线性代数答案赵树嫄主编
线性代数习题习题一（A ）1，（6）2222222222212(1)4111(1)2111t tt tt t t t tt t --+++==+--++ （7）1log 0log 1b a ab =2，（3）－7（4）04，23410001k k k k k -=-=，0k =或者1k =．5，23140240,0210xx x x x x x=-≠≠≠且．8,（1）4 （2）7 （3）13（4） N( n(n-1)…21 )＝（n-1）+(n-2)+…+2+1=(1)2n n - 10, 列号为3k42l,故k 、l 可以选1或5；若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号；故k=1,l=5.12，（1）不等于零的项为132234411a a a a =（2）(234...1)11223341,1...(1)!(1)N n n n n n a a a a a n n --=-=-！ 13，（3）211234215352153421510006123061230002809229092280921000280921000c c r r --=（4）将各列加到第一列，17，（1）从第二行开始每行加上第一行，得到1111111111110222 (811)11002211110002-===-----. （2）433221,,r r r r r r ---…（3）各列之和相等，各行加到第一行… 18，（3）20，第一行加到各行得到上三角形行列式，21，各行之和相等，将各列加到第一列并且提出公因式(1)n x -110(1)101x x x x x x xn x x x x xxx -L L LL L L L L L L从第二行开始各行减去第一行得到 22，最后一列分别乘以121,,...n a a a ----再分别加到第1，2，…n-1列得到上三角形行列式23，按第一列展开24，将第二列加第一列，然后第三列加第二列，….第n 列加第n-1列，最后按第一行展开。
12(1)(1)...n n n a a a =-+.25，（1）21432222221123112312220100(1)(4)023*******319004r r r r x x x x x x ----=--=--垐垐?噲垐?（2）各行之和相等… （3）与22题类似…（4）当0,1,2,3,...2x n =-时，代入行列式都会使行列式有两行相同，所以它们都是方程的根。
28，4142434410401401402112(6)212(6)0301806001111111111A A A A --+++==--=--=-29,111213141111d c b bA A A A b b b b cda d+++=其中1，3两行对应成比例，所以为零.32，从第二行开始每一行乘以（－1）加到上一行然后按第一列展开 33，按第一列展开 34，原方程化为21211123122(2)(4)00212002x x x x x x xx ==--….35,12341111001111111111110011111111r r r r x x x x x y y y y y--+--−−−→←−−−+--2211001100111100000110011111100x x xyxyx y yy--===--＝0解得0x =或者0y =36，11111213(21)(11)(12)(31)(32)(31)48141918127-=++-+--=--（范德蒙行列式） 37，解 40，（3）D=63，D 1=63，D 2=126， D 3=189（6）D=20，D 1=60，D 2=-80， D 3=-－20，D 4=2042，∵2216912412458201822---=---23233330182205--=-=-=--∴原方程仅有零解。
43，令112211310211211kk k k --=---(2)(1)6k k =---2340k k =--=， 得 1k =-或4k =；故当1k =-或4k =时原齐次方程组有非零解。
44，原齐次方程组的系数行列式即当1k ≠且2k ≠-时原齐次方程组仅有零解。
习题二（A ）2，（1）13153828237913A B ⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦－（2）1413872325252165A B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦＋－－ （3）311140401335x B A -⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（4）由(2A —Y)+2(B —Y)=0得 3Y=2（A+B ）∴ 2()3Y A B =+55332020231133⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10102233440033222233⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3，因为232420274x u v A B C x y y v +-+⎡⎤+-==⎢⎥-++-+⎣⎦得方程组 2302724040x u x y v y v +-=⎧⎪-++⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩解得x ＝－5，y ＝－6，u ＝4，v ＝－2 5，（2）1041431⎡⎤⎢⎥⎣⎦－－－ （3）123246369⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦14 （7）1051176291516153202⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦－－－＝ 11，（1）设a c X b d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝，则25461321a c b d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2525463321a b c d a b c d ++-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，得到方程组 25432a b a b +=⎧⎨+=⎩解得20a b =⎧⎨=⎩，与25631c d c d +=⎧⎨+=⎩－解得238c d =⎧⎨=⎩－. 22308X ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－＝. （2）54245974X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－＝－－2－－ （3）设x X y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝，111221131116x y z -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 2236x y z x y z x y z +-=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩，解得132x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩于是132X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝. 13．设所有可交换的矩阵为a b X c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则11110101a b a b c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， a c b d a a b c d c c d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦解得0abc d a⎧⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩从而0a b X a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 16，（3）因为111111000000⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以11110000n⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. （4）因为21111111201010101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦用数学归纳法可以推得 1110101nn ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. （5）因为2111111221121111112211⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故可以推出 111111111...211111111nn -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 20，334()mA m A m m m -=-=-=- 21，122(2)2T T n T n n A A mA m A m +===.28，因为()()T T T T T T A A A A A A ==，所以T AA 为对称矩阵.