2019届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第8节函数与方程课件新人教A版
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2019届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲函数与方程课件文新人教版
第二章 函数、导数及其应用
•第8讲 函数与方程
◆高考导航·顺风启程◆
最新考纲
常见题型
1.结合二次函数的图象，了解函数的零 多见于选择、 点与方程根的联系，判断一元二次方 填空题，比较
程根的存在性及根的个数．
简单，中、低
2.根据具体函数的图象，能够用二分法 档题目，占5分
求相应方程的近似解.
左右.
x－2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标
系下画出函数y＝x3与y＝
1 2
x－2的图象如图所示．因为f(1)＝1－
1 2
－1
＝－1＜0，f(2)＝8－120＝7＞0，所以f(1)f(2)＜0，所以x0∈(1,2)． [答案] (1,2)
方法感悟 确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法 1．利用函数零点的存在性定理： 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． 2．数形结合法： 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判 断．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝
ax2＋bx＋c (a
＞0)的图象
与x轴的交点 零点个数
(x1,0) (x2,0) 2
(x1,0) 1
无交点 0
[知识感悟] 1．辨明两个易误点 (1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y ＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． (2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必 要条件．
定理
＝f(x)在(a，b)内存在零点．
解方程f(x)＝0 函数存在零点的
•第8讲 函数与方程
◆高考导航·顺风启程◆
最新考纲
常见题型
1.结合二次函数的图象，了解函数的零 多见于选择、 点与方程根的联系，判断一元二次方 填空题，比较
程根的存在性及根的个数．
简单，中、低
2.根据具体函数的图象，能够用二分法 档题目，占5分
求相应方程的近似解.
左右.
x－2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标
系下画出函数y＝x3与y＝
1 2
x－2的图象如图所示．因为f(1)＝1－
1 2
－1
＝－1＜0，f(2)＝8－120＝7＞0，所以f(1)f(2)＜0，所以x0∈(1,2)． [答案] (1,2)
方法感悟 确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法 1．利用函数零点的存在性定理： 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． 2．数形结合法： 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判 断．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝
ax2＋bx＋c (a
＞0)的图象
与x轴的交点 零点个数
(x1,0) (x2,0) 2
(x1,0) 1
无交点 0
[知识感悟] 1．辨明两个易误点 (1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y ＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． (2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必 要条件．
定理
＝f(x)在(a，b)内存在零点．
解方程f(x)＝0 函数存在零点的
2019届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第八节 函数与方程课件 理.pptx
x0
属于区间
A.23，1
B.12，23
C.13，12
D.0，13
解析：令
g(x)＝12x，f(x)＝x
1 3
，
则
g(0)＝1＞f(0)＝0，g12＝12
1 2
＜f
1 2
＝12
1 3
，g13＝12
1 3
＞f
13＝13
1 3
，结合
图象可得13＜x0＜12. 答案：C
()
18
4．函数 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上______(填“存在”或
(－3，－1)和(2,4)，即方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根所在区
间是(－3，－1)和(2,4)．
答案：A
9
3．函数 f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是
()
A．(1,2)
B．(2,3)
C.1e，1和(3,4)
D．(4，＋∞)
解析：易知 f(x)为增函数，由 f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－23
(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．
()
(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，
则 f(a)·f(b)<0.
()
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近
似值．
()
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac＜0 时没有
零点．
()
第八 节
函数与方程
1
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程课件 理
由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有
唯
一零点，则a＝( )
A．－12
B．13
1 C.2
D．1
C [法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1， 令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数． ∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点． 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得a＝12. 故选C.
则4m－m2＜m，即m2－3m＞0， 又m＞0，解得m＞3.]
[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式 确定参数范围. 2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. 3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图像，然后数形结合求解.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．
()
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.
() (3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有
当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数， 又g(1)＝ln 1－2＝－2＜0，g(2)＝ln 2＋1＞0，且g(b)＝0，∴1＜b＜2， ∴a＜b， ∴fgba＞＜fgab＝＝00，. 故选A.
