高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (28)(含答案解析)
必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (28)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知|a⃗|=4，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为120∘.求：(1)(a⃗−2b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ );(2)a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角．2.设向量a⃗=(2,sinθ),b⃗ =(1,cosθ)，其中θ为锐角．(1)若a⃗⋅b⃗ =13，求sinθ+cosθ的值；6(2)若a⃗//b⃗ ，求cos2θ的值．3.已知向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(−2,0)．(Ⅰ)求向量a⃗−b⃗ 的坐标以及a⃗−b⃗ 与a⃗的夹角；(Ⅱ)当t∈[−1,1]时，求|a⃗−t b⃗ |的取值范围．4.已知向量a⃗=(2+sinx,1)，b⃗ =(2,−2)，c⃗=(sinx−3,1)，d⃗=(1,k)(x∈R,k∈R)．(1)若x∈[−π2,π2]，且a⃗//(b⃗ +c⃗ )，求x的值．(2)若函数f(x)=a⃗⋅c⃗，求f(x)的最小值．(3)是否存在实数k，使得(a⃗+d⃗)⊥(b⃗ +c⃗ )?若存在，求出k的取值范围;若不存在，请说明理由．5.在①函数f(x)=12sin(2ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象向右平移π12个单位长度得到g(x)的图象，g(x)图象关于原点对称；②向量m⃗⃗⃗ =(√3sinωx,cos2ωx)，n⃗=(12cosωx,14),ω>0,f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗；③函数f(x)=cosωxsin(ωx+π6)−14(ω>0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．(1)若0<θ<π2,且sinθ=√22，求f(θ)的值；(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递减区间．6. 已知△ABC 中．(1)设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：△ABC 是等腰三角形；(2)设向量s ⃗ =(2sinC,−√3)，t =(sin2C,2cos 2c 2−1)，且s ⃗ //t ，若sinA =13，求sin(π3−B)的值．7. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,1)．(1)求|a ⃗ −2b ⃗ |(2)设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，求cos θ的值;(3)若向量与互相垂直，求k 的值．8. 已知向量a ⃗ =(√3cos ωx,cos ωx)，b ⃗ =(sinωx,−cosωx)，ω>0且函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗⃗⃗⃗ 的周期为π．(1)求f (x )的解析式及的值；(2)若函数g(x)=a +1−√2f(x2)在x ∈[0,π]上恰有两个零点，求实数a 的取值范围．9. 设平面内的向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,7)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1)，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，点P 是直线OM 上的一个动点，且PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−8，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标及∠APB 的余弦值．10. 如图，在平行四边形ABCD 中，P ，Q 分别是BC 和CD 的中点．(1)若AB =2，AD =1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =5，求∠BAC 的余弦值； (2)若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λμ的植．11. 在△ABC 中，AB =6，AC =3，D 为BC 中点，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12 FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若∠A =π3，求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．12. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(−√2,0)，A 2(√2,0)，上、下顶点分别为B 1，B 2，四边形A 1B 2A 2B 1的周长为4√3．(1)求E 的方程；(2)设P 为E 上异于A 1，A 2的动点，直线A 1P 与y 轴交于点C ，过A 1作A 1D // PA 2，交y 轴于点D.试探究在x 轴上是否存在一定点Q ，使得QC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由．13. ．如图在矩形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，N 是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=1。
(1)若M 是AB 的中点，求证：AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线； (2)在线段AB 上是否存在点M ，使得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；(3)若动点P 在矩形ABCD 上运动，试求AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值及取得最大值时P 点的位置。
14. 如图，在菱形ABCD 中，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求3x +2y 的值； (2)若|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,∠BAD =60°，求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ．15. 设向量a⃗ =(√3sin x,sin x),b ⃗ =(cos x,sin x),x ∈[0,π2]. (1)若|a ⃗ |=|b ⃗ |.求x 的值；(2)设函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，求f(x)的单调增区间．16. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =CD =1，AB =3，(Ⅰ)若AC →+λAB →=BD →，求实数λ的值；(Ⅱ)若AD ⊥BC ，求数量积AC →⋅BD →的值17. 在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中m ，n ∈(0,1).设EF 的中点为M ，BC 的中点为N ．(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m =n ；(2)若m +n =1，求|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．18. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(cosωx,sinωx)，n ⃗ =(cosωx,2√3cosωx −sinωx)(x ∈R,ω>0)函数f(x)=|m ⃗⃗⃗ |+m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 且最小正周期为π，(1)求函数，f(x)的最大值，并写出相应的x 的取值集合；(2)在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c且f(B)=2，c=3，S△ABC=6√3，求b的值．19.设是两个不共线的向量，，．(1)若，求证：A,B,D三点共线；(2)若，且C,D,F三点共线，求k的值．20.在平面直角坐标系xOy中，已知向量a⃗=(−3,1)，向量b⃗ =(1,λ).(1)若m a⃗+2b⃗ =(−7,2)，求实数m和λ的值；(2)若a⃗和b⃗ 的夹角为钝角，且(−2a⃗+b⃗ )⊥(3a⃗+5b⃗ )，求a⃗和b⃗ 的夹角的大小．21.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若向量m⃗⃗⃗ =(1−cos(A+B),cos A−B2)，n⃗=(5 8,cos A−B2)且m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=98．(1)求tanAtanB的值；(2)求absinCa2+b2−c2的最大值．22.如图所示，椭圆C的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求椭圆C的离心率和标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．23. 已知向量a ⃗ =(sinx,34)，b ⃗ =(cosx,−1)．(1)当a ⃗ //b ⃗ 时，求cos 2x −sin 2x 的值；(2)设函数f(x)=2(a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a =√3，b =2，sinB =√63，求f(x)+4cos(2A +π6)(x ∈[0,π3])的取值范围．24. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(√3cos x,−1)，n⃗ =(sin x,cos 2x)． (1)当x =π3时，求m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的值；(2)若x ∈[0,π4]，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√33−12，求cos2x 的值．25. (1)已知|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=3，(2a ⃗ −3b ⃗ )⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=61，求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ；(2)设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,5)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3)，在OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上是否存在点M ，使MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．26. 已知a ⃗ =(2sin x,cos 2x)，b ⃗ =(√3cos x,2)，f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ．(1)求f(x)单调递减区间；(2)先将函数y =f(x)的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得的图象向右平移π12个单位，得到函数y =g(x)的图象，当x ∈[0,π2]时，求g(x)≥2的x 的集合．27. 已知向量a ⃗ =(1,√3),b ⃗ =(−2,0)(1)求a ⃗ −b ⃗ 的坐标以及a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ 之间的夹角； (2)当k 为何值时，k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −3b ⃗ 垂直？ (3)当t ∈[−1,1]时，求|a ⃗ −t b ⃗ |的取值范围．28. 已知在等边三角形ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且AP →=λAB →(0≤λ≤1)．(1)若等边三角形ABC 的边长为6，且λ=13，求|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)若CP →⋅AB →≥PA →⋅PB →，求实数λ的取值范围．29. 如图，在△ABC 中，D 为BC 的四等分点，且靠近点B ，E ，F 分别为AC ，AD 的三等分点，且分别靠近A ，D 两点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)试用a ⃗ ，b⃗ 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)证明：B ，E ，F 三点共线．30.已知a⃗，b⃗ ，c⃗是同一平面内的三个向量，其中a⃗=(1,√3)，b⃗ ，c⃗为单位向量．(1)若a⃗//c⃗，求向量c⃗的坐标；(2)若a⃗+2b⃗ 与2a⃗−b⃗ 垂直，求向量a⃗与b⃗ 所成角的正弦值．【答案与解析】1.答案：解：(1)∵|a⃗|=4,|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为，，∴(a⃗−2b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )=a⃗2+a⃗·b⃗ −2b⃗ ·a⃗−2b⃗ 2=16−(−4)−8=12；(2)∵a⃗·(a⃗+b⃗ )=a⃗2+a⃗·b⃗ =16−4=12，|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2=√a⃗2+2a⃗·b⃗ +b⃗ 2=√16−8+4=2√3，设a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角为θ，，，即a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角为π6解析：本题考查考查向量的数量积和夹角，属于基础题．(1)求出a⃗·b⃗ ，即可求出结果；(2)求出a⃗·(a⃗+b⃗ )，|a⃗+b⃗ |，代入夹角的余弦公式，即可求出结果．2.答案：解：(1)∵向量，∴a⃗⋅b⃗ =2+sinθcosθ=13 6∴sinθcosθ=16，∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+13=43，∵θ为锐角，∴sinθ>0,cosθ>0(2)因为a ⃗ //b ⃗ ，，∴cos 2θ=15，∴cos2θ=2cos 2θ−1=25−1=−35解析：本题考查了向量的数量积和向量与平行的关系，以及三角函数的化简，属于基础题． (1)根据向量的数量积求得sinθcosθ=16，由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+13=43即可求出；(2)根据向量的平行解得cos 2θ=15，由二倍角公式即可求出．3.答案：解：(Ⅰ) a ⃗ −b ⃗ =(1,√3 )−(−2，0 )=(3，√3 )，设a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ 的夹角为θ， 则cos <a ⃗ −b ⃗ ，a⃗ >=(a ⃗ −b ⃗ ) ⋅a ⃗|a ⃗ −b ⃗ |⋅|a ⃗ |=√9+3⋅√1+3=−√32． 根据题意得 0≤θ≤π，∴θ=5π6．(Ⅱ)当t ∈[−1,1]时，a ⃗ −t ⋅b ⃗ =(1+2t,√3 )，∴|a ⃗ −t ⋅b ⃗ |=√(1+2t )2+3=√4t 2+4t +4 在[−1,−12]上单调递减，在[−12,1]单调递增， ∴t =−12 时，|a ⃗ −t ⋅b ⃗ |有最小值√3，t =1时，|a ⃗ −t ⋅b ⃗ |有最大值2√3，故|a ⃗ −t ⋅b ⃗ |的取值范围[√3,2√3].解析：(Ⅰ)求出 a ⃗ −b ⃗ 的坐标，设a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ 的夹角为θ，则由cos <a ⃗ −b ⃗ ，a ⃗ >=(a ⃗ −b ⃗ ) ⋅a ⃗|a ⃗ −b ⃗ |⋅|a ⃗ |求出θ 的值．(Ⅱ)当t ∈[−1,1]时，a ⃗ −t ⋅b ⃗ =(1+2t,√3 )，得|a ⃗ −t ⋅b ⃗ |=√(1+2t )2+3=√4t 2+4t +4 在[−1,−12]上单调递减，在[−12,1]单调递增，由二次函数的性质求得|a ⃗ −t ⋅b ⃗ |的取值范围． 本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，向量的模的定义和求法，函数的单调性的应用，准确运算是解题的关键．4.答案：解：(1)∵b ⃗ +c ⃗ =(sinx −1,−1)，又a ⃗ //(b ⃗ +c ⃗ )，∴−(2+sinx)=sinx−1，即sinx=−12．又x∈[−π2,π2]，∴x=−π6．(2)∵a⃗=(2+sinx,1)，b⃗ =(2,−2)，∴f(x)=a⃗⋅b⃗ =2(2+sinx)−2=2sinx+2．又x∈R，∴当sinx=−1时，f(x)有最小值，且最小值为0．(3)∵a⃗+d⃗=(3+sinx,1+k)，b⃗ +c⃗=(sinx−1,−1)，若(a⃗+d⃗)⊥(b⃗ +c⃗ )，则(a⃗+d⃗)⋅(b⃗ +c⃗ )=0，即(3+sinx)(sinx−1)−(1+k)=0，．由sinx∈[−1,1]，得k∈[−5,−1]．∴存在k∈[−5,−1]，使得(a⃗+d⃗)⊥(b⃗ +c⃗ ).解析：本题主要考查向量四则运算以及向量与三角函数的综合，考查学生的运算和转化能力，属于中档题．(1)根据向量关系的坐标公式进行化简求解即可．(2)根据向量数量积的公式进行化简，结合三角函数的性质进行求解即可．(3)利用向量垂直的等价条件进行化简，再利用函数求最值．5.答案：解：选条件①由题意可知，T=2π2ω=π，∴ω=1，∴f(x)=12sin(2x+φ)，∴g(x)=12sin(2x +φ−π6).又函数g(x)图象关于原点对称， ∴φ=kπ+π6，k ∈Z ， ∵│φ│<π2， ∴φ=π6，∴f(x)=12sin(2x +π6).(1)∵0<θ<π2，sinθ=√22，∴θ=π4，∴f(θ)=f(π4)=12sin2π3=√34． (2)由π2+2kπ≤2x +π6≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得π6+kπ≤x ≤2π3+kπ，k ∈Z ．令k =0，得π6≤x ≤2π3．令k =1，得7π6≤x ≤5π3，∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递减区间为[π6,2π3]，[7π6,5π3].解析：本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，考查正弦函数的性质，属于中档题． (1)选①，由题意求出ω=1，f(x)=12sin(2x +φ)，再利用三角函数平移变换规律求出g(x)=12sin(2x +φ−π6)，利用g(x)图象关于原点对称求出φ=π6，得到f(x)的解析式，再利用sinθ=√22，求出θ，代入f(x)解析式即可求解； (2)利用正弦函数的单调性求解即可．6.答案：(1)证明：∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即|BC ⃗⃗⃗⃗⃗|=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |． ∴△ABC 是等腰三角形；(2)解：s ⃗ =(2sinC,−√3)，t =(sin2C,2cos 2c 2−1)，且s ⃗ //t ， 则∴2sinC(2cos 2C2−1)=−√3sin2C ，则2sinCcosC =−√3sin2C ， 得sin2C =−√3sin2C ，∴sin2C =0， ∵C ∈(0,π)，∴C =π2．∵sinA =13，C =π2，∴sinB =cosA =2√23，cosB =sinA =13．∴sin(π3−B)=√32cosB −12sinB =√36−2√26．解析：(1)由已知利用向量的减法法则化简得答案；(2)由向量共线的坐标运算可得C ，再由sinA =13求得cos A ，sin B ，cos B 的值，展开sin(π3−B)得答案． 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量共线的坐标表示，考查计算能力，属中档题．7.答案：解：(1)a ⃗ −2b ⃗ =(1,2)−2(−3,1)=(1+6,2−2)=(7,0)；故|a ⃗ −2b ⃗ |=√72+02=7. (2)cos θ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=√1+(−3)2·√22+1=−√210； (3)因为向量a ⃗ +k b ⃗ 与a ⃗ −k b ⃗ 互相垂直，所以(a ⃗ +k b ⃗ )⋅(a ⃗ −k b ⃗ )=0，即a ⃗ 2−k 2b ⃗ 2=0，因为a ⃗ 2=5，b ⃗ 2=10，所以5−10k 2=0⇒k =±√22．解析：本题主要考查了向量的模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角、利用向量的数量积与垂直关系，考查学生的计算能力，属于中档题． (1)根据题干由向量的运算即可得．(2)由向量的夹角公式求解即可得．(3)根据向量a⃗+k b⃗ 与a⃗−k b⃗ 互相垂直，即(a⃗+k b⃗ )⋅(a⃗−k b⃗ )=0，从而即可求出k的值．8.答案：解：(1)f(x)=a⃗⋅b⃗ =√3sin ωxcos ωx−cos2 ωx=√32sin 2ωx−12(1+cos 2ωx)=√32sin 2ωx−12cos 2ωx−12=sin (2ωx−π6)−12，由ω>0，得T=2π2ω=π，解得ω=1，函数解析式为：f(x)=sin (2x−π6)−12，则f(π3)=sin (2×π3−π6)−12=sin π2−12=1−12=12;(2)g(x)=a+1−√2f(x2)=a+1−√2[sin (x−π6)−12]，令g(x)=0，得：a=√2sin (x−π6)−√22−1，当0⩽x⩽π时，−π6⩽x−π6⩽5π6，当π6⩽x−π6⩽5π6且x−π6≠π2时，a=√2sin(x−π6)−√22−1才有两个不相同的根，此时12≤sin(x−π6)<1，则√22≤√2sin(x−π6)<√2，则0≤√2sin(x−π6)−√22<√22，∴−1≤√2sin(x−π6)−√22−1<√22−1，即−1≤a <√22−1时，a =√2sin(x −π6)−√22−1有两个不相同的根，即g(x)=a +1−√2f(x2)在x ∈[0,π]上恰有两个零点． 故符合条件的实数a 的取值范围是[−1,√22−1)．解析：本题考查向量的数量积，考查二倍角公式和辅助角公式，考查正弦函数的性质，考查方程根与函数零点的关系，属于中档题．(1)由向量数量积公式及二倍角公式结合辅助角公式，可整理得f(x)解析式，即可求出的值;(2)把函数的零点转化为方程的根，由正弦函数的性质结合x 的范围，即可得a 的范围． 9.答案：解：(1)由题意，可设OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，∵点P 在直线OM 上， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，而OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)， ∴x −2y =0，即x =2y ，有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2y,y)，∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2y,7−y)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−2y,1−y)， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2y)(5−2y)+(7−y)(1−y)，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5y 2−20y +12， 又PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−8， ∴5y 2−20y +12=−8，解得y =2，x =4 此时OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,5)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，∴cos∠APB =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |PA⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB |=−8√34×√2=−4√17解析：由题意，可设OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，再由点P 在直线OM 上，得到OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，由此共线条件得到x ，y 之间的关系，代入PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−8，解出x ，y 的值，即可求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标及PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,5)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，再由夹角的向量表示公式cos∠APB =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |求出∠APB 的余弦值 本题考查了向量共线的条件，向量的坐标运算，数量积的坐标表示，向量的模的求法及利用数量积计算夹角的余弦，本题综合性强，运算量大，谨慎计算是正确解题的关键10.答案：解：(1)在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =22+2×1×cos∠BAD =5，∴cos∠BAD =12．|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22+2×2×1×12+1=7， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7，cos∠BAC =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=52√7=5√714． (2)∵P ，Q 分别是BC 和CD 的中点，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴{λ−12μ=112λ+μ=1，解得{λ=65μ=25,∴λμ=3．解析：本题考查向量的数量积，以及向量的运算． (1)先求和|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,再求∠BAC 的余弦值即可； (2)利用平面向量基本定理求解即可．11.答案：解：(1)因为D 是BC 的中点，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 解以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =1(−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +1AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2) =−1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +1AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−13×62−16×6×3×12+16×32=−12−32+32=−12;(2)由题意得，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−112AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+112AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+34+29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 解得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =818．解析：本题考查平面向量的线性运算以及向量的数量积，属于中档题． (1)由向量的线性运算化简，再求向量的数量积； (2)由向量的线性运算化简，再求向量的数量积，得答案．12.答案：解：(1)依题意，a =√2．由椭圆的对称性可知，四边形A 1B 2A 2B 1为菱形，其周长为4√a 2+b 2=4√3． 所以b =1，所以E 的方程为x 22+y 2=1．(2)设P(x 0,y 0)，则2y 02=2−x 02， 直线A 1P 的方程为y =0x +2+√2)，故√2y 0x+√2)， 由A 1D // PA 2知A 1D 的方程为y =0x −√2+√2)，故√2y0x −√2)，假设存在Q(t,0)，使得QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3， 则QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y 0x +√2)⋅√2y 0x −√2) =t 2+2y 02x 02−2=t 2+2−x 02x 02−2=t 2−1=3，解得t =±2．所以当Q 的坐标为(±2,0)时，QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3．解析：本题考查了椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的定点问题，是中档题．(1)由左右顶点坐标得出a ，由椭圆的对称性可知，四边形A 1B 2A 2B 1为菱形，其周长为4√a 2+b 2=4√3，可得b ，从而得出椭圆方程；(2)设P(x 0,y 0)，得出直线A 1P 的方程和A 1D 的方程，分别得出C 、D 坐标，假设存在Q(t,0)，使得QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3，计算可得t ，从而得出定点坐标． 13.答案：(1)证明：∵AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +12a ⃗ ，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ −12a ⃗ ， ∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线． (2)解：在线段AB 上存在点M ，使BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直． 理由：设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λa ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +λa ⃗ ， ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．所以(b ⃗ −a ⃗ )⋅(−b ⃗ +λa ⃗ )=0，即−b ⃗ 2+(λ+1)a ⃗ ·b ⃗ −λa ⃗ 2=0∵|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∴λ=−14．∴存在满足条件的点M ，即AM =32，使得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直． 