【四清导航】2015春八年级数学下册 1.4 角平分线(第1课时)课件 (新版)北师大版
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1.4角平分线(1)课件+2023-2024学年北师大版数学八年级下册
则点P即为所求作的目标位置.
N
例题学习
例1 在△ABC中，∠BAC = 60°，点D在BC上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为 E，F，且DE = DF，求DE的长.
解:∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE = DF，
∴AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上).
PD = PE.
应该怎样进行证明呢？
探一探
角平分线的性质
求证：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理：
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
A
垂足分别为D，E.
D
求证：PD = PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
P
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
AB ,∠BDE = 90°.
∴BC = BD .
在Rt△BCE和Rt△BDE中，
∵BC = BD , BE = BE ,
∴Rt△BCE ≌ Rt△BDE (HL) .
∴∠CBE = ∠DBE.
即BE平分∠ABC.
习题1.9
4.如图，在∠AOB内部求作一点P，使PC = PD，并且点P到∠AOB两边的
∴△BDE ≌ △CDF (AAS).
∴DE = DF .
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴AD平分∠BAC.
作
业
教材34页
第11题
再 见
距离相等.
作法：
l
1.连接CD,作线段CD的垂直平分线 l .
M
2.作∠AOB的角平分线OM，交直线 l
N
例题学习
例1 在△ABC中，∠BAC = 60°，点D在BC上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为 E，F，且DE = DF，求DE的长.
解:∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE = DF，
∴AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上).
PD = PE.
应该怎样进行证明呢？
探一探
角平分线的性质
求证：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理：
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
A
垂足分别为D，E.
D
求证：PD = PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
P
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
AB ,∠BDE = 90°.
∴BC = BD .
在Rt△BCE和Rt△BDE中，
∵BC = BD , BE = BE ,
∴Rt△BCE ≌ Rt△BDE (HL) .
∴∠CBE = ∠DBE.
即BE平分∠ABC.
习题1.9
4.如图，在∠AOB内部求作一点P，使PC = PD，并且点P到∠AOB两边的
∴△BDE ≌ △CDF (AAS).
∴DE = DF .
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴AD平分∠BAC.
作
业
教材34页
第11题
再 见
距离相等.
作法：
l
1.连接CD,作线段CD的垂直平分线 l .
M
2.作∠AOB的角平分线OM，交直线 l
八年级数学下册 第一章 三角形的证明1.4 角平分线第1课时 角平分线的性质与判定习题课件北师大版
问题2：运用所学知识证明你的猜想。
已知：如图,∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别
为D,E.
求证：PD=PE.
A
证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
B
D
C
课程讲授
2 角平分线的判定
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为
E，F，且DE=DF,
∴AD平分∠ BAC（在一个角的内部，
到角的两边距离相等的点在这个角的平
分线上）.
又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°. E
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
AD=10， ∴DE=
1
AD
1
10
5
B
2
A'
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS),∴AB=A′B′,
在△ABC和△A′B′C′中，
∠B=∠B′,
Байду номын сангаас
AB=A′B′,
∠BAC=∠B′A′C′, ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
B'
D'
C'
课堂小结
性质 定理
角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等
角平分线
判定 定理
在一个角的内部，到角的两边距 离相等的点在这个角的平分线上
问题1.1：如图，任意作一个∠AOB，作出的角平分线
OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线,分
别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么
已知：如图,∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别
为D,E.
求证：PD=PE.
A
证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
B
D
C
课程讲授
2 角平分线的判定
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为
E，F，且DE=DF,
∴AD平分∠ BAC（在一个角的内部，
到角的两边距离相等的点在这个角的平
分线上）.
又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°. E
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
AD=10， ∴DE=
1
AD
1
10
5
B
2
A'
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS),∴AB=A′B′,
在△ABC和△A′B′C′中，
∠B=∠B′,
Байду номын сангаас
AB=A′B′,
∠BAC=∠B′A′C′, ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
B'
D'
C'
课堂小结
性质 定理
角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等
角平分线
判定 定理
在一个角的内部，到角的两边距 离相等的点在这个角的平分线上
问题1.1：如图，任意作一个∠AOB，作出的角平分线
OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线,分
别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么
北师大版八年级数学下册课件1.4角平分线(第1课时)
新知新授
课堂检测
O
1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂 足分别是C，D，则下列结论错误的是（ D）
A.∠COP＝∠DOP B.PC＝PD C.OC＝OD D.∠COP＝∠OPD
2.如图，OC 平分∠AOB，若点C到OB的距离是2.4，OD=4.则
△OCD的面积等于（ B ）
逆命题
利用角平分线的性质及判定解决实际问题,培养学生解决问题的能力.
三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 你认为上面这种说法正确吗？为什么？
到角两边距离相等的点在这个角的
如图，点 P是平面内一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，点P在∠AOB的角平分线上吗？
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
认真阅读课本第29页例1，体会角平分线 通过上面的逻辑推理验证，得到如下定理：
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠BAD与∠CDA的平分线交于点M，点M在BC上.
的判定定理在解题中的应用。 求证：AD=AB+DC
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ） 你能用逻辑推理的方法来证明角平分线的这条性质吗? ∴MC=MN（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 上面逆命题的准确说法应该怎样说？ 第1课时 角平分线的性质及判定 ∴OP平分∠AOB（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） 通过上面的逻辑推理验证，得到如下定理： 求证：DM平分角ADC. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ） 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
北师大版八年级数学下册1.4角平分线角平分线的性质与判定课件
= ，
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.