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有
唯
一零点，则a＝( )
A．－12
B．13
1 C.2
D．1
C [法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1， 令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数． ∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点． 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得a＝12. 故选C.
则4m－m2＜m，即m2－3m＞0， 又m＞0，解得m＞3.]
[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式 确定参数范围. 2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. 3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图像，然后数形结合求解.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．
()
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.
() (3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有
当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数， 又g(1)＝ln 1－2＝－2＜0，g(2)＝ln 2＋1＞0，且g(b)＝0，∴1＜b＜2， ∴a＜b， ∴fgba＞＜fgab＝＝00，. 故选A.
高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第八节 函数与方程课件 文
函数 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1，8]上________(填“存在”或 “不存在”零点)．
解析：法一 ∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0. f(8)＝82－3×8－18＝22>0， ∴f(1)·f(8)<0， 又 f(x)＝x2－3x－18，x∈[1，8]的图象是连续的， 故 f(x)＝x2－3x－18 在 x∈[1，8]上存在零点． 法二 令 f(x)＝0，得 x2－3x－18＝0， ∴(x－6)(x＋3)＝0.
(2)方程 log3x＋x＝3 的解所在的区间是( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
解析：(1)∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)， ∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)， ∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0， ∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内． (2)设 f(x)＝log3x＋x－3， 则 f(1)＝0＋1－3＝－2<0， f(2)＝log32＋2－3＝log32－1<0， f(3)＝log33＋3－3＝1>0， ∴f(2)·f(3)<0，故方程 log3x＋x＝3 的解所在的区间是(2，3)． 答案：(1)A (2)C
的零点个数为________．
解析：f(x)＝4cos22xcosπ2 －x－2sin x－|ln(x＋1)|
＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|
＝2sin xcos x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|.
2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.8 函数与方程课件 文.pptx
6
7
8
3．二分法 (1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而 得到零点 近似 值的方法叫做二分法． (2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步 骤如下：
17
解析 ∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－ c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间(a，b)，(b，c) 内分别存在一个零点；
又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点， 因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c) 内．故选A.
11
2．教材衍化
(1)(必修A1P88T2)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为( )
A.14，12 C.0，14
B．－14，0 D.12，34
12
解析 ∵函数f(x)＝ex＋4x－3， ∴f′(x)＝ex＋4>0， ∴函数f(x)＝ex＋4x－3在(－∞，＋∞)上为增函数，且 f(0)＝e0－3＝－2<0， f14＝4 e－2＝4 e－4 16<0， f12＝ e－1>0，
24
解法二：由f(x)＝0得ln x＝12x－2.
作h(x)＝ln
x，g(x)＝
1 2
x－2的图象，如图．由图象可知
x0∈(2,3)．故选C.
25
方法技巧 判断函数零点所在区间的三种方法
1．解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方 程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
7
8
3．二分法 (1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而 得到零点 近似 值的方法叫做二分法． (2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步 骤如下：
17
解析 ∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－ c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间(a，b)，(b，c) 内分别存在一个零点；
又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点， 因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c) 内．故选A.
11
2．教材衍化
(1)(必修A1P88T2)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为( )
A.14，12 C.0，14
B．－14，0 D.12，34
12
解析 ∵函数f(x)＝ex＋4x－3， ∴f′(x)＝ex＋4>0， ∴函数f(x)＝ex＋4x－3在(－∞，＋∞)上为增函数，且 f(0)＝e0－3＝－2<0， f14＝4 e－2＝4 e－4 16<0， f12＝ e－1>0，
24
解法二：由f(x)＝0得ln x＝12x－2.
作h(x)＝ln
x，g(x)＝
1 2
x－2的图象，如图．由图象可知
x0∈(2,3)．故选C.
