第二章平面向量小结复习课 提纲+例题 (共两课时)上课使用【推荐】
2020学年高中数学第2章平面向量章末复习课讲义苏教版必修4(2021-2022学年)
第2章平面向量向量的线性运算如图所示,在△AＢC中，点Ｍ为AB的中点,且错误!＝错误!错误!，错误!与错误!未定义书签。
相交于点E,设错误!未定义书签。
=a，错误!＝b，试以a,ｂ为基底表示错误!未定义书签。
思路点拨:先由Ｃ，E,M三点共线⇒错误!未定义书签。
＝μ错误!未定义书签。
＋（1-μ）错误!，由B,E,Ｎ三点共线⇒错误!未定义书签。
=λ错误!+（1-λ）错误!，再由错误!，错误!未定义书签。
不共线求λ，μ的值.［解]∵错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
b，错误!＝错误!错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
a，由Ｎ,E，Ｂ三点共线知存在实数λ满足错误!未定义书签。
=λ错误!+（1－λ)错误!＝错误!λb+(1-λ）a。
由C，E,M三点共线知存在实数μ满足错误!未定义书签。
＝μ错误!未定义书签。
＋(1-μ)错误!未定义书签。
＝错误!ａ＋(１-μ)b．∴错误!解得错误!∴错误!=错误!未定义书签。
a＋错误!未定义书签。
ｂ。
向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.1.经过△OAB重心G的直线与ＯA,ＯB分别交于点P,Ｑ,设错误!未定义书签。
＝ｍ错误!，错误!未定义书签。
=n错误!未定义书签。
,ｍ，n∈R,求错误!+错误!未定义书签。
的值．[解］设错误!＝a，错误!未定义书签。
=b,则错误!未定义书签。
＝错误!（a+b），错误!未定义书签。
=错误!－错误!＝ｎb-m a,错误!＝错误!－错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
(a＋b）-m a=错误!a+错误!ｂ.由Ｐ，Ｇ,Q共线得,存在实数λ使得错误!未定义书签。
=λ错误!,即n b－ｍa=λ错误!未定义书签。
a＋错误!λｂ,则错误!未定义书签。
消去λ,得错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
＝3。
向量的数量积运算设向量错误!未定义书签。
平面向量综合提纲02
第1页
用思考历练自己
用智慧塑造人生
第2页
知识链接
解题方法点拨： 1.用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形 的性质和特点，应用向量的运算性质、法则，推出所要求证的结论．要注意挖掘题目中，特别 是几何图形中的隐含条件． 2．平面向量与三角函数整合的题目，大多数本质仍是三角函数问题，只是同时兼顾平面 向量的“共线”“数量积”等基本概念与基本运算，解题时依据向量的有关概念与运算去掉向 、 量外衣后，就是纯粹三角问题了． 3．平面向量与解析几何整合的题目，注意将题目中的条件和要解决的问题，通过“点” 加以向量化，然后运用向量的运算来解决． 一、自主探究（独立思考，结合以上知识，快速完成以下典型问题） 【例 1】已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，且
重点难点
重点：向量的坐标运算及数形结合的思想； 难点：向量在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用. 二、合作探究（小组合作，针对有疑惑的问题共同研究，争取得出一致结论。 ） 【例 4】已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量，设 a = ( x 3)i yj , b = ( x 3)i yj , 且满足| a |+| b |=4. (1) 求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程. (2) 如果过点 Q(0，m)且方向向量为 c =(1,1) 的直线 l 与点 P 的轨迹交于 A，B 两点，当 AOB 的面积取到最大值时，求 m 的值。
平面向量小结与复习PPT优选课件
x x1 x2
2020/10/18
2
y y1 y2 2
8
重要定理、公式（四）
❖ 正弦定理
a b c . sinA sinB sinC
❖ 余弦定理
a2 b2 c2 2bccosA,
b2 c2 a2 2accosB,
c2 a2 b2 2abcosA.
