复数与平面向量的运算与应用
初中数学复数的运算与应用
初中数学复数的运算与应用复数的引入解决了实数中无法开平方根的问题，开创了一个新的数学领域。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，在解决实际问题中发挥了重要的作用。
一、复数的定义和表示复数由实部和虚部组成，形式为$a+bi$，其中$a$为实部，$b$为虚部，并且$i$表示单位虚数，即$i^2=-1$。
复数可以用平面直角坐标系表示，实部在x轴上，虚部在y轴上，复数就位于平面上的一个点。
二、复数的加法和减法复数的加法和减法运算类似于实数的加法和减法，分别将实部和虚部相加或相减即可。
例如，$(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i$。
三、复数的乘法复数的乘法运算使用分配律展开，然后将$i^2$替换为$-1$，最后合并实部和虚部。
例如，$(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$。
四、复数的除法复数的除法运算需要先将除数和被除数同时乘以共轭复数的形式，然后进行相乘和合并实部和虚部的操作。
例如，$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
五、复数的运算规律复数的运算具有交换律、结合律和分配律等性质，这些规律与实数的运算规律类似。
六、复数的绝对值和共轭复数复数的绝对值表示复数到原点的距离，可以用勾股定理求得。
复数的共轭复数是将虚部的符号改变，即$a+bi$的共轭复数为$a-bi$。
七、复数的应用复数在科学和工程领域中广泛应用。
例如，电路中的交流电可以使用复数表示，复数的实部表示电压，虚部表示电流。
在信号处理中，复数可以用来表示频率和相位。
八、复数的几何意义复数可以用平面直角坐标系表示，对应于平面上的一个点。
实部和虚部分别对应于点在x轴和y轴上的坐标。
通过复数的运算，可以在平面上进行向量运算，包括向量的加法、减法、乘法和除法。
高考数学一轮复习规划第六章平面向量与复数第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件
以点 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标
系，
解析
→→
→
设点 A 在第四象限，因为|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝ 2，由已知条件可得
A
102，－7102，B
22，
22，C(
→ →→ 2，0)，因为OC＝mOA＋nOB(m∈R，n∈
R)，所以－1027m10＋2m2＋2n＝22n＝2，0，
→
6．(2021·长郡中学高三适应性考试)已知向量AC＝(1，sinα－1)，BA＝
→ (3,1)，BD＝(2，cosα)，若 B，C，D 三点共线，则 tan(2021π－α)＝________.
答案 －2
解析 ∵B，C，D 三点共线， → → →→
∴BD＝xBC＝x(BA＋AC)，
即(2，cosα)＝x(4，sinα)，则2co＝sα4＝x，xsinα， 得 x＝12，即 cosα＝12sinα，
2 2 ＝54.所以
OA′＝B′C＝54，又|O→A|＝|O→B|
5
＝1，所以O→A′＝45O→A，O→B′＝74O→B，所以 m＝54，n＝74，所以 n－m＝21. 解析
解法二：由已知条件可知，α 为锐角，
由tanα＝csoinsαα＝7， sin2α＋cos2α＝1，
解得sinα＝7102， cosα＝ 102，
5.(2021·山东省菏泽市一模)已知向量 a，b 满足 a＝(1,2)，
a＋b＝(1＋m,1)，若 a∥b，则 m＝( )
A．2
B．－2
C.21
D．－21
解析 b＝(a＋b)－a＝(1＋m,1)－(1,2)＝(m，－1)．因为 a∥b，所以 2m
高一数学复数与平面向量的联系
例2、 分别画出复平面上满足下列
条件的区域 : (1) z的实部不小于1 (2) z的虚部不小于2 (3) z的实部绝对值小于2
(4) z (2 3i) 3
(5) z 4 z 4 10 (6) z和它的共轭复数的积小于 等于2大于等于1
；欧亿注册 / 欧亿注册
点Z (a,b)， 向量OZ是复数
z a bi(a,b R)的另外两种
表示形式， 它们都是复数z的 几何表示。
z a bi(a,b R)
复平面上的点
向量OZ
这种对应关系的建立，为我们 用向量方法解决复数问题，或 用复数方法解决向量问题创造 了条件。
二、复数的模：
向量OZ的模r叫做复数z a bi的
(7)( z1 z2
)
ห้องสมุดไป่ตู้
z1 z2
(z2
0)
例1、 已知复数z1 m2 1 (m2 m)i
与z2 2 (1 3m)i(m R)是共轭
复数， 求m.
