高一数学第二学期期中试题含答案(精选.)
20．（12 分）已知函数 f x mx2 mx 1. (1)若对于任意 x R ， f x 0 恒成立，求实数 m 的取值范围； (2)若对于任意 x0, ， f x m 2 x2 恒成立，求实数 m 的取值范围.
21．（21
分）已知数列an满足 a1
1 2
，且
an1
5．若 a b,c d ，则下列不等式成立的是
（）
A. a d b c
B. ac bd
C. a c cd
D. d a c b
6．已知数列1，3，5，7， ，2n-1 ，则 3 5 是这个数列的第（
）项
A. 20
B. 21
C. 22
D. 23
7．在等差数列an中， a5 9 ，且 2a3 a2 6 ，则 a1 等于（ ）
2bc
2
b2 c2 20 bc 2bc 20 ,bc 20 当且仅当时 b c 取" ".三角形的面积 S 1 bcsinA 5 3 .
2 三角形面积的最大值为 5 3 .
19．（1)若
的解集是
，则 ， 是方程
word.
的两根，由韦达定理得 （）
，解得
．
令 ①当 ②当 ③当
，解得
)
A. 0
B. －2
C. － 5 2
D. －3
12.关于 x 的不等式 ax-b＜0 的解集是
，则关于 x 的不等式（ax+b）（x-3）
＞0 的解集是( )
A.（ ，1）（3,）
B. （1,3）
C. （1,3）
D.（ ，1）（3,）
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．不等式 2x 1 的解集为
16．太湖中有一小岛 C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路 A 处测 得小岛在公路的南偏西 15°的方向上，汽车行驶 1 km 到达 B 处后，又测得小岛 在南偏西 75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.
word.
三、解答题（共 70 分） 17．（10 分）在△ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3 ，B＝30°，求角 A，角 C 和边 a.
A.2
B. 6
C. 2 或 6
D.
3．在△ABC 中，若∠A=60°，b=3，c=8，则其面积等于（ ）
A. 12
B. 6 3
C. 8 3
D. 12 3
4．在△ABC 中，已知三边 a＝3，b＝5，c＝7，则三角形 ABC 是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定
或．
时，即当 时，解得 ．
即
时，解得 或
．
即 时，解得
或．
，
．
综上所述，当
时，不等式的解集为
或
；
当 时，不等式的解集是
；
当 时，不等式的解集是
或
．
20．解：（1）当 m 0时， 1 0 ，符合；
当 m 0 时，{m 0 ，解得 4 m 0 ， 综上， m4,0 .
0
（2）化简得： mx 2x2 1.当 x 0 时，恒成立，即 m R ，
2017-2018 学年度第二学期期中考试
高一数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．在△ABC 中， ab 3, A 45 °, C 60 °，则 BC 等于（ ）．
A. 3 3
B. 2 2
C. 2
D. 3 3
2．在△ABC 中，已知 b 4,c 2, 则 a 等于（ ）．
a cosA
由正弦定理,得 2sinC sinBcosA sinAcosB.
整理得 2sinCcosAsinBcosA sinAcosB .
2sinCcosA sinAcosB sinBcosA sinC .
在 ABC 中, sinC 0.cosA 1 , A π .
2
3
（Ⅱ）由余弦定理 cosA= b2 c2 a2 1 , a 2 5.
18．（12 分）在 ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,且满足 2c b cosB . a cosA
（Ⅰ）求角 A 的大小; （Ⅱ）若 a 2 5 ,求 ABC 面积的最大值. 。
19．（12 分）已知函数 f (x) ax2 (3a 1)x 2(a 1), a R ． （ ）若 f (x) 0 的解集是{x | 1 x 2} ，求 的值． （ ）当 a 0 时，解不等式 f (x) 0 ．
当 x 0 时， m 2x 1 ，因为 x 0 ，所以 2x 1 2 2 ，即 m 2 2 ，
x
x
综上， m 2 2 .
21．解析：（1）∵ an1
2an 2 an
，∴ 1 an1
2 an 2an
，∴ 1 an1
1 an
1， 2
∴数列
1 an
是等差数列.
（2）由（1）知
2an 2 an
.
（1）求证：数列
1 an
是等差数列；
（2）若 bn an an1，求数列bn的前 n 项和 Sn .
22．（12 分）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn=n2+2n（n N*）。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 bn
an 1 2n1
，求数列{bn}的前
word.
A. 22018 1
B. 32018 6
C.
1 2
2018
7 2
D.
1 3
2018
10 3
10．已知数列 an 满足递推关系
an1
an an 1
，
a1
1 2
，则
a8
（
）
A. 1 7
B. 1 8
C. 1 9
D. 1 10
11．若不等式
x2＋ax＋1≥0
对一切
x∈
(0,
1 2
恒成立，则 a 的最小值为(
，
所以 Tn
2
2n 2n
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word.
∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，A＝30°，∴C＝120°.
当 a＝6 时，由正弦定理 sin
A＝ asinB
6 1 ＝2
＝1.
b
3
∴A＝90°，∴C＝60°.
故 C=60°，A=30°，a＝3 或 C＝60°，A＝90°，a＝6
18．（I） 2c b cosB 所以 2c bcosA acosB
．
x 1
14．等比数列 an中, a5a6 128, a3 a8 66, 若公比为整数,则 a10 __________．
15 ． ABC 中 ， D 是 BC 边 上 的 一 点 ， 已 知 BD 6 2 ， B 30 ，
ADC 45 ， DC 2 2 ，则 AC __________．
又因为 a1 3也符合上式， 所以 an 2n 1，nϵ N * ．
（2）因为 bn
an 1 2n1
=
2n 2n1
=
n 2n
所以 Tn
1 2
2 22
3 23
n 2n
①
1 2
Tn
1 22
2 23
3 24
n 2n1
②
①－②得
1 2 Tn
1 21 22来自1 231 24
1 2n
n 2n1
1
1 2n
n 2n1
1 an
1 a1
n 1 1
2
n3 2
，所以 an
2， n3
word.
∴ bn
n
4
3n
4
4
1 n
3
n
1
4
，
Sn
4
1 4
1 5
1 5
1 6
n
1
3
n
1
4
4
1 4
n
1
4
n
n
4
22．（1）解:因为 sn n2 2n 当 n 1 时， a1 s1 3
当 n≥2 时, an sn sn1 = n2 2n n 12 2n 1 = 2n 1
A. －3
B. －2
C. 0
D. 1
8．已知 an= n 96 （n∈N*），则在数列{an}的前 30 项中最大项和最小项分别是 n 97
A. a1，a30
B. a1，a9
C. a10，a9
D. a10，a30
9．已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 3Sn 2an 3n ，则 a2018 （ ）
n
项和为
Tn
word.
高一数学答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1-5 CDBCD 6-10 DACAC 11 C 12 C
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．（﹣1，1]
14． 256
三、解答题（共 70 分）
15． 2
16． 3 6
17 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，得 32＝a2＋(3 3 )2－2a×3 3 ×cos 30°，
2022-2023学年北京市朝阳区高一下学期期中练习数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市朝阳区高一下学期期中练习数学试题一、单选题1．已知是第三象限角，那么是（ ）α2αA ．第二象限角B ．第三象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角【答案】D【分析】先写出的范围，再计算出的范围，分是奇数和偶数讨论即可求解.α2αk 【详解】因为是第三象限角，所以，α()3222k k k Z πππαπ+<<+∈则，()3224k k k Z παπππ+<<+∈当时，，此时是第二象限角，2k n =()322224n n k Z παπππ+<<+∈2α当时，，21k n =+()()()32121224n n k Z παπππ++<<++∈即，此时是第四象限角，()3722224n n k Z παπππ+<<+∈2α综上所述：是第三象限角，是第二或第四象限角，α2α故选：D.2．若点在角的终边上，则的值为55sin ,cos 66ππ⎛⎫⎪⎝⎭αsin αA B ．C ．D ．1212-【答案】D【详解】试题分析：因为，所以，故选D ．551(sin,cos )(,662ππ=sin α==【解析】任意角的三角函数值．3．sin1.5，cos1.5，tan1.5的大小关系为（ ）A ．B ．tan1.5sin1.5cos1.5>>sin1.5tan1.5cos1.5>>C ．D ．sin1.5cos1.5tan1.5>>tan1.5cos1.5sin1.5>>【答案】A【分析】根据角的范围，得到相应三角函数值的范围求解.【详解】解：因为，ππ1.532<<1sin1.51,0cos1.5,tan1.52<<<<>所以，tan1.5sin1.5cos1.5>>故选：A4．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB 和弦AB 所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则2π3此弧田的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．43π43π-83π83π-【答案】A【分析】过点作，垂足为，求得，O OD AB ⊥D 1OD =AB =的面积，结合，即可求解.AOB 1AOB S S S =- 【详解】解：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为，2π3如图所示，过点作，垂足为，O OD AB ⊥D可得，πcos13OD OA ==π2sin 3AB OA ==可得扇形的面积为，的面积为 ，2112π4π2233S =⨯⨯=AOB 112AOB S =⨯△所以此弧田的面积为14π3AOB S S S =-= 故选：A.5．已知tan a =2，则= （ ）1cos 2sin 2αα+A ．2B ．C ．-2D ．1212-【答案】B【解析】利用二倍角公式，转化为，再利用商数关系求解.1cos 2sin 2αα+2cos sin cos ααα=【详解】因为tan a =2，所以，1cos 2sin 2αα+，212cos 12sin cos ααα+-=，2cos sin cos ααα=11tan 2α==故选：B6．若向量满足：则,a b ()()1,,2,a ab a a b b =+⊥+⊥ b =A ．2BC ．1D 【答案】B【详解】试题分析：由题意易知：即，，即.()0{(2)0a b a a b b +⋅=+⋅=210{20b a b a b +⋅=⋅+= 222b a b ∴=-⋅= b = 故选B.【解析】向量的数量积的应用.7．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且ABC A B C a b c ()()3a b c b c a bc +++-=，那么是（ ）sin 2sin cos A B C =ABC A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合()()3a b c b c a bc +++-=A sin 2sin cos A B C =正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.【详解】由，得，()()3a b c b c a bc +++-=22()3b c a bc +-=整理得，则，222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==因为，所以，()0,πA ∈π3A =又由及正弦定理，得，化简得，sin 2sin cos A B C =22222a b c a b ab +-=⋅b c =所以为等边三角形，ABC 故选：B8．若△ABC 为钝角三角形，且，，则边c 的长度可以为（ ）2a =3b =A ．2.5B ．3C ．4D 【答案】C【分析】由于钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，分类讨论为最长边和为最长边两c b 种情况，即可得出结论.【详解】因为钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，因此有两种情况：若为最长边，由，c 2222490a b c c +-=+-<可得，又，c >235a b c +=+=>，可得C 正确；5c <<若为最长边，由，b 222249c a c b +=+<=可得，c <1c b a >-=所以，此时没有选项符合.1c <<故选：C9．2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分C ,A B C 别为（单位：），且，则大跳台最高高度（ ）45,30,60AB = m 30AOB ∠=OC =A ．B ．C ．D ．45m 60m【答案】C【分析】分别在和 中，求得OB ，OA ，然后在中，利用余弦定理求解.BOC AOC AOB【详解】解：在中，，BOC tan 30OCOB == 在中，，AOC tan 45OCOA OC ==在中，由余弦定理得，AOB 2222cos AB OB OA OB OA AOB =+-⋅⋅∠即，2236003cos30OC OC OC =+-⋅⋅所以，23600OC =解得，60OC =故选：C10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）()()sin (0,2f x x ωϕωϕπ=+><A ．函数的最小正周期是()f x 2πB ．函数的图象关于直线对称π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2x π=-C ．函数在区间上单调递减()f x π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．函数在区间()f x 3π4π43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】D【分析】通过函数图象先求解周期，从而可得值，代入最高点即可求解出值，从而得函数解析ωϕ式，再利用整体法计算函数的对称轴，函数的单调递减区间以及在区间π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 上的最大值，判断每个选项.3π4π43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【详解】由图可知，，得，故A 错误；5πππ41264T =-=πT =所以，因为，2π2πω==5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，得，5ππ22π,122k k ϕ⨯+=+∈Z π2π,3k k ϕ=-+∈Z因为，所以，所以，2πϕ<π3ϕ=-()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则，ππsin 2sin 21212ππ36f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令，得，ππ2π,62x k k Z -=+∈ππ,32k x k =+∈Z 所以函数的对称轴为，π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ,32k x k =+∈Z所以不是函数的对称轴，B 错误；2x π=-π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3222,232k x k k Zπππππ+≤-≤+∈得，5π11πππ,1212k x k k Z +££+Î所以函数的单调递减区间为，()f x 5π11ππ,π1212k k k Zéùêú++Îêúëû所以函数在上单调递减，C 错误；()f x 5π11π,1212éùêúêúëû当时，，3π4π,43x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦π7π7π2,363x ⎛⎫⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以当时，函数的最大值为D 正确.73x π=sin 37π=故选：D二、填空题11．___________sin15cos15︒︒-=【答案】【分析】用辅助角公式求解即可.【详解】)sin15cos15sin15cos 45cos15sin 4545)30-=--== 故答案为：.12．已知向量，，则夹角的余弦值为_________．(4,3)a = 2(3,18)a b +=,a b 【答案】1665【分析】根据条件求出后，可得两向量的数量积与模，然后求夹角的余弦值b【详解】，，故(4,3)a = 2(3,18)a b +=(5,12)b =- 203616cos 51365a b a bθ⋅-+===⋅13．已知，，则__________．sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=()sin αβ+【答案】12-【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得，．22sin()1αβ++=1in()s 2αβ+=-［方法二］： 利用方程思想直接解出，两式两边平方相加得，则．sin 1cos ,cos sin αβαβ=-=-1cos 2β=1sin 2α=又或，所以．cos sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩cos sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1in()s 2αβ+=-［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式由，可得，则或cos sin 0αβ+=3sin cos sin 2πβαα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭322k πβπα=++．32()2k k πβππα⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭Z 若，代入得，即32()2k k πβπα=++∈Z sin cos 2sin 1αβα+==．2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k πααβπααα⎛⎫=+=++=-=-=-⎪⎝⎭若，代入得，与题设矛盾．2()2k k πβπα=--∈Z sin cos 0αβ+=综上所述，．1in()s 2αβ+=-［方法四］：平方关系＋诱导公式由，得．2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=-+-=-=1sin 2α=又，，即，则sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ-⎛⎫===-=- ⎪-⎝⎭()2k k βαπ=-∈Z 22k απβ=-．从而．2()k k αβπα+=-∈Z 1sin()sin(2)sin 2k αβπαα+=-=-=-［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++-，则或．sin()cos()cos()0αβαβαβ=+-+-=cos()0αβ-=sin()1αβ+=-若，则，即．cos()0αβ-=()2k k παβπ-=+∈Z ()2k k παβπ=++∈Z 当k 为偶数时，，由，得，又sin cos αβ=sin cos 1αβ+=1sin cos 2αβ==，所以．23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==-=-131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=-=-当k 为奇数时，，得，这与已知矛盾．sin cos αβ=-sin cos 0αβ+=若，则．则，得sin()1αβ+=-2()2k k παβπ+=-∈Z sin sin 2cos 2k παπββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，这与已知矛盾．sin cos 0αβ+=综上所述，．1in()s 2αβ+=-【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．14．的值为____________.()1tan 7(1tan 38)++【答案】2【分析】由变形求解.()tan 7tan 38tan 7381tan 7tan 38++=-⋅【详解】解：因为，()tan 7tan 38tan 7381tan 7tan 38++=-⋅所以，()()tan 7tan 38tan 7381tan 7tan 38+=+-⋅所以，()1tan 7(1tan 38)++，1tan 7tan 38tan 7tan 38=+++⋅ ，()()1tan 7381tan 7tan 38tan 7tan 38=++-⋅+⋅ ，2=故答案为：215．已知，，，若关于α的方程有两个不相π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭π02,β⎛∈⎫ ⎪⎝⎭1sin tan cos βαβ-=sin sin 0m αβ++=等的实数根，则实数m 的取值范围是____________.【答案】918m -<<-【分析】由，结合两角和的正弦公式得到，再根据，1sin tan cos βαβ-=()sin cos αβα+=π02,α⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，得到，将，转化为，利用数形结合法π02,β⎛∈⎫⎪⎝⎭π22βα=-sin sin 0m αβ++=22sin sin 1m αα=--求解.