辽宁省沈阳市2018-2019高三一模理科数学试卷(PDF版
2019届高三第一次模拟考试数学(理)试卷.docx
第I 卷(选择题满分60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1. 已知集合 A = |x|log 2(x+1)<1|,B = * xA ・(-1,0) B. (-oo,0) C.(0,1) D. (1,-Ko) 2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+oo)单调递减的函数是()4. 设d>0且GH1，则“函数/(x)=/在/?上是减函数”是“函数g(x) =(2 — dX 在R 上 递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4 2 \_ 5. 已知a = 2§# = 46c = 25§,则( )A. c <a<bB. a <b <cC. b <a <cD. b <c < a6. 若实数满足2" =3,3〃 =2,则函数f{x) = a x +x-b 的零点所在的区间是()A. (-2,-1)B. (-1,0) C ・(0,1) D ・(1,2)7. 已知命题p ： " 3x () e 7?,使得谕+2% + l<0成立”为真命题，则实数d 满足()A. ［-1,1)B. (—00,—1)kJ(l,4-oo)C. (1,+ oo)D. (—oo,—1)8. 定义在上的奇函数/(x)满足/(x-4) = -/(x)，且在区间［0,2］上递增，则()A. /(—25) < /(11) < /(80)B. /(80) < /(11) < /(—25)C. /(-25)</(80)</(11)D. /(11)</(80)</(-25)9. 己知函数y = f{x+1)是定义域为/?的偶函数，且/(x)在［l, + oo)上单调递减，则不等式 /(2x-l)>/(x + 2)的解集为()盯，则A B=()A. y = -x 3B. y = }n xC. y = cosxD. y = 2 一卜cin X3•函数的图象可能是()DA.[B. [1,3)C. <D.10.若曲线G =（无 ＞（））与曲线C 2:y = e x 存在公共点，则Q 的取值范围是（） ( 2 ' ( 2' 、 「A. 0,— < 8_ B. C. e ——,+ooD. e —,+oo _4丿 11. 函数 /（x ） = 2加彳一3凡/+10（加＞（）/＞（））有两个不同的零点，则 5（lg m ）2 +9（lg/i ）2 的最小值是（）＜ 5 13 1A. 6B. —C. —D. l 9 9 12. 函数于（兀）是定义在（0,+oc ）上的可导函数，导函数记为/（X ）,当兀＞0且兀Hl 时， 2/（兀）+ 〃（兀）＞0,若曲线歹=于（切在x = l 处的切线斜率为-土，则/⑴二（） x-1 52 3 4 A. — B. — C. — D. I 5 5 5第II 卷 （非选择题 满分90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 任意幕函数都经过定点,则函数/'（兀）=卅+log “ （x-7?z ）（6z ＞0且a 丰1）经过定 点 _____ •14. __________________________________________________ 函数/G ） = lnx-a 兀在［1, + oo ）上递减，则a 的取值范围是 ___________________________ .— x — 2 r 〉0 '-的零点个数为 X 2+2X ,X ＜0+ r +116. __________________ 若函数/（兀）满足：V XG /?, /（x ） + /（-x ） = 2,则函数g （x ） = —j- + /（x ）的最大 值与最小值的和为 • 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17. （本小题满分10分）己知命题°：方程x 2^ax^ — = 0有两个不相等的负实数根；命题q ：关于Q 的不等式 16丄〉1.如果“ p 或q”为真命题，“ p Hq ”为假命题，求实数°的取值范围. a18. (本小题满分12分)1-%2已知函数f(x)=—. 1 + X⑴判断/(兀)的奇偶性；(2) /令 + /(|) + + /(|) + /(0) + /(I) + /(2) + + /(9) + /(10)的值.19.(本小题满分12分)己知函数/(x) = 2V的定义域是[0,3],设g(x) = /(2x)-/(x + 2)・(1)求g(x)的解析式及定义域；(2)求函数g(x)的最大值和最小值.20.(本小题满分12分)已知函数/(x) = log, (x2— 2祇+ 3)・2(1)若函数/(X)的定义域为/?,值域为(-00,-1],求实数Q的值；⑵若函数/(兀)在(Y0,l]上为增函数，求实数d的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f\x) = e x(ca-^b)-x2-4x，曲线y二f(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y = 4x + 4.(1)的值；(2)讨论/(兀)的单调性，并求/(兀)的极大值.22.(本小题满分12分)已知a > 0,函数f(x) = ax2 -x9g(x) = lnx.(1)若a =-,求函数y = f(x)-2g(x)的极值.2(2)是否存在实数①使得f(x)>g(ax)成立？若存在求出a的取值集合，若不存在，说明理由.理科答案ADAAC BBCDD BA(2,1) a>\ 2 417. 0 v a S —或a 21 21&偶函数；119. g(x) = 22X - 2v+2,x G [0,1]；最大值为-3,最小值为-4 20.a = ±1 ； 1 < a < 2(1)当a =—时，y = f(x)-2g(x) = — x 2 -x-21nx 2 2 (兀+1)(兀 - 2)当兀 G （0,2）1 寸，y < 0;当x e （2,+oo ）0寸，y >0 .•・在兀=2处取得极小值几2） - 2g ⑵=-In 4 （2 冷/心）=2/（x ） 一 g{ax ） = 6rx 2 一兀一 In （a 兀）,即力（尤）罰-0 /.^（x ） = 0有两个不等慚，兀2，（西<0<x 2）, /.力（兀旌（0,兀2 ）递减k X 2,+°°）递增，/. /z （x J=么才一无2 -ln （a 吃）> 0成立， /. x 2 — 1 代入2°牯—x 2 — 1 = 0得 a = 1 /. a G {1} 21 • Q = 4" = 4； (-OO ，-2)，(in 丄 递增, -2,% 递减；极大值为4 - 4幺 •/ 2ax^ -x 2 -1 = 0/. k(x 2) < k(V) = 0。
2018年高三数学一模试卷及答案(理科)
2018年高三数学一模试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012A =--，，，，，()(){}130B x x x =-+<，则A B = （ ） A ．{}21,0--， B ．{}0,1 C ．{}1,01-， D ．{}0,1,2 2.已知复数21iz i=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i - 3.下列说法正确的是（ ）A ．若命题0:p x R ∃∈，20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∉，210x x -+≥B ．已知相关变量(),x y 满足回归方程 24y x =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4个单位C ．命题“若圆()()22:11C x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则实数[]0,1m ∈”为真命题D ．已知随机变量()22X N σ ，，若()0.32P X a <=，则()40.68P X a >-=4.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）A ．16 B ．13 C.12 D ．235.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．33cmB ．35cm C. 34cm D ．36cm6.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若48102a a a =，则3S 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C.4 D.67.