2019-2020学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 不等式−x 2−5x +6⩾0的解集为( )A. {x|−6≤x ≤1}B. {x|2≤x ≤3}C. {x|x ≥3或x ≤2}D. {x|x ≥1或x ≤−6}2. 下列p 是q 的充要条件的是( ) A. p ：a >b ，q ：ac >bcB. p ：x =1，q ：x 2−x =0C. p ：b =0，q ：函数f(x)=ax 2+bx +c 是偶函数D. p ：x >0，y >0，q ：xy >03. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =√x +1B. y =(x −1)2C. y =2−xD. y =log 0.5(x +1)4. 定义在R 上的奇函数f(x)，当x <0时，f(x)=1x+1，则f(12)等于( ) A. 23B. −23C. 2D. −2 5. 已知f(x)=x 2+3x+6x+1(x >0)，则f(x)的最小值是( )A. 2B. 3C. 4D. 5 6. 若函数f(x)=2ax 2−x −1在(0,1)内恰有一个零点，则a 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (−∞,−1)C. (−1,1)D. [0,1) 7. 已知函数f(x)={(a −5)x +8,x ⩽22a x,x >2是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( ) A. (−∞,5) B. (0,2] C. (0,5) D. [2,5)8. f(x)是偶函数，且当x ∈[0,+∞),f(x)=x −1，则不等式f(x −1)<0的解集是( )A. {x|−1<x <0}B. {x|x <0或1<x <2}C. {x|1<x <2}D. {x|0<x <2}二、解答题（本大题共11小题，共80.0分） 9. 已知关于x 的不等式ax 2−3x +2≤0的解集为{x ｜1≤x ≤b}．(1)求实数a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式：x+3ax−b >0．10.已知不等式ax2−3x+b>0(1)若a=1,b=−4，求不等式解集；(2)若上述不等式解集为(−32, 12)，求不等式bx2−3x+a<0的解集．11.写出下列命题的否定．(1)命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”(2)命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”12.已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=x2−x+2，求f(x)，g(x)的解析式．13.求函数f(x)=x2−4x+1在[−2,3]上的最小值。
14.已知函数f(x)=3ax+1−2a在[−1,1]上存在零点x0，且x0≠±1，求实数a的取值范围．15.已知集合A={x|−5<x<7}，B={x|x−2>0}，求A∩B，A∪B．16.已知函数f(x)=log2x−5x+5(Ⅰ)求函数f(x)的定义域；(Ⅱ)若f(a)=4，求a的值；(Ⅲ)判断并证明该函数的单调性．17.已知函数f(x)=x++b，不等式xf(x)<0的解集为(1,3)．(Ⅰ)求实数a、b的值；(Ⅱ)若关于x的方程f(2x)−k⋅2−x−k=0有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．18.某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的，是面积为200平方米的十字形地带．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价是每平方米4200元，在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米210元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米80元．(1)设总造价是S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，S最小？并求出最小值．19.已知函数f(x)=x2+ax+1(a>0)．(1)若f(x)的值域为[0,+∞)，求方程f(x)=4的解；(2)当a=2时，函数g(x)=[f(x)]2−2mf(x)+m2−1在[−2,1]上有三个零点，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题．把不等式化为x2+5x−6≤0，左边分解因式，求出解集即可．【解答】解：不等式−x2−5x+6⩾0可化为x2+5x−6≤0，即(x+6)·(x−1)≤0，解得−6≤x≤1，所以不等式的解集为{x|−6≤x≤1}．故选A．2.答案：C解析：【分析】本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题．根据充分条件、必要条件的定义逐项判断即可．【解答】解：选项A中，由于不知道c的符号，所以p是q的既不充分也不必要条件；选项B中，x2−x=0解得x=0或x=1，所以p是q的充分不必要条件；选项D中，xy>0解得x>0，y>0或x<0，y<0，所以p是q的充分不必要条件，只有C正确．故答案为C．3.答案：A解析：【分析】本题考查函数单调性的判断，是基础题．根据题意，逐项判断即可．【解答】解：A ．y =√x +1在(0,+∞)上是增函数，满足条件，B .y =(x −1)2在(−∞,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，不满足条件．C .y =2−x 在(0,+∞)上为减函数，不满足条件．D .y =log 0.5(x +1)在(0,+∞)上为减函数，不满足条件．故选A ．4.答案：D解析：【分析】本题重点考查函数的性质，解题的关键是正确运用函数的解析式，合理运用函数的奇偶性． 根据已知的解析式，先求出f(−12)的值，再利用R 上的奇函数f(x)性质，即可求出f(12)的值．【解答】解：∵当x <0时，f(x)= 1 x+1 ,∴f(− 12 )= 1− 12+1 =2．∵在R 上的奇函数f(x)，∴f(12)=−f(−12)=−2． 故选：D ．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查了利用基本不等式求函数的最值，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． 将函数f(x)进行化简变形，然后利用基本不等式求出函数的最小值，注意等号成立的条件．【解答】解：由于x >0，则f(x)=x 2+3x+6x+1=(x+1)2+(x+1)+4x+1=(x +1)+4x +1+1 ≥2√(x +1)⋅4x+1+1=5，当且仅当x =1时取等号，故f(x)的最小值是5，故选：D ．6.答案：A解析：【分析】本题考查了函数零点存在性定理，属基础题．当Δ=0时，不合题意，故根据函数零点存在性定理，若函数f(x)=2ax2−x−1在(0,1)内恰有一个零点，则f(0)f(1)<0，解不等式，即可求出a的范围．【解答】解：当Δ=0时，a=−18，此时有一个零点x=−2，不在(0,1)上，故不成立；∵函数f(x)=2ax2−x−1在(0,1)内恰有一个零点，∴f(0)f(1)<0，即−1×(2a−2)<0，解得a>1．故选A．7.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性与单调区间的知识点，属于基础题．由f(x)是(−∞,+∞)上的减函数确定2a以及a−5的取值范围，再根据单调递减确定在分段点x=2处的两个值的大小从而得到答案．【解答】解：根据题意，分段函数f(x)={(a−5)x+8,x⩽22ax,x>2是(−∞,+∞)上的减函数，则必有{a−5<0, a>0,2(a−5)+8≥2a2,解得2≤a<5，即实数a的取值范围为[2,5)，故选D．8.答案：D解析：【分析】本题考查应用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题．根据题意求得f(1)=0，由函数性质可得|x −1|<1，即可求解．【解答】解：∵当x ∈[0,+∞)时，f (x )=x −1，∴函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，∵f(x)是偶函数，∴f(|x|)=f(x)，∵f(x −1)<0，∴f(|x −1|)<f(1)，∴|x −1|<1，∴0<x <2， 故选D ．9.答案：解：(1)由题意知1，b 为关于x 的方程ax 2−3x +2=0的两根，则{b =2a 1+b =3a ， ∴a =1，b =2.(2)由(1)x+3ax−b >0，即x+3x−2>0，解得：x >2或x <−3，故不等式的解集是{x ｜x >2或x <−3}．解析：本题考查“三个二次的关系”和一元二次不等式的解法．(1)根据1，b 为关于x 的方程ax 2−3x +2=0的两根，可得结果；(2))由(1)x+3ax−b >0，即x+3x−2>0，解不等式即可． 10.答案：解：(1)当a =1,b =−4时，不等式为x 2−3x −4>0，∴(x −4)(x +1)>0，解得x >4或x <−1，∴不等式解集{x|x <−1或x >4}．(2)由题意可知−32,12是方程ax 2−3x +b =0的两根，∴−32+12=3a , −32×12=b a， ∴a =−3, b =94，∴不等式bx 2−3x +a <0，即为3x 2−4x −4<0，其解集为{x|−23<x <2} ．解析：本题考查了一元二次不等式的解法，属中档题．(1)直接利用二次不等式的求解方法求解即可；(2)不等式ax 2−3x +b >0的解集为(−32, 12)，可得−32和12是一元二次方程ax 2−3x +b =0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a ，b ，即可解不等式bx 2−3x +a <0． 11.答案：(本小题(10分)，每小题5分)解：(1)特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定是所有三角形，内角和都等于180°．(2)全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈R ，|x|+x 2≥0”的否定是：∃x ∈R ，|x|+x 2<0．解析：利用特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．12.答案：g (x )=x 2+2，f (x )=−x ．解析：∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴f (−x )=−f (x )，g (x )=g (−x ).又∵f (x )+g (x )=x 2−x +2，①∴f (−x )+g (−x )=x 2+x +2，即−f (x )+g (x )=x 2+x +2.②由①②得g (x )=x 2+2，f (x )=−x ．13.答案：解：∵f(x)=x 2−4x +1，对称轴x =2∈[−2,3]，∴f(x)min = f(2)=22−4×2+1=−3．解析：本题考查二次函数的最值，根据对称轴和区间的位置可知在对称轴处取最小值，代入即可求解．14.答案：a <−1或a >15 解析：当a =0时，函数f(x)=1，不合题意；当a ≠0时，a >0，函数为增函数因此{f(1)>0f(1)<0即{a +1>0−5a +1<0得a >15．