函数模型的应用——中考专题复习
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函数模型的应用
——中考专题复习
在《义务教育数学课程标准》中对函数应用的具体要求有:能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系;能结合对函数关系的分析,对变量的变化情况进行初步讨论;能根据已知条件确定一次函数的表达式;能用一次函数解决简单实际问题;能根据已知条件确定反比例函数的表达式;能用反比例函数解决简单实际问题;能用二次函数解决简单实际问题。
模型思想是《数学课程标准(2011版)》新增的核心概念,是近年中考数学考查的要点和热点题型,主要考查建立数学模型解决实际应用问题的能力.其意图是引领学生建立数学与生活的联系,让学生明确数学是解决现实生活和生产实践问题的有效工具,并能利用所学的数学知识解决生活中的实际问题.关于数学建模与问题解决的中考试题,是把在实际中出现的相关问题从数学的角度去分析和解决,目的是让学生明确数学是解决现实生活和生产实践问题的有效工具
数学建模与问题解决的中考试题是中考的必考题.一类是建立代数模型(方程,函数,不等式)解决问题,这类试题通常会设计一个现实情境,其中隐含若干个数学模型,需要学生将实际问题转化为数学问题,并建立方程模型、不等式模型或函数模型来求解.
在近几年的中考中,关于数学建模与问题解决的中考试题,占比都很大,通常结合方程、函数、不等式和几何图形,考查数学建模、几何直观、推理能力、运算能力、阅读素养和应用意识。今后的中考题中,此类题目仍会涉及。在解决此类问题时,要根据题目中的数据抽象成数学模型问题,根据所学数学知识进行解答。
专题示例:
例1.小明从家骑自行车出发,沿一条直路到相距2400m的邮局办事,小明出发的同时,他的爸爸以96m/min速度从邮局沿同一条道路步行回家,小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回,设他们出发后经过t min时,小明与家之间的距
离为s
1m,小明爸爸与家之间的距离为s
2
m,图中折线OABD、线段EF分别表示s
1
、
s
2
与t之间的函数关系的图象.
(1)求s
2
与t之间的函数关系式;
(2)小明从家出发,经过多长时间在返回途中追上爸爸?这时他们距离家还有多远?
解:(1) s
2与t之间的函数关系式:s
2
=-96t+2400
(2)由题可知小明的速度为240m/min,可得点D(22,0)、点B(12,2400) ,设BD的表达式为y=kx+b,代入可得k=-240 b=5280,
BD的表达式为y=-240x+5280.
联立 y=-240x+5280与y=-96x+2400. 可得:-240x+5280=-96x+2400 解得 x=20 y=480 答:小明从家出发,经过20min 在返回途中追上爸爸,这时他们距离家还有480m.
专题解析:
本题主要考察的是一元一次方程与一次函数的应用,解决此类问题的关键是首先用待定系数法求出函数表达式,然后利用两直线的交点转换为一元一次方程,从而得出经过20min 在返回途中追上爸爸,这时他们距离家还有480m ,突出体现了函数与方程转化的思想。
例2.某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y (℃)与时间x (h )之间的函数关系,其中线段AB 、BC 表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:
(1)求这天的温度y 与时间x (0≤x ≤24)的函数关系式; (2)求恒温系统设定的恒定温度;
(3)若大棚内的温度低于10℃时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害? 解:(1)设线段AB 解析式为y=k 1x+b (k ≠0) ∵线段AB 过点(0,10),(2,14) 代入得 b =10 2k 1+b =14 解得 k 1=2
∴AB 解析式为:y=2x+10(0≤x <5) ∵B 在线段AB 上当x=5时,y=20 ∴B 坐标为(5,20)
∴线段BC 的解析式为:y=20(5≤x <10)
设双曲线CD 解析式为:y= x
k
2 (k 2≠0)
∵C (10,20) ∴k 2=200
∴双曲线CD 解析式为:y= x
200
(10≤x ≤24)
∴y 关于x 的函数解析式为:
(2)由(1)恒温系统设定恒温为20°C
(3)把y=10代入y=x
200
中,解得,x=20
∴20-10=10
答:恒温系统最多关闭10小时,蔬菜才能避免受到伤害.
专题解析:
本题主要考查反比例函数的应用,解决这类问题首先应用待定系数法分段求函数解析式,特别是反比例函表达式的确定,增减倒置,观察图象可得恒温系统设定的恒定温度,代入临界值y=10即可,解答时应注意临界点的应用.