2020/10/18
9
常见问题
➢ 向量具有大小和方向两个要素。 ➢ 共线向量与平面向量的两条基本定理。 ➢ 向量的数量积是一个数。 ➢ 根据向量的数量积，计算向量的长度、平面
如果点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P'(x',y')，则
x'xh, y' yk.
2020/10/18
7
重要定理、公式（三）
线段的定比分点坐标公式
设P(x,y), P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P=λPP2则
中点坐标公式
x x1 x 2 , 1
y y1 y2 . 1
❖ 两个向量平行的充要条件
当b0时， a∥ba=λb
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a∥bx1y2-x2y1=0
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6
重要定理、公式（二）
❖ 两个非零向量垂直的充要条件
ab a b=0 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
ab x1x2+y1y2=0
❖ 平移公式
内两点间的距离、两个向量的夹角等。 ➢ 数量积不满足结合率。
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10
例题
已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时，ka+b与a-3b平 行？平行时它们是同向还是反向？
高中数学第二章平面向量章末复习课课件北师大版必修
D.与菱形的边长有关
解析 如图，设对角线 AC 与 BD 交于点 O，∴A→B＝A→O＋O→B.
∴C→A·A→B＝C→A·(A→O＋O→B) ＝－2＋0＝－2.
12345
解析 答案
2.设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，|A→D|＝4.若点 M，N 满足B→M＝3M→C， D→N＝2N→C，则A→M·N→M等于
解答
类型三 向量坐标法在平面几何中的应用 例 3 已 知 在 等 腰 △ABC 中 ， BB′ ， CC′ 是 两 腰 上 的 中 线 ， 且 BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.
解答
反思与感悟
把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标， 这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方 法具有普遍性.
∴m＝ 3.
12345
解析 答案
4.若向量 O→A ＝(1，－3)，| O→A |＝|O→B|，O→A·O→B＝0，则|A→B|＝_2__5__. 解析 由题意可知，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形， 且腰长|O→A|＝|O→B|＝ 10，由勾股定理得|A→B|＝ 20＝2 5.
12345
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22 .
跟踪训练2 已知向量 O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)，O→C＝(5－m，－(3＋m)).
(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
解 若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
∵O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)， O→C＝(5－m，－(3＋m))， ∴A→B＝(3，1)，B→C＝(－m－1，－m).
最新29-第二章平面向量小结与复习(2)汇总
29-第二章平面向量小结与复习(2)第二章平面向量章末复习（第2课时）教学目标重点：平面向量数量积的定义及其坐标表示；数量积的几何意义、向量法在平面几何中的应用．难点：用向量法解决平面几何问题时，如何建立平面几何与平面向量之间的联系．能力点：在运用向量方法解决平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题过程中，进一步发展学生的运算能力和解决实际问题的能力．教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构．自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻．易错点：(1)忽视两向量垂直的概念是针对两非零向量的而致错；(2)对两向量夹角的定义理解不清致错；(3)把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上而致错；(4)混淆点的坐标与向量的坐标致错．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法．2．教具：投影仪．一、【知识结构】二、【知识梳理】1．平面向量的数量积(1)数量积的定义已知两个非零向量«Skip Record If...»与«Skip Record If...»，我们把数量«Skip Record If...»叫做«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的数量积(inner product)（或内积），记作«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的夹角．(2)数量积的几何意义数量积«Skip Record If...»等于«Skip Record If...»的长度«Skip Record If...»与«Skip Record If...»在«Skip Record If...»方向上的投影«Skip Record If...»的乘积，或等于«Skip Record If...»的长度«Skip Record If...»与«Skip Record If...»在«Skip Record If...»方向上的投影«Skip Record If...»的乘积．(3)数量积的性质①«Skip Record If...»．②当«Skip Record If...»与«Skip Record If...»同向时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»与«Skip Record If...»反向时，«Skip Record If...»；特别地，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»．通常«Skip Record If...»记作«Skip Record If...»．③«Skip Record If...»(4)数量积的运算律已知向量«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»和实数«Skip Record If...»，则：①«Skip Record If...»；②«Skip Record If...»