a <0，函数为增函数因此{f(1)<0f(1)>0即{a +1<0−5a +1>0得a <−1综上所述，有a <−1或a >15.综上可知，实数a 的取值范围为(−∞,−1)⋃(15,+∞).零点所在区间及函数有零点求参数15.答案：解：根据题意，集合A ={x|−5<x <7 }，B ={x|x −2>0}={x|x >2}，则A ∩B ={x|2<x <7}，A ∪B ={x|x >−5}．解析：根据题意，在数轴上表示集合A 、B ，由交集、并集的定义分析可得答案．本题考查集合交集、并集的计算，关键是掌握集合交集、并集的定义．16.答案：解：(Ⅰ)由x−5x+5>0解得x <−5或x >5.所以f(x)的定义域为(−∞,−5)∪(5,+∞)． (Ⅱ)f(a)=log 2a−5a+5=4 , 解得a =−173．(Ⅲ)f(x)在(5,+∞)和(−∞,−5)上是单调递增的．证明：任取x∈(−∞,−5)∪(5,+∞)，则−x∈(−∞,−5)∪(5,+∞)，f(−x)=log2−x−5−x+5=log2(x−5x+5)=−f(x)，∴f(x)为奇函数．任取x1,x2∈(5,+∞)，且x1<x2，则Δx=x2−x1>0，Δy=f(x2)−f(x1)=log2x2−5x1−5=log2x2−5x2+5×x1+5x1−5=log2x1x2−25+5Δxx1x2−25−5Δx，∵Δx=x2−x1>0，∴x1x2−25+5Δx>x1x2−25−5Δx，∴x1x2−25+5(x2−x1)x1x2−25−5(x2−x1)>1，∴log2x1x2−25+5(x2−x1)x1x2−25−5(x2−x1)>0，∴Δy>0由此证得f(x)在(5,+∞)上是单调递增的．∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(−∞,−5)上也是单调递增的．∴f(x)在(5,+∞)和(−∞,−5)上是单调递增的．解析：本题考查函数的性质，属于中档题．(I)解x−5x+5>0即可．(II)代入解方程即可求解．(III)先证明f(x)是奇函数，再证f(x)在(5.+∞)上的单调性，利用奇函数的性质即可判断f(x)在(−∞,−5)上的单调性．17.答案：解：(Ⅰ)∵不等式xf(x)<0的解集为(1,3)，即x2+bx+a<0的解集为(1,3)，∴{1+3=−b1×3=a,解得a=3，b=−4；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得：f(x)=x+3x−4,令2x=t,t>0,方程f(2x)−k·2−x−k=0可化为t2−(k+4)t+3−k=0,∴t2−(k+4)t+3−k=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(k+4)2−4(3−k)>0,且k+4>0,3−k>0,解得−6+4√2<k<3,故实数k的取值范围是(−6+4√2,3).解析：本题主要考查了函数与导数中函数的零点与方程根的关系，(Ⅰ)由于不等式xf(x)<0的解集为(1,3)，即x2+bx+a<0的解集为(1,3)；(Ⅱ)利用一元二次方程的根与系数的关系求出即可．18.答案：解：(1)依题意得，AM=200−x24x,∵AM>0, ∴0<x<10√2，花坛总造价：S1=4200x2，地坪总造价：S2=4×210×200−x24xx=42000−210x2，草坪总造价：S 3=4×12×200−x 24x ×200−x 24x ×80=400000x 2+10x 2−4000， 所以可得总造价为：S =38000+4000(x 2+100x 2)(0<x <10√2)； (2) ∵x 2+100x 2≥20当且仅当x 2=100x 2即x =±√10时取等号，∵x ∈(0,10√2)，∴x =√10，S min =118000元.解析：本题主要考查了函数模型的选择与应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(1)根据两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM 的函数表达式，最后建立S 与x 的函数关系即得；(2)利用基本不等式求出(1)中函数S 的最小值，并求得当x 取何值时，函数S 的最小值即可．19.答案：解：(1)因为f(x)的值域为所以f(x)min =f(−a 2)=14a 2−12a 2+1=0，因为a >0，所以a =2，则f(x)=x 2+2x +1．因为f(x)=4，所以x 2+2x +1=4，即x 2+2x −3=0，解得x =−3或x =1．(2)g(x)=[f(x)]2−2mf(x)+m 2−1在[−2,1]上有三个零点，等价于方程[f(x)]2−2mf(x)+m 2−1=0在[−2,1]上有三个不同的根，因为[f(x)]2−2mf(x)+m 2−1=0，所以f(x)=m +1或f(x)=m −1．因为a =2，所以f(x)=x 2+2x +1，结合f(x)在[−2,1]上的图象可知，要使方程[f(x)]2−2mf(x)+m 2−1=0在[−2,1]上有三个不同的根，则f(x)=m +1在[−2,1]上有一个实数根，f(x)=m −1在[−2,1]上有两个不等实数根，即{1<m +1≤40<m −1≤1，解得1<m ⩽2， 故m 的取值范围为(1,2]．解析：本题考查二次函数的性质，函数的零点与方程根的关系．(1)由f(x)的值域，得到f(x)min=0，求出a的值，根据f(x)=4，列方程求解；(2)将问题转化为方程[f(x)]2−2mf(x)+m2−1=0在[−2,1]上有三个不同的根，由[f(x)]2−2mf(x)+m2−1=0，得f(x)=m+1或f(x)=m−1，结合f(x)在[−2,1]上的图象可知，f(x)= m+1在[−2,1]上有一个实数根，f(x)=m−1在[−2,1]上有两个不等实数根，列出关于m的不等式组，即可得到m的取值范围．。
北京101中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析
北京101中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点=1，那么下一个有根区间为（）xA．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤167．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．28．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g （x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f （2x ）=3x 2+1，则函数f （4）= ．10．求值：2﹣（）+lg +（﹣1）lg1= ．11．设函数y=f （x+2）是奇函数，且x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，则f （3.5）= ．12．函数f （x ）=3x 的值域是 ．13．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f （2x ﹣1）＜f （1）的x 的取值范围是 ．14．函数f （x ）的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2，则称f （x ） 为单函数．例如，函数f （x ）=2x+1（x ∈R ）是单函数．下列命题：①函数f （x ）=x 2（x ∈R ）是单函数；②若f （x ）为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠f （x 2）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，A 中至多有一个元素与之对应；④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数．其中正确的是 ．（写出所有正确的编号）三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x ＜7}，B={2＜x ＜10}，C={x|5﹣a ＜x ＜a}．（1）求A ∪B ，（∁R A ）∩B ；（2）若C ⊆（A ∪B ），求a 的取值范围．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，已知x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ．（1）画出偶函数f （x ）的图象的草图，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）当直线y=k （k ∈R ）与函数y=f （x ）恰有4个交点时，求k 的取值范围．17．已知g （x ）=﹣x 2﹣3，f （x ）=ax 2+bx+c （a ≠0），函数h （x ）=g （x ）+f （x ）是奇函数．（1）求a ，c 的值；（2）当x ∈[﹣1，2]时，f （x ）的最小值是1，求f （x ）的解析式．18．已知定义在R 上的函数是奇函数（1）求a ，b 的值；（2）判断f （x ）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t ∈R ，不等式f （t ﹣2t 2）+f （﹣k ）＞0恒成立，求实数k 的取值范围．北京101中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}【考点】集合的表示法．【分析】对于A，B，D的元素都是实数，而C的元素是等式a=0，不是实数，所以选C．【解答】解：通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式a=0；∴C中的集合不同于另外3个集合．故选：C．2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据y=f（x）的定义域，得出y=f（2x﹣1）中2x﹣1的取值范围，从而求出x的取值范围即可．【解答】解：∵y=f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤x≤5，∴1≤2x﹣1≤5，即1≤x≤3，∴y=f（2x﹣1）的定义域是[1，3]．故选：D．3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】观察A选项两者的定义域相同，但是对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，C选项两个函数的定义域不同，这样只有D选项是同一函数．【解答】解：A选项两者的定义域相同，但是f（x）=|x|，对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0}C选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）g（x）的定义域是（2，+∞）D选项根据绝对值的意义，把函数f（x）整理成g（x），两个函数的三个要素都相同，故选D．4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数的值．【分析】当0≤x≤3时，根据 y=f（x）=2x求得f（2）=4．当3＜x≤9时，根据f（x）=9﹣x，求得 f（ f （2））=f（4）的值．【解答】解：由图象可得，当0≤x≤3时，y=f（x）=2x，∴f（2）=4．当3＜x≤9时，由 y﹣0=（x﹣9），可得 y=f（x）=9﹣x，故 f（ f（2））=f（4）=9﹣4=5，故选C．5．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点=1，那么下一个有根区间为（）xA．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定【考点】二分法的定义．