【详解】解： 由，得，1sin tan cos βαβ-=sin 1sin cos cos αβαβ-=所以，即，sin cos cos sin cos αβαβα+=()sin cos αβα+=因为，，π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭π02,β⎛∈⎫ ⎪⎝⎭所以或，π2αβα+=-π2αβα+=+解得或（舍去），π22βα=-π2β=则，即为，sin sin 0m αβ++=πsin sin 202m αα⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭即，即，cos 2sin 0m αα++=212sin sin 0m αα-++=所以，22sin sin 1m αα=--因为，，π42βα=-π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，则，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin t α⎛=∈ ⎝在同一坐标系中作出的图象，2,21y m y t t ==--因为关于α的方程有两个不相等的实数根，sin sin 0m αβ++=由图象知：.918m -<<-三、解答题16．已知.22sin(3)cos(5)()3cos sin 22f παπααππαα-+=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）化简，并求的值；()f α6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）若，求的值；tan 3α=()f α（3）若，，求的值.12()25f α=(0,)απ∈sin cos αα-【答案】（1），2）；（3）.sin cos αα-×310-75【分析】（1）利用诱导公式化简表达式，并求得的值.()f α6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）利用齐次式的方法，将的表达式化为只含的形式，由此求得的值.()f αtan α()f α（3）利用同角三角函数的基本关系式，先求得的值，根据的符号，求2(sin cos )αα-sin cos αα-得的值.sin cos αα-【详解】（1）由，22sin (cos )()sin cos sin cos ααf ααααα×-==-×+所以sin cos 666f πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（2）；222sin cos tan 3()sin cos sin cos tan 110αααf αααααα×=-×=-=-=-++（3）由得，，12()25f α=12sin cos 025αα×=-<又，所以，所以，(0,)απ∈,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos 0αα->又，21249(sin cos )12sin cos 122525αααα-=-=+⨯=所以.7sin cos 5αα-=【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简，考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17．已知，，，，求的值.()5cos 13αβ-=-4cos 5β=π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π02,β⎛∈⎫⎪⎝⎭()cos 2αβ-【答案】1665【分析】根据题意，分别求得和，结合，即3sin 5β=()12sin 13αβ-=cos()cos[()2]αβαββ--=-可求解.【详解】由且，可得，4cos 5β=π02,β⎛∈⎫ ⎪⎝⎭3sin 5β==又由且，可得，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π02,β⎛∈⎫⎪⎝⎭()0,παβ-∈因为，可得，()5cos 13αβ-=-()12sin 13αβ-==又因为cos()cos[()]cos()cos sin()2sin ββαβαβαβαββ---=--=+.541231613513565=-⨯+⨯=故答案为：.166518．如图，在四边形中，，，，且.OBCD 2CD BO = 2OA AD = 90D Ð=°1BO AD ==（Ⅰ）用表示；,OA OB CB （Ⅱ）点在线段上，且，求的值.P AB 3AB AP =cos PCB ∠【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）CB 32OA OB =--cos PCB ∠=【分析】Ⅰ直接利用向量的线性运算即可．()Ⅱ以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系可得().代入各值即可．55,cos 33CP CB CP AP AC PCB CP CB⋅⎛⎫=-=--∠= ⎪⎝⎭⋅，【详解】（Ⅰ）因为 ，2OA AD =所以 .因为 ，32DO AO=2CD BO = 所以=++CB CD DO OB 322BO AO OB=++32OA OB=--（Ⅱ）因为 ，2CD BO = 所以 .因为，OB CD 2OA AD = 所以点共线.,,O A D 因为，90D ∠=︒所以.90O ∠=︒以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.O OA x 因为 ，，，1BO AD == 2CD BO = 2OA AD = 所以 .()()()2,0,0,1,3,2A B C 所以，.()1,2AC =()2,1AB =-因为 点在线段上，且，P AB 3AB AP =所以121,333AP AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 所以.55,33CP AP AC ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭因为，()3,1CB =--所以.cos CP CB PCB CP CB ⋅∠===⋅ 【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题．19．在△ABC 中，a ＝3，B ＝2A ．b =（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）试比较∠B 与∠C 的大小．【答案】（Ⅰ；（Ⅱ）∠B ＜∠C【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可求得cosA 的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，利用二倍角公式可求cosB ，进而可求sinB 的值，根据三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosC 的值，由于cosB ＞cosC ，根据余弦函数的图象和性质可求∠B ＜∠C ．【详解】（Ⅰ）∵a ＝3，B ＝2A ．b =∴由正弦定理可得：，a bbsinA sinB 2sinAcosA ==∴cosAb 2a ===（Ⅱ）∵A ∈（0，π），可得：sinA∵B ＝2A ，==∴cosB ＝cos2A＝2cos 2A﹣1，∴sinB，13===∵A+B+C ＝π，∴cosC ＝﹣cos （A+B ）＝sinAsinB﹣cosAcosB∴cosB ＞cosC ，=又∵函数y ＝cosx 在（0，π）上单调递减，且B ，C ∈（0，π），∴∠B ＜∠C【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．已知数的相邻两对称轴间的距离为.2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π(1)求的解析式；()f x (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），()f x 6π12得到函数的图象，当时，求函数的值域；()y g x =,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，()g x 4()3g x =4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12,,n x x x 若，试求与的值.m =1231222n n x x x x x -+++++ n m 【答案】(1)()2sin 2f x x =(2)[-(3)205,3n m π==【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；()2sin f x x ω=2ω=()2sin 2f x x =（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；()sin()243g x x π=-()g x （3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.4()3g x =2sin(4)33x π-=sin y x =n m【详解】（1）由题意，函数21()2sin ()1626f x x x ππωω⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦cos()2sin()2sin 6666x x x xππππωωωω=+-+=+-=因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.()f x 2πT π=2ω=故()2sin 2f x x=（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.()f x 6π2sin(2)3y x π=-再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象.12()2sin(4)3y g x x π==-当时，，,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦当时，函数取得最小值，最小值为，432x ππ-=-()g x 2-当时，函数433x ππ-=()g x故函数的值域.()g x ⎡-⎣（3）由方程，即，即，4()3g x =42sin(4)33x π-=2sin(4)33x π-=因为，可得，4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,533x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦设，其中，即，结合正弦函数的图象，43x πθ=-,53πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin 3θ=sin y x =可得方程在区间有5个解，即， 2sin 3θ=,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5n =其中，122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-=解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+=所以.m =()()()()1212345233445223220x x x x x x x x x x x x x π=++++++++++++=综上，2053n m π==，【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或sin y x =的性质解题；cos y x =（2）求y =A sin(ωx +φ)+B 的值域通常用换元法；21．已知函数（，，）的部分图像如图所示，点为()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ<,,B D F 与轴的交点，点分别为的最高点和最低点，若将其图像向右平移个单位后得到()f x x ,C E ()f x 12函数的图像，而函数的最小正周期为4，且在处取得最小值．()g x ()g x 0x =（1）求参数和的值；ωϕ（2）若点为函数的图像上的动点，当点在之间（包含）运动时，恒P ()f x P ,C E ,C E 1BP PF ⋅≥成立，求实数的取值范围；A （3）若，是函数图像上的两点，满足与共线，且的中()11,M x y ()22,N x y ()f x OM ON + ODMN 点不在函数的图像上，求的值．()f x ()21cos 2x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1），；（2）；（3）．2πω=4πϕ=-(1-【分析】（1）根据题意求出表达式，根据题中相关条件即可求得和的值；（2）利用()g x ()g x ωϕ向量基底法的运算法则得出，将恒成立转化为，利用24BP PF DP⋅=- 1BP PF ⋅≥ ()min1BP PF ⋅≥数形结合的手段求出其最小值代入计算即可；（3）由与共线得出，结合表OM ON + OD120y y +=达式计算得到或，，代入检验舍去，的情况，1214x x k+=+2124x x k-=+Z k ∈1214x x k+=+Z k ∈再代入所求式计算即可.【详解】（1）依题意得，，()11sin 22g x f x A x ωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵函数的最小正周期为4，()g x ∴，则．2242T πππω===()sin 24g x A x ππϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭又∵函数在处取得最小值，()g x 0x =∴，，242k ππϕπ-=-+Z k ∈即，，24k πϕπ=-+Z k ∈又∵，∴取，得．ϕπ<0k =4πϕ=-（2），()()2224BP PF DP DB DF DP DB DP DP⋅=-⋅-=-=-由图像易知，当点与点或点重合时，取到最大值取到最小值P C E DPBP PF ⋅，∵恒成立，∴，解得23A -231A -≥1BP PF ⋅≥0A <≤（3）由与共线易得，的中点在轴上，OM ON + ODMN x ∴，即，120y y +=12sin sin 2424x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则或，，1222424x x k πππππ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭1222424x x k ππππππ⎛⎫-=-++ ⎪⎝⎭Z k ∈化简得或，．当时，的中点，1214x x k +=+2124x x k -=+Z k ∈1214x x k +=+MN 12,02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在函数的图像上，不符合题意，舍去，Z k ∈()f x ∴，，2124x x k-=+Z k ∈则.()()()21cos cos 24cos 2122x x k k ππππ⎡⎤⎡⎤-=+=+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
高一数学下学期期中试题含解析 20
思南中学2021-2021学年度第二学期期中考试高一数学试卷考试时间是是：120分钟；满分是：150分；分卷I一、选择题(一共12小题,每一小题5分,一共60分)1.的外接圆的半径是3，，那么等于( )A. 30°B. 60°C. 60°或者120°D. 30°或者150°【答案】D【解析】【分析】直接利用正弦定理求解即可.【详解】根据正弦定理，得，，∵，∴或者.应选D.【点睛】此题主要考察正弦定理在解三角形中的应用，属于根底题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径.中，假设，那么的值等于( )A. 45B. 75C. 180D. 300【答案】C【解析】在等差数列中，，又，应选C.【方法点睛】此题主要考察等差数列的性质，属于简单题.等差数列的常用性质有：(1) 通项公式的推广： (2) 假设为等差数列，且；(3) 假设是等差数列，公差为，那么，是公差的等差数列；(4) 数列也是等差数列.此题的解答运用了性质(2).中，，，那么的值是( )A. 15B. 30C. 31D. 64【答案】A【解析】由等差数列的性质得，，，应选A.中，，且，，那么的值是( )A. 16B. 27C. 36D. 81【答案】B【解析】由a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝9，所以q2＝9，又a n>0，所以q＝3.a4＋a5＝q(a3＋a4)＝3×9＝27. 选B.的解集为空集，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不等式的解集为空集等价于有一个或者没有实根，利用判别式不大于零列不等式求解即可.【详解】因为不等式的解集为空集,所以的图象与轴没有交点或者有唯一交点，有一个或者没有实根，,解得,的取值范围是，应选B.【点睛】此题考察了一元二次不等式的解集与判别式的关系,属于根底题.二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用问题是高频考点，一定要纯熟掌握.，，那么的大小关系是( )A. B. C. D. 与的值有关【答案】B【解析】【分析】利用作差法，可得，从而可得结论.【详解】∵，∴.应选B.【点睛】此题主要考察“作差法〞比拟两个数的大小，属于简单题. 比拟两个数的大小主要有四种方法：〔1〕作差法；〔2〕作商法；〔3〕函数单调性法；〔4〕根本不等式法.中，假设，那么的形状一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】由正弦定理得，化为，即，从而可得结论.【详解】因为，所以由正弦定理得.∵，∴，即，即，∵，∴，故是直角三角形.应选B.【点睛】判断三角形状的常见方法是：〔1〕通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进展判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进展判断；〔3〕根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.8.为非零实数，且，那么以下命题一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特例法判断选项里面的命题，利用不等式的性质判断中命题.【详解】中，例如当时不成立；中，例如时不成立；中，例如时不成立；中，由不等式两边同乘以非零正实数成立，应选C．【点睛】此题主要考察不等式的根本性质，意在考察对根底知识掌握的纯熟程度，属于根底题.满足，且，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用排除法，根据，当时，可排除选项，从而可得结果.【详解】利用排除法，因为，因为当时，，排除；当时，，符合题意；当时，，排除；当时，，排除,应选B.【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进展检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 假设结果为定值，那么可采用此法. 特殊法是“小题小做〞的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以进步做题速度和效率，又能进步准确性.满足约束条件,那么目的函数的最小值为( )A. 6B. 7C. 8D. 23【答案】C【解析】【分析】先作可行域，再结合图象确定最优解，解得结果.【详解】先作可行域，那么直线过点A(2,1)时取最小值7，选B.【点睛】此题考察线性规划求最值问题，考察根本分析求解才能，属基此题.为数列的前项和，，那么的值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的求和公式求得，结合分组求和法，再由等比数列求和公式可得结果. 【详解】∵，∴.应选D.【点睛】此题主要考察等比数列的求和公式以及分组求和法的应用，意在考察综合应用所学知识解答问题的才能，属于中档题.12.中，，那么的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m＞0)，因为即所以k＞.卷II二、填空题(一共4小题,每一小题5分,一共20分)是等差数列的前项和，且，那么【答案】25【解析】由可得，所以。
2022-2023学年安徽省省十联考高一年级下册学期期中联考数学试题【含答案】