因为()()T T T T T T AA A A AA ==，所以T AA 为对称矩阵.31, (1)，原矩阵为12111224123431324442112032A A A B A B A B B B A A A B A B A B B -⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，其中 1112021111A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]1224121010111101112A B A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+-=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦； [][]3100331A B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦；[][][][][][]3244103210220A B A B ⎡⎤+=+-=+-=-⎢⎥⎣⎦；（3），记原矩阵为00aII cI IbI dI ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则有 00010001a aca ac c bd c bd ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦． 33，312313234242A A A A A A A A --=---34，（2）因为0a bad bc c d =-≠，所以11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. （4）因为1A =-，故可逆.*143153164A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，1143153164A ---⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. （6）因为12...0n A a a a =≠,故可逆. 1211...(12...)ii i i n A a a a a a i n -+==,23*121 (00)n n a a a A a a a -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭O,111100n aA a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O . 40, (1)1254635462231321122108X -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. (211101131111135422243221043211145212511112531974122X -⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎣⎦) (3)11103311122111121133323611166211022X -⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 42, 由2AX I A X +=+得到2AX X A I -=-,()()()A I X A I A I -=-+,201140022X A I -⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 44, 两边同乘以121()()()(...)k k I A I A I A I A A A I A I ----=-++++=-=. 45, 由2240A A I --=得到()(3)A I A I I +-=,于是A I +可逆并且 1()3A I A I -+=-. 51, 因为12A -=, 1*1113112216(3)22()33327A A A A A A A ------=-=-=-=-. 52, 1113112()2()(2)(8)3122T T A B B A B A -----=-=-=-⋅⋅=-.53, (3),初等行变换得到(6),131310101300000121050100⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 54, (1)23421334101021100143011011010153001164001164r r r r r r r +-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦, 所以 1223143110153121164---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. (4), 135710001002013110012301000123010000120010001200100001000100010001--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1000131120010001210010001200010001--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 11357131120012301210012001200010001----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 55, (1),41544154200410026158200401540154⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 10254X A B -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦. (2), 111111111013025202520016101301220122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 10091009001601014010140016⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦,19146X A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 56,101301101301100522110110011211010432012014001223001223--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→----→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 1522(2)432223B A I A ---⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 57, (1) 1234123412450411110120000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,秩为2. (3)11210112101121011210224200000000003013061103041000400004003001030010300100000----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦秩为3.(4)秩为3.58, 初等行变换得到111111121010231001λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦,因为秩为2必有 10λ-=, 1λ=.59，111111110112001100123100001a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦当1,()2;a r A ==当1,()3a r A ≠=．