四、复数加减法的几何意义：
（1）复数z a bi(a,b R)的几何 表示为点Z (a,b)或向量OZ ,由向量
例、1 2i 2 4i的几何表示。
请问： 向量的三角形法则在这
还适不适用?
（3）复数减法的几何意义 :
请同学们根据向量的减法去考虑，
应该怎样做呢 ?
五、 复平面上两点的距离公式 :
d
z1
z2
,
其中z1与z
是复平面内
2
的两点z1, z2所对应的复数，d 表示
z1
,
z
间的距离。
2
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5.5 复 数考试要求 1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 是实部，b 是虚部，i 为虚数单位． (2)复数的分类： 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0，虚数b ≠0其中，当a ＝0时为纯虚数.(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模或绝对值，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →.3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d ic －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.常用结论1．(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)(a ，b ∈R )．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )． 4．i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )． 5．复数z 的方程在复平面上表示的图形(1)a ≤|z |≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z －(a ＋b i)|＝r (r >0)表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a －b i(a ，b ∈R )中，虚部为b .( × ) (2)复数可以比较大小．( × )(3)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( × )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 教材改编题1．已知复数z 满足(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D2．复数z ＝(3＋i)(1－4i)，则复数z 的实部与虚部之和是________． 答案 －4解析 z ＝(3＋i)(1－4i)＝3－12i ＋i ＋4＝7－11i ，故实部和虚部之和为7－11＝－4. 3．若z ＝(m 2＋m －6)＋(m －2)i 为纯虚数，则实数m 的值为________． 答案 －3题型一 复数的概念例1 (1)(2021·浙江)已知a ∈R ，(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位)，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 答案 C解析 方法一 因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i ，所以－a ＝3，解得a ＝－3. 方法二 因为(1＋a i)i ＝3＋i ，所以1＋a i ＝3＋i i ＝1－3i ，所以a ＝－3.(2)(2022·新余模拟)若复数z 满足z 1＋i i 32－i ＝1－i ，则复数z 的虚部为( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1 答案 C解析 ∵z 1＋i i 32－i＝1－i ，∴z (1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)， ∴z (1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z ＝2－i ， ∴z ＝2＋i ，∴z 的虚部为1. 教师备选1．(2020·全国Ⅲ)若z (1＋i)＝1－i ，则z 等于( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－i D ．i 答案 D解析 因为z ＝1－i 1＋i ＝1－i 21＋i 1－i＝－i ，所以z ＝i.2．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 答案 D解析 方法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2， |z 2－2z |＝|－2|＝2.方法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)| ＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．跟踪训练1 (1)(2022·衡水中学模拟)已知x 1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋2iD ．1－2i答案 B解析 由x1＋i ＝1－y i ，得x 1－i 1＋i 1－i ＝1－y i ，即x 2－x2i ＝1－y i ， ∴⎩⎨⎧x2＝1，x2＝y ，解得x ＝2，y ＝1，∴x ＋y i ＝2＋i ， ∴其共轭复数为2－i.(2)已知z ＝1－3i ，则|z －i|＝________. 答案5解析 ∵z ＝1－3i ，∴z ＝1＋3i ， ∴z －i ＝1＋3i －i ＝1＋2i ， ∴|z －i|＝12＋22＝ 5. 题型二 复数的四则运算例2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知z ＝2－i ，则z (z ＋i)等于( ) A ．6－2i B ．4－2i C ．6＋2i D ．4＋2i答案 C解析 因为z ＝2－i ，所以z (z ＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.(2)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0.给出下列命题： ①若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3； ②若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3；③若z 2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|； ④若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2. 其中所有正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 答案 B解析 由|i|＝|1|，知①错误；z 1z 2＝z 1z 3，则z 1(z 2－z 3)＝0，又z 1≠0，所以z 2＝z 3，故②正确； |z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z 1z 3|＝|z 1||z 3|，又z 2＝z 3，所以|z 2|＝|z 2|＝|z 3|，故③正确，令z 1＝i ，z 2＝－i ，满足z 1z 2＝|z 1|2，不满足z 1＝z 2，故④错误． 教师备选1．(2020·新高考全国Ⅰ)2－i1＋2i 等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 D 解析2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.2．在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________． 