此时点M 在线段AB 的四等分点，最靠近点B 的位置． (3)解：①当P 在线段AB 上时，设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =k a ⃗ ，(0⩽k ⩽1)，则：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k a ⃗ ⋅a ⃗ =4k ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为4，此时P 在B 点处；②当P 在线段BC 上(不含端点)时，设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +k b ⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ⃗ +k b ⃗ )⋅a ⃗ =4， 此时P 在线段BC 上(端点除外)；③当P 在线段CD 上时，设CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−k a ⃗ ，(0⩽k ⩽1)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ⃗ +b ⃗ −k a ⃗ )⋅a ⃗ =4(1−k)， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为4 ，此时P 在C 点处； ④当P 在线段AD 上时，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 综上所述，当P 在线段BC 上时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是4.解析：本题考查了向量共线的判定，向量垂直的判定，向量的数量积，向量的几何运用． (1)解答本题的关键是由向量的几何运用将AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用a ⃗ 和b ⃗ 表示出来，可发现AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此即可证得AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线； (2)解答本题的关键是将AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用a ⃗ 和b ⃗ 表示出来，由向量垂直的条件可知：BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此即可求得点M 的位置；(3)解答本题的关键是将点P 的位置进行分情况讨论，再分别求出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值，最后得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值及点P 的位置即可．14.答案：解：(1)因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =−23,y =12，故3x +2y =3×(−23)+2×12=−1． (2)∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−16|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−16|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2cos ∠BAD ．=−16×36−16×36×12=−9， 即AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−9．解析：本题主要考察平面向量基本定理和平面向量的数量积问题，是中档题． (1)利用平面向量基本定理，取AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，利用向量加减法可解； (2)把所有的向量用基底AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示后，计算AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．15.答案：解：(1)依题意知3sin 2x +sin 2x =cos 2x +sin 2x =1∴sin 2x =14， ∵x ∈[0,π2].∴sinx =12， x =π6．(2)f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =√3sinxcosx +sin 2x =√32sin2x −12cos2x +12=sin(2x −π6)+12，由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得kπ−π6≤x ≤kπ+π3， ∴函数的单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k ∈Z)．解析：(1)先根据题意分别表示出两向量的模，取得sin x 的值，进而求得x ．(2)表示出函数f(x)的表达式，进而利用二倍角公式和两角和公式化简，进而根据三角函数的图象和性质求得函数的单调增区间．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，向量的数量积计算．考查了对基础知识的综合运用．16.答案：解：(Ⅰ)由在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =CD =1，AB =3， 得DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即λ=−43． (Ⅱ)由AD ⊥BC ， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 即AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3， 故答案为：−3．解析：本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题．(Ⅰ)由平面向量的线性运算得：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即λ=−43． (Ⅱ)及平面向量数量积的运算得：由AD ⊥BC ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，得解． 17.答案：(1)证明：由A ，M ，N 三点共线，得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)， 即12(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线得m =n =λ， 即m =n ．(2)解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12， 因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =1−m 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1−n2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又m +n =1，所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−m 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(1−m)24AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+m 24AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12(1−m)m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(1−m)2+14m 2+14(1−m)m =14(m −12)2+316． 故当m =12时，|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√34． 即|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√34．解析：本题考查平面向量的加减及数乘运算，考查平面向量共线的条件，考查平面向量的数量积与求向量的模长，是中档题．(1)由A ，M ，N 三点共线，得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，所以12(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )即可求解；(2)化简MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−m 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1−n 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再两边平方利用数量积即可求解． 18.答案：解：(1)∵向量m =(cosωx,sinωx)，n =(cosωx,2√3cosωx −sinωx)，∴|m|=√cos 2ωx +sin 2ωx =1.m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =cos 2ωx +2√3sinωxcosωx −sin 2ωx =cos2ωx +√3sin2ωx =2(12cos2ωx +√32sin22ωx)=2sin(2ωx +π6)，∴f(x)=2sin(2ωx +π6)+1．由T =2πω=π，解得ω=1.∴f(x)=2sin(2x +π6)+1．由2x +π6=2kπ+π2(k ∈Z)，即x =kπ+π6(k ∈Z)，即当x ∈{x|x =kπ+π6,k ∈Z}时，f (x)有最大值3．(2)∵f (B)=2，由(1)知2sin(2x +π6)+1=2，即sin(2x +π6)=12． 于是2B +π6=5π6，解得B =π3. 由S △ABC =12ac ⋅sinB =6√3，即 12a ×3×√32，解得a =8，由余弦定理得 b 2=a 2+c 2−2accosB =64+9−2×8×3×12=49， ∴b =7．解析：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，余弦定理以及二倍角公式的应用，函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．(1)利用求出两个向量的数量积公式m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的值以及|m|的值，可得f(x)=2sin(2ωx +π6)+1，由周期求得ω=1，故f(x)=2sin(2x +π6)+1.由2x +π6=2kπ+π2(k ∈Z)，求得f (x)有最大值3时x 的取值集合．(2)由f (B)=2，知2sin(2x +π6)+1=2，解得B =π3，再由S △ABC =12ac ⋅sinB =6√3，求出a 的值，再由余弦定理求出b 的值．19.答案：解：(1)∵DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ )−(2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )=−e 1⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B ，∴A,B,D 三点共线．(2)∵C,D,F 三点共线，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ //BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则存在实数λ，使得CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF⃗⃗⃗⃗⃗ +=4e 1⃗⃗⃗ +(3−k)e 2⃗⃗⃗ ，，即．是两个不共线的向量，∴{4−2λ=0k−3−λ=0，解得{λ=2 k=5．因此k的值为5．解析：略20.答案：解：(1)因为向量a⃗=(1,λ)，向量b⃗ =(−7,2)，所以m a⃗+2b⃗ =m(−3,1)+2(1,λ)=(−3m+2,m+2λ)，因为m a⃗+2b⃗ =(−3,1)，所以{−3m+2=−7m+2λ=2，解之得{m=3λ=−12．(2)因为向量a⃗=(1,λ)，向量b⃗ =(−7,2)，所以−2a⃗+b⃗ =−2(−3,1)+(1,λ)=(7,λ−2)，3a⃗+5b⃗ =3(−3,1)+5(1,λ)= (−4,5λ+3)，因为(−2a⃗+b⃗ )⊥(3a⃗+5b⃗ )，所以(−2a⃗+b⃗ )·(3a⃗+5b⃗ )=−6a⃗ 2 −7a⃗·b⃗ +5b⃗ 2=7×(−4)+(λ−2)(5λ+3)=5λ2−7λ−34=0，解之得λ=−2或λ=175，因为a⃗和b⃗ 的夹角为钝角，所以a⃗·b⃗ =−3+λ<0，且−3×λ−1×1≠0，即λ<3且λ≠−13，所以λ=−2，所以a⃗·b⃗ =−3+λ=−5，|a⃗|=√(−3)2+12=√10，|b⃗ |=√12+(−2)2=√5，设a⃗和b⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ·b⃗|a⃗ ||b⃗|=√10×√5=−√22，因为a ⃗ 和b ⃗ 的夹角θ∈[0,π]，所以θ = 3π4．即a ⃗ 和b ⃗ 的夹角为3π4．解析：本题考查向量坐标运算、向量数量积、向量垂直的应用，属于中档题． (1)根据m a ⃗ + 2b ⃗ =(−3, 1)，即可列方程解得实数m 和λ的值；(2)根据(−2a ⃗ +b ⃗ )⊥(3a ⃗ + 5b ⃗ )可得λ的值，再根据a ⃗ 和b ⃗ 的夹角为钝角，可得λ=−2，即可得向量a ⃗ 和b ⃗ 的夹角的大小．21.答案：解：(1)由m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =98，得58[1−cos(A +B)]+cos 2A−B 2=98．即 58[1−cos(A +B)]+1+cos(A−B)2=98，亦即 4cos(A −B)=5cos(A +B)，即4cosAcosB +4sinAsinB =5cosAcosB −5sinAsinB 所以，9sinAsinB =cosAcosB ，求得 tanA ⋅tanB =19． (2)因absinCa 2+b 2−c 2=absinC2abcosC =12tanC ，而tan(A +B)=tanA+tanB1−tanAtanB =98(tanA +tanB)≥98×2√tanA ⋅tanB =34， 所以，tan(A +B)有最小值34，…(10分) 当且仅当tanA =tanB =13时，取得最小值．又tanC =−tan(A +B)，则tan C 有最大值−34，故absinCa 2+b 2−c 2的最大值为−38．解析：(1)由m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =98，化简得 4cos(A −B)=5cos(A +B)，由此求得tanA ⋅tanB 的值． (2)利用正弦定理和余弦定理化简为12tanC ，而tan(A +B)=tanA+tanB1−tanAtanB =98(tanA +tanB)，利用基本不等式求得它的最小值等于34，从而得到tan C 有最大值−34，从而求得所求式子的最大值．本题主要考查两个向量数量积公式，正弦定理和余弦定理，两角和的正切公式，以及基本不等式的应用，属于中档题．22.答案：解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，因为△AB 1B 2是直角三角形，则|AB 1|=|AB 2|，∠B 1AB 2=90°， 故b =c2，又c 2=a 2+b 2得a 2=5b 2 e =ca =√5b=2√55，， 又S ΔB 1AB 2=12·b ·c =4， 得a =2√5,b =2， 故标准方程为x 220+y 24=1;(2)由(1)知，B 1(−2,0)，B 2(2,0)，设直线PQ 的方程为x =my −2，代入椭圆方程， 消元可得(m 2+5)y 2−4my −16=0， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， ∴y 1+y 2=4mm +5,y 1y 2=−16m +5，∴x 1x 2=(my 1−2)(my 2−2)=m 2y 1y 2−2m (y 1+y 2)+4=−20m 2+20m 2+5，x 1+x 2=my 1+my 2−4=m (y 1+y 2)−4=−20m 2+5，∵B 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，B 2Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)， ∴B 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 2Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2 =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=−16m 2−64m +5，∵PB 2⊥QB 2，∴B 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即−16m 2−64m 2+5=0，得m =±2，直线PQ 的方程为x +2y +2=0或x −2y +2=0．解析：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了向量的数量积在解析几何的应用．(1)由已知条件求椭圆的标准方程及其离心率；(2)设直线PQ 的方程为x =my −2，代入椭圆方程，消元可得(m 2+5)y 2−4my −16=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由韦达定理y 1+y 2=4m m 2+5,y 1y 2=−16m 2+5，x 1x 2=(my 1−2)(my 2−2)=m 2y 1y 2−2m (y 1+y 2)+4=−20m 2+20m 2+5，代入B 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=−16m 2−64m 2+5，PB 2⊥QB 2，可得B 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得结果． 23.答案：解：(1)因为a ⃗ //b ⃗ ， 所以34cosx +sinx =0， 所以tanx =−34．所以．(2)f(x)=2(a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =2(sinxcosx +cos 2x +14)=sin2x +cos2x +32=√2sin(2x +π4)+32．由正弦定理，得sinA =√22，所以A =π4或A =3π4．因为b >a ，所以A =π4．f(x)+4cos(2A +π6)=√2sin(2x +π4)+32+4cos(π2+π6)=√2sin(2x +π4)−12， 因为x ∈[0,π3]，所以2x +π4∈[π4,11π12]，即√32−1≤f(x)+4cos(2A +π6)≤√2−12．所以所求的取值范围是[√32−1,√2−12].解析：本题考查向量和三角函数的综合应用，属于中档题．(1)由题意，根据a⃗//b⃗ ，求出tanx，即可求出结果；(2)由题意和正弦定理求出sinA，进而求出A，进行求解即可．24.答案：解：(1)当x=π3时，m⃗⃗⃗ =(√32,−1)，n⃗=(√32,14)，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=34−14=12.(2)m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=√3cosxsinx−cos2x=√32sin2x−12cos2x−12=sin(2x−π6)−12，若m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=√33−12，则sin(2x−π6)−12=√33−12，即sin(2x−π6)=√33，因为x∈[0,π4]，所以−π6≤2x−π6≤π3，所以cos(2x−π6)=√63，则cos2x=cos[(2x−π6)+π6]=cos(2x−π6)×√32−sin(2x−π6)×12 =√63×√32−√33×12=3√2−√36．解析：本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换，属于中档题．(1)求出向量的坐标，再计算数量积；(2)化简m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，得出cos(2x−π6)=√63，再利用和角公式计算cos2x.25.答案：解：(1)∵(2a⃗−3b⃗ )⋅(2a⃗+b⃗ )=61，∴4a⃗2−4a⃗⋅b⃗ −3b⃗ 2=61，又∵|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=3， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−6． ∴cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=−12，∴θ=120°．(2)设存在点M ，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6λ,3λ)(0<λ≤1) ∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−6λ,5−3λ),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−6λ,1−3λ)． ∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(2−6λ)(3−6λ)+(5−3λ)(1−3λ)=0，∴45λ2−48λ+11=0,解得λ=13或λ=1115；∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)或OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(225,115) ∴存在M(2,1)或M(225,115)满足题意．解析：本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属中档题．(1)根据(2a ⃗ −3b ⃗ )⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=61，求出a ⃗ ⋅b ⃗ =−6，然后再利用向量的夹角公式cosθ=a⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ ||b⃗ |，再结合θ∈[0,π]，即可求出a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ．(2)假设存在点M 符合题意，可设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6λ,3λ)(0<λ≤1)，表示出MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量数量积的坐标计算，即可求出λ，进而求出点M ．26.答案：解：(1)f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =2√3sin xcos x +2cos 2x =√3sin 2x +cos 2x +1=2sin (2x +π6)+1，∴f(x)的最小正周期T =2π2=π．由2kπ+π2⩽2x +π6⩽3π2+2kπ，k ∈Z ，得π6+kπ⩽x ⩽2π3+kπ，k ∈Z ，∴f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k ∈Z ．(2)由(1)得f(x)=2sin (2x +π6)+1的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，得y =2sin (4x +π6)+1， 再将图象向右平移π12个单位，得g(x)=2sin[4(x−π12)+π6]+1=2sin(4x−π6)+1，又∵g(x)≥2.即sin(4x−π6)≥12，∴2kπ+π6≤4x−π6≤2kπ+5π6(k∈Z)，即kπ2+π12≤x≤kπ2+π4(k∈Z)．∵x∈[0,π2]，∴不等式的解集{x|π12≤x≤π4}解析：本题考查向量的数量积，三角恒等变换，函数图象变换，三角函数的性质，属于中档题．(1)先求f(x)=a⃗⋅b⃗ =2sin (2x+π6)+1，再由2kπ+π2⩽2x+π6⩽3π2+2kπ，k∈Z，求f(x)单调递减区间；(2)由图象的变换得g(x)=2sin(4x−π6)+1，解sin(4x−π6)≥12，x∈[0,π2]，即可．27.答案：解：(1)因为向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(−2,0)，所以a⃗−b⃗ =(1,√3)−(−2,0)=(3,√3)，所以cos<a⃗−b⃗ ，a⃗>=(a⃗ −b⃗)·a⃗|a⃗ −b⃗|·|a⃗ |=2×√12=√32．因为<a⃗−b⃗ ，a⃗>∈[0,π]，所以向量a⃗−b⃗ 与a⃗之间的夹角为π6．(2)k a⃗+b⃗ =(k−2,√3k),a⃗−3b⃗ =(1+6,√3)=(7,√3)，因为k a⃗+b⃗ 与a⃗−3b⃗ 垂直，所以(k a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−3b⃗ )=0，则7(k−2)+3k=0，解得k=75．(3)|a⃗−t b⃗ |2=a⃗2−2t a⃗·b⃗ +t2b⃗ 2=4t2+4t+4=4(t+12)2+3．易知当t∈[−1,1]时，|a⃗−t b⃗ |2∈[3,12]，所以|a⃗−t b⃗ |的取值范围是[√3,2√3].解析：本题主要考查向量的坐标运算，向量的夹角，向量垂直的坐标条件和向量的模，考查学生综合分析及解决问题能力，属于中档题．(1)由已知条件能表示出a ⃗ −b ⃗ 的坐标，再根据cos <a ⃗ −b ⃗ ，a⃗ >=(a ⃗ −b ⃗ )·a ⃗|a ⃗ −b ⃗ |·|a ⃗ |，代入求值即可得出结果； (2)由已知条件求出k a ⃗ +b ⃗ 和a ⃗ −3b ⃗ 的坐标，根据垂直关系建立等式，即可解得k 的值．(3)由|a ⃗ −t b ⃗ |=√(a ⃗ −t b ⃗ )2，对|a⃗ −t b ⃗ |2进行化简可得a ⃗ 2−2t a ⃗ ·b ⃗ +t 2b ⃗ 2=4t 2+4t +4=4(t +12)2+3，当t ∈[−1,1]，结合函数的单调性，即可求出取值范围．28.答案：解：(1)当λ=13时，AP →=13AB →， CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =62+22−2×6×2×12=28．∴|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√7； (2)设等边三角形的边长为a ，则CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a 2+λa 2， PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λa 2+λ2a 2， 即−12a 2+λa 2≥−λa 2+λ2a 2， ∴λ2−2λ+12≤0，∴2−√22≤λ≤2+√22.又0≤λ≤1，∴2−√22≤λ≤1.∴实数λ的取值范围为[2−√22,1]．解析：本题考查平面向量的数量积运算，考查计算能力，属于中档题．(1)由λ=13，得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再通过数量积公式计算CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可； (2)设设等边三角形的边长为a ，把CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别用含有a 的代数式表示，结合CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 求解关于t 的不等式得答案． 29.答案：解：(1)△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ +14(b ⃗ −a ⃗ ) =34a ⃗ +14b ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +13b ⃗ ；(2)证明：BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +13b ⃗ ， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +23(34a ⃗ +14b⃗ ) =−12a ⃗ +16b ⃗ =12(−a ⃗ +13b ⃗ )， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，且直线BF 与直线BE 有公共点B ， ∴B ，E ，F 三点共线．解析：本题考查平面向量的线性表示与共线定理的应用问题，属于基础题． (1)根据平面向量的三角形合成法则，用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可； (2)用a ⃗ 、b ⃗ 表示出向量BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，证明BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，从而证明B ，E ，F 三点共线． 30.答案：解：(1)设c⃗ =(x,y)，。
部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案考点题型与解题方法