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为（ ）A ．5B ．16C.5或32 D ．4或5或32 8.在)12nx -的二项展开式中，若第四项的系数为7-，则n =（ ）A ．9B ．8 C.7 D ．69.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8430S S =-≠，则412S S 的值为（ ） A ．13-B ．112- C.112 D ．1310.将函数()22sin cos f x x x x =-()0t t >个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ．3π C. 2π D ．6π 11.如图，过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线l 于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x = C.23y x = D．2y =12.已知函数()()23xf x x e =-，设关于x 的方程()()()22120f x mf x m R e--=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（ ）A ．3B ．1或3 C.4或6 D ．3或4或6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,1a =- ，(),1b t =，若()()//a b a b +- ，则实数t =．14.设实数x ，y 满足不等式组70,310,350,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则2z x y =-的最大值为．15.已知双曲线经过点(1,，其一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的标准方程为． 16.已知等腰直角ABC △的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC △折起，使二面角B ADC --的大小为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且有cos cos cos 0a B b A C +=.（1）求角C 的大小；（2）当2c =时，求ABC S △的最大值.18. 某调查机构随机调查了20岁到70岁之间的600位网上购物者的年龄分布情况，并将所得数据按照[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[]60,70分成5组，绘制成频率分布直方图（如图）.（1）求频率分布直方图中实数m 的值及这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数； （2）现采用分层抽样的方法从参与调查的600位网上购物者中随机抽取10人，再从这10人中任选2人，设这2人中年龄在[)30,40内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. 如图，菱形ABCD 与四边形BDEF 相交于BD ，120ABC ∠=，BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，2BF DE =，AF FC ⊥，M 为CF 的中点，AC BD G = .（1）求证：//GM 平面CDE ；（2）求直线AM 与平面ACE 成角的正弦值.20. 已知椭圆E 的两个焦点为()110F -，，()210F ，，离心率2e =（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线():0l y x m m =+≠与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时，求TAB △面积的最大值. 21. 已知函数()21axf x x e-=-（a 是常数）.（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()0,16x ∈时，函数()f x 有零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:ADCDB 6-10:DCBBD 11、12：CA 二、填空题13.1- 14.8 15.2214y x -= 16.73π三、解答题17.解：（1）因为cos cos cos 0a B b A C +=，由正弦定理，得sin cos sin cos cos 0A B B A C C +=，即()sin cos 0A B C C +=，即sin cos 0C C C =. 因为在ABC △中，0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos 2C =，解得4C π=.（2）由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-=+，即(224=2a b ab +≥，故(22ab ≤=，当且仅当a b ==.所以(11sin 221222ABC S ab C =≤⨯⨯=+△即ABC S △的最大值为118.解：（1）由频率分布直方图，可得()0.0300.0260.0140.012101m ++++⨯=，得0.018m =.则这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的频率为()0.0180.01410=0.32+⨯， 故这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数为6000.32=192⨯.（2）由频率分布直方图可知，年龄在[)30,40内的人数与其他年龄段的总人数比为0.03010310.030107⨯=-⨯，由分层抽样的知识知，抽出的10人中年龄在[)30,40内的人数为3，其他年龄段的总人数为7.所以X 的可能取值为0，1，2.()023********C C P X C ===，()11372107115C C P X C ===，()20372101215C C P X C ===所以X 的分布列为故X 的数学期望()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：取BC 的中点N ，连接GN ，MN . 因为G 为菱形对角线的交点，所以G 为AC 中点.又N 为BC 中点，所以//GN CD ，又GN ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//GN 平面CDE .又因为M ，N 分别为FC ，BC 的中点.所以//MN FB ，又因为//DE BF ，所以//DE MN ，MN ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//MN 平面CDE ，又MN ，GN ⊂平面MNG ，MN GN N = ，所以平面//GMN 平面CDE .又GM ⊂平面GMN ，所以//GM平面CDE . （2）解：连接GF .设菱形的边长2AB =，则由120ABC ∠=，得1GB GD ==，GA GC ==又因为AF FC ⊥，所以FG GA ==则在直角GBF △中，BFDE =.由BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，得DE ⊥平面ABCD .以G 为坐标原点，分别以GA ，GD 所在直线为x 轴，y 轴，过点G 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系G xyz -，则()0,0,0G，)0A，，01E ⎛ ⎝⎭，(0F -，，1,222M ⎛-- ⎝⎭，则)0GA =，，01GE ⎛= ⎝⎭ . 设(),,m x y z =为平面ACE 的一个法向量，则0,0,m GA m GE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即00y z =⎨+=⎪⎩.令z =1y =-，所以(0,m =-.又1,22AM ⎛=- ⎝⎭，所以11cos ,10AM mAM m AM m+=== . 设直线AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ=. 