25
方法技巧 判断函数零点所在区间的三种方法
1．解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方 程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.8函数与方程课件理
)
解析：当 a＝0 时，函数的零点是 x＝－1. 1 当 a≠0 时，若 Δ＞0，即 a>－ ，由 f(0)· f(1)＜0，则 a＞1.故 a>1. 8 1 若 Δ＝0，即 a＝－ ，函数的零点是 x＝－2，故选 C. 8
答案：C
3
考点疑难突破
函数零点所在区间的判定
[题 组 训 练] 1．已知实数 a＞1,0＜b＜1，则函数 f(x)＝ax＋x－b 的零点所在的区间是( A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2) )
f(x)单调递增．
1 ＝－ ＋ 2
π π π 1 －1 － ， ＞－ ＋2 ＝0， f6＞0， ∴f(x)在 6 6内 2
不存在零点．
确定函数 f(x)的零点所在区间的 2 种常用方法 (1)定义法：使用零点存在性定理，函数 y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当 f(a)· f(b)＜0 时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，如“题组训练”第 1 题． (2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图 象法求解，如 f(x)＝g(x)－h(x)，作出 y＝g(x)和 y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为 函数 f(x)的零点.
个数的判断、零点所在区间的 判断以及根据零点情况确定参 数的取值范围，多与其他基本 初等函数融合为一体考查.
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 (2)几个等价关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有 零点 ． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有 f(a)· f(b)＜0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在 c∈(a，b)， ______________ 使得 f(c)＝0 ，这个 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第八节函数与方程及应用课件新人教版
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为
(B ) A．2
B．3
C．4
D．5
题型一 函数零点个数或所在区间的判定 自主探究
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为
(B ) A．2
B．3
C．4
D．5
2．(2021·揭阳模拟)曲线y＝13x与y＝ 的交点横坐标所在区间为( B )
A.0，31
B．31，21
C.12，23
D．23，1
解析：设f(x)＝31x－ ，易知f(x)单调递减， ∵f13f21＜0， ∴函数零点所在区间为13，12，即所求交点横坐标所在区间为13，12.
3．(多选题)已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，
有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零 点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
必明易错 1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的 图象与x轴交点的横坐标． 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件； 判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．
2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面
积最大，则隔墙的长度为________．
解析：设隔墙的长度为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，则y＝x×
24－4x 2
＝
2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y最大．
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8节函数与方程课件
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高三一轮总复习 [变式训练 2] 函数 f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2 的零点个数为________． 2 [f(x)＝2sin xsinx＋π2－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，由 f(x)＝0，得 sin
2x＝x2.
设 y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．
而得到零点近似值的方法叫做二分法．
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高三一轮总复习
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( ) (2)函数 y＝f(x)，x∈D 在区间(a，b)⊆D 内有零点(函数图象连续不断)， 则 f(a)·f(b)＜0.( ) (3)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)·f(b)＜0，则函数 f(x)在[a，b]上有且只有 一个零点．( ) (4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在 b2－4ac＜0 时没有零点．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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高三一轮总复习
抓
基
础
·
自
主 学
第二章 函数、导数及其应用
课
习
时
分
第八节 函数与方程
层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
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高三一轮总复习
1．函数的零点
(1)定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使__f(_x_)_＝__0_成立的实数 x 叫做函数 y
2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8讲函数与方程课件(1)
在同一直角坐标系中作出函数 y＝|log0.5x|与 y＝21x的图 象如图．
由图象易知有两个交点．
触类旁通 判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解 就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间 [a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函 数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能 确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
3．若函数 f(x)在[a，b]上单调，且 f(x)的图象是连续不 断的一条曲线，则 f(a)·f(b)＜0⇒函数 f(x)在[a，b]上只有一 个零点．
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( × ) (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当 b2－4ac<0 时没 有零点．( √ )
解析 因为函数 f(x)为连续函数且 f(1)·f(3)<0，所以函 数 f(x) 在(1,3)内一定有零点．
板块二 典例探究·考向突破
考向 确定函数零点所在区间
例 1 [2018·德州模拟]函数 f(x)＝ln (x＋1)－2x的零点
所在的区间是( )
A.12，1 C．(e－1,2)
√
)
2．[课本改编]函数 f(x)＝x－4x的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
解析 令 f(x)＝0，解 x－4x＝0，即 x2－4＝0，且 x≠0， 则 x＝±2.
