线性代数答案赵树嫄主编
线性代数习题
习题一（A ）
1，（6）
2222
2
2222
2
2
12(1)4111(1)2111t t
t t
t t t t t
t t --+++==+--++ （7）
1log 0log 1
b a a
b =
2，（3）－7
（4）0
4，234
10001
k k k k k -=-=，0k =或者1k =．
5，23140240,0210x
x x x x x x
=-≠≠≠且．
8,（1）4 （2）7 （3）13
（4） N( n(n-1)…21 )＝（n-1）+(n-2)+…+2+1=(1)
2
n n - 10, 列号为3k42l,故k 、l 可以选1或5；若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号；故k=1,l=5.
12，（1）不等于零的项为132234411a a a a =
（2）(234...1)11223341,1...(1)!(1)N n n n n n a a a a a n n --=-=-！ 13，（3）
2112342153521534215100061230
61230002809229092280921000280921000
c c r r --=
（4）将各列加到第一列，
17，（1）从第二行开始每行加上第一行，得到
1
1
11
1111
11
1
10222 (811)
1
10022
1111
0002
-===-----. （2）433221,,r r r r r r ---…
（3）各列之和相等，各行加到第一行… 18，（3）
20，第一行加到各行得到上三角形行列式，
21，各行之和相等，将各列加到第一列并且提出公因式(1)n x -
11
0(1)101
x x x x x x x
n x x x x x
x
x -L L L
L L L L L L L
从第二行开始各行减去第一行得到 22，最后一列分别乘以121,,...n a a a ----再分别加到第1，2，…n-1列得到上三角形行列式
23，按第一列展开
24，将第二列加第一列，然后第三列加第二列，….第n 列加第n-1列，最后按第一行展开。
12(1)(1)...n n n a a a =-+.
25，（1）
21
43
22222
2
11
2311
231222
0100
(1)(4)023*******
3
190
04r r r r x x x x x x ----=--=--垐垐?噲垐?
（2）各行之和相等… （3）与22题类似…
（4）当0,1,2,3,...2x n =-时，代入行列式都会使行列式有两行相同，所以它们都是方程的根。
28，414243441040140140
2112(6)212(6)0301806001
1
1
1
1
1
1111
A A A A --+++=
=--=--=-
29,111213141111d c b b
A A A A b b b b c
d
a d
+++=
其中1，3两行对应成比例，所以为零.
32，从第二行开始每一行乘以（－1）加到上一行然后按第一列展开 33，按第一列展开 34，原方程化为
21211123122(2)(4)00212002x x x x x x x
x =
=--….
35,
12
34
11110
0111
1
1111
1111001
1
111
1
11r r r r x x x x x y y y y y
--+--???→←???+--
22110011001111
000
001100111
1
110
0x x xy
xy
x y y
y
--===--＝0
解得0x =或者0y =
36，
11111213
(21)(11)(12)(31)(32)(31)4814191
8
127
-=++-+--=--（范德蒙行列式） 37，解 40，（3）D=63，D 1=63，D 2=126， D 3=189
（6）D=20，D 1=60，D 2=-80， D 3=-－20，D 4=20
42，∵2
2
1
6
9
12412458201822---=---2323
33
3018220
5
--=-=-=--
∴原方程仅有零解。
43，令1
1
22
113102112
11
k
k k k --=
---(2)(1)6k k =---2340k k =--=， 得 1k =-或4k =；故当1k =-或4k =时原齐次方程组有非零解。 44，原齐次方程组的系数行列式
即当1k ≠且2k ≠-时原齐次方程组仅有零解。
习题二（A ）
2，（1）13153828237913A B ??
??-=??
????
－
（2）1413872325252165A B ??
??=??
????＋－－ （3）311140401335x B A -??
??=-=--??
??----??
（4）由(2A —Y)+2(B —Y)=0得 3Y=2（A+B ）
∴ 2()3
Y A B =+55332020231133??
??=??????
1010
22334
40033222
233
??
???
???=???
???????
3，因为23
2420274x u v A B C x y y v +-+??
+-==?
?-++-+??
得方程组 230
2724040
x u x y v y v +-=??-++?
?
+=??-+=?解得x ＝－5，y ＝－6，u ＝4，v ＝－2 5，（2）1041431??????
－
－－ （3）123246369??
????
????
14 （7）1051176291516153202??????????????????
????
－－－＝ 11，（1）设a c X b d ??????＝，则25461321a c b d -??????