；③«Skip Record If...»．(5)数量积的坐标表示已知两个非零向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．由此可得：①«Skip Record If...»或«Skip Record If...»；②«Skip Record If...»；③设«Skip Record If...»为«Skip Record If...»、«Skip Record If...»的夹角，则«Skip Record If...»．2．平面几何中的向量方法用向量法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．在上述步骤中，把平面几何问题转化为向量问题是解决问题的关键一步，转化方法大致有两种思路：第一，选取恰当的基向量；第二，建立坐标系．3．向量法在物理中的应用向量有丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的数量积的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解决一些物理问题．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获的结果解释物理现象．用向量法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型．三、【范例导航】例1（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足 «Skip【分析】由题意可知«Skip Record If...»，根据«Skip Record If...»，解方程可以求得«Skip Record If...»的值.【解答】如图，设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»得，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»所以«Skip Record If...».【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题.变式训练1(2011·江苏卷10)已知«Skip Record If...»是夹角为«Skip Record If...»的两个单位向量，«Skip Record If...»若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值为．答案：«Skip Record If...»解析：«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...».例2(2012·江苏9)如图，在矩形«Skip Record If...»中，«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»，点«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的中点，点«Skip Record If...»在边«Skip Record If...»上，若«Skip RecordIf...»，则«Skip Record If...»的值是．【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量的数量积等于0，得到结果.【解答】因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以«Skip Record If...».【点评】本题主要考查平面向量的数量积的运算.解题的关键是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.变式训练2(2012·湖南文15)如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，«Skip Record If...»且«Skip RecordIf...»= ．答案：18解析：设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，所以，«Skip Record If...»例3.证明：对于任意的«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，恒有不等式«Skip Record If...»．【分析】此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量【解答】设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»所以«Skip Record If...».【点评】此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论这一技巧应要求学生注意体会变式训练3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，试用«Skip Record If...»、«Skip RecordIf...»两点的坐标表示«Skip Record If...»的余弦值.答案：«Skip Record If...»解析：因为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»那么，«Skip Record If...».四、【解法小结】1．准确把握平面向量数量积的重要性质：设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»(1)«Skip Record If...»，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算；(2)«Skip Record If...»与«Skip Record If...»可用来求向量的模，以实现实数运算向向量运算的相互转化．(3)«Skip Record If...»不仅可以用来直接计算两向量«Skip Record If...»、«Skip Record If...»的夹角，也可用来求直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围．2．向量解决几何问题就是把点、线、平面等几何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果 翻译成关于点、线、平面的相应结果，可以简单表述为“形到向量«Skip Record If...»向量的运算«Skip Record If...»数到形”. 3．明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识：(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量«Skip Record If...»是数乘向量；(3)功即是力«Skip Record If...»与所产生的位移«Skip Record If...»的数量积. 五、【布置作业】 必做题：1．（2012·辽宁卷）已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a|＝|b|D ．a ＋b ＝a －b2．