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由 f（2）＞0，f（1）＜0 知，f（x）零点所在的区间为（1，2）．【解答】解：∵f（x）=3x+x﹣5，∴f（1）=3+1﹣5＜0，f（2）=9+2﹣5＞0，∴f（x）零点所在的区间为（1，2）∴方程3x+x﹣5=0有根的区间是（1，2），故选：B．6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤16【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的对称轴，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可．【解答】解：∵f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=≤4，解得：a≤32，故选：A．7．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．8．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g （x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4【考点】其他不等式的解法．【分析】先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x ∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．【解答】解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）= 13 ．【考点】函数的值．【分析】由2x=4得x=2，代入解析式即可得到结论．【解答】解：∵f（2x）=3x2+1，∴由2x=4得x=2，即f（4）=f（2×2）=3×22+1=12+1=13，故答案为：13．10．求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1= ﹣3 ．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．【解答】解：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=﹣[（）3]﹣2+（）0=﹣﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．11．设函数y=f （x+2）是奇函数，且x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，则f （3.5）= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，可得f （0.5）=1．由于函数y=f （x+2）是奇函数，可得f （﹣x+2）=﹣f （x+2），即可得出．【解答】解：∵x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，∴f （0.5）=1．∵函数y=f （x+2）是奇函数，∴f （﹣x+2）=﹣f （x+2），∴f （3.5）=﹣f （﹣1.5+2）=﹣f （0.5）=﹣1．故答案为：﹣1．12．函数f （x ）=3x 的值域是 [0，+∞） ．【考点】函数的值域．【分析】化分数指数幂为根式，再由x 2≥0求得原函数的值域．【解答】解：f （x ）=3x=， ∵x 2≥0，∴，则函数f （x ）=3x的值域是[0，+∞）． 故答案为：[0，+∞）．13．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f （2x ﹣1）＜f （1）的x 的取值范围是 （0，1） ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f （x ）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，便可由f （2x ﹣1）＜f （1）得出|2x ﹣1|＜1，解该绝对值不等式便可得出x 的取值范围．【解答】解：f （x ）为偶函数；∴由f （2x ﹣1）＜f （1）得，f （|2x ﹣1|）＜f （1）；又f （x ）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x ﹣1|＜1；解得0＜x ＜1；∴x 的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．函数f （x ）的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2，则称f （x ） 为单函数．例如，函数f （x ）=2x+1（x ∈R ）是单函数．下列命题：①函数f （x ）=x 2（x ∈R ）是单函数；②若f （x ）为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠f （x 2）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，A 中至多有一个元素与之对应；④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数．其中正确的是 ②③ ．（写出所有正确的编号）【考点】命题的真假判断与应用；函数的值．【分析】在①中，举出反例得到函数f （x ）=x 2（x ∈R ）不是单函数；在②中，由互为逆否命题的两个命题等价判断正误；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调．【解答】解：在①中，函数f （x ）=x 2（x ∈R ），由f （﹣1）=f （1），但﹣1≠1，得到函数f （x ）=x 2（x ∈R ）不是单函数，故①错误；在②中，“x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠f （x 2）”的逆否命题是“若x 1，x 2∈A 且f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2”．互为逆否命题的两个命题等价．故②的逆否命题为真，故②正确；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量，∴若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，A 中至多有一个元素与之对应，故③正确；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调，∴f （x ）不一定是单函数，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x ＜7}，B={2＜x ＜10}，C={x|5﹣a ＜x ＜a}．（1）求A ∪B ，（∁R A ）∩B ；（2）若C ⊆（A ∪B ），求a 的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）在数轴上表示出集合A ，B ，从而解得；（2）由题意分类讨论，从而求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|3≤x ＜7}，B={2＜x ＜10}在数轴上表示可得：故A ∪B={x|2＜x ＜10}，C R A={x|x ＜3，或x ≥7}（C R A ）∩B={2＜x ＜3，或7≤x ＜10}；（2）依题意可知 ①当C=∅时，有5﹣a ≥a ，得；②当C ≠∅时，有，解得；综上所述，所求实数a 的取值范围为（﹣∞，3]．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，已知x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ．（1）画出偶函数f （x ）的图象的草图，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）当直线y=k （k ∈R ）与函数y=f （x ）恰有4个交点时，求k 的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据已知条件画出函数f（x）的图象，根据图象即可得到f（x）的单调递增区间；（2）通过图象即可得到k的取值范围．【解答】解：（1）画出f（x）的图象如下图：由图象知，函数f（x）单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）；（2）由图象可知，当﹣1＜k＜0时，直线与函数y=f（x）的图象的交点个数为4；∴k的取值范围为（﹣1，0）．17．已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；f（x）min当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），f（x）min∴f（x）=x2+3x+3或∴．18．已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，知，故b=1，，，由此能求出a=b=1．（2），f （x ）在R 上是减函数．证明：设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，=﹣，由此能够证明f （x ）在R 上是减函数．（3）不等式f （t ﹣2t 2）+f （﹣k ）＞0，等价于f （t ﹣2t 2）＞f （k ），由f （x ）是R 上的减函数，知t ﹣2t 2＜k ，由此能求出实数k 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴，解得b=1，∴，∴∴a •2x +1=a+2x ，即a （2x ﹣1）=2x ﹣1对一切实数x 都成立，∴a=1，故a=b=1．（2）∵a=b=1，∴，f （x ）在R 上是减函数．证明：设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2则 =﹣， ∵x 1＜x 2，∴，，，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0即f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在R 上是减函数，（3）∵不等式f （t ﹣2t 2）+f （﹣k ）＞0，∴f （t ﹣2t 2）＞﹣f （﹣k ），∴f （t ﹣2t 2）＞f （k ），∵f （x ）是R 上的减函数，∴t﹣2t2＜k∴对t∈R恒成立，∴．。
北京101中学10月高一数学试题
北京一零一中 2019-2020 学年度第一学期高一数学统练二 第 2 页（共 2 页）
(D) 既不充分也不必要条件
5. 已知 x1, x2 是关于 x 的方程 x2 + bx − 3 = 0 的两根, 且满足 x1 + x2 − 3x1 x2 = 5, 那么 b 的 值为 ( )
(A) 4
(B) −4
(C) 3
(D) −3
6. 已知集合 A = {x | x2 − 2x − 3 < 0}, B = {x | −1 < x < m}, 若 x ∈ A 是 x ∈ B 的充分不必要条
(A) ab > ac
(B) c(b − a) > 0
(C) cb2 < ab2
(D) ac(a − c) < 0
2.
不等式
x−3 x−1
0 的解集为 ( )
(A) {x | x < 1 或 x 3}
(B) {x | 1 x 3}
(C) {x | 1 < x 3}
(D) {x | 1 < x < 3}
3.
