控制工程基础 第7章 控制系统的性能分析与校正

2

1.1 M r 1.8
4~9 ts ωc
100M r 1 M p(%) 50 M r 1
2000 M p(%) 20 γ
M r 1.25 M r 1.25
64 16h M p (%) h 1 M p 64 或 h M p 16
ω 3
1
ω
ω 1
ω 2
ω c
h
-0 4
γ 180 90 arctg ωc T1 arctg ωc T2 arctg ωc T3 1 arctg arctg ωc T2 arctg ωc T3 ωc T1
K jT2 1 G jωH jω jω jT1 1 jT3 1
K2 s Tm s 1 TmT f s 2
T s 1T s 1 T K K K T s 1
m 2 j f f
则对应串联校正
G j s
TmT f s 2 Tm K 2 K j K f T f s 1
Tm s 1T f s 1
可见，测速机反馈校正相当于串联校正中的 PD校正（即超前校正）。
1 Tm s 1 1 K2 Kc G j s 1 Tm s 1 1 K2 Kc
对于位置控制系统加速度计反馈校正，如下 图
s
i s

K1
U s


K2 Tm s 1
Kf T f s 1
T2 T3 ຫໍສະໝຸດ 1 该系统比典型形式相角裕量增加 arctg ， ωc T1
系统闭环后相对稳定性更好。一般
ωc ω1
ω1 1 1 Δγ arctg ωc T1 ωc T1 ωc
ω2 ωc ωc ω2ωc ω2 Lω1 20lg 40lg 20lg 20lg 20lg 2 ω ω2 ω1 ω2 ω1 1 或 K Lω1 20lgK 20lgω1 20lg ω1
在随动系统和调速系统中，转速、加速度、 电枢电流等，都是常用的反馈变量，而具体 的反馈元件实际上就是一些测量传感器，如 测速发电机、加速度计、电流互感器等。 从控制的观点来看，反馈校正比串联校正 有其突出的特点，它能有效地改变被包围环 节的动态结构和参数；另外，在一定条件下， 反馈校正甚至能完全取代被包围环节，从而 可以大大减弱这部分环节由于特性参数变化 及各种干扰给系统带来的不利影响。
可见，K越大，I越小。所以从使I减小的角度 看，K值选得越大越好。
2．误差平方积分性能指标
I e t dt


0
2
两种主要校正方式
见光盘课件第七章第三节
反馈校正
反馈校正可理解为现代控制理论中的状态 反馈，在控制系统中得到了广泛的应用，常 见的有被控量的速度反馈、加速度反馈、电 流反馈、以及复杂系统的中间变量反馈等。
可见，加速度计反馈校正相当于串联校正中 的PID校正（即超前-滞后校正）。
系统最优模型
见光盘课件第七章第五节
-40 -20
ω3 ω2 ωc
ω
h
-40
高阶最优模型
下图所示典型三阶系统，也叫典型Ⅱ型 系统，其开环传递函数为
K T2 s 1 G s H s 2 s T3 s 1 K jT2 1 G jωH jω jω2 jT3 1
如果在的频段 M 内，逐个频率区域给 出了误差的要求，即可按上述原则求出各个 频率下最低的开环增益
G j M
这样，就可以画出工作频段的增益禁区，即 幅频特性应高于这个区域，才能保证复现频 带及工作频段内的误差。
1
由于控制系统各个部件通常存在一些小时间 常数环节，致使高频段呈现出-60dB／dec.甚 至更陡的形状，见下图。其开环传递函数为 K T2 s 1 G s 2 s T1s 1T3 s 1 所谓高频区，是指角频率大于 3 的区域。高 频区伯德图呈很陡的斜率下降有利于降低噪 声，也就是控制系统应是一个低通滤波器。 高频段有多个小惯性环节，将对典型高阶模 型的系统的相位裕度产生不利的影响，使原 来的相角裕度降低。
围称为系统的闭环带宽。
闭环频域指标
综合性能指标（误差准则）
1．误差积分性能指标 对于一个理想的系统，若给予其阶跃输入， 则其输出也应是阶跃函数。实际上，这是不可能 的，在输入、输出之间总存在误差，我们只能是 使误差e（t）尽可能小。下图（a）所示为系统 在单位阶跃输入下无超调的过渡过程，其误差示 于下图（b）。
-40 -20
ω3
ω
1
ω2
ωc
h
-40
为便于分析，再引入一个变量h,
T3 h称为中频宽。在一般情况下， 是调节对象 T2 和K可以变动。 的固有参数，不便改动，只有 T2 改变，就相当于改变了h。当h不变，只改动 K时，即相当于改变了 值。因此对典型Ⅱ型 c 系统的动态设计，便归结为h和 这两个参量 c 的选择问题, h越大系统相对稳定性越好 ； 越大则系统快速性越好 。 c 由上图可知，如果知道了K值及h值，可得到
在无超调的情况下，误差e（t）总是单调的， 因此，系统的综合性能指标可取为
I et dt