（2012·上海卷） 在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN→的取值范围是________．3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为__ __.DE →·DC→的最大值为________．4．在边长为1的正三角形«Skip Record If...»中，则«Skip Record If...»________．.必做题答案：1．因为||a ＋b ＝||a －b ⇔()a ＋b 2＝()a －b 2⇔a ·b ＝0，所以a ⊥b ，答案选B.点评：本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．2．令BM →＝nBC →(0≤n ≤1)，则DN →＝(1－n )DC →，在平行四边形ABCD 中，AM →＝AB →＋nAD →，AN →＝AD →＋(1－n )AB →，所以AM →·AN →＝(AB →＋nAD →)·[AD →＋(1－n )AB →]＝－n 2－2n ＋5，而函数f (n )＝－n 2－2n ＋5在[0,1]上是单调递减的，其值域为[2,5]，所以AM →·AN →的取值范围是[2,5]． 3．以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，可知E (x,1)，0≤x ≤1，所以DE →＝(x,1)，CB →＝(0,1)，可得DE →·CB →＝x ×0＋1×1＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →·DC →)max ＝1.4．«Skip Record If...»=«Skip Record If...»点评：利用数量积的定义求解时，务必要注意两向量夹角的大小.两向量夹角的定义前提是两向量的起点要重合，对于本题要特别注意：向量«Skip Record If...»的夹角不是«Skip Record If...»，而是«Skip Record If...».选做题：1．已知向量«Skip Record If...»是以点A (3，－1)为起点，且与向量«Skip Record If...»＝（－3，4）垂直的单位向量，求«Skip Record If...»的终点坐标.2．如图，在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»交于«Skip Record If...»，证明：«Skip Record If...». 选做题答案：1.设«Skip Record If...»的终点坐标为«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»,由题意«Skip Record If...»由①得：ｎ＝«Skip Record If...»（3ｍ－13）代入②得25ｍ2－15O ｍ＋2O9＝O 解得«Skip Record If...» ∴«Skip Record If...»的终点坐标是（«Skip Record If...»点评：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联①2.本题选自《学生自主学习丛书·数学》P122，例2.六、【教后反思】1．本教案的亮点是：(1)用结构图呈现本章知识，直观简明；(2)知识梳理部分十分详实且分类明晰；(3)例题具有典型性且解法总结到位，变式练习有效，讲练结合教学效果明显；(4)在作业的布置上，选择了部分高考题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用．2．本教案的弱项是：(1)有关平面向量数量积的应用涉及题目较少，如夹角的计算、模的计算等；(2)向量法在物理中的应用没有涉及到，有待于进一步补充．。
第二章平面向量小结复习课
a
C 一定满足（ ）
r r rr
rr r r r r r
A、b c, B、b • c 0, C、（b+c）(b c),D、b c 0
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9
五.典例讲解 考查向量共线、垂直
uuur r
uuur r
uuur
例1.已知AB=a=(1,2),BC=b=(-3,2),CD=(6,4)
(2) a b a b ,则四边形是什么图形?
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4
二.基本运算
2.数乘运算：实数与向量的积 a 仍是向量
a是一个与a共线的向量
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5
二.基本运算
rr 3.两个非零向量 a与b 的数量积
1、平面非零向量数量积的定义：a b | a | | b | cos
uuur
例2、平面内有向量OA (1, 7),OB (5,1),OP (2,1)
点Q为直线OP上一动点
uuur uuur 1）求QA • QB取最小值时，点Q的坐标
Q（4，2）
2）当点Q满足1）的条件时求cosAQB的值
4 17 17
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11
五.典例讲解 向量与三角函数综合题
a b x1x2 y1 y2
2、数量积是一个数，它的正负取决于夹角的余弦值
3、零向量与任何向量的数量积为零
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6
二r.基本运算 r
若a r
( r
x1,
y1 ),
b
(
x2
,
y2
),
则
1)a b (x1 x2 , y1 y2 ) rr
高中数学《平面向量》复习小结
例 9.已知向量 a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中 a 为实数，O 为原 点 ， 当 此 两 向 量 夹 角 在 0，1π2 变 动 时 ， a 的 范 围 是
() A．(0,1) C. 33，1∪(1， 3)
B. 33， 3 D．(1， 3)
解析 已知O→A＝(1,1)，即A(1,1)，如图
答案 D
例 4.如图，在重 300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧， 与铅垂线的夹角分别为 30°、60°，当整个系统处于平衡状态时， 求两根绳子的拉力．
解 如图，在▱OACB 中，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°， 则在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC＝60°
→→
→
∠OAC＝90°，设向量OA、OB分别表示两根绳子的拉力，则CO表示物体的重力，
＝A→M＋λM→N＝A→M＋λ(A→N－A→M)＝(1－λ)A→M＋λA→N＝1－m λa＋nλb.
根据平面向量基本定理n1λ－＝m λ12＝12
答案 2
消去 λ 整理得 m＋n＝2.
例 6.如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的
直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，
答案 2
消去 λ 整理得 m＋n＝2.