“a,
b
∈
R+”
是
“
a
+ 2
b
(A) 充分不必要条件
√ ab”
成立的
( )
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
4. 设 x ∈ R, 则 “x2 − 5x < 0” 是 “|x − 1| < 1” 的 ( )
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件
(C) 充要条件
数 13关4x,系+
2019-2020学年北京一零一中学高三期中数学试题及答案
2019 北京一零一中高三（上）统练五数学（理）一、选择题共8 小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. 1B. 0C.D. -12.已知为等差数列，为其前n 项和，若，则（）A. 17B. 14C. 13D. 33.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则a 的值可以为（）A. B. C. D.5.某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》4 本不同的名著中选出3 本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有（）A. 6 种B. 12 种C. 18 种D. 24 种6.已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是A. B. C. D.7.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数（）A. 有极小值，没有极大值B. 有极大值，没有极小值C. 至少有两个极小值和一个极大值D. 至少有一个极小值和两个极大值8.已知非空集合A，B 满足以下两个条件：①；②A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A. 10B. 12C. 14D. 16二、填空题共 6 小题。
9.已知集合，则M∩N＝.10.在等比数列中，，且，则的值为.11.能够说明“恒成立”是假命题的一个x 的值为.12.已知向量a，b 的夹角为60°，，则＝.13.在边长为1 的等边三角形ABC 中，点D、E 分别是边AB，BC 的中点，连接DE 并延长到点F，使得DE＝2EF. 设，则14.已知；＝.（1）若有两个零点，则a 的取值范围是，（2）当时，则满足的x 的取值范围是.三、解答题共 4 小题。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.已知函数的图像与x 轴的相铃两个交点的距离为.（1）求的值；（2）设函数，求在区间上的最大值和最小值.16.如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，且AB＝14，BD＝6，，.（1）求；（2）求AD 的长和△ABC 的面积.17.设数列的前n 项和为，且，在正项等比数列中，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和.18.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数在区间上的最大值.2019 北京一零一中高三（上）统练五数学（理）参考答案一、选择题共8 小题。
2022-2023北京101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣5）≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，3}B ．{3，5}C ．{5，7}D ．{1，7}2．若实数a 、b 满足a ＞b ＞0，下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a +b ＞2√abB ．a +b ＜2√abC ．a2+2b ＞2√abD ．a2+2b ＜2√ab3．已知关于x 的方程x 2﹣6x +k ＝0的两根分别是x 1，x 2，且满足1x 1+1x 2=3，则k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数f （x ）＝x +2x ，x ∈[1，3]的值域为（ ） A ．[2√2，3]B ．[3，113] C ．[2√2，113] D ．[3，+∞）5．已知f （x ）＝|x |，g （x ）＝x 2，设h （x ）={f(x)，f(x)＞g(x)g(x)，f(x)≤g(x)，函数h （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知p ：x ≥k ，q ：2−x x+1＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A ．[2，∞）B ．（2，+∞）C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]7．已知奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＜0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）8．已知函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1，对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，则m 的范围为（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣4，0]C ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）9．已知函数f(x)={−x 2−ax −7，x ≤1a x，x ＞1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（ ）A ．[﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣2]C ．[﹣4，﹣2]D ．（﹣∞，0）10．设f （x ）是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数x 1，x 2∈R ，使得f(x 1+x 22)=f(x 1)+f(x 2)2，则称函数f （x ）在R 上具有性质P ，那么，下列函数：①f （x ）＝2x ；②f （x ）={1x，x ≠00，x =0；③f （x ）＝x 2；④f （x ）＝|x 2﹣1|．具有性质P 的函数的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2019北京一零一高一(上)期中数学
C. {-1,6}
D. {-2，-3}
2.“a>2”是“������2 > 4”的（）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A. y=-3x-1
B. ������ = 2
������
C. ������ = ������2 − 4������ + 5 D. ������ = |������ − 1| + 2
.
10.已知方程������������2 + ������������ + 1 = 0的两个根分别为− 1,3，则不等式������������2 + ������������ + 1 > 0的解集为
4
间表示）
（结果用区
11.命题“∀������ > 0, ������2 + 2������ − 3 > 0”的否定是
A. （-∞，1）∪（2，+∞）
B. （1,2）
C. （-∞，-1）∪（2，+∞）
D. （-1,2）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
9.已知������1, ������2是方程������2 + 2������ − 5 = 0的两根，则������12 + 2������1 + ������1������2的值为
17.一元二次方程������2 − ������������ + ������2 + ������ − 1 = 0有两实根������1，������2. （1）求 m 的取值范围； （2）求������1 · ������2的最值； （3）如果|������1 − ������2| > √5,求 m 的取值范围.
2019年北京一零一中高一数学期中考试
6.若函数 f (x) x a (a R) 在区间 (1, 2) 上恰有一个零点，则 a 的值可以是（ ） x
（A）-2
（B）0（C）-1 Nhomakorabea（D）3
7.已知函数
f
(x)
a
3 x
2a , x x
5, x 1
1,
是
R
上的减函数，则实数 a
的取值范围是（
）
（A）（0,2）
（2）若 A B 9 ，求 A B .
16.已知函数 f x ax 2 .
x
（1）求定义域，并判断函数 f x 的奇偶性；
（2）若 f 1 f 2 0 ，证明函数 f x 在 0, 上的单调性，并求函数 f x 在区间1, 4上的最值.
2
17.一元二次方程 x2 mx m2 m 1 0 有两实根 x1 ， x2 . （1）求 m 的取值范围； （2）求 x1 ， x2 的最值； （3）如果 x1 x2 5 ，求 m 的取值范围.
18.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休
闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的 面积为 200 平方米的十字型地域.现计划在正方形 MNPQ 上建花坛，造价为 4200 元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价 为 210 元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为 80 元/平方米. （1）设总造价为 S 元， AD 的边长为 x 米， DQ 的边长为 y 米，试建立 S 关于 x 的函数关系式；
北京一零一中 2019-2020 学年度第一学期期中考试 高一数学
2017-2018学年北京市101中学高一(上)期末数学试卷(精品解析)
2017-2018学年北京市101中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.计算：sin2π3=()A. −√32B. √32C. √22D. −√22【答案】B【解析】解：sin2π3=sin(π−π3 )=sinπ3=√32．故选：B．把所求式子中的角2π3变形为π−π3，利用诱导公式sin(π−α)=sinα化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键．2.若0<a<1，则函数f(x)=a x+6的图象一定经过()A. 第一、二象限B. 第二、四象限C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限【答案】A【解析】解：当0<a<1时，由于函数y=a x经过第一、第二象限，函数f(x)=a x+6的图象是把y=a x向上平移6个单位得到的，故函数f(x)的图象一定过第一、第二象限，故选：A．根据函数y=a x经过第一、第二象限，可得函数f(x)=a x+6的图象经过的象限．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，指数函数的图象特征，属于基础题．3.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A. y=e xB. y=tanxC. y=lnxD. y=x3+x【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=e x为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，y=tanx为正切函数，在其定义域内不是增函数，不符合题意；对于C，y=lnx为对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y=x3+x，有f(−x)=−(x3+x)=−f(x)，为奇函数，且其导数y′=3x2+1>0，在其在定义域内是增函数，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．4.已知函数g(x)=f(x)−x，若f(x)是偶函数，且f(2)=1，则g(−2)=()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】解：∵函数g(x)=f(x)−x，f(x)是偶函数，若f(2)=1，则f(−2)=1，g(−2)=f(−2)+2=3，故选：C．由已知可得f(−2)=1，代入可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数求值，难度不大，属于基础题．5.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |=√m，则a⃗⋅b⃗ =()A. 0B. mC. −mD. m2【答案】A【解析】解：∵向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |=√m，∴|a⃗+b⃗ |2=|a⃗−b⃗ |2，∴a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2，∴a⃗⋅b⃗ =0．故选：A．推导出|a⃗+b⃗ |2=|a⃗−b⃗ |2，由此能求出a⃗⋅b⃗ =0．本题考查向量的数量积的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．6.不等式3 −x2+6>3x的解集是()A. (−3,2)B. (−2,3)C. (−∞,−3)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(3,+∞)【答案】A【解析】解：不等式3 −x2+6>3x等价于−x2+6>x，∴x2+x−6<0，−3<x<2，∴不等式的解集是(−3,2)．故选：A．根据指数函数的单调性把不等式化为一元二次不等式，再求解即可．本题考查了可化为一元二次不等式的指数不等式解法问题，是基础题．7.函数y=ln(−x2+2x+3)的减区间是()A. (−1,1]B. [1,3)C. (−∞,1]D. [1,+∞)【答案】B【解析】解：令t=−x2+2x+3>0，求得−1<x<3，故函数的定义域为(−1,3)，且y=lnt，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质求得t=−(x−1)2+4在定义域内的减区间为[1,3)，故选：B．令t=−x2+2x+3>0，求得函数的定义域，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质求得t=−(x−2)2+9在定义域内的减区间．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．