2013年湖北省襄阳市中考数学试题及答案

2013年襄阳市初中毕业生学业考试数学试题

一、选择题（每小题3分，共36分） 1、2的相反数是（ ） A 、－2 B 、2 C 、－

21 D 、2

1

2、四川芦山发生7.0级地震后，一周之内，通过铁路部门已运送救灾物资15810吨。将15810用科学记数法表示为（ ）

A 、1.581×103

B 、1.581×104

C 、15.81×103

D 、15.81×104

3、下列运算正确的是（ ）

A 、4a －a ＝3

B 、a ·a 2＝a 3

C 、（－a 3）2＝a 5

D 、a 6÷a 2＝a 3

4、如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B ＝400

，∠ACD ＝1200

，则∠A 的度数为（ ）

A 、600

B 、700

C 、800

D 、900 5、不等式组{

1

2712≥-->-x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A 、

B

、

C 、

D 、

6、如图，BD 平分∠ABC ，CD ∥AB ，若∠BCD ＝700，则∠ABD 的度数为（ ） A 、550 B 、500 C 、450 D 、400

7、分式方程

x 1＝1

2+x 的解是（ ） A 、x ＝3 B 、x ＝2 C 、x ＝1 D 、x ＝－1

8、如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是（ ） A B C D

A C

B D B A

C

D

1 0 －3 1 0 －3 1 0 －3 1 0 －3

9、如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AB ＝5，△OCD 的周长为23，则四边形ABCD 的两条对角线的和是（ ）

A 、18

B 、28

C 、36

D 、46

10、二次函数y ＝－x 2

＋bx ＋c 的图象如图所示，若点A （x 1 ，y 1）、B （x 2 ，y 2）在此函数图象上，且x 1

11、七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约

用水，从我做起”。下表是从七年级400名学生中选出10名学生统计

各自家庭一个月的节水情况：

那么这组数据的众数和平均数分别是（ ）

A 、0.4和0.34

B 、0.4和0.3

C 、0.25和0.34

D 、0.25和0.3

12、如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt ⊿ABC 的斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E 。B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为

3

2π

，则图中阴影部分的面积为（ ） A 、

9

π

B 、93π

C 、2333π-

D 、2233π-

二、填空题（每小题3分，共15分） 13、计算：3-＋（2－1）0＝__________

14、使代数式

x

x --31

2有意义的x 的取值范围是________________

15、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为__________m 。

16、襄阳市辖区内旅游景点较多。李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家

B A

湾三个景点支游玩。如果他们各自在这三个景点任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），那么他们都选择古隆中景点不第一站的概率是___________

17、在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形要，则原直角三角形纸片的斜边长是_________ 三、解答下列各题（共69分）

18、（6分）先化简，再求值：a b a 22-÷（a

b ab 2

2-－a ），其中a ＝1＋2，b ＝1－2。

19、（6分）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼上的C 处测得旗杆底端B 的俯角为450，测得旗杆顶端A 的仰角为300。若旗杆与教学楼的水平距离CD 为9m ，则旗杆的高度是多少？（结果保留根号） 20、（6分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感。 （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮又有多少人被传染？ 21、（6

分）某中学为了预测本校应届毕业生“一分钟跳绳”项目考试情况，从九年级随机

B

3 2 3

抽取部分女生进行该项目测试，并以测试数据为样本，绘制出如图所示的部分频数分布直方

根据统计图提供的信息解答下列问题：

（1） 补全频数分布直方图，并指出这个样本的中位数落在第________小组；

（2） 若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，本校九年

级女生共有260人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩的优秀人数；

（3） 若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于170次的成绩为满分，在这个样

本中，从成绩为优秀的女生中任选一人，她的成绩为满分的概率是多少？

22、（6分）□ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A （－4，0），B （2，0），C （3，3），反比例函数y ＝

x

m

的图象经过点C 。 （1）求此反比例函数的解析式；

(2)将□ABCD 沿x 轴翻折得到□AD /C /B ，请你通过计算说明点D /在双曲线上； （3）请你画出△AD /C ，并求出它的面积。

23、（7分）如图(1)，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形。

(1)连接BE 、CD ，求证：BE=CD ；

(2)如图(2)，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得到△AB /D /。

。

①当旋转角为_______度时，边AD /。

落在边AE 上；

②在①的条件下，延长DD /。交CE 于点P ，连接BD /。、CD /。

，当线段AB 、AC 满足什

么数量关系时，△BD D /。与△CPD /。

全等？并给予证明。

图(1) 图(2) 24、（9分）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x ≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用。该社区附近A 、B 两家超市都有这种品牌的羽毛球和羽毛球拍出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动。