答案 －2 解析 依题意知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2， 且z 2＝2＋i 1－i＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ， 故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)设i z ＝4＋3i ，则z 等于( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i D ．3＋4i答案 C解析 方法一 (转化为复数除法运算) 因为i z ＝4＋3i ， 所以z ＝4＋3i i ＝4＋3i －i i －i ＝－4i －3i 2－i 2＝3－4i.方法二 (利用复数的代数形式) 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由i z ＝4＋3i ，可得i(a ＋b i)＝4＋3i ，即－b ＋a i ＝4＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝4，a ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，所以z ＝3－4i. 方法三 (巧用同乘技巧)因为i z ＝4＋3i ，所以i z ·i ＝(4＋3i)·i ，所以－z ＝4i －3， 所以z ＝3－4i.(2)若z ＝i 2 0231－i ，则|z |＝________；z ＋z ＝________.答案221 解析 z ＝i2 0231－i ＝－i 1－i ＝1－i2，|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22，z ＋z ＝12－12i ＋12＋12i ＝1.题型三 复数的几何意义例3 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)复数2－i1－3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析2－i 1－3i＝2－i 1＋3i 10＝5＋5i 10＝1＋i 2，所以该复数在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，该点在第一象限．(2)(2020·全国Ⅱ)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 2 3解析 方法一 设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ， 因为z 1＋z 2＝3＋i ， 所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ， 2z 2＝(3－a )＋(1－b )i.因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4， 所以3＋a 2＋1＋b 2＝4， ①3－a2＋1－b 2＝4，②①2＋②2，得a 2＋b 2＝12.所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.方法二 设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →， 则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →.由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →， 且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2， 可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝2 3. 故|z 1－z 2|＝|BA →|＝2 3. 教师备选1．(2020·北京)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z 等于( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 由题意知，z ＝1＋2i ， ∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.2．(2019·全国Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1 答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )， ∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1， ∴x 2＋(y －1)2＝1.思维升华 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 跟踪训练3 (1)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A ．1＋3iB ．－3－iC ．3－iD ．3＋i答案 D解析 由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋41＋i 1－i 1＋i ＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.(2)设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是( ) A ．3 B ．2 3 C ．1＋2 2 D ．4 答案 D解析 |z |＝1表示单位圆上的点，那么|z ＋22＋i|表示单位圆上的点到点(－22，－1)的距离，求最大值转化为点(－22，－1)到原点的距离加上圆的半径．因为点(－22，－1)到原点的距离为3，所以所求最大值为4.在如图的复平面中，r ＝a 2＋b 2，cos θ＝a r ，sin θ＝b r ，tan θ＝ba(a ≠0)．任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成z ＝r (cos θ＋isin θ)的形式．其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角．我们把r (cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．对应于复数的三角形式，把z ＝a ＋b i 叫做复数的代数形式．复数乘、除运算的三角表示：已知复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则z 1·z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 例1 (1)⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2×3⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 等于( )A.32＋332iB.32－332i C ．－32＋332i D ．－32－332i 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2×3⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 ＝3⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＋isin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6 ＝3⎝⎛⎭⎫cos 2π3＋isin 2π3＝－32＋332i. (2)复数cos π3＋isin π3经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n 的值等于( ) A ．3B ．12C ．6k －1(k ∈Z )D ．6k ＋1(k ∈Z )答案 C解析 由题意，得⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3n ＝cos n π3＋isin n π3＝cos π3－isin π3， 由复数相等的定义，得 ⎩⎨⎧ cos n π3＝cos π3＝12，sin n π3＝－sin π3＝－32.