高等代数知识点归纳

1122,,

0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠??

L

=

=()mn A O A A O A B

O B

O B

B

O A A

A B B O B O

*

=

=*

*=-1

(1)2

1121

21

1211

1

()n n n

n

n n n n n n n a O

a a a a a a a O

a O

---*

==-K N N 1

范德蒙德行列式：

()12222

1211

1112

n i j n

j i n

n n n n

x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L

111

代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij

ij ij M A A M ++=-=-

分块对角阵相乘：11

112222,A B A B A B ????

==

? ????

??11112222A B AB A B ??= ???,1122n

n n A A A ??

= ???

分块矩阵的转置矩阵：T

T

T T

T A B A C C D B

D ??

??= ? ?????

()

1121112

222*

12n T

n ij

n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ?

== ?

???

L

L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 1

1A A --=.

分块对角阵的伴随矩阵：*

*

*A BA B AB ??

??=

? ????

?

1

11A B B

A

---?

???= ?

????? 1

2

3111

1

2

13a a a a a a -???? ? ?

=

? ? ?

? ??

??

?

3

2

1

1

1

112

13a a a a a a -????

?

?

=

? ? ? ? ?????

矩阵的秩的性质：

① ()A O r A ≠?≥1; ()0A O r A =?=;0≤()m n r A ?≤min(,)m n

④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ??+≤?=??=?

若若0的列向量全部是的解

⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B

⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.

⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο??=??

=??=???=?=??????=?=??

? 只有零解

在矩阵乘法中有左消去律

；

若()()()n s r AB r B r B n B ?=?=??

? 在矩阵乘法中有右消去律.

⑧ ()r

r E O E O r A r A A O

O O

O ????

=?

? ?????

若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B +

⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ????==+ ? ?????, ()()A C r r A r B O B ??≠+ ???

①

n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ③

(,)0αβ=. 记为：αβ⊥

④

2

1n

i i a α====∑⑤

1α==. 即长度为1的向量.

内积的性质：① 正定性② 对称性③ 线性性

12n A λλλ=L 1

n

i A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A 特征值与特征向量的求法

(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量.

设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,i n r ξξξ-L 其中()i i r r A E λ=-. 则A 对应于特征值i λ

的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++L 其中12,,,i

n r k k k -L 为任意不全为零的数.

3. ①1

P AP B -= （P 为可逆矩阵

）

②1

P AP B -= （P 为正交矩阵）

③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 7. 矩阵对角化的判定方法

① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1

P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：

1

2

1

n P AP λλλ-??

?

?= ? ??

?

O .

② A 可相似对角化?()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数?A 恰有n 个线性无关的特征向量.

○注：当i

λ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化?i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.

③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值?A 可相似对角化. 正交矩阵 T AA E =

③ 正交阵的行列式等于1或-1； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；

⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.

施密特正交规范化 123,

,ααα线性无关,

11

2122111313233121122(,)

(,)(,)(,)

(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=????=-??

?=-

-??

正交化

单位化：111βηβ= 222β

ηβ= 333

βηβ=

1. ① 二次型 1112112122

22121211

12(,,,)(,,,)n n n n T

n ij i j n i j n n nn n a a a x a a a x f x x x a x x x x x x Ax a a a x ==???? ?

?

? ?=== ? ? ? ? ???

?

?∑∑L L L L L L L L L L

其中A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x =L

② A 与B 合同 T

C AC B =. （,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵）

求C (A I)→(B C^T) 这个变换先进行行变换 再进行一致的列变换 最后 求得C 和C^T

③ 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p - ④ 两个矩阵合同?它们有相同的正负惯性指数?他们的秩与正惯性指数分别相等. ⑤ 两个矩阵合同的充分条件是：A 与B 等价 ⑥ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =

2. 12(,,,)T

n f x x x x Ax =L 经过

合同变换

可逆线性变换

x Cy = 化为21

n

i i f d y =∑标准形.

① 正交变换法

② 配方法

（1）若二次型含有i x 的平方项，则先把含有i x 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行， 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;

（2） 若二次型中不含有平方项，但是0ij a ≠ (i j ≠), 则先作可逆线性变换

()1,2,,,i i j j i j

k

k x y y x y y k n k i j x y

=-??

=+=≠??=?L 且,

3. 正定二次型 12,,,n x x x L 不全为零，12(,,,)n f x x x >L 0.

正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.

4. ()T

f x x Ax =为正定二次型?（之一成立）： （1） x ο?≠ ，T

x Ax >0； （2）A 的特征值全大于0； （3）f 的正惯性指数为n ； （4）A 的所有顺序主子式全大于0；

（5）A 与E 合同，即存在可逆矩阵C 使得T

C AC E =； （6）存在可逆矩阵P ，使得T

A P P =；

(),n

T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆

的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，

0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i

A p p p p n

B AB E AB E

??

???

?????

??

??=????==?? 是初等阵

存在阶矩阵使得 或 ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的??

??

?????特征向量