(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案考点题型与解题方法单选题1、下列说法错误的是（ ）A ．向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 的长度与向量AO ⃑⃑⃑⃑⃑ 的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等2、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2√2，点P 是正八边形ABCDEFGH 的内部（包含边界）任一点，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是（ ）A ．[−4√2,4√2]B ．[−4√2,8+4√2]C ．[8−4√2,8+4√2]D ．[−4√2,8−4√2] 3、已知a ⃗=(2,−1), b ⃑⃗=(x, 4)，且a ⃗⊥b ⃑⃗，则|a ⃗+b ⃑⃗|=（ ） A ．1B ．3C ．√5D ．54、如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB ⌢的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若AB =2，则|AC⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．[√2,3]C ．[3,√10]D ．[√2,√10]5、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（ ） A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同； C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗6、在△ABC 中，已知a =11，b =20，A =130°，则此三角形（ ） A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定7、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A ．2√3B ．−2√3iC ．√3−3iD ．3+√3i8、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ） A ．14B ．34C ．√24D ．√23多选题9、在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ） A ．bsinB =a+b+csinA+sinB+sinC B ．若A >B ，则sin2A >sin2B C ．a =bcosC +ccosB D ．若(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|+AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|⋅AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12，则△ABC 为等边三角形10、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2√3，c =3，A +3C =π，则下列结论正确的是（ ） A ．cosC =√33B ．sinB =√23C ．a =3D ．S △ABC =√211、已知e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ |的最小值为√32，则下列结论正确的是（ ） A ．e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 的夹角是π3B ．e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 的夹角是2π3 C ．|e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=√32D ．|e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=1填空题12、已知A(1,0)，B(0,1)，O 为坐标原点，t ∈[0,1]，则|tAB⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|34BO ⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为______．部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(四)参考答案1、答案：D分析：向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.A.向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与向量AO ⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向相反，长度相等，故A 正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B 正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C 正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D 不正确. 小提示：本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型. 2、答案：B分析：先求出AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围即可.如图，作AM ⊥GH 的延长线于M ，BN ⊥DC 的延长线于N ，根据正八边形的特征，可知AM =BN =2， 于是AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围为[−2,2√2+2]，结合向量数量积的定义可知，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 等于AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的模与AP⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的乘积， 又|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√2，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为2√2×(2√2+2)=8+4√2，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为2√2×(−2)=−4√2． 则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是[−4√2,8+4√2]. 故选：B ． 3、答案：D分析：利用向量的垂直，求出x ，然后求解向量的模．解：a ⃗=(2,−1)，b ⃑⃗=(x,4)，且a ⃗⊥b ⃑⃗，可得2x −4=0，解得x =2， 所以a ⃗+b ⃑⃗=(4,3)，则|a ⃗+b ⃑⃗|=√42+32=5． 故选：D ． 4、答案：D分析：根据题意可得出0≤|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |≤2，然后根据向量的运算得出|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2= (|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+1)2+1，从而可求出答案.因为点C 为AB⌢的中点，AB =2，所以|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2,∠CAB =π4， 所以|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2=AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |2+|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2+2|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cos π4=|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2+2|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+2=(|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+1)2+1， 因为点M 为线段AB 上的一点，所以0≤|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |≤2，所以2≤(|MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+1)2+1≤10， 所以|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围是[√2,√10], 故选：D. 5、答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确. 故选：D. 6、答案：A分析：根据三角形大边对大角（小边对小角）和三角形内角和为180°，即可判断解的情况. ∵a <b ，∴A <B ，又∵A =130°，∴A +B +C >180°， 故此三角形无解． 故选:A. 7、答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3， ∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i 2)=32−3√3i2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ． 8、答案：B分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.故选：B 9、答案：ACD分析：A 由正弦定理及等比的性质可说明；B 令A =π3,B =π6可得反例；C 由和角正弦公式及三角形内角和的性质有sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理即可证；D 若AE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|,AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AG⃑⃑⃑⃑⃑⃗，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△ABC 的形状. A ：由asinA =bsinB =csinC ，根据等比的性质有bsinB =a+b+csinA+sinB+sinC ，正确； B ：当A =π3,B =π6时，有sin2A =sin2B ，错误；C ：sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)，而B +C =π−A ，即sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理易得a =bcosC +ccosB ，正确；D ：如下图，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|,AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|是单位向量，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗| =AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，即AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0、AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=12，则AG ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗且AG 平分∠BAC ，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为π3， 易知△ABC 为等边三角形，正确.故选：ACD小提示：关键点点睛：D 选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状. 10、答案：AD解析：根据正弦定理得到cosC =√33，sinB =sin2C =2√23，根据余弦定理得到a =1，S △ABC =√2，得到答案.A +3C =π，故B =2C ，根据正弦定理：bsinB=c sinC，即2√3sinC =3×2sinCcosC ，sinC ≠0，故cosC =√33，sinC =√63，sinB =sin2C =2sinCcosC =2√23. c 2=a 2+b 2−2abcosC ，化简得到a 2−4a +3=0，解得a =3或a =1， 若a =3，故A =C =π4，故B =π2，不满足，故a =1. S △ABC =12absinC =12×1×2√3×√63=√2.故选：AD .小提示：本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11、答案：ABD分析：根据条件知，(e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ )2的最小值为34，结合二次函数与方程的特点可求出e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 的夹角为π3或2π3，从而求出|e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |的值．∵ e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 是两个单位向量，且|e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ |的最小值为√32，∴ (e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ )2的最小值为34，(e 1⃑⃑⃑ +λe 2⃑⃑⃑ )2=λ2+2λe 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ +1的最小值为34，即λ2+2λe 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ +14=0在λ∈R 上有唯一一个解，所以Δ=(2e 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ )2−1=0，所以e 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ =±12∴ e 1⃑⃑⃑ 与e 2⃑⃑⃑ 的夹角为π3或2π3，所以A,B 正确，∴ |e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |2=1或3， ∴ |e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ |=1或√3，所以D 正确，故选：ABD ． 12、答案：54解析：根据向量的数量积运算，结合函数的性质即可求出． 解：∵A(1,0)，B(0,1)，∴ AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1)，AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0)，BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−1)，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)， ∴|tAB⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|34BO ⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |， =|t(−1，1)−(−1，0)|+|34(0，−1)−(1−t)(1，−1)|，=|(1−t ，t)|+|(t −1，14−t)|，=√(1−t)2+t 2+√(t −1)2+(14−t)2， =√2t 2−2t +1+√2t 2−52t +1716， =√2(√t 2−t +12+√t 2−54t +1732)，=√2(√(t −12)2+(0−12)2+√(t −58)2+(0+38)2)， 令f(t)=√(t −12)2+(0−12)2+√(t −58)2+(0+38)2，令T(t,0)，M(12，12)，N(58，−38)，则f(t)=|MT|+|TN|⩾|MN|=5√28，此时t =47∈[0，1]，则当t =47时，则|tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|34BO ⃑⃑⃑⃑⃑ −(1−t)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为54． 所以答案是：54．小提示：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，解答的关键是将f(t)=√(t −12)2+(0−12)2+√(t −58)2+(0+38)2转化为动点T(t,0)到两定点的距离之和，从而求出函数的最小值．。
高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全单选题1、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB⃑⃑⃑⃑⃑ =3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．3CM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：A解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →即可得答案.解：根据题意做出图形，如图，所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →，所以CB →= 3CM →−2CA →.故选：A.小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题2、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为（ ）A ．aB ．1C ．-1D ．−a答案：A分析：根据给定条件，求出(a −2b ⃑ )⋅a ，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则(a −2b ⃑ )⋅a =a 2−2b ⃑ ⋅a =1，令向量a −2b ⃑ 与向量a 的夹角为θ，于是得|a −2b ⃑ |cosθ⋅a ⃑ |a ⃑ |=(a ⃑ −2b ⃑ )⋅a ⃑ |a ⃑ |⋅a⃑ |a ⃑ |=a ，所以向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为a .故选：A3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ .故选：D.4、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（ ）A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同；C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确.故选：D.5、向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，则b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为（）A ．-1B ．−12C ．12D ．1答案：B解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b ⃑⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.因为向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+|b ⃑⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃑⃗+1=3，则a ⃗⋅b⃑⃗=−1， 所以b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|=−12. 故选：B.6、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C,a +b =2c =2，则△ABC 的面积为（ ）A ．3√38B ．√34C ．√32D ．3√32 答案：B分析：由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出C =π3，再由已知可求出ab =1，即可求出面积.因为a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C ，由正弦定理得a (a −b )+b 2=c 2，即a 2+b 2−c 2=ab ，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab =12， 又C ∈(0,π)，所以C =π3.又a +b =2c =2，则c =1,a +b =2，由a 2+b 2−c 2=a 2+b 2−1= ab,(a +b)2−3ab =1，得ab =1.所以S △ABC =12ab sin C =12×1×1×sin π3=√34. 故选：B.7、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ）A ．14B ．34C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB .b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 22a⋅2a =34. 故选：B8、在△ABC 中，若AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解.因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0， 所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形.故选：B多选题9、下列结果为零向量的是( )A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ )B ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −CD ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：BCD分析：根据向量加减法的运算方法即可逐项判断.A 项，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗−(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)＝AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗； B 项，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；C 项，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；D 项，NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗.故选：BCD.10、已知向量a ⃗=(1,−2)，b⃑⃗=(−1,m)，则（ ） A ．若a ⃗与b ⃑⃗垂直，则m =−1B ．若a ⃗//b⃑⃗，则m =2 C ．若m =1，则|a ⃗−b ⃑⃗|=√13D ．若m =−2，则a ⃗与b⃑⃗的夹角为60° 答案：BC分析：利用向量垂直、平行的坐标表示求参数m ，即可判断A 、B 的正误；由m 的值写出b⃑⃗的坐标，再由向量坐标的线性运算及模长的坐标求法、夹角的坐标求法求|a ⃗−b ⃑⃗|、a ⃗与b⃑⃗的夹角，即可判断C 、D 正误. A ：a ⃗与b ⃑⃗垂直，则−1−2m =0，可得m =−12，故错误；B：a⃗//b⃑⃗，则m−2=0，可得m=2，故正确；C：m=1有b⃑⃗=(−1,1)，则a⃗−b⃑⃗=(2,−3)，可得|a⃗−b⃑⃗|=√13，故正确；D：m=−2时，有b⃑⃗=(−1,−2)，所以cos<a⃗,b⃑⃗>=a⃑⃗⋅b⃑⃗|a⃑⃗||b⃑⃗|=√5×√5=35，即a⃗与b⃑⃗的夹角不为60°，故错误.故选：BC11、（多选）已知向量a⃗，b⃑⃗，在下列命题中正确的是（）A．若|a⃗|>|b⃑⃗|，则a⃗>b⃑⃗B．若|a⃗|=|b⃑⃗|，则a⃗=b⃑⃗C．若a⃗=b⃑⃗，则a⃗//b⃑⃗D．若|a⃗|=0，则a⃗=0答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案.解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A错；向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B错；两个向量相等，这两个向量平行，所以C正确；模值为零的向量为零向量，故D正确故选：CD填空题12、《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.答案：100(√3+1)分析：依题意画出图象，即可得到A=60∘,B=75∘,C=45∘，AB=200，再利用正弦定理计算可得；解：如图，设震源在C处，则AB=200km，则由题意可得A=60∘,B=75∘,C=45∘，根据正弦定理可得200 sin45∘=ACsin75∘，又sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=√22×√32+√22×12=√6+√24所以AC=200sin75∘sin45∘=200×√6+√24√22=100(√3+1)，所以震源在A地正东100(√3+1)km处.所以答案是：100(√3+1)13、已知向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，若(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，则实数λ=___________. 答案：−1分析：由(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，可得(a⃗+3b⃑⃗)⋅(2a⃗+λb⃑⃗)=0，化简后结已知条件可求得答案解：因为向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，且(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，所以(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，即2a ⃗2+(6+λ)a ⃗⋅b⃑⃗+3λb ⃑⃗2=0， 所以8+(6+λ)×2×1×(−12)+3λ=0，解得λ=−1，所以答案是：−114、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________.答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p ⃗=xm ⃑⃑⃗+yn ⃑⃗，则有p ⃗=3a ⃗+2b ⃑⃗=x(2a ⃗−3b ⃑⃗)+y(4a ⃗−2b ⃑⃗)=(2x +4y)a ⃗+(−3x −2y)b⃑⃗， 得{2x +4y =3−3x −2y =2⇒{x =−74,y =138.，所以p ⃗=−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗， 所以答案是：−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗解答题 15、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB（1）求B ;（2）若b =2√3,AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6，求△ABC 的周长 答案：（1）B =π3；（2）6√3. 分析：（1）根据asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sinBcosB =sinB 求解；（2）利用余弦定理得到(a +c )2−3ac =12，然后由AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6求得ac 代入即可. （1）因为 asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，所以a (sinAsinB −cosAcosB )+ccosA =2bcosB ，所以−acos(A +B)+ccosA =2bcosB所以acosC +ccosA =2bcosB由正弦定理得sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB整理得sin (A +C )=2sinBcosB =sinB因为在△ABC 中，所以sinB ≠0，则2cosB =1所以B =π3 （2）由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(a +c )2−3ac =12，因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =accosB =12ac =6， 所以ac =12，所以(a +c )2−36=12，解得a +c =4√3.所以△ABC 的周长是6√3小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。
高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点梳理(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点梳理单选题1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ . 故选：D.2、若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围. 因为|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≤13. 故选：C.3、已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2=a (a +c )，则asinAbcosA−acosB 的取值范围是（ ） A ．(0,√22)B ．(0,√32)C ．(12,√22)D ．(12,√32) 答案：C分析：由b 2=a(a +c)利用余弦定理，可得c −a =2acosB ，正弦定理边化角，在消去C ，可得sin(B −A)=sinA ，利用三角形ABC 是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得asinAbcosA−acosB 的取值范围． 由b 2=a(a +c)及余弦定理，可得c −a =2acosB正弦定理边化角，得sinC −sinA =2sinAcosB∵A +B +C =π∴sin(B +A)−sinA =2sinAcosB∴sin(B −A)=sinA∵ABC 是锐角三角形， ∴B −A =A ，即B =2A ． ∵0<B <π2，π2<A +B <π， 那么：π6<A <π4则asinAbcosA−acosB =sin 2Asin(B−A)=sinA ∈(12，√22) 故选：C小提示：方法点睛：解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.4、在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，点P 是△ABC 内一点（含边界），若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最大值为（ ） A ．2√73B ．83C ．2√193D ．2√133答案：D分析：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立坐标系，设点P 为(x,y)，根据向量的坐标运算可得y =√3(x −2)，当直线y =√3(x −2)与直线BC 相交时|AP⃑⃑⃑⃑⃑ |最大，问题得以解决 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB =3，AC =2，∠BAC =60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，C(1,√3)，设点P 为(x,y)，0⩽x ⩽3，0⩽y ⩽√3， ∵ AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴(x ，y)=23(3，0)+λ(1，√3)=(2+λ，√3λ)， ∴ {x =2+λy =√3λ ， ∴y =√3(x −2)，① 直线BC 的方程为y =−√32(x −3)，②，联立①②，解得{x =73y =√33 ， 此时|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |最大， ∴|AP|=√499+13=2√133， 故选：D ．小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（ ）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积. 因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ， 而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ， 故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、在△ABC 中，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解. 因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0， 所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形. 故选：B7、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B ′C ′=60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′−CC ′约为（√3≈1.732）（ ）A．346B．373C．446D．473答案：B分析：通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A′B′，进而得到答案．过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′，故AA′−CC′=AA′−(BB′−BH)=AA′−BB′+100=AD+100，由题，易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD=DB．所以AA′−CC′=DB+100=A′B′+100．因为∠BCH=15°，所以CH=C′B′=100tan15°在△A′B′C′中，由正弦定理得：A′B′sin45°=C′B′sin75°=100tan15°cos15°=100sin15°，而sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√6−√24，所以A′B′=100×4×√2 2√6−√2=100(√3+1)≈273，所以AA′−CC′=A′B′+100≈373． 故选：B ．小提示：本题关键点在于如何正确将AA′−CC′的长度通过作辅助线的方式转化为A′B′+100．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为（ ）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x4+y2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC⃑⃑⃑⃑⃑ =PD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )max =815−5=565，故选：D. 多选题9、下列说法正确的有（ ）A ．若a //b ⃑ ，b ⃑ //c ，则a //cB ．若a =b ⃑ ，b ⃑ =c ，则a =cC ．