所以直线AM 与平面ACE20.解：（1）由离心率2e =1c =，解得a =所以1b =.所以椭圆E 的方程是2212x y +=. （2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，据221,2x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2234220x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆E 有两个不同的交点，∴()()22412220m m ∆=-->，又0m ≠，所以m <0m ≠.由根与系数的关系得1243mx x -+=，212223m x x -=设线段AB 中点为C ，点C 横坐标12223C x x m x +==-，3C C my x m =+=，∴2,33m m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴线段AB 垂直平分线方程为233m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，∴点T 坐标为,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点T 到直线AB的距离d =，又AB ==，所以123TABS =△=232m =时，三角形TAB 面积最大，且()max TAB S =△.21.解：（1）当0a =时，()21f x x =-，函数在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递减.当0a ≠时，()()()'2222ax ax axf x xe x a e eax x ---=+-=-+，因为0ax e ->， 令()220g x ax x =-+=，解得0x =或2x a=. ①当0a >时，函数()22g x ax x =-+在20,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≥，即()'0f x ≥，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有()0g x <，即()'0f x <，函数()y f x =单调递减；②当0a <时，函数()22g x ax x =-+在2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，()0,+∞上有()0g x >，即()'0f x >，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≤，即()'0f x ≤，函数()y f x =单调递减.综上所述，当0a =时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,+∞，递减区间为(),0-∞；当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间为20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间为2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,+∞，递减区间为2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）①当0a =时，由()210f x x =-=，可得1x =±，()10,16∈，故0a =满足题意. ②当0a >时，函数()y f x =在20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，（i ）若()20,16a ∈，解得18a >. 可知20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是增函数，2,16x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，由()010f =-<，∴在()0,16上()2max 22410f x f e a a-⎛⎫==-≥⎪⎝⎭， 解得22a e e -≤≤，所以128a e <≤； （ii ）若[)216,a ∈+∞，解得108a <≤.函数()y f x =在()0,16上递增， 由()010f =-<，则()161625610af e-=->，解得1ln 22a <.由11ln 228>，所以10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.③当0a <时，函数()y f x =在()0,16上递增，()01f =-，()161625610af e -=->，解得1ln 22a <， ∴0a <，综上所述，实数a 的取值范围是2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22.解：（1）因为2222cos sin 1y θθ+=+=， 所以曲线C 的普通方程为2213x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=， 因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=. （2）设),sin Pθθ，则点P 到直线l的距离为d ==≤ 等号成立当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此点P 到直线l的距离的最大值为223.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤， 解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（证法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤， 所以()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+，又10mn +≥，故1m n mn +≤+.（证法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤， 而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。
【100所名校】辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高三上学期第三次模拟数学(理)试卷+Word版含解析
12．设函数若关于的方程有四个不同的解且则的取值范围是
A．B．C．D．
二、解答题
13．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足
（1）求数列通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
14．已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称．
（1）求和的标准方程；
7．A
【解析】
【分析】
图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，变为原来的.向右平移个单位即要.通过上面两个步骤得到变换后的函数解析式后，再根据三角函数的对称轴公式求得相应的对称轴.
【详解】
图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，变成.向右平移个单位变为.当时，函数取得最大值，故对称轴为，故选A.
4．若两个单位向量，的夹角为，则
A．B．C．D．
5．已知命题：幂函数的图象必经过点和点；
命题：函数的最小值为.下列命题为真命题的是
A．B．C．D．
6．设变量、满足约束条件，则的最小值为
A．-3 B．-2 C．0 D．6
7．将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，所得函数的一条对称轴方程为
3．A
【解析】
【分析】
由于数列为等比数列，将已知条件转化为的形式，解方程组可求得的值.
【详解】
由于数列为等比数列，故，，由于数列各项为正数，故，选A.
【点睛】
本小题主要考查利用基本元的思想解等比数列的有关计算问题.要注意题目给定公比是正数.属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
将所求变为，然后利用数量积模的运算，求出结果.
（2）过点的直线与交于，与交于，求证：．
15．如图，在四面体中，，.