=??????
??????
2525463321a b c d a b c d ++-????
=????++????，得到方程组 254
32
a b a b +=??
+=?解得20a b =??=?，
与25631c d c d +=??+=?－解得238c d =??=?－. 2230
8X ??
????－＝. （2）54245974X ??
????
????
－－＝－－2－－ （3）设x X y z ??????????＝，111221131116x y z -??????
??????-=??????????????????
， 2236x y z x y z x y z +-=??-++=??++=?
，解得132x y z =??=??=?于是132X ??????
????＝. 13．设所有可交换的矩阵为a b X c d ??=????则11110101a b a b c d c d ????????
=????????????????
， a c b d a a b c d c c d +++????=????+????解得0a
b
c d a
???
?=?
?=?从而0a b X a ??=????. 16，（3）因为111111000000??????
=??????
??????，所以11110000n
????=????????. （4）因为2
1111111201010101????????
==????????????????用数学归纳法可以推得 1110101n
n ????
=????
????
. （5）因为2
111111221121111112211??????????
===????????????????????故可以推出 111111111...211111111n
n -????????==????????
????????
. 20，334()mA m A m m m -=-=-=- 21，122(2)2T T n T n n A A mA m A m +===.
28，因为()()T T T T T T A A A A A A ==，所以T AA 为对称矩阵.
因为()()T T T T T T AA A A AA ==，所以T AA 为对称矩阵.
31, (1)，原矩阵为1
211
12241
23
431
3244421120
32A A A B A B A B B B A A A B A B A B B -??
+???????
?==-?
???????+????????-??
，其中 1112021111A B --??????
==????
??-??????
[]1224121010111101112A B A B -????????????
+=+-=+=????????????----????????????； [][]3100331A B ??
==????
；
[][][][][][]3244103210220A B A B ??
+=+-=+-=-????；
（3），记原矩阵为00aI
I cI I
bI dI ????
?
???????
，则有 0
001000
1
a ac
a ac c bd c bd ??
????=??
+??+??
． 33，312313234242A A A A A A A A --=---
34，（2）因为0a b
ad bc c d =-≠，所以1
1a b d b c d c a ad bc --????
=????--????
. （4）因为1A =-，故可逆.*143153164A -????=-????--??，1143153164A ---??
??=--??
??-??
. （6）因为12...0n A a a a =≠,故可逆. 1211...(12...)ii i i n A a a a a a i n -+==,
23*121 (00)
n n a a a A a a a -??
?= ?
?
??O
,11
1100
n a
A a -??
????=??????????
O . 40, (1)1
254635462231321122108X -----??????????
===??????????
-??????????
. (21
1
10
113111113542224322104321114521251111253197412
2X -????---????
????
??????
????==--=--????????????????????---????
????
--????) (3)1
1
10331112211
112113332361116621
10
2
2X -?
?
-
??-?????????
?
????????
?
?=-==??????????????????????????????-????
. 42, 由2AX I A X +=+得到2AX X A I -=-,()()()A I X A I A I -=-+,
201140022X A I -??
??=+=??
????
. 44, 两边同乘以121()()()(...)k k I A I A I A I A A A I A I ----=-++++=-=. 45, 由2240A A I --=得到()(3)A I A I I +-=,于是A I +可逆并且 1()3A I A I -+=-. 51, 因为12A -=, 1*1113112216
(3)22()33327
A A A A A A A ------=
-=-=-=-. 52, 111311
2()2()(2)(8)3122
T T A B B A B A -----=-=-=-??=-.
53, (3),初等行变换得到
(6),131310101300000121050100????????
????????--→→→????????
????????-????????
. 54, (1)
2342133
4101021100143011011010153001164001164r r r r r r r +-+---????
???????→???→--????????----????, 所以 1
223143110153121164---????
????-=--????
????--????
. (4), 135710001
0020131100123010001230100001200100
01200100
001000100010001--????
?????
??
?→????
???
?
????
100013112001000121001000120
0010001--????-??→??
-??
??
, 1
1357131120012301210012001200010001----????
????-????=????-????
????
. 55, (1),41544154200410026158200401540154????????
→→→????????
--????????, 10254X A B -??
==??-??
. (2), 111111111013025202520016101301220122--??????
??????-→-→-??????
??????--?????? 10091009001601014010140016????
????→-→-????
????--????
,
19146X A B -??
??==-????-??
. 56,
101301101301100522110110011211010432012014001223001223--??????