2022~2023学年度第二学期期中联考高一数学考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|230,|lg(2)0M x x x N x x =--<=-<，则M N ⋂=（）A.{}|23<<x xB.{}|13x x -<<C.{}|31x x -<< D.∅【答案】A 【解析】【分析】解不等式求出集合,M N ，再求交集即可.【详解】∵集合{}{}223013M x x x x x =--<=-<<，{}{}|lg(2)023N x x x x =-<=<<，则{}23M N x x ⋂=<<故选：A.2.已知i 是虚数单位，若1i 5+=a ，则实数a =（） A.2 B.26C.-2D.±26【答案】D 【解析】【分析】根据复数模的概念求解即可.【详解】1i 5a += ，2215a ∴+=，解得26a =±，故选：D3.若向量()()1,0,2,1a b →→==，则向量a →在向量b →上的投影向量为（）A.255B.（45，25）C.（455，255）D.（4，2）【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积及向量在向量上的投影向量计算即可.【详解】向量a →在向量b →上的投影向量为2242(2,1=55555||||a bbb b b →→→→→→⋅⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭），，故选：B 4.“26k παπ=+，Z k ∈”是“3tan 3α=”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若2,6k k Z παπ=+∈，则3tan tan 63πα==，若3tan 3α=，则,6k k Z παπ=+∈，不能推出2,6k k Zπαπ=+∈故“2,6k k Z παπ=+∈”是“3tan 3α=”的充分不必要条件，故选：A.5.计算：cos105cos 45sin 255sin135︒︒=︒︒（） A.32B.32-C.12D.12-【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式求解.【详解】因为cos105cos 45sin 255sin135︒︒︒+︒cos75cos 45sin 75sin 45︒︒︒︒=--cos 75cos 45sin 75si 4)5(n ︒︒︒+-︒=)cos(7545-︒-︒=cos30=-︒32=-故选：B.6.勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC 的周长为π，则该勒洛三角形ABC 的面积为（）A.34B.2π34- C.π32- D.2π34+【答案】C 【解析】【分析】由题意可得曲边三角形的面积为3个扇形面积减去2个三角形的面积．【详解】因为勒洛三角形ABC 的周长为π，所以每段圆弧长为ππ33l r ==，解得1r =，即正三角形的边长为1，由题意可得21π3π33231212342ABC C AB S S S --=-=⨯⋅⋅-⨯⨯=△曲扇形，故选：C7.已知函数()()πsin 0002f x A x A ωϕωϕ=+>>-<<（，，）的部分图象如图所示，1x ，2x 为f （x ）的零点，在已知21x x 的条件下，下列选项中可以确定其值的量为（）A.A sin φB.ωC.φωD.φ【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象可知，12,x x 是函数()f x 的两个零点，即可得21πx x ϕϕ-=-，利用已知条件即可确定ϕ的值.【详解】根据图象可知，函数()f x 的图象是由sin y A x ω=向右平移ϕω-个单位得到的，由图可知12()()0f x f x ==，利用整体代换可得120,πx x ωϕωϕ+=+=，所以21πx x ϕϕ-=-，若21x x 为已知，则可求得21π1x x ϕ=-.故选：D.8.锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ，若()2c a a b =+，则sin A 的取值范围是（）A.23(,)22B.13(,)22C.12(,)22D.2(0,)2【答案】C 【解析】【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得2C A =，再求出A 的范围即可.【详解】由()2c a a b =+，得22c a ab =+，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，∴2222cos a ab a b ab C +=+-，即2cos b a a C =+，由正弦定理得sin 2sin cos sin A A C B +=，∵()πB A C =-+，∴sin 2sin cos sin sin cos cos sin A A C B A C A C +==⋅+，即()sin sin A A C =-.∵22c a ab =+，∴c a >，∴0C A ->，又ABC 为锐角三角形，∴ππ0,022A C A <<<-<，∴A C A =-，解得2C A =，又π02A <<，π0π32B A <=-<，π022C A <=<，∴ππ64A <<，∴2s n 2i 1,2A ⎛∈⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列命题正确的是（）A.设,a b是非零向量，则a b a b⋅= B.若1z ，2z 是复数，则1212z z z z ⋅=⋅C.设,a b 是非零向量，若a b a b +=- ，则0a b ⋅= D.设1z ，2z 是复数，若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=【答案】BC 【解析】【分析】根据向量数量积公式，判断AC ；根据复数的四则运算，以及复数模的公式，判断BD.【详解】A.设,a b 是非零向量，则cos ,a b a b a b ⋅= ，只有当//a b 时，cos ,1a b = ，a b a b ⋅= ，其他情况不相等，故A 错误；B .设1i,,R z a b a b ∈=+，2i,,R z c d c d ∈=+，()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++，()()222222222212z z ac bd ad bc a c b d a d b c =-++=+++()()2222ab dc =++，222212z z a b c d =++，所以1212z z z z =，故B 正确；C.设,a b 是非零向量，若a b a b +=- ，两边平方后得0a b ⋅= ，故C 正确；D.设1i,,R z a b a b ∈=+，2i,,R z c d c d ∈=+，()()12i z z a c b d +=+++，()()12i z z a c b d -=-+-，()()1222a b d z c z +=+++，()()2212z z a c b d -=-+-，若1212z z z z +=-，则0ac bd +=，又()()12i ac bd ad bc z z =-++，不能推出120z z =，故D 错误.故选：BC10.已知正实数a 、b 满足2a b +=，则下列结论正确的是（）A.1ab ≤B.2a b +≥C .332a b +≤ D.222a b +≥【答案】AD 【解析】【分析】利用基本不等式可判断ABD 选项，利用特殊值法可判断C 选项.【详解】因为正实数a 、b 满足2a b +=，对于A 选项，212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，A 对；对于B 选项，因为()()2224+=++≤+=a ba b ab a b ，则2a b +≤，当且仅当1a b ==时，等号成立，B 错；对于C 选项，当32a =，12b =时，33333172222a b ⎛⎫⎛⎫+=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错；对于D 选项，()22222222222222a b a b a b a b ab a b +++++++=≥==，当且仅当1a b ==时，等号成立，D 对.故选：AD.11.ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则“ABC 是直角三角形”的充分条件是（）A.sin cos A B =B.sin 2sin 2sin 2A B C +=C.cos cos a A b B =D.cos a B c=【答案】BD【分析】利用正弦函数的单调性可判断A 选项；利用两角和与差的正弦公式可判断B 选项；利用余弦定理可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为sin cos 0A B =>且A 、()0,πB ∈，则π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若A 为锐角，则πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，此时π2A B =-，即π2A B +=；若A 为钝角，则πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，且ππ,π22B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时π2A B =+，即π2A B -=.综上所述，ABC 为直角三角形或钝角三角形，A 不满足条件；对于B 选项，因为sin 2sin 2sin 2A B C +=，即()()()()sin 2sin sin C A B A B A B A B =++-++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B A B A B A B =+-++-++--+-()()()2sin cos 2sin cos A B A B C A B =+-=-，即()sin cos sin cos C C C A B =-，因为()0,πC ∈，则sin 0C >，所以，()()()cos cos cos πcos A B C A B A B -==-+=-+⎡⎤⎣⎦，即cos cos sin sin sin sin cos cos A B A B A B A B +=-，所以，cos cos 0A B =，所以，cos 0A =或cos 0B =，因为A 、()0,πB ∈，则A 或B 为直角，故ABC 为直角三角形，B 满足条件；对于C 选项，因为cos cos a A b B =，即()()22222222a b c a b a c b bcac+-+-=，整理可得()()222220a bab c -+-=，所以，a b =或222+=a b c ，故ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 不满足条件；对于D 选项，因为222cos 2a c b c a B a ac+-==⋅，整理可得222b c a +=，所以，ABC 为直角三角形，D 满足条件.12.已知π04x <<，则下列不等式正确的是（）A.()()sin sin cos sin x x <B.()() sin cos cos sin x x <C.()()cos cos sin cos x x <D.()()sin sin cos cos x x <【答案】ABD 【解析】【分析】利用诱导公式结合正弦函数的单调性可判断A 选项；利用辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断BD 选项；利用零点存在定理结合诱导公式可判断C 选项.【详解】当π04x <<时，20sin 2x <<，2cos 12x <<，对于A 选项，()2πcos sin sin sinx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且ππ2πsin ,222x ⎛⎫--∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以，ππ0sin sin 22x x <<-<，因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故()()πsin sin sin sin cos sin 2x x x ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，A 对；对于B 选项，因为π04x <<，则πππ442x <+<，因为ππsin cos 2sin 242x x x ⎛⎫+=+<< ⎪⎝⎭，即ππ0cos sin 22x x <<-<，因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，则()()2πsin cos sin sincos sin xx x ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，B 对；对于C 选项，因为函数()π2cos 2f x x =-在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()π0202f =-<，ππ2042f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以，存在0π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00π2cos 02f x x =-=，则00πcos cos 2x x -=，此时，()()000πsin cos sin cos cos cos 2x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，C 错；对于D 选项，因为π04x <<，则πππ442x <+<，因为ππsin cos 2sin 242x x x ⎛⎫+=+<< ⎪⎝⎭，即ππ0sin cos 22x x <<-<，因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，则()()πsin sin sin cos cos cos 2x x x ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，D 对.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()1,a k =，()2,2b k =- ，若()a b a + ∥，则实数k =___________.【答案】2-【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示直接解k 即可.【详解】由题意得，()3,22a b k +=-，因()a b a +∥，所以()12230k k ⨯--=，得2k =-.故答案为：2-.14.求值：()()2222lg 5lg 21log 5-+=+___________.【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算法则、换底公式求解．【详解】()()222222222lg5lg 2(lg5lg 2)(lg5lg 2)lg5lg 21log 5log 2log 5log 10-+=+-+=-+++lg 5lg 22lg 2lg 5lg 21=-+=+=故答案为：1.15.已知()πtan 23,tan 34αβα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，则tan β=___________.【答案】139-【解析】【分析】由πtan()34α+=-得tan 2α=，根据倍角正切公式求得4tan 23α=-，而tan tan[(2)2]βαβα=+-，利用差角正切公式即可求解.【详解】由π1tan tan()341tan ααα++==--得tan 2α=，所以22tan 4tan 21tan 3ααα==--，tan tan[(2)2]βαβα=+-tan(2)tan 21tan(2)tan 2αβααβα+-=++3133913344+==--⨯．故答案为：139-16.ABC 中，2212AB AC AC AB ⋅== ，点P 为ABC 所在平面内一点且0PA PB ⋅= ，则C =___________，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为___________.【答案】①.π2②.122+【解析】【分析】由2AB AC AC ⋅=uuu r uuu r uuu r 得0AC CB =⋅，从而得到π2C =，由2212AC AB = 可得22AC AB =，从而得到ABC 是等腰直接三角形，建立直角坐标系，令2AC BC ==，设(),P x y ，由0PA PB ⋅=得到点P的轨迹是以AB 为直径的圆，从而得到22xλμ-+=，由圆方程确定1212x -≤≤+，从而求解.【详解】因为2AB AC AC ⋅=uuu r uuu r uuu r ，所以()0AC AB AC =⋅- ，即0AC CB =⋅ ，所以AC CB ⊥，即π2C =，又因为2212AC AB = ，所以22AC AB = ，由正弦定理可得222sin sin 2B C ==，所以π4B =，所以ABC 是等腰直角三角形，令2AC BC ==，则22AB =，如图，以点C 为原点，以,CA CB 为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设(),P x y ，则()()()2,0,0,2,0,0A B C ，()2,AP x y =- ，()2,2AB =- ，()2,0AC =- ，因为AP AB AC λμ=+ ，所以222x λμ-=--，即22x λμ-+=.因为0PA PB ⋅= ，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，所以点P 的轨迹方程为()()22112x y -+-=所以()212x -≤，即1212x -≤≤+，所以当12x =-时，22x λμ-+=有最大值，最大值为122+.故答案为：π2；122+四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()1,1,0,1a b =--= ，在①()()ta b a tb +⊥+ ；②ta b a tb +=+ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题（1）若______，求实数t 的值；（2）若向量(),c x y = ，且()1c ya x b =-+- ，求c r .【答案】（1）答案见解析（2）2c = 【解析】【分析】（1）选①，由向量垂直的坐标表示求解；选②由模的坐标表示求解；（2）由向量相等的坐标运算列方程组求得,x y 值，然后由模的坐标表示计算．【小问1详解】()(),1,1,1,ta b t t a tb t +=--+=-- 选①：由()()0ta b a tb +⋅+= ，得()210t t --=，即2310t t -+=解得352t -=或352t +=选②：由22||ta b a tb +=+ ，得()()()222111t t t -+-=+-，即21t =所以1t =±.【小问2详解】()()()()(),1,0,1,1x y c ya x b y y x y x y ==-+-=+-=-+ 所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1,c = 112c =+= ．18.已知z 是复数，2i z +和i1z -均为实数，其中i 是虚数单位.（1）求复数z 的共轭复数z ；（2）记11i 1=+--m z z m m ，若复数1z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）22iz =+（2）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设()i ,R z a b a b =+∈，分别代入2i z +和i 1z -，再根据两者均为实数可求得2a =，2b =-，进而可求得复数z 的共轭复数z ；（2）化简11i 1=+--m z z m m ，再根据复数1z 对应的点在第三象限可建立不等式组2103201m m m m +⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪-⎩，求解即可.【小问1详解】设()i ,R z a b a b =+∈，则()2i 2i+=++z a b 由2i z +为实数，则20b +=，所以2b =-，由2i 22i 1i 1i 22z a a a -+-==+--为实数，则202a -=，所以2a =则22z i =-，复数z 的共轭复数22i z =+.【小问2详解】由（1）可知，11213222i i 11m m m z m m m m +-⎛⎫⎛⎫=+-+=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭由1z 对应的点在第三象限，得2103201m m m m +⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪-⎩，即102213m m m ⎧-<<⎪⎪⎨⎪⎪⎩或，解得10.2m -<<故实数m 的取值范围为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭19.已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P (),x y ，若点P 位于x 轴上方且12x y +=.（1）求sin cos θθ-的值；（2）求44sin cos θθ+的值.【答案】（1）72（2）2332【解析】【分析】（1）根据cos sin θθ+，cos sin θθ-，cos sin θθ三个直接的关系，可得sin cos θθ-.（2）由4422sin cos 12sin cos θθθθ+=-可得.【小问1详解】由三角函数的定义，1cos sin 2θθ+=，sin 0θ>，两边平方，得221cossin 2sin cos 4θθθθ++=则32sin cos 04θθ=-<，sin 0θ>，cos 0θ<，所以sin cos 0θθ->，7sin cos 12sin cos 2θθθθ-=-=.【小问2详解】由（1）知，3sin cos 8θθ=-，4422222923sin cos (sin cos )2sin cos 126432θθθθθθ+=+-=-⨯=.20.设函数2()2cos 23sin cos f x x x x m =++．其中,R m x ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并求此时()f x 在R 上的对称中心．【答案】（1）πT =（2）12m =，对称中心为ππ3,2122k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈.【解析】【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简()f x ，进而求其最小正周期；（2）根据正弦型函数性质求()f x 值域，结合已知确定m 值，整体法求其对称中心即可.【小问1详解】由题设π()cos 23sin 212sin(2)16f x x x m x m =+++=+++，所以，最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ7π2[,]666x +∈，故π2sin(2)[1,2]6x +∈-，所以()[,3]f x m m ∈+，故12m =时满足()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，此时π3()2sin(2)62f x x =++，令π2π6x k +=，Z k ∈，则ππ212k x =-，Z k ∈，所以()f x 在R 上的对称中心为ππ3,2122k ⎛⎫-⎪⎝⎭，Z k ∈.21.如图，两个直角三角板拼在一起，45ABC ∠=︒，60BCD ∠=︒.（1）若记,AB a AC b →→==uuu r uuu r ，试用,a b →→表示向量AD ，CD ；（2）若1AC =，求AE CD ⋅【答案】（1）3AD a b →→=+ ，()31CD a b →→=+- （2）3312-【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解；（2）由平行线分线段成比例可得312AE AD →-=，再由向量的数量积运算及性质求解即可.【小问1详解】由条件，得AC BC =，33BD BC AC ==，因为AC BC ⊥，BC BD ⊥，所以AC BD ∥，可得3BD AC =，33AD AB BD AB AC a b →→=+=+=+ ，()331CD AD AC a b b a b →→→→→=-=+-=+- .【小问2详解】由条件，得1AC BC ==，232AB BD CD ===，，，因为AC BD ∥，所以13AE AC ED BD ==，则131213AE AD -==+，()313133122AE AD a b CD a b →→→→→→--⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭ ，，则()313312AE CD a b a b →→→→→→-⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()223173323322a a b b →→→→--=+⋅+-，而222212112a b a b →→→→==⋅=⨯⨯=，，所以3312AE CD -⋅= .22.某公园计划改造一块四边形区域ABCD 铺设草坪，其中2AB =百米，1BC =百米，AD CD =，AD CD ⊥，草坪内需要规划4条人行道DM ，DN ，EM ，EN 以及两条排水沟AC ，BD ，其中M ，N ，E 分别为边BC ，AB ，AC 的中点．（1）若90ABC ∠=︒，求排水沟BD 的长；（2）当ABC ∠变化时，求4条人行道总长度的最大值．【答案】（1）322（百米）；（2）3232+（百米）．【解析】【分析】（1）结合已知图形中角的关系，在BCD △和BAD 中，分别利用余弦定理表示BD 可求；（2）先设ABC α∠=，BAC β∠=，ACB γ∠=，然后由余弦定理可表示AC ，再在ABC 中，由正弦定理：sin sin AC BC αβ=，可得sin sin ACαβ=，然后结合三角关系及余弦定理表示出四条道路的长度关系式，结合函数的单调性可求最大值．【详解】解：（1）因为2ABC π∠=，2AB =，1BC =，所以5AC =，所以102CD =，因为2ABC ADC π∠∠==，所以：BAD BCD π∠+∠=，可得：cos cos BAD BCD ∠∠=-，在BCD △中：2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠，在BAD 中：222222cos 2cos BD AB AD AB AD BAD AB AD AB AD BCD =+-⋅⋅∠=++⋅⋅∠，解得：322BD =，即排水沟BD 的长为322百米；（2）设ABC α∠=，BAC β∠=，ACB γ∠=，由余弦定理得：254cos AC α=-．在ABC 中，由正弦定理：sin sin AC BC αβ=，得sin sin ACαβ=，连接DE ，在MDE 中，2MED π∠β=+，cos cos()sin 2MED πββ∠=+=-，由余弦定理：222292cos 1sin sin cos 44AC DM ME DE ME DE MED AC βαα=+-⋅⋅∠=++⋅=+-，同理：23sin cos 2DN αα=+-，设sin cos 2sin()4t πααα=-=-，(0,)απ∈，则(1,2]t ∈，所以933422DN DM EN EM t t +++=++++，该函数单调递增，所以2t =时，DN DM EN EM +++最大值为3(22)2+，所以4条走道总长度的最大值为3(22)2+百米．。