解得n π3＝2k π－π3(k ∈Z )， ∴n ＝6k －1(k ∈Z )．(3)复数z ＝cosπ15＋isin π15是方程x 5－α＝0的一个根，那么α的值等于( ) A.32＋12i B.12＋32i C.32－12i D ．－12－32i 答案 B解析 由题意得，α＝⎝⎛⎭⎫cos π15＋isin π155 ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i. 例2 已知i 为虚数单位，z 1＝2(cos 60°＋isin 60°)，z 2＝22(sin 30°－icos 30°)，则z 1·z 2的三角形式是( )A ．4(cos 90°＋isin 90°)B ．4(cos 30°＋isin 30°)C．4(cos 30°－isin 30°)D．4(cos 0°＋isin 0°)答案 D解析∵z2＝22(sin 30°－icos 30°)＝22(cos 300°＋isin 300°)，∴z1·z2＝2(cos 60°＋isin 60°)·22(cos 300°＋isin 300°)＝4(cos 360°＋isin 360°)＝4(cos 0°＋isin 0°)．课时精练1．(2022·福州模拟)已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；由a2＝－1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝－1”的不必要条件；故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2等于() A．－10 B．10 C．－8 D．8答案 A解析∵z1＝3－i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝－3－i，∴z 1z 2＝－9－1＝－10.3．(2022·长春实验中学模拟)若复数z 的共轭复数为z 且满足z ·(1＋2i)＝1－i ，则复数z 的虚部为( )A.35B ．－35i C.35i D ．－35 答案 A解析 z ·(1＋2i)＝1－i ，∴z ＝1－i 1＋2i ＝1－i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝－1－3i 5＝－15－35i ， ∴z ＝－15＋35i ， ∴复数z 的虚部为35. 4．已知i 是虚数单位，则复数z ＝i 2 023＋i(i －1)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 因为z ＝i 2 023＋i(i －1)＝－i －1－i ＝－1－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点是(－1，－2)，位于第三象限．5．(2022·潍坊模拟)在复数范围内，已知p ，q 为实数，1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则p ＋q 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1答案 C解析 因为1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则1＋i 是方程x 2＋px ＋q ＝0的另一根，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋i ＋1－i ＝－p ，1＋i 1－i ＝q ，解得p ＝－2，q ＝2，所以p ＋q ＝0.6．(2022·苏州模拟)若复数z 满足(1＋i)·z ＝5＋3i(其中i 是虚数单位)，则下列结论正确的是( )A ．z 的虚部为－iB ．z 的模为17C ．z 的共轭复数为4－iD ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 答案 B解析 由(1＋i)·z ＝5＋3i 得z ＝5＋3i 1＋i ＝5＋3i 1－i 1＋i 1－i＝8－2i 2＝4－i ， 所以z 的虚部为－1，A 错误；z 的模为42＋－12＝17，B 正确；z 的共轭复数为4＋i ，C 错误；z 在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限，D 错误．7．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝________. 答案 －i解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i1－2i ＝－3i 3＝－i.8．(2022·温州模拟)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，且z 1－i ＝3＋2i ，则a ＝________，b ＝________.答案 5 1解析 由z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则z ＝a －b i ，所以z 1－i＝1＋i 2(a －b i) ＝a ＋b 2＋a －b 2i ＝3＋2i ， 故a ＋b 2＝3，a －b 2＝2，所以a ＝5，b ＝1. 9．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为①实数；②虚数；③纯虚数． 解 ①当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0， 即m ＝2时，复数z 是实数．②当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．③当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6m ＝0，m ≠0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．10. 如图所示，在平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →，BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)B 点对应的复数．解 (1)∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i ，∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，∴B 所对应的复数为1＋6i.11．欧拉公式e x i ＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项不正确的是( )A ．复数e 2i 对应的点位于第二象限B ．i 2e π为纯虚数C ．复数e x i 3＋i的模长等于12 D ．i 6e π的共轭复数为12－32i 答案 D解析 对于A ，e 2i ＝cos 2＋isin 2， 因为π2<2<π， 即cos 2<0，sin 2>0，复数e 2i 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，i 2e π＝cos π2＋isin π2＝i ，i 2e π为纯虚数， B 正确；对于C ，e x i3＋i ＝cos x ＋isin x 3＋i＝cos x ＋isin x 3－i 3＋i 3－i ＝3cos x ＋sin x 4＋3sin x －cos x 4i ， 于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x i 3＋i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ＋sin x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x －cos x 42 ＝12， C 正确； 对于D ，i 6e π＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ， 其共轭复数为32－12i ，D 不正确． 12．