辽宁省沈阳市2017-2018学年高三一模数学(理)试卷 Word版含解析
辽宁省沈阳市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z的共轭复数( )A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于( ) A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是( )A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=( ) A．5 B．6 C．7 D．86．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )A．B．C．2cm3D．4cm37．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( )A．3 B．﹣3 C．1 D．8．若执行如图的程序框图，则输出的k值是( )A．4 B．5 C．6 D．79．由曲线y=x2，y=围成的封闭图形的面积为( )A．B．C．D．110．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=( )A．B．C．D．11．函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．812．若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是__________．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=__________．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是__________．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值__________．三、解答题：（满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．18．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD 上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．（Ⅰ）求证：对任意的λ=（0，1]，都有AC⊥BE；（Ⅱ）若二面角C﹣BE﹣A的大小为120°，求实数λ的值．19．某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．（1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；（2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．20．如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且=λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0．时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上e﹣e＜0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．辽宁省沈阳市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z的共轭复数( )A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则其共轭复数可求．解答：解：由（1﹣i）z=2i，得=，∴．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于( ) A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意可得5∈∁U M，且5∈∁U N；6∈∁U M，且6∈∁U N，从而得出结论．解答：解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}=（∁U M）∩（∁U N），故选：D．点评：本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定义，属于基础题．3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题；简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．4．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是( )A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标．解答：解：由题意知，y=4ax2（a≠0），则x2=，所以抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），故选：C．点评：本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题．5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=( )A．5 B．6 C．7 D．8考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由S n+2﹣S n=36，得a n+1+a n+2=36，代入等差数列的通项公式求解n．解答：解：由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题．6．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )A．B．C．2cm3D．4cm3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．解答：解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B．点评：本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( )A．3 B．﹣3 C．1 D．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．若执行如图的程序框图，则输出的k值是( )A．4 B．5 C．6 D．7考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=8，k=4时，满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．解答：解：执行程序框图，有n=3，k=0不满足条件n为偶数，n=10，k=1不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=5，k=2不满足条件n=8，不满足条件n为偶数，n=16，k=3不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=8，k=4满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．9．由曲线y=x2，y=围成的封闭图形的面积为( )A．B．C．D．1考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2，y=围成的封闭图形的面积．解答：解：由曲线y=x2，y=，联立，因为x≥0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x2与y=所围成的图形的面积S=∫01（﹣x2）dx=﹣x3|01=故选：B．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积，属于基础题．10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．解答：解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．11．函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．8考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：压轴题；数形结合．分析：y1=的图象由奇函数y=﹣的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．解答：解：函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到函数y1=，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图：当1＜x≤4时，y1＜0，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8，故选：D．点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．12．若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法．专题：计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：不等式f（x）＞+1可化为e x f（x）﹣e x﹣3＞0；令F（x）=e x f（x）﹣e x﹣3，从而利用导数确定函数的单调性，再由单调性求解．解答：解：不等式f（x）＞+1可化为e x f（x）﹣e x﹣3＞0；令F（x）=e x f（x）﹣e x﹣3，则F′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x（f（x）+f′（x）﹣1）；∵f（x）+f′（x）＞1，∴e x（f（x）+f′（x）﹣1）＞0；故F（x）=e x f（x）﹣e x﹣3在R上是增函数，又∵F（0）=1×4﹣1﹣3=0；故当x＞0时，F（x）＞F（0）=0；故e x f（x）﹣e x﹣3＞0的解集为（0，+∞）；即不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）；故选A．点评：本题考查了不等式的解法及构造函数的能力，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y=x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程．解答：解：双曲线E的标准方程是，则a=2，b=1，即有渐近线方程为y=x，即为y=x．故答案为：y=x．点评：本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．解答：解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．点评：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．解答：解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．解答：解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．故答案为：．点评：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．三、解答题：（满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到；（2）由x的范围，可得2x﹣的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域．解答：解：（1）f（x）=2sinxsin（x+）=2sinx（sinx+cosx）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x﹣）则函数f（x）的最小正周期T==π，由2k≤2kπ+，k∈Z，解得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，则f（x）的值域为[0，1+]．点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和差的正弦公式，考查正弦函数的单调性和值域，考查运算能力，属于基础题．18．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD 上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．（Ⅰ）求证：对任意的λ=（0，1]，都有AC⊥BE；（Ⅱ）若二面角C﹣BE﹣A的大小为120°，求实数λ的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）以D为原点，DA，DC，DS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能证明AC⊥BE恒成立．（II）求出平面ABE的一个法向量和平面BCE的一个法向量，利用向量法能求出λ=1．解答：（I）证明：以D为原点，DA，DC，DS为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），E（0，0，λa），，…∴对任意λ∈（0，1]都成立，即AC⊥BE恒成立．…（II）解：设平面ABE的一个法向量为，∵，∴，取z1=1，则x1=λ，．…设平面BCE的一个法向量为，∵，取z2=1，则y2=λ，，…∵二面角C﹣AE﹣D的大小为120°，∴|cos＜，＞|=，∴λ=1为所求．…点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查使得二面角为120°的实数值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．19．某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．（1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；（2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，由此能求出某节目的投票结果是最终获一等奖的概率．（2）所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．解答：解：（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，∴某节目的投票结果是最终获一等奖的概率：P（A）==．（2）所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）==2．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．20．如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且=λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（II）运用向量共线的知识，设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到A，B的横坐标，即可得到所求值．解答：解：（I）由条件可知，c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（II）由，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8=0，则x1=，x2=．又因为，，，所以，所以λ=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0．时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上e﹣e＜0恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a的值；（Ⅱ）求函数的导数，利用导数法即可证明表达式；（Ⅲ）利用导数和函数最值之间的关系即可求解．解答：解：（I），，a=4．…（Ⅱ）令．…令g'（x）＞0，即，解得x＞1，所以g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．所以g（x）最小值为g（1）=0，所以．…（Ⅲ）由题意可知，化简得，a＞．…令h（x）=，则h′（x）=，∴．…由（Ⅱ）知，在x∈（1，e）上，lnx﹣1+＞0，∴h′（x）＞0，即函数h（x）在（1，e）上单调递增，∴h（x）＜h（e）=e﹣1．…，∴a≥e﹣1．…点评：本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及导数和不等式之间的关系，考查学生的运算和推理能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．解答：解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG点评：本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）利用同角的三角函数的平方关系消去θ，得到圆的普通方程，再由直线过定点和倾斜角确定直线的参数方程；（Ⅱ）把直线方程代入圆的方程，得到关于t的方程，利用根与系数的关系得到所求．解答：解：（I）消去θ，得圆的标准方程为x2+y2=16．…直线l的参数方程为，即（t为参数）…（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2=16，得（1+t）2+（2+t）2=16，即t2+（2+）t﹣11=0，…所以t1t2=﹣11，即|PA|•|PB|=11．…点评：本题考查了圆的参数方程化为普通方程、直线的参数方程以及直线与圆的位置关系问题，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数最值的应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）分类讨论，当x≥4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．解答：解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．点评：本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．。
2019沈阳市高三质量监测(三)数学(理科)
( Ⅰ ) 写出曲线 C 的平面直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
( Ⅱ ) 若 PM , MN , PN 成等比数列，求实数 a 的值 .
