二面角的平面角的求法
《二面角的平面角求法》课件
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
Байду номын сангаас
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
二面角平面角的几种求法
二面角平面角的几种求法作者：吕秀娟来源：《中国校外教育·基教(中旬)》2014年第03期介绍了二面角，二面角的平面角的定义和二者的关系，三垂线定理及其逆定理，并重点给出了求二面角平面角的六种方法。
立体几何二面角平面角求法空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，在面面关系中，二面角是其中的主要概念之一，它的计算归结为平面角的计算.一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”“定线”或“定面”的问题，在做题时只需分别找“点”“垂线”或“垂面”.事实上，只要找到其中一个，另外两个就会接踵而来，掌握这一点对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。
一、预备知识平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。
（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面）。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角。
二面角的大小就是用它的平面角来度量，二面角的平面角的数值大小就等于二面角的大小。
定理1（三垂线定理）：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
定理2（三垂线定理的逆定理）：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条直线在平面内的射影垂直。
二、二面角平面角的大小的求法1.定义法在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的垂线，如图1所示。
用定义法求二面角的平面角时，首先需要根据二面角的定义把它转化为平面角，然后把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求二面角，其基本的解题步骤为“一作，二证，三求”。
2.垂射线法即垂面法过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面的交线组成的角即为二面角的平面角，如图2所示，∠AOB为二面角的平面角。
求二面角平面角的方法
求二面角平面角的方法
一、二面角平面角的定义
二面角平面角即指由两条平面线段组成的角度，它是由两个平面相交产生的，其值可能为0°（重合）到180°（平行）之间，也就是直角，钝角和锐角。
二、二面角平面角的测量
1.如果要测量二面角平面角，首先要把两条平面线段放到同一个水平面上，这样就可以做出一个直角。
2.然后，由一条水平平面线段和一条垂直平面线段组成的绝对角度，可以用一个水平尺来量出。
3.如果把水平尺顺时针或逆时针移动一定的角度，可以测量出另一条平面线段与水平尺之间的夹角。
4.接下来，可以用一个尺角尺来测量夹角，尺角尺可以用来测量任何角度，用它可以很容易的找到两条平面线段形成的二面角的值。
5.最后，可以用仪器仪表如三角尺等来测量二面角。
在使用三角尺测量夹角时，要尽可能把测量装置稳定地放在水平面上，这样就可以得出准确的结果。
三、二面角平面角的用途
二面角平面角经常用于机械工程设计、建筑学、运算几何以及工业自动化等方面。
其中机械工程设计和建筑学中，常用二面角的测量来进行机械零件和建筑物的强度设计，用于确定链接、螺栓和连接体形等的角度等。
求二面角的平面角的常见解法
四、射影面积法
例4 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD， PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小.
解 如图， ∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AD， 又AD⊥AB， 且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PAB，又BC∥AD， ∴BC⊥平面PAB. ∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB， 设平面PBA与平面PCD所成二面角为θ，
∴AE＝ 22＋42－2×2×4×21＝2 3.
又BE∥l，l⊥平面ACE， ∴BE⊥AE，
∴sin∠ABE＝AAEB＝2103＝
3 5.
反思 感悟
利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面 内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题 时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角.
∴AF＝CF＝ 2，AE＝1，
∴sin∠AFE＝AAEF＝
1＝ 2
22，
∴∠AFE＝45°. ∴二面角α－l－β的平面角为45°.
反思 感悟
如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂 直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三 垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二 面角的平面角.
三、垂面法
例3 如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直 平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角 E－BD－C的大小.