8.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是()A. A=3，T=2πB. B=−1，ω=2C. T =4π，φ=−π6 D. A =3，φ=π6【答案】C【解析】解：由图可得：{−A +B =−4A+B=2⇒{B =−1A=3T2=4π3−(−2π3)=2π⇒T =4π，ω=2πT=2π4π=12，12×4π3+ϕ=π2⇒ϕ=−π6．故选：C ．从图象可得最大值和最小值，相邻的最大值与最小值的横坐标之差的绝对值是半个周期，可求ω，由最值求ϕ． 本题很好的考查了由函数y =Asin(ωx +ϕ)+B 的部分图象求其解析式．9. 某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10%，但数学成绩每次都比上次降低了10%，期末时这两科分值恰好均为m 分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果( ) A. 提高了 B. 降低了 C. 不提不降(相同) D. 是否提高与m 值有关系 【答案】B【解析】解：设期中考试英语成绩为a ，数学成绩为b ，则(1+10%)2a =m ，(1−10%)2b =m ， 所以a =m1.21，b =m0.81，则a +b =m1.21+m0.81≈2.06m >2m ，所以总成绩比期中成绩降低了． 故选：B ．本题主要考查函数模型及其应用．本题考查了归纳推理的应用，和计算能力，属于比较基础的题目．10. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120∘，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BEBC =λ，DFDC =μ.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，则λ+μ=( )A. 12B. 23C. 34D. 56【答案】D【解析】解：由题意可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos120∘+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120∘=4λ+4μ−2λμ−2=1， ∴4λ+4μ−2λμ=3①．CE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅=−EC ⃗⃗⃗⃗⃗ −⋅(−FC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(1−μ)DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)(1−μ)×2×2×cos120∘=(1−λ−μ+λμ)(−2)=−23， 即−λ−μ+λμ=−②． 由①②求得λ+μ=56，故选：D ．利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求得4λ+4μ−2λμ=3①；再由CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，求得−λ−μ+λμ=−23②.结合①②求得λ+μ的值． 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 计算：2 14×80.25+(−76)0+3log 32=______． 【答案】5【解析】解：2 14×80.25+(−76)0+3log 32=(2×8) 14+1+2=2+1+2=5．故答案为：5．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12. 要得到y =sin(2x −π4)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象至少向右平移______个单位． 【答案】π8【解析】解：要得到y =sin(2x −π4)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象至少向右平移π8个单位， 故答案为：π8．根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．13. 函数y =cos 2x +3cosx +2的最小值为______． 【答案】0【解析】解：函数y =cos 2x +3cosx +2， =(cosx +32)2−14．当x =−1时，y min =(−1+32)2−14=0． 故函数的最小值为0． 故答案为：0首先通过函数的关系式的恒等变换，进一步利用函数的性质求出结果． 本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，三角函数的性质的应用．14. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=√3，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为5π6，a ⃗ ⊥(a ⃗ +λb ⃗ )，则实数λ=______．【答案】43【解析】解：向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=√3，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为5π6，则a ⃗ ⋅b ⃗ =2⋅√3⋅(−√32)=−3， 由于a ⃗ ⊥(a ⃗ +λb ⃗ )， 则a ⃗ ⋅(a ⃗ +λb ⃗ )=0， 所以：4−3λ=0， 解得λ=43． 故答案为：43．直接利用向量的数量积和夹角公式求出结果． 本题考查的知识要点：向量的数量积的应用．15. 已知函数f(x)={−x +4,x ≤3log 13x,x >3，定义函数g(x)=f(x)−k ，若函数g(x)无零点，则实数k 的取值范围为______．【答案】[−1,1)【解析】解：函数f(x)={−x +4,x ≤3log 13x,x >3，可得x >3时，f(x)=log 13x 递减， 可得f(x)<−1；当x ≤3时，f(x)=−x +4递减，可得f(x)≥1， 即有f(x)的值域为(−∞,−1)∪[1，+∞)， 由函数g(x)=f(x)−k ，若函数g(x)无零点， 则f(x)−k =0无解，即f(x)=k 无解， 则k 的范围是[−1,1)． 故答案为：[−1,1)．运用一次函数和对数函数的单调性，可得f(x)的值域，由题意可得f(x)=k 无解，可得k 的范围．本题考查函数方程的转化思想和函数零点问题解法，注意运用对数函数和一次函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．16. 已知数集X ={x 1,x 2,…,x n }(其中x i >0，i =1，2，…，n ，n ≥3)，若对任意的x k ∈X(k =1,2，…n)，都存在x i ，x j ∈X(x i ≠x j )，使得下列三组向量中恰有一组共线： ①向量(x i ,x k )与向量(x k ,x j )； ②向量(x i ,x j )与向量(x j ,x k )；③向量(x k ,x i )与向量(x i ,x j )，则称X 具有性质P ，例如{1,2，4}具有性质P ． (1)若{1,3，x}具有性质P ，则x 的取值为______(2)若数集{1,3，x 1，x 2}具有性质P ，则x 1+x 2的最大值与最小值之积为______． 【答案】13,√3,91003【解析】解：(1)由题意可得：(1,3)与(3,x)；(1,x)与(x,3)；(3,1)与(1,x)中恰有一组共线，当(1,3)与(3,x)共线时，可得x =9，此时另外两组不共线，符合题意， 当(1,x)与(x,3)共线时，可得x =√3，此时另外两组不共线，符合题意， 当(3,1)与(1,x)共线时，可得x =13，此时另外两组不共线，符合题意， 故x 的取值为：13，√3，9；(2)由(1)的求解方法可得x 1=13，√3，9， 当x 1=13时，由数集{1,3，13，x 2}具有性质P ，①若(1,3)与(3,x 2)；(1,x 2)与(x 2,3)；(3,1)与(1,x 2)中恰有一组共线，可得x 2=9，√3；②若(1,13)与(13,x 2)；(1,x 2)与(x 2,13)；(13,1)与(1,x 2)中恰有一组共线，可得x 2=√33，19；③若(3,13)与(13,x 2)；(3,x 2)与(x 2,13)；(13,3)与(3,x 2)中恰有一组共线，可得x 2=127，27；故{1,3，13，x 2}具有性质P 可得x 2=127，19，√33，√3，9，27；同理当x 1=√3时，{1,3，√3，x 2}具有性质P 可得x 2=13，√33，√34，√274，3√3，9； 同理当x 1=9时，可得x 2=19，13，√33，√3，3√3，27，81；则x 1+x 2的最大值为90，最小值为13+127=1027， 故x 1+x 2的最大值与最小值之积为90×1027=1003．故答案为：(1)13，√3，9；(2)1003．(1)由题意可得：(1,3)与(3,x)；(1,x)与(x,3)；(3,1)与(1,x)中恰有一组共线，分别求出相应的x 的值即可；(2)由(1)知，可得x 1=13，√3，9，再利用新定义验证，得到{1,3，13，x 2}具有性质P 时的x 2=127，19，√33，√3，9，27，同理分别得到{1,3，√3，x 2}以及{1,3，9，x 2}具有性质P 时的x 2的值，即可得到x 1+x 2的最大值与最小值之积． 本题考查新定义，考查平面向量共线的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分） 17. 已知函数f(x)=2sin(x +π6).(I)若点P(1,−√3)在角α的终边上，求：cosα和f(α−π6)的值； (II)若x ∈[−π3,π2]，求f(x)的值域． 【答案】解：(I)点P(1,−√3)在角α的终边上， ∴cosα=22=12． f(α−π6)=2sinα=√x 2+y2=−√32． (II)由x ∈[−π3,π2]， 那么：x +π6∈[−π6,2π3].∴−12≤sin(x +π6)≤1． 故得f(x)的值域为[−1,2]．【解析】(I)根据三角函数的定义，即可求解cosα，f(α−π6)的值； (II)由x ∈[−π3,π2]，结合三角函数的性质可得f(x)的值域．本题考查三角函数的定义和函数的性质的应用，难度不大，属于基础题．18. 设函数f(x)的定义域为R +，且满足条件f(4)=1，对任意x 1，x 2∈R ﹢，有f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)，且当x 1≠x 2时，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0．(1)求f(1)的值；(2)如果f(x +6)>2，求x 的取值范围．【答案】解：(1)由f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)，可得f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)，故f(1)=0． (2)由条件可得f(16)=f(4)+f(4)=2，由f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0，可得函数f(x)在定义域R 上是增函数，再根据f(x +6)>2，可得f(x +6)>f(16)，∴x +6>16，x >10．【解析】(1)由f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)，可得f(1)=f(1)+f(1)，由此求得f(1)的值． (2)由条件可得f(16)=2，再根据函数f(x)在定义域R 上是增函数以及f(x +6)>2，可得x +6>16，由此求得x 的值． 本题主要考查函数的单调性的判断，求函数的值，利用函数的单调性解不等式，属于基础题．19. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求证：A 、B 、C 三点共线；(2)已知A(1,cosx)、B(1+sinx,cosx)，x ∈[0,π2]，f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m +13)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+m 2的最小值为5，求实数m 的值．【答案】解：(1)∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A ，故A 、B 、C 三点共线． (2)∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,cosx)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+sinx,cosx)， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+23sinx,cosx)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(sinx,0)， 故 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+23sinx +cos 2x ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√sin 2x =sinx ，(x ∈[0,π2])． 从而f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m +13)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+m 2 =1+23sinx +cos 2x +(2m +13)sinx +m 2=cos 2x +(2m +1)sinx +1+m 2 =−sin 2x +(2m +1)sinx +2+m 2=−(sinx −2m+12)2+2m 2+m +94，关于sinx 的二次函数的对称轴为sinx =2m+12，∵x ∈[0,π2]，∴sinx ∈[0,1]，又区间[0,1]的中点为12．①当2m+12≤12，即m ≤0时，当sinx =1时，f(x)min =m 2+2m +2．由f(x)min =5得m =−3或m =1，又m ≤0，∴m =−3； ②当2m+12>12，即m >0时，当sinx =0时，f(x)min =2+m 2， 由f(x)min =5得m =±√3，又m >0，∴m =√3．综上所述：m 的值为−3或√3．【解析】(1)利用向量共线定理证明AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可；(2)利用数量积运算和二次函数的单调性即可得出．本题考查了向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20. 