2022-2023学年湖南省长沙市高一下学期期中数学试题2【含答案】
2022-2023学年湖南省长沙市高一下学期期中数学试题一、单选题1．若复数满足，则的虚部是（ ）z 5z =z AB ．CD．【答案】B【分析】根据复数的概念，即可得出答案.【详解】根据复数的概念可知，的虚部为.5z =故选：B.2．若，，，的夹角为，则等于（ ）3a = 4b = ab135︒a b ⋅A ．B ．CD ．--2【答案】B【分析】根据数量积的定义，即可得出答案.【详解】由已知可得，.cos13534a b a b ⎛⋅=︒=⨯⨯=-⎝ 故选：B.3．在中，点D 是AB 的中点，则（ ）ABC A ．B ．12CD AB AC=+12CD AB AC=-+C ．D ．12CD AB AC=--12CD AB AC=- 【答案】D【分析】根据向量的加法和减法运算即可.【详解】因为点D 是AB 的中点，所以12AD AB=所以1122CD CA AD CA A AB AB C=+=+=-故选：D.4．设，则“”是“”的（ ）．θ∈R ππ1212θ-<1sin 2θ<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】，但，不满足 ，所以πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<10,sin 2θθ=<ππ||1212θ-<是充分不必要条件，选A.【解析】 充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则p q ⇒p q q p ⇒是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则p q p q ⇔p q A B ⊆是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，A B BA ⊆AB A B =A B 若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不A B A B B A A B 充分条件.5．如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正111 ABC A B C -111A B C 确的是（ ）A ．直线与直线是异面直线B ．直线与直线AE 是共面直线1CC 1B E 1CC C ．直线AE 与直线是异面直线D ．直线AE 与直线是共面直线11B C 1BB 【答案】C【分析】根据异面直线的判定定理求解即可.【详解】由于与均在平面内，不是异面直线，故A 错误；1CC 1B E 11BCC B平面，平面，点不在直线上，所以和是异面直线，故B 错1CC ⋂ABC C =AE ⊂ABC C AE 1CC AE 误；平面， 平面，点不在直线上，则与是异面直线，AE ⋂11BCC B E =11B C ⊂11BCC B E 11B C AE 11B C 故C 正确；平面， 平面，点不在直线上，则与是异面直线，故AE ⋂11BCC B E =1B B ⊂11BCC B E 1B B AE 1B B D 不正确.故选：C【点睛】方法点睛：判断两条直线是否为异面直线，第一两条直线平行或相交，则两条直线共面，第二若一条直线与一个平面相交于一点，那么这条直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线，这是判断两条直线是异面直线的方法，要根据题目所提供的线线、线面关系准确的做出判断.6．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R ，球冠的高为h ，则球冠的面积．已知该灯笼的高为46cm ，圆柱的高为3cm ，圆柱的底面圆直径为30cm ，则围成该灯笼2S Rh π=所需布料的面积为（）A ．B ．C ．D ．22090cm π22180cmπ22340cmπ22430cmπ【答案】B【分析】由勾股定理求出，则，分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表R 205cm h R =-=面积、上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积.【详解】由题意得，得，，222466=152R -⎛⎫- ⎪⎝⎭25cm R =25205cm h =-=所以两个球冠的表面积之和为，224500cm S Rh ππ==灯笼中间球面的表面积为．2245002000cm R πππ-=因为上下两个圆柱的侧面积之和为，22303180cm ππ⨯⨯=所以围成该灯笼所需布料的面积为．220001802180cm πππ+=故选：B.7．若，，，，则（ ）π02α<<02βπ<<3cos()5αβ+=π5sin 413β⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 4α⎛⎫+=⎪⎝⎭A B ．C ．D ．3256653665【答案】C【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦4sin()5αβ+=π12cos 413β⎛⎫-= ⎪⎝⎭公式，即可得出答案.【详解】因为，，所以，π02α<<02βπ<<0παβ<+<所以，.4sin()5αβ+==又，所以.πππ444β-<-<π12cos 413β⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以，()ππcos cos 44ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππcos cos sin sin 44αββαββ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.312455651351365=⨯+⨯=故选：C.8．已知，，，平面区域为由所有满足的点组成()1,1A -()4,0B ()2,2C D AP AB AC λμ=+(),P x y 的区域（其中，），若区域的面积为，则的最小值为（ ）1a λ<≤1b μ<≤D 8a b +A ．B ．C ．D ．46810【答案】A【分析】作图得出区域D ，然后根据向量关系得出，)1EF BN a ==-，然后表示出，根据和的关系可得出，)1EH CM b ==-()()411EFH S a b =-- EFH △EFGH ，进而得出，根据“1”的代换，即可得出答案.()()111a b --=111a b +=【详解】如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得，AN a AB=，AM b AC=作，，，，//CF AN //BH AM //NG AM //MG AN 则四边形，，均为平行四边形.ABEC ANGM EFGH 由题意可知:点组成的区域D 为图中的四边形及其内部.(),P x y EFGH 因为，，，()3,1AB =()1,3AC =()2,2BC =-，，，AC =BC =所以，，，)1EF BN a ==-)1EH CM b ==-所以，.3cos 5AC AB CAB AC AB⋅∠=== 又，则.π0sin CAB ≤∠≤4sin 5CAB ∠=所以，.))114sin 11225EFH S EF EH CAB a b =⨯⨯⨯∠=--⨯ ()()411a b =--因为四边形的面积，EFGH 28EFH S S == 所以，即，()()111a b --=111a b +=，()11a b a b a b ⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭22224b a a b ++≥=+=当且仅当时取等号.2ba ==的最小值为4.a b ∴+故选：A.二、多选题9．在中，已知，，则角的值可能为（ ）ABC a =b =45B =A A ．B ．C ．D ．3012060150【答案】BC【分析】根据正弦定理求出，再根据可得结果.sin A a b >【详解】由正弦定理得，得sin sin a b A B =sin sin a B A b ==因为，且，所以或.a b >0180A << 60A = 120A =故选：BC.10．下列说法中正确的是（ ）A ．若，则//,//a b b c //a cB ．单位向量，则()()1,0,0,1i f ==345i f -=C ．若点为的重心，则G ABC 0GA GB GC ++=D ．当时，使成立的的取值范围为0πx <<tan 1x <-x π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】若可判断A ；由坐标向量的模长公式可判断B ；由重心的向量表示可判断C ；由0b = 在的单调性可判断D.tan y x =()0,x π∈【详解】对于A ，若，则不一定平行，故A 不正确；0b = ,a c对于B ，单位向量，则，()()1,0,0,1i f ==()343,4i f -=-则，故B 正确；345i f -==对于C ，分别取，，中点，，则，BC AC AB D ,E F 2GB GC GD +=为的重心，，，故C 正确；G ABC 2GD AG ∴= 20GA GB GC GA GD ∴++=+=对于D ，当时，在单调递增，且，02x π<<tan y x =tan 0x >当时，在单调递增，且，π2x π<<tan y x =tan 0x <，所以，故D 正确.3πtan 1tan4x <-=π3π24x <<故选：BCD.11．已知表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（ ）,a b ,,αβγA ．若，且，则,a b αγβγ== //a b //αβB ．若相交，且都在外，，则,a b ,αβ//,//,//,//a b a b ααββ//αβC ．若，且，则//,//a b αβ//a b //αβD ．若，则,//,a a b αβαβ⊂= //a b 【答案】BD【分析】根据线线、线面、面面平行的判定与性质定理，结合平面的基本性质进行判断.【详解】A ：若，且，则可能相交、平行，错误；,a b αγβγ== //a b ,αβB ：若相交，且都在外，，由面面平行的判定可得，正确；,a b ,αβ//,//,//,//a b a b ααββ//αβC ：若，且，则可能相交、平行，错误；//,//a b αβ//a b ,αβD ：若，由线面平行的性质定理得，正确.,//,a a b αβαβ⊂= //a b 故选：BD 12．已知函数，且，，则下列结论正确的是（ ）()x x xf x a b c =+-(),,0,a b c ∈+∞()20f =A ．B ．102f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()30f <C ．在上单调递减D ．最小值为()f x R ()()11f f -5-【答案】ABD【分析】由已知可得，则可知函数在R 上递减.然后即可判断222+=a b c ()1x xa b g x c c ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 、B 项；取特殊值，即可说明C 项；换元可得，，，代入化简可cos a c θ=sin b c θ=π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得.令，可得，()()()sin cos 11sin cos 11sin cos f f θθθθθθ+⎛⎫-=+-⋅- ⎪⎝⎭sin cos 1t θθ++=π14t θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭代入整理可得.进而根据的取值范围，结合单调性，即可得出答案.()()2114f f t t ⎛⎫-=-++ ⎪⎝⎭t【详解】因为，所以.()22220a b c f +-==222+=a b c 因为，则，，所以，.(),,0,a b c ∈+∞0a c <<0b c <<01a c <<01b c <<对于A 项，因为，，故，在R 上递减.01a c <<01b c <<xa y c ⎛⎫= ⎪⎝⎭xb yc ⎛⎫= ⎪⎝⎭由，()1xx x xxxa f x abc c b c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣+⎦=-令，则在R 上递减，()1x xa b g x c c ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x 且，所以，，()20g =()1202g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭()()3<20g g =且，则，恒成立，0c >x ∀∈R 0xy c =>所以，故A 项正确；1211022f c g ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B 项，由A 知，，，所以，故B 项正确；()()3<20g g =0c >()()333<0f c g =对于C 项，取，，，则，所以C 错误；3a =4b =5c =()1122f f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭对于D 项，因为，222+=a b c 令，，，cos a c θ=sin b c θ=π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则.()()()11111cos sin cos sin f f c c c c c c θθθθ⎛⎫-=+-⋅+-= ⎪⎝⎭()sin cos sin cos 11sin cos θθθθθθ+⎛⎫+-⋅- ⎪⎝⎭令，则，，sin cos 1t θθ++=()()2112sin cos 22t t t θθ---==sin cos 1t θθ+=-且.πsin cos 114t θθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭因为，则，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以，故，πsin 4θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(π12,14t θ⎛⎫=++∈+ ⎪⎝⎭可得.()()()()1112122t f f t t t ⎡⎤⎢⎥--=-⋅-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()21224t t t t t -⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭设，，()2g t t t =+(2,1t ∈又在上单调递增，且，，()2g t tt =+(2,1()23g =(11g =故，即，()(21g t t t ⎤=+∈-⎦213t t ⎛⎫⎡⎤-+∈-- ⎪⎣⎦⎝⎭所以，所以D 正确.()())21145f f t t ⎛⎫⎡-=-++∈- ⎪⎣⎝⎭故选:ABD.三、填空题13．命题“，都有”的否定是___________.x ∀∈R 210x x +>＋【答案】，有x ∃∈R 210x x ++≤【分析】由命题的否定的定义求解．【详解】题“，都有”的否定是：．x ∀∈R 210x x +>＋2,10x R x x ∃∈++≤故答案为：．2,10x R x x ∃∈++≤14．复数的模为__________.1i1i -=+z 【答案】1【分析】根据复数的除法运算，化简得出，即可得出答案.i z =-【详解】由已知可得，，()()()21i 1i2i i 1i 1i 1i 2z ---====-++-所以，.1z =故答案为：.115．已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为20π__________．【答案】10π【分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.【详解】解：设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，母线为l ，由题意可知，，24π20πR R =⇒=又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足，22252l r R ⎛⎫+== ⎪⎝⎭而圆柱的侧面积，，2πS rl =0l >因为，当且仅当，即时等号成立，22222l l r r lr ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭2l r =r =l =所以，，5lr ≤2π10πS rl =≤故答案为：10π16．在凸四边形中，，，，则长度的范围ABCD 2AB =72A B C ∠=∠=∠=︒144D ∠=︒BC __________.【答案】)1【分析】平移CD 到，延长，交于点，可得.设，根据角度关1AC ,AD BC 2C 12BC BC BC <<1BC x =系可推得，根据相似可得出，求解即可得出答案.21ABC ABC ∽ △222x x +=【详解】如图，平移CD 到，延长，交于点，1AC ,AD BC 2C 则，172AC B BCD B ∠=∠=∠=︒所以，且，118027236C AB ∠=︒-⨯︒=︒12BC BC BC <<所以.21723636C AC ∠=︒-︒=︒又，22118036C C AB B C AB ∠=︒-∠-∠=︒=∠所以.1212C C AC AB ===设，1BC x =在和中，有，，2ABC △1ABC 21C C AB ∠=∠B B ∠=∠所以，21ABC ABC ∽ △所以，即，21BC AB AB BC =222x x +=整理可得，解得（舍去负值），2240x x +-=1x =-所以，1x =-11BC =-21BC =所以.11BC -<<+故答案为：.)1-+【点睛】思路点睛：根据平移，得出的两个边界，然后根据已知角，得出三角形相似，进而得BC 出关系式，即可得出答案.四、解答题17．已知棱长为1的正方体中．1111ABCD A B C D -（1）证明：平面；1//D A 1C BD （2）求三棱锥的体积．111B A B C -【答案】（1）证明见解析；（2）．16【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理证明；11//AD BC （2）根据三棱锥体积公式计算即可.【详解】证明：（1）在棱长为1的正方体中，，且 1111ABCD A B C D -11//B C A D ∴11AB C D =所以四边形为平行四边形11ABC D 11//D A BC ∴又平面，平面，1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD平面；1//D A ∴1C BD （2）由正方体易知，三棱锥的高为，111B A B C -1BB 所以111111111111113326A B C B A B C V S BB -==⨯⨯⨯⨯=⨯=．18．已知向量，，其中.33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ x ∈R (1)当时，求x 值的集合；a b ⊥(2)，求.π2x =a b-【答案】(1)ππ|,42k x x k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z (2)2a b -= 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，即可推得，求解即可得出答案；cos 20x =（2）代入，求出的坐标，然后得出的坐标，根据模的运算，即可得出答案.π2x =,a b a b - 【详解】（1）由已知可得，所以，0a b ⋅= 33cos cos sin sin 2222x xx x -3cos cos 2022x x x ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭所以，所以，π2π,2x k k =+∈Z ππ,42k x k =+∈Z 所以x 值的集合为.ππ|,42k x x k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z （2）当时，所以，，π2x=3π3πcos ,sin 44a ⎛⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝ππcos ,sin 44b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，，(a b -=所以.2a -= 19．已知函数的部分图象如图所示．()2sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<(1)求的解析式；()f x (2)若函数，求在区间上的最大值和最小值．()()sin g x f x x =()g x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)()π2sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)0【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式；,ωϕ()f x （2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.