解 ∵SB＝BC且E是SC的中点， ∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE. 又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE， ∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC， ∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC， ∴BD⊥平面SAC. ∵平面SAC∩平面BDE＝DE， 平面SAC∩平面BDC＝DC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC，
完整版)找二面角的平面角的方法汇总
完整版)找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的重要内容，但很多学生在解决二面角问题时往往无从下手，因为他们没有掌握寻找二面角的平面角的方法。
本文将介绍六种寻找二面角平面角的方法。
一、根据平面角的定义找出二面角的平面角。
例如，在60度的二面角α-a-β的两个面内，有点A和B，已知A和B到棱的距离分别为2和4，线段AB为10，求直线AB与棱a所构成的角的正弦值以及直线AB与平面α所构成的角的正弦值。
为解决这道题，需要先找到二面角的平面角，即找到60度角所在的位置。
根据题意，在平面β内作AD垂直于a，在平面α内作BE垂直于α，CD平行于EB，然后连接BC、AC。
可以证明CD垂直于a，因此根据二面角平面角的定义，∠ADC为二面角α-a-β的平面角。
二、根据三垂线定理找出二面角的平面角。
例如，在平面β内有一条直线AC与平面α成30度，AC与棱BD成45度，求平面α与平面β的二面角的大小。
为了寻找二面角的平面角，可以通过点A作AF垂直于BD，AE垂直于平面α，并连接FE。
根据三垂线定理，可以证明BD垂直于EF，因此∠AFE 为二面角的平面角。
需要注意的是，寻找二面角平面角时需要注意“作”、“连”、“证”的顺序。
三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角。
例如，在图1中，已知P为α-CD-β内的一点，PA垂直于α于点A，PB垂直于β于点B，如果∠APB=n度，则需要求二面角α-CD-β的平面角。
由PA垂直于α和PB垂直于β可得CD垂直于平面PAB。
因此，只需要画出平面PAB与平面α、β的交线即可。
可以证明∠AEB为α-CD-β的平面角，且∠AEB=180-n度（如图2）。
需要注意的是，如果通过点A作AE垂直于CD，垂足为E，并连接EB，则还需要证明EB垂直于CD，以及AEBP为平面图形。
由于篇幅限制，本文只介绍了三种寻找二面角平面角的方法，其他三种方法包括作二面角棱的垂线，作二面角的高线，以及利用向量的方法。
二面角公式
高中数学二面角公式是：θ=π-α。
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。
有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。
运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关
平面上的射影，而且它们的面积容易求得。
也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1，n2的坐标求出来。
然后根据n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα，θ=α为两平面的夹角。
这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α。
二面角的通常求法：
1、由定义作出二面角的平面角；
2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；
3、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；
4、空间坐标求二面角的大小。
利用空间向量求二面角的平面角
利用空间向量求二面角的平面角1.二面角的概念：二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--.2．二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角3、二面角的大小（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直4、用法向量求二面角5、面面角的求法（1）法向量法：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角（2）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。
D CβαBA O m 2m 1n 2n 1DCβαl如图所示，分别在二面角α－l －β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量1n ⊥l ，2n ⊥l ，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。
如图，设1m ⊥α，2m ⊥β，则角<12,m m >与该二面角相等或互补。
cos cos ,AB CD AB CD AB CDθ⋅==⋅小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角:二.求二面角的平面角:例1：在正方体AC1中，求二面角D1—AC —D 的大小？例2：如图，三棱锥P-ABC 中，面PBC ⊥面ABC ，⊿PBC 是边长为a 的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC 。
（1）求证： PB ⊥AC （2）二面角C-PA-M 的大小 。