3．[课本改编]方程 2－x＋x2＝3 的实数解的个数为( )
A．2
B．3
C．1
由图象易知有两个交点．
触类旁通 判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解 就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间 [a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函 数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能 确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
3．若函数 f(x)在[a，b]上单调，且 f(x)的图象是连续不 断的一条曲线，则 f(a)·f(b)＜0⇒函数 f(x)在[a，b]上只有一 个零点．
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( × ) (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当 b2－4ac<0 时没 有零点．( √ )
解析 因为函数 f(x)为连续函数且 f(1)·f(3)<0，所以函 数 f(x) 在(1,3)内一定有零点．
板块二 典例探究·考向突破
考向 确定函数零点所在区间
例 1 [2018·德州模拟]函数 f(x)＝ln (x＋1)－2x的零点
所在的区间是( )
A.12，1 C．(e－1,2)
√
)
2．[课本改编]函数 f(x)＝x－4x的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
解析 令 f(x)＝0，解 x－4x＝0，即 x2－4＝0，且 x≠0， 则 x＝±2.
3．[课本改编]方程 2－x＋x2＝3 的实数解的个数为( )
A．2
B．3
C．1
2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第8讲一次函数、反比例函数及二次函数配套课件理
(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为二次函数
图象与 x 轴的两个交点的横坐标.
4.二次函数的图象及性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
开口 顶点 对称性
向上
2 b 4ac－b － ， 2 a 4 a
A
B
C
D
b 解析：在 A 中，a＜0，－2a＜0，b＜0，c＜0，∴abc＜0， b 错误；在 B 中，a＜0，－2a＞0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，错误； b 在 C 中，a＞0，－2a＜0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，错误；在 D b 中，a＞0，－2a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0.故选 D.
答案：D
【互动探究】 1.设函数 f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知 f(m)<0，则( C ) A.f(m＋1)≥0 C.f(m＋1)>0 B.f(m＋1)≤0 D.f(m＋1)<0
1 解析：∵f(x)图象的对称轴为 x＝－2，f(0)＝a>0，
∴f(x)的大致图象如图 D7.
由 f(m)<0，得－1<m<0.
考点 1 二次函数的图象及应用 例1：(1)已知函数y＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c ＝0，则它的图象可能是( )
A
B
C
D
c 解析：由 a＋b＋c＝0，a＞b＞c，知 a＞0，c＜0，则a＜0， 排除 B，C.又 f(0)＝c＜0，所以排除 A. 答案：D
(2) 设 abc ＞0 ，二次函数 f(x) ＝ax2 ＋bx ＋c 的图象可能是 ( )
m<0， 1 m≥－ ， 4 －1 解得 ≥2， m<0. 2m ∴实数 m
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2 2 答案：5，3
[典例] 点个数为( A．3 C．7
考点一 判断函数零点的个数(师生共研) 2 x ＋x－2，x≤0 (导学号 14576152)(1)函数 f(x)＝ 的零 － 1 ＋ ln x ， x >0
) B．2 D．0
(2)若偶函数 f(x)满足 f(x－1)＝f(x＋1)， 且在 x∈[0,1]时， f(x)＝x2， 则关于 x 的方程 f(x)＝ A．1 C．3
Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与 x 轴的交点 零点个数
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
(x1,0)， (x2,0) 2
(x1,0) 1
无交点 0
3.二分法 对于在区间[a， b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y＝f(x)， 通 过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 使区间的两个端 点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
