(一) 色散方程、浅水系数、折射系数
浅水方程推导
1. 浅水方程推导将三维的基本方程沿水深积分平均，即可得到沿水深平均的平面二维流动基本方程。
定义水深为0H Z ζ=-， ζ、0Z 为基准面下液面水位和河床高程x定义沿水深平均流速i U 为：01i i z U u dz Hζ=⎰引用莱布尼兹公式abbabaiiiifb a f dz dz f f x x x x ∂∂∂∂=+-∂∂∂∂⎰⎰自由表面及底部运动学条件0000z x y z z z zxyz z z z z z d u u u dt t xyd z z z z u u u dt t xyζζζζζζζ======∂∂∂==++∂∂∂∂∂∂==++∂∂∂以x 方向为例三维流动的运动方程沿水深平均为02222221()()()()0y x x z x x x y x z t z u u u u pu u u u u u dz t x y z x x y z ζυρ⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂∂++++-++=⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦⎰非恒定项积分00000x x x x z z z z z x x xz z z u z dz u dz u u t t t t HU z u u t t tζζζζζζ====∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰对流项积分首先将时均流速分解为i i i u U u =+∆，式中i U 为垂线平均流速，i u ∆为时均流速i u 与垂线平均流速i U 的差值。
0000x x x x x xx xz z z z z u u z dz u u dz u u u u x x x xζζζζ==∂∂∂∂=-+∂∂∂∂⎰⎰()()(2)x x x x x x z z x x x x x x z x x x x xx x xz u u dz U u U u dzU U u u U u dzHU U u u dz HU U ζζζζβ=+∆+∆=+∆∆+∆=+∆∆=⎰⎰⎰⎰式中，01x x z xxx xu u dz HU U ζβ∆∆=+⎰，是由于流速沿垂线分布不均匀而引入的修正系数，类似于水力学中的动量修正系数，其数值一般在 1.02—1.05，可以近似取1.0，因此00x x x x x xx x z z z z u u HU U z dz u u u u x x xxζζζ==∂∂∂∂=-+∂∂∂∂⎰类似，可以得到x y x yx y x y z z z z u u HU U z dz u u u u yyyyζζζ==∂∂∂∂=-+∂∂∂∂⎰00x zx zx zz z z z u u dz u u u u x ζζ==∂=-∂⎰上几式相加，并利用底部及自由表面运动学条件可得0()()()x x x x y x z z x yx x x u u u u u u u dz t x y z HU U HU HU U t x yζ⎡⎤∂∂∂∂+++⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦∂∂∂=++∂∂∂⎰压力项积分000z z z z z z p dz pdz p p x x x x ζζζζ==∂∂∂∂=-+∂∂∂∂⎰⎰（莱布尼茨公式） 将()p g z ρζ=-代入上式后化简得：00z z p H dz gH gH gH x x x xζζρρρ∂∂∂∂=+=∂∂∂∂⎰ 扩散项积分022222222222[()]()cos y x x x a z t t w z u u HU HU u dz g C x y z x y ζρννωβρ∂∂∂∂∂++=+-∂∂∂∂∂⎰上式右边后两项分别为由底部创面阻力和表面风阻力引起的阻力项。
浅水方程公式推导
一、N-S 方程的推导过程1， 液体运动微分方程〔根据牛顿第二定律写出〕 2， 切应力的性质和大小 3， 动水压强的性质和大小 4， 由1.2.3推导出N-S 方程对于不可压缩液体所以：二、浅水方程的推导沿垂向方向积分连续方程：H=η+b z莱布尼兹公式：0)())(,()())(,(),(),()()()()(=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂⎰⎰xx x x Q x x x x Q dy y x Q x dy y x Q xx x x xαββββαβα带入 ②yz z y x v y y x v udz y dz y v bb z zb b∂∂--∂∂-∂∂=∂∂⎰⎰--),,(),,(ηηηη③),,(),,(b zz y x w y x w dz zwb--=∂∂⎰-ηη深度平均 边界条件自由外表 河道底部X 方向的N-S 方程对于不可压缩的液体 所以可得 其中可以写成〔x 方向无质量力〕 对上式两边沿深度方向积分左边：① ②③④ ①t z z y x