cos cos ,AB CDAB CD AB CD θ⋅==⋅1A例1：在棱长为1的正方体1AC 中，求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角正弦值大小.解：过1C 作1C O BD ⊥于点O ， ∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：36sin 1=∠COC ，所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成 二面角1C BD C --的平面角的正弦值大小为36 例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角 解：过D 作BC DF ⊥于F ，过D 作AC DE ⊥于E ，连结EF ，则AC 垂直于平面DEF ， FED ∠为二面角B AC D --的平面角， 又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ， ∴DF EF ⊥又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，设BD a =，则2AB BC a ==，在RtBCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴DF =同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin 5DF FED DE ∠===， 所以，二面角B AC D --．AB C DEF通过观察探究利用法向量解决： 例1：解：建立空间直角坐标系得：)1,1,0(1=DC ，)0,1,1(=DB ，)0,1,0(=DC设平面1C BD 的法向量),,(1111z y x n =，平面CBD 的法向量),,(2222z y x n =，可得)1,1,1(1-=n ，)1,0,0(2=n ，33cos 21=n n ，即二面角的平面角36sin =θ 例2:解:建立空间直角坐标系得： )2,21,23(),2,0,0(),2,2,0(-==-=AD BA AC 设平面BAC 的法向量),,(1111z y x n =，平面DAC 的法向量),,(2222z y x n =得：)1,0,0(1=n ，)33,33,1(2=n ，515cos 21=n n 所以，二面角B AC D --10．。
二面角的求法---三垂线法
”三垂线法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：如图1，在二面角α—l一β中，过平面α内一点A作AO⊥平面β，垂足为O，过点O作OB⊥l于B(过A点作AB⊥于B)，连结AB(或OB)，由三垂线定理(或逆定理)知AB⊥l(或OB⊥l)，则∠ABO为二面角。
α—l—β的平面角．作图过程中，作出了两条垂线AO与OB(或AB)，后连结AB两点(或OB两点)，这一过程可简记为“两垂一连，其中AO为“第一垂线．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：1．善于利用图中已有的“第一垂线”例1已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．(1)求证：BC⊥平面AA1CC1；(2)求二面角B一AA1—C的大小．-可编辑修改-的平面角．设 AC ＝BC ＝ ，正△a AA 1C 的边长为 a ，所以 CN =3a ，在 Rt△” ” 剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了 BC 就是我们要寻求的“第一垂线．略解 2 A 1A 与底面 AB 成的角为 60°，所以∠A 1AC ＝60°，又 M 是 AC中点，所以 △AA 1C 是正三角形，作 CN ⊥AA 1 于 N ，点 N 为 A 1A 的中点，连结 BN ，由 BC ⊥平面 AA 1CC 1，BN ⊥AA 1，则∠BNC 为二面角 B 一 AA 1 一 C2BNC 中，tan∠BNC = BC = a = 2 3 ，即∠BNC = arctan 2 3 .NCa 3 332例 2如图 3，在底面是直角梯形的四棱锥 S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面 ABCD ，SA =AB =BC ＝1，AD ＝ 12(1)求四棱锥 S —ABCD 的体积；(2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值．剖析：由 SA ⊥面 ABCD 及∠ABC =90°，不难发现，BC 即为“第一垂线，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．略解 2 延长 BA 、CD 相交于点 E ，连结 SE ，则 SE 是所求二面角的棱，因为 AD ∥BC ，BC =2AD ，所以 EA =AB =SA ，所以 SE ⊥SB ，因为 SA ⊥面 ABCD ，得面 SEB ⊥面 EBC ，EB 是交线，又 BC ⊥EB ，所以 BC ⊥面 SEB ，故 SB 是CS 在面 SEB 上的射影，所以 CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角，因为 SB = SA 2+ AB 2= 2 ，BC =1，BC ⊥SB ，因为 tan∠BSC = = BC = 2，即所SB2求二面角的正切值为 2 ．2-可编辑修改-例3如图4，正三棱柱ABC—A1B1C1的底边长为a，侧棱长为2a，DF⊥面A1AB1，即DF为我们要作的“第一垂线．因为D是A1C1中点，A1B1＝a，所以B1F=3a，DF=3a，在Rt△DFG，可2．借助第三个平面，作“第一垂线”2若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面一边A1C1于点D．(1)确定点D的位置，并证明你的结论；(2)求二面角A1—AB1—D的大小．剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D是A1C1中点．二面角A1—AB1一D的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A1B1C1过点D且与平面A1AB1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D作DF⊥A1B1，由面面垂直的性质知，”略解2在平面A1B1C1内，作CF⊥A1B1于F，连DC，由三垂线定理可证AB1⊥DG，∠DGF就是二面角A1—AB1一D的平面角，在正△A1B1C1中，44求得∠DCF=45°．3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”-可编辑修改-例4已知：△Rt ABC的斜边BC在平面α内，AB、AC分别与平面。