23.(本小题满分 10 分 )选修 4-5 不等式选讲
已知函数 f ( x) m | x 1| | x 1| ．
(I) 当 m 5时，求不等式 f ( x) 2 的解集； (Ⅱ )若二次函数 y x2 2 x 3 与函数 y f ( x) 的图象恒有公共点，求实数 m 的取值范围．
. 第 17~21 题为必考题，每个试题
2
得 ac 2abc
2
2
2
ba c b
...........................................................2 分
2abc
化简，得 a 2b
a2 c2 b2
.
2ac
由正弦定理和余弦定理，得
sinA cos B ..............................4 分 2sinB
(Ⅰ )求证：平面 PAD ⊥平面 PBC ； (Ⅱ )当三棱锥 P ABC 体积最大时，求二面角 B AC P 的大小；
（理科数学）第 3 页 / 共 9 页
20.( 本小题满分 12 分 )
( ) ( ) 已知抛物线 C : x2 = 2 py p > 0 的焦点为 F ， M - 2, y0 是 C 上一点，且 MF = 2 .
在 △ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，且满足 a2c b a 2 c 2 b2 (其中 b c )
(I) 求证： A=2B;
(II) 若 f (x) sin x cos x ，求 f (B ) 的取值范围 .
辽宁省鞍山市2018-2019学年高三数学一模试卷(理科)Word版含解析.pdf
围
．
16．已知函数 y=f （ x）的定义域为 R，当 x＞ 0 时， f （ x）＞ 1，且对任意的 x，y∈R 都有 f
（x+y ） =f （ x） f （y），则不等式 f（ log x） ≤
的解集为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（ 12 分）（ 2016 鞍山一模） 在△ ABC 中，角 A ，B，C 对边分别为 a，b，c，若 bcosA+acosB= ﹣2ccosC． （Ⅰ）求角 C 的大小；
20．（12 分）（ 2016 鞍山一模） 已知椭圆 C： + =1（ a＞ b＞0）的右焦点为 F（ 1，0），
且过点（ ， ）．过 F 作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A ， B ，设 =λ ，λ∈[﹣ 2，
﹣1] ， T（ 2，0）
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）求 | + |的取值范围． 21．（ 12 分）（ 2016 鞍山一模）已知函数
f（ x ） =（ xlnx+ax+a 2﹣ a﹣1） ex，
（Ⅰ）若 a=0，求函数 f（ x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论 f （x）在区间（ ，+∞）上的极值点的个数；
（Ⅲ）是否存在 a，使得 f（ x）在区间（ ， +∞）上与 x 轴相切？若存在，求出所有 a 的 值；若不存在，说明理由．
请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
辽宁省鞍山市 2018-2019 学年高考数学一模试卷（理科） （解
析版）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
【水印已去除】2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三(下)第八次模拟数学试卷(理科)(5月份)
2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（下）第八次模拟数学试卷（理科）（5月份）一、选择题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合M＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}，N＝{x|x＞0}，则（）A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N＝∅D．M∪N＝R2．（5分）记复数z的虚部为Im（z），已知z满足iz＝1+2i，则Im（z）为（）A．﹣1B．﹣i C．2D．2i3．（5分）已知公比不为1的等比数列{a n}满足a15a5+a14a6＝20，若a m2＝10，则m＝（）A．9B．10C．11D．124．（5分）表示的曲线方程为（）A．x2﹣y2＝1（x≤﹣1）B．x2﹣y2＝1（x≥﹣1）C．y2﹣x2＝1（y≤﹣1）D．y2﹣x2＝1（y≥1）5．（5分）已知向量，，命题，命题q：∃λ＞0，使得成立，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）A．3B．2C．D．27．（5分）4月30日，庆祝东北育才学校建校70周年活动中，分别由东北育才学校校长、教师代表、学生代表、清华大学校长和北京大学校长各1人做主题演讲，其中演讲顺序要求两位大学校长不相邻，则不同的安排方法为（）A．24种B．48种C．72种D．96种8．（5分）已知（2x2+3x﹣2）（x﹣1）5＝a0+a1x+…a7x7，则a0+a2+a4+a6＝（）A．24B．48C．72D．969．（5分）设a＝log36，b＝log510，c＝1+log62，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a10．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x）在[a，]上有最小值﹣1，则a的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（）A．B．C．D．12．（5分）己知椭圆＝1（a＞b＞0）直线l过左焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举．这个伟大创举与古希腊的算法﹣“辗转相除法”实质一样．如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入a＝288，b＝123时，输出的a＝．14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，侧棱P A＝，PB＝，PC＝，当侧面积最大时，三棱锥P﹣ABC的外接球体积为15．（5分）设函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣b有三个零点，则实数b的取值范围是．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，S n是数列{a n}的前n项和，且对任意的r，t∈N*，都有＝（）2，则a n＝三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a＝，∠A＝120°，△ABC的面积等于，且b＜c．