微分中值定理辅助函数类型的构造技巧

辅助函数的几种特殊用法

在高等数学中，证明一些中值等式的题目也是比较困难的。因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题目的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。为此我们需要牢记以下几种常见题型中辅助函数的特殊用法。

(1)若题目中出现等式“'()()f kf ζζ-”时，一般可以考虑作辅助函数

)()(x f e x F kx -=.

例:设函数f 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ==证明：k R ∀∈，(,)a b ζ∃∈，使得'()()f kf ζζ=

分析:要证'()()f kf ζζ=，即证'()()0f kf ζζ-=，也就是证ζ函数

)()(x kf x f -'的零点.注意到[()]'['()()]kx kx f x e f x kf x e --=-，因此，只要检验函数()()kx F x f x e -=是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的.

证明:构造辅助函数()()kx F x f x e -=，(,)x a b ∈，

则()F x 在[,]a b 上满足罗尔定理条件，故(,)a b ζ∃∈，使得0)(='ζF ， 而

[])()()()()(ζζζζζ

kf f e e x kf e x f F k x kx

kx -'=-'='-=--，

则

['()()]0k e f kf ζζζ--=，

即

'()()f kf ζζ=.

(2)若题目结论中出现等式“1'()n A f ζζ-=)0(≠A ”时，可考虑作副主函数

()()F x f x =，()n G x x =.

例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈，使得：

222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.

证明: i ）若0(,)a b ∉作辅助函数()()F x f x =，2()G x x =，()F x ，()G x 均满足柯西中值定理条件 所以(,)a b ζ∃∈使得

22()()'()

2f b f a f b a ζζ

-=-，

即

222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.

ii ）若0(,)a b ∈，'(0)0,0f a b ≠+≠由i ）可类似得证. iii ）若0(,)a b ∈，'(0)0f ≠，取0ζ=，即证.

(3)若题目结论中出现“()'()f f ζζζ-”时，可以考虑作辅助函数

()()f x F x x =

，1

()G x x

=. 例:设函数f 在[,]a b 上连续)0(>a ，在(,)a b 内可微.证明：

(,)a b ζ∃∈使得

1

()'()()

()

a b f f f a f b a b ζζζ=--,

证明:因为

2

)()()(x x f x f x x x f -'='

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡, 考虑作辅助函数()()f x F x x =

，1

()G x x

=，显然F 与G 在[,]a b 上满足柯西中值 定理条件，所以必(,)a b ζ∃∈， 使得

)

()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--

即

2

21)

()(11)()(ζζζζζ--'=--

f f a b a a f b b f [])()()()(1ζζζf f a bf b af b a '-=--⇒

证毕.

(4)若命题结论中出现式“()'()f f ζζζ+”时，可考虑作辅助函数

()()F x xf x =，()G x x =.

例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：必有(,)a b ζ∈，使得

()()

()'()bf a af a f f b a

ζζζ-=+-.

分析:我们熟悉[])()()(x f x x f x xf '+='，因此作辅助函数()()F x xf x =，

()G x x =，且知()F x ，()G x 在给定区间内均满足柯西中值定理条件，故有)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--，即()()

()'()bf a af a f f b a

ζζζ-=+-得证.

(5)若题目中出现式“'()f ζζ”时，可考虑作辅助函数()()F x f x =，

()ln G x x =.

例:设函数f 在[,]a b (0)a >上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ζ∈使得

()()'()ln

b

f b f a f a

ζζ-= 证明:由我们熟悉的x

x 1

)(ln =

'，考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =且)(),(x G x F 在给定的区间内均满足柯西中值定理条件，

于是

),(b a ∈∃ζ，

使得

()()'()

1ln ln f b f a f b a

ζζ

-=-，

即

()()'()ln

b

f b f a f a

ζζ-=，