第八章：期权定价的数值方法

第八章：期权定价的数值方法

教学目标：

1、了解二叉树期权定价模型并且熟悉二叉树模型的基本方法；

2、理解蒙特卡罗模拟的基本过程；

3、熟悉蒙特卡罗模拟的技术的实现。 教学重点：

1、二叉树模型的基本方法；

2、蒙特卡罗模拟。 教学难点： 1、蒙特卡罗模拟。 课时建议：3课时 教学主要内容：

8.1二叉树期权定价模型

把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t ∆，并假设在每一个时间间隔t ∆内证券价格只有两种运动的可能：

1.从开始的S 上升到原先的u 倍，即到达Su ；

2.降到原先的d 倍，即Sd

其中u>1,d<1.假设价格上升的概率为p ，则价格

下降的概率为1-p,相应的期权的价值也会有所不同，分别为f u 和f d

二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动 8.1.1二叉树模型的基本方法 二叉树模型可分为以下几种方法 一）单步二叉树模型

1.无套利定价法

2.风险中性定价法

3.风险中性定价法 （二）证券价格的树型结构

4.证券价格的树型结构

S

（三）倒推定价法 5. 倒推定价法

二叉树方法的一般定价过程－以无收益证券的美式看跌期权为例6.一般定价过程 无套利定价法：

构造投资组合包括∆份股票多头和1份看涨期权空头当Su u Sd fd ∆-=∆-则组合为无风

险组合。此时：

u d

f f Su Sd -∆=

-

因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得

()r t

u S f Su f e -∆∆-=∆-

将

u d

f f Su Sd -∆=

-代入上式就可得到：

()1r t u d f e pf p f -∆=+-⎡⎤⎣⎦

其中，d

u d

e p t r --=∆

1.风险中性定价法 在风险中性世界里：

（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；

（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值满足条件：Sd p pSu Se

t

r )1(-+=∆

d p pu

e t r )1(-+=∆

假设证券价格遵循几何布朗运动，则：

2

2

2

2

2

2

2

2

])1([)1(d p pu S d S p u pS t S -+--+=∆σ []2222)1()1(d p pu d p pu t -+--+=∆σ

再设定：

1

u d =

（第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox 、Ross 和Rubinstein 所用的条件）

由以上三式可得，当t ∆很小时：d

u d e p t r --=∆，t

e

u ∆=σ

，t

e

d ∆-=σ

从而，

()

1

r t

u d f e pf p f

-∆

=+-

⎡⎤

⎣⎦

以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。

2.证劵价格的树形结构

Su2

4

S

2

4

在t i∆时刻，证券价格有i+1种可能，它们可用符号表示为：j i j d

Su-,j=0.1 i

注意：由于

1

u

d

=

，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。

3.推到定价法

得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。

如果是欧式期权，可通过将时T刻的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率r 贴现求出每一结点上的期权价值；

如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有t∆时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。4.二叉树方法的一般定价过程

假设把该期权有效期划分成N个长度为t∆的小区间，同时用j i j d

Su-表示结点（i,j）处的

证券价格可得：

max(,0)

j N j N j f X Su d -=-，，其中j=0.1 N

假定期权不被提前执行，t ∆后，则：

1,11,[(1)]

r t ij i j i j f e pf p f -∆+++=+-

（表示在时间i t ∆时第j 个结点处的美式看跌期权的价值） 若有提前执行的可能性，则：

1,11,max{,[(1)]}

j i j r t ij i j i j f X Su d e pf p f --∆+++=-+-

8.1.2构造树图的其他方法和思路 1.三叉树图

每一个时间间隔t ∆内证券价格只有三种运动的可能：

1.从开始的S 上升到原先的u 倍，即到达Su ；

2.保持不变，仍为S

3.降到原先的d 倍，即Sd 一些相关参数：

u e

σ=

2126d p r q σ⎫=--+

⎪⎭

2126u p r q σ⎫=

--+

⎪⎭

23m p =

2.控制方差技术

基本原理：期权A 和期权B 的性质相似，我们可以得到期权B 的解析定价公式，而只能得到期权A 的数值方法解

S

3

2

Su S Sd 3

21

d u

=