60, 1121112112101423110464A a a b b --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦, 因为()2r A =,所以第二第三两行成比例从而得到464142b a --==-解得1a =-, 2b =-习题三（A ）1，用消元法解下列线性方程组 （1）123123123123233350433136x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨-+=⎪⎪+-=-⎩解2133131361313613136315031500834180153(,)4113411301353270135327131362133072915072915A b -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1313613136131360153015301530012120011001100660*******------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，回代， 131361231001015301530102001100110011000000000000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，方程组有唯一解：123121x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩ （2）1234123412342121255x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+-=⎩解：1211112111(,)12111000221215500064A b --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦1211100022000010-⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3；方程组无解．（3）123412341234101222x x x x x x x x x x x x ⎧⎪-+-=⎪--+=⎨⎪⎪--+=-⎩解： （A ，ｂ）＝11100210011200000⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，得到同解方程组1212343411221122x x x x x x x x ⎧⎧-==+⎪⎪⎪⎪→⎨⎨⎪⎪-==+⎪⎪⎩⎩ 设21x c =，42x c =，则得到一般解为（6）1245123412345123453020426340242470x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎪⎨-++-=⎪⎪+-+-=⎩解：A ＝7113111061501110110261100010001330000000000⎡⎤---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，得到同解的方程组 13523545706506103x x x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪-=⎪⎩， 13523545765613x x x x x x x x ⎧=-+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩令31x c =，52x c =，得到112212314252765613x c c x c c x c x c x c ⎧=-+⎪⎪⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎩2， 确定a,b 的值使下列线性方程组有解，并求其解（2）12312321231ax x x x ax x a x x ax a⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩解： 方程的系数行列式D=21111(1)(2)11a a a a a =-+当2a ≠-且a ≠１时，0D ≠,方程有唯一解,2121111(1)(1)1D aa a a a a==--+，2221111(1)1aD aa a a==-， 2232111(1)(1)11a D a a a a a ==-+，于是得1223121212a x a x a a a x a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩＋2+当1a =时,方程组为1231x x x ++=，1231x x x ＝－－＋，方程组有无穷多解，1122132+1x c c x c x c=--⎧⎪=⎨⎪=⎩； 当2a =时，方程组为123123123212224x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩，其增广矩阵为（A ， b ）＝211121111212121211240003--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，r(A)=2,r(A ，b)=3,方程组无 解．补充，1232312321(1)0(1)32ax bx x b x x ax bx b x b++=⎧⎪-+=⎨⎪++-=-⎩解：2121(,)0110011013200122ab a b A b b b a b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦①0,1a b ≠≠±当时有唯一解，此时，增广矩阵为5302201122001b a b b b b b b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦１＋ｂ－０＋－＋１＋500201122001b a b b b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦１＋ｂ－０＋－＋１＋，解为123521221b x a x b b x b -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(１＋ｂ)－＋－＋＋； ②当a ≠0,且b=1时,有无穷多解，1230c x a x c x -⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩１③当a =0,且b=1有无穷多解，12310x c x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩④a =0,且b=-1有无穷多解，123130x c x x =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩3, (1) 12343254(23,18,17)αααα+-+= (2) 123452(12,12,11)αααα+--=4，（1）(1,5,2,0)(3,5,7,9)(4,0,5,9)ξβα=--=---=-，（2）13511275)(3,5,7,9)(1,5,2,0)(7,5,,)22222ηαβ-=--=-=(36，（1）（a ）设112233k k k αααβ++=，得123(1,0,1)(1,1,1)(0,1,1)(3,5,6)k k k ++--=-化为方程组123110301151116k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴ 12311149βααα=-++（b ）对矩阵123TT TT αααβ⎡⎤⎣⎦进行初等行变换：1103100110115010141116019-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦可得 （2） 123425βεεεε=-++． 9，由题设得到112233*********αβαβαβ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴1112233*********αβαβαβ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝123110221102211022βββ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦即1121122αββ=+，2231122αββ=+，3131122αββ=+． 10，（1）矩阵为1021231235025025012102025000-⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，可知312522ααα=-- ；线性相关．（2）矩阵为1321321321120012013327002000114101300⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，线性无关． 11，由对应向量构成的矩阵的行列式等于 11220nn a a a ≠L ，线性无关．12，由对应向量构成的矩阵112233*********βαβαβα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∵ 2111130000--=，∴1β,2β3β 线性相关．