??????-→----→--????????????--??????
, 1522(2)432223B A I A ---??
??=-=--??
??-??
. 57, (1) 1234123412450411110120000????
????-→-????
????????
,秩为2. (3)
11
21011
21011
21011
210224
2
0000
0000
0030
13061103
04100
04000
04003
001030010300100000----????????????????-?
??
??
??
?→→→????????
----?
??
??
??
?
????????
秩为3.
(4)秩为3.
58, 初等行变换得到11
1111121010231001λλ????????→????
????+-????
,因为秩为2必有 10λ-=, 1λ=.
59，1
11111110112001100123100001a a a ????????????→→-??????
??????+-??????
当1,()2;a r A ==当1,()3a r A ≠=．
60, 112111
2112101423110464A a a b b --????????=-→-????
????---????
, 因为()2r A =,所以第二第三两行成比例从而得到
464142
b a --==-解得1a =-, 2b =-
习题三（A ）
1，
用消元法解下列线性方程组 （1）123123
123123233350433136
x x x x x x x x x x x x -+=??+-=??-+=??+-=-?
解
213
3131361313613136315031500834
180153(,)4113411301353270135327131362133072915072915A b -------????????
????????----?
???????=→→→????????----????????-----????????
1313
61
31361
31360
153015301530012120
0110
0110
0660*******------??????
??????------?
??
??
?→→→??????
--???
??
?
--??????
，回代， 131361
2
31
00101530153010200110
0110
0110
0000
0000000--????????????----???
??
?→→??????
???
??
?
??????
，方程组有唯一解：123
121x x x =??
=??=? （2）123412341
2342121255
x x x x x x x x x x x x -++=??
-+-=-??-+-=?
解：1211112111(,)12111000221215500064A b --????????=---→--????????---????1211100022000010-??
??→--??????
，
系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3；方程组无解．
（3）123412341234101222x x x x x x x x x x x x ?
?-+-=?
--+=???--+=-?
解： （A ，ｂ）＝
11100210011200000?
?
-???
???→-?
?????????
，得到同解方程组12123434
11221122
x x x x x x x x ??
-==+????→????-==+???? 设21x c =，42x c =，则得到一般解为
（6）12451234
123451234530
20426340242470
x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=??-+-=??-++-=??+-+-=?
解：A ＝
711
3
11
1
061501110110261100010001330
00000
0000?
?---????
??
????---?
?
--
????→→???
?-???
?
-
???
?
????????，得到同解的方程组 13523545706506103x x x x x x x x ?+-=???--=???-=??， 1
352354576
5613x x x x x x x x ?
=-+??
?
=+???=??
令31x c =，52x c =，
得到1
122123142
5276
5613x c c x c c x c x c x c ?
=-+??
?=+??
=???=?
?=??
2， 确定a,b 的值使下列线性方程组有解，并求其解
（2）12312321231ax x x x ax x a x x ax a
?++=?
++=??++=?
解： 方程的系数行列式D=211
11(1)(2)11a a a a a =-+
当2a ≠-且a ≠１时，0D ≠,方程有唯一解,
212
1111(1)(1)1D a
a a a a a
==--+，222
11
1
1(1)1a
D a
a a a
==-， 2232
111(1)(1)11a D a a a a a ==-+，于是得1
223121212a x a x a a a x a +?=-?+?
?
=?+??=
?+?
＋2+
当1a =时,方程组为1231x x x ++=，1231x x x ＝－－＋，方程组有无穷多解，
11221
3
2+1
x c c x c x c
=--??
=??=?； 当2a =时，方程组为12312312
321
2224
x x x x x x x x x -++=??
-+=-??+-=?，其增广矩阵为
（A ， b ）＝211121111212121211240003--????
????--→--????????-????
，r(A)=2,r(A ，b)=3,方程组无 解．
补充，123231
2321(1)0(1)32ax bx x b x x ax bx b x b
++=??
-+=??++-=-?
解：2121(,)0110011013200122a
b a b A b b b a b b b b b ????????=-→-????
????-----????
①0,1a b ≠≠±当时有唯一解，此时，增广矩阵为
5302201122001b a b b b b b b -??????
??→-????
??????１＋ｂ－０＋－＋１＋500201122001b a b b b -????
????→??????????１＋ｂ－０＋－＋１＋，解为12
3
521221b x a x b b x b -?=???=???=??