()g x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由图象可知：，3ππ2π4144T ωω⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭将点代入得，π,24⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =πππ2sin 22π444f k ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π0π4ϕϕ<<∴=∴()π2sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）())π()()sin sin cos sin 2cos 2sin 24g x f x x x x x x x x ⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭由得π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πππ2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当时，即；ππ244x -=-()min 0,0x g x ==当时，即ππ244x -=()max π,4x g x ==20．某环保组织自2022年元旦开始监测某水域水葫芦生长的面积变化情况，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2022年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水域水葫芦生长的面积为n （单位：），二月底测得水葫芦2m 的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积y （单位：）与224m 264m 2m 时间x （单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是(0,1)xy na n a =>>，记2022年元旦最初测量时间x 的值为0．12(0,0)y px n p n =+>>(1)根据本学期所学，请你判断哪个函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；(2)该水域中水葫芦生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上？（参考数据：，）lg 20.3010≈lg30.4771≈【答案】(1)第一个函数模型满足要求，(01)，xy na n a =>>278()83xy =⋅(2)5月份【分析】（1）由指数函数与幂函数的增长速度判断函数模型，再由待定系数法求得解析式；（2）建立并求解函数不等式，通过对数运算性质求值.【详解】（1）因为两个函数模型，在上都是增(0,1)xy na n a =>>12(00)，y px n p n =+>>(0)+∞，函数．随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数x (01)，xy na n a =>>12(00)，y px n p n =+>>值增加得越来越慢．因为在该水域中水葫芦生长的速度是越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，所以第一个函数模型满足要求．(01)，xy na n a =>>由题意知，解得，所以．232464na na ⎧=⎨=⎩83278a n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩278()83x y =⋅（2）由，解得，27827()60838x ⋅>⨯83log 60x >又，故，83lg601lg2lg3 1.7781log 60 4.283lg2lg30.4259lg 3++==≈≈-5≥x 所以该水域中水葫芦生长面积在5月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上．21．在锐角中，角的对边分别是，，，若ABC ,,A B C a b c 2cos cos c b Ba A -=(1)求角的大小；A (2)若，求中线长的范围（点是边中点）.2a =AD D BC 【答案】(1)π3A =(2)【分析】（1）根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到，从而求出结果；1cos 2A =（2）先利用向量的中线公式得到，再利用正、余弦定理及条件求出的范围，进24||24AD bc =+ bc 而求出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理可得：2cos cos c b Ba A -=2sin sin sin C B A -cos cos B A =即，所以()2sin sin cos sin cos C B A A B -⋅=⋅，()2sin cos sin cos cos sin sin sin(π)sin C A A B A B A B C C=+=+=-=因为，所以，所以，因为，所以.π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0C >1cos 2A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =（2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，π3A =2a =2221cos 22b c a A bc +-==224b c bc +=+因为点D 是边BC 中点，所以，两边平方可得:2AD AB AC =+，224||AD AB = 2||2AC AB AC++⋅222cos b c bc A =++⋅所以，2224||AD b c bc =++ 424bc bc bc =++=+因为，又，，2(2sin )(2sin )4sin sin bc R B R C R B C =⋅=22πsin sin 3a R A ===2π3B C=-所以,162π81cos28π4sin()sin )sin(2)3332363C bc C C C C -=-=+=-+又因为为锐角三角形， 所以，，得到，ABC 2ππ032B C <=-<π02C <<ππ62C <<所以，由的图像与性质知，，ππ5π2(,)666C -∈sin y x =π1sin(2),162C ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦所以，所以，得到8,43bc ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦228424,123AD bc ⎛⎤=+∈⎥⎝⎦2724,33AD bc ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦ 故.AD ⎛∈ ⎝ 22．已知函数（，且）满足.()log sin 4a f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭0a >1a ≠1(4)(2)2f f =-(1)求a 的值；(2)求证：在定义域内有且只有一个零点，且.()f x 0x 02sin 40522x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭+<【答案】(1)；4a =(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得，即求；1log 4log 22a a =+（2）分类讨论结合对数函数的性质、正弦函数的性质及零点存在定理可得函数在定义域内有()f x 且只有一个零点，利用对数的运算可得，再利用对勾函数的性质即得.0x 02sin 400012x x x x π+=+【详解】（1）因为，1(4)(2)2f f =-所以，1log 4sin log 2sin22a a ππ+=+-即，1log 4log 22a a =+解得.4a =（2）由题意可知函数的图象在上连续不断.4()log sin4f x x xπ=+(0,)+∞①当时，因为与在上单调递增，2(]0,x ∈4log y x =sin4y xπ=(0,2]所以在上单调递增.()f x (0,2]又因为，4111log sin sin sin sin 0,(1)sin22882864f f πππππ⎛⎫=+=-=-<=> ⎪⎝⎭所以.1(1)02f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭根据函数零点存在定理，存在，使得，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x =所以在上有且只有一个零点.()f x (0,2]0x ②当时，，所以，(2,4]x ∈4log 0,sin4x x π>≥4()log sin4f x x x π=+>所以在上没有零点.()f x (2,4]③当时，，所以，(4,)x ∈+∞4log 1,sin14x x π>≥-4()log sin4f x x x π=+>所以在上没有零点.()f x (4,)+∞综上所述，在定义域上有且只有一个零点.()f x (0,)+∞0x 因为，即.()0400log sin 04f x x x π=+=040sinlog 4x x π=-所以，402sin log 4000001124,,12x x x x x x x π-⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭又因为在上单调递减，1y x x =+1,12⎛⎫⎪⎝⎭所以，00115222x x +<+=即.02sin 40522x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭+<【点睛】关键点点睛：对分类讨论时，①当时，函数与在上单x 2(]0,x ∈4log y x =sin4y xπ=(0,2]调递增，结合零点存在定理可得函数有且只有一个零点；②当时，函数没有(2,4]x ∈()0f x >()f x 零点；③当时，函数没有零点.(4,)x ∈+∞()0f x >()f x。
高一数学下学期期中试卷含答案(共3套)
高一数学第二学期期中考试试卷试题分值 150分 时间 120分钟一、选择题1、集合}{01032<-+=x x x A ，}{410<+<=x x B ，则)(B C A R ⋂＝（ ）A 、}{21<<-x x B 、}{3215≤<-≤≤-x x x 或C 、}{15-≤<-x xD 、}{15-≤≤-x x2、已知135sin =α，α是第一象限角，则cos(π)α-的值为（ ） A.513-B.513C.1213-3、在等差数列{}n a 中，已知112n a n =-，则使前n 项和n S 最大的n 值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.74、在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 60B =，4a =，其面积S =c =（ ）A.15B.16C.20D.5、已知平面向量→a , →b 满足|→a |=1，|→b |=2，且（→a +→b ）⊥→a ，则→a ，→b 的夹角为A 、23π B 、2π C 、3π D 、6π6、在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 4,30a b A ===，则B =（ ）A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150° 7、等比数列{}n a 的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是（ ） A.28 B.48 C.36 D.52 8、已知等差数列}{n a 的前15项之和为154π，则789tan()a a a ++=（ ） A. 33B. 3C. 1-D. 19、在△ABC 中，2,1AB AC AM AM +==，点P 在AM 上且满足2AP PM =， 则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．94 Ｂ．34 Ｃ．－34 Ｄ．－9410、已知))()(()(b a b x a x x f >--=其中，若)(x f 的图象如右图所示：则b a x g x +=)(的图象是（ ）ABCD11、在△ABC 中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、，若222c a b ab ≤+-，则C 的取值范围为（ ） A.(0,]3πB.[,)6ππC.[,)3ππD.(0,]6π12、已知等差数列{}n a 满足公差(1,0)d ∈-，当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则该数列首项1a 的取值范围为（ ）A.43(,)32ππ B.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.74(,)63ππD.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题13、若3sin 5x =，则cos 2x =__________． 14、已知正实数,,a b m ，满足a b <则b a 与 b ma m++的大小关系是15、在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有 对.16.对于实数b a ,，定义运算⎩⎨⎧>-≤-=⊗⊗11:""b a b b a a b a ，设函数)()2()(22x x x x f -⊗-=，若函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________.三、解答题17. (本小题满分10分)已知等差数列{}n a 满足：3710,26a a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）请问88是数列{}n a 中的项吗？若是，请指出它是哪一项；若不是，请说明理由．18. (本小题满分10分)叙述并证明余弦定理19. (本小题满分12分) 已知向量(cos ,1)2x m =-u r ，2,cos )22x x n =r ，设函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调区间．20. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：142318,32b b b b +=⋅=．（1）求数列{}{}n n a b 、的通项公式；（2）若*,N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ．21、（12分）要将两种大小不同的钢板截成A B C 、、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A B C 、、三种规格的成品分别15，18，27块，各截这两种钢板多少张可得所需A B C 、、三种规格的成品，且使所用钢板张数最少？213112C 规格B 规格A 规格第一种钢板第二种钢板规格类型钢板类型22、（本小题满分12分） 已知函数）（Z ∈=++-m x x f m m322)(为偶函数，且)5()3(f f <. （1）求m 的值，并确定)(x f 的解析式.（2）若)1,0]()([log ≠>-=a a ax x f y a 且在区间[]3,2上为增函数，求实数a 的取 值范围 .第二学期期中考试 高一文科数学试题试题分值 150分 时间 120分钟 命题教师 侯思超一、选择题1、C2、C.3、B4、C5、A6、B7、A.8、C.9、Ｄ10、A 11、A.12、A二、填空题13、725 14、b a >b m a m++15、2416. )43,1(]2,(----∞ 三、解答题 17.解：（1）依题意知73416,4d a a d =-=∴=【3分】()3342n a a n d n ∴=+-=-【5分】（2）令*454588,4288,,N .22n a n n =-==∉Q 即所以 所以88不是数列{}n a 中的项.【10分】 18. 叙述并证明余弦定理解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍【2分】即2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-【4分】证明：如图，设,,CB a CA b AB c ===，那么c a b =-，()()2c c c a b a b =⋅=-⋅- 2a a b b a b =⋅+⋅-⋅222cos a b ab C =+-即2222cos c a b ab C =+-同理2222cos b a c ac B =+-，2222cos a b c bc A =+-【12分】C19.解析：（1）依题意得()sin()6f x x π=-，【4分】()2f x T π∴=最小正周期为【6分】(2)由22262k x k πππππ-≤-≤+解得22233k x k ππππ-≤≤+， 从而可得函数()f x 的单调递增区间是：2[2,2],33k k k Z ππππ-+∈【9分】 由322262k x k πππππ+≤-≤+解得252233k x k ππππ+≤≤+，从而可得函数()f x 的单调递减区间是：25[2,2],33k k k Z ππππ++∈【12分】 20. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：142318,32b b b b +=⋅=．（1）求数列{}{}n n a b 、的通项公式；（2）若*,N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解析 ：（1）当2n ≥时，()()221313111312222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎢⎥⎣⎦111,2n a S ===Q 又时符合，所以31n a n =-【3分】2314b b b b =Q ，14,b b ∴方程218320x x -+=的两根， 41b b >Q 又，所以解得142,16b b ==34182b q q b ∴==∴=112n n n b b q -∴=⋅=【6分】（2）31,2n n n a n b =-=Q ，则n (31)2n C n =-⋅1234225282112(31)2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅L 234512225282112(31)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅L将两式相减得：12341=22+32+2+2+2)(31)2-------------------------------------------8nn n T n +⋅--⋅L -（分2112(12)43(31)212n n n -+⎡⎤-=+--⋅⎢⎥-⎣⎦1(34)28n n +=-+⋅-【10分】所以1=(34)28n n T n +-⋅+.【12分】 21、解：设所需第一种钢板x 张，第一种钢板y 张，共需截这两种钢板z 张，则目标函数为z x y =+约束条件为21521832700x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 【3分】可行域如下图【5分】把z x y =+变形为v ，得到斜率为1-，在y 轴上截距为z 的一组平行直线，由上图可知，当直线z x y=+经过可行域上的点M 时，截距z 最小，解方程组327215x y x y +=⎧⎨+=⎩得点1839,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于1839,55都不是整数，而此问题中最优解(),x y 中，,x y 必须都是整数，所以点1839,55M ⎛⎫⎪⎝⎭不是最优解。
河南省洛阳市2012-2013学年第二学期期中考试高一数学试题(含答案)(必修3)(word版)
6 97 3 88 1 3 4 9 8 010 0洛阳市2012-2013学年第二学期期中考试高 一 数 学 试 卷第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中正确的是A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定 2．已知某高一学生期末考试9科成绩的茎叶图如图，则该生的平均成绩为A ．81B ．82C ．83D ．843．用秦九韶算法计算多项式5432()54321f x x x x x x =+++++当5x =的值时，乘法运算和加法运算的的次数分别为A ．4，5B ．5，5C ．5，6D ．6，6 4．下列说法：①为了使样本具有好的代表性，在进行简单随机抽样时，最重要的是要将总体“搅拌均 匀”，即使每个个体有同样的机会被抽中；②由于频率分布折线图是随着样本容量和分组情况的变化而变化的，所以不能由样本的 频率分布折线图得到准确的总体密度曲线；③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和；④线性回归方程ˆybx a =+表示的直线必经过定点()x y ． 其中错误的个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．已知四个数：①(3)10121，②(5)412，③(10)119，④(8)146，这四个数中最小数的序号是A ．①B ．②C ．③D ．④（第9题）（第7题）（第6题）6．读下面的程序，若程序运行的结果是4，则输入的实数x 值的所有可能是 A ．0 B ．0，2或2- C ．0，4或4- D ．2或47．某程序框图如图所示，若输出的p 的值是29，则①处可以填的条件是A ．6n =B ．21p >=C ．5n >D ．33p =8．已知在正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 恰在该正方体内切球内的概率为A ．78 B ．12 C ．3π D ．6π 9．已知上面的程序，若输入的,m n 分别为297,75，则此程序的功能和输出的结果是 A ．求297被75除的商，3 B ．求297被75除的余数，3 C ．求297与75的最小公倍数，7425 D ．求297与75的最大公约数，310．从3名男同学和2名女同学中任选3名参加某项活动，与事件“至少选2名男同学”互 斥的事件为A ．至少选1名女同学B ．选1名男同学2名女同学C ．至多选2名男同学D ．选3名男同学11．已知a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，则使得关于x 的。