若a //b ⃑ ，则a 与b ⃑ 的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线，则A 、B 、C 三点共线 答案：BD分析：取b ⃑ =0⃑ 可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑ =0⃑ ，a 、c 均为非零向量，则a //b ⃑ ，b ⃑ //c 成立，但a //c 不一定成立，A 错； 对于B 选项，若a =b ⃑ ，b ⃑ =c ，则a =c ，B 对； 对于C 选项，若b ⃑ =0⃑ ，a ≠0⃑ ，则b ⃑ 的方向任意，C 错； 对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对. 故选：BD.10、（多选）已知向量a ⃗，b ⃑⃗，在下列命题中正确的是（ ） A ．若|a ⃗|>|b ⃑⃗|，则a ⃗>b ⃑⃗B ．若|a ⃗|=|b ⃑⃗|，则a ⃗=b ⃑⃗ C ．若a ⃗=b ⃑⃗，则a ⃗//b ⃑⃗D ．若|a ⃗|=0，则a ⃗=0 答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案. 解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A 错； 向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B 错； 两个向量相等，这两个向量平行，所以C 正确；模值为零的向量为零向量，故D 正确 故选：CD11、如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB⃑⃑⃑⃑⃑ B ．MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD解析：根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，A 正确； MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )+AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 正确； MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −14AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 错误； BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，D 正确. 故选：ABD .小提示：本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力. 填空题12、已知|OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=1，若存在m,n ∈R ，使得mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗与nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗夹角为60∘，且|(mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)−(nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)|=12，则|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|的最小值为___________. 答案：√132分析：设a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗可得A,A ′,B,B ′共线，又|a ⃗−b⃑⃗|=|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12，当|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12为最小时|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，而此时A ′、B ′关于y 轴对称，结合已知即可求|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|的最小值. 由题意，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，∴令a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1−m)OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+mOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1+n)OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−nOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，故有A,A ′,B,B ′共线，∵|a →−b →|=|B ′A ′→|=12，故当且仅当|B′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12为最小时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小， ∴有A ′、B ′关于y 轴对称时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，此时O 到AB 的距离为√3⋅|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=√34， ∴|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=√1−316=√134，即|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=√132.所以答案是：√132. 小提示：关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的终点共线，且|a ⃗−b⃑⃗|=|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12可分析得A ′、B ′关于y 轴对称时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，进而求最小值即可. 13、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________. 答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p⃗=xm⃑⃑⃗+yn⃑⃗，则有p⃗=3a⃗+2b⃑⃗=x(2a⃗−3b⃑⃗)+y(4a⃗−2b⃑⃗)=(2x+4y)a⃗+(−3x−2y)b⃑⃗，得{2x+4y=3−3x−2y=2⇒{x=−74,y=138.，所以p⃗=−74m⃑⃑⃗+138n⃑⃗，所以答案是：−74m⃑⃑⃗+138n⃑⃗14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=45m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则AB两点的距离为______m．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。
高中数学(人教A版)必修第二册《第六章 平面向量及其应用》解答题专项练习(含答案解析)
试卷第1页，共71页高中数学（人教A 版）必修第二册《第六章 平面向量及其应用》解答题专项练习（含答案解析）一、解答题1．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-.（1）求2a b +；（2）若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；（3）若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.【答案】（1）1（2）2（3）证明见解析【分析】（1）先求()21,0a b +=，进而求2a b +；（2）列出方程组，求出13λμ=-⎧⎨=⎩，进而求出λμ+；（3）求出2AC a b =-，从而得到422CD a b AC =-=，得到结果.（1）()()()21,22,21,0a b +=-+-=，2101a b +=+；（2）()()()1,251,14,μλ--+-=，所以425λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，解得：13λμ=-⎧⎨=⎩，所以2λμ+=； （3） 因为22AC AB BC a b a b a b =+=++-=-，所以422CD a b AC =-=，所以A ，C ，D 三点共线.2．（1）在直角三角形ABC 中，C =90°，AB =5，AC =4，求AB BC ⋅；（2）已知向量(3,1)AB =，(1,)AC a =-，a R ∈.若△ABC 为直角三角形，求a 的值.【答案】（1）9-；（2）3a =或13【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，进行求解；（2）分三种情况进行求解，利用垂直关系下数量积为0列出方程，求出a 的值.【详解】（1）以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据勾股定理得：3BC ==，所以()3,0B ，()0,4A ，所以()()3,43,09AB BC ⋅=-⋅-=-（2）()(1,)(3,1)4,1BC AB AC a a =-=--=--， ①π2A ∠=，此时(3,1)(1,)30AC a a AB ⋅=⋅-=-+=，解得：3a =； ②π2B ∠=，此时()(3,1)4,11210AB B a a C ⋅=⋅--=-+-=，解得：13a =； ③π2C ∠=，此时()2(1,)4,140AC a a BC a a ⋅=-⋅--=+-=，因为∆<0，无解； 综上：3a =或133．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin a A b B c C a B +=+. （1）求角C ；（2）若ABC 2c =，求ABC 的周长.【答案】（1）3π （2）6【分析】（1）、根据正弦定理和余弦定理求解即可；（2）、利用面积公式求出ab 的值，化简求出a b +的值，从而求出ABC 的周长. （1）sin sin sin sin a A b B c C a B +=+, sin ,sin ,sin ,222a b c A B C R R R===试卷第3页，共71页222a b c ab ∴+-=,2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===, 又0C π<<，3C π∴=. （2）由（1）可知3C π=.1sin 2ABC S ab C ==4ab ∴=, 222a b c ab +-=,2c =,228a b ∴+=,()222216a b a b ab ∴+=++=,4a b ∴+=，6a b c ∴++=. ABC ∴的周长为6.4．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A 14=，若a =4，b +c =6，且b <c ，求b ，c 的值.【答案】2,4b c ==【分析】利用余弦定理即可求出.【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即()22215516236422b c bc b c bc bc =+-⨯=+-=-，则8bc =， 因为b c <，则可解得2,4b c ==.5．如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点B ､C ､D 的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），（1）求向量BC ；（2）求顶点A 的坐标.【答案】（1）()4,1BC =（2）()2,1-【分析】（1）由点B ､C 的坐标即可求解BC 的坐标；（2）设顶点A 的坐标为(),x y ，由四边形ABCD 为平行四边形，有BC AD =，从而即可求解.（1）解：因为点B ､C 的坐标分别是（-1，3）､（3，4），所以()()()3,41,34,1BC =--=；（2）解：设顶点A 的坐标为(),x y ，因为四边形ABCD 为平行四边形，D 的坐标是（2，2），所以BC AD =，即()()4,12,2x y =--，所以2421x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩， 所以顶点A 的坐标为()2,1-.6．已知||1a =，||2b =，a b 与的夹角是60°，计算（1）计算a b ⋅，||a b +；（2）求a b +和a 的夹角的余弦值.【答案】（1）1a b ⋅=，||7a b +=（2 【分析】 （1）利用数量积的定义可求出a b ⋅，先求出2||a b +，即可得出||a b +； （2）先求出()a b a +⋅，根据向量夹角关系即可求出. （1） 由题可得1cos601212a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯=， 222||212147a b a a b b +=+⋅+=+⨯+=，所以||7a b +=；试卷第5页，共71页（2）()2112a b a a a b +⋅=+⋅=+=， 设a b +和a 的夹角为θ，所以()2cos 71a b a a b a θ+⋅==⨯+⋅7．如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a，b ，c ，已知a =6，A =60°，B =75°.（1）求角C ；（2）求边c .【答案】（1）C =45°（2）c =【分析】（1）根据三角形三个内角和等于180°即可求解；（2）结合已知条件，根据正弦定理即可求解.（1）解：在△ABC 中，因为A =60°，B =75°，所以角180180607545C A B =--=--=； （2）解：在△ABC 中，因为a =6，A =60°，又由（1）知C =45°，所以由正弦定理有sin sin a c A C ==c = 8．已知向量3a =，2b =，a 与b 的夹角为3π.（1）求a b +；（2）求()()23a b a b +⋅-.【答案】（1【分析】（1）由cos 33a b a b π⋅=⋅=，结合222?a b a ab b +=++，即可求解；（2）由()()22236a b a b a a b b +⋅-=-⋅-，即可求解. （1） 解：由题意，向量3a =，2b =，a 与b 的夹角为3π， 可得1cos 32332a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=，又由2222?32a b a ab b +=++=+⨯ （2）解：因为向量3a =，2b =，且3a b ⋅=，所以()()222236336418a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=--⨯=-.9．一艘海轮从A 出发，沿北偏东70︒的方向航行1)n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东10︒的方向航行2n mile 到达海岛C ．（1）求AC 的长；（2）如果下次航行直接从A 出发到达C ，应沿什么方向航行？ 【答案】（1）AC =（2）沿北偏东25︒的方向航方向航行.【分析】（1）根据示意图，确定好题目中给出的长度和角度；选用余弦定理求解AC 的长度，试卷第7页，共71页（2）利用求出的AC 的长度以及相关条件，选用正弦定理完成CAB ∠的求解，进而得答案.（1）解：由题意知，在ABC 中，1807010120ABC ∠=︒-︒+︒=︒，1=AB ，2BC =，根据余弦定理，得))22222cos 14216AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=++=，所以AC =．（2） 解：根据正弦定理可得sin sin AC BC ABC CAB=∠∠，即2sin 2s in BC A B BC CA AC∠====∠ 又,(0,180)BC AC CAB <∈∠，所以45CAB ∠=︒．所以应沿北偏东25︒n mile 即可到达C 处. 10．已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行见此岛在北偏东30︒，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【答案】无触礁危险，理由见解析.【分析】根据题意，作出示意图，利用正弦定理，求得AD ，与8进行比较，即可判断.【详解】如图所示，在△ABC 中，依题意得BC =，907515ABC ∠=︒︒=︒－，6045BAC ABC ∠=︒∠=︒－. 由正弦定理，得sin15AC ︒＝sin 45BC ︒， 所以AC10（海里）故A到航线的距离为sin6010=︒==.AD AC因为8>，所以货轮无触礁危险．11．如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题．（1）分别写出与OA、OB、OC相等的向量；（2）分别写出与OD、OE、OF共线的向量；（3）分别写出OD与OB，OD与OE的夹角；（4）分别写出OD与AB，OD与FA的夹角．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析.【分析】（1）根据正六边形的性质以及相等向量的概念可得结果；（2）根据正六边形的性质以及共线向量的概念可得结果；（3）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.（4）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.（1）解：由正六边形的性质可知，与OA相等的向量有：DO、试卷第9页，共71页 EF、CB ，与OB 相等的向量有：EO 、FA 、DC ，与OC 相等的向量有：FO 、AB 、ED .（2） 解：与OD 共线的向量有：DO 、AO 、OA 、AD 、DA 、EF、FE 、BC 、CB ， 与OB 共线的向量有BO 、EO 、OE 、CD 、DC 、BE 、EB 、FA 、AF ， 与OF 共线的向量有：FO 、OC 、CO 、CF 、FC 、ED 、DE 、AB 、BA . （3）解：OD 与OB 的夹角120，OD 与OE 的夹角60. （4）解：OD 与AB 的夹角为60，OD 与FA 的夹角120.12．已知|a |5=，|b |4=，（1）若a 与b 的夹角为120.θ=︒①求a ⋅b ；②求a 在b 上的投影向量．（2）若a //b ，求a ⋅b .【答案】（1）①10-；②58-b （2）答案见解析【分析】（1）根据数量积、投影向量的知识求得正确答案. （2）根据a ，b 的夹角进行分类讨论，由此求得a ⋅b . （1） ①cos12010a b a b ⋅=⋅⋅︒=-.②a 在b 上的投影向量为15cos1205248b b a b⎛⎫⋅︒⋅=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭b . （2）a //b ， ∴a 与b 的夹角为0θ=︒或180.θ=︒ 当0θ=︒时，cos020a b a b ⋅=⋅⋅︒=. 当180θ=︒时，cos18020a b a b ⋅=⋅⋅︒=-. 13．如图，O 为ABC 内一点，OA =a ，OB =b ，OC =c .求作：（1）b +c -a ；（2）a -b -c .【答案】 （1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. （2）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. （1）试卷第11页，共71页设D 是BC 的中点，连接OD 并延长，使OD DE =. b +c -a OE OA AE =-=.（2）a -b -c =a -△b +c △OA OE EA =-=.14．已知向量a ，b ，c ，d 分别表示下列位移：“向北10km ”△“向南5km ”△“向西10km ”△“向东5km ”．请说明向量a b +，b b +，a c +，a b b ++，a d d ++的意义． 【答案】答案见解析 【分析】根据a ，b ，c ，d 的意义对a b +，b b +，a c +，a b b ++，a d d ++的意义进行说明. 【详解】向量a b +表示“向北5km”； 向量b b +表示“向南10km”；向量a c +表示“”； 向量2a b b a b ++=+，表示没有位移；向量2a d d a d ++=+，表示“”．15．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其外接圆半径R 满足2222cos .R ac B a c +=+（1）求B 的大小； （2）若2b =，512C π=，求ABC 的面积． 【答案】 （1）6π（2）2+【分析】（1）由余弦定理和已知条件化简可得R b =，再根据正弦定理，即可求出结果． （2）由三角形内角和可知A C =，进而可得a c =，由余弦定理即可求出2a ，再根据211sin sin 22ABCSac B a B ==，即可求出结果. （1）解：2222cos R ac B a c +=+，22222cos R a c ac B b ∴=+-=， 2sin bR b B ∴==，1sin 2B ∴=， 又B 为锐角，.6B π∴= （2） 解：6B π=，512C π=， 55()61212A ππππ∴=-+=，a c ∴=，又2b =,由余弦定理，得(22222cos 2b a c ac B a =+-=，24(2a ∴=，211sin sin 222ABCSac B a B ∴===16．在)1cos cos 2A A A ⋅-=；②cos cos 2A aC b c=-两个条件中任选一个填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，4b c +=，求a 的最小值．试卷第13页，共71页【答案】选择①或②a 的最小值为2. 【分析】选择①利用二倍角公式以及辅助角公式化简即可求得角A ，再由余弦定理以及基本等式即可求a 的最小值；选择②由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式化简可得cos A 的值进而可得角A ，再由余弦定理以及基本等式即可求a 的最小值. 【详解】选择①：)1cos cos 2A A A ⋅-=可得：2sin 2cos 1A A A -=，1cos 22212AA +-⨯=，2cos22A A -=，所以π2sin 226A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ112,π666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ262A -=，π3A =，在ABC 中，由余弦定理可得：()()()222222212cos 3342b c b c a b c bc A bc b c b c +⎛⎫=+-≥+-⨯+ ⎪⎝⎭=+-=，当且仅当b=c等号成立即()22144a b c +=≥，所以2a ≥，所以a 的最小值为2， 选择②：cos cos 2A aC b c=-， 由正弦定理化边为角可得：sin cos cos 2sin sin A C B CA=-，所以2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=， 因为sin 0B ≠，所以2cos 1A =，1cos 2A =， 因为()0,πA ∈，所以π3A =， 在ABC 中，由余弦定理可得：()()()222222212cos 3342b c b c a b c bc A bc b c b c +⎛⎫=+-≥+-⨯+ ⎪⎝⎭=+-=即()22144a b c +=≥，所以2a ≥，所以a 的最小值为2. 17．在△3A π=，a =b =△1a =，b =6A π=；△a =b =3B π=这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知___________，解三角形.【答案】答案见解析 【分析】选择条件△：利用正弦定理求出B ，即可得出C ，再利用正弦定理即可求出c ；选择条件△：利用正弦定理求出B ，即可求出C 和c ；选择条件△：利用正弦定理求出A ，即可求出C 和c . 【详解】 选择条件△： 因为3A π=，a =b =由正弦定理得sin sin a b A B==所以sin B 4B π=或34B π=（舍去），所以53412C ππππ=--=，因为5sinsin sin cos cos sin 126464644πππππππ+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由正弦定理可得2sin sin c aC A===，则c =. 选择条件△：因为1a =，b =6A π=，由正弦定理得sin sin a b A B=，即112=所以sin B =，解得3B π=或23B π=，符合题意，当3B π=时，632C ππππ=--=，则2c =，当23B π=时，2636C ππππ=--=，则1c a ==； 选择条件△：因为a =b =3B π=，试卷第15页，共71页由正弦定理得sin sin a bA B =，即sin 2A = 则sin 1A =，所以2A π=，所以236C ππππ=--=，c =18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos sin C c B =. （1）求角C ；（2）若2b =，ABC的面积为c . 【答案】 （1）3C π=（2）c =【分析】（1）cos sin sin B C C B =，进而得tan C =在求解即可得答案；（2）由面积公式得8ab =，进而根据题意得2b =，4a =，再根据余弦定理求解即可. （1）cos sin C c B =，cos sin sin B C C B =， 因为()0,,sin 0B B π∈≠，sin C C =，即tan C = 因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）解：因为ABC的面积为3C π=，所以1sin 2S ab C ===8ab =， 因为2b =，所以4a =，所以2222201cos 2162a b c c C ab +--===，解得c =所以c =19．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =． （1）若||25b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若10c =，且2a c +与43a c -垂直，求a 与c 的夹角θ. 【答案】（1）()2,4b =或()2,4b =--. （2）π4θ=. 【分析】（1）设(),b x y =，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案. （1）解：设(),b x y =，因为//a b ，所以2y x =．①又25b =，所以2220x y +=．②，由①②联立，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,4b =或()2,4b =--． （2）解：由()()243a c a c +⊥-，得()()222438320a c a c a c a c ⋅+-=--⋅=，又||5,||10a c ==，解得5a c ⋅=，所以5cos [0,π]||||5a c a c θθ⋅==∈⨯， 所以a 与c 的夹角π4θ=.20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c +--=. （1）求A ；（2）若a =2，ABC b ，c 的值. 【答案】 （1）3A π=（2）2b c == 【分析】试卷第17页，共71页（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用()sin sin B A C =+以及两角和的正弦公式代入计算即可；（2）先利用面积公式求出bc ，再利用余弦定理求出22b c +，然后解方程组即可. （1）由cos sin 0a C C b c +--=及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=.因为()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=--=+=+，sin cos sin sin 0A C A C C --=. 由于sin 0C ≠，cos 10A A --= 所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.（2）由题得ABC的面积1sin 2S bc A ==4bc =①.而222a b c =+-2cos bc A ，且2a =，故228b c +=②， 由①②得2b c ==.21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，cab=．（1）求角B ；（2）若c b ==，ABC 的周长l ． 【答案】 （1）6B π=（2）3 【分析】 (1)ab=cos B B =，由此可求角B ；(2)由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，解方程求a c ，，由此可得ABC 的周长l ． （1）ab=sin sin cos B A A B =．在ABC 中，sin 0A ≠cos B B =，所以tan B =． 又0B π<<，所以6B π=．（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2232cos6a c ac π=+-，即223a c +=，又c =，解得3a c ==．故ABC 的周长33l a b c =++==22．在ABC 中，点P 是AB 上一点，且23CP CA =+13CB ，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，且CM =tCP ，求t 的值．【答案】34【分析】由2133CP CA CB =+，化简为2AP PB =，得到点P 是AB 的一个三等分点（靠近A 点），再根据A ，M ，Q 三点共线，设AM AQ λ=，然后用,AB AC 分别表示向量,CM CP ，再根据CM =tCP 求解. 【详解】 如图所示：因为2133CP CA CB =+，所以32CP CA CB =+， 所以()2CP CA CB CP -=-， 即2AP PB =，所以点P 是AB 的一个三等分点（靠近A 点）， 又因为A ，M ，Q 三点共线，且Q 为BC 的中点，试卷第19页，共71页设AM AQ λ=，则CM AM AC AQ AC λ=-=-()2222AB AC AC AB AC λλλ-=+-=+， 13CP AP AC AB AC =-=-， 因为CM =tCP ， 所以21223AB AC t AB AC λλ-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2322t tλλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得1234t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以t 的值是34.23．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，csin cos C c B +=，且23C π=． （1）求A 的大小；（2）若ABC的周长为8+AC 边上中线BD 的长度． 【答案】 （1）6A π=（2）【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；（2）设BC AC x ==，根据三角形的周长可求得4x =，再在BCD △中，运用余弦定理，可求得中线的长. （1）sin cos C c B +，sin sin cos B C C B C +=， 因为()0,,sin 0C C π∈≠，cos B B +=sin 6B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为23C π=，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,662B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以63B ππ+=，即6B π=，所以6A π=（2）解：由（1）得ABC 为等腰三角形，设BC AC x ==，故2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅，代入数据解得：=AB ，因为ABC 的周长为8+28x =+4x =，所以4,BC AC AB ===122DC AC ==, 在BCD △中，23BCD π∠=，所以222cos 2BC CD BD BCD BC CD+-∠=⋅，即2221422242BD ，解得BD =所以AC 边上中线BD 的长度为24．如图，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB ．//CD BO ，某人从C 沿CD 走到D 用了10min ，从D 沿DA 走到A 用了6min ．