(１＋ｂ)－＋－＋＋； ②当a ≠0,且b=1时,有无穷多解，1
230c x a x c x -?
=??
=??=??
１
③当a =0,且b=1有无穷多解，123
10x c x x =??
=??=?
④a =0,且b=-1有无穷多解，123130
x c x x =???
=-??
=??
3, (1) 12343254(23,18,17)αααα+-+= (2) 123452(12,12,11)αααα+--=
4，（1）(1,5,2,0)(3,5,7,9)(4,0,5,9)ξβα=--=---=-，
（2）1351127
5)(3,5,7,9)(1,5,2,0)(7,5,,)22222ηαβ-=--=-=(3
6，（1）（a ）设112233k k k αααβ++=，
得123(1,0,1)(1,1,1)(0,1,1)(3,5,6)k k k ++--=-
化为方程组123110301151116k k k ??????
??????-=??????
??????--??????
， ∴ 12311149βααα=-++
（b ）对矩阵123T
T T
T αααβ???
?进行初等行变换：
11031
00110115010141
1
1
60
1
9-????
????-→???
?????--????
可得 （2） 123425βεεεε=-++． 9，由题设得到
112233*********αβαβαβ-??????
??????-=??????
??????-??????
，∴1
112233*********αβαβαβ--????????????=-????????????-??????＝1231
1
022110
22110
22βββ????
??????
??????????????????
即1121122αββ=
+，2231122αββ=+，31311
22
αββ=+． 10，（1）矩阵为1021231235025025012102025000-??
--????????????-→-→-?????
?????--??????
??
，可知
312522
ααα=-- ；线性相关．
（2）矩阵为1
321
321
321
12001201332700200
011
4
10
1
30
0????????????---?
????
?→→??????-??????--??????
，线性无关． 11，由对应向量构成的矩阵的行列式等于 11220nn a a a ≠L ，线性无关．
12，由对应向量构成的矩阵112233*********βαβαβα-????????????=????????????-??????
， ∵ 211
1130000
--=，∴1β,2β3β 线性相关．
13, 证明:令11212312312()()...(...)0s s k k k k ααααααααα++++++++++=, 整理得到1122(...)(...)...0s s s s k k k k k ααα+++++++++=.
因为12,,...,s ααα线性无关, 所以有
12...0...0. 0
s s
s k k k k k +++=??+++=??
??=?, 解得1200.........0s k k k =??=????=?, 从而向量组11212,,...,...s αααααα++++线性无关.
14，令2
1
2060111
k
k k k =--=-２，k=3,-2
当≠≠k 3且k -2时，线性无关；当k=3或-2时，线性相关．
16，（1）对矩阵1234T
T T T A αααα??=?
?施以初等行变换，得到
1002100
20101010100130013111000
00????
????--????→????
????--????， ∴123,,ααα是极大线性无关组，412αα=－233αα+
（2）对矩阵1
234T
T T T A αααα??=??施以初等行变换，得到
123,,ααα是极大线性无关组, 41234αααα=+-
17，对1234T
T T T A αααα??=?
?施以初等行变换，得到
（1）115
1115111517112302740122
3181027400
001397041480000--??
----?????
??????
?---????→→??????--?
???????--????????
310
12
70122
00000
000?
?
??????-→??????????
，∴ 12,αα是极大线性无关组；并且
3123722
ααα=-，4122ααα=+
（2）111
4
3111431132102262213550113131
56702262--????????-----?
???→????
---?
???---????102
120113100000000
00-??
??--?
?→??
?
???
12,αα是极大线性无关组；并且3122ααα=-，4123ααα=+，5122ααα=-- 20，（1）对系数矩阵进行变换得
12471247100021210510150120312400020001A ----??????
??????=-→-→-??????
??????--??????
得方程组 11232344
0020200x x x x x x x x ==????-=→=????==?? 令31x =, 得12
34
021
0x x x x =??=??
=??=?．0210V ??????=??????即为基础解系． (2) 121111211121123054()32112044251220100Ab ????
????
?
???=→????????????
－－－－－－－3－5－－－－4－5－－－1－ 171
00
28
1
2111150
110001028004150
010
00002800000?
?
?????
?
????
?
??
?→→???
?
???
?
????
???
?－－－－
－8－5－
得方程组
45455
1342172815281528x x x x x x x x x ?=???
=++??
-?
=??
－－．令4510x x =??=?得到1
2312
1212x x x ?=??
?=???=??－－：
再令4501x x =??=?得到123
785858x x x ?=???