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求cos2B的值．18．（12分）某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）若骑手甲、乙选择了日工资方案（1），丙、丁选择了日工资方案（2）．现从上述4名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（1）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF＝AD＝＝1．（Ⅰ）过BD作截面与线段CF交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px过点M（2，2），A，B是抛物线C上不同两点，且AB ∥OM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q．（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求证：直线PQ与x轴平行．21．（12分）知函数．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）设函数，若x＝2是g（x）的唯一极值点，求a．请考生在22～23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）经过点M（﹣1，2）作直线1交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b是正实数，且a+b＝2，证明：（1）+≤2；（2）（a+b3）（a3+b）≥4．2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（下）第八次模拟数学试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】利用集合的子集真子集关系，集合的基本运算可得正确选项．【解答】解：已知集合M＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}＝{x|1≤x≤2}，N＝{x|x＞0}，则由集合的运算和集合的关系可得：M⊆N，B正确；故选：B．2．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：iz＝1+2i，则z＝2﹣i，则Im（z）为﹣1，故选：A．3．【分析】数列{a n}是等比数列，且a15a5+a14a6＝＝20，所以＝10，即m＝10．【解答】解：依题意，数列{a n}是等比数列，且a15a5+a14a6＝＝20，所以＝10，所以m＝10．故选：B．4．【分析】方程化简，利用双曲线的几何意义，即可得出结论．【解答】解：方程所表示的意义是点（x，y）到点（0，﹣）和（0，）的距离之差为2，由双曲线的定义可得，该图形为双曲线的一支，且c＝，a＝1，则b＝1，曲线方程：y2﹣x2＝1（y≤﹣1）．故选：C．5．【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：已知向量，，若命题，则有：＝（，1），＝（，2）；故：＝；存在λ＝＞0．即：∃λ＞0，使得成立，故：命题，能推出命题q：∃λ＞0，使得成立，若命题q：∃λ＞0，使得成立，则有：（x2，1）＝λ（x，2）；由坐标相等解得：λ＝＞0，x2＝x；即：x＝0或x＝；故：向量，，命题q：∃λ＞0，使得成立，不能推出命题，则命题p是命题q的：充分不必要条件；故选：A．6．【分析】由已知中的三视图，画出几何体的直观图，数形结合求出各棱的长，可得答案．【解答】解：由三棱锥的三视图可得几何体的直观图如下图所示：C是顶点P在底面上的射影，△ABC是等腰△，BC＝2，中线AD＝2，PC＝2，∴AC＝AB＝，PB＝2，P A＝，故最长的棱为3，故选：A．7．【分析】利用插空法，将将两位大学校长插入到其他3人所成的4个空中的2个即可．【解答】解：将两位大学校长插入到，由东北育才学校校长、教师代表、学生代表排列所成的4个空中的2个，故有A33A42＝72，故选：C．8．【分析】在所给的等式中，分别x＝1，x＝﹣1，可得a0+a2+a4+a6的值．【解答】解：∵已知（2x2+3x﹣2）（x﹣1）5＝a0+a1x+…a7x7，令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝0 ①，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝96 ②，由①②可得a0+a2+a4+a6＝48，故选：B．9．【分析】分别推导出a＝log36＝1+log32，b＝log510＝1+log52，c＝1+log62，再利用对数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝log36＝1+log32，b＝log510＝1+log52，c＝1+log62，作出y＝log3x，y＝log5x，y＝log6x的图象，由对数函数的性质得：log32＞log52＞log62，∴c＜b＜a．故选：D．10．【分析】根据x在[a，]上，求内层函数范围，结合余弦函数的性质可得答案；【解答】解：函数f（x）＝cos（2x），∵x在[a，]上∴2x∈[2a，]f（x）在[a，]上有最小值﹣1，根据余弦函数的性质，可得2a≤﹣π可得a；故选：B．11．【分析】在三人中至少有两人解答正确的概率为：p1＝＝，三人中有两人解答正确且甲解答不正确的概率为：p2＝，利用条件概率能求出在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率．【解答】解：甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的概率为：p1＝＝，三人中有两人解答正确且甲解答不正确的概率为：p2＝，∴在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率：p＝＝＝．故选：C．12．【分析】根据点到直线的距离公式和勾股定理列方程得出b，c的关系，进而可求出椭圆的离心率．【解答】解：直线l的方程为：y＝（x+c），化为一般式：x﹣y+c＝0，以椭圆的长轴为直径的圆的方程为x2+y2＝a2，∴圆心（0，0）到直线l的距离d＝＝b，即＝b，即b＝c，∴e＝＝＝＝．故选：D．二、填空题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a＝288，b＝123，执行循环体，r＝42，a＝123，b＝42，不满足退出循环的条件，执行循环体，r＝39，a＝42，b＝39，不满足退出循环的条件，执行循环体，r＝3，a＝39，b＝3，不满足退出循环的条件，执行循环体，r＝0，a＝3，b＝0，满足退出循环的条件r＝0，退出循环，输出a的值为3．故答案为：3．14．【分析】利用正弦定理求面积可得，三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直时，三棱锥侧面积最大，然后利用分割补形法求三棱锥P﹣ABC的外接球体积．