若此人步行的速度为每分钟50m ，求该扇形的半径OA 的长．（精确到1m ）【答案】445m 【分析】设OA r =，连接OC ，在OCD 中利用余弦定理列方程求解即得. 【详解】设扇形半径OA r =m ，连接OC ，如图，依题意，300DA =m ，500CD =m ，在OCD 中，(300)OD r =-m ，60CDO ∠=， 由余弦定理得：2222cos OC OD CD OD CD CDO =+-⋅∠，即试卷第21页，共71页222(300)5002(300)500cos 60r r r =-+--⨯⨯，化简整理得：49000011000r -=，解得：490044511r =≈(m)， 所以该扇形的半径OA 的长约为445m.25．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m min .在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =.（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】 （1）1040m （2）35min 37（3）1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先求得sin B ，然后由正弦定理求得AB .（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得d 的最小值.（3）根据“两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范围. （1） 由题意5sin 13A =，4sin 5C =，在ABC 中，()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理sin sin AB ACC B=，得1040m AB =.所以，索道AB 的长为1040m. （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ， 此时甲行走了()1005t +，乙距离A 处130t ，由余弦定理得()()()222121005013021301005013d t t t t =++-⨯⨯+ ()2200377050t t =-+，因为10400130t ≤≤，即08t ≤≤， 则当35min 37t =时，甲、乙两游客之间距离最短. （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=，得sin 500m sin AC BC AB ==， 乙从B 出发时，甲已走了()50281550m ++=，还需要走710m 才能到达C ， 设乙步行的速度为m min v ， 由题意得500710125062533504314v v -≤-≤⇒≤≤， 所以为了使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ， 乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：m min ）范围之内. 26．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，3B π=，3a =.（1）若4A π=，求b .（2）若______，求c 的值及ABC 的面积.请从①b =sin 2sin C A =，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答. 【答案】（1；（2）选14ABCc S ==：， 26ABCc S==：，【分析】(1)根据正弦定理计算即可得出结果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c 的值，再结合三角形的面积公式计算即可. （1）试卷第23页，共71页334B a A ππ===，，，由正弦定理，得sin sin b aB A=，所以sin sin a b B A =⨯== （2）选①：由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即21139232c c =+-⨯⨯，整理，得2340c c --=，由c >0，得c =4，所以11sin 3422ABCSac B ==⨯⨯= 选②：因为sin 2sin C A =，由正弦定理，得c =2a ， 所以c =6，所以11sin 6322ABCSac B ==⨯⨯=27．已知向量a 与b 的夹角为θ，5a =，4b =，分别求在下列条件下的a b ⋅： （1）120θ；（2）//a b ； （3）a b ⊥． 【答案】 （1）10- （2）20或20- （3）0 【分析】（1）根据=cos a b a b θ⋅⋅，代入数值，即可求出结果；（2）因为//a b ，所以0θ=︒或180︒，再根据=cos a b a b θ⋅⋅即可求出结果； （3）因为a b ⊥，所以90θ=︒，再根据=cos a b a b θ⋅⋅即可求出结果. （1）解：因为5a =，4b =，120θ，所以1=cos 54102a b a b θ⎛⎫⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；（2）解：因为//a b ，所以0θ=︒或180︒， 当0θ=︒时，=cos054120a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯=；当180θ=︒时，()=cos18054120a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯-=-； 所以a b ⋅的值为20或20-.（3）解：因为a b ⊥，所以90θ=︒， 所以=cos905400a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯=.28．已知()3,1a =-，()1,2b =-，求a b ⋅，a ，b ，,a b <>． 【答案】5a b ⋅=，10a =，5b =，,4a b π<>=.【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由题意可知：()()()()3,11,231125a b ⋅=-⋅-=⨯+-⨯-=， (23a a a =⋅=+=(21b b b =⋅=+=又因为2c 1os 0,5a b a b a b=<>=⨯⋅=0,a b π≤<>≤，所以,4a b π<>=. 29．已知O 为坐标原点，()3,1OA =，()1,2OB =-，OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，求点C 的坐标． 【答案】()14,7. 【分析】设(),C x y ，根据OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，列出方程组，解之即可得出答案. 【详解】解：设(),C x y ，则()(),,1,2OC x y BC OC OB x y ==-=+-， 因为OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，所以()201320x y x y -+=⎧⎨+--=⎩，解得147x y =⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标为()14,7.30．已知()110e ,=，()20,1e ，一动点P 从()012P -,开始，沿着与向量12e e +相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为12m /s e e +.另一动点Q 从()02,1Q --开始，沿着与向量1232e e +相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为1232m /s e e +，设P ，Q 在0s t =时分别在0P ，0Q 处，问当00PQ PQ ⊥时，所需的时间t 为多少？试卷第25页，共71页【答案】2s 【分析】根据题意，结合向量减法，同向的单位向量，以及数量积的坐标公式，即可求解. 【详解】根据题意，易知()120121212e e OP OP t e e t e e e e +-=+⋅=++，()12012121233323232e e OQ OQ t e e t e e e e +-=+⋅=++，两式相减得，()00122PQ P Q t e e -=+，由()001,3PQ =--，()110e ,=，()20,1e =，得()()0012212,3PQ P Q t e e t t =++=-+-+， 因为00PQ PQ ⊥，所以()()00112330PQ PQ t t ⋅=-⨯-+-⨯-+=，解得2s =t . 故当00PQ PQ ⊥时，所需的时间t 为2s .31．两个力1F i j =+，245F i j =-作用于同一质点，使该质点从点()20,15A 移动到点()7,0B （其中i 、j 分别是x 轴正方向、y 轴正方向上的单位向量，力的单位：N ，位移的单位：m ）.求：（1）1F ，2F 分别对该质点做的功； （2）1F ，2F 的合力F 对该质点做的功. 【答案】（1）1F 对该质点做的功为28-（N m ⋅），2F 对该质点做的功23（N m ⋅）； （2）5-（N m ⋅）. 【分析】（1）根据题意，求出位移AB ，结合功的计算公式，即可求解； （2）根据题意，求出合力F ，结合功的计算公式，即可求解. （1）根据题意，()11,1F i j =+=，()2454,5F i j =-=-，()13,15AB =--， 故1F 对该质点做的功11131528W F AB =⋅=--=-（N m ⋅）；2F 对该质点做的功()2213415523W F AB =⋅=-⨯-⨯-=（N m ⋅）. （2）根据题意，1F ，2F 的合力()125,4F F F =+=-，故1F ，2F 的合力F 对该质点做的功()()5134155W F AB =⋅=⨯--⨯-=-（N m ⋅）. 32．如图所示，一个物体受到同一平面内三个力1F ，2F ，3F 的作用，沿北偏东45的方向移动了8m ，其中12N F =，方向为北偏东30 ；24N F =，方向为北偏东60；36N F =，方向为北偏西30，求合力F 所做的功.【答案】 【分析】如图建立平面直角坐标系，求出1F ，2F ，3F 以及位移s 的坐标，进而可得合力123F F F F =++的坐标，再由向量数量积的坐标运算计算W F s =⋅即可求解.【详解】如图建立平面直角坐标系，由题意可得(11,F =，()223,2F =，(3F =-，位移(42,s =，所以(12322,2F F F F =++=+，所以合力F 所做的功为()(2322W F s =⋅=⨯+⨯=，33．在ABC 中，已知4cos 5A =，65a =.试卷第27页，共71页（1）当3B π=时，求b 的值；（2）设02B x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求函数22xy b =+的值域．【答案】 （1（2）(24++ 【分析】（1）利用正弦定理即可求解.（2）利用正弦公式以及辅助角公式可得4sin 3y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭再由正弦函数的性质即可求解. （1） 4cos 5A =，0A π<<，所以3sin 5A =， 当3B π=时，由正弦定理sin sin a bA B=， 可得65sin sin b A B =，解得b =（2）由正弦定理可得65sin 2sin sin b B xA=⋅=，所以22x y b =+)2sin 1cos x x =++2sin x x =+++4sin 3x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为02x π<<，所以3365x πππ<+<， 所以1sin 123x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以24sin 43x π⎛⎫+<+++ ⎪⎝⎭所以函数22xy b =+的值域为(24++. 34．在ABC 中，AB a =，BC b =，当0a b ⋅≥时，判断ABC 的形状． 【答案】直角三角形或钝角三角形.【分析】根据向量数量积的定义可得0,2a b π<≤，即有2ABC π∠=或2ABC ππ<∠<，由此可得答案. 【详解】解：因为在ABC 中，AB a =，BC b =， 0a b ⋅≥，所以cos ,0a b a b ⋅⋅≥，即cos ,0a b ≥，又[],0a b π∈，，所以0,2a b π<≤，即02ABC ππ<-∠≤，所以2ABC π∠=或2ABC ππ<∠<，所以ABC 是直角三角形或钝角三角形.35．在等腰三角形ABC 中，2AB AC ==，30ABC ∠=︒，D 为BC 的中点． （1）求BA 在CD 上的投影向量； （2）求CD 在BA 上的投影向量． 【答案】（1）DC （或BD ） （2）34BA -【分析】（1）先求出BA 在CD 上的投影，然后乘以与CD 同向的单位向量即得； （2）先求出CD 在BA 上的投影，然后乘以与BA 同向的单位向量即得． （1）如图，2AB AC ==，30ABC ∠=︒，D 为BC 的中点．则AD BC ⊥，1AD =，AD CD ==所以,150BA CD <>=︒，23BA CD ⋅=︒=-，BA 在CD 上的投影为BA CD CD⋅-==BA 在CD 上的投影向量为CDCD DC CD=-=BD =；试卷第29页，共71页（2）CD 在BA 上的投影为3322BA CD BA⋅-==-， CD 在BA 上的投影向量为3324BA BA BA -⨯=-． 36．如图，已知OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，OF f =，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：（1）AC ； （2）AD ； （3）AD AB -； （4）AB CF +； （5）BF BD -． 【答案】 （1）c a →→- （2）d a →→- （3）d b →→- （4）b a f c →→→→-+- （5）f d→→- 【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果. （1）AC OC OA c a →→→→=-=-.（2）AD OD OA d a →→→→=-=-.（3）AD AB BD OD OB d b →→→→→-==-=-.（4）AB CF OB OA OF OC b a f c →→→→→→→→+=-+-=-+-.（5）BF BD DF OF OD f d →→→→→-==-=-.37．已知a b ⊥，且2=a ，1b =，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得()3a b t +-与ka tb -+垂直，试求k 的最小值．【答案】916- 【分析】由a b ⊥得0a b ⋅=，再由()3a b t +-与ka tb -+垂直，转化得234t tk -=，结合二次函数性质可求k 的最小值． 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，又()3a b t +-与ka tb -+垂直，所以()()30a b ka tb t ⎡⎤+-⋅=⎣⎦-+，即()()22330ka t t b t k t a b ⎡⎤-+-+--⋅=⎣⎦，又2=a ，1b =，所以()430k t t -+-=，234t tk -=，当32t =时，k 取到最小值916-. 38．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且1AB AD ==，0OA OC OB OD +=+=，1cos 2DAB ∠=.求DC BC +与CD BC +． 【答案】3DC BC +=1CD BC += 【分析】首先根据已知条件得到四边形ABCD 为菱形，且3DAB π∠=，根据DC BC AC +=，CD BC BD +=，再求其模长即可.【详解】试卷第31页，共71页因为0OA OC OB OD +=+=，所以OA OC =-，OB OD =-，即四边形ABCD 为平行四边形. 又因为1AB AD ==，则四边形ABCD 为菱形，如图所示：1cos 2DAB ∠=，0DAB π<∠<，所以3DAB π∠=. 23DC BC AD DC AC AO +=+===. 1CD BC CD CB BD +=-==. 39．是否存在a ，b ，使a b a b +==？请画出图形说明．【答案】存在，图形见解析【分析】根据平面向量数量积的运算律及向量夹角的计算公式求出a 与b 的夹角，即可得解； 【详解】 解：因为a b a b +==，所以22a b a +=，即2222a a b b a +⋅+=，即2222a a b b a +⋅+=，即212a b a ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==-⋅，因为[]0,θπ∈，所以23πθ=，即当a 与b 的夹角为23π且a 与b 的模相等时，满足a bab +==， 图形如下所示：40．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，作向量a +b +c ．【答案】答案见详解.【分析】利用向量加法的三角形法则即可求解.【详解】由向量加法的三角形法则， a +b +c 如图，41．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a b c --．【答案】见解析【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解.【详解】由向量减法的三角形法则，令,a OA b OB →→→==,则a b OA OB BA →→→→→-=-=,令c BC →→=,所以a b c BA BC CA →→→--=-=.如下图中CA →即为a b c --.试卷第33页，共71页42．如图，已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求AC 和BD 的坐标.【答案】3(2AC=，(BD -= 【分析】 依题意B ，D 分别是30，120︒角的终边与单位圆的交点，设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义，求出B 、D 的坐标，再根据向量的坐标表示和向量的加减运算可得.【详解】解：由题知B ，D 分别是30，120︒角的终边与单位圆的交点．设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义， 得1cos30x ︒==，11sin 302y ︒==，△12B ⎫⎪⎝⎭． 21cos1202x ︒==-，2sin120y ︒==△12D ⎛- ⎝⎭． ()0,0A △3122AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12AD ⎛=- ⎝⎭． ∴3(2AC AB AD=+=，(BD AD AB -=-=43．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()6,1AB →=，(),BC x y →=，()2,3CD →=--，且BC AD →→∥．（1）求x 与y 间的关系；（2）若AC BD →→⊥，求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积． 【答案】（1）20x y +=（2）2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩四边形ABCD 的面积为16 【分析】（1）由已知，利用平面向量坐标运算分别表示出AD →，BC →的坐标，利用平行关系即可得到x 与y 间的关系.（2）由（1）得到x 与y 间的关系以及利用AC BD →→⊥数量积为0，通过联立方程分别解出,x y ，并确定AC →，BD →坐标.最后，由四边形对角线垂直，可直接由对角线长度乘积的一半求出四边形面积.（1）由题意得()4,2AD AB BC CD x y →→→→=++=+-，(),BC x y →=，因为BC AD →→∥，所以()()420x y y x +--=，即20x y +=……① （2）由题意得()6,1AC AB BC x y →→→=+=++，()2,3BD BC CD x y →→→=+=--， 因为AC BD →→⊥，所以0AC BD →→⋅=，即()()()()62130x x y y +-++-=， 整理得2242150x y x y ++--=……②联立①②2242150{20x y x y x y ++--=+=,解得2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩. 记四边形ABCD 面积为S当2,1,x y =⎧⎨=-⎩时，()8,0AC →=，()0,4BD →=-，则1162S AC BD →→==， 当6,3x y =-⎧⎨=⎩时，()0,4AC →=，()8,0BD →=-，则1162S AC BD →→==试卷第35页，共71页 综上2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩四边形ABCD 的面积为16 44．已知向量()8,4a →=-，(),1b x →=.△a →，b →共线，△a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭. （1）若______，请从以上两个条件中任选一个，求x 的值；（2）当2x =时，求a →与b →夹角θ的余弦值.【答案】（1）选择△，2x =-；选择△，212x =； （2）35. 【分析】（1）选择△，根据,a b →→共线即可得出840x +=，解出x 即可；选择△，先求出(8,5)a b x →→-=--，根据a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭即可得出()0a b a →→→-=，然后进行数量积的坐标运算即可求出x 的值； （2）2x =时，可得出向量b →的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos θ． （1）解：如果选择△，,a b →→共线，840x ∴+=，解得2x =-；如果选择△，(8,5)a b x →→-=--，且a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴()8(8)200a b a x →→→-=-+=，解得212x =. （2）解：当2x =时，(2,1)b →=，∴12a b →→=，|||a b →→= ∴123cos 545||||a ba b θ→→→→==． 45．已知O 为坐标原点，()2,5OA →=，()3,1OB →=，()6,3OC →=，则在线段OC 上是否存在点M ，使得MA MB →→⊥若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】()2,1M 或2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】假设存在点M ，且()()6,301OM OC λλλλ→→==<≤,求出,MA MB →→的坐标,根据平面向量互相垂直时,它们的数量积为零,得到方程,解方程求出λ,最后求出点M 坐标.【详解】解：设存在点M ，且()()6,301OM OC λλλλ→→==<≤()26,53MA λλ→=--，()36,13MB λλ→=--, 因为MA MB →→⊥,所以0MA MB →→⋅=,有()()()()2126365313045481103λλλλλλλ--+--=⇒-+=⇒=或1115λ= ()2,1OM →∴=或2211,55⎛⎫ ⎪⎝⎭∴存在()2,1M 或2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意. 46．已知a 、b 、c 为同一平面内的三个向量，其中()1,2a =（1）若()2,c k =-，且c a ∥，求c ；（2）若()1,b m =，且a 与b 垂直，求b .【答案】（1）()2,4c =--（2）11,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；（2）由a 与b 垂直，可得0a b ⋅=，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （1）解：∵()2,c k =-，()1,2a =且//c a ，∴()2210k -⨯-⨯=，∴4k =-，∴()2,4c =--.（2）解：由a 与b 垂直，得0a b ⋅=，即1120m ⨯+⨯= ∴12m =-. 47．如图，在射线,,OA OB OC 中，相邻两条射线所成的角都是120，且线段OA OB OC ==.设OP xOA yOB =+.试卷第37页，共71页（1）当2,1x y ==时，在图1中作出点P 的位置（保留作图的痕迹）； （2）请用,x y 写出“点P 在射线OC 上”的一个充要条件：___________； （3）设满足“24x y +=且0xy ≥”的点P 所构成的图形为G ， ①图形G 是___________；A△线段 B△射线 C△直线 D△圆②在图2中作出图形G .【答案】（1）答案见解析（2）x y =且0,0x y ≤≤（3）① A ；②答案见解析【分析】（1）根据向量的加法的几何意义作出点P 的位置；（2）根据向量的线性运算的几何意义确定“点P 在射线OC 上”的一个充要条件； （3）根据向量共线定理的推论确定P 的轨迹形状，并画图.（1）图中点P 即为所求.（2）根据向量线性运算的几何表示可得x y =且0,0x y ≤≤；（3）①因为OP xOA yOB =+，24x y +=且0xy ≥， 所以4242x y OP OA OB =⋅+⋅，其中142x y +=， 设4OD OA =，2OE OB =，则42x y OP OD OE =+，142x y +=,又0xy ≥ 所以点P 所构成的图形为线段DE故选：A ；②图中线段DE 即为所求.48．已知5a =，4b =， a 与b 的夹角为60，问：当k 为何值时，()()2ka b a b -⊥+？【答案】1415. 【分析】根据数量积的定义可得a b ⋅的值，再利用数量积的定义和性质计算()()20ka b a b -⋅+=即可求解.【详解】 因为5a =，4b =， a 与b 的夹角为60， 所以1cos6054102a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=， 若()()2ka b a b -⊥+，则()()20ka b a b -⋅+=，即()222120ka k a b b +-⋅-=，所以()222120k a k a b b +-⋅-=， 所以()2521102160k k +-⨯-⨯=，可得：1415k =.试卷第39页，共71页49．已知()cos ,sin a αα=，()1,2b =，()0,απ∈．（1）若a b ∥，求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值； （2）若a b ⊥，且3sin 5β=，()0,βπ∈，求sin()αβ+的值． 【答案】（1）1（2）详见解析【分析】（1）由题得tan 2α=，再利用二倍角公式及同角关系式可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--22tan tan tan 2ααα=+-，即求； （2）由题可得cos 2sin 0αα+=，再利用同角关系式及两角和公式即求. （1）∵()cos ,sin a αα=，()1,2b =，()0,απ∈，a b ∥，∴2cos sin 0αα-=，即tan 2α=， ∴222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+- 22tan tan tan 2ααα=+- 2221222⨯==+-. （2）∵()cos ,sin a αα=，()1,2b =，，a b ⊥∴cos 2sin 0αα+=，()0,απ∈，∴25sin 1,sin 0αα=>，∴sin αα== 又3sin 5β=，()0,βπ∈， ∴4cos 5β=±， 当4cos 5β=时，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+4355== 当4cos 5β=-时，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+4355==. 50．已知||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为23π，设27,m ta b n a b =+=+．（1）求(2)a a b ⋅+的值；（2）若m 与n 的夹角是锐角，求实数t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）114,722⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭﹒ 【分析】(1)将(2)a a b ⋅+展开，通过数量积运算即可得到答案；(2)两向量夹角为锐角，数量积为正，但需排除两向量同向的情况﹒ （1）2221(2)2||2||||cos 4221232a a b a a b a a b π⎛⎫⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭； （2）△m 与n 的夹角是锐角，△0m n ⋅>且m 与n 不共线．△()222(27)()2||277||m n ta b a tb t a t a b t b ⋅=++=++⋅+22827721570t t t t t =--+=-+->，△221570t t -+<，解得172t <<． 当m 与n 共线时，则存在实数λ，使27()ta b a tb λ+=+，△2,7t t λλ=⎧⎨=⎩，解得2t =±．综上所述，实数t 的取值范围是114,722⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 51．如图，正三角形ABC 的边长为4，D ，E ，F 分别在线段,,AB BC CA 上，且D 为AB 的中点，DE DF ⊥.试卷第41页，共71页（1）若60BDE ∠=︒，求三角形DEF 的面积. （2）求三角形DEF 面积的最小值. 【答案】 （1（2）12- 【分析】（1）根据题意，结合面积公式，即可求解；（2）根据题意，设BDE θ∠=，结合正弦定理，以及三角恒等变换，及可求解. （1）根据题意，知2AD BD ==，因为60BDE ∠=，所以2DE =，又因为DE DF ⊥，所以30ADF ∠=， 因此cos303DF AD ==，故12DEFS DE DF =⋅= （2）根据题意，设BDE θ∠=，090θ≤≤.在BDE 和ADF 中，由正弦定理知()sin 60sin 120DE BD θ=-，()sin 60sin 30DF ADθ=+， 化简得)3sin 60DE θ=+，)3sin 30DF θ=+，故()()1322sin 60sin 30DEFSDE DF θθ=⋅=++， 因为()()311sin 60sin 30sincos 222θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 22θ= 所以12DEF S =- 52．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 1b =，120C =． （1）求B 的大小； （2）求ABC 的面积S 【答案】 （1）30；（2 【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）由三角形的内角和求得角A ，再由三角形的面积公式即可求解. （1）在ABC 中，c =1b =，120C =，由正弦定理得sin sin b c B C =即1si 20n B =，所以1sin 2B ==， 因为b c <，所以B C <， 因为060B <<，所以30B = （2）因为180A B C ++=，所以1801803012030A B C =--=--=，所以ABC 的面积为113sin 1sin 30224S bc A ==⨯=.53．已知()1,2a =，()3,1b =- （1）求2a b -；（2）设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值； （3）若向量a kb +与a kb -互相垂直，求k 的值 【答案】 （1）()7,0；（2）10-；（3）【分析】（1）利用线性运算的坐标表示即可求解； （2）利用向量夹角的坐标表示即可求解；（3）求出向量a kb +与a kb -的坐标，利用坐标表示()()0a kb a kb ⋅-=+即可求解. （1）因为()1,2a =，()3,1b =-，所以()()()21,223,17,0a b -=--=. （2）因为cos a b a b θ⋅=⋅⋅，试卷第43页，共71页所以21cos 1a b a bθ⨯⋅===⋅+（3）由()1,2a =，()3,1b =-可得()()()1,23,113,2a kb k k k +=+-=-+，()()()1,23,113,2a kb k k k -=--=+-，因为向量a kb +与a kb -互相垂直，所以()()()()()()1313220a kb a kb k k k k +⋅-=-+++-=， 即221k =，解得：k =. 54．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，求点P 的坐标．【答案】()8,15- 【分析】根据点P 在线段AB 的延长线上，且3||||2AP PB =，可得12AB BP =，可得2OP OB AB =+． 【详解】点P 在线段AB 的延长线上，且3||||2AP PB =， ∴12AB BP =， ∴2(4OP OB AB =+=，3)2(2-+，6)(8-=，15)-．所以点P 的坐标为()8,15-55．已知ABCD 的顶点()1,2--A ，()3,1B -，()5,6C ，求顶点D 的坐标． 【答案】(1，5)﹒ 【分析】由平行四边形可得：DC AB =，于是OD OC AB =-． 【详解】设坐标原点为O ，由平行四边形可得：DC AB =，(5OD OC AB =-=，6)(4-，1)(1=，5)．∴D 的坐标为(1，5)﹒56．如图，已知平行四边形ABCD ，点O 为任一点，设OA a =，OB b =，OC c =，试。