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）()242iz a a =-+-a A ．2B ．2或C ．D ．2-2-4-【答案】C【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得，()242i z a a =-+-24020a a ⎧-=⎨-≠⎩2a =-所以实数的值为.a 2-故选：C2．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，则的形状为ABC 2cos c a B =ABC （ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等()sin sin C A B =+tan tan A B =腰三角形的结论.【详解】，由正弦定理，得，2cos c a B =()sin sin 2sin cos C A B A B=+=即sin cos cos sin 2sin cos ,A B A B A B +=∴，可得，sin cos cos sin A B A B =tan tan A B =又，∴，0π,0πA B <<<<A B =则的形状为等腰三角形.ABC 故选：A.3．某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）120︒A ．BC ．D 【答案】D【分析】求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，120︒所以该扇形的弧长为，120π32π180⨯=设圆锥的底面半径为，则，解得：，r 2π2πr =1r =因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为h =该圆锥的体积为.2211ππ133r h =⨯⨯=故选：D4．中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，B 的大ABC π4A =a =b =小为（ ）A ．B ．C ．或D ．或π6π3π65π6π32π3【答案】D【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin sin a B b A B B =⇒==由于,，所以或,()0,πB ∈b a>B =π32π3故选：D5．设点P 为内一点，且，则（ ）ABC ∆220PA PB PC ++=:ABP ABC S S ∆∆=A ．B ．C ．D ．15251413【答案】A【分析】设AB 的中点是点D ，由题得，所以点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，即14PD PC=- 得解.【详解】设AB 的中点是点D ，∵，122PA PB PD PC+==- ∴，14PD PC=- ∴点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，∴的面积为的面积的.ABP ∆ABC ∆15故选：A【点睛】本题主要考查向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．如图，在长方体中，已知，，E 为的中点，则异面直1111ABCD A B C D -2AB BC ==15AA =11B C 线BD 与CE 所成角的余弦值为（）ABCD【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解.【详解】取的中点F ，连接EF ，CF ，，易知，所以为异面直线BD11C D 11B D 11EF B D BD∥∥CEF ∠与CE所成的角或其补角.因为1112EF B D ==CE CF ====余弦定理得.222cos 2EF EC CF CEF EF EC +-∠====⋅故选：C7．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相ABCD A B C D -''''等、高为1的“刍童”，其中，“刍童”外接球的表面积为22AB A B ''==2BC B C ''==（ ）A ．B ．CD ．20π20π3【答案】A【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O ，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积．【详解】如图，连接AC 、BD 、、，设AC ∩BD ＝M ，∩＝N ，连接MN ．A C ''B D ''AC ''BD ''∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN 所在直线上，设外接球球心为ABCD A B C D -''''O ，如图当球心在线段MN 延长线上时，易得，MC ＝2，，，4AC ===2A C ''===1NC '=MN ＝1，由得，，即OC OC '=2222NC ON OM MC '+=+，()()2222141141OM MN OM OM OM OM ++=+⇒++=+⇒=故OC ＝OC ==∴外接球表面积为．24π20π⋅=如图当球心在线段MN 上时，由得，，即OC OC '=2222NC ON OM MC '+=+舍去，()()2222141141MN OM OM OM OM OM +-=+⇒+-=+⇒=-故选：A【点睛】关键点睛：利用刍童的几何性确定外接球的球心是解题的关键.8．如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点ABC ∆BC 30C ∠=︒,B C x y 在线段的右上方．设，（），记，，分别考查A BC OA xOB yOC =+ ,x y ∈R M OA OC =⋅N x y =+的所有运算结果，则,MN A ．有最小值，有最大值B ．有最大值，有最小值M N M N C ．有最大值，有最大值D ．有最小值，有最小值M N M N 【答案】B【分析】设，用表示出，根据的取值范围，利用三角函数恒等变换化简，OCB α∠=α,M N α,M N 进而求得最值的情况.,M N 【详解】依题意，所以.设，则30,2,90BCA BC A ∠==∠=1AC AB ==OCB α∠=，所以，，所30,090ABx αα∠=+<<()())30,sin 30Aαα++()()2sin ,0,0,2cos B C αα以，当时，取得最大值()()12cos sin 30sin 2302M OA OC ααα==+=++⋅ 23090,30αα+==M 为.13122+=，所以，所以OA xOB yOC =+ ()sin 302cos x y αα+==时，有最小值为()sin 302cos N x y αα+=+=+ 1=290,45αα==N 故选B.1+【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、多选题9．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ）21i z =-A ．z 的虚部为1B ．22iz =C ．z 的共轭复数为D ．1i -+2z =【答案】AB【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解.【详解】,故虚部为1，共轭复数为，()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+1i-=，故AB 正确，CD 错误，()221i 2i z =+=故选：AB10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）ABCDEF A ．B ．AC AE BF -= 32AE AC AD+= C ．D ．在上的投影向量为AF AB CB CD ⋅=⋅ AD AB AB 【答案】BCD【分析】对A ，利用向量的减法和相反向量即可判断；对B ，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C ，利用平面向量的数量积运算即可判断；对D ，利用向量的几何意义的知识即可判断．【详解】连接，与交于点，如图所示，,,,,,AE AC AD BF BD CE CE AD H 对于A ：，显然由图可得与为相反向量，故A 错误；AC AE AC EA EC -=+= EC BF对于B ：由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法AE AC=AD EAC ∠ACE △则有，与共线且同方向，2AC AE AH += AH AD易知，均为含角的直角三角形，EDH AEH △π6，即，3AH DH = 所以，34AD AH DH DH DH DH =+=+=又因为，故，26AH DH= 232AH AD=故，故B 正确；32AE AC AD+= 对于C ：设正六边形的边长为，ABCDEF a 则，，22π1cos 32AF AB AF AB a⋅=⋅=- 22π1cos 32CB CD CB CD a ⋅=⋅=-所以，故C 正确；AF AB CB CD ⋅=⋅ 对于D ：易知，则在上的投影向量为，故D 正确，π2ABD ∠=AD AB AB故选：BCD ．11．有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（ ）AB CD【答案】BCD【分析】分三种情况讨论，作出图形，确定三棱锥中每条棱的长度，即可求出其体积.【详解】如图所示：①若平面，为边长为2的正三角形，，，都是等腰直角三AB ⊥BCD BCD △2AB =ABD △ABC 角形，满足题目条件，故其体积；11222sin 6032V =⨯⨯⨯⨯⨯︒=②若平面，为边长为2的正三角形，,，都是等腰直角三AB ⊥BCD ACD AB =ABD △ABC角形，满足题目条件，故其体积1132V ==③若为边长为2的正三角形，，都是等腰直角三角形，BCD △ABD △ABC，中点，因为，而2AB BC CD AD ====AC =AC E BE AC ⊥，所以，即有平面，故其体积为222DE B D E B +=BE DE ⊥BE ⊥ACD 112232V =⨯⨯=故选：BCD12．如图，已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的O ABCD 2AB =6BC =4AD CD ==是（ ）A ．四边形的面积为B ABCDC ．D ．过作交于点，则4BO CD ⋅=- D DF BC ⊥BC F 10DO DF ⋅=【答案】BCD【分析】A 选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出1cos 7D =-1cos 7B =，利用面积公式进行求解；B 选项，在A 选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；Csin ,sin B D 选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D 选项，结合A 选项和C 选项中的结论，先求出∠DOF 的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】对于A ，连接，在中，，，AC ACD 21616cos 32AC D +-=2436cos 24AC B +-=由于，所以，故，πB D +=cos cos 0B D +=22324003224AC AC--+=解得，22567AC =所以，，所以1cos 7D =-1cos 7B =sin sin B D ===故11sin 2622ABC S AB BC B =⋅=⨯⨯=11sin 4422ADC S AD DC D =⋅=⨯⨯= 故四边形，故A 错误；ABCD =对于B ，设外接圆半径为，则，R 2sin AC R B ===B 正确；对于C ，连接，过点O 作OG ⊥CD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，则由垂径定理得：BD ，122CG CD ==由于，所以，即，πA C +=cos cos 0A C +=22416163601648BD BD +-+-+=解得，所以，所以，且，BD =1cos 2C =π3C =1cos 632CE BC C =⋅=⨯=所以，即在向量上的投影长为1，且与反向，321EF =-= BO CD EG CD 故，故C 正确；4BO CD EG CD ⋅=-⋅=-对于D，由C 选项可知：，故，π3C =sin 604DF CD =⋅︒== 30CDF ∠=︒因为，由对称性可知：DO 为∠ADC 的平分线，故，AD CD =1302ODF ADC ∠=∠-︒由A 选项可知：，显然为锐角，1cos 7ADC ∠=-12ADC ∠故1cos 2ADC ∠==1sin 2ADC ∠==所以1cos cos 302ODF ADC ⎛⎫∠=∠-︒ ⎪⎝⎭11cos cos30sin sin3022ADCADC =∠⋅︒+∠⋅︒=所以，故D 正确.cos 10DO DF DO ODF DF ∠==⋅=⋅ 故选：BCD三、填空题13．已知向量，，若，则________．()2,4a =(),3b m =a b ⊥ m =【答案】6-【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；0a b ⋅=【详解】因为，且，()2,4a =(),3b m =a b ⊥ 所以，解得.2430a b m ⋅=⨯+⨯=6m =-故答案为：6-14．若复数所对应复平面内的点在第二象限，则实数的取值范围为________；()16z m i i=++m 【答案】60m -<<【分析】先化成复数代数形式得点坐标，再根据条件列不等式解得实数的取值范围.m 【详解】因为对应复平面内的点为，又复数所对应复平面()6z m m i=++6m m +，()16z m i i=++内的点在第二象限，所以06060m m m <⎧∴-<<⎨+>⎩【点睛】本题重点考查复数的概念，属于基本题.复数的实部为、虚部为、模为(,)a bi a b R +∈a b 、对应点为、共轭为(,)a b .-a bi15．已知，是边AB 上一定点，满足，且对于AB 上任一点P ，恒有ABC 0P 014P B AB= ．若，，则的面积为________．00PB PC P B P C ⋅≥⋅ π3A =4AC = ABC【答案】【分析】建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算公式，结合二次函数的性质、三角形面积公式进行求解即可.【详解】以所在的直线为横轴，以线段的中垂线为纵轴建立如图所示的直角坐标系，AB AB设，，，因为，所以，()40AB t t =>()2,0A t -()2,0B t 014P B AB =()0,0P t 设，，(),C a b ()(),022P x t x t -≤≤，()()()()002,0,,,,0,,PB t x PC a x b P B t P C a t b =-=-==-由，()()()()2200220PB PC P B P C t x a x t a t x x a t at t ⋅≥⋅⇒--≥-⇒-+++≥设，该二次函数的对称轴为：，()()222f x x x a t at =-++22a tx +=当时，即，222a t x t+=<-6a t <-则有，所以无实数解，()()222042203f t t t a t at t a t-≥⇒++++≥⇒≥-当时，即，222a tx t +=>2a t >则有，所以无实数解，()()22204220f t t t a t at t a t≥⇒-+++≥⇒≤当时，即，2222a tt t +-≤≤62t a t -≤≤则有，而，所以，()()2222400a t at t a ∆=-+-+≤⇒≤⎡⎤⎣⎦20a ≥0a =显然此时在纵轴，而，所以该三角形为等边三角形，()0,C b π3A =故的面积为ABC 1442⨯⨯=故答案为：【点睛】关键点睛：建立合适的直角坐标系，利用二次函数对称轴与区间的位置关系关系分类讨论是解题的关键.16．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k ，则两个几何体的体积比也为k ．已知线段AB 长为4，直线l 过点A 且与AB 垂直，以B 为圆心，以1为半径的圆绕l 旋转一周，得到环体；以A ，B 分别为上M 下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N ；过AB 且与l 垂直的平面为，平面，且距β//αβ离为h ，若平面截圆柱体N 所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，我们可以α1S αM 2S 求出的比值，进而求出环体体积为________．12S S M 【答案】28π【分析】画出示意图的截面，结合图形可得和的值，进而求出圆柱的体积，乘以，可得环1S 2S 2π体的体积，得到答案.M 【详解】画出示意图，可得，14S ==222ππS r r =-外内其中，，(224r =外(224r =内故，即，21π2πS S ==1212πS S =环体体积为.M 22π2π4π8πV =⨯=柱故答案为：28π四、解答题17．如图所示，在中D 、F 分别是BC 、AC 的中点，，，．ABC 23AE AD =AB a =AC b = (1)用，表示向量，；a bAD BF (2)求证：B ，E ，F 三点共线．【答案】(1)，()12AD a b =+ 12BF b a=-(2)证明见解析【分析】（1）由向量的线性运算法则求解；（2）用，表示向量、，证明它们共线即可得证．a bBF BE 【详解】（1）∵，，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AB a =AC b = ∴，()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB a b=+=+=+-=+ ，12BF AF AB b a=-=- （2）由（1），，∴1233BE b a =- 12BF b a=-1312322332BF b a b a BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴与共线，又∵与有公共点B ，BF BE BF BE故B ，E ，F 三点共线．18．在中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且．ABC222a b c +=+(1)求C ；(2)若，求A ．tan 2tan B a cC c -=【答案】(1)45C =︒(2)75A =︒【分析】（1）由余弦定理即可求解，（2）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式即可得，进而可求解.60B =︒【详解】（1）∵，∴，∴，222a b c +=+2222a b c ab +-=cos C =由于C 是三角形内角，∴．45C =︒（2）由正弦定理可得，tan 22sin sin tan sin B a c A CC c C --==∴sin cos 2sin sin cos sin sin B C A CB C C -=∴，∴，sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=∴，∴．()sin 2sin cos B C A B+=sin(π)sin 2sin cos A A A B ==-∵，∴，sin 0A ≠1cos 2B =由于B 是三角形内角 ，∴，则．60B =︒180456075A ︒-︒-︒==︒19．如图，数轴的交点为，夹角为，与轴､轴正向同向的单位向量分别是.由平面,x y O θx y 21,e e 向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，OP(),x y 12OP xe ye =+ 我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.(),x y P xOy xOy(1)若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；90,OP θ=OP 1e 120 P(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值.45θ=P (OP 1e【答案】(1)1,2⎛- ⎝【分析】（1）时，坐标系为平面直角坐标系，设点利用求出，再90θ= xOy (),P x y 112⋅=- OP e x 利用模长公式计算可得答案；（2）根据向量的模长公式计算可得答案.，12==OP e e 1⋅OP e【详解】（1）当时，坐标系为平面直角坐标系，90θ=xOy 设点，则有，而，(),P x y (),OP x y =()111,0,e OP e x=⋅=又，所以，又因，111cos1202OP e OP e ⋅=⋅⋅=- 12x =-1OP ==解得的坐标是；y =P 1,2⎛- ⎝（2）依题意夹角为，21,e e 12121245,cos45⋅=⋅==e e e e OP e e12OP e e ∴====，()2111121121cos ,2OP e OP e OP e e e e e e e αα⋅=⋅⋅=⋅=+⋅=+⋅=2,cos αα==20．如图所示，在四棱锥中，平面，，E 是的中点．P ABCD -//BC PAD 12BC AD =PD（1）求证：；//BC AD （2）若M 是线段上一动点，则线段上是否存在点N ，使平面？说明理由．CE AD //MN PAB 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）取中点N ，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．AD CN EN 【详解】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，P ABCD -//BC PAD BC ⊂ABCD 平面平面，ABCD ⋂PAD AD =∴，//BC AD （2）线段存在点N ，使得平面，理由如下：AD //MN PAB取中点N ，连接，，AD CN EN ∵E ，N 分别为，的中点，PD AD ∴，//EN PA ∵平面，平面，EN ⊄PAB PA ⊂PAB ∴平面，//EN PAB 取AP 中点F,连结EF,BF ，，且，//EF AN =EF AN 因为，，//BC AD 12BC AD =所以，且，//BC EF =BC EF 所以四边形BCEF 为平行四边形，所以.//CE BF 又面PAB ，面PAB ，所以平面；CE ⊄BF ⊂//CE PAB 又，CE EN E = ∴平面平面，//CEN PAB ∵M 是上的动点，平面，CE MN ⊂CEN ∴平面PAB ，//MN ∴线段存在点N ，使得MN ∥平面．AD PAB 21．合肥一中云上农舍有三处苗圃，分别位于图中的三个顶点，已知,ABCAB AC ==．为了解决三个苗圃的灌溉问题，现要在区域内（不包括边界）且与B ,C 等距的40m BC =ABC 一点O 处建立一个蓄水池，并铺设管道OA 、OB 、OC．(1)设，记铺设的管道总长度为，请将y 表示为的函数；OBC θ∠=m y θ(2)当管道总长取最小值时，求的值．θ【答案】(1)()202sin π200cos 4y θθθ-⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭(2)π6θ=【分析】（1）根据锐角三角函数即可表示，，进而可求解，20cos BO θ=20sin cos OD θθ=（2）利用，结合三角函数的最值可得.2sin cos k θθ-=k 【详解】（1）由于,在的垂直平分线 上，AB AC ==,OB OC O =∴BC AD 若设，则, ∴OBC θ∠=20cos BO θ=20sin cos OD θθ=20sin 20cos OA θθ=-则；()202sin 202020tan 2200cos cos 4y θπθθθθ-⎛⎫=-+⨯=+<< ⎪⎝⎭（2）令得2sin cos k θθ-=2cos sin k θθ=+≤故，又，故23k≥0k >k ≥min2020y =+此时：得2sin cos θθ-=πsin 2sin 23θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭πsin 13θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又，故,故π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ32θ+=π6θ=22．数学史上著名的波尔约-格维也纳定理：任意两个面积相等的多边形，它们可以通过相互拼接得到．它由法卡斯·波尔约（FarksBolyai ）和保罗·格维也纳（PaulGerwien ）两位数学家分别在1833年和1835年给出证明．现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形，使它们的全面积都与原平面图形的面积相等：（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分），其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个14缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【答案】(1)柱锥V V>(2)答案见解析【分析】（1）根据题中的操作过程，结合棱锥、棱锥的体积进行求解比较即可；（2）根据题中操作过程，结合三角形内心的性质、直三棱柱的定义进行操作即可.【详解】（1）依上面剪拼方法，有．柱锥V V >推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正如图所示：在正四面体中，高，DO ===在图2一顶处的四边形中，如图所示：直三棱柱高，()π11tan tan 21622PN PMN MN =∠⋅=⨯⨯-==，13V V h h ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭柱锥柱锥0=>∴．柱锥V V >（2）如图，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱．。