例3.随着社会的发展,地铁和共享单车越发受到人们的青睐,“地铁+单车”已成为市民们出行的最佳选择,在上海的王某从体育场出发,先乘地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E 中的某一站出地铁,再骑共享单车回家。设他出地铁的站点与体育场的距离为x (单位:千米),乘坐地铁的时间y 1(单位:分)是关于x 的
1(2)王某骑共享单车的时间(单位:分)也受x 的影响,其关系可以用
78112
1
22+-=x x y 来描述,请问:王某应选择在哪一站出地铁,才能使他从体育
场回到家所需的时间最短?并求出最短时间。 解:(1)设y 1=kx+b,将(8,18),(9,20)代入,得
{
18
820
9=+=+b k b k 解得{
2
2==k b
所以关于的函数表达式为:y 1=2x+2
(2)设王某从体育场回到家中所需时间为y ,则由题意可知:
y=y 1+y 2=2x+2+21x 2-11x+78=21x 2-9x+80=21(x-9)2+2
79
当x=9时,y 有最小值,y=2
79
=39.5
答:王某应选择在B 站出地铁,才能使他体育场回到家中所需的时间最短,最短时间为39.5分钟。
专题解析:
本题主要考查了二次函数的应用,解决此类问题的关键是通过题意确定二次
函数的表达式,然后确定其最大值或最小值,在求出二次函数的最值时,一定要注意自变量x 的取值范围。首先根据表格中的数据,运用待定系数法,即可求得y 1关于x 的函数表达式;再设王某从体育场回到家所需的时间为y ,则由y=y 1+y 2,根据二次函数的性质,即可得到所需的最短时间。
例4.随着龙虾节的火热举办,某龙虾养殖大户借助市场优势,一次性收购了10000Kg 小龙虾,计划养殖一段时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同,放养10天的总成本为166000,放养30天的总成本为178000元.设这批小龙虾放养t 天后的质量为akg ,销售单价为y 元/kg ,根据往年的行情预测,a 与t 的函数关系为
{
)
200(10000)5020(8000100≤≤≤≤+=t t t a
y 与t 的函数关系如图所示.
(1)设每天的养殖成本为m 元,收购成本为n 元,求m 与n 的值; (2)求y 与t 的函数关系式; (3)如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大?最大利润是多少? (总成本=放养总费用+收购成本;利润=销售总额-总成本) 解:(1)依题意得
{
16600010178000
30=+=+n m n m
解得
{
600
160000==m n
答:每天的养殖成本为600元,收购成本为160000元. (2)根据图象,
当 0 ≤t ≤20 时,y 是t 的一次函数, 设 y=k 1+b 1 ,
由图象得:
{
16
28
20111==+b b k , 解得 ?
??==5
31611k b
∴165
3
+=t y
当 20<t ≤50 时,y 是t 的一次函数, 设y=k 2t+b 2 ,
由图象得:
{
28
2022502222=+=+b k b k , 解得 ?
??-==51
3222k b
∴3251
+-=t y
综上,
()
()???=≤≤+≤+-200165
3
5020325
1
t t t t y π (3)W=ya-mt-n
当 0 ≤t ≤20 时,W=10000(5
3
t+16)-600t-160000=5400t
∵ 5400>0 ,
∴ 当 t=20 时,W 最大=5400×20=108000 当 20 <t ≤50 时,
W=(-5
1
t+32)(100t+8000)-600t-160000=-20t 2+1000t+96000=-20(t-25)2+108500
∵ -20<0 ,抛物线开口向下,∴当t=25时 ,W 最大 = 108500. ∵108500>108000
∴当t=25时,W 取得最大值,该最大值为108500元.
专题解析:
本题是二元一次方程组、一次函数、二次函数的综合应用,整个问题的设置联系生活实际,符合现实情境,考查综合运用所学知识解决问题的能力,第一问解答的关键是提炼题目中的等量关系,恰当建立方程模型;而第二问中,根据已知的图象,可以分析出y 是t 的一次函数,可以用待定系数法建立函数模型.但是,因为图象呈折线型,应该根据放养时间t 的不同,进行分类讨论,分别求出此时的一次函数表达式.第三问通过分析可知,利润是时间的函数,根据题目中的数量关系,当20 <t ≤50 时建立二次函数模型,再利用二次函数的性质,确定何时取得最大值,最大值是多少,从而确定最大利润.
专题练习:
1.某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验,首次用于临床人体实验,测得成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药时间x (时)之间的函数关系如下图所示(当4≤x ≤10时,y 与x 成反比例关系)。
(1)根据图像分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数表达式;
(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间是多少小时?