已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断.定义：f 1(x)=min{f(t)|a ≤t ≤x}(x ∈[a,b])， f 2(x)=max{f(t)|a ≤t ≤x}(x ∈[a,b])．其中，min{f(x)|x ∈D}表示函数在D 上的最小值， max{f(x)|x ∈D}表示函数在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得f 2(x)−f 1(x)≤k(x −a)对任意的x ∈[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k 阶收缩函数”．(I)若f(x)=sinx ，x ∈[−π2,π2]，请直接写出f 1(x)，f 2(x)的表达式；(II)已知函数f(x)=(x −1)2，x ∈[−1,4]，试判断f(x)是否为[−1,4]上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由．【答案】解：(Ⅰ)由题意可得，f 1(x)=−1，f 2(x)=sinx ，x ∈[−π2,π2]； (Ⅱ)函数f(x)=(x −1)2，x ∈[−1,4]， 可得f 1(x)={0,1<x ≤4(x−1)2,−1≤x≤1， f 2(x)={(x −1)2,3<x ≤44,−1≤x≤3，若f(x)为[−1,4]上的“k 阶收缩函数，则f 2(x)−f 1(x)≤k(x +1)在[−1,4]上恒成立， 当−1≤x ≤1时，f 2(x)−f 1(x)=4−(x −1)2， 有4−(x −1)2≤k(x +1)在[−1,1]上恒成立， x =−1显然成立； 当−1<x ≤1时，k ≥4−(x−1)2x+1的最大值，由4−(x−1)2x+1=3−x ∈[2,4]，可得k ≥4；当1<x ≤3时，f 2(x)−f 1(x)=4， 有4≤k(x +1)在(1,3]上恒成立， 即k ≥4x+1的最大值，可得k ≥2；当3<x ≤4时，f 2(x)−f 1(x)=(x −1)2． 有(x −1)2≤k(x +1)在(3,4]上恒成立，即k ≥(x−1)2x+1的最大值，由(x−1)2x+1=(x +1)+4x+1−4∈(1,95]，可得k≥9，5综上可得k≥4，则存在k=4，f(x)为[−1,4]上的“4阶收缩函数”．【解析】(Ⅰ)利用新定义，代入计算，可得f1(x)，f2(x)的表达式；(Ⅱ)运用新定义，求得f1(x)，f2(x)，可得f2(x)−f1(x)，再由恒成立思想和参数分离，可得k的范围，即可判断存在k．本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生对新问题的理解，考查学生的计算能力，属于难题．。
北京市一零一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析
2019-2020学年北京市101中学高一第二学期期末数学试卷一､填空题1. 已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin α=______. 【答案】45【解析】 【分析】由三角函数的定义可直接求得sin α.【详解】解：∵角α的终边经过点()3,4P -， ∴4sin 5α==.故答案为：45. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了基本知识掌握情况，属于基础题. 2. 函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期为 ． 【答案】π 【解析】试题分析： 因为()cos 2f x x =，所以函数f(x)＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为2.2T ππ== 考点：三角函数的周期3. 已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则AB AC ⋅=______. 【答案】0 【解析】 【分析】首先求出AB ､AC 的坐标，而后可求0AB AC ⋅=. 【详解】解：()1,1AB =，()3,3AC =-，()13130AB AC ⋅=⨯-+⨯=.故答案为：0.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.4. 在△ABC 中,若2,30,a b A ===︒则角B 等于______ . 【答案】060或0120 【解析】∵2,30a b A ===︒∴由正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 22b A B a === ∵b a >∴60B =︒或120︒ 故答案为060或01205. 设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要). 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.根据题意由判断定理得l βαβ⊥⇒⊥.若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l 在平面β内.由αβ⊥，直线l α⊂得不到l β⊥，故可得出结论.. 【详解】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 因为直线l α⊂且l β⊥ 所以由判断定理得αβ⊥.所以直线l α⊂，且l βαβ⊥⇒⊥若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l平面β内.所以“l β⊥”是“αβ⊥”成立的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查充分条件，必要条件的判断，涉及到线面、面面关系，属于基础题. 6. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是60，E 为1CC 的中点，则三棱锥C EBD -的体积是________.【答案】5 【解析】 【分析】由长方体1111ABCD A B C D -的体积为60,即160V BC DC CC =⋅⋅=,而三棱锥C EBD -的体积为1111322C EBD V BC DC CC -⎛⎫=⨯⋅⨯ ⎪⎝⎭,代入求解即可 【详解】由题,长方体1111ABCD A B C D -的体积为160V BC DC CC =⋅⋅=, 所以11111116053221212C EBD V BC DC CC BC DC CC -⎛⎫=⨯⋅⨯=⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭, 故答案为：5【点睛】本题考查三棱锥的体积,属于基础题 7. 在ABC 中，60A =︒，1b =3sin sin sin a b cA B C________．239【解析】 【分析】由已知利用三角形面积公式可求c ，进而利用余弦定理可求a 的值，根据正弦定理即可计算求解. 【详解】60A =︒，1b =31133sin 1222bc A c ==⨯⨯⨯,解得4c=，由余弦定理可得：a===所以13239sin sin sin sin33ab c aA B C A,【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.8. 已知三棱柱111ABC A B C-的6个顶点都在球O的球面上，若3cmAB=，4cmAC=，AB AC⊥，112cmAA=，则球O的表面积为______2cm.【答案】169π【解析】【分析】由于直三棱柱111ABC A B C-的底面ABC为直角三角形，我们可以把直三棱柱111ABC A B C-补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】由题意，三棱柱111ABC A B C-为直三棱柱111ABC A B C-，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C-补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径， 所以外接球半径为222113341222++=， 则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积是22134169cm 2ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：169π.【点睛】本题考查几何体的外接球问题，属于基础题. 9. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AF BF ⋅的值是______.2 【解析】 【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果. 【详解】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =-，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅()221122222=--+⨯=-++=，故答案为：2.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题.10. 如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】222+ 【解析】 【分析】设等腰三角形底角为θ，阴影面积为2sin2θ2cos2θ2++，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为θ，则等腰三角形底边长为2cos θ，高为sin θ， 阴影面积为：()21422cos θ2sin2θ2cos2θ22cos sin θθ⨯⨯⨯+=++ 22224sin πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,当8πθ=时，阴影面积的最大值为222+故答案为222+【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为θ表示等腰三角形的底边与高.二､选择题11. 设向量a ，b 满足2a =，1b =，,60a b =︒，则2a b +=（ ）A. B.D. 12【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可.【详解】解：向量a ，b 满足2a =，1b =，,60a b =︒， 则222124444214122a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=， 则223a b +=. 故选：B .【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 12. 下列函数中，周期为1的奇函数是 ( ) A. y=1-2sin 2πxB. y=sin π2πx 3⎛⎫+⎪⎝⎭C. y=tanπ2x D. y=sin πxcos πx【答案】D 【解析】 【分析】对A ，利用二倍角的余弦公式化简后判断；对B 直接判断奇偶性即可；对C ，直接利用正切函数的周期公式判断即可；对D ，利用二倍角的正弦公式化简后判断即可.【详解】化简函数表达式y=1-2sin 2πx=cos ()2πx 是偶函数，周期为1，不合题意；y=sin π2πx 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭的周期为1，是非奇非偶函数，周期为1，不合题意； y=tanπ2x 是奇函数，周期为2，不合题意； y=sinπxcosπx=12sin2πx 是奇函数，周期为1，合题意；故选D.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，属于中档题.由函数()cos y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由函数()sin y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由函数()tan y A x ωϕ=+可求得函数的周期为πω. 13. 要想得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度【答案】C 【解析】函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到sin2x y =，再向右平移π6个单位长度πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选C14. 在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选 A.15. 在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A. 点F 的轨迹是一条线段B. 1A F 与BE 是异面直线C. 1A F 与1D E 不可能平行D. 三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】C 【解析】 【分析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断．【详解】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点 分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ， 1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ， 1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确． 对于B ，平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三､解答题16. 已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的对称轴； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值. 【答案】（1）对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈)；（2）最大值为2，最小值为1-. 【解析】 【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值.【详解】（1）函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令262x k πππ-=+(k Z ∈)，解得23k x ππ=+(k Z ∈)，所以函数()f x 的对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈). （2）由于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则：()12f x -≤≤故当0x =时，函数的最小值为1-. 