【解答】解：设P A与PB的夹角为θ，则＝，则当时，S△P AB有最大值为．同理当P A⊥PC时，S△P AC有最大值，当PB⊥PC时，S△PBC有最大值．则当三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直时，三棱锥侧面积最大．把三棱锥P﹣ABC补形为长方体，则长方体的外接球即三棱锥P﹣ABC的外接球，其外接球的半径为R＝＝．∴三棱锥P﹣ABC的外接球体积为．故答案为：．15．【分析】由函数的零点与函数图象交点的关系得：函数g（x）＝f（x）﹣b有三个零点等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝b的交点有3个，由利用导数研究函数的图象得：函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣2）为减函数，在（﹣2，0）为增函数，作图象观察可得实数b的取值范围是0＜b≤1，得解．【解答】解：当x≤0时，f（x）＝（x+1）e x，所以f′（x）＝（x+2）e x，当x＜﹣2时，f′（x）＜0，当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，即函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣2）为减函数，在（﹣2，0）为增函数，函数g（x）＝f（x）﹣b有三个零点等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝b的交点有3个，又y＝f（x）（x∈R）的图象与直线y＝b的位置关系如图所示，则当函数y＝f（x）的图象与直线y＝b的交点有3个时，则实数b的取值范围是0＜b≤1，故答案为：（0，1]．16．【分析】由题意可令t＝1，r＝n，即有S n＝n2，运用数列的递推式，计算可得所求通项公式．【解答】解：对任意的r，t∈N*，都有＝（）2，可令t＝1，r＝n，即有S n＝n2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，上式对n＝1也成立，则a n＝2n﹣1，n∈N*．故答案为：2n﹣1，n∈N*．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角形的面积公式可求bc＝4，由余弦定理可解得b+c＝5，联立①②，根据b＜c，可得b的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）根据余弦定理可求cos B的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解cos2B的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵a＝，∠A＝120°，△ABC的面积等于，∴可得：＝bc sin A＝bc，可得：bc＝4，①∴由余弦定理可得：21＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc＝（b+c）2﹣4，可得：（b+c）2＝25，解得：b+c＝5，②∴联立①②可得：b＝4，c＝1，或b＝1，c＝4，∵b＜c，∴可得：b＝1，c＝4．可得b的值为1．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：a＝，b＝1，c＝4，∴cos B＝＝＝，∴cos2B＝2cos2B﹣1＝．18．【分析】（Ⅰ）设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2，0.15，0.05，由此能估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率．（Ⅱ）设事件B为“从四名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（1）”从四名新聘骑手中随机选取2名骑手，利用列举法能求出至少有1名骑手选择方案（1）的概率．（Ⅲ）方法1：求出快餐店人均日快递量的平均数，从而方案（1）日工资约为50+62×3＝236，方案2日工资约为100+（62﹣44）×5＝190＜236，由此得到骑手应选择方案（1）．方法2：设骑手每日完成快递业务量为n件，分别求出方案（1）的日工资和方案（2）的日工资，从而建议骑手应选择方案（1）．方法3：设骑手每日完成快递业务量为n单，方案（1）的日工资，方案（2）的日工资求出结果，建议骑手选择方案（1）．【解答】解：（Ⅰ）设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2，0.15，0.05因为0.2+0.15+0.05＝0.4所以估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率P（A）＝0.4．（Ⅱ）设事件B为“从四名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（1）”从四名新聘骑手中随机选取2名骑手，有6种情况，即{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，其中至少有1名骑手选择方案（1）的情况为：{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}所以至少有1名骑手选择方案（1）的概率（Ⅲ）方法1：快餐店人均日快递量的平均数是：30×0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80×0.15+90×0.05＝62因此，方案（1）日工资约为50+62×3＝236方案2日工资约为100+（62﹣44）×5＝190＜236故骑手应选择方案（1）方法2：设骑手每日完成快递业务量为n件方案（1）的日工资，方案（2）的日工资当n＜17时，y1＜y2依题意，可以知道n≥25，所以这种情况不予考虑当n≥25时，令50+3n＞100+5（n﹣44），则n＜85，即若骑手每日完成快递业务量在85件以下，则方案（1）日工资大于方案（2）日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过85件的频率是0.05，较低，故建议骑手应选择方案（1）方法3：设骑手每日完成快递业务量为n单，方案（1）的日工资，方案（2）的日工资所以方案（1）日工资约为140×0.05+170×0.05+200×0.2+230×0.3+260×0.2+290×0.15+320×0.05＝236方案（2）日工资约为100×0.05+100×0.05+130×0.2+180×0.3+230×0.2+280×0.15+330×0.05＝194.5因为236＞194.5，所以建议骑手选择方案（1）．19．【分析】（Ⅰ）连结AC交BD于M，连结MN．证明MN∥AF，即可证明AF∥平面BDN．