=??
?
=?-?于是基础解系为121212,781210015858ξξ????
-????????????-????==????????-????????????
???????
?．
(3) 121
1112111211110533()17550966321105522Ab --????????
--?
???=→????--????----????－－－－3－5－6－1 10111100
000111101
00000111001000021100
11--????????--?
???→→????
-????---????
得到方程组 12
3
45000x x x x x =??=??=??=?令51x =得41x =，得到基础解系为00011ξ??
??????=????????
． 23，对系数或增广矩阵进行变换得
（1）21112
0472
001521030
01201012013601360
01222250
0000
000----????????????-----?
????
?→→??????
--?????
?
--??????
得方程组 14142424343
4215021512012202x x x x x x x x x x x x -==????-=→=????+==-?? ，令42x c =得到123
4152442x c
x c x c x c
=??=??=-??=?．
基础解系为152442v c ??
??
??=??-????，其中c 为任意常数．
（2）1111171
1011732
1
13200000001226230
1026235
4331120
01000????????--?
??
?→????
???
?
--????
10015160
000000102623001000---?????
?→??
??
??
得方程组
145145245245335165162623262300x x x x x x x x x x x x x x --=-=+-????
++=→=--+????==??， 对应的齐次线性方程组为145
2453
5260x x x x x x x =+??
=--??=?
令4500x x =??=?，得特解12345162300
0x x x x x =-??=??
=??=??=?，
再令4510x x =??=?得12
3451201
0x x x x x =??=-??
=??=??=?，
4501x x =??=?，得1234
55600
1
x x x x x =??=-??
=??=??=?,基础解系为1526,001001????????--????????????????????????
原方程组的通解为1216152326000010001U c c -??????
??????--??????
??????=++????????????????????????
，其中1c ，2c 为任意常数．
(3)，2131
4151
,,13
5
40113
54011322110032111113043121411130451212
1
11101
431r r r r r r r r Ab ----????
?????
??
?????←?????
??
?
????????????
－－－－－－2（）＝－2
－－－5－－－－－7
－－－－－－－2
得到方程组
1525
34512
1120112x x x x x x x ?=???=-???=?
???
－－＝－－，特解01010ξ????-??????-??????＝，基础解系12120121υ??
??????
-????????????????－＝－， 于是全部解是120112()0011021c c R ??
??
????
????
--????
??∈??????
-??????????
?????
?－＋－． 24, 2
1131121
12(,)112112011011211301133A b λλλλλλλλλλλλλλ---??????
??????=-→-→?????
???????---??????
－－－－ 2
1
121120110011000310031λλλλλλλλλλλλ--????????→→????
????--????
－－－－2－－（）－（－1）（＋2）（）
讨论如下：
（1） 当2λ＝－时，方程组无解； （2） 当21λλ≠≠－且－时有唯一解； （3） 当时有无穷多解：此时方程组为
1232x x x =＋＋－．基础解系为
111001????????????????????－－，，特解为00??????????－2，全部解为 121211010(,)001c c c c ??????
??????+??????????????????
－2－－＋为任意实数． 25，将增广矩阵化为T 阵，得
1
12233445511100011000011000110000110001100001100
0111
1
i i i a a a a a a a a a a ==-??-???
?-????-????
-??-→?
?-??
?
?-??????-?????
?
∑，可知 当且仅当51
i i i a ==∑＝0时方程组有解；一般解为
11234522345
3
345445
x a a a a x x a a a x x a a x x a x =++++??=+++??
=++??=+?即11234223433444
5x a a a a c
x a a a c x a a c x a c x c
=++++??
=+++??=++??=+??=?（c 为任意实数） 习题四（A ）
1，（1）由22
1
(2)101
2
I A λλλλ---=
=--=--得到特征值为121,3λλ==．
11λ=以代入，得方程组1212101
12x I A X x λ--??-=
=??--??，12120
x x x x -=??-=?--， 23
1λ??
≠=????
22１ｃ(c 0)是对应于特征值的全部特征向量． （2）由56
35631111121022I A λλλλλλλλ----????????-=-→-????
????-----????
259
3(2)111(2)(2)001λλλλλ--????→-+-=--??
????
＝0，1,2,32,λ= 即12320x x x +-=，
1λ=，２，３是对应于特征值２的全部特征向量．
（3）11122122
I A λλλλλλλλλλλ---==-+--+-－１－１－１－１－1－１－１－１－１11－１11
－１110-0－１110-0
线性代数第四版答案
第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1); 解 =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2); 解 =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3. (3); 解 =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a).