当3x π=时，函数的最大值为2.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，属于基础题. 17. 在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，且c =105A =︒，30C =︒（1）求b 的值 （2）ABC 的面积. 【答案】（1）2；（2. 【解析】【分析】（1）由A 与C 度数求出B 的度数，再由c 及C 的度数，利用正弦定理求出b 的值即可； （2）由b ，c 及sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积. 【详解】（1）∵105A =︒，30C =︒，∴45B =︒， 又c =1sin 2C =， ∴由正弦定理sin sin b c B C =得：sin 221sin 2c Bb C===；（2）∵2b =，c =()sin sin105sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 45A =︒=︒+︒=︒︒+︒︒=， ∴11sin 222ABC S bc A ==⨯=△【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，属于基础题. 18. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11C B 中点.（1）求证：//AC 平面1B DE ； （2）求证：//AF 平面1B DE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证//DE AC ，进而利用线面平行的判定定理即可证明//AC 平面1B DE .（2）由已知可证1B ECF 是平行四边形，进而证明1//FC B E ，利用线面平行的判定证明//FC 平面1B DE ，根据面面平行的判定证明平面//ACF 平面1B DE ，根据面面平行的性质即可可证//AF 平面1B DE .【详解】（1）在ABC 中，D ，E 分别为棱AB ，BC 中点. 所以//DE AC ，因为DE ⊂平面1B DE ，AC ⊄平面1B DE ， 所以//AC 平面1B DE .（2）在三棱柱111ABC A B C -中，11BC BC ∥， 因为E ，F 分别为BC ，11C B 中点， 所以1CE B F ∥，所以1B ECF 是平行四边形， 所以1//FC B E ，因为⊄FC 平面1B ED ，1B E ⊂平面1B ED ， 所以//FC 平面1B DE ，又因为//AC 平面1B DE ，AC CF C ⋂=， 所以平面//ACF 平面1B DE ， 所以//AF 平面1B DE .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用面面平行证明面面平行，属于基础题. 19. 已知ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC 周长l 的最大值. 【答案】（1）3A π=；（2）3.【解析】 【分析】（1）由题意利用正弦定理，两角和差的三角公式，求得cos A 的值，可得A 的值.（2）利用正弦定理求得b ､c 的解析式，可得周长l 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得ABC 的周长l 的最大值. 【详解】解：（1）ABC 中，∵cos 12a cC b b+=， ∴由正弦定理可得()1sin cos sin sin sin sin cos cos sin 2A C CB AC A C A C +==+=+， ∴1sin cos sin 2C A C =，∴1cos 2A =. 结合()0,A π∈，可得3A π=.（2）由正弦定理得sinsin B a B A b ==，c C =， ∴周长)()11sin sin 1sin sina b c B C B A B =++=+=++⎡⎤⎣⎦3112sin cos 12sin 226B B B π⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵3A π=，∴20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故ABC 的周长l 的最大值为3. 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于基础题. 20. 如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，25AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2．（1）求证：//EF 平面1A BD ；（2）求证：平面1AOB ⊥平面1A OC ； （3）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）取线段1A B 的中点H ，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形DEFH 为平行四边形，即得//EF HD ．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得1A O DE ⊥．再根据面面垂直性质定理得1A O ⊥平面BCED ，即得1CO A O ⊥，根据勾股定理得CO BO ⊥，所以由线面垂直判定定理得 CO ⊥平面1A OB ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，则EO EC =，与条件矛盾. 试题解析：解：（1）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ．因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形，所以 //EF HD ． 因EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD ．（2）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =． 所以11A D A E =，又O 为DE 的中点， 所以 1A O DE ⊥．因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，所以 1CO A O ⊥． 在△OBC 中，4BC =，易知 22OB OC == 所以 CO BO ⊥，所以 CO ⊥平面1A OB ，所以 平面1AOB ⊥平面1A OC ． （3）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． 否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ， 连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得G 为OC 的中点． 在△EOC 中，因为OC GE ⊥，所以EO EC =， 这显然与1EO =，5EC =矛盾！所以线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．。
【精品高一数学试卷】2019-2020北京高一(上)期中+答案
2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）已知集合A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，那么A∩B＝（）A．{1，3，5，6，8}B．{6，8}C．{3，5}D．{1，6，8} 2．（3分）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＞c﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b23．（3分）给出下列四个函数：①y＝﹣x2+1；②y=√x；③y=−1x；④y＝|x|．其中在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）如图，给出了奇函数f（x）的局部图象，那么f（1）等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．45．（3分）如果幂函数f（x）＝x a的图象经过点（2，4），则f（x）在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值6．（3分）已知a＞0，那么a−2+4a的最小值是（）A．1B．2C．4D．5 7．（3分）下列函数中，与函数y＝x（x≥0）有相同图象的一个是（）A．y=√x2B．y=x2x C．y=√x23D．y=(√x)28．（3分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 10．（3分）函数f(x)={x 2，x ≥tx ，0＜x ＜t （t ＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t 的取值范围是（ ） A ．1B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）11．（3分）若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域内的任意x ，有f （x ）+f （﹣x ）＝0； （2）对于定义域内的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数：①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝﹣x 3；③f(x)=x −1x ；④f(x)={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0．其中是“理想函数”的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12．（3分）对于集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }，给出如下三个结论：其中正确结论的个数是（ ）①如果P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，那么P ⊆M ； ②如果c ＝4n +2，n ∈Z ，那么c ∉M ； ③如果a 1∈M ，a 2∈M ，那么a 1a 2∈M ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0二、填空题13．（3分）已知函数f(x)={1，x ≥0−2x ，x ＜0，如果f （m ）＝4，那么实数m 的值为 ．14．（3分）已知二次函数f （x ）满足如表所给对应关系：x 1 2 4 f （x ）﹣1则不等式f （x ）＜0的解集为 ．15．（3分）命题“∀x ∈R ，|x |+1≥1”的否定是 ．16．（3分）函数y ＝f （x ）（x ≠0）是奇函数，且当x ∈（0，+∞）时，函数y ＝f （x ）单调递增．若f （1）＝0，则f （﹣1）＝ ；不等式f （x ）＜0的解集为 ． 17．（3分）若“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ． 18．（3分）已知函数f(x)=4√mx −2mx+1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．19．（3分）设函数f （x ）＝x ﹣[x ]（x ≥0），其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[√3]=1，[2]＝2．若函数y ＝kx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，则实数k 的取值范围是 ．20．（3分）已知函数f(x)={x +4x ，0＜x ＜4−x 2+10x −20，x ≥4，若有且仅有不相等的三个正数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的值为 ，若存在0＜x 1＜x 2＜x 3＜x 4，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 ． 三、解答题21．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3≤0}，B ={x|1x−1＞0}． （1）求（∁R B ）∪A ；（2）若集合C ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）＜0}（a ∈R ），且C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 22．函数f （x ）=ax+b 1+x 2是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f （12）=25．（1）确定函数f （x ）的解析式；（2）用定义证明f （x ）在（﹣1，1）上是增函数； （3）解不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．23．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f （x ）={30，0＜x ≤302x +1800x −90，30＜x ＜100（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．24．设函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （f （x ））的定义域交集为D ，集合M 是由所有具有性质：“对任意的x ∈D ，都有f （f （x ））＝x ”的函数f （x ）组成的集合．（1）判断函数f （x ）＝2x ﹣1和g(x)=1x是不是集合M 中的元素？并说明理由． （2）设函数f （x ）∈M ，且f （x ）＝kx +b （k ≠0），试求函数f （x ）的解析式． （3）已知f(x)=axx+b ∈M ，试求实数a ，b 应满足的关系．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，∴A∩B＝{3，5}．故选：C．2．【解答】解：∵a＞b，∴a+c＞b+c，∴A正确．故选：A．3．【解答】解：根据题意，依次分析所给的四个函数：对于①y＝﹣x2+1，为二次函数，在（0，+∞）上是减函数；对于②y=√x，在（0，+∞）上是增函数；对于③y=−1x，为反比例函数，在（0，+∞）上是增函数；对于④y＝|x|，当x＞0时，y＝x，即其在（0，+∞）上是增函数；故选：A．4．【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）＝2，又由函数为奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，故选：B．5．