2.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(墙的两边DC,DA足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm。
(1)若花园的面积为192m2,求x的值;
(2)若在点P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值。
一次函数练习题及答案(较难)
初二一次函数与几何题 1、 平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,0),点P 在直线y=-x-m 上,且AP=OP=4,则m 的值是多少 2、如图,已知点A 的坐标为(1,0),点B 在直线y=-x 上运动,当线段AB 最短时,试求点B 的坐标。 3、如图,在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点B 好将矩形OABC 分为面积相等的两部分,试求b 的值。 4、如图,在平面直角坐标系中,直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ,点C 在x 轴上,若△ABC 是等腰三角形,试求点C 的坐标。 5、在平面直角坐标系中,已知A (1,4)、B (3,1),P 是坐标轴上一点,(1)当P 的坐标为多少时,AP+BP 取最小值,最小值为多少 当P 的坐标为多少时,AP-BP 取最大值,最大值为多少 ~ 6、如图,已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A 点,交x 轴于点B (-6,0),△AOB 的面积为15,且AB=AO ,求正比例函数和一次函数的解析式。 A B C ( x y x [ A B O
7、已知一次函数的图象经过点(2,20),它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1,求这个一次函数的表达式。 8、已经正比例函数Y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像相交于点P(3,-6) 求k1,k2的值 ( 如果一次函数y=k2x-9的图象与x轴交于点A 求点A坐标 9、正方形ABCD的边长是4,将此正方形置于平面直角坐标系中,使AB在x轴负半轴上,A点的坐标是(-1,0), (1)经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E,求四边形AECD的面积; (2)若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线L的解析式。 10、在平面直角坐标系中,一次函数y=Kx+b(b小于0)的图像分别与x轴、y轴和直线x=4交于A、B、C,直线x=4与x轴交于点D,四边形OBCD的面积为10,若A的横坐标为-1/2,求此一次函数的关系式 11、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y轴交于点A,且OA=OB:求这个一次函数解析式 12、如图,A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点,点P(2,m)在第一象限,直线PA 交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,S AOP=6. ; 求:(1)△COP的面积 (2)求点A的坐标及m的值; (3)若S BOP =S DOP ,求直线BD的解析式
一次函数专项训练及答案
一次函数专项训练及答案 一、选择题 1.若A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)是一次函数y=ax+x-2图像上的不同的两点,记()()1212m x x y y =--,则当m <0时,a 的取值范围是( ) A .a <0 B .a >0 C .a <-1 D .a >-1 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 ∵A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)是一次函数2(1)2y ax x a x =+-=+-图象上的不同的两点,()()12120m x x y y =--<, ∴该函数图象是y 随x 的增大而减小, ∴a+1<0, 解得a<-1, 故选C. 【点睛】 此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题. 2.如图,函数4y x =-和y kx b =+的图象相交于点()8A m -,,则关于x 的不等式()40k x b ++>的解集为( ) A .2x > B .02x << C .8x >- D .2x < 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用函数图象上点的坐标特征得出m 的值,再利用函数图象得出答案即可. 【详解】 解:∵函数y =?4x 和y =kx +b 的图象相交于点A (m ,?8), ∴?8=?4m ,
解得:m =2, 故A 点坐标为(2,?8), ∵kx +b >?4x 时,(k +4)x +b >0, 则关于x 的不等式(k +4)x +b >0的解集为:x >2. 故选:A . 【点睛】 此题主要考查了一次函数与一元一次不等式,正确利用函数图象分析是解题关键. 3.如图,已知一次函数22y x =-+的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点,⊙O 的半径为1,P 是线段AB 上的一个点,过点P 作⊙O 的切线PM ,切点为M ,则PM 的最小值为( ) A .2 B 2 C 5 D 3【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解:连结OM 、OP ,作OH ⊥AB 于H ,如图,先利用坐标轴上点的坐标特征: 当x=0时,y=﹣22,则A (0,2), 当y=0时,﹣2=0,解得2,则B (2,0), 所以△OAB 为等腰直角三角形,则2OA=4,OH=12 AB=2, 根据切线的性质由PM 为切线,得到OM ⊥PM ,利用勾股定理得到22OP OM -21OP - 当OP 的长最小时,PM 的长最小,而OP=OH=2时,OP 的长最小,所以PM 的最小值为2213-= 故选D .