(4). 解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为: 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个)
(6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2.解逆序数为n(n-1) :
3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ?????? (2n)2, (2n)4, (2n)6,???, (2n)(2n-2)(n-1个) 3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解含因子a11a23的项的一般形式为 (-1)t a11a23a3r a4s, 其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是 (-1)t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44, (-1)t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4.计算下列各行列式: (1); 解
同济大学线性代数第六版答案(全)
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
线性代数课后习题答案全)习题详解
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数课后习题1答案(谭琼华版)
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解： ； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??=
2.求下列排列的逆序数： （1）34215； 解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312； 解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21； 解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□， 即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ； 解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3.
线性代数第四版同济大学课后习题答案04
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
线性代数答案人大出版社第四版赵树嫄主编修订版
线性代数答案人大出版社第四版赵树嫄主编修 订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
线性代数习题 习题一（A ） 1，（6） 2222 2 2222 2 2 12(1)4111(1)2111t t t t t t t t t t t --+++==+--++ （7） 1log 0log 1 b a a b = 2，（3）－7 （4）0 4，234 10001 k k k k k -=-=，0k =或者1k =． 5，23140240,0210x x x x x x x =-≠≠≠且． 8,（1）4 （2）7 （3）13 （4） N( n(n-1)…21 )＝（n-1）+(n-2)+…+2+1= (1) 2 n n - 10, 列号为3k42l,故k 、l 可以选1或5；若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号；故k=1,l=5. 12，（1）不等于零的项为132234411a a a a =
（2）(234...1)11223341,1...(1)!(1)N n n n n n a a a a a n n --=-=-！ 13，（3） 2112342153521534215100061230 61230002809229092280921000280921000 c c r r --= （4）将各列加到第一列， 17，（1）从第二行开始每行加上第一行，得到 1 1 11 1111 111 10222 (8111) 10022 1111 0002 -===-----. （2）433221,,r r r r r r ---… （3）各列之和相等，各行加到第一行… 18，（3） 20，第一行加到各行得到上三角形行列式， 21，各行之和相等，将各列加到第一列并且提出公因式(1)n x - 11 0(1)1010 x x x x x x x n x x x x x x x -从第二行开始各行减去第一行得到 22，最后一列分别乘以121,,...n a a a ----再分别加到第1，2，…n-1列得到上三角形行列式 23，按第一列展开
线性代数答案(人大出版社,第四版)赵树嫄主编
线性代数习题 习题一（A ） 1，（6） 2222 2 2222 2 2 12(1)4111(1)2111t t t t t t t t t t t --+++==+--++ （7） 1log 0log 1 b a a b = 2，（3）－7 （4）0 4，234 10001k k k k k -=-=，0k =或者1k =． 5，23140240,0210x x x x x x x =-≠≠≠且． 8,（1）4 （2）7 （3）13 （4） N( n(n-1)…21 )＝（n-1）+(n-2)+…+2+1=(1) 2 n n - 10, 列号为3k42l,故k 、l 可以选1或5；若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号；故k=1,l=5. 12，（1）不等于零的项为132234411a a a a = （2）(234...1)11223341,1...(1)!(1)N n n n n n a a a a a n n --=-=-！ 13，（3） 2112342153521534215100061230 61230002809229092280921000280921000 c c r r --= （4）将各列加到第一列， 2() 2()2()x y y x y D x y x y x x y x y ++=+++1 2()1 1y x y x y x y x y x +=+---
12()0 0y x y x y x y x y x +=+---332()x y =-+ 17，（1）从第二行开始每行加上第一行，得到 1 11111111 1 110222 (811) 1 100221111 0002 -= ==-----. （2）433221,,r r r r r r ---… 43 1111111112340123 (113) 6 10013 614102001410 r r -== （3）各列之和相等，各行加到第一行… 18，（3） 21 34312441 224011201 1201120 42413541350 3550 164 232 2 312331230 483001052205120510 2110211r r r r r r r r r r --------+-----=+---------+ 4334433424 241 120112********* 1640 1640 164 1010 10 002100210002720 21100 1370 0114 r r r r r r r r r r r r ------+--------------- 3411200164 10 01140 0027 r r ----?--270=- 20，第一行加到各行得到上三角形行列式， 1230 262!0 032000n n n n n =L L L L L L L L L 21，各行之和相等，将各列加到第一列并且提出公因式(1)n x -
线性代数习题与答案(复旦版)1
线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+… +1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512 3 12123 122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314) 4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.