高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版单选题1、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A.2、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC 2AC=√5−14，故BC AC=√5−12； 所以BDAB =√5−12， 设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．3、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=15AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 而CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2)=15×(62−4×22)=4 故选：B4、已知平面向量a ⃑＝(1，2)，b ⃑⃑＝(－2，m )，且a ⃑∥b ⃑⃑，则2a ⃑＋3b ⃑⃑＝( ) A ．(－4，－8)B ．(－8，－16) C ．(4，8)D ．(8，16) 答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m ，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解. ∵a ⃑∥b ⃑⃑，∴1×m ＝2×(－2)，∴m ＝－4，∴b ⃑⃑＝(－2，－4)， ∴2a ⃑＋3b ⃑⃑＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 故选：A.5、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b ⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ）A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅cosCAB 2=42+32−2×4×3×23可得AB 2=9 ，即AB =3 由∵ cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=9+9−162×3×3=19故cosB =19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 7、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若A =45°,B =60°,b =2√3，则c 等于（ ） A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°． 由正弦定理可知csinC =bsinB ，所 以csin75°=2√3sin60°， 故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.8、已知向量|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=4，且a ⃑,b ⃑⃑不是方向相反的向量，则|a ⃑−b ⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b⃑⃑|求解即可. 由已知必有||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)． 故选：B. 多选题9、如果平面向量a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，那么下列结论中正确的是（ ） A ．|b ⃑⃗|=3|a ⃗|B ．a ⃗//b⃑⃗ C ．a ⃗与b ⃑⃗的夹角为30°D ．a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为2√5 答案：AB分析：根据向量坐标运算及向量共线的意义可得解.因为a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，所以b ⃑⃗=−3a ⃗． 在A 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得|b ⃑⃗|=3|a ⃗|，故A 正确； 在B 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗//b⃑⃗，故B 正确； 在C 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗与b⃑⃗的夹角为180°，故C 错误； 在D 中，a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|b ⃑⃗|=22=−2√5，故D 错误． 故选:AB ．10、ΔABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ⃑、b ⃑⃑满足AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑，则下列结论中正确的有（ ） A ．a ⃑为单位向量B ．b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．a ⃑⊥b ⃑⃑D ．(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD解析：求出|a ⃑|可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ⃑⃑，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a ⃑⋅b ⃑⃑，可判断C 选项的正误；计算出(6a ⃑+b⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 对于A 选项，∵AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，∴a ⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则|a ⃑|=13|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，A 选项正确； 对于B 选项，∵AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+b ⃑⃑，∴b ⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 选项正确； 对于C 选项，a ⃑⋅b ⃑⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13×32×cos 2π3≠0，所以a ⃑与b ⃑⃑不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，(6a ⃑+b ⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=0，所以，(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，D 选项正确. 故选：ABD.小提示：本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.11、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（ ） A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．AG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑ 答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，因为AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故A 错误； 由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD →≠AG →, 故B 错误； 因为AF ⃑+BD ⃑+CE ⃑=12(AB →+BC →+CA →)=0⃑, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 填空题12、在△ABC 中， a ＝5，b ＝5√3，A ＝30°，则B ＝________. 答案：60°或120°分析：利用正弦定理求得sinB ，由此求得B . 由正弦定理得asinA=b sinB，即5sin30°=5√3sinB ⇒sinB =√32， 由于0°<B <180°，所以B =60°或B =120°. 所以答案是：60°或120°13、在△ABC 中，cos∠BAC =−13，AC ＝2，D 是边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ＝DC ，则AB 等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可. 设DC =x,AB =y ，因为BD ＝2DC ，AD ＝DC ，所以BC =3x,AD =DC =x ， 在△ADC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅DC =4+x 2−x 24x=1x ， 在△ABC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CB 2−AB 22AC⋅BC=4+9x 2−y 212x，于是有4+9x 2−y 212x=1x ⇒9x 2−y 2=8(1)，在△ABC 中，由余弦定理可知：cosA =AB 2+CA 2−CB 22AB⋅AC=y 2+4−9x 24y=−13，⇒27x 2−3y 2−4y =12(2)，把(1)代入(2)中得，y =3， 所以答案是：314、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则2λ+μ=___________. 答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 又AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43解答题15、已知函数f (x )=4cosxsin (x −π3)+√3． （Ⅰ）求函数f (x )在区间[π4,π2]上的值域．（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，f (C )=√3，且c =2，求△ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）√3分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx (sinxcos π3−cosxsin π3)+√3=4cosx (12sinx −√32cosx)+√3=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，由π4⩽x⩽π2，有π6⩽2x−π3⩽2π3，所以12≤sin(2x−π3)≤1∴函数f(x)的值域为[1,2]．（Ⅱ）由f(C)=√3，有sin(2C−π3)=√32，∵C为锐角，∴2C−π3=π3，∴C=π3．∵c=2，∴由余弦定理得：a2+b2−ab=4，∵a2+b2⩾2ab，∴4=a2+b2−ab⩾ab．∴S△ABC=12absinC=√34ab⩽√3，∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值√3．。
人教A版(2019)数学必修第二册 第六章平面向量及其应用
人教A 版（2019）数学必修第二册 第六章平面向量及其应用一、单选题(共16题；共32分)1．（2分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗ 满足 a ⃗ −b ⃗ =(1,−5) ， a⃗ +2b ⃗ =(−2,1) 则 b ⃗ = （ ） A ．(1,2) B ．(1,−2) C ．(−1,2) D ．(−1,−2)2．（2分）在 ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若 A =π4 ， a =√5 ， b =√2 ，则 ΔABC 的面积等于（ ） A ．12 或 32B ．12C ．√22D ．323．（2分）在△ ABC 中， a =4,A =30∘ ， B =60∘ ，则 b 等于( )A ．4√3B ．6C ．√3D ．94．（2分）已知向量 a⃗ ＝(1，0)， b ⃗ ＝(-3，4)的夹角为 θ ，则sin2 θ 等于 ( ) A ．−725B ．725C ．−2425D ．24255．（2分）已知向量 a ⃗ =(1,2) ， b ⃗ =(m,−1) ，若 a ⃗ ∥(a ⃗ +b⃗ ) ，则实数 m = （ ） A ．12B ．−12C ．3D ．6．（2分）已知向量 a ⃗ =(x −1,2),b ⃗ =(2,1) ,则 a ⃗ ⊥b⃗ 的充要条件是 （ ） A ．x =−12B ．x =−1C ．x =5D ．x =07．（2分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗ 的夹角为60°， |a |=1 ， |b ⃗ |=2 ，则 |2a −b⃗ |= （ ） A ．2B ．2√3C ．√7D ．18．（2分）在 ΔABC 中， AM 为 BC 边上的中线，点 N 满足 AN ⇀=12NM ⇀ ，则 BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ） A ．16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −56AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 9．（2分）已知 a ⃗ =(x,−4,2) ， b ⃗ =(3,y,−5) ，若 a ⃗ ⊥b⃗ ，则 x 2+y 2 的取值范围为（ ） A ．[2,+∞) B ．[3,+∞) C ．[4,+∞) D ．[5,+∞)10．（2分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗ 满足 |a |=2 ， |b ⃗ |=1 ， |a +2b⃗ |=2√3 ，那么 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°11．（2分）已知非零向量 a ⇀ ， b ⇀ 满足 |b ⇀|=4|a ⇀| ，且 a ⇀⊥(2a ⇀+b ⇀) ，则 a ⇀ 与 b ⇀ 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π612．（2分）ΔABC 中所在的平面上的点 D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ） A ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ 13．（2分）若向量 a ⃗ 与向量 b ⃗ 满足：| a ⃗ |=2，| b ⃗ |=3，且当λ∈R 时，| b ⃗ −λa ⃗ |的最小值为2 √2 ，则向量 a ⃗ +b⃗ 在向量 a ⃗ 方向上的投影为（ ） A ．1 或2 B ．2 C ．1 或3 D ．314．（2分）ΔABC 中， AB =5 ， AC =10 ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25 ，点 P 是 ΔABC 内（包括边界）的一动点，且 AP⇀=35AB ⇀−25λAC ⇀(λ∈R) ，则 |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值是（ ） A ．√41 B ．√39 C ．3D ．3√3215．（2分）蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离 √32a 的军事基地 C 和 D ，测得红军的两支精锐部队分别在 A 处和 B 处，且 ∠ADB =30° ， ∠BDC =30° ， ∠DCA =60° ， ∠ACB =45° ，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是 （ ）A ．√64aB ．√62aC ．38aD ．√32a16．（2分）一艘客船上午9:30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B 处，此时测得船与灯塔S 相距8 √2 海里，则灯塔S 在B 处的（ ） A ．北偏东75° B ．北偏东75°或东偏南75° C ．东偏南75°D ．以上方位都不对二、填空题(共4题；共4分)17．（1分）已知向量 a ⇀=(x,2) ， b ⇀=(2,1) ，且 a ⇀//b ⇀ ，则 |a ⇀|=18．（1分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗ 满足 |a |=1 ， b ⃗ =(1,√3) ，若 a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )=2 ，则 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角为 .19．（1分）如图，在单位圆 C 中， A 为圆上的一个定点， B 为圆上的一个动点， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 .20．（1分）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，CB=2，ΔACD为正三角形，则ΔBCD面积的最大值为．三、解答题(共4题；共30分)21．（5分）已知平面向量a⃗=(2,2), b⃗=(x,−1)（I）若a⃗∥b⃗,求x；（Ⅱ）若a⃗⊥(a⃗−2b⃗),求a⃗与b⃗所成夹角的余弦值．22．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且√3acosC=(2b−√3c)cosA (Ⅰ )求角A的大小；(Ⅱ )若a=2，求△ABC面积的最大值．23．（10分）已知ΔABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，AD为角平分线．用向量的方法解答：（1）（5分）求AD的长度；（2）（5分）过点D作直线交AB，AC于不同两点E、F，且满足AE⇀=xAB⇀，AF⇀=yAC⇀，求：1x+2y的值，并说明理由．24．（10分）在ΔABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b，c，记m→=(2sinB,−√3)，n→=(cos2B,2cos2B2−1)，且m→∥n→.（1）（5分）求锐角∠B的大小；（2）（5分）若b=2，求SΔABC的最大值.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】 ∵a −b⃗ =(1,−5)① a⃗ +2b ⃗ =(−2,1)② ②—①得 3b⃗ =(−3,6) ，所以 b ⃗ =(−1,2) . 故答案为： C【分析】由题意两式作差即可求出 b ⃗ 的坐标。
人教A版高中数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.2.1 向量的加法运算
6.2.1 向量的加法运算课后训练巩固提升1.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是 ( )A.梯形B.矩形C.正方形D.平行四边形,四边形ABCD 是以AB,AD 为邻边的平行四边形.2.已知向量a ∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b 的方向( ) A.与向量a 方向相同 B.与向量a 方向相反 C.与向量b 方向相同D.不确定a 和b 方向相同,那么它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;如果它们的方向相反,已知a 的模大于b 的模,那么它们的和的方向与a 的方向相同.3.如图所示,四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC,AC 与BD 交于点O,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A .CD⃗⃗⃗⃗⃗ B .OC⃗⃗⃗⃗⃗ C .DA ⃗⃗⃗⃗⃗D .CO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .4.在平行四边形ABCD 中,若|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是( ) A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴四边形ABCD 是矩形.5.(多选题)下列向量的运算结果为零向量的是( ) A .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B .PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗ D .MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG⃗⃗⃗⃗⃗项,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; B 项,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;C 项,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; D 项,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=GP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PG⃗⃗⃗⃗⃗ =0.6.若a 表示“向东走8 km”,b 表示“向北走8 km”,则|a+b|= ,a+b 的方向是 .,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,因为a+b=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|a+b|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√82+82=8√2(km), 因为∠AOB=45°,所以a+b 的方向是东北方向.√2 km 东北方向7.根据图示填空,其中a=DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,d=BA⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)a+b+c= ; (2)b+d+c= .DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)b+d+c=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ .DB ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)CA⃗⃗⃗⃗⃗ 8.若在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,且|a|=|b|=1,|a+b|=√2,则△ABC 的形状是 .|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|=1,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b|=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a+b|=√2,所以△ABC 为等腰直角三角形.9.如图,请在图中直接标出:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗ .,(1)向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗ . 10.已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|=3,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.,∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴以OA,OB 为邻边所作的▱OACB 为菱形.连接OC,AB,则OC ⊥AB,设垂足为点D.∵∠AOB=60°,∴AB=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3, ∴在Rt △OBD 中,OD=3√32, ∴|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a+b|=3√32×2=3√3.1.已知四边形ABCD 为菱形,则下列等式成立的是( ) A .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗D .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ABCD 是菱形,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 项正确.2.在矩形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度等于( ) A.2√5B.4√5C.12D.6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模的2倍. 又|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√42+22=2√5, 所以向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为4√5.3.已知P 为△ABC 所在平面内一点,当PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ 成立时,点P 位于( )A.△ABC 的AB 边上B.△ABC 的BC 边上C.△ABC 的内部D.△ABC 的外部,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,则点P 在△ABC 的外部.4.(多选题)设a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),b 是任一非零向量,则下列结论正确的是( ) A.a ∥bB.a+b=bC.|a+b|<|a|+|b|D.|a+b|=|a|+|b|a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且b 为任一非零向量, ∴A,B,D 均正确.5.如图,已知电线AO 与天花板的夹角为60°,电线AO 所受拉力|F 1|=24 N.绳BO 与墙壁垂直,所受拉力|F 2|=12 N,则F 1与F 2的合力大小为 ,方向为 .,以OA,OB 为邻边作平行四边形BOAC,则F 1+F 2=F,即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ .∵在Rt △OAC 中,∠OAC=60°,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=24,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12, ∴∠ACO=90°, ∴|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√3, ∴F 1与F 2的合力大小为12√3N,方向为竖直向上.√3 N 竖直向上6.设P 为▱ABCD 所在平面内一点,则:①PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;②PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;③PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ .其中成立的为 .(填序号)PA,PC 为邻边作平行四边形PAEC,则PE 与AC 交于AC 的中点O,同样以PB,PD 为邻边作平行四边形PBFD,对角线BD 与PF 交于BD 的中点O',因为O 与O'重合,所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .7.如图,在△ABC 中,O 为重心,D,E,F 分别是BC,AC,AB 的中点,化简下列式子:(1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)∵F,E,D 分别是AB,AC,BC 的中点, ∴FE ⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 8.如图所示,P,Q 是△ABC 的边BC 上两点,且BP=QC.求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ⃗⃗⃗⃗⃗ .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QC⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等,方向相反, ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ .。