(2022·武汉模拟)下列说法中，正确的个数有( )①若|z |＝2，则z ·z ＝4；②若复数z 1，z 2满足|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0；③若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等；④“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 若|z |＝2，则z ·z ＝|z |2＝4，故①正确；设z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，可得|z 1＋z 2|2＝(a 1＋a 2)2＋(b 1＋b 2)2＝|z 1－z 2|2＝(a 1－a 2)2＋(b 1－b 2)2则a 1a 2＋b 1b 2＝0，而z 1z 2＝(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝a 1a 2－b 1b 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i＝2a 1a 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i 不一定为0，故②错误；当z ＝1－i 时，z 2＝－2i 为纯虚数，其实部和虚部不相等，故③错误；若复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数，则a 2－1≠0，即a ≠±1，所以“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件，故④正确．13．(2022·上外浦东附中模拟)若⎪⎪⎪⎪a －i 1 b －2i 1＋i ＝0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝________. 答案 1解析 ∵⎪⎪⎪⎪a －i 1 b －2i 1＋i ＝(a －i)(1＋i)－(b －2i) ＝a ＋a i －i ＋1－b ＋2i＝(a ＋1－b )＋(a ＋1)i ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1－b ＝0，a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝－1， ∴a 2＋b 2＝1.14．(2022·上海市静安区模拟)投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数m ＋n i n ＋m i为虚数的概率为________．答案 56 解析 ∵复数m ＋n i n ＋m i ＝m ＋n i n －m i n ＋m in －m i ＝2mn ＋n 2－m 2i m 2＋n 2， 故复数m ＋n i n ＋m i为虚数需满足n 2－m 2≠0， 即m ≠n ，故有6×6－6＝30(种)情况，∴复数m ＋n i n ＋m i 为虚数的概率为306×6＝56.15．(2022·青岛模拟)已知复数z 满足|z －1－i|≤1，则|z |的最小值为( )A ．1 B.2－1 C. 2 D.2＋1答案 B解析 令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由题意有(x －1)2＋(y －1)2≤1，∴|z |的最小值即为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z |的最小值为2－1.16．(2022·张家口调研)已知复数z 满足z 2＝3＋4i ，且z 在复平面内对应的点位于第三象限．(1)求复数z ；(2)设a ∈R ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 023＋a ＝2，求实数a 的值． 解 (1)设z ＝c ＋d i(c <0，d <0)，则z 2＝(c ＋d i)2＝c 2－d 2＋2cd i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c 2－d 2＝3，2cd ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－2，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，d ＝1(舍去)． ∴z ＝－2－i.(2)∵z ＝－2＋i ， ∴1＋z 1＋z ＝－1－i －1＋i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 22＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 023＝i 2 023＝i 2 020＋3＝i 505×4＋3＝－i ， ∴|a －i|＝a 2＋1＝2， ∴a ＝±3.。
第六章 平面向量与复数教案
第六章 平面向量与复数第33课时平面向量的概念、线性运算【教学目标】1．了解向量的实际背景；理解平面向量的概念及向量相等的含义；理解向量的几何表示.2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义.【教学重点】掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件. 【教学难点】向量线性运算的性质及其几何意义，两个向量共线的充要条件. 【教学课时】2课时 【教学辅助】投影仪 【教学过程】 【预习导引】1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是________．2．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________．3．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →＝_____________(用AB →，AC →表示)．4.已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝______ ，BC →＝_ ___(用a ，b 表示)．5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.【知识梳理】 1．向量的有关概念2.向量的线性运算三角形法则(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa3.对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，a 与b 共线的充要条件是 .【典型例题】题型一 平面向量的概念例1 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是________．题型二 平面向量的线性运算例2.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，求 AD →(用b ，c 表示)．例3(能力提升)如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，求λ的值．题型三 共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【课堂小结】【当堂检测】1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(4)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) (6)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( )2.已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则用OB OA , 表示OC =_____________。
高三一轮 第五章 平面向量与复数 5.2 平面向量基本定理及坐标表示
2.平向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝ x21＋y21 .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝ (x2－x1，y2－y1)，|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12 . 3.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔ x1y2－x2y1＝0 .