13, 证明:令11212312312()()...(...)0s s k k k k ααααααααα++++++++++=, 整理得到1122(...)(...)...0s s s s k k k k k ααα+++++++++=.因为12,,...,s ααα线性无关, 所以有12...0...0. 0s ss k k k k k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪=⎩, 解得1200.........0s k k k =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩, 从而向量组11212,,...,...s αααααα++++线性无关.14，令212060111kk k k =--=-２，k=3,-2当≠≠k 3且k -2时，线性无关；当k=3或-2时，线性相关．16，（1）对矩阵1234TT T T A αααα⎡⎤=⎣⎦施以初等行变换，得到10021002010101010013001311100000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， ∴123,,ααα是极大线性无关组，412αα=－233αα+（2）对矩阵1234TT T T A αααα⎡⎤=⎣⎦施以初等行变换，得到123,,ααα是极大线性无关组, 41234αααα=+-17，对1234TT T T A αααα⎡⎤=⎣⎦施以初等行变换，得到（1）11511151115171123027401223181027400001397041480000--⎡⎤----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦310127012200000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，∴ 12,αα是极大线性无关组；并且3123722ααα=-，4122ααα=+（2）1114311143113210226221355011313156702262--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦10212011310000000000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦12,αα是极大线性无关组；并且3122ααα=-，4123ααα=+，5122ααα=-- 20，（1）对系数矩阵进行变换得12471247100021210510150120312400020001A ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦得方程组 112323440020200x x x x x x x x ==⎧⎧⎪⎪-=→=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 令31x =, 得12340210x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩．0210V ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即为基础解系． (2) 121111211121123054()32112044251220100Ab ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦－－－－－－－3－5－－－－4－5－－－1－ 17100281211115011000102800415001000002800000⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－－－－8－5－得方程组454551342172815281528x x x x x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=++⎨⎪-⎪=⎪⎩－－．令4510x x =⎧⎨=⎩得到123121212x x x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩－－：再令4501x x =⎧⎨=⎩得到123785858x x x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩-⎪于是基础解系为121212,781210015858ξξ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．(3) 1211112111211110533()17550966321105522Ab --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦－－－－3－5－6－1 101111000001111010000011100100002110011--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦得到方程组 12345000x x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩令51x =得41x =，得到基础解系为00011ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 23，对系数或增广矩阵进行变换得（1）21112047200152103001201012013601360012222500000000----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦得方程组 141424243434215021512012202x x x x x x x x x x x x -==⎧⎧⎪⎪-=→=⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩ ，令42x c =得到1234152442x cx c x c x c=⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩．基础解系为152442v c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，其中c 为任意常数．（2）111117110117321132000000012262301026235433112001000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦10015160000000102623001000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦得方程组145145245245335165162623262300x x x x x x x x x x x x x x --=-=+-⎧⎧⎪⎪++=→=--+⎨⎨⎪⎪==⎩⎩， 对应的齐次线性方程组为14524535260x x x x x x x =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩令4500x x =⎧⎨=⎩，得特解123451623000x x x x x =-⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩，再令4510x x =⎧⎨=⎩得1234512010x x x x x =⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩，4501x x =⎧⎨=⎩，得1234556001x x x x x =⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩,基础解系为1526,001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦原方程组的通解为1216152326000010001U c c -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中1c ，2c 为任意常数．(3)，21314151,,1354011354011322110032111113043121411130451212111101431r r r r r r r r Ab ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥←−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦－－－－－－2（）＝－2－－－5－－－－－7－－－－－－－2得到方程组1525345121120112x x x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪⎩－－＝－－，特解01010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝，基础解系12120121υ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－＝－， 于是全部解是120112()0011021c c R ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦－＋－． 