例 7．（1）已知向量 a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则 b 可能是( )． A．(4,8) B．(8,4) C．(－4，－8) D．(－4,8)
（2）设 a＝( 3 ， 1 )，b＝(cosα， 3 ) (0, ) ，且 a b，则 α＝_______
所示，当点B位于B1和B2时，a与b夹角为 1π2，即∠AOB1＝∠AOB2＝1π2，此时， ∠B1Ox＝π4－1π2＝π6，∠B2Ox＝π4＋1π2＝π3， 故B11， 33，B2(1， 3)，又a与b夹角不为零， 故a≠1，由图易知a的范围是 33，1∪(1， 3)．
高中数学必修4第二章平面向量小结复习课ppt课件
(3)证明两直线平行的问题:
A
AB CD AB // CD
B与CD不在同一直线上
直线A
B
//
直线CD 7
平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e，e 叫做表示这一平面内 12
第二章 平面向量复习课
1
一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B
1)图形表示 A
r uuur有向线段AB
2)字母表示 a AB r uuur
3)坐标表示
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
a xi y j (x, y)
r uuur
a OA (x, y) 点A(x, y)
r uuuur
的夹角为钝角(k a 2b)（ 2a 4b） 0且k 1,
即14(k 6) 4(2k 4) 0且k 1k 50 且k 1
3
13
已知a 1,sin ,b 1, cos , R.
1若a b 2,0,求sin 2 2sin cos的值;
2若a b 0, 1 , ,2 ,求sin cos的值
所有向量的一组基底.
8
平面向量数量积
ar
•
r b
ar
•
r b
• cos
B
b
O
a B1 A
作OA a，OB b ，过点B作BB1
垂直于直线OA，垂足为 B1 ，则 OB1 | b | cosθ
| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影．
高中数学第2章平面向量章末复习课教案含解析新人教B版必修4
第2章平面向量(教师用书独具)注意大小、方向两个方面．2．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．3．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等． 【例1】 如图，在△ABC 中，点M 是AB 边的中点，E 是中线CM 的中点，AE 的延长线交BC 于F .MH ∥AF 交BC 于H .求证：HF →＝BH →＝FC →.[思路探究] 选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出HF →、BH →与FC →即可证得． [证明] 设BM →＝a ，MH →＝b ， 则BH →＝a ＋b ， HF →＝HB →＋BA →＋AF → ＝－BH →＋2BM →＋2MH → ＝－a －b ＋2a ＋2b ＝a ＋b ，FC →＝FE →＋EC →＝12HM →＋ME →＝－12MH →＋MA →＋AE →＝－12b ＋BM →＋AF →－EF →＝－12b ＋a ＋2MH →－12MH →＝－12b ＋a ＋2b －12b ＝a ＋b .综上，得HF →＝BH →＝FC →.1.如图，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC 上，且BN＝13BC ，求证：M ，N ，D 三点共线． [证明] 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BC →＝AD →＝e 2， ∵BN →＝13BC →＝13e 2，BM →＝12AB →＝12e 1，∴MN →＝BN →－BM →＝13e 2－12e 1，又∵MD →＝AD →－AM →＝e 2－32e 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13e 2－12e 1＝3MN →，∴向量MN →与MD →共线，又M 是公共点，故M ，N ，D 三点共线.根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零．平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度．【例2】 非零向量a ，b 满足(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求a ，b 的夹角的余弦值．[思路探究]由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )列出方程组→求出|a |2，|b |2，a ·b 的关系→利用夹角公式可求[解] 由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，得⎩⎪⎨⎪⎧2|a |2－|b |2＋a ·b ＝0，2|a |2－2|b |2－3a ·b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＝－52a ·b ，|b |2＝－4a ·b ，所以|a ||b |＝－10a ·b ，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1010.2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________. 18 [∵AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC →＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →) ＝AP →·BD →＋2AP →·AB →， ∵AP ⊥BD ，∴AP →·BD →＝0.∵AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos∠BAP ＝|AP →|2， ∴AP →·AC →＝2|AP →|2＝2×9＝18.]化为代数运算，实现数与形的统一．2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题．【例3】 已知向量AB →＝(4,3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 与λ的值． [思路探究] (1)先求B ，D 点的坐标，再求M 点坐标； (2)由向量相等转化为y 与λ的方程求解． [解] (1)设点B 的坐标为(x 1，y 1)．∵AB →＝(4,3)，A (－1，－2)，∴(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，∴B (3,1)．同理可得D (－4，－3)． 设线段BD 的中点M 的坐标为(x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.(2)由已知得PB →＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )， BD →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．又PB →＝λBD →，∴(1,1－y )＝λ(－7，－4)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.3．