二面角的平面角的求法
★二面角的平面角的求法：⒈定义法：在二面角的棱上找一点（特殊点），在两个半平面内分别作垂直与棱的射线。
如图，在二面角βα--a 的棱a 上任取一点O ，在平面α内过点O 作a OA ⊥，在平面β内过点O 作a BO ⊥，则AOB ∠为二面角βα--a 的平面角。
⒉垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角。
如图，已知二面角-αβ-l ，过棱上一点O 作一平面γ，使l γ⊥，.,OB OA =⋂=⋂βγβγ OB l OA l OB OA ⊥⊥⊆⊆,,,γγ ∴ AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。
⒊垂线法：※ 该法也就是利用三垂线定理或逆定理来寻找二面角的平面角，是最常用的一种方法。
由一个半平面内异与棱上的点A 向另一个半平面作垂线，垂足为B ，由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为O ，连结AO ，则AOB ∠为二面角的平面角。
如图，已知二面角βα--l ，自平面α内一点A 作AB β⊥于B ，由点B 作BO l ⊥于O ，连结AOAO 为平面β的斜线，BO 为AO 在平面β内的射影∴ AO ,l ⊥∴ AOB ∠为二面角l -α-β的平面角。
⒋射影法： 被投影面投影面S S =θcos⒌向量法：（1）⑴AB,CD 分别是二面角βα--l 的两个面内与棱AC 垂直的异面直线，则二面角的大小为CD AB ||||CD AB .[（2）平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，<n 1，n 2>＝θ，则二面角α－l －β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|. ★★利用二面角的两个面的法向量求解※ 法向量的夹角与二面角的大小相等或互补①当法向量21n n 与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量夹角②当法向量1n 与2n 方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量夹角的补角，1．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．1202.如图，四棱锥S ABCD 的底面是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，SB ＝3，求平面ASD 与平面BSC 所成二面角的大小．3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF.(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．4.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1-ED-F的正弦值．5.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为22a，D是棱A1C1的中点．(1)求证：BC1∥平面AB1D；(2)求二面角A1－AB1－D的大小；6．(12分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a.(1)求a的值；(2)求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．7.．如图，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝22，CF∥AF，AC⊥CE，ME→＝2FM→，(1)求证：CM ∥平面BDF ；(2)求异面直线CM 与FD 所成角的余弦值的大小；(3)求二面角A －DF －B 的大小．8. (2010·湖北)如图所示，在四面体A －BOC 中，OC ⊥OA ，OC⊥OB ，∠AOB ＝120°，且OA ＝OB ＝OC ＝1.(1)设P 为AC 的中点，证明：在AB 上存在一点Q ，使PQ ⊥OA ，并计算AB AQ 的值；(2)求二面角O AC B 的平面角的余弦值．9．(14分)已知四棱锥S ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)当SA AB 的值为多少时，二面角B SC D 的大小为120°.。
二面角及其求法总结
二面角及其求法总结一、二面角及其平面角的概念 二面角：二面角的平面角：二、作二面角的常用方法 ①定义法②三垂线定理法 ③垂面法三、射影面积法设θ为所求二面角的大小， S 为二面角的一个面内的平面图形的面积， S'为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则'cos S Sq = α βια-ι-βABOβαlgια βα β ι α βι四、平面法向量法练 习：(1)如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上任一点，则二面角P-BC-A 的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.∠APCD.都不是(2)在正方体ABCD-A 'B 'C 'D '中，求作二面角B-B 'C-A 的平面角. (3)在正四面体ABCD 中，求作二面角A-BC-D 的平面角.ABCPB A CD B A C D A 'AB 'C'C D 'D B经典例题:如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，PA=AC=1，BC=2.求（1）二面角A-PC-B 的大小；（2）求二面角A-PB-C 的大小.思路1：思路2：思路3：思路4： P B A C PBACPBAC练习：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是A 1B 1，BC ，C 1D 1，B 1C 1的中点，求二面角M-EF-N 的大小.五、二面角大小求法总结：１、通过求平面角；２、向量法；３、射影面积法. 六、课后巩固1、四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥面ABCD,PD=AD.求面PAD 和面PBC 所成二面角的大小.2、如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1=2AB=4，点E 在CC 1上且C 1E=3EC 。