（Ⅱ）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P 为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABF的法向量，利用空间向量的数量积求解直线BN与平面ABF所成角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．证明：连结AC交BD于M，连结MN．∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．（Ⅱ）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P 为BC的中点．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝1，则BF＝1，，∵，∴，∴．∴，，，，．∴，，．设平面ABF的法向量为，则，∴，令得，∴，，．cos＝＝．∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为．20．【分析】（Ⅰ）把点代入即可求出p的值，可得抛物线C的准线方程，（Ⅱ）由题意可设直线AB的方程为y＝x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理定理可得y1+y2＝2，即可求出点Q的纵坐标，在再分别求出直线OA，BM的方程，求出点P的纵坐标，即可证明【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝2px过点M（2，2），∴4＝4p，即p＝1，∴抛物线C的准线方程x＝﹣＝﹣，证明（Ⅱ）∵M（2，2），AB∥OM，∴k AB＝k OM＝1，设直线AB的方程为y＝x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得y2﹣2y+2m＝0，∴△＝4﹣8m＞0，即m＜且m≠0，∴y1+y2＝2，y1y2＝2m，∵线段AB的中点为Q，∴y Q＝（y1+y2）＝1，∵直线OA的方程为y＝•x＝•x，①直线BM的方程为y﹣2＝（x﹣2）＝（x﹣2）＝（x﹣2），②，由①②解得y＝＝＝1，∴y p＝1∴直线PQ的方程为y＝1，故直线PQ与x轴平行21．【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x﹣，定义域为（0，+∞）．f′（x）＝﹣1+＝，令f′（x）＝0，解得x．即可得出单调性．（2）由题意可得：g（x）＝（2a﹣1）lnx﹣ax﹣+，x∈（0，+∞）．g′（x）＝﹣a++＝，x∈（0，+∞）．由于x＝2是g（x）的唯一极值点，则有以下两种情形：情形一：e x﹣1﹣ax2﹣x+a≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立．情形二：e x﹣1﹣ax2﹣x+a≤0对∀x∈（0，+∞）恒成立．设h（x）＝e x﹣1﹣ax2﹣x+a，x∈（0，+∞），h（1）＝0．h′（x）＝e x﹣1﹣2ax﹣1．对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x﹣，定义域为（0，+∞）．f′（x）＝﹣1+＝，令f′（x）＝0，解得x＝2．∴函数f（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减．（2）由题意可得：g（x）＝（2a﹣1）lnx﹣ax﹣+，x∈（0，+∞）．g′（x）＝﹣a++＝，x∈（0，+∞）．由于x＝2是g（x）的唯一极值点，则有以下两种情形：情形一：e x﹣1﹣ax2﹣x+a≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立．情形二：e x﹣1﹣ax2﹣x+a≤0对∀x∈（0，+∞）恒成立．设h（x）＝e x﹣1﹣ax2﹣x+a，x∈（0，+∞），h（1）＝0．h′（x）＝e x﹣1﹣2ax﹣1．①当a＝0时，h′（x）＝e x﹣1﹣1．则h′（1）＝0．可得x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，∴h（x）≥h（1）＝0．满足题意．②当a＜0时，﹣2a＞0，h′（x）＝e x﹣1﹣2ax﹣1．在x∈（0，+∞）单调递增．又h′（0）＝﹣1＜0，h′（1）＝﹣2a＞0．∴存在x0∈（0，1），使得h′（x0）＝0．当x ＞x0时，h′（x）＞0，h（x）在（x0，+∞）单调递增，∴h（x0）＜h（1）＝0＜h（2），这与题意不符．③当a＞0时，设p（x）＝e x﹣1﹣2ax﹣1．x∈R．p′（x）＝e x﹣1﹣2a，令p′（x）＝0，解得x＝1+ln（2a）．可得p（x）在（﹣∞，1+ln（2a））上单调递减；在（1+ln（2a），+∞）上单调递增．i）当a时，1+ln（2a）＞1，由h′（x）在（0，1+ln（2a））上单调递减，可得h′（x）＜h′（0）＜0，h（x）在（0，1+ln（2a））上单调递减，∴h（）＞h（1）＝0＞h（1+ln（2a）），这与题意矛盾，舍去．ii）当0＜a时，1+ln（2a）≤1，由h′（x）＝p（x）的单调性及h′（0）＜0，可知：x∈（0，1）时，都有h′（x）＜0．又h′（x）在（1，3）上单调递增，h′（3）＝e2﹣6a﹣1≥e2﹣6×﹣1＞0，则存在x1∈（1，3），使得h（x1）＝0．∴x∈（0，x1）时，h′（x）＜0，此时h（x）单调递减，∴h（）＞h（1）＝0＞h（x1），这与题意矛盾，舍去．综上可得：a＝0．请考生在22～23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）根据平方关系可得曲线C的普通方程；（2）联立直线l的参数方程和曲线C的普通方程，根据van属的几何意义可得．【解答】解（1）由曲线C的参数方程，得（θ为参数）所以曲线C的普通方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝4．……………………………………（5分）（2）设直线l的倾斜角为α，则直线的参数方程为（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程，得（t cosα）2+（1+t sinα）2＝4，即t2+2t sinα﹣3＝0所以，由题意知，可不妨设t1＝﹣2t2，……………………………（7分）所以，即或．即k＝．k＝﹣所以直线l的普通方程为x﹣5y+，或x+5y+…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）利用基本不等式证明即可．（2）利用综合法，通过重要不等式证明即可．【解答】证明：（1）∵a，b是正实数，∴a+b≥2，∴≤1，∴（+）2＝a+b+2≤4，∴+≤2，当且仅当a＝b＝1时，取“＝”．…（4分）（2）∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥a2+b2+2ab＝（a+b）2＝4，∴a2+b2≥2，∴（a+b3）（a3+b）＝a4+b4+a3b3+ab≥a4+b4+2a2b2＝（a2+b2）2≥4，当且仅当a＝b＝1时，取“＝”．…（10分）。