解析：由 f(x＋2)＝f(x)知函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，又 f(x)为偶函数，故函数在[－2,3]上的图象如图所示． 直线 y＝ax＋2a 过定点(－2,0)， 在区间[－2,3]上方程 ax＋2a－f(x) ＝0 恰有四个不相等的实数根，等价于直线 y＝ax＋2a 与函数 y＝f(x) 的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数 a 满足不等式 3a＋ 2 2 2a>2，且 a＋2a<2，即 <a< . 5 3
1.若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并 且有 f(a)· f(b)＜0，则函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内一定有零点． 2．若函数 f(x)在[a，b]上单调，且 f(x)的图象是连续不断的一条 曲线，f(a)· f(b)＜0，则函数 f(x)在[a，b]上只有一个零点．
解析：B [由已知得 f′(x)＝ex＋3＞0，所以 f(x)在 R 上单调递 1 增， 又 f(－1)＝e－3<0， f(0)＝1>0， 因此函数 f(x)有且只有一个零点． ]
4．(导学号 14576150)用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零 点，其参考数据如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.562 5)＝0.003 f(1.587 5)＝0.133 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.575 0)＝0.067 f(1.550 0)＝－0.060
1 x 10 在0， 上的根的个数是( 3 10
)
B．2 D．4
[解析]
(1)法一：由 f(x)＝0
x≤0 得 2 x ＋x－2＝0
x>0 或 －1＋ln
x＝0
，
解得 x＝－2，或 x＝e. 因此函数 f(x)共有 2 个零点．
解析：B [易知 f(x)＝2x＋3x 在 R 上是增函数． 而 f(－2)＝2 2－6<0，f(－1)＝2 1－3<0，f(0)＝20＝1>0，∴f(－
－ －
1)· f(0)<0，故函数 f(x)在区间(－1,0)上有零点．故选 B.]
3．(导学号 14576149)(人教 A 版教材例题改编)函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是( A．0 C．2 ) B．1 D．3
[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”， 错误的打“×”． (1) 函数 f(x)＝x2－1 的零点是(－1,0)和(1,0)．( )
(2) 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 一定有 f(a)· f(b)<0.( ) )
(3)函数 y＝2sin x－1 的零点有无数多个．(
[小题查验] 1．(导学号 14576147)下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能 用二分法求零点的是( )
解析：C [A，B 图中零点两侧不异号，D 图不连续．故选 C.]
2．(导学号 14576148)函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间 是( ) A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2)
(3)零点存在性定理 如果函数 y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一 条曲线；② f(a)· f(b)<0 ；则函数 y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存 在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
第8节 函数与方程
最新考纲 1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判 断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
1．函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数 y＝f(x)， 把使 点． (2)函数零点与方程根的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 函数 y＝f(x)有 零点 . x 轴 有交点⇔ f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零
据此数据， 可得 f(x)＝3x－x－4 的一个零点的近似值(保留三位有 效数字)为 ________ .
解析：由题意知，函数零点在区间(1.5562,1.5625)内，又零点近 似值保留三位有效数字，故零点近似值为 1.56.
答案：1.56
5．(导学号 14576151)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足 f(x＋2)＝f(x)．当 x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程 ax＋2a － f(x) ＝ 0 恰 有四个 不相 等的实 数根 ，则实数 a 的取 值范围 是 ________ .