0
式中，误差 et x or t x o t x i t x o t
因 E s et e st dt


0
所以
I lim et e dt lim E s
例：已知某闭环系统给定性能指标为 ， t s 0.19s 相角裕量为45°，试设计系统开环对数幅频 特性中频段的参数。 解： 1 1
sinγ sin45 M r 1 1.4 1 h 6 M r 1 1.4 1 Mr

1.4
π 2 1.5M r 1 2.5M r 1 ωc 50rad/s ts
K1 s H s T1 s 1
i s

K1
U s


K2 Tm s 1
Kcs
s
1 s
o s
则对应串联校正
K2 K2 θ o s sTm s 1 1 K2 Kc K2 U s 1 1 K c s s 1 K K Tm s 1 s Tm s 1 2 c 1 Tm s 1 K2 1 K2 Kc 1 s Tm s 1 Tm s 1 1 K2 Kc
2
ω2ωc K 2 ω1 ω1 ω2ωc ω1 K
按照上式选取 ω1 ，可保证所要求的静态放大 倍数，进而保证系统的稳态误差。
设在复现频率处，系统的允许误差为Δ， 则根据频率特性定义，在该频率下系统的开 环增益应满足下式
1 1 G j M 或 1 ， G j M G j M 1
位置的微分反馈是将位置控制系统中被包 围的环节的速度信号反馈至输入端，故常称 2 速度反馈（如果反馈环节的传递函数是 K1 s， 则称为加速度反馈）。 速度反馈在随动系统中使用得极为广泛， 而且在改善快速性的同时，还具有良好的平 稳性。当然实际上理想的微分环节是难以得 到的，如测速发电机还具有电磁时间常数， 故速度反馈的传递函数可取为
h1 Mr h 1
Mr 1 或h Mr 1
ω3 M r 1 2h ωc Mr h1 ωc Mr h1 ω2 M r 1 2 π 2 1.5M r 1 2.5M r 1 ts ωc 3 .5 1 ts 8 / ω c 2 c
二、开环频域指标
c ——开环剪切频率（rad／s）；
γ°——相位裕量；
K g ——幅值裕量；
Kp
Kv
——静态位置误差系数；
——静态速度误差系数；
K a ——静态加速度误差系数。
三、闭环频域指标： r ——谐振角频率； Amax M M r ——相对谐振峰值， r A0 ，当A（0） =1时，Amax 与 M r 在数值上相同； M ——复现频率，当频率超过，输出就不 能“复现”输入，所以，0~ M 表示复现低 频正弦输入信号的带宽，称为复现带宽，或 称为工作带宽； b ——闭环截止频率，频率由0~ b 的范
st s 0 0 s 0

例 设单位反馈的一阶惯性系统，其方框图 如下图所示，其中开环增益K是待定参数。 试确定能使I值最小的K值。
解:
当 x i t 1t 时，误差的拉氏变换为
1 1 E s X i s 1 G s sK
有
1 1 I lim s 0 s K K
2


Mr 1 1.4 1 ω3 ωc 50 86 rad/s Mr 1.4 ω3 86 ω2 14.3rad/s h 6
-40 -20
86 14 . 3 50
ω
-40
如果是I型系统，则在中频段高阶最优 模型的基础上增加转角频率 1 。 -0 2
-0 4 -0 2
1 s
o s
K j s2
θ o s U s
K2 s Tm s 1 Kf K2 2 1 K js s Tm s 1 Tf s 1 s TmT f s 2 Tm K 2 K j K f T f s 1
m f

K 2 T f s 1
c
c
K
2h
3
h 1 c 2 2 时，闭环的谐振峰最小，阶跃作用时的超调 量也最小。
或
希望对数频率特性与系统性能指标的关系
ω3 h ω2
r 2 3 b 3