（Ⅰ）证明：A 1C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角A 1-DE-B 的大小．MA C 1B 1A 1N FE D CB D 1 PADBCA 1 D 1 C 1B 1 ABCE D。
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★二面角的平面角的求法：
⒈定义法：在二面角的棱上找一点（特殊点），在两个半平面内分别作垂直与棱的射线。
如图，在二面角βα--a 的棱a 上任取一点O ，在平面α内过点O 作a OA ⊥，在平面β内过点O 作a BO ⊥，则AOB ∠为二面角βα--a 的平面角。
⒉垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角。
如图，已知二面角-αβ-l ，过棱上一点O 作一平面γ，使l γ⊥，.,OB OA =⋂=⋂βγβγ
OB l OA l OB OA ⊥⊥⊆⊆,,,γγ ∴ AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。
⒊垂线法：※ 该法也就是利用三垂线定理或逆定理来寻找二面角的平面角，是最常用的一种方法。
由一个半平
面内异与棱上的点A 向另一个半平面作垂线，垂足为B ，由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为O ，连结AO ，则A
O B ∠为二面角的平面角。
如图，已知二面角βα--l ，自平面α内一点A 作AB β⊥于B ，由点B 作BO l ⊥于O ，连结AO
AO 为平面β的斜线，BO 为AO 在平面β内的射影
∴ AO ,l ⊥∴ AOB ∠为二面角l -α-β的平面角。
⒋射影法： 被投影面投影面
S S =θcos
⒌向量法：（1）⑴AB,CD 分别是二面角βα--l 的两个面内与棱AC 垂直的异面直线，则二面角的大小为
||||CD AB .[
（2）平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，<n 1，n 2>＝θ，则二面角α－l －β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|
. ★★利用二面角的两个面的法向量求解※ 法向量的夹角与二面角的大小相等或互补①当法向量21n n 与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量夹角②当法向量1n 与2n 方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量夹角的补角，
1．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，
AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )
A ．150°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
2.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，
SB ＝3，求平面ASD 与平面BSC 所成二面角的大小．
3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥
平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的
中点．
(1)证明：PC ⊥平面BEF .
(2)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小．
4.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE ，AB ∶AD ∶AA 1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值；
(2)证明AF ⊥平面A 1ED ；
(3)求二面角A 1-ED -F 的正弦值．
5.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为a ，侧棱长为
22
a ，D 是棱A 1C 1的中点． (1)求证：BC 1∥平面AB 1D ；
(2)求二面角A 1－AB 1－D 的大小；
6．(12分)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°且异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角等于60°，
设AA 1＝a .
(1)求a 的值；
(2)求平面A 1BC 1与平面B 1BC 1所成的锐二面角的大小．
7.．如图，已知正方形ABCD 和梯形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝22，
CF ∥AF ，AC ⊥CE ，ME →＝2FM →，
(1)求证：CM ∥平面BDF ；
(2)求异面直线CM 与FD 所成角的余弦值的大小；
(3)求二面角A －DF －B 的大小．
8. (2010·湖北)如图所示，在四面体A －BOC 中，OC ⊥OA ，OC
⊥OB ，∠AOB ＝120°，且OA ＝OB ＝OC ＝1.
(1)设P 为AC 的中点，证明：在AB 上存在一点Q ，使PQ ⊥OA ，
并计算AB AQ
的值； (2)求二面角O -AC -B 的平面角的余弦值．
9．(14分)已知四棱锥S -ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点．
(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；
(2)当
SA AB
的值为多少时，二面角B -SC -D 的大小为120°.。