线性代数答案赵树嫄主编
线性代数习题 习题一（A ） 1，（6） 2222 2 2222 2 2 12(1)4111(1)2111t t t t t t t t t t t --+++==+--++ （7） 1log 0log 1 b a a b = 2，（3）－7 （4）0 4，234 10001k k k k k -=-=，0k =或者1k =． 5，23140240,0210x x x x x x x =-≠≠≠且． 8,（1）4 （2）7 （3）13 （4） N( n(n-1)…21 )＝（n-1）+(n-2)+…+2+1=(1) 2 n n - 10, 列号为3k42l,故k 、l 可以选1或5；若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号；故k=1,l=5. 12，（1）不等于零的项为132234411a a a a = （2）(234...1)11223341,1...(1)!(1)N n n n n n a a a a a n n --=-=-！ 13，（3） 2112342153521534215100061230 61230002809229092280921000280921000 c c r r --= （4）将各列加到第一列， 2() 2()2()x y y x y D x y x y x x y x y ++=+++1 2()1 1y x y x y x y x y x +=+---
12()0 0y x y x y x y x y x +=+---332()x y =-+ 17，（1）从第二行开始每行加上第一行，得到 1 1 11 1111 11110222 (811) 1 10022 1111 0002 -===-----. （2）433221,,r r r r r r ---… 431111 111 112340123 (113) 6 10013 6 14102001410 r r -== （3）各列之和相等，各行加到第一行… 18，（3） 21 34312441 224011201 1201120 42413541350 3550 164 232 2 312331230 483001052205120510 2110211r r r r r r r r r r --------+-----=+---------+ 4334433424 241 120112********* 1640 1640 164 1010 10 002100210002720 21100 1370 0114 r r r r r r r r r r r r ------+--------------- 3411200164 10 01140 0027 r r ----?--270=- 20，第一行加到各行得到上三角形行列式， 1230 262!0 032000n n n n n =L L L L L L L L L 21，各行之和相等，将各列加到第一列并且提出公因式(1)n x -
《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
线性代数课后题答案第五版
第一章 行列式 1. 1. 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. 2. 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. 3. 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ) 4. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ?????? (2n)2, (2n)4, (2n)6,???, (2n)(2n-2) (n-1个) 3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解含因子a11a23的项的一般形式为 (-1)t a11a23a3r a4s, 其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42. 所以含因子a11a23的项分别是 (-1)t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44, (-1)t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.
线性代数习题及答案
高数选讲线性代数部分作业 1．已知n阶方阵满足A2+2A-3I＝O，则(A+4I)-1为 . 2．设n阶方阵满足 的代数余子式，则为（）。 3．已知n阶方阵 ，则A中所有元素的代数余子式之和为（）。 4．设有通解k[1,-2,1,3]T+[2,1,1,4]T,其中k是任意常数，则方程组必有一个特解是（） 5．设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组＝0与＝0有相同的基础解系，则在下列方程组中以为基础解系的是（） (A) (B) (C) (D) 6．设A、B为四阶方阵，( ) （A）1．（B）2. （C）3. （D）4 7．设n阶矩阵A与B等价，则（）成立。 (A)detA=detB (B) detAdetB (C)若detA0，则必有detB0(D) detA=－detB 8．设是四维非零向量组，是的伴随矩阵，已知方程组 的基础解系为k（1，0，2，0）T,则方程组的基础解系为（） (A) (B) (C) (D) 9．设A是矩阵，则下列命题正确的是：（） （A）若R(A)＝m，则齐次方程组Ax＝0只有零解。 （B）若R(A)＝n，则齐次方程组Ax＝0只有零解。 （C）若m 11．四元非齐次线性方程组的通解为 x＝（1，－1，0，1）T＋k（2，－1，1，0）T,k为任意常数，记 则以下命题错误的是 （A） (B) (C) (D) 12．知线性方程有无穷多解，求的取值并求通解。 13．设A是阶方阵，是A的两个不同的特征值，是A的对应于的线性无关特征向量，是A的对应于的线性无关特征向量，证明线性无关。14．已知矩阵的秩为1，且是的一个特征向量，（1）求参数; （2）求可逆矩阵和对角矩阵，使得 15．设5阶实对称矩阵满足，其中是5阶单位矩阵，已知的秩为2，（1）求行列式的值；（2）判断是否为正定矩阵？证明你的结论。 （2）的特征值全为正数，所以是正定矩阵。 16．． 17． 18． 第一章行列式 §行列式的概念 1.填空 ⑴排列6427531的逆序数为____________ ，该排列为_______ 排列。 (2)i = _____ , j = _______ 时，排列1274 i56 j 9为偶排列。 (3)n阶行列式由____ 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列 的_n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么 列标构成一个n元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为___________ 号；若为 偶排列，该项的符号为_______ 号。 (4)在6阶仃列式中，含3i5a23a32a44a5i a66的项的符号为___________________________ ，含 832843814851866825 的项的符号为 _________ 。 2.用行列式的定义计算下列行列式的值 8110 0 (1) 0 822 823 0 832 833 解：该行列式的3!项展开式中，有 _________ 项不为零，它们分别为____________________ _________________________________ ,所以行列式的值为__________________________ 。 