(4) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 在 b2 － 4ac<0 时 没 有 零 点．( )
(5) 若函数 f(x)在[a，b]上单调且 f(a)· f(b)<0，则函数 f(x)在[a，b] 上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
[典例] 点个数为( A．3 C．7
考点一 判断函数零点的个数(师生共研) 2 x ＋x－2，x≤0 (导学号 14576152)(1)函数 f(x)＝ 的零 － 1 ＋ ln x ， x >0
) B．2 D．0
(2)若偶函数 f(x)满足 f(x－1)＝f(x＋1)， 且在 x∈[0,1]时， f(x)＝x2， 则关于 x 的方程 f(x)＝ A．1 C．3
Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与 x 轴的交点 零点个数
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
(x1,0)， (x2,0) 2
(x1,0) 1
无交点 0
3.二分法 对于在区间[a， b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y＝f(x)， 通 过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 使区间的两个端 点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
解析：由 f(x＋2)＝f(x)知函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，又 f(x)为偶函数，故函数在[－2,3]上的图象如图所示． 直线 y＝ax＋2a 过定点(－2,0)， 在区间[－2,3]上方程 ax＋2a－f(x) ＝0 恰有四个不相等的实数根，等价于直线 y＝ax＋2a 与函数 y＝f(x) 的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数 a 满足不等式 3a＋ 2 2 2a>2，且 a＋2a<2，即 <a< . 5 3
1.若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并 且有 f(a)· f(b)＜0，则函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内一定有零点． 2．若函数 f(x)在[a，b]上单调，且 f(x)的图象是连续不断的一条 曲线，f(a)· f(b)＜0，则函数 f(x)在[a，b]上只有一个零点．
解析：B [由已知得 f′(x)＝ex＋3＞0，所以 f(x)在 R 上单调递 1 增， 又 f(－1)＝e－3<0， f(0)＝1>0， 因此函数 f(x)有且只有一个零点． ]
4．(导学号 14576150)用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零 点，其参考数据如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.562 5)＝0.003 f(1.587 5)＝0.133 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.575 0)＝0.067 f(1.550 0)＝－0.060
1 x 10 在0， 上的根的个数是( 3 10
)
B．2 D．4
[解析]
(1)法一：由 f(x)＝0
x≤0 得 2 x ＋x－2＝0
x>0 或 －1＋ln
x＝0
，
解得 x＝－2，或 x＝e. 因此函数 f(x)共有 2 个零点．
解析：B [易知 f(x)＝2x＋3x 在 R 上是增函数． 而 f(－2)＝2 2－6<0，f(－1)＝2 1－3<0，f(0)＝20＝1>0，∴f(－
－ －
1)· f(0)<0，故函数 f(x)在区间(－1,0)上有零点．故选 B.]
3．(导学号 14576149)(人教 A 版教材例题改编)函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是( A．0 C．2 ) B．1 D．3
[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”， 错误的打“×”． (1) 函数 f(x)＝x2－1 的零点是(－1,0)和(1,0)．( )
(2) 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 一定有 f(a)· f(b)<0.( ) )
(3)函数 y＝2sin x－1 的零点有无数多个．(
[小题查验] 1．(导学号 14576147)下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能 用二分法求零点的是( )
解析：C [A，B 图中零点两侧不异号，D 图不连续．故选 C.]
2．(导学号 14576148)函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间 是( ) A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2)
(3)零点存在性定理 如果函数 y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一 条曲线；② f(a)· f(b)<0 ；则函数 y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存 在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
第8节 函数与方程
最新考纲 1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判 断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
1．函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数 y＝f(x)， 把使 点． (2)函数零点与方程根的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 函数 y＝f(x)有 零点 . x 轴 有交点⇔ f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零
据此数据， 可得 f(x)＝3x－x－4 的一个零点的近似值(保留三位有 效数字)为 ________ .
解析：由题意知，函数零点在区间(1.5562,1.5625)内，又零点近 似值保留三位有效数字，故零点近似值为 1.56.
答案：1.56
5．(导学号 14576151)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足 f(x＋2)＝f(x)．当 x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程 ax＋2a － f(x) ＝ 0 恰 有四个 不相 等的实 数根 ，则实数 a 的取 值范围 是 ________ .
(4) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 在 b2 － 4ac<0 时 没 有 零 点．( )
(5) 若函数 f(x)在[a，b]上单调且 f(a)· f(b)<0，则函数 f(x)在[a，b] 上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√