24, 2113112112(,)112112011011211301133A b λλλλλλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦－－－－ 21121120110011000310031λλλλλλλλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦－－－－2－－（）－（－1）（＋2）（）讨论如下：（1） 当2λ＝－时，方程组无解； （2） 当21λλ≠≠－且－时有唯一解； （3） 当时有无穷多解：此时方程组为1232x x x =＋＋－．基础解系为111001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦－－，，特解为00⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－2，全部解为 121211010(,)001c c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦－2－－＋为任意实数． 25，将增广矩阵化为T 阵，得11223344551110001100001100011000011000110000110001111i i i a a a a a a a a a a ==-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑，可知 当且仅当51i i i a ==∑＝0时方程组有解；一般解为112345223453345445x a a a a x x a a a x x a a x x a x =++++⎧⎪=+++⎪⎨=++⎪⎪=+⎩即112342234334445x a a a a cx a a a c x a a c x a c x c=++++⎧⎪=+++⎪⎪=++⎨⎪=+⎪⎪=⎩（c 为任意实数） 习题四（A ）1，（1）由221(2)1012I A λλλλ---==--=--得到特征值为121,3λλ==．11λ=以代入，得方程组121210112x I A X x λ--⎡⎤-==⎢⎥--⎣⎦，12120x x x x -=⎧⎨-=⎩--， 231λ⎡⎤≠=⎢⎥⎣⎦22１ｃ(c 0)是对应于特征值的全部特征向量． （2）由5635631111121022I A λλλλλλλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦2593(2)111(2)(2)001λλλλλ--⎡⎤⎢⎥→-+-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝0，1,2,32,λ= 即12320x x x +-=，1λ=，２，３是对应于特征值２的全部特征向量．（3）11122122I A λλλλλλλλλλλ---==-+--+-－１－１－１－１－1－１－１－１－１11－１11－１110-0－１110-0231(2)(2)(2)11λλλλλ+=-=-+－1－3－１－１－１110000＝0特征值为1,2,342,2λλ==-．以1,2,32λ=代入得1100010001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11基础解系是，, 12311100(,,)010001c c c c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦２３11不全为零． 2λ=４以－代入，得1111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦基础解系，42λ=-对应于特征值的全部特征向量是11(0)11-⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦44c c ．(4), 201001010*******I A λλλλλλλ---=-=---22(1)(1)(1)(1)0λλλλ=--=-+=, 得到 1,231,1λλ==-,当1,21,λ=13x x =,得到基础解系011,001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,对应的全部特征向量为12011001c c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(12,c c 不全为零),当31λ=-时, 解方程组1320x x x =-⎧⎨=⎩得到基础解系101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 全部特征向量为3310(0)1c c -⎡⎤⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 3，由题设，0AX X λ=（1）0()()()kA X k AX k X λ==，即kA 的特征值为0k λ． （2）由A 可逆，00λ≠ 1A -的特征值为10λ-．（3）00() 1.I A X IX AX X X X X λλ+=+=+=+0(1)X λ=+ I A +的特征值为01λ+． 4，设0AX X λ=， 5, 以0λ=代入0220003030022002xx I A λλλλ---+-=-=-=---,得到2x =. 代入222203032222I A λλλλλλλ-----=-=-----22(3)(3)(4)022λλλλλλ--=-=--=--,解得1230,3,4λλλ===. 所以其他特征值为233,4λλ==.8，如果A 可逆，则1A -存在，并且11()()A AB A A A BA BA --== ∴ AB BA :．。
线性代数(赵树嫄)第4章矩阵的特征值资料
3
3
所以属于特征值1=1的 全部特征向量是 ：
k1 1(k1 0, k1 R)
3
对于2= 3=3时，解方程(3I－A)X=0，由
1 3 2 1 0 1 3I A 1 1 2 0 1 1
1 3 2 0 0 0
1
得基础解系：2 1
1
所以属于特征值2= 3=3
例5 设是方阵A的特征值，证明: (1) 2是A2的特征值，一般地， m是Am的特征值。 (2)对任意数k，k 是kI A的特征值。 (3)若A可逆，则一定不等于零，且 1是A1的特征
值，| A | 是A*的特征值.
证 明 ：(1) 是 方 阵A的 特 征 值 ， 非 零 向 量 , 使 得A ,
所 以 ，1是A1的 特 征 值 。
其次在A 两边同乘A*，A* A A*可得 A* | A |
4 1 1 0 0 0
0 1
得 基 础 解 系 ：2 1 ,3 0
1
4
所以k22 k33(k2 , k3不全为零)是对应于
特征值2 3 2的全部特征向量。
4 6 0
例
设矩阵
A
3
5
0 ,可作为A的特征向量的是
3 6 1
A (2, 2, 0)T B (1, 2,1)T C (2,1, 0)T D (0, 0, 2)T E (3, 0,1)T
二、特征值与特征向量的计算
设 i为方阵A的一个特征值，则由方程 (i I A)x 0
可求得非零解x i , 那么i就是A的对应于 特征值i的特征向量。 （若i为实数，则 i可取为实向量；若i为 复数，则 i为复向量.）
注 : 若i是A的对应于特征值i的特征向量, 则ki (k 0)也是A的特征向量.
赵树源线性代数线性代数第1讲
24
(2) 每一项的符号是, 当这一项中元素的 行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列 标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排 列则取负号. 如在上述二阶行列式中, 当 N(j1j2)为偶数时取正号, 为奇数时取负号; 在上述三阶行列式中, 当N(j1j2j3)为偶数 时取正号, 为奇数时取负号.
13
例如, 排列23154中, 2在1前面, 3在1前面, 5在4 前面, 共有3个逆序, 即
N(23154)=3, 所以23154为奇排列. 排列12…n的逆序数是零, 是偶排列. 例如, 由1,2,3这3个数码组成的3个数码组成的 3级排列共有3!=6种. 其排列情况可列成表.
14
表1-1
排列 123 132 213 231 312 321
22
(1) 二阶行列式表示所有不同的行不同的 列的两个元素乘积的代数和. 两个元素的 乘积可以表示为
a a 1 j1 2 j2 j1j2为2级排列, 当j1j2取遍了2级排列(12, 21) 时, 即得到二阶行列式的所有项(不包含符 号), 共为2!=2项.
