所受到的洛伦兹力的方向上。
粒子速率
不同、轨道半径就不同，磁感应强度B的大小不同、轨道半径也不同，动态放缩
法就是以入射点为定点，在磁场中做出半径不同的一系列轨迹圆，尤其要关注的
是与磁场边界相切的轨迹圆，切点往往粒子运动的临界和极值点。
比如当轨迹与右边界相切于A点时，切点A就是粒子恰好能从右边界离开磁
场的临界点，或者说切点A是粒子恰好不能从右边界离开磁场的临界点，此时半
径刚好等于有界磁场的宽度d,当粒子半径小于d时，粒子不能从右边界离开磁场；当粒子半径大于d时，粒子就会从右边界离开磁场，所以说A点就是个临
界点。
3.矩形边界磁场的临界极值问题
如图2，粒子从O点沿y轴正方向进入磁场，根据左手定则就可以判断出来粒子受到的洛伦兹力方向就沿x轴负方向。
同理，
粒子速率不同、轨道半径就不同，我们在磁场中以入射点O点为定点，做出与磁场边界相切的轨迹圆，就可以寻找临界点和极值点。
比如，当轨迹与AB边相切与M点时，粒子做了不到半个周期的圆周运动，那么切点M就是粒子从AB边离开磁场的临界点，当粒子半径小于切点M所对应的半径时，粒子就只能从BC边离开磁场了。
当粒子半径大于切点M所对应的半径时，粒子就从AB边的AM之间离开磁场。
通过以上分析可知，与边界相切的轨迹是解决临界极值问题的关键轨迹。
当轨迹与BC边相切于C点时，切点C就是粒子从OC比离开磁场的最远点。
粒子半径若继续减小，粒子就都从OC边离开磁场，且都是半个周期的圆周运动。
就是我们利用动态放缩法分析解决问题的一个过程和思路。
例1. (多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点，一个带正电的粒子(重力忽略不计)，若从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是( )
A．该带电粒子可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是3/2t
C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D
．若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是
4/3t
分析：粒子沿虚线以不同速率进入磁场，符合粒子同向不同速的特点，可以利用动态放缩法来分析。
由题意可知，粒子从O点
垂直于cd方向进入磁场，刚好做半个周期的圆周运动后从C点离
开磁场，那么时间t
和周期T之间的关系就确定了。
当粒子以不同的速率沿虚线进入磁场，利用动态放缩法在磁场中做出与磁场边界相切的几个关键轨迹。
如图切点A点、C点、E点这三点分别是da边、ab边、bc边的粒子离开磁场的临界点。
由此就可以确定粒子不可能从四个顶点离开磁场。
BCD三个选项考察的是运动时间，那我们就结合这几个与边界相切的关键轨迹来分析。
当轨迹与da边相切与A点时、轨迹所对应的圆心角为60度，当轨迹与ab边相切与C点时，轨迹所对应的圆心角为150度。
那么所有从ab边离开磁场的粒子就全部从图中绿色区域离开，那从这个区域离开磁场的粒子轨迹所对的
圆心角就大于60度而小于150度，运动时间就大于1/
6T而小于5/
12
T，即大于1/
3
t
而小于5/
6t
,那么B选项中的2/3t
在这个范围之内，故B选项正确。
同理，当轨迹与bc边相切与E点时，轨迹所对应的圆心角为240度。
那么所有从bc边离开磁场的粒子就全部从图中粉色
区域离开，那这些不同速率的粒子轨迹所对的圆心角就大于150度小于240度，
运动时间就大于5/
12T而小于2/
3
T，即大于5/
6
t
而小于4/
3
t
,那么C选项中的t
也
在这个范围之内，故C选项正确。
当粒子半径小于G点所对应的轨迹半径时，粒子都从OG之间离开磁场，即
图中黄色区域，粒子轨迹所对应的圆心角都为300度，运动时间就等于5/
6T=5/
3
t
0.
故D选项错误。
4.结语
通过以上的分析就可以发现临界点和极值点往往就存在于与磁场边界相切的轨迹上。
所以解决这类问题的一般方法就是：
(1)运用动态思维，作出与磁场边界相切的临界和极值轨迹图；
(2)寻找几何关系，分析临界条件，总结临界和极值点的规律；
(3)然后应用数学知识和相应物理规律列方程求解。