u t y x u udz t dz t u b b z zb b∂∂--∂∂-∂∂=∂∂⎰⎰--),,(),,(ηηηη②xz z y x u z y x u x y x u y x u dz u x dz x u b bb z z b b ∂∂---∂∂-∂∂=∂∂⎰⎰--),,(),,(),,(),,()()(22ηηηηη③yz z y x v z y x u y y x v y x u dz uv ydz y uv b b b z zbb∂∂---∂∂-∂∂=∂∂⎰⎰--),,(),,(),,(),,()()(ηηηηη④yzz y x v z y x u x z z y x u z y x u t z z y x u y y x v y x u x y x u y x u t y x u y z z y x v x z z y x u t z z y x u y y x v x y x u t y x u z y x w z y x u y x w y x u dz z uw bb b b b b b b bbb b b b b b z b ∂∂--+∂∂--+∂∂-+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂--∂∂--∂∂---∂∂+∂∂+∂∂=---=∂∂⎰-),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,()),,(),,()(,,()),,(),,()(,,(),,(),,(),,(),,()(ηηηηηηηηηηηηηηηηη①②③④化简得：①②③①UH udz tbz=∂∂⎰-η②⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--------∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+∂∂=-+∂∂=∂∂ηηηηηηηb b b b b bbz z z z z zzdz U u xdz U x dz U u U dz U u dz U x dzU u U xdz u x222222)()(2)()( ③⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------∂∂+∂∂=--∂∂+-∂∂+-∂∂+∂∂=-+-+∂∂=∂∂ηηηηηηηηbbbbbbbbzz zzzz zz dzV v U u yUVdz y dzV v U u ydz V v U yVdz U u xUVdz y dzV v V U u U xuvdz y))(())(()()())((左边最后等于dzV v U uydz U u xUVH y H U x UH t bbz z⎰⎰----∂∂+-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ηη))(()()()()(22右边由坐标变换水面的坡度很小，所以所以扩展到三维同样，对于河床底部)(,ητxz 和)(,b xz z -τ是沿水面方向的切应力和沿河床平面的切应力，可以表示为bx τ和by τ。
2第二章 海水状态方程式
一 Knudsen-Ekman经典海水状态方程 式
2 现场条件下的状态方程式
考虑了压力的影响。1908年Ekman完成了第三组经验公式：
αS，T，P=αS，T，0（1-μP）
109
4886 1 1.83 105
P
(227
28.33T
0.551T
2
0.004T
3)
104 P(105.5 9.50T 0.158T 2 ) 1.5107TP2
1779.5 11.25T 0.0745T 2 (3.80 0.01T )S 0 0.6980
四 Crease的海洋现场状态方程 式（1962）
(P,T , S )
ai, j,k PiT j (S 35)k
i, j,k
0 i, j, k 4
公式有效范围：
T
(T 3.98)2 (T 283) 503.570(T 67.26)
AT T (4.7867 0.098185T 0.0010843T 2 ) 103 BT T (18.030 0.8164T 0.01667T 2 ) 106 0 0.1324
P
B*
1
a ,b
C' X1
C' X1
三 Tumlirz海水状态方程式 （1958）
1958年，Eckart首先提出用Tumlirz公式来表达海水状 态方程式，这是用于海水和淡水的简化形式的公式。
( p p0 )( p 0 )
P0 5890 38T 0.375T 2 3S
101( 0 28)[(147.3 2.72T 0.04T 2 )
水波色散方程的直接求解方法
＝ ｏ ｝ ￣ ｉ ａ ｎ ｈ ｘ Ｉ ｏ
解 。将 近 似解 的相对 误差 定义 如下
． ．
ｔ ３ ）
已知波浪周期和水深 （ 。 已知 ） ， 利用公式（ ３ ） 可计算得到 ， 即得到波长 ， 但此时得 到的波长为近似
张 益 ， 刘 勇