高中数学必修二第六章平面向量及其应用必考知识点归纳(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用必考知识点归纳单选题1、已知向量a⃑=(1,−√7)，|b⃑⃑|=3，a⃑⋅b⃑⃑=3√6，则a⃑与b⃑⃑的夹角为（）A．π6B．π4C．π3D．2π3答案：A分析：先计算向量a⃑的模，再根据向量数量积的定义，将a⃑⋅b⃑⃑=3√6展开，即可求得答案. 因为a⃑=(1,−√7)，所以|a⃑|=√12+(−√7)2=2√2，又因为a⃑⋅b⃑⃑=3√6，设a⃑与b⃑⃑的夹角为θ，θ∈[0,π]，所以|a⃑||b⃑⃑|cosθ=3√6，即2√2×3×cosθ=3√6，解得cosθ=√32，故θ=π6，故选：A.2、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B=π3，b=3，a=√3，则c=（）．A．√3B．2√3C．3−√3D．3答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=3+c2−√3c=9，即c2−√3c−6=0，解得：c=2√3或c=−√3（舍），∴c=2√3.故选：B.3、已知向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，且|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则a⃑⋅b⃑⃑=（）A．√3B．1C．2√3D．2答案：A解析：利用向量数量积的定义即可求解.由|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则|a⃑|=2，|b⃑⃑|=1，又向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，所以a⃑⋅b⃑⃑=|a⃑||b⃑⃑|cos⟨a⃑,b⃑⃑⟩=2×1×√32=√3.故选：A小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4、已知向量a⃗=(√3,1)，b⃑⃗=(−√3,1)，则a⃗与b⃑⃗的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C分析：根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案解：cos⟨a⃗,b⃑⃑⟩=a⃑⃗⋅b⃑⃑|a⃑⃗||b⃑⃑|=−3+12×2=−12，因为0°≤⟨a⃗,b⃑⃑⟩≤180°，所以⟨a⃗,b⃑⃑⟩=120°，故选：C5、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，C=30∘，c=10.如果△ABC有两解，则a的取值范围是（）A．[10,20]B．[10,10√3]C．(10,10√3)D．(10,20)答案：D分析：作出图形，根据题意可得出关于a的不等式，由此可解得a的取值范围.如下图所示：因为△ABC有两解，所以asinC=12a<c=10<a，解得10<a<20.故选：D.6、如图，△ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，∠A=2π3，AC=2√3，CD=3√2，则BC=（）A．3√3B．4C．4√2D．6答案：D分析：△ACD中由正弦定理求得∠ADC后可得∠ACD，从而得∠ACB，B角，得AB，用余弦定理可得BC．在△ACD中，根据正弦定理得sin∠ADC=AC⋅sinACD =2√3×√323√2=√22，由∠ADC<∠A，所以∠ADC=π4，所以∠ACD=π−2π3−π4=π12，所以∠ACB=π6，则∠B=π6，所以AB=AC=2√3，在△ABC中，由余弦定理得BC2=(2√3)2+(2√3)2−2×2√3×2√3×(−12)=36，所以BC=6．故选：D．小提示：关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在△ACD中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC．7、如图，四边形ABCD是平行四边形，则12AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑.故选：D.8、若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C. 多选题9、设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，下列命题正确的是（ ） A ．若a 2+b 2<c 2，则C >π2B ．若ab =c 2，则C ≥π3 C ．若a 3+b 3=c 3，则C <π2 D ．若a +b =2c ，则C >π2 答案：AC分析：利用余弦定理及基本不等式一一判断即可； 解：对于A 选项，a 2+b 2<c 2，可以得出cosC =a 2+b 2−c 22ab <0，∴C >π2，故A 正确；对于B 选项，因为ab =c 2，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab≥2ab−ab 2ab=12，当且仅当a =b 时取等号，因为C ∈(0,π)，所以0<C ≤π3，故B 错误；对于C 选项，假设C ≥π2，则c >a ，c >b ，则c 2≥a 2+b 2，所以c 3≥a 2c +b 2c >a 3+b 3与a 3+b 3=c 3矛盾，∴C <π2，故C 正确，对于D 选项，取a =b =c =2，满足a +b =2c ，此时C =π3，故D 错误；故选：AC.10、已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且a ＝6，4sin B ＝5sin C ，有以下四个命题中正确命题有 （ ）A ．△ABC 的面积的最大值为40B ．满足条件的△ABC 不可能是直角三角形 C ．当A ＝2C 时，△ABC 的周长为15D ．当A ＝2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为√7 答案：ACD分析：对于A ，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；对于B ，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；对于C ，运用正弦定理可得4b ＝5c ，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于D ，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积. 以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，可得B （﹣3，0），C （3，0）， 4sin B ＝5sin C ，可得4b ＝5c ，设A （m ，n ），可得4√(m −3)2+n 2＝5√(m +3)2+n 2，平方可得16（m 2+n 2﹣6m +9）＝25（m 2+n 2+6m +9）， 即有m 2+n 2+823m +9＝0，化为（m +413）2+n 2＝（403）2，则A 的轨迹为以（﹣413，0），半径为403的圆，可得△ABC 的面积的最大值为12×6×403＝40， 故A 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C 即4b ＝5c ，设b ＝5t ，c ＝4t ，由36+16t 2＝25t 2，可得t ＝43，满足条件的△ABC 可能是直角三角形，故B 错误；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB ＝csinC ，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去），sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝√74，可得：c ＝4，b ＝5，则a +b +c ＝15，故C 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB＝csinC，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去）， sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得：sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝c √74，可得：c ＝4，b ＝5，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×4×3√78＝15√74. 设△ABC 的内切圆半径为R ，则R ＝2Sa+b+c＝2×15√744+5+6＝√72，S △ABO ＝12cR ＝12×4×√72＝√7.故D 对.故选：ACD .小提示：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题.11、已知向量a ⃑=(2,1)，b ⃑⃑=(−3,1)，则（ ） A ．(a ⃑+b ⃑⃑)⊥a ⃑B ．|a ⃑+2b⃑⃑|=6 C ．向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量是(−65,25)D ．(2√55,√55)是向量a ⃑的单位向量答案：AD分析：根据向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算即可判断判断A ； 根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标运算即可判断判断B ； 根据投影向量的计算公式即可判断C ； 判断向量(2√55,√55)是否与向量a ⃑共线，及模是否为1，即可判断D.解：对于A ，a ⃑+b ⃑⃑=(−1,2)，则(a ⃑+b ⃑⃑)⋅a ⃑=−2+2=0， 所以(a ⃑+b ⃑⃑)⊥a ⃑，故A 正确；对于B ，a ⃑+2b ⃑⃑=(−4,3)，则|a ⃑+2b ⃑⃑|=5，故B 错误； 对于C ，向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为|a ⃑|⋅cos⟨a ⃑,b ⃑⃑⟩⋅b⃑⃑|b⃑⃑|=a⃑⃑⋅b ⃑⃑|b⃑⃑|⋅b⃑⃑|b⃑⃑|=−5b ⃑⃑10=(32,−12)，故C 错误； 对于D ，因为向量(2√55,√55)的模等于1，2√55×1−2×√55=0，所以向量(2√55,√55)与向量a ⃑共线，故(2√55,√55)是向量a ⃑的单位向量，故D 正确.故选：AD. 填空题12、骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为___________.答案：36分析：由题意以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系，将所涉及的点的坐标求出，其中P 点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解.由题意圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，点P 为后轮上的一点，如图以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系：则A (−8,0)，B(−6,2√3)，C(−2,2√3).圆D 的方程为x 2+y 2=3，设P(√3cosα,√3sinα)， 所以AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(6,2√3)，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(√3cosα+6,√3sinα−2√3)， 故AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=6sinα+6√3cosα+24=12sin (α+π3)+24≤12+24=36. 所以答案是：36.13、海伦公式是利用三角形的三条边的边长a ，b ，c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：S =√p(p −a)(p −b)(p −c),p =a+b+c 2；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式．现在有周长为10+2√7的△ABC 满足sinA:sinB:sinC =2:3:√7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为___________． 答案：6√3分析：由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可． ∵sinA:sinB:sinC =2:3:√7，∴a:b:c =2:3:√7， ∴△ABC 周长为10+2√7，即a +b +c =10+2√7， ∴a =4，b =6，c =2√7，∴p =4+6+2√72=5+√7，∴△ABC 的面积S =√(5+√7)(1+√7)(√7−1)(5−√7)=6√3． 所以答案是：6√3．14、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，且a ⃑,b ⃑⃑是不共线的向量，则向量PQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=___________. 答案：−12a ⃑−12b⃑⃑ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b⃑⃑ 所以PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑,EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12b⃑⃑， 所以PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑−12b⃑⃑. 所以答案是：−12a ⃑−12b⃑⃑解答题15、已知向量a ⃑与b ⃑⃑的夹角为120∘，|a ⃑|=3，|b ⃑⃑|=2. （1）求(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)的值； （2）求|2a ⃑+b ⃑⃑|的值. 答案：（1）19；（2）2√7.分析：（1）由向量数量积的定义计算即可求解； （2）先计算|2a ⃑+b ⃑⃑|2=(2a ⃑+b ⃑⃑)2的值，再开方即可求解. （1）因为|a ⃑|=3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑，b ⃑⃑的夹角为120∘， 所以a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b⃑⃑|⋅cos120∘=3×2×(−12)=−3， 所以(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)=2a ⃑2−3a ⃑⋅b⃑⃑−2b ⃑⃑2=2|a⃑|2−3a⃑⋅b⃑⃑−2|b⃑⃑|2=2×9−3×(−3)−2×4=19；（2）|2a⃑+b⃑⃑|2=(2a⃑+b⃑⃑)2=4|a⃑|2+4a⃑⋅b⃑⃑+|b⃑⃑|2=36−12+4=28，所以|2a⃑+b⃑⃑|=2√7.。
高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (3)(含答案解析)
必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (3)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）]．1.设向量a⃗=(cos 2x,cos x)，b⃗ =(2sin x,√3)，c⃗=(1−2sin x,−3√3)，x∈[0,π3(1)若a⃗//b⃗ ，求|2a⃗+c⃗|的值；(2)设f(x)=a⃗⋅(b⃗ +c⃗ )，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．2.设O为▵ABC内任一点，且满足OA⇀+2OB⇀+3OC⇀=0，若D,E分别是BC,CA的中点．(1)求证：D,E,O共线；(2)求▵ABC与△AOC的面积之比．3.已知a→=(3,−2)，b→=(2,1)，O为坐标原点．(1)若ma→+b→与a→−2b→的夹角为钝角，求实数m的取值范围；(2)设OA →=a →，OB →=b →，求▵OAB 的面积．4. 如图，在▵ABCD 中，CF ⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗ =3EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的值为：________．5. 如图，在同一平面内，∠AOB =150∘，∠AOC =120∘,|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4．(1)用OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ的值．6. 如图，在ΔABC 中，已知CA =1,CB =2,∠ACB =60∘．(1)求|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)已知点D 是AB 上一点，满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ，点E 是边CB 上一点，满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．①当λ=12时，求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ；②是否存在非零实数λ，使得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由7. 如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ 求x ，y 的值；(2)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°时，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．8. 已知单位向量m →，n →，且|m →−n →|=√3，求：(1)向量m →，n →的夹角；(2)|2m →−n →|；(3)若向量2m →−n →与向量m →+kn →垂直，求实数k 的值．9. 已知三点O(0,0)，A(−2,1)，B(2,1)，曲线C 上任意一点M(x,y)满足|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+2． (1)求曲线C 的方程；(2)点Q(x 0,y 0)(−2<x 0<2)是曲线C 上动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是(0,−1)，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比．10. 在ΔABC 中，AC =2，BC =6，∠ACB =60°，点O 为ΔABC 所在平面上一点，满足OC ⇀=mOA ⇀+nOB ⇀(m,n ∈R 且m +n ≠1).(1)证明：CO ⇀=m m+n−1CA ⇀+n m+n−1CB ⇀；(2)若点O 为ΔABC 的重心，求m 、n 的值；(3)若点O 为ΔABC 的外心，求m 、n 的值．11. △ABC 的面积S =2√3，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4(1)求角B 的大小；(2)若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．12.求证：(1)对于任意两个向量m⃗⃗⃗ ，n⃗，恒有|m⃗⃗⃗ ⋅n⃗|⩽|m⃗⃗⃗ ||n⃗|，并确定等号成立的条件；(2)对于任意的a，b，c，d∈R，恒有(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)，并确定等号成立的条件．13.已知向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=1，且|k a⃗+b⃗ |=√3|a⃗−k b⃗ |，(k∈R)(1)求a⃗⋅b⃗ 关于k的解析式f(k)(2)若a⃗//b⃗ 且方向相同，试求k的值14.如图在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点，H为线段BE上靠近点E的四等分点，记AB→=a→，AD→=b→．(1)用a →，b →表示AE →，AH →；(2)求线段AH 的长．(3)求AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值．15. 如图，在平面斜坐标系xOy 中，，平面上任一点P 在该斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ (其中e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 分别为与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量)，则P 点斜坐标为(x,y)．(1)若P 点斜坐标为(2,−2)，求P 到O 的距离|PO|；(2)若ΔABC 三个顶点的斜坐标分别为A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)，求三角形的内角∠A ．16. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λcosα,λsinα)(λ≠0)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−sinβ,cosβ)，其中O 为坐标原点． (1)若β=α−π6，求向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角； (2)若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥2|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |对任意实数α，β恒成立，求实数λ的取值范围．17. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求证：A ，B ，C 三点共线．(2)已知A(1,cosx)，B(1+sinx,cosx)，x ∈[0,π2]，f (x )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −(2m 2+23)⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为12，求实数m 的值．18. 已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)过点(√62,12)，离心率为√22．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点M (2√33,√33)，设O 为坐标原点，若椭圆C 的弦AB 的中点在线段OM(不含端点O ，M)上，求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．19. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,k)．(1)若a ⃗ //b ⃗ ，求|b ⃗ |的值;(2)若a ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )，求实数k 的值;(3)若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．20. 已知，|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2且向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线(1)若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为45°，求(2a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )(2)若向量k a ⃗ −b ⃗ 与k a ⃗ +b ⃗ 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围21. 如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，求x ，y 的值； (2)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°时，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．22. 已知△ABC 的面积S 满足√3≤S ≤3，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ．(Ⅰ)求θ的取值范围； (Ⅱ)求函数f(θ)=sin 2θ+2sin θcos θ+3cos 2θ的最值及相应的θ的值．23. 已知向量a ⇀，b ⃗ 的夹角为120°，且|a ⇀|=1,|b ⇀|=2，当向量a +λb 与λa ⇀+b ⇀的夹角为钝角时，求λ的取值范围．24. 如图所示，在△ABO 中，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD 与BC 相交于点M.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a →，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b →．(1)试用向量a →，b →表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)在线段AC 上取点E ，在线段BD 上取点F ，使EF 过点M ，设OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求1λ+3μ的值．25. 已知圆C 的圆心在y 轴上，且圆C 与直线l 1:y =x 相切于点(1,1)．(1)求圆C 的方程;(2)若线段AB 为圆C 的直径，点P 为直线l 2:4x −3y +21=0上的动点，求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．26.在①√3cosA(ccosB+bcosC)=asinA，②cos2A−cos2B=2sinC(sinB−sinC)，③m⃗⃗⃗ =(2,1),n⃗=(2cos2A2,−cos2A+1),m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=92这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且______．(1)求A；(2)若a=3，求ΔABC周长的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．27.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=√2．(1)若向量a⃗与向量b⃗ 的夹角为135°，求|a⃗+b⃗ |及b⃗ 在a⃗上的投影向量；(2)若向量a⃗−b⃗ 与向量a⃗垂直，求向量a⃗与b⃗ 的夹角．28. 如图，在△OAB 中，已知，∠AOB =90°，单位圆O 与OA 交于C ，，P 为单位圆O 上的动点．(1)若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ的值； (2)记|PD⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为f(λ)，求f(λ)的表达式及f(λ)的最小值．29. 已知点A (m,2)，B (1,1)，C (2,4)．(1)若|CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小，求实数m 的值：(2)若CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为√55，求实数m 的值．30. 在▵ABC 中，CA =CB =2，记a →=CA →,B →=CB →，且|k a ⃗ +b ⃗ |=√3|a ⃗ −k b|⃗⃗⃗ (k 为正实数)， (1)求证：(a →+b)⊥(a →−b)；(2)将a ⃗ 与b⃗ 的数量积表示为关于k 的函数f(k)； (3)求函数f(k)的最小值及此时角A 的大小．【答案与解析】1.答案：解：(1)因为向量a⃗=(cos 2x,cos x)，b⃗ =(2sin x,√3)，且a⃗//b⃗ ，所以，即．若cos2x=0，则sin2x=0，与矛盾，故cos 2x≠0．于是tan2x=√3．又x∈[0,π3]，所以2x=π3，x=π6，所以2a⃗=(1,√3),c⃗=(1−2sin x,−3√3)=(0,−3√3)，则2a⃗+c⃗=(1,−2√3),|2a⃗+c⃗|=√1+12=√13．(2)因为b⃗ =(2sin x,√3)，c⃗=(1−2sin x,−3√3)，所以b⃗ +c⃗=(1,−2√3)，f(x)=a⃗⋅(b⃗ +c⃗ )=(cos2x,cosx)⋅(1,−2√3)=cos2x−2√3cosx又x∈[0,π3]，所以cosx∈[12,1]，所以当cosx=√32，即x=π6时，f(x)取到最小值−52；∵1−√32<√32−12∴当cosx=12，即x=π3时，f(x)取到最大值−12−√3．解析：本题考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，考查转化思想以及计算能力．(1)通过a ⃗ //b ⃗ ，推出√3cos2x =sin2x.得到tan2x =√3.求解x ，然后求解|2a⃗ +c ⃗ |的值． (2)通过f(x)=a ⃗ ⋅(b ⃗ +c ⃗ )=2(cosx −√32)2−52，然后利用三角函数的最值求解即可． 2.答案：(1)证明：如图，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ， 即2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．又OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点O ，∴D ，E ，O 三点共线．(2)解：由(1)知2|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴S △AOC =2S △COE =2×23S △CDE =2×23×14S △ABC =13S △ABC ， ∴S △ABCS △AOC =3．解析：本题考查平面向量的加减、数乘运算，三点共线的证明，利用向量的模的关系求三角形面积的比．(1)由平面向量的加减、数乘运算，结合题意可得2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，证明OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点O ，从而证明D 、E 、O 三点共线；(2)由(1)知2|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，根据三角形面积之间的关系可得S △AOC =2S △COE =2×23S △CDE =2×23×14S △ABC =13S △ABC ，即可得出△ABC 与△AOC 的面积之比．3.答案：解：(1)∵a ⃗ =(3, −2)，b ⃗ =(2,1)，∴m a ⃗ +b ⃗ =(3m +2, −2m +1), a ⃗ −2b ⃗ =(−1, −4)，令(m a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −2b ⃗ )<0，即−3m −2+8m −4<0，解得m <65， ∵当m =−12时，m a ⃗ +b ⃗ =−12a ⃗ +b ⃗ ，m a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 方向相反，夹角为平角，不合题意，， ∴若m a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 的夹角为钝角，m 的取值范围为(2)∵a ⃗ =(3, −2)，b ⃗ =(2, 1)，∴|a ⃗ |=√32+(−2)2=√13，|b ⃗ |=√22+12=√5，a ⃗ ·b⃗ =6−2=4， 设面积为S ， 则S =12|a⃗ |⋅|b ⃗ |sin θ， ∵sin 2θ=1−cos 2θ=1−(a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |)2， ∴4S 2=|a ⃗ |2|b⃗ |2⋅sin 2θ =|a ⃗ |2|b ⃗ |2−(a ⃗ ⋅b ⃗ )2=65−16=49．∴S =72.解析：本题考查向量数量积的坐标运算以及三角形面积公式的应用，属于中档题．(1)若m a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 的夹角为钝角，则(m a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −2b⃗ )<0且两向量不共线即可求出m 的范围； (2)根据数量积定义结合三角形面积公式即可求解．4.答案：1711解析：本题考查平面向量基本定理的简单应用，属于中档题．运用平面向量基本定理和平行向量的知识可解出．解：由CF ⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗ =3EB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，① AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，② 由①②可解得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =311(4AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =411(−AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 因此AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =311(4AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )+411(−AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=811AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +911AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得x =811,y =911, 所以x +y =1711，故答案为1711． 5.答案：解： 由题意，得∠BOC =90°，以OC 所在的直线为x 轴，以BO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则O(0,0)，A(−1,√3)，B(0,−3)，C(4,0)．(1)设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(−1,√3)=λ1(0,−3)+λ2(4,0)=(4λ2,−3λ1)，∴λ1=−√33，λ2=−14， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√33OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (2)设D(x,y)，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(x +1,y −√3)=λ(5,−√3)， ∴{x =5λ−1,y =−√3λ+√3,∴D(5λ−1,−√3λ+√3)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5λ−1,3−√3λ+√3). ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(5λ−1)×5+(3+√3−√3λ)×(−√3)=0， 解得λ=8+3√328．解析：本题考查向量的坐标表示及坐标运算，考查向量的垂直与数量积的关系，难度属于中档． 