【解答】解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，4），∴f（2）＝2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（x）在定义域先递减再递增，有最小值，故选：C．6．【解答】解：根据题意，a−2+4a=a+4a−2，又由a＞0，则a−2+4a=a+4a−2≥2√a×4a−2＝2，当且仅当a＝2时等号成立，即a−2+4a的最小值是2；故选：B．7．【解答】解：判断与y＝x（x≥0）是否有相同图象，即是判断哪个函数与y＝x（x≥0）表示同一个函数，A.y=√x2=|x|，解析式不同，不是同一个函数；B.y=x2x的定义域为{x|x≠0}，而y＝x（x≥0）的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数；C.y=√x23=x23，解析式不同，不是同一个函数；D.y=(√x)2=x的定义域为{x|x≥0}，定义域和解析式都相同，是同一个函数．故选：D．8．【解答】解：a，b是实数，如果a＝﹣1，b＝2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a＝﹣1，b＝﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．9．【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1 升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1 升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1 升，故行驶1 小时，路程为80km，燃油为8 升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确；故选：D．10．【解答】解：∵y＝x2和y＝x在（0，+∞）上都是增函数，要想函数f(x)={x2，x≥tx，0＜x＜t（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，只需在端点处y＝x2的图象在y＝x的上方即可，∴t2≥t解得t≥1，故选：D．11．【解答】解：若f（x）是“理想函数”，则满足以下两条：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则函数f （x ）是奇函数；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，即（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0，∴x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2），即函数f （x ）是单调递减函数． 故f （x ）为定义域上的单调递减的奇函数．①f （x ）＝x 2在定义域R 是偶函数，所以不是“理想函数”；②f （x ）＝﹣x 3在定义域R 上是奇函数，且在R 上单调递减，所以是“理想函数”； ③f （x ）＝x −1x在定义域所在区间（﹣∞，0），（0，+∞）上分别单调递增，所以不是“理想函数”；④f （x ）={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0，在定义域R 上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”． 故选：C ．12．【解答】解：集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }， 对于①，b ＝2n +1，n ∈Z ， 则恒有2n +1＝（n +1）2﹣n 2，∴2n +1∈M ，即P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，则P ⊆M ，①正确； 对于②，c ＝4n +2，n ∈Z ，若4n +2∈M ，则存在x ，y ∈Z 使得x 2﹣y 2＝4n +2， ∴4n +2＝（x +y ）（x ﹣y ）， 又x +y 和x ﹣y 同奇或同偶，若x +y 和x ﹣y 都是奇数，则（x +y ）（x ﹣y ）为奇数，而4n +2是偶数；若x +y 和x ﹣y 都是偶数，则（x +y ）（x ﹣y ）能被4整除，而4n +2不能被4整除， ∴4n +2∉M ，即c ∉M ，②正确； 对于③，a 1∈M ，a 2∈M ，可设a 1＝x 12﹣y 12，a 2＝x 22﹣y 22，x i 、y i ∈Z ； 则a 1a 2＝（x 12﹣y 12）（x 22﹣y 22）＝（x 1x 2）2+（y 1y 2）2﹣（x 1y 2）2﹣（x 2y 1）2＝（x1x2+y1y2）2﹣（x1y2+x2y1）2∈M那么a1a2∈M，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选：C．二、填空题13．【解答】解：当m≥0时，∵函数在x≥0时，f（x）＝1，∴f（m）＝1≠4，不合题意舍去；当m≤0时，∵函数x＜0时，f（x）＝﹣2x，∴f（m）＝﹣2m＝4，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】解：设函数f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0），由表中数据知1和4是方程f（x）＝0的两根，又f（2）＝﹣1＜0，故此二次函数是开口向上的抛物线，并且与X轴交于两点（1，0）和（4，0），∴不等式f（x）＜0的解集为1＜x＜4．故答案为：（1，4）．15．【解答】解：命题“∀x∈R，|x|+1≥1”是全称命题，其否定为特称命题，∴命题“∀x∈R，|x|+1≥1”的否定是“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．故答案为：“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．16．【解答】解：根据题意，因为函数y＝f（x）（x≠0）是奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，即f（1）＝0；当x∈（0，+∞）时，函数y＝f（x）单调递增，且f（1）＝0，则在区间（0，1）上，f （x）＜0，在区间（1，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣1，0）上，f（x）＞0，在区间（﹣∞，﹣1）上，f （x）＜0，综合可得：不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．17．【解答】解：因x 2﹣2x ﹣3＞0得x ＜﹣1或x ＞3，又“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知“x ＜a ”可以推出“x 2﹣2x ﹣3＞0”， 反之不成立． 则a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．18．【解答】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴不等式mx 2﹣2mx +1＞0的解集为R ， ①m ＝0时，1＞0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，{m ＞0△=4m 2−4m ＜0，解得0＜m ＜1，∴实数m 的取值范围是[0，1）． 故答案为：[0，1）．19．【解答】解：画出f （x ）的示意图如下：当y ＝kx 过（3，1）时，k =13，当y ＝kx 过（4，1）时，k =14， 所以k ∈（14，13），故答案为：（14，13）．20．【解答】解：不妨设x 1、x 2、x 3、x 4按从左到右顺序排列： 如下图：当y＝4或5时，有且仅有不相等的三个正数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则当y＝4时，x1＝2，x2＝4，x3＝6，此时x1+x2+x3＝12；当y＝5时，x1＝1，x2＝4，x3＝5，此时x1+x2+x3＝11．如图，，结合上问可知，当y∈（4，5）时，存在0＜x1＜x2＜x3＜x4，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），不妨令此时y＝a，则对于x1、x2满足方程x+4x=a，即x2﹣ax+4＝0，所以x1x2＝4；对于x3、x4满足方程﹣x2+10x﹣20＝a，即﹣x2+10x﹣20﹣a＝0，所以x3+x4＝10，则有x4＝10﹣x3，所以x 1x 2x 3x 4＝4x 3x 4＝4x 3（10﹣x 3）＝﹣4（x 3﹣5）2+100，其中x 3∈（4，5），则﹣4（x 3﹣5）2+100∈（96，100），故答案为：12或11；（96，100）．三、解答题21．【解答】解：（1）A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞1}，∴∁R B ＝{x |x ≤1}，（∁R B ）∪A ＝{x |x ≤3}；（2）C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，且C ⊆A ，∴{a ≥1a +1≤3，解得1≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围为[1，2]．22．【解答】解：（1）由题意得{f(0)=0f(12)=25， 由此可解得{a =1b =0， ∴f(x)=x 1+x 2． （2）证明：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，则有f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)， ∵﹣1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，1+x 12＞0，1+x 22＞0，1﹣x 1x 2＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，∴f （x ）在（﹣1，1）上是增函数．（3）f （t ﹣1）+f （t ）＜0，∴f （t ﹣1）＜﹣f （t ），即f （t ﹣1）＜f （﹣t ），∵f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，∴﹣1＜t ﹣1＜﹣t ＜1，解之得0＜t ＜12．23．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x ＜100时，f （x ）＝2x +1800x −90＞40， 即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g （x ）＝30•x %+40（1﹣x %）＝40−x 10； 当30＜x ＜100时， g （x ）＝（2x +1800x −90）•x %+40（1﹣x %）=x 250−1310x +58；∴g （x ）={40−x 10x 250−1310x +58； 当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减；当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．24．【解答】解：（1）对任意x ∈R ，f （f （x ））＝2（2x ﹣1）﹣1＝4x ﹣3≠x ，所以f （x ）不是集合M 中的元素；g 对任意x ≠0，（g （x ））=11x =x ，所以g （x ）是集合M 中的函数；（2）因为函数f （x ）∈M ，所以f （f （x ））＝k （kx +b ）+b ＝k 2x +（k +1）b ＝x ， 所以k 2＝1，（k +1）b ＝0，解得k ＝1，b ＝0，或k ＝﹣1，b 取任何实数，则f （x ）＝x 或f （x ）＝﹣x +b ；（3）因为f(x)=ax x+b ∈M ，所以f （f （x ））=a⋅ax x+b ax x+b +b =x ，即（a +b ）x 2﹣（a 2﹣b 2）x ＝0恒成立，故a +b ＝0．。
2023-2024学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．设命题p ：∃x ∈Z ，x 2≥2x +1，则p 的否定为（ ） A ．∀x ∉Z ，x 2＜2x +1 B ．∀x ∈Z ，x 2＜2x +1 C ．∃x ∉Z ，x 2＜2x +1D ．∃x ∈Z ，x 2＜2x +13．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．f （x ）＝3﹣x B ．f （x ）＝x 2﹣3x C ．f （x ）=−1x+1D ．f （x ）＝﹣|x |4．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则一定有（ ） A ．ac＞bdB ．a d＜bcC ．a c＜bdD ．a d＞bc5．定义在R 上的函数f （x ）在（﹣∞，2）上是单调增函数，且f （x +2）＝f （2﹣x ）对任意x ∈R 恒成立，则（ ）A ．f （﹣1）＜f （3）B ．f （﹣1）＝f （3）C ．f （0）＞f （3）D ．f （0）＝f （3）6．若函数f(x)={3−x 2−1≤x ≤2x −32＜x ≤5，则方程f （x ）＝1的解是（ ）A ．√2或2B ．√2或3C ．√2或4D ．±√2或47．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +m4=0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1+1x 2=4m ，则m 的值是（ ） A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在8．已知a ＞0，且关于x 的不等式x 2﹣2x +a ＜0的解集为（m ，n ），则1m+4n的最小值为（ ）A ．92B ．4C ．72D ．29．已知a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，不等式a 1x +b 1＜0与不等式a 2x +b 2＜0的解集分别为集合M 和集合N ，那么“a 1a 2=b 1b 2”是“M ＝N ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．既非充分又非必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件10．已知f （x ）＝x 2﹣2kx +3k 2﹣3k +1（k ∈R ）．以下四个命题： ①对任意实数x ，存在k ，使得f （x ）＞0； ②对任意k ，存在实数x ，使得f （x ）＞0； ③对任意实数k ，x ，均有f （x ）＞0成立； ④对任意实数k ，x ，均有f （x ）＜0成立． 其中所有正确的命题是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。