A 超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；

B 超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球。 设在A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A 元，在B 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B 元。请解答下列问题：

（1）分别写出y A 和y B 与x 之间的关系式；

（2）若该活动中心只有一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算：

（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。 25、（10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径。∠ACB 的平分线CD 交⊙O

C

C

于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F。

（1）求证：DP∥AB；

（2）试猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并加以证明；

（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长。

26、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点A的坐标为（－1，0），对称轴为直线x＝－2。

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点。已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；

（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动。设点P运动的时间为t秒。

①当t为________秒时，△PAD的周长最小？

当t为________________秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）；

②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

本试题及答案由湖北省枣阳市第六中学金安勇老师录入

参考答案

一、选择题

1、A

2、B

3、B

4、C

5、D

6、A

7、C

8、D

9、C 10、B 11、A 12、D

二、填空题

13、4 14、x ≥21且x ≠3 15、0.2 16、9

1 17、62或213

三、解答下列各题 18、 原式＝b

a b

a -+，把a ＝1＋2，

b ＝1－2代入，原式＝－22。

19、 在Rt ⊿ACD 中，∵tan ∠ACD ＝

DC

AD ，∴tan300＝9AD

，∴AD ＝33，

在Rt ⊿BCD 中，∵tan ∠BCD ＝CD BD ，∴tan450＝9

BD

，∴BD ＝9，

∴AB ＝AD ＋BD ＝33＋9，即旗杆的高度为（33＋9）米。

20、（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则由题意得， 1＋x ＋（1＋x ）x ＝64，

解之，得 x1＝7，x2＝－9（舍去），

答：每轮传染中平均一人传染了7人。 （2）7×64＝448，

答：又有448人被感染。 21、（1）图略，三，

（2）5016

10450---×260＝104（人），

（3）20

4＝0.2。

22、（1）y ＝

x

9

，

（2）过C 作CE ⊥x 轴于点E ，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，则△CBE ≌△DAF ， ∴AF ＝BE ，DF ＝CE ， ∵A （－4，0），B （2，0）C （3，3）， ∴D （－3，3），

∵点D /与点D 关于x 轴对称，∴D /（－3，－3）

把x ＝－3代入y ＝

x

9

得，y ＝－3， ∴点D /在双曲线上。

（3）∵C （3，3），D /（－3，－3）， ∴点C 与点D /关于原点O 中心对称， ∴D /O ＝CO ＝

2

1 D /

C ， ∴S △A

D /C ＝2S △AOC ＝2×

2

1

×4×3＝12。 23、（1）证明：∵△ACE 、△ABD 都是等边三角形。

∴AB ＝AD ，AE ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ＝600，

∴∠BAD ＋∠DAE ＝∠CAE ＋∠DAE ∴∠BAE ＝∠DAC ， ∴△BAE ≌△DAC ∴BE ＝CD 。

（2）①600，

②当AC ＝2AB 时，△BD D /与△CP D /全等，证明如下： 由旋转可知A B /与AD 重合，∴AB ＝BD ＝D D /＝A D /，

∴四边形ABD D /是菱形， ∴∠AB D /＝∠DB D /＝

21∠ABD ＝2

1

×600＝300， ∵△ACE 是等边三角形， ∠CAE ＝600，AC ＝AE ，∠ACE ＝600， ∴AC ＝2AB ， ∴AE ＝2A D /， ∴∠PC D /＝∠AC D /＝2

1

∠ACE ＝300， ∴B D /＝C D /，

∴△BD D /≌△CP D /。

24、（1）y A ＝（10×30＋10x ×3）×90%＝27x ＋270，

y B ＝10×30＋10（x －2）×3＝30x ＋140； （2）当y A ＝y B 时，27x ＋270＝30x ＋140，得x ＝10， 当y A ＞y B 时，27x ＋270＞30x ＋140，得x ＜10， 当y A ＜y B 时，27x ＋270＜30x ＋140，得X>10, 所以，当2≤x ＜10时，到B 超市购买划算； 当x ＝10时，两家超市都一样； 当x ＞10时，到A 超市购买划算。