23
三阶行列式表示所有位于不同的行不同 的列的3个元素乘积的代数和. 3个元素 的乘积可以表示为
6
画线法记忆
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
+ +
+
7
例1. 1 23 4 0 5 1 0 6 + 2 5 (1) + 3 4 0 1 0 6 1 5 0 2 4 6 3 0 (1) 10 48 58
人民大2024赵树嫄《线性代数(第六版)》PPT第四章 特征值问题和矩阵的对角化
1
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对 角化的问题。
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量
(一) 矩阵的特征值 定义 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 ， 以及一个非零 n 维列向量 ，使得
A
则称 为矩阵 A 的特征值，而 称为矩阵 A 的属于 特征值 的特征向量。
说明： 1、特征值问题是针对方阵而言的； 2、特征向量必须是非零向量； 3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。
的特征向量。
证 (2) A 0 A( A ) A(0 ) 0 ( A ) 0(0 ) ,
即 A2 20 ，
重复这个过程, 可得 A3 30 , , Am 0m .
27
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
26
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
2 1 1 解 | E A | 0 2 0
4 1 3
( 2)2( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2(二重根), 2 1 .
21
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
4 1 3
4
对
1
2 ，2 E
A
0
1 0
1 4 0 0
3
特征值与特征向量的计算方法：
线性代数B(赵树嫄)+期末复习
10、理解向量组的线性相关、线性无关的定义，会构造矩阵 判断向量组的线性相关、线性无关。 11、会构造矩阵，用初等行变换，求向量组的秩、极大无关组， 用极大无关组表示其他向量。 12、理解向量组的秩与线性无关的联系，并会用线性无关的 定义来证明向量组的线性无关性。 13、会用消元法解线性方程组（含字母系数），判断线性方程 组解的情况，并用基础解系表示线性方程组的一般解。
补3 设方阵A与B满足A－B=AB，证明A+I可逆, 且求出它的逆阵.
2 1 1 例 求矩阵A 0 2 0 的特征值和特征向量。 4 1 3
例5 设 是方阵A的特征值，证明 : (1) 2是A2的特征值，一般地， m 是Am的特征值。 (2)对任意数k，k 是kI A的特征值。 (3)若A可逆，则 一定不等于零，且 1是A1的特征 | A| 值， 是A*的特征值.
r ( 1 , 2 , , s ) s 向量组 1 , 2 , , s 线性相关 r ( 1 , 2 , , s ) s
1 , 2 , , t
线性, , s 可以由向量组
r ( 1 , 2 , , s ) r ( 1 , 2 , , t )
A
(6 )若 A 可 逆 ， 则 ( A B )* B * A * ， ( A k )* ( A * ) k . (其 实 这 两 式 对 任 意 矩 阵 都 成 立 ) (7 ) ( A 1 )* ( A * ) 1， ( A * )T ( A T )* (用 定 义 证 明 ).
1 A
T T
A;
2 A B T AT BT ; 3 A AT ;
T
4 AB BT AT .
线性代数3-3(第四版)赵树嫄
设1(1 2) 2(1/2 2) 有122 由此可得 1220 即1 2线性相关
《线性代数》 (第四版)教学课件
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(二)关于线性组合与线性相关的定理
定理37 向量组1 2 s(s2)线性相关的充分必要条件是 其 中至少有一个向量是其余s1个向量的线性组合 定理38 如果向量组1 2 s 线性相关 而1 2 s线性无 关 则向量可由向量组1 2 s线性表示且表示法唯一 举例 任何一个向量 (a1 a2 an) 都可由初始单位向量组 1(1 0 0) 2(0 1 0) n(0 0 1)唯一地线性表 示 即 a11a22 ann
《线性代数》 (第四版)教学课件
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例5 证明 如果向量组 线性无关 则向量组 亦线性无关 证 设有一组数k1 k2 k3使 k1()k2()k3()0 成立 整理得 (k1k3)(k1k2)(k2k3)0 因为向量组 线性无关 故
k k3 0 1 0 k1 k2 k2 k3 0 该方程组的系数行列式D20
提示
1 0 1 D 1 1 0 20 0 1 1
所以该方程组只有零解k1k2k30 从而 线性无关
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定理39 设有两个向量组 1 2 s (A) 及 1 2 t (B) 向量组(B)可由向量组(A)线性表示 如果st 则向量组(B)线性 相关
举例 定理又可以叙述为 如果向量组(B)可由向量组(A)线性表 示 且向量组(B)线性无关 则ts
《线性代数》 (第四版)教学课件
赵树源线性代数复习题四(B)题目和答案
1．三阶矩阵A 的特征值为－2，1，3，则下列矩阵中非奇异矩阵是[ ]。
()2A I A - ()2B I A + ()C I A - ()3D A I -【解】应选择答案()A 。