（ 中国海洋 大要： 在港 口与海 岸工程设计 中 ， 经常要求 利用 波浪周期 和水 深来 计算波长 ， 这需要迭代求 解水波色
散方程 ， 不便于实际应用 。如何利用波浪周期和水深来直接简单计算波 长 ， 是工程实践提 出的需要解决
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４ — ０ ６ — ０ ３ ； ． 修 回 日期 ： ２ ０ １ ４ — ０ ６ — ３ ０
基金项 目： 国家 自然科学基金项 目（ ５ １ ２ ７ ９ ２ ２ ４ ）
作者简介 ： 张益 （ １ ９ ９ ２ 一 ） ， 男， 浙江 宁波人 ， 主要从 事海岸 和近海 工程研究 。
在整 个波 长 范 围 内 ， 式（ ５ ） 的最大 相对 误差 约 为 １ ． ７ ％。
１ ． ２ Ｙ ｕ 方 法
Ｙ ｕ 在 公式 （ ３ ） 中加 入一 项 ， 得到 如下 近似 公 式
／ Ｚ ｏ ／ ￣ ／ ｔ ａ ｎ ｈ ／ ｚ ｏ ＋ ０ ． ０ ５ ２ ７ ｓ ｉ ｎ （ ｃ ｏ ｓ － ￣ （ ２ ｔ ａ ｎ ｈ （ 一 １ ） ）
式中 ： ＝ ２ ａ ｘ ｈ ／ Ｌ ； 。 ＝ （ ２ ａ ＇ ｒ ） ｈ ／ （ ￣ ｒ ） 。 如 果 已 知 波 周 期 和 水 深 ｈ ， 利 用 公 式 （ １ ） 或 （ ２ ） 可 以 确 定 波 长Ｌ ， 但 是
浅水方程 有限体积
浅水方程有限体积
浅水方程是描述水波传播的一种数学模型，通常用于描述海啸、潮汐等水波现象。
有限体积方法是一种数值计算方法，用于求解偏
微分方程，包括浅水方程。
下面我将从多个角度来回答这个问题。
首先，浅水方程描述了水波在水深相对较小、波长相对较长的
情况下的传播。
它是由贝尔纳利方程和连续性方程推导而来的非线
性偏微分方程组。
浅水方程通常用于预测水波的传播、波高和波速
的变化等现象。
有限体积方法是一种数值计算方法，主要用于求解偏微分方程
的数值解。
它将求解区域划分成有限数量的控制体积单元，然后利
用守恒方程对控制体积进行积分，最终得到离散形式的方程，通过
迭代计算得到方程的数值解。
在求解浅水方程时，有限体积方法可
以有效地处理复杂的边界条件和非线性项，是一种常用的数值求解
方法。
从应用角度来看，浅水方程和有限体积方法在海洋工程、水利
工程等领域具有重要的应用价值。
比如在海啸预警系统中，可以利
用浅水方程模拟海啸波的传播过程，而有限体积方法可以用于对模
拟方程进行数值求解，从而预测海啸波在不同区域的影响。
总的来说，浅水方程和有限体积方法都是水波传播和数值计算领域重要的理论和方法，它们的结合应用对于解决实际工程问题具有重要意义。
希望我的回答能够全面地解答你的问题。
折射定律及等效渗透系数
折射定律及等效渗透系数1. 折射定律折射定律是描述光线在两种介质之间传播时的偏折规律。
根据折射定律，光线通过两种介质的交界面时，入射角和折射角之间满足以下关系：$$ \\frac{{\\sin{\\theta_1}}}{{\\sin{\\theta_2}}} =\\frac{{v_1}}{{v_2}} $$其中，$\\theta_1$为入射角，$\\theta_2$为折射角，v1和v2分别为两种介质中的光速。
折射定律的推导基于光的波动性质以及不同介质中的光速不同导致光线传播方向的改变。
根据这一定律，常见的现象如光在水与空气交界处发生折射，蓝天白云的色彩形成等都可以被解释。
2. 等效渗透系数在多孔介质中，渗流过程可以通过有效应力和渗透率来描述。
渗透率是一个描述渗流能力的参数，它是由孔隙介质中的孔隙度和渗流阻力共同决定的。
在某些情况下，渗透率的值难以测量，或者需要进行大量实验才能得到准确的数据。
为了简化问题，我们可以引入等效渗透系数来代替渗透率。
等效渗透系数（v v）是描述多孔介质中渗流能力的一个量，它与真实介质的渗透率（v）相对应。
等效渗透系数通过将介质划分成若干小单元，其中每个小单元的渗透率与整个介质中的渗透率相等，从而简化了计算。
等效渗透系数可以通过下式计算：$$ k_e = \\frac{{\\sum{k_i \\cdot A_i}}}{{\\sum{A_i}}} $$其中，v v为第v个小单元的渗透率，v v为该小单元的面积。
等效渗透系数的使用可以方便地进行渗透率的估算和模拟。
在石油工程领域，等效渗透系数是常用的描述储层渗透能力的参数。
通过在模拟中使用等效渗透系数，可以快速地得到渗流过程的结果，从而辅助油田开发和生产管理。
3. 应用实例折射定律和等效渗透系数在实际应用中有着广泛的应用，下面分别给出一些具体的应用实例。
3.1 折射定律的应用3.1.1 光学器件设计折射定律是光学器件设计中的重要基础知识。
《新编基础物理学》十四和十五章光学习题解和分析
十四章 几何光学习题和解答14-1.如题图14－1所示，一束平行光线以入射角θ射入折射率为n ，置于空气中的透明圆柱棒的端面．试求光线在圆柱棒内发生全反射时，折射率n 应满足的条件．分析：一次折射，一次反射；利用端面折射角和内侧面入射角互余及全反射条件即可求解。