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期期中检测数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期期中检测数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}14A x x =-≤≤(){}2ln 4B x y x==-A B ⋃=A ．B ．[)1,2-[]1,4-C ．D ．(]2,4-(][),12,-∞-⋃+∞【答案】C【分析】先化简集合B ，再去求即可解决.A B ⋃【详解】因为,(){}{}2ln 422B x y x x x ==-=-<<则，{}{}{}142224A B x x x x x x ⋃==-≤≤⋃-<<=-<≤故选：C2．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【分析】根据圆锥的结构特征即可判断A 选项；根据棱台的定义即可判断选项B;结合圆柱、圆锥、圆台的旋转特征，举出反例即可判断选项C ；由棱柱的定义即可判断选项D.【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．【点睛】解决空间几何体结构特征问题的3个策略(1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力．(2)构建几何模型、变换模型中的线面关系．(3)通过反例对结构特征进行辨析．3．在边长为2的正方形ABCD 中，（ ）()AB AD CD -⋅=A ．-4B ．-2C ．2D ．4【答案】A【分析】作出图形，利用向量的三角形法则与数量积运算即可求得结果.【详解】根据题意，如图可知，，2DC = =45BDC ∠=︒．()AB AD CD DB CD DB DC -⋅=⋅=-⋅cos 2cos 454DB DC BDC =-⋅∠=-︒=-故选：A ．【点睛】4．在中，，，．则ABC π3B =8AB =5BC =外接圆的面积为（ ）ABC A ．B ．C ．D ．49π316π47π315π【答案】A【分析】设外接圆的半径为，由余弦定理可得，再由正弦定理得可得答案.ABC R AC R 【详解】设外接圆的半径为，ABC R 由余弦定理可得，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⨯即，所以，216425285492=+-⨯⨯⨯=AC 7AC =由正弦定理得，所以2sin ===AC RB R =则外接圆的面积为.ABC 249ππ3=R 故选：A.5．刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC 的边长为r ，设，过P 点作平面OP h =PQRS 平行于平面OABC ．，由勾股定理有PQRS 面OS OQ r ==PS PQ ==积是．如果将图一的几何体放在棱长为r 的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等22r h -高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h ，不难发现2h 对于任何高度h ，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（ ）2h 注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等．A ．B ．C ．D ．383r 38π3r 3163r 316π3r 【答案】C【分析】计算出正方体的体积，四棱锥的体积，根据祖暅原理可得图一中几何体体积，从而得结论．【详解】棱锥，V 23111333Sh r r r ==⨯⨯=由祖暅原理图二中牟合方盖外部的体积等于棱锥V 313r =所以图1中几何体体积为，3331233V r r r =-=所以牟合方盖体积为．31683V r =故选：C ．6．已知函数，若函数在有且仅有两个零()()π12sin sin cos 2032f x x x x ωωωω⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭()f x []0,π点，则实数的取值范围是（ ）ωA ．B ．1117,66⎛⎫ ⎪⎝⎭1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．D ．1117,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】由三角恒等变换化简函数解析式为，由可计算出的()πsin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0πx ≤≤π26x ω+取值范围，再根据已知条件可得出关于的不等式，解之即可.ω【详解】因为()112sin sin cos 222f x x x x x ωωωω⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭211cos 21cos sin cos 22cos 2222x x x x x x x ωωωωωωω-=++-=++-，1π2cos 2sin 226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当时，，0πx ≤≤πππ22π666x ωω≤+≤+因为函数函数在有且仅有两个零点，则，解得.()f x []0,ππ2π2π3π6ω≤+<11171212ω≤<故选：D.7．已知O 为的外心，，则的值为（ ）ABC 3450++=OA OB OC cos ABC ∠A B C D 【答案】A【分析】设的外接圆的半径为R ，将平方后求出，找到ABC 3450++= OA OB OC 3cos 5AOC ∠=-，利用二倍角公式求出2AOC ABC =∠∠cos ABC∠【详解】设的外接圆的半径为R ，ABC ∵，3450++=OA OB OC ∴，且圆心在三角形内部，354OA OC OB +=-∴()()22354OA OCOB+=- ∴，()()()2229253016OA OCOA OC OB++⋅= ∴222292530cos 16R R R AOC R++∠=3cos 5AOC ∴∠=-根据圆心角等于同弧对应的圆周角的两倍得： 2AOC ABC =∠∠∴232cos 1cos 5ABC AOC ∠-=∠=-解得cos ABC ∠故选：A【点睛】方法点睛：（1)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算；（2）求向量夹角通常用，还要注意角的范围.cos ,||||a ba b a b ⋅=⨯8．若函数的定义域为，是偶函数，且．则下列说法正确的()f x R ()21f x +()()226f x f x -++=个数为（ ）①的一个周期为2；()f x ②；()223f =③的一条对称轴为；()f x 5x =④．()()()121957f f f +++= A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得，，由(2)()f x f x -=(2)(2)0f x f x -+++=此推理计算即可判断各命题作答.【详解】对于①：是偶函数，设，得，()21f x +2t x =()()11f t f t +=-+因，所以，故，()()226f x f x -++=()()46f x f x +-=()()136f t f t ++-=故，即，故，()()136f t f t -++-=()()26f x f x ++=()()246f x f x +++=所以，所以的一个周期为4，故①错误.()()4f x f x =+()f x 对于②：由于，令，得.()()226f x f x -++=0x =()23f =.故②正确.()()()2245223f f f =⨯+==对于③：由知函数的一条对称轴为，因为的一个周期为4，所以也(2)()f x f x -=1x =()f x 5x =是函数的一条对称轴，故③正确.()f x 对于④：因，得，即.()23f =(2)()f x f x -=()03f =()43f =因，所以，()()226f x f x -++=()()136f f +=，故④正确()()()()()()()()()12195123420512457f f f f f f f f f +++=+++-=⨯-=⎡⎤⎣⎦ 故选：C.二、多选题9．设向量，，则（ ）(2,0)a = (1,1)b = A ．B ．与的夹角是=a ba b 4πC ．D ．与同向的单位向量是()a b b-⊥ b 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由条件算出，，即可判断A ，算出的值可判断B ，算出的值可判断abcos ,a b()a b b -⋅C ，与同向的单位向量是，可判断D.b 【详解】因为，，(2,0)a = (1,1)b =所以A 错误2a =因为，所以与的夹角是，故B 正确cos ,a b a b a b ⋅===⋅a b4π因为，所以，故C正确()()()1,11,1110a b b -⋅=-⋅=-=()a b b -⊥ 与同向的单位向量是，故D 错误b故选：BC10．已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）z =z z A ．B ．z ||1z =C ．为纯虚数D ．在复平面上对应的点在第四象限．3z z 【答案】BD【分析】先利用复数的除法得到，再利用复数的虚部概念判定选项A错误，利用模长12z =公式判定选项B 正确，利用复数的乘方运算得到，再利用复数的分类判定选项C 错误，利用共3z 轭复数的概念、复数的几何意义判定选项D 正确.【详解】因为，12z ====则A 错误；z，即选项B 正确；||1z ==因为，所以12z =3323119(i 288z ==+，即为实数，19188=-=-3z 即选项C 错误；因为，所以，12z =12z =则在复平面上对应的点 在第四象限，z 1(,2即选项D 正确.故选：BD.11．已知函数，下列说法正确的是（ ）()()sin cos sin cos f x x x x x=+⋅-A ．的最正周期为()f x 2πB ．若，则()()122f x f x +=()12πZ 2k x x k +=∈C ．在区间上是增函数()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．的对称轴是()y f x =()ππZ 4x k k =+∈【答案】ABD【分析】把函数化成分段函数，作出函数图象，根据图象判断AC ，由余弦函数的性质判断()f xC ，再结合图象利用函数对称性的性质判断D.【详解】依题意，，函数部分图象如图，3ππcos 2,2π2π44()(Z)π5πcos 2,2π2π44x k x k f x k x k x k ⎧-+<<+⎪⎪=∈⎨⎪-+≤≤+⎪⎩()fx 由图象知函数是周期函数，周期为，故A 正确；()f x 2π因且，则当时，且，()11f x ≤()21f x ≤()()122f x f x +=1|cos 2|1x =2|cos 2|1x =则且，，因此，，，B 正确；11π2k x =22π2k x =12,Z k k ∈1212()ππ22k k k x x ++==12Z k k k +=∈观察图象知，在区间上不单调，所以在区间上不是增函数，故C 不正确；()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦观察图象知，，是函数图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，π4x =3π4x =-()y f x =事实上，即图象关于ππππ()[sin()cos()]|sin()cos()|()22222f x x x x x f x π-=-+-⋅---=()y f x =对称，π4x =同理有图象关于对称，而函数的周期是，所以函数图象对称轴()y f x =3π4x =-()f x 2π()y f x =，D 正确.ππ,Z4x k k =+∈故选：ABD 12．在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ）ABC 3B π=B BD ACD 2BD =A ．若，则B ．若，则的外接圆半径是BD BC =ABC BD BC =ABC C ．若，则D ．BD BC =AD DCAB BC +【答案】ACD【分析】A 、B 、C 选项由已知结合正弦定理和差角公式及同角的基本关系进行变形即可判断，D 选项用角表示出结合三角恒等变换以及均值不等式即可判断.θAB BC +【详解】因为，角的平分线交于，所以，，所3B π=B BD ACD 6ABD CBD π∠=∠=2BD BC ==以，，56212C BDC πππ-∠=∠==51234A ∠=--=ππππ由正弦定理得，sin sinBC ABA C ==所以，5sin cos cos sin 112646464AB ⎛⎫⎫==+=+= ⎪⎪⎝⎭⎭πππππππ所以A 正确；)11sin 1222ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯+⨯= 因为，所以，设的外接圆半径是，由正弦定理，，所以BD BC =4A π=ABCR 2sin BCR A ==B 错误；R =因为，由正弦定理，因为和互补，所BD BC =,sin sin sinsin 66ADAB CD BCADB BDC==∠∠ππADB∠BDC ∠以，所以C 正确；si n si n ADB BDC ∠=∠AD AB DC BC ==设，则，A θ∠=2,36C BDC ∠=-∠=+ππθθ因为，,sin sin sinsin BD AB BD BCA ADBC BDC ==∠∠所以2sin 2sin 662sin sin 3AB BC ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+=⎛⎫- ⎪⎝⎭ππθθπθθ若，则，90θ=AB BC +==若，则()()0,9090,180∈ θ，，1tanAB BC +=θ1tan =tθ()0,t ⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭)1AB BC t t +===+时，≥)1+=t =t =则或或（舍去），tan θ=tan θ=3πθ=56πθ=综上：当为等边三角形时，D 正确.ABC AB BC +故选：ACD.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.三、填空题13．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则______.ABC A B C a b c sin cos c A C C =【答案】/3π60︒【分析】根据正弦定理，结合同角三角函数的关系求解即可【详解】由正弦定理可得，，又，故，又显然sin sin cos C A A C =sin 0A ≠sin C C =，故，故cos 0C ≠tan C =()0,C π∈3C π=故答案为：3π14．设为复数，若为实数（为虚数单位），则的最小值为___________.z (1i)z +i |2|z +【分析】设，根据为实数（为虚数单位），得到，再利用复数的模()i ,z a b a b R =+∈(1i)z +i =-b a 求解.【详解】解：设，()i ,z a b a b R =+∈则，()()(1i ,)i +=-++∈a z a b b b a R 因为为实数（为虚数单位），(1i)z +i 所以，即，0a b +==-b a所以|2|+z当时，1a =-min |2|+=z15．半径为的球的球面上有四点，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥4,,,A B C D ABC体积的最大值为________.D ABC -【答案】【分析】根据题意，设的中心为，三棱锥外接球的球心为，进而得当体积最ABC O 'D ABC -O 大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，再结合几何关系计算即可求解.D O 'O ABC 【详解】设的中心为，三棱锥外接球的球心为，ABC O 'D ABC -O 则当体积最大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，如图，D 'O OABC 因为为等边三角形且其面积为的边长，故，所以ABCABCx 2x =6x =，，故，'AO =4DO AO =='2OO===故三棱锥的高，所以6DO DO OO ''=+=163V =⨯=故答案为：16．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值a b c 1a = 2b = 2aa b =⋅ 22c b c =⋅ 22c a c b -+- 为________.【答案】72【分析】令，，，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F ，与OA a = OB b = OC c = a的夹角为，由题意，计算C 的轨迹为以OD 为直径的圆，利用向b θπ3θ=量基底表示，将转化为，然后转()()222222+=+-- c b BCa AC c ()222243-+-=+ c b CE c a化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解最小值.()222+-- c a bc 【详解】令，，，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F ，OA a = OB b = OC c =与的夹角为，连接CA 、CB 、CD 、CO 、EF .a bθ由，，，得，，1a = 2b = 2a a b =⋅ 112cos θ=⨯⨯1cos 2θ=因为，所以，在[]0,πθ∈π3θ=OAB 又由，得，即，22c b c =⋅ 02⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭b c c ()0OC OC OD OC DC ⋅-=⋅= 所以点C 的轨迹为以OD 为直径的圆.因为()()222222+=+-- c b BC a AC c 2222112422EC AB EC AB CE AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，22211434343722CE EF ⎫⎛⎫=+≥-+≥+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭当且仅当点C 、E 、F 共线，且点C 在点E 、F 之间时，等号成立.所以的最小值为22c a c b-+-72故答案为：72【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解.四、解答题17．已知向量，．1,2m ⎛= ⎝ (),cos sin x n x = (1)若∥，求的值；m ntan x (2)若且，求的值．13m n ⋅= π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos x 【答案】(1)【分析】（1）由两向量平行可得，即可得的值；1sin 2x x =tan x （2）由可得，进而可得求13m n ⋅=π1cos()33x +=πsin(3x +=ππcos cos[(]33x x =+-解即可.【详解】（1）解：因为∥，所以，m n 1sin 2x x= 即，sin x x =所以；tan x =（2）解：因为，13m n ⋅=即，所以，11cos 23x x =π1cos(33x +=又因为，所以，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π,336x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以πsin(3x +=所以ππππππcos cos[(]cos()cos sin()sin 333333x x x x =+-=+++=18．如图所示，现有一张边长为的正三角形纸片ABC ，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三10cm 个全等的四边形，，（剪去的四边形均有一组对角为直角），然后把三个矩11ADA F 11BD B E 11CE C F 形，，折起，构成一个以为底面的无盖正三棱柱．111A B D D111B C E E 111A C FF 111A B C(1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；(2)求所折成的正三棱柱的表面积为【答案】m(2)12 3cm【分析】（1）设出,表达出,利用正三棱柱的底面边长与高之比求出的长，即为该三棱1A D 11A B 1A D 柱的高；（2）设出,表达出,表达出所折成的正三棱柱的表面积，求出的长，进而求出该三棱柱1A D 11A B 1A D 的体积.