因为：由已知及特征值定义，A 的特征方程0I A λ-=的根为－2，1，3，应有2I A --=I A -=30I A -=，即有32(1)20I A I A +=---=，知2I A +为奇异矩阵；由0I A -=知I A -为奇异矩阵；33(1)30A I I A -=--=，知3A I -为奇异矩阵；而三阶矩阵只能有三个特征值，故2不可能是A 的特征值，从而20I A -≠，即2I A -为非奇异矩阵。
2．设02λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵211()3A -必有一个特征值为[ ]。
()43A ()34B ()34C - ()43D - 【解】应选择答案()B 。
因为：02λ=是矩阵A 的一个特征值，即有2A αα=，于是211()33A A A αα=1(2)3A α=23A α=2(2)3α=，亦即21433A αα=，对上式两端左乘211()3A -，得212211114()()()()3333A A A αα--=，亦即 2141()33I A αα-=，整理得2113()34A αα-=，这说明34是矩阵211()3A -的一个特征值。
3．设1λ，2λ都是n 阶矩阵A 的特征值，12λλ≠，且1α与2α分别是A 的对应于1λ与2λ的特征向量，则[ ]。
()10A c =且20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10B c ≠且20c ≠时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()120C c c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10D c ≠而20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量【解】应选择答案()D 。
因为：()A 当10c =且20c =时，1122c c ααα=+1200o αα=⨯+⨯=为零向量，不可成为任一n 阶矩阵A 的特征向量；()B 反设1122c c αα+是A 的特征向量，对应的特征值为λ，于是有 11221122()()A c c c c ααλαα+=+, 亦即为 111222()()c c o λλαλλα-+-=，由定理4.3，不同特征值对应的特征向量线性无关，由上式应有1122()()0c c λλλλ-=-=，而题设10c ≠且20c ≠，于是只能有120λλλλ-=-=，亦即为 12λλλ==，但这与题设12λλ≠相矛盾，从而10c ≠且20c ≠时，1122c c ααα=+不可能是A 的特征向量；()C 当120c c =时，有可能1c 与2c 同时为0，因为此时1122c c ααα=+为零向量，所以1122c c ααα=+“必”是A 的特征向量的说法是错误的；综上知，()D 正确。
3-2_向量与向量组的线性组合(赵树嫄)
例2 向量组 1 , 2 , n中的任一向量 j (1 j n)
都是此向量组 1 , 2 , n的线性组合 . j 0 1 0 2 1 j 0n
a1 a2 (a1 , a2 ,, an ) a n
T
定义2 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij )mn 有n个m维列向量 aj an a1 a 2 a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a a a mj mn m1 m 2 向量组
= (a1, a2, , an)
− = (− a1, − a2, , − an)
向量的运算
注1: 不同维数的零 向量是不相等的.
设 = ( a1, a2, , an), = ( b1, b2, , bn),
(1) 向量的相等 = ai = b i (2) 向量的加法 (i =1, 2, , n)
向量与的和:
+ = ( a1+ b1 , a2+ b2, , an +bn) − = ( a1 − b1 , a2 − b2, , an −bn)
(3) 数乘向量
数与向量 的乘积:
= (a1, a2, , an)
n维向量空间 定义2 所有n维实向量的集合记为Rn, 称Rn为实n 维向量空间,它是指在Rn中定义了加法及数乘这两 种运算,并且这两种运算满足以下8条规律： (1) + = + (5) (k+l) = k +l (2) +( + ) = ( + )+ (6) k( + ) = k +k (3) +0 = (7) (kl) =k (l) (4) +( ) = 0 (8) 1 =
赵树嫄-《线性代数(第五版)》第一章 行列式
(二) n 阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
(1) 三阶行列式共有 3! = 6 项． (2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． (3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个
a12a31b2 a11a22b3 a12a21b3 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
10
x3
b1a21a32 a11a22a33
a22a31b1 a11a32b2 a12a23a31 a13a21a32
a12a31b2 a11a22b3 a11a23a32 a12a21a33
(a12a31 a11a32 ) x2
(a13a31 a11a33 ) x3
a31b1 a11b3
(a22 )
(a22a31 a21a32 ) x2 (a23a31 a21a33 ) x3 a31b2 a21b3 a12
x3
b1a21a32 a22a31b1 a11a32b2 a11a22a33 a12a23a31 a13a a21 32