解：设光线在圆柱棒端面的折射角为γ，在内侧面的入射角为'θ，根据折射定律，有'sin 'cos sin sin 222θθγθn n n n -===光线在界面上发生全反射的条件为1'sin ≥θn∴发生全反射时，n 必须满足θ2sin 1+≥n14-2.远处有一物点发出的平行光束，投射到一个空气中的实心玻璃球上．设玻璃的折射率为50.1=n ，球的半径为cm r 4=．求像的位置．分析：利用逐步成像法，对玻璃球的前后两个球面逐一成像，即可求得最后像的位置．用高斯成像公式时，应注意两个球面的顶点位置是不同的．cm r r cm r r 4,421-=-===．解：cm cm r n n f 12)415.15.1(1'11=⨯-=-=cm cm f n f 8)5.112('111-=-=-=cm f p p p f p f 12'',,1''1111111==∞==+ 或用-∞====-=-1111111111,1,5.1','''p n n n r n n p n p ncm p p 12',415.11'5.111=-=∞--对玻璃球前表面所成的像，对后表面而言是物，所以cm cm r p p 4)812(2'212=-=+=cm cm r n f 8)]4(5.111[11'22=-⨯-=-=cm cm nf f 12)85.1('22-=⨯-=-=cm cm f p f p p p f p f 2)12484('',1''222222222=+⨯=-==+ 或用1',5.1,'''222222222===-=-n n n r n n p n p n题图14-1cm p p 2',45.1145.1'122=--=-像在球的右侧，离球的右边2cm 处．14-3.如题图14－3所示的一凹球面镜，曲率半径为40cm ，一小物体放在离镜面顶点10cm 处．试作图表示像的位置、虚实和正倒，并计算出像的位置和垂轴放大率．分析：利用凹面镜的半径可确定焦距，以知物距，由球面镜的物像公式和横向放大率公式可求解。
上海海事大学港航海岸动力学
海岸动力学上海海事大学2007106130041. 波浪分类：1按形态分布分规则波和不规则波2按波浪是否破碎分破碎波、未破碎波和破后波3按水深分h/l<0.05为浅水波；0.05≤h/l ≤0.5为有限水深波；h/l>0.5为深水波2. 波浪运动的描述方法：欧拉法、拉格朗日法3. 波理论的简单描述：微幅波理论和斯托克斯波理论（有限水深波理论）4. 波浪描述的参数：（基本参数）空间尺度包括波高H ，振幅a ，波面η，波长L ，水深h ；时间尺度包括波周期T ，波频率f=1/T ，波速c=L/T 。
（复合参数）波动角频率σ=2π/T ，波数k=2π/L ，波陡δ=H/L ，相对水深h/L 或kh5. 波理论假设：1流体是均质和不可压缩的，其密度为常数2流体是无粘性的理想流体3自由水面的压力是均匀的且为常数4水流运动是无旋的5海底水平不透水6流体上的质量力仅为重力，表面张力和柯氏力可忽略不计7波浪属于水平运动，即在xy 平面内做6. 波动方程：拉普拉斯方程 伯努利方程边界条件7. 微服波控制方程： 自由水面波面曲线：η=2H cos(kx-σt)；自由表面边界条件：σ2=gktanh(kh)弥散方程 弥散方程：表面波浪运动中角频率σ、波数k ，水深h 之间的相互关系推导：L= π2gT 2tanh(kh)；c=π2gT tanh(kh)；c 2=kg tanh(kh)——σ=2π/T ；k=2π/L ；c=L/T 8. 迭代法求波长9. 名词解释：弥散（色散）现象：当水深给定是，波的周期越长，波长也越长，这样就使不同波长的波在传播过程中逐渐分散开来。
这种不同波长或周期的波以不同速度进行传播最后导致波的分散现象称为波的弥散（或色散）现象10. 深水波和浅水波：根据双曲函数图像深水波：潜水波：11. 水质点运动方程：12. 轨迹为一个封闭的圆，在水底处b=0，说明水质点沿水滴只作水平运动。
在深水情况下，运动轨迹为一个圆，随着指点距水面的深度增大，轨迹圆的半径以指数形式迅速减小。
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中国海洋大学 工程学院 海洋工程系 港航教研室
Matlab程序设计（一） Matlab程序设计（一）
李华军 刘勇
2009年10月 年 月
海岸工程学
中国海洋大学 工程学院 海洋工程系 港航教研室
提纲
一、求色散方程近似解 二、计算波浪浅水系数 三、计算波浪折射系数
海岸工程学
中国海洋大学 工程学院 海洋工程系 港航教研室
一、求色散方程近似解
色散方程
近似解（Hunt,1979；精确到0.1%）
海岸工程学
中国海洋大学 工程波浪浅水系数
海岸工程学
中国海洋大学 工程学院 海洋工程系 港航教研室
三、计算波浪折射系数
波浪折射系数
海岸工程学
中国海洋大学 工程学院 海洋工程系 港航教研室
作业要求
编写Matlab程序，计算 近似波长、浅水系数、折射系数 该次作业于10月30日之前发到 ce_ouc@ 邮件主题：1+学号+姓名 作业应包括 三个程序文件，压缩为一个文件包 文件包命名原则：1+学号+姓名