【详解】（1）由题意及几何知识得，设, 则，.1A D x=AD=1110A B =-因为，1113A B A D ==所以x =∴.m（2）由题意，（1）及几何知识得，正三棱柱的表面积为设, 则，，1A D x=AD =1110A B=-∴表面积())221111331010S A D DDA B x =⋅=⋅--=解得：x =∴，，1A D =3AD ==11104A B =-=∴该三棱柱的体积为：22111412V A B A D =⋅==3cm 19．已知为三角形的一个内角，复数，且满足．θcos isin z θθ=+11z +=(1)求；21z z ++(2)设z ，，在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求的面积．2z -21z z ++ABC 【答案】(1)0【分析】（1）由求出，得出，再由复数的四则运算求；11z +=cos θz 21z z ++（2）求出复数对应复平面上点的坐标，计算三角形的边长，利用三角形面积公式求解.【详解】（1）且，1(cos 1)isin z θθ+=++ 11z +=，22(cos 1)sin 22cos 1θθθ∴++=+=且，1cos 2θ∴=-(0,π)θ∈1sin 2z θ∴==-，2131442z ∴=-=-.21111022z z ∴++=--=（2）复数，，，12z =-122(12z -=--=210z z ++=在复平面上对应的点分别为，1((0,0)2A B C -，，1CA ∴=2CB =AB =由余弦定理可得，2221431cos 2222CA CB AB ACB CA CB +-+-∠===⋅⨯且，(0,π)ACB ∠∈sin ACB ∴∠=.11sin 1222ABC S CA CB ACB ∴=⋅⋅∠=⨯⨯=△20．已知函数（，且）.()x xk f x a ka -=+Z k ∈0a >1a ≠(1)若，求的值；11()32f =1(2)f (2)若为定义在上的奇函数，且，是否存在实数，使得()k f x R 01a <<m 0对任意的恒成立，若存在，请写出实数的取值范围；若不()21(5)k k f mx mx f m --+->[1,3]x ∈m 存在，请说明理由.【答案】(1)47；(2)存在，.6(,)7-∞【分析】(1)，由此计算即可计算的值.3=1a a +1(2)f (2)由给定条件求出，再探求函数的单调性，然后脱去函数对应法则，分离参数并求出函数k ()k f x 最值作答.【详解】（1）依题意，，由，两边平方得，解1()xxf x a a -=+11(32f =3=129a a ++=得，17a a +=所以.22211(2)()247f a a a a -=+=+-=（2）因为定义在上的奇函数，则，，即，()k f x R R x ∀∈()()0k k f x f x -+=0x x x xa ka a ka --+++=则，而，解得，因此，，(01)()x x k a a -++=0x x a a -+>1k =-()1x x f x a a --=-因，则在上单调递减，在上单调递增，从而得在上单调递减，01a <<x a R xa -R ()1x xf x a a --=-R ()()()()()2211111150155f mx mx f m f mx mx f m f m -------+->⇔-->--=-，而，则，2215(1)6mx mx m x x m --<-⇔-+<⇔22131()024x x x -+=-+>261m x x <-+依题意，，成立，显然在上单调递增，在上单调[1,3]x ∀∈261m x x <-+21x x -+[1,3]261x x -+[1,3]递减，则当时，，于是得，3x =min 2166()7x x =-+67m <所以存在实数满足条件，的取值范围是.m m 6(,7-∞21．已知满足．ABC ()22sin sin 2sin sin sin C B A A C B -=-(1)试问：角是否可能为直角？请说明理由；B (2)若为锐角三角形，求的取值范围．ABC sin sin CA 【答案】(1)角不可能为直角，理由见解析B (2)15,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）使用反证法，假设角为直角，根据题目条件证明假设不成立，得到角不可能为直B B 角；（2）将的取值范围转化为的取值范围，通过为锐角三角形，列出关sin sin CA sin (0)sin C c t t A a ==>ABC 于的不等式，进而求得结果.t 【详解】（1）假设角为直角，则，B π2A C +=所以，sin cos ,sin cos A C C A ==因为，()22sin sin 2sin sin sin C B A A C B-=-所以，2cos cos 2sin cos 1A A A A =-所以，所以，1cos2sin21A A +=-πsin 24A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭显然，所以矛盾，故假设不成立，πsin 214A ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭所以角不可能为直角．B （2）因为，()22sin sin 2sin sin sin C B A A C B-=-所以，22sin sin cos 2sin cos sin 2sin sin sin C B A C B A A C B -=-由正弦定理，得，22cos 2cos 2bc A ac B ac b -=-由余弦定理化简，得，22322b ac a =+因为为锐角三角形，ABC 所以π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩222222222cos 00cos 00,cos 00A b c a B a c b C a b c ⎧⎧>+->⎪⎪⇒>⇒+->⎨⎨⎪⎪>+->⎩⎩令，则有，sin (0)sin C c t t A a ==>222321032103250t t t t t t ⎧+->⎪-+>⇒⎨⎪-++>⎩113R 513t t t t ⎧><-⎪⎪∈⎨⎪⎪-<<⎩或1533t ⇒<<所以的取值范围为．sin sin CA 15,33⎛⎫ ⎪⎝⎭22．如图所示的两边，，设是的重心，边上的高为，过的ABC 1BC =2AC =G ABC BC AH G 直线与，分别交于，，已知，；AB AC E F AE AB λ= AF AC μ=(1)求的值；11λμ+(2)若，，，求的值；1cos 4C =920AEFABCS S =△△λμ>()()EH AF HF EA+⋅+(3)若的最大值为，求边的长.BF CE ⋅ 518-AB 【答案】(1)3(2)321100-(3)2【分析】（1）利用重心的性质以及三点共线的充要条件即可求解（2）先解出与，λμ再利用解三角形的知识求出和，最后将化简即可求解（3）以和EF AH ()()EH AF HF EA+⋅+AB 为基底表示，引入参数，通过分类讨论求解ACBF CE ⋅ 1,22t λη⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1），1AE AB AB AEλλ=⇒= 1AF AC AC AB μμ=⇒= 如图所示，连接并延长交于点，则为中点AG BC D D BC 因为为重心G ABC 所以()22111113323333AG AD AB AC AB AC AE AFλμ⎡⎤==+=+=+⎢⎥⎣⎦ 因为，，起点相同，终点共线AG AEAF 所以，所以11133λμ+=113λμ+=（2）设角，，所对的边分别为，，，，A B C a b c ∴1a =2b =22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=2c ∴=()11sin sin 22AEF S AE AF EAF AB AC EAF λμ=⨯⨯∠=⨯⨯∠△1sin 2ABC S AB AC BAC =⨯⨯∠△所以,920AEF ABCS S λμ∆==△由解之得113920λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3435λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩33362,24255AE AF ∴=⨯==⨯=在中ABC 2227cos 28b c a A bc +-==在，,AEF △222272cos 50EF AE AF AE AF A =+-⨯⨯=在，中Rt AHC sin AH AC C =⨯=EH AF AH AE AF AH EF+=-+=+HF EA AF AH AE EF AH+=--=- ==()()()()22EH AF HF EA EF AH EF AH EF AH∴+⋅+=+⋅-=- 2715504-321100-（3）()()()221cos BF CE AC AB AB AC bc A c b μλλμλμ⋅=-⋅-=+--==2231432c c λμλμ++⎛⎫+⋅-- ⎪⎝⎭22235321266c c c λμ⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭=222353211112663c c c λμλη⎛⎫⎛⎫+--=-++⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222532115121818c c c λμμλ⎡⎤--⎢⎥=+-+⎢⎥⎣⎦令， 1,22t λη⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦BF CE ∴⋅=()()2221511532121818c c t c t ⎡⎤+--+-⎢⎥⎣⎦①，3c ≤<1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得：()2max15218c BFCE⋅=+185=-42452924480c c -+=解得：2c =②若1c <2>==，()222max 15121253218182c cBF CE c ⎡⎤-⋅=+-+-⎢⎥⎣⎦ 219436c -518-解得：（舍去）2199c =综上可得：2c =。
天津市部分区2022～2023学年度高一数学第二学期期中练习及参考答案
天津市部分区2022～2023学年度高一数学第二学期期中练习及参考答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟。
第I 卷参考公式:●圆柱的体积公式V=Sh ，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高．●圆锥的体积公式V=31Sh ，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．●棱锥的体积公式V=31Sh ，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高．●球的表面积公式S=4πR 2，其中R 表示球的半径．一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a =(2,2)，b =(1,-1)，则=-b a （）A ．(3,0)B ．(3,1)C ．(1,3)D ．(-1,2)2．已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．12π3．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．若a=1，b=2，c=7，则C=（）A ．120°B ．90°C ．60°D ．45°4．已知点P(2,0)，Q(1,1)，向量EF =(λ,2)，若EF PQ ⋅=0，则实数λ的值为（）A.21B ．21-C ．2D ．15．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．若a=l ，b=2，B=4π，则A=（）A ．6πB ．3πC ．65πD ．6π或65π6．已知向量a =(-1,2)，b =(1,1)，则a 在b 上的投影向量为（）A ．22B ．(-1,2)C ．(22,22)D ．(21,21)7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A 是圆锥的顶点，B,C 分别是圆柱的上､下底面圆的圆心，且AB=1，AC=3，底面圆的半径为1，则该陀螺的体积是（）A ．πB ．2πC ．37πD ．310π8．已知向量a =(m,1)，b =(4,m)，若a 与b =+（）A ．171022++m m B ．5C ．52D ．59．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知△ABC 的面积为S ，2a+b=4，c(a +b -c)(sin A +sin B +sin C)=6S ，CA =3CD -2CB 的最小值为（）A ．2B ．322C ．3D ．332第II 卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．10．i 是虚数单位，复数=+-ii12____________．11．直线l 上所有点都在平面α内，可以用符号表示为____________．12．若A(1,1)，B(2,-1)，C(a,b)三点共线，则2a+b=____________．13．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AD=1，AA 1=3，则异面直线A 1C 1与AD 1所成角的余弦值为____________．14．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知a 2+b 2-c 2=ab ，则C=______________，若c=2，则△ABC 外接圆的半径为____________．15．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，AC AE 31=;则=⋅BE DE ______________；若F 为线段BD 上的动点则FB FE ⋅的最小值为____________．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分11分）已知向量a ，b 满足a =2，b =3，a 与b 的夹角为32π．（I ）求b a +的值；（II ）若()()b a k b a -⊥+2，求实数k 的值．17．（本小题满分12分）如图，三棱锥ABC S -的底面ABC 和侧面SAB 都是边长为2的等边三角形，D,E 分别是AB,AC 的中点，SD ⊥CD ．（I ）证明：BC //平面SDE ；（II ）求三棱锥ABC S -的体积．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知a=3+3，c=6+2，A=32π．（I ）求C 的值；（II ）求b 的值．19．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AD=AA 1=1．（I ）求证：B 1C ⊥BD 1（II ）求直线AB 1与平面ABC 1D 1所成角的正弦值．20．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．向量()b a m ,3=，()B A n cos ,sin =，且n m ∥．（I ）求B 的值；（II ）若a=2，b=7，求△ABC 的面积．参考答案一、选择题：题号123456789答案CDACADCBD二、填空题：10．13i22-11．l α⊂12．313．21014．3π，23315．49-,18-三、解答题：16.（本小题满分11分）解（Ⅰ）2πcos ,6cos 33a b a b a b ⋅=⋅<>==-，…………………………2分22224697a b a a b b ∴+=+⋅+=-+= ，………………………5分a b ∴+=……………………………………6分（Ⅱ）由()()2a b ka b +⊥-得：()()()()2222283290a b ka b k a k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---= ，………10分解得：35k =.……………………11分17.（本小题满分12分）解（Ⅰ）因为,D E 分别是,AB AC 的中点，所以//DE BC ，……………2分因为BC ⊄平面SDE ，…………………………3分DE ⊂平面SDE ，…………………………………4分所以BC //平面SDE ；……………………5分（Ⅱ）因为SAB ∆是等边三角形，D 是AB 的中点，所以SD AB ⊥，…………………………………6分因为SD CD ⊥，,AB CD ⊂平面ABC ，,AB CD D =所以SD ^平面ABC ，…………………………………9分因为底面ABC 和侧面SAB 都是边长为2的等边三角形，所以11221334S ABC ABC V S SD -∆=⨯=⨯⨯⨯=.……………12分18.（本小题满分12分）解（Ⅰ）由正弦定理得：sin sin a cA C=，……………………………1分3sin 2C =+，……………………………2分解得2sin 2C =；…………………………………3分因为23A π=，易知02C π<<，………………………………4分所以4C π=.………………………………5分（Ⅱ）在ABC ∆中，23A π=，4C π=，易知12B π=…………………6分62cos cos(464B ππ=-=……………………………8分由余弦定理得：2222cos a b c ac B =+-，…………………………9分∴((2226222334b ⎛+-⨯⨯⨯= +⎪⎝⎭=+，…………………………………11分解得：b =．…………………………………12分19.（本小题满分12分）解（Ⅰ）在长方体1111ABCD A B C D -中，111D C C C ⊥,1111D C B C ⊥,1111CC B C C = ∴11D C ⊥平面11BCC B ，…………………………………2分∴111B C D C ⊥………………………………3分又11AD AA ==，可得11B C BC ⊥,…………………………4分∴1B C ⊥平面11ABC D .………………………5分 1BD ⊂平面11ABC D ，∴11B C BD ⊥………………………………6分（Ⅱ）记1B C 交1BC 于点O ，连接AO ，由（1）得1B C ⊥平面11ABC D ，所以AO 为斜线1AB 在平面11ABC D 上的射影，1B AO ∠为1AB 与平面11ABC D 所成的角.……………8分在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =,11AD AA ==在1Rt B AO ∆中，1AB =，111222B O BC ==…………10分11110sin 10B O B AO AB ∠==.∴直线1AB 与平面11ABC D 所成角的正弦值为1010.…12分20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为),m b = ，()sin ,cos n A B = ，且m //n ，cos sin 0B b A -=，……………………2分由正弦定理cos sin sin 0A B B A -=，…………4分又sin 0A ≠，从而tan B =，…………………6分因为0B π<<，所以3B π=.……………………7分（Ⅱ）由余弦定理，得2222cos a b c ac B =+-，……………………8分而2a =，b =，3B π=，得2230c c --=，………………10分因为0c >，所以3c =.…………………11分故ABC ∆的面积233sin 21==B ac S .…………13分。
高一数学下学期期中考试试卷含答案
高一第二学期期中考试数学时间：120分钟 满分：100分一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列1，43-，95，167-，...的一个通项公式是 A.a n =1)1(+-n 212n n - B.a n =n )1(-212n n - C.a n =1)1(+-n 212n n + D.a n =n )1(-212n n + 2.在空间中，下列命题中正确的是 A.垂直于同一条直线的两条直线平行 B.没有公共点的两条直线平行 C.平行于同一平面的两个平面平行 D.平行同一平面的两条直线平行3.已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为2π，那么它的体积为 A.315π B.215π C.15π D.4π4.已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题中正确的是A.2a ＜2bB.a 1＞b 1C.a 2c ＜b 2cD.21ab ＜ba 215，在△ABC 中，若a=1，b=23，A=30︒，则B 等于 A.60︒ B.60︒或120︒ C.30︒ D.30︒或150︒6.设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，已知a 2=3，a 6=11，则S 7等于 A.13 B.35 C.49 D.637.若-9，a 1.a 2，-1成等差数列，-9，b 1，b 2，b 3，-1成等比数列，则b 2（a 1+a 2）等于A.-30B.30C.±30D.158.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为 A.30︒ B.45︒ C.60︒ D.90︒9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 A.320 B.8 C.322 D.316 10.已知各顶点都在一个球面上的正四棱形（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16 π B.20π C.24π D.32π11.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得n m a a =4a 1，则m 1+n4的最小值为 A.23 B.35 C.49D.不存在12.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，在将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题①有水的部分始终呈棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ④棱A 1D 1始终与水面所在平面平行⑤当容器倾斜如图3所示时，BE ·BF 是定值 其中正确命题的个数为A.2B.3C.4D.513.已知数列{a n }的前n 项和为S n =1-5+9-13+17-21+...+1)1(--n （4n-3），则S 15+S 22-S 31的值是A.13B.-76C.46D.7614.在△ABC 中，b=asinC,c=acosB,则△ABC 一定是 A.等腰三角形但不是直角三角形 B.直角三角形但不是等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形x+y-6≤015.设x ，y 满足不等式组 2x-y-1≤0，若z=ax+y 的最大值为2a+4，最小值为a+1， 3x-y-2≥0 则实数a 的取值范围为 A.［-1,2］ B.［-2,1］ C.［-3,-2］ D.［-3,1］ 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上。