已知△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，BC 边上的高为AD ，求AD →. [解] 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BD →＝(x －3，y －2)，BC →＝(－6，－3)，∵AD →⊥BC →，∴AD →·BC →＝0， 则有－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，①∵BD →∥BC →，则有－3(x －3)＋6(y －2)＝0，② 解由①②构成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则D 点坐标为(1,1)，所以AD →＝(－1,2).运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程． 3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．【例4】 已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .[证明] 如图建立直角坐标系，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝OE →－OB →＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， CF →＝OF →－OC →＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2. 同理由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2. 解得x ＝65，∴y ＝85，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. ∴AP →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝4＝AB →2，∴|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .4．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．[解] (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)， ∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴AB →⊥AD →，AB →＝DC →. 设C 点的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ， 则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.合思想．向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起．运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题．【例5】 如图所示，以△ABC 的两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点，求证：AM ⊥EF .[思路探究] 要证AM ⊥EF ，只需证明AM →·EF →＝0.先将AM →用AB →，AC →表示，将EF →用AE →，AF →表示，然后通过向量运算得出AM →·EF →＝0.[证明] 因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，又EF →＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →)＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0)＝12(AC →·AF →－AB →·AE →) ＝12[|AC →||AB →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AC →|cos(90°＋∠BAC )]＝0， 所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF .5．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c |的最大值为( ) A.2－1 B. 2 C.2＋1D.2＋2C [∵|a|＝|b |＝1，且a·b ＝0，∴可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )． ∴c －a －b ＝(x －1，y －1)． ∵|c －a －b|＝1， ∴(x －1)2＋(y －1)2＝1， 即(x －1)2＋(y －1)2＝1. 又|c |＝x 2＋y 2，如图所示．由图可知，当c 对应的点(x ，y )在点C 处时，|c |有最大值且|c |max ＝12＋12＋1＝2＋1.]。
高中数学 第二章 平面向量复习课 新人教A版必修优秀PPT优质文档
四、典型题归纳： （一）向量的基本概念和运算律
（二）向量的坐标运算
（三）向量与函数的交汇
（四）平面向量与三角的交汇
（五）平面向量的判断题
平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 （五）平面向量的判断题 平面向量的有关概念：相等向量 相反向量 平行向量 共线向量 （三）向量与函数的交汇 平面向量的有关概念：相等向量 相反向量 平行向量 共线向量 （三）向量与函数的交汇 平面向量的运算：加法 减法 数乘 数量积 平面向量的运算：加法 减法 数乘 数量积 高中数学 第二章 平面向量复习课课件 新人教A版必修 （一）向量的基本概念和运算律 平面向量与三角、物理等知识的融合 平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 （一）向量的基本概念和运算律 （五）平面向量的判断题 平面向量基本定理与共线向量定理 （五）平面向量的判断题 （四）平面向量与三角的交汇
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• 复习参考题：A组2 平面向量复习课 课件 新人教A版必修
第四章 平面向量复习
(二) 要点概述 1.平面向量的有关概念：相等向量 相反向量 平行向量 共线向量 2.平面向量的运算：加法 减法 数乘 数量积 3.平面向量基本定理与共线向量定理 4.平面向量的坐标运算 5.平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 6.平面向量与三角、物理等知识的融合
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C
AB DC; AD BC
b
A
AC a b;
a
2
B
DB a b
2 2 2
|| a | | b ||| a b || a | | b |
| a b | | a b | 2(| a | | b | )
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二.基本运算
3.实数与向量的积
a b |a|
可正可负可为零
二.基本运算
若a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 1)a b ( x1 x2 , y1 y2 ) 2)a b ( x1 x2 , y1 y2 ) 3) a ( x1 , y1 ) 4)a b x1 x2 y1 y2
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五.应用举例
例3.