一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是
A.(－∞，2)
B.(2，＋∞)
C.(－∞，＋∞)
√D.(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析 由题意知向量a，b不共线， 故2m≠3m－2，即m≠2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.(2019·蚌埠期中)已知向量 m＝sin A，12与向量 n＝(3，sin A＋ 3cos A)共线，
其中 A 是△ABC 的内角，则角 A 的大小为
π A.6
π B.4
√π
C.3
π D.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A.(3,1)
√B.(4,2)
解析 A→C＝A→D＋D→C＝(3,1)，
2021高中数学一轮复习课件第五章 平面向量、复数第三节 第二课时 平面向量的综合应用
速度垂直于对岸行驶，则这艘船的航行速度的大小为________，
方向与水流方向的夹角为________．
解析：如图所示，设
―→ AB
表示水流速度，
―→ AC
表示船
垂直于对岸行驶的速度，以AB为一边，AC为一对角
―→ 线作▱ABCD，则 AD 就表示船的航行速度．
∵|
―→ AB
|＝4
3
，|
―→ AC
|＝12，∴|
心；由
―→ NA
＋
―→ NB
＋
―→ NC
＝0知，N为△ABC的重心；因为
―→ PA
―→ ·PB
＝
―→ PB
―→ ·PC
，所以(
―→ PA
－
―→ PC
―→ )·PB
＝0，所以
―→ CA
·―P→B ＝0，所以―C→A ⊥―P→B ，即CA⊥PB，同理AP⊥BC，
CP⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选C．
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[解题技法] 向量在解析几何中的2个作用
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此 载体 类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外 作用 衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关
距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、 工具 作用 平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解
形的内心．
(6)对于△ABC，O，P为平面内的任意两点，若
―→ OP
＝
―O→A ＋λ
―→ AB ―→
＋
―→ AC ―→
(λ>0)，则直线AP过△ABC的内心．
复数与向量的关系
重视复平面上复数与向量得联系作用平面向量与复数就是高中数学得重要内容,联系紧密，联系就是在复平面进行得。
随着知识得发展,相互对应相互促进就是联系得主要体现。
复数中得概念、运算等在向量中可以作出几何解释;向量得运算，可以对应有关得复数运算、复数与向量得这种联系,只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们得联系作用,将就是一件高效快乐得事情、一复数商与内积得联系复数运算,向量运算之间得许多联系,在现有课本里就是可以学习到得，下面我们来瞧复数商与内积得联系、例 1 复数z=a+bｉ，ｚ=a＋bi，它们得三角式分别为z=|z｜(cｏｓθ+isinθ), z=|ｚ|(cosθ+ｉsinθ)，对应得向量分别就是＝(ａ,ｂ)、＝(a，b)、然后复数作商:代数式作商:=;-－-－---－-－--－(１)三角式作商:=[cｏｓ(θ－θ）+ｉｓin(θ-θ)],-－－-－-(2)比较(1)（2）式,可得 [cos（θ－θ)]=, (3)［sｉn(θ-θ）]= (4)则从中可得下列变式：(1)复数对应向量间得夹角余弦公式:ｃos(θ-θ)= ，（我們总可以适当选择θ、θ得主值范围,使得|θ-θ|∈，所以与得夹角就就是|θ－θ|)、(2) 向量内积:·=ａa+ｂb=||·｜｜ｃos(θ-θ)、若对(４）取绝对值得到:|×|=｜ab-ab｜=||·|sin(θ-θ)｜，这就是空间平面上向量叉积得绝对值,就是以线段oz、ｏz为邻边得平行四边形得面积公式、复数商运算式中,隐含着向量间得夹角公式,向量得内积,平行四边形面积得公式、若复数代数式得三角式分别就是,然后，将它们得代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以得到上面得三个式子、数学中得这种相互包容联系,真就是体现了数学中得统一与谐之美、二复数向向量表示上得转化联系利用复数与向量得联系,复数可以向向量表示上得转化，使有些复数得问题转化为向量问题或构造向量图像去处理,借向量之力去解决复数问题、例2 