0 0 0 III III 82,2 旦n 82n ⑵++ + F r p b h ■ 0 8n斗2 III8n 4,n J 8n 4n 8n1 8n2 III8n,n 4 8nn 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ___________________ ,而它的逆序数是_________ ,故行列式值为 ______________________ 。 习题1.3 1. 设11 1213 21 22233132330a a a D a a a a a a a ==≠, 据此计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 31 3233 21 2223111231a a a a a a a a a ; (2) 11 1312 1221232222313332 32 235235235a a a a a a a a a a a a ---. 分析 利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系. 解 (1) 31 323321 222311 12 31 a a a a a a a a a 13 R 111213 21 222331 3233 a a a a a a a a a -=a -. (4) 方法一 11 13121221 23222231 333232 235235235a a a a a a a a a a a a ---23 5C C +111312212322313332 232323a a a a a a a a a 提取公因子 11 13122123223133 32 6a a a a a a a a a 23 C 111213 21 222331 32 33 6a a a a a a a a a -=6a -. 方法二 注意到该行列式的第二列均为2个数的和, 可用行列式的性质5将该行列式分成2个行求和, 结果与方法一相同. 2. 用行列式性质计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 19981999 20002001 20022003200420052006; (2) 1 11 a b c b c a c a b +++; (3) 11121321 22233132 33 x y x y x y x y x y x y x y x y x y ; (4) 10 010220 033040 04 --; (5) 111112341410204004; (6) 111011 01101101 11 ; (7) 2 11 4 1 120110299 ---; (8) 222222a b c a a b b c a b c c c a b ------. 分析 第(1)至第(4)小题可利用行列式性质求解; 第(5)至第(9)小题是采用归结化简为上 (下)三角行列式求解. 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3 )()()3()3(3)()()3()3(212121212 2112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3() 3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(212121212 2112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 ) 3(33)(3)3() 3)(3()3)(3(3 322 22 212122 2 2 2121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+ --= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)( p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()( 2 2 2 ++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 线性代数习题 说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||：. ||表示向量:.的长度，:.T表示向量：.的转置, 单位矩阵，A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列岀的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 a11a12 a133耳13a123a13 1.设行列式 a21a22 a23=2,则_a31_a32_a33=( ) a31932a33a21 — a31a22 — a32323 —a33 A . -6 B. -3 C. 3 D. 6 2 .设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A (X七)=E,则矩阵X=( ) ■1 A. E +A 1 B. E-A ■1 C. E+A D. E-A 1 3?设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是( ) A 1A可逆，且其逆为"< A； B 1A不可逆 I B丿丿I B丿 r B、% )A-1 C.. 可逆，且其逆为 D .. 可逆，且其逆为 I B丿 习题 三 （A 类） 1. 设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3. 解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2) 2. 设3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α3 ＝(4，1，-1，1).求α. 解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α) 整理得：α=1 6(3α1+2α2-5α3),即α=16 (6,12,18,24) =(1,2,3,4) 3.（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）× 4. 判别下列向量组的线性相关性. （1）α1=(2,5), α2=(-1,3); (2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3); (3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2); (4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1). 解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关. 5. 设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关. 证明：设 112123123()()0, k k k αααααα+++++= 即 123123233()()0. k k k k k k ααα+++++= 由 123 ,,ααα线性无关，有 123233 0,0,0.k k k k k k ++=?? +=??=? 所以1230, k k k ===即 112123,,αααααα+++线性无关.线性代数习题参考答案
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