平行与垂直问题
平面内给定三个向量a (3, 2), b (1, 2), c (4,1) 1)求满足a=mb+nc的实数m,n; 2)若(a+kc) (2b-a)，求实数k; 3)若d满足(d -c)//(a+b),且|d -c|= 5,求d .
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1 1
2 1 2 1
2 2 2 1 2 1
若A x1, y1 , B x2 , y2 , 则
1
2
练习.已知向量A 1, 3 , B 2, 2 3
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y1 y2 , 2
(1)求 AB;(2)求 AB ;(3)求A与B的中点坐标。
三.两个等价条件
五.应用举例
例4.
平行与垂直问题
已知向量a=(cos ,sin ), b=(cos ,sin ), 且a, b满足关系 | ka b | 3 | a kb | (k 0) 1)求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k)； 2)a能否和b垂直?a能否和b平行?若不能，则 说明理由；若能，求出对应的k 值； 3)求a与b夹角的最大值.
一.基本概念
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
规定： 0 / /a 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上 6.相反向量
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(a) a, a (a) 0
判断正误 (1)0长度为0，没有方向 (2)0与a不平行 (3)0没有相反向量 (4) 0 0 (5)0 a 0
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3.单位向量
a 与非零向量a共线的单位向量a0 |a|
练习：已知a 3, 4 , 则与a共线的单位向量是 _______
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必修四 第二章 平面向量复习小结课
高一数学备课小组
一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B 1)图形表示 A 有向线段AB
2)字母表示
a AB
向量的模 :| a || AB |
a xi y j ( x, y)
3)坐标表示
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一.基本概念
2.零向量及其特殊性
a
是一个向量
a是一个与a共线的向量
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二.基本运算
4.两个非零向量 a与b 的数量积
a b | a | | b | cos
向量数量积的几何意义
| b | cos 叫做向量b在a方向上的投影
2 练习已知 . | a | 4, e为单位向量, 它们的夹角为 , 3 则 a在e方向上的投影是 __; e在a方向上的投影是 __ . 16:15:54
若a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 则
1.向量a和非零向量b a // b 有唯一的实数，使a b
x1 y2 x2 y1 0
2.非零向量a和b ab
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a b 0
x1 x2 y1 y2 0
练习：已知OA （2， 1 ）， OB （3，m）， OC 1，m 1
1 若A、B、C三点共线，求实数m的值； 2 若 AB BC , 求实数m的值。
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四.一个基本定理
2.平面向量基本定理
如果e1、 e2是同一平面内的两个不共线的 向量, 那么对于这一平面内的任一向量a, 有且只有一对实数1 , 2 , 使a 1 e1 2 e2 把不共线的向量e1、叫做表示这一 e2 平面内所有向量的一组基底.
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
一.基本概念
7.两个非零向量 a与b 的夹角
[0, ]
首要的是通过向量平移,使两个向量共起点
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二.基本运算（向量途径） 1.向量加法的三角形法则
a b AB BC AC
特点:尾首顺次相接 首指向尾为和 特点:起点相同 对角为和
5) | a | a a a b 6) cos 16:15:54 | a ||b|
x y
2 1
2 1
2 1
x1 x2 y1 y2 x y
2y 2 AB ( x x , y y ) 3 AB x x + y y x x 4中点坐标公式为： 2
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2.向量加法的平行四边形法则
ABCD中， a b AB AD AC
向量加法的运算律(交换律、结合律）
3.向量减法的三角形法则
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a b AB AD DB
特点：起点相同 连接终点 指向被减
在平行四边形ABCD中， AB a, AD b, 分别 表示出AC , DB及边与对角线之间的关系。
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五.应用举例
向量加减法则
例1.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于 点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一 点N满足CD=3CN,
设OA a, OB b, 试用a, b表示MN
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五.应用举例
例2.
向量的长度与夹角问题
已知两单位向量a与b的夹角为120 ，若 c 2a b, d 3b a, 试求c与d的夹角的 余弦值.