已知复数z、z得模为１,z+ｚ，求复数、解：根据题意，设复数对应得向量为,以这两个向量为邻边，边长为1,构作一个平行四边形,并建如图１得直角坐标系、记,对应向量、∵对应得复数就是x∴，∠ｚoz=60,ﻩ本题在解题得思路上借助了复数向向量转化得作用、复数向向量转化就是较常用得思想方法、此题纯粹用代数方法去做,计算量就是较大得、例３复平面内,已知动点Ａ,B所对应得复数得辐角为定值,分别θ、-θ,,O为原点,ΔAＯB得面积就是定值S,求ΔAOＢ得重心M所对应得复数模得最小值、图2、解:根据题设,设向量对应复数且|,则有,∵ 图2∴＝=≥=∴ ｜z|=|,即重心M 所对应得复数模得最小值(=时,取最小值)、该题用向量方法可较简捷获解、复数向向量表示上得转化得特点就是:能将复数条件化为特殊得向量图形, 或构造一个向量运算，然后,顺利进行推理运算,求得结果、三 向量向复数表示上得转化联系利用复数与平面向量得联系,由向量向复数表示上得转化,使向量问题转化为复数问题或构造复数得结论去处理,借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感、例4已知三个不共线得向量且证明:可构成一个三角形、证明:不妨设对应复数得三角式分别为：,且、o i r i r i r =+++++∴)sin (cos )sin (cos )sin (cos 333222111θθθθθθ＝0 (2)由(１）,（2)解得不共线,可构成一个三角形、从证明过程知道,其逆也成立得,故此命题可写成充要条件得形式、该题纯粹用向量概念去证明就是比较简单得,但学生听了后,并觉得没有复数解明白、 向量向复数表示上得转化得特点就是:转化为复数问题后能构造出复数得某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成、四 复数与向量并用联系用多种形式表示一个命题得方法,在数学中就是常用得手段，而且就是常用常新,也就是知识、思想、方法融会贯通得重要途径、如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题得处理自然要选择合适得形式来表示,或者就是两者并用,实现相互左证,这样可以使问题明了简单、例5已知线段ＡＢ得中点Ｃ,以ＡC 与C Ｂ为对角线作平行四边形A ＥＣＤ与BFCG ，又作平行四边形CF ＨＤ与CGK Ｅ,求证H 、C 、Ｋ三点在一条直线上,且CK ＝C Ｈ,如图３、证明：以C 为原点,A Ｂ为X 轴建立直角直角坐标系、设向量对应复数那么,向量对应复数分别为;又、分别对应复数、∵ ,图3 ∴ ,∴平行,但又有公共点C,故Ｈ、C 、K 三点共线,且CK=CH 、例6已知(k=１，2,……,ｎ）就是单位圆上得n 个等分点,就是该圆上任意一点，求证 为一定值、如图４、证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点，ＯP 为Ｘ轴,建立坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)，∵ 点，对应向量就是，则其长为1,向量与，即、∴ = =()()(.....)()()()2211op op op op op op op op op op op op n n -⋅-++-⋅-+-⋅- =)......(2||||......||||21222221n n op op n op op op ++⋅-++++=２n-２=2n,为定值、在这两个问题解决得过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间得等价结论、复数与向量并用得特点就是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自得范围内有顺利进行计算推理得可能、在平面图中，证明点共线,直线平行，直线垂直,判断三角形得形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题得,从而实现共同之目得、复数与平面向量之间得联系就是很多得,既有数形联系,又有等价结论联系、用好这些联系得意义就是很大得、在教学中能揭示这些联系,可以活跃思维,培养兴趣,提高学习得积极性,提高学习得效率、 