2019-2020年中考一次函数练习题试题
2019-2020年中考一次函数练习题试题 一、 课前小测(限时5分钟): 1. (2006年安徽省芜湖市课改实验区) 16的平方根是 2. (2006年安徽省芜湖市课改实验区)下列计算中,正确的是( ) A .2x + 3y = 5xy B .x ·x 4 = x 4 C .x 8 ÷ x 2 = x 4 D .( x 2y )3 = x 6y 3 3. (2006年安徽省芜湖市课改实验区)对角线互相垂直平分的四边形一定是 4. (2006年安徽省芜湖市课改实验区)如果⊙O 1和⊙O 2相外切,⊙O 1的半径为3,O 1O 2=5, 则⊙O 2的半径为 5. (2006年安徽省芜湖市课改实验区)三峡工程是世界防洪效益最为显著的水利工程,它能有 效控制长江上游洪水,增强长江中下游抗洪能力,据相关报道三峡水库的防洪库容22150000000m 3,用科学计数法可记作 m 3. 6. (2006年安徽省芜湖市课改实验区) 一组数据5,8,x ,10,4的平均数是2x ,则这组数据 的方差是 。 7. (2006年安徽省芜湖市课改实验区)方程x 2 – 4x – 12 =0的解是 。 8. (2006年安徽省芜湖市课改实验区) 如图,在△ABC 中,∠C=900, AD 平分∠CAB ,BC = 8cm ,BD = 5cm ,那么D 点到直线AB 的 距离是 cm 。 9. (2006年安徽省芜湖市课改实验区) 已知a >b >0,则下列不等式不一定成立的是( ) A .ab >b 2 B .a + c >b+ c C . 1a <1b D .ac >bc 10. (2006年安徽省芜湖市课改实验区) 已知反比例函数y =5m x -的图象在第二、四象限,则m 的取值范围是 二、 本课主要知识点: 1. 一次函数的解析式是y = kx + b ( k ≠ 0 );当b = 0时,一次函数y = kx + b ( k ≠ 0 )就成为y = kx ( k ≠ 0 ),此时称y 是x 的正比例函数。 练习:下列函数(1) y = 2x ;(2)2 x y =;(3) y = 2x + 1;(4) y = 2x – 1 + 1中,一次函数有 个。 2. 一次函数y = kx + b ( k ≠ 0 )的图象是一条直线,因此画一次函数的图象时,只要确定两个点就可以了。一次函数的图象必经过点(0,b )和点(k b - ,0)。 练习:一次函数y = x – 1的图象必经过点( 0 , )和 ( ,0 ) 3. 一次函数y = kx + b ( k ≠ 0 ),当k >0时,图象一定过第一、三象限,y 随着x 的增大而
一次函数应用题(含答案)
一次函数应用题 初一( )班 姓名: 学号: . 1、一次时装表演会预算中票价定位每张100元,容纳观众人数不超过2000人,毛利润y (百元)关于观众人数x (百人)之间的函数图象如图所示,当观众人数超过1000人时,表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元(不列入成本费用)请解答下列问题:⑴求当观众人数不超过1000人时,毛利润y (百元)关于观众人数x (百人)的函数解析式和成本费用s (百元)关于观众人数x (百人)的函数解析式; ⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润,那么要售出多少张门票?需支付成本费用多少元? (注:当观众人数不超过1000人时,表演会的毛利润=门票收入—成本费用;当观众人数超过1000人时,表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费) 2、转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气,某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染,该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关,现经过试验得到下列数据: 通过电流强度(单位:A ) 1 1.7 1.9 2.1 2.4 氧化铁回收率(%) 75 79 88 87 78 如图建立直角坐标系,用横坐标表示通过的电流强度,纵坐标表示氧化铁的回收率. (1) 将试验所得数据在如图所示的直角坐标系中用点表示;(注:该 图中坐标轴的交点代 表点(1,70)) (2) 用线段将题(1)中所画的点从左到右顺次连接,若用此图象来模拟氧化铁回收率y 关 于通过电流x 的函数关系,试写出该函数在1.7≤x ≤2.4时的表达式; (3) 利用(2)所得函数关系,求氧化铁回收率大于 85%时,该装置通过的电流应该控制的范围(精确到0.1A ). O x (A ) y (%) (2,70) (1,70) 75 80 85
一次函数练习题(含答案)
巩固练习 一、选择题: 1.已知y与x+3成正比例,并且x=1时,y=8,那么y与x之间的函数关系式为()(A)y=8x (B)y=2x+6 (C)y=8x+6 (D)y=5x+3 2.若直线y=kx+b经过一、二、四象限,则直线y=bx+k不经过() (A)一象限(B)二象限(C)三象限(D)四象限 3.直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是() (A)4 (B)6 (C)8 (D)16 4.若甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2, 如图,所挂物体质量均为2kg时,甲弹簧长为y1,乙 弹簧长为y2,则y1与y2的大小关系为() (A)y1>y2(B)y1=y2 \ (C)y1