1 1 1
0 1 1
1 2 1
1 2 2
D2 2 1 3 10, D3 2 1 1 5,
1 0 1
1 1 0
故方程组的解为
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
赵树源线性代数习题三(B)题目和答案
1．如果线性方程组12323331 223(1)(3)(1)x x x x x x x λλλλλλ++=-⎧⎪-=-⎪⎨=-⎪⎪-=---⎩有惟一解，则λ=[ ]。
()A 1或2 ()B 1-或3 ()C 1或3 ()D 1-或3-【解】应选()C ，因为：线性方程组有惟一解，应有()()r A r A b n ==，由于11110212()00131(3)(1)Ab λλλλλλ-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥----⎣⎦ ()()4(1)3λ--−−−−−→1111021200132(3)(1)λλλλλ-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥---⎣⎦可见，当1λ=或3λ=时，有()()r A r A b n ==，线性方程组有惟一解。
2．如果线性方程组123232321 32 (3)(1)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=[ ]。
()A 3 ()B 2 ()C 1 ()D 0【解】应选()A ，因为：线性方程组有无穷多解，应有()()r A r A b n =<，由于1211()031201(3)(4)(2)A b λλλλλλ--⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦()()323λ-−−−−→12113122001(3)(5)33λλλλλ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦可见，当3λ=时，()()23r A r Ab n ==<=，线性方程组有无穷多解。
3．如果线性方程组1232332 4 22(1)(2)(3)(4)x x x x x x λλλλ+-=⎧⎪+=⎨⎪--=--⎩无解，则λ=[ ]。
()A 3或4 ()B 1或2 ()C 1或3 ()D 2或4【解】应选()B ，因为：线性方程组无解，应有()()r A r A b ≠，由于1214=01220(1)(2)(3)(4)A b λλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（）显见当1λ=或2λ=时，()2()3r A r Ab =≠=，线性方程组无解。
赵树源线性代数习题四(B)题目和答案
1．三阶矩阵A 的特征值为－2，1，3，则下列矩阵中非奇异矩阵是[ ]。
()2A I A - ()2B I A + ()C I A- ()3D A I - 【解】应选择答案()A 。
因为：由已知及特征值定义，A 的特征方程0I A λ-=的根为－2，1，3， 应有2I A --=I A -=30I A -=，即有32(1)20I A I A +=---=，知2I A +为奇异矩阵；由0I A -=知I A -为奇异矩阵；33(1)30A I I A -=--=，知3A I -为奇异矩阵；而三阶矩阵只能有三个特征值，故2不可能是A 的特征值，从而20I A -≠，即2I A -为非奇异矩阵。
2．设02λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵211()3A -必有一个特征值为[ ]。
()43A ()34B ()34C -()43D -【解】应选择答案()B 。
因为：02λ=是矩阵A 的一个特征值，即有2A αα=，于是211()33A A A αα=1(2)3A α=23A α=2(2)3α=，亦即21433A αα=，对上式两端左乘211()3A -，得212211114()()()()3333A A A αα--=，亦即 2141()33I A αα-=， 整理得2113()34A αα-=，这说明34是矩阵211()3A -的一个特征值。
3．设1λ，2λ都是n 阶矩阵A 的特征值，12λλ≠，且1α与2α分别是A 的对应于1λ与2λ的特征向量，则[ ]。
()10A c =且20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10B c ≠且20c ≠时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量()120C c c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量()10D c ≠而20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量【解】应选择答案()D 。
因为：()A 当10c =且20c =时，1122c c ααα=+1200o αα=⨯+⨯=为零向量，不可成为任一n 阶矩阵A 的特征向量；()B 反设1122c c αα+是A 的特征向量，对应的特征值为λ，于是有 11221122()()A c c c c ααλαα+=+, 亦即为 111222()()c c o λλαλλα-+-=，由定理4.3，不同特征值对应的特征向量线性无关，由上式应有1122()()0c c λλλλ-=-=，而题设10c ≠且20c ≠，于是只能有120λλλλ-=-=，亦即为 12λλλ==，但这与题设12λλ≠相矛盾，从而10c ≠且20c ≠时， 1122c c ααα=+不可能是A 的特征向量；()C 当120c c =时，有可能1c 与2c 同时为0，因为此时1122c c ααα=+为零向量，所以1122c c ααα=+“必”是A 的特征向量的说法是错误的；综上知，()D 正确。