要牢固掌握这些联系,关键在平时要理清复数与向量得对应联系，并把它们装在心中,拿在手中,落实在应用中,千万别将它们分离、例４已知就是单位圆上得ｎ个等分点(按逆时针排列),o 就是原点,求证:证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点,OP 为X 轴,建立直角坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)、∵ 点,对应向量就是,则其长为1,向量与,∴ 、这种等分圆周得有关向量求与问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求与来完成、。
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复数与平面向量的运算与应用复数与平面向量是数学中重要的概念，并且在很多实际问题的解决中具有广泛的应用。
本文将介绍复数与平面向量的基本定义以及它们在运算与应用中的重要性。
一、复数的定义与运算
复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为 a+bi，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复数具有实部和虚部，可以进行加、减、乘、除等运算。
定义1：设 a，b为实数，i为虚数单位，那么 a+bi 称为复数。
其中，a称为实部，bi称为虚部。
定义2：纯虚数是指虚部为0的复数，例如 bi。
实数是虚部为零的复数，例如 a。
定义3：复数的加法运算： (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
复数的减法运算： (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
复数的乘法运算： (a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
复数的除法运算： (a+bi) / (c+di) = [(ac+bd) / (c^2+d^2)] + [(bc-ad) / (c^2+d^2)]i
复数运算满足交换律、结合律、分配率等性质，具有良好的运算性质。
二、平面向量的定义与运算
平面向量是由大小和方向所确定的有向线段，在平面直角坐标系中用点表示。
平面向量在几何、物理等领域中有着广泛的应用，如位移、速度等概念。
定义4：设有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则向量AV可以表示为(AB)，其中V为(0,0)点。
向量AB的表示为AB = (x2-x1)i + (y2-y1)j 定义5：向量的加法运算： (a1i+b1j) + (a2i+b2j) = (a1+a2)i +
(b1+b2)j
向量的减法运算： (a1i+b1j) - (a2i+b2j) = (a1-a2)i + (b1-b2)j
向量的数量乘法： k(a1i+b1j) = ka1i + kb1j，其中k为实数
向量的数量除法： (a1i+b1j)/k = (a1/k)i + (b1/k)j，其中k为非零实数
向量运算也满足交换律、结合律、分配率等性质，与复数运算类似。
三、复数与平面向量的关系
复数和平面向量有着密切的关系，可以相互转化。
定义6：复数与平面向量的转化：对于复数a+bi，可以将其转化为平面向量(Ax,Ay)的形式，其中Ax为实部a，Ay为虚部b。
定义7：平面向量与复数的转化：对于平面向量(vx, vy)，可以将其转化为复数a+bi的形式，其中a为向量的x分量vx，b为向量的y 分量vy。
复数与平面向量的转化使得它们的运算和应用可以互相转化，方便解决具体问题。
四、复数与平面向量的应用
复数与平面向量在数学和科学领域中有着广泛的应用。
应用1：电路分析与交流电理论
复数可以用来表示交流电的正弦信号，方便分析电路的稳态和暂态响应。
复数与平面向量的运算使得计算更加简化。
应用2：几何问题
复数可以用于解决几何图形的平移、旋转等问题。
通过将平面向量转化为复数，可以方便地表示和计算几何变换。
应用3：模拟计算与图像处理
复数与平面向量的运算在计算机图形学中扮演着重要角色，例如绘制图形、图像变换等，提高了计算效率和图像质量。
五、总结
复数与平面向量是数学中的重要概念，它们通过运算与应用相互关联。
复数的定义和运算类似于平面向量，复数和平面向量可以相互转化，方便运算和解决实际问题。
在电路分析、几何问题以及模拟计
算等领域，复数与平面向量的应用得到了广泛的认可。
我们应该认识到复数与平面向量的重要性，并在学习和应用中掌握它们的基本概念和操作方法。