求解可以先根据OB 与OC 垂直的条件建立平面直角坐标系，得到OA 为终边的角的大小，利用三角函数定义，求出A 点坐标，在此基础上，(1)可以利用基本定理，用待定系数法， 用OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 完成求解;(2)先设D 点坐标，利用A ，D ，C 三点共线，完成参数转移，再利用向量垂直， 则数量积为0，列式求出λ的值．6.答案： 解：(1)△ABC 中，CA =1，CB =2，∠ACB =60°，由余弦定理得，AB 2=CA 2+CB 2−2CA ⋅CB ⋅cos∠ACB=12+22−2×1×2×cos60°=3．∴AB =√3，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3；(2)①λ=12时，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴D 、E 分别是BC ，AB 的中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =−12×12+12×1×2×cos120° +14×2×1×cos60°+14×22=14；②假设存在非零实数λ，使得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴CD⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)CA⃗⃗⃗⃗⃗ ； 又BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+λ(−CB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(1−λ)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(1−λ)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−λ)CA⃗⃗⃗⃗⃗ 2， =4λ(1−λ)−λ+(1−λ)2−(1−λ)=−3λ2+2λ=0，解得λ=23或λ=0(不合题意，舍去)；即存在非零实数λ=23，使得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．解析：本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．(1)利用余弦定理求出AB 的长即得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |；(2)①λ=12时，D 、E 分别是BC ，AB 的中点，求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量积即可； ②假设存在非零实数λ，使得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示出CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0时的λ值即可．7.答案：解：(1)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =12，y =12；(2)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 又|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23×42+13×22+13×4×2×cos60°=−8．解析：本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是中档题． (1)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可；(2)由BP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 8.答案：解：(1)设向量m⃗⃗⃗ ,n ⃗ 的夹角为θ；由已知得，|m ⃗⃗⃗ |=|n ⃗ |=1； ∴|m ⃗⃗⃗ −n ⃗ |2=(m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )2=m ⃗⃗⃗ 2−2m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +n ⃗ 2=2−2m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =3； ∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−12； ∴cos θ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=−12；∵0⩽θ⩽π； ∴θ=2π3．(2)∵|2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ |2=(2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )2=4m ⃗⃗⃗ 2−4m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +n ⃗ 2=4+2+1=7；∴|2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ |=√7(3)∵向量2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ 与向量m ⃗⃗⃗ +k n ⃗ 垂直， ∴(2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )⋅(m ⃗⃗⃗ +k n ⃗ )=0．∴2m ⃗⃗⃗ 2+(2k −1)m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ −k n ⃗ 2=2+(2k −1)(−12)−k =0， 解得k =54．解析：本题考查向量的模、向量的夹角 、向量垂直的判断与证明以及向量的数量积，属于中档题；(1)设向量m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 的夹角为θ；由已知得，|m ⃗⃗⃗ |=|n ⃗ |=1；由|m ⃗⃗⃗ −n ⃗ |=√3可得m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−12，再由cos θ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=−12；即可求解； (2)|2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ |2=(2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )2=4m ⃗⃗⃗ 2−4m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +n ⃗ 2=4+2+1=7；即可求解；(3)向量2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ 与向量m ⃗⃗⃗ +k n ⃗ 垂直，可得(2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )⋅(m ⃗⃗⃗ +k n ⃗ )=0.即可求解；9.答案：解：(1)由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,1−y)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,1−y)，可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2x,2−2y)， ∴|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−2x)2+(2−2y)2，OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+2=(x,y)⋅(0,2)+2=2+2y ，． 由题意可得√(−2x)2+(2−2y)2=2+2y ，化简可得x 2=4y ．(2)由题意可得直线PA ，PB 的方程分别为y =−x −1、y =x −1，且y 0=14x 02，(14x 2)′=12x曲线C 在点Q(x 0,y 0)(−2<x 0<2)处的切线斜率为k =12x 0，∴曲线C 在点Q(x 0,y 0)(−2<x 0<2)处的切线方程为y =12x 0x −14x 02，且与y 轴的交点G(0,−14x 02).由{y =−x −1y =12x 0x −x 024求得x D =x 0−22， 由{y =x −1y =x 02x −x 024求得x E =x 0+22， 故|x E −x D |=2，|GP|=1−x 024．故，而S △QAB =12×4×(1−x 024)=4−x 022，，即△QAB 与△PDE 的面积之比等于2．解析：本题重点考查数量积、直线与抛物线的位置关系和与抛物线有关的面积问题，属于较难题． (1)利用数量积的运算性质和平面向量的坐标运算代入|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+2，化简整理即可；(2)求出曲线C 在点Q(x 0,y 0)(−2<x 0<2)处的切线方程，求得x D 和x E ，得△PDE 和△QAB 的面积，即可得面积比．10.答案：解：(1)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+n(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =mm+n−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nm+n−1CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， (2)点O 为△ABC 的重心， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴m =−1，n =−1； (3)点O 为△ABC 的外心，∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=18，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA⃗⃗⃗⃗⃗ =12|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ =2×6×12=6， ∵CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mm+n−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nn+m−1CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA⃗⃗⃗⃗⃗ =m m+n−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA⃗⃗⃗⃗⃗ +n n+m−1CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{2m −3n =3m +2n =−1,∴{m =37n =−57,解析：本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，考查化简运算能力，属于一般题． (1)由OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+n(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，整理即可求解； (2)由三角形重心性质可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，代入即可求解； (3)由O 为△ABC 的外心，可求CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=18，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×6×12=6，然后根据已知分别求CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据平面向量的基本定理可求m ，n ．11.答案：解：(1)∵△ABC 的面积S =2√3，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，由题意知，∴12|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB =2√3，|BA⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−B)=4， 即|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =−4，∴tanB =−√3，∵0<B <π，∴B =2π3．(2)如图所示：联立解得|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅[23(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=29(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=29(2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =29(2×22−42+4)=−89．解析：本题主要考查了三角形的面积计算公式和数量积的定义及其运算法则、向量的三角形法则，属于中档题．(1)利用三角形的面积计算公式和数量积的定义即可得出；(2)由已知和数量积的定义可得|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，再利用三角形法则和数量积的运算法则即可得出． 12.答案：证明：(1)①当m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为一个为0⃗ 时，显然|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |=0是|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=0． 此时|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |=|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |结论成立 ②当m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非0⃗ 时，若m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为θ，θ∈[0,π] 则|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |=|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ ||cosθ| 其中|cosθ|≤1，∴|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ ||cosθ|≤|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ | ∴|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |≤|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |．当|cosθ|=1即θ=0或π时等号成立，即此时m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线． 综合①②知m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 恒立|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |⩽|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |． 当m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线时等号成立． (2)设m ⃗⃗⃗ =(a,b)，n ⃗ =(c,d )，则m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =ac +bd ，|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√a 2+b 2⋅√c 2+d 2由(1)知|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |≤|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |，则|ac +bd |≤√a 2+b 2⋅√c 2+d 2 结论(ac +bd)2⩽(a 2+b 2)(c 2+d 2) 当m ⃗⃗⃗ //n ⃗ 即ad =bc 时取 ∴结论成立．解析：本题重点考查向量的数量积，属于一般题． (1)分m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为一个为0⃗ 时和m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非0⃗ 时求证即可； (2)设m ⃗⃗⃗ =(a,b)，n ⃗ =(c,d )，利用数量积的坐标运算和(1)即可求证．13.答案：解：(1)平方得k 2+2k a ⃗ ·b ⃗ +1=3−6k a ⃗ ·b ⃗ +k 2，8k a ⃗ ·b ⃗ =2k 2+2，∴a ⃗ ·b ⃗ =2k 2+28k =14(k +1k),k ∈R +;(2)a ⃗ //b ⃗ 且方向相同，|a ⃗ |=|b ⃗ |=1， 所以，所以k =2±√3．解析：本题主要考查平面向量的数量积和共线的性质．(1)平面向量的数量积的应用，把|k a ⃗ +b ⃗ |=√3|a ⃗ −k b ⃗ |平方即可得到答案． (2)平面向量共线的应用，a ⃗ //b ⃗ 且方向相同，|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，所以，即可求出答案．14.答案：解：(1)由已知得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +b ⃗ ， AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=a +34(b ⃗ −12a ⃗ )=58a ⃗ +34b⃗ ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +b ⃗ ，AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =58a ⃗ +34b ⃗ ；(2)由(1)得AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =58a ⃗ +34b ⃗ ， 所以AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(58a ⃗ +34b ⃗ )2=2564a ⃗ 2+916b ⃗ 2+2×58×34|a ⃗ |⋅|b ⃗ |×cos 60∘=494，所以线段AH 的长为72.(3)AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(58a ⃗ +34b ⃗ )·b ⃗ =58a ⃗ ·b ⃗ +34|b⃗ |2=58×4×2×12+34×22=52+3=112， 设AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为θ，cosθ=AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=11272×2=1114．解析：本题考查向量的几何应用，向量的加法、减法、数乘运算，向量夹角，属于中档题． (1)利用向量线性运算即可求出结果；(2)利用向量平方结合向量数量积即可求出结果； (3)利用向量夹角公式求出结果．15.答案：解：(1)∵P 点斜坐标为(2,−2)，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ．∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(2e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ )2=8−8e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =8−8×cos 60∘=4．∴|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，即|OP|=2． (2)依题意，三角形的内角∠A 为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角， 又AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ， 所以cosA =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(3e 1⃗⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗⃗ )·(2e 1⃗⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗⃗ )|3e 1⃗⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗⃗ |·|2e 1⃗⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗⃗ |=6e 1⃗⃗⃗⃗ 2−2e 2⃗⃗⃗⃗ 2−e 1⃗⃗⃗⃗ ·e 2⃗⃗⃗⃗ √9e 1⃗⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗⃗ −12e 1⃗⃗⃗⃗ ·e 2⃗⃗⃗⃗ ·√4e 1⃗⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗⃗ +4e 1⃗⃗⃗⃗ ·e 2⃗⃗⃗⃗=6−2−12√7×√7=12，，所以．解析： 本题考查斜率的几何运用，考查斜率的数量积运算。
部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案重点知识归纳
(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案重点知识归纳单选题1、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．62、向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,5)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（ ） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−113、已知向量a =(−1,m )，b ⃑ =(m +1,2)，且a ⊥b ⃑ ，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−14、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．235、某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A ＝23°，∠C ＝120°，AC =60√3米，则A ，B 间的直线距离约为（参考数据sin37°≈0.6）（ ）A ．60米B ．120米C ．150米D ．300米6、已知向量|a |=2,|b ⃑ |=4，且a ,b ⃑ 不是方向相反的向量，则|a −b ⃑ |的取值范围是（ ） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6]7、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．表高×表距表目距的差+表高B ．表高×表距表目距的差−表高 C ．表高×表距表目距的差+表距D ．表高×表距表目距的差−表距8、在△ABC 中，AB =1，AC =2，∠BAC =60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则m +n 的最小值是（ ） A ．−1B ．−12C ．−13D ．−16 多选题9、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（ ） A ．AB⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．AG ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑ D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑ +GB ⃑⃑⃑⃑⃑ +GC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑10、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cosBcosC =b2a−c ， S △ABC =3√34，且b =3，则A ．cosB =12B ．cosB =√32C ．a +c =√3D ．a +c =3√211、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =π3，b +c =10，a =2√10，则三角形的面积不可能是（ ）A ．5√3B ．6√3C ．14√3D ．16√3 填空题12、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则2λ+μ=___________.部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(二)参考答案1、答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =3AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =15AB⃑⃑⃑⃑⃑ +25AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 而CA⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴AP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +25AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2)=15×(62−4×22)=4 故选：B 2、答案：C分析：求得BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA⃑⃑⃑⃑⃑ =PA ⃑⃑⃑⃑⃑ −PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ∥CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11. 故选：C. 3、答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⋅b ⃑ =−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ． 4、答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosCAB2=42+32−2×4×3×2 3可得AB2=9，即AB=3由∵cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC =9+9−162×3×3=19故cosB=19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5、答案：C分析：应用正弦定理有ACsinB =ABsinC，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.由题设，∠B=180°−∠A−∠C=37°，在△ABC中，ACsinB =ABsinC，即60√3sin37°=√32，所以AB=90sin37°≈150米.故选：C6、答案：B分析：直接由||a|−|b⃑||≤|a−b⃑|<|a|+|b⃑|求解即可.由已知必有||a|−|b⃑||≤|a−b⃑|<|a|+|b⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.7、答案：A分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．如图所示：由平面相似可知，DEAB =EH AH ,FGAB =CGAC ，而 DE =FG ，所以DE AB=EH AH=CG AC=CG−EH AC−AH=CG−EH CH，而 CH =CE −EH =CG −EH +EG ， 即AB =CG−EH+EG CG−EH×DE =EG×DE CG−EH+DE ＝表高×表距表目距的差+表高．故选：A.小提示：本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 8、答案：B分析：先解三角形得到△ABC 为直角三角形，建立直角坐标系，通过AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示出m +n ，借助三角函数求出最小值.由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC = 1+4−2×1×2×cos 60∘=3，所以BC =√3，所以AB 2+BC 2=AC 2，所以AB ⊥BC ．以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A （－1，0），C （1，0），B （－12，√32），设P 的坐标为(cosθ,sinθ)，所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ = (cosθ+1,sinθ)，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以(cosθ+1,sinθ)=m (12,√32)+ n (2,0)=(m 2+2n ,√32m)，所以m =2√33sin θ，n =cos θ2+12−√36sin θ，所以m +n =2√33sin θ+cos θ2+12−√36sin θ =√32sin θ+cos θ2+12=sin (θ+π6)+12≥−1+12=−12，当且仅当sin (θ+π6)=−1时，等号成立．故选：B ． 9、答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心， 因为AB⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，故A 错误； 由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD →≠AG →, 故B 错误； 因为AF+BD+CE=12(AB →+BC →+CA →)=0, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑ +GB ⃑⃑⃑⃑⃑ +GC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 10、答案：AD分析：利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解. ∵cosBcosC =b2a−c =sinB2sinA−sinC .整理可得: sinBcosC =2sinAcosB −sinCcosB可得 sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)=sinA =2sinAcosB ∵A 为三角形内角, sinA ≠0 cosB =12, 故A 正确，B 错误.B ∈(0,π) ∴B =π3S △ABC=3√34,b =3∴3√34=12acsinB =12×a ×c ×√32=√34ac 解得 ac =3,由余弦定理得 9=a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =(a +c)2−9 解得a +c =3√2, 故C 错误，D 正确. 故选: AD.小提示：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”. 11、答案：BCD分析：根据余弦定理和三角形面积公式进行求解判断即可.解：因为A =π3，b +c =10，a =2√10，所以由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得40=b 2+c 2−ab =(b +c)2−3bc =100−3bc ，所以bc =20， 所以S △ABC =12bcsinA =12×20×√32=5√3．故选：BCD 12、答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43。