（3）由题意知，没限制只在一家超市购买，所以既可以只在一家购买，也可以在两家混合购买，因此分两种情况讨论：

①若只在一家购买：因为x ＝15＞10，所以选择在A 超市购买划算，费用为：y A ＝27×15＋270＝675（元）；

②若在两家混合购买：可先在B 超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，后在A 超市购买剩下的羽毛球10×15－20＝130个，则共需费用10×30＋130×3×0.9＝651（元），

因为651＜675，所以最省钱的方案是：先在B 超市购买10副羽毛球拍，后在A 购买130个羽毛球。 25、（1）证明：连接OD ，

∵PD 切⊙O 于点D ， ∴OD ⊥PD ，∠ODP ＝900

， ∵∠ACD ＝∠BCD ，∠AOD ＝2∠ACD ，∠BOD ＝2∠BCD ，

∴∠AOD ＝∠BOD ＝

2

1×1800＝900

， ∴∠ODP ＝∠BOD ， ∴PD ∥AB 。

（2）答：BF －AE ＝EF ，证明如下：

∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠ADE ＋∠BDF ＝900

，

∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ， ∴∠AED ＝∠BFD ＝900

，

∴∠FBD ＋∠BDF ＝900

， ∴∠FBD ＝∠ADE ，

∵∠AOD ＝∠BOD ， ∴AD ＝BD ， ∴△ADE ≌△DBF ，

∴BF ＝DE ，AE ＝DF ， ∴ BF －AE ＝DE －DF ， 即 BF －AE ＝EF 。

（3）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝900

，∴∠ACD ＝2

1∠ACB ＝450

， 在Rt ⊿ACB 中，AB 2＝AC 2＋BC 2＝100， 在Rt ⊿ADB 中，AB 2＝2AD 2，∴AD ＝52，

在Rt ⊿AEC 中，AC 2＝AE 2＋CE 2，∴AE ＝CE ＝32， 在Rt ⊿AED 中，DE ＝

22AE AD ＝42，

∴CD ＝CE ＋DE ＝72， ∵PD ∥AB ，∴∠PDA ＝∠DAB ， ∵∠ACD ＝∠BCD ＝∠DAB ，

∴∠PDA ＝∠ACD ，又∵∠P ＝∠P ， ∴△PAD ∽△PDC ，

∴

PD PA ＝PC PD ＝DC AD ＝2725＝7

5

, ∴PA ＝

75PD ＋6， ∴67

5+PD PD ＝75, ∴PD ＝435

。

26、（1）由抛物线的轴对称性及A （－1，0），可得B （－3，0），

（2）设抛物线的对称轴交CD 于点M ，交AB 于点N ，

由题意可知AB ∥CD ，则抛物线线的轴对称性可得CD ＝2DM ， ∵MN ∥X 轴，AB ∥CD ， ∴四边形ODMN 是矩形， ∴DM ＝ON ＝2，∴CD ＝2×2＝4， ∵ A （－1，0），B （－3，0）， ∴AB ＝2， ∵S 梯形ABCD ＝

2

1

（AB ＋CD ）OD ＝9， ∴OD ＝3， ∴c ＝3， ∴把A （－1，0），B （－3，0）代入y ＝ax 2＋bx ＋3中，得 a ＝1，b ＝4， ∴y ＝x 2＋4x ＋3。

（3）① 2， 4或4－6或4＋6；

② 存在。

∵∠APD ＝900，∠PNA ＝∠BOD ＝900

∴∠DPM ＋∠APN ＝900，∠DPM ＋∠PDM ＝900

， ∴∠PDM ＝∠APN ， ∵∠PMD ＝∠ANP ∴△APN ∽△PDM

∴

PM AN ＝DM PN

， ∴PN -31＝2

PN ， ∴PN 2

－3PN ＋2＝0， ∴PN ＝1或 PN ＝2，

∴P （－2，1）或（－2，2）