数学建模案例 ppt课件

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建模示例五：轮廓模型
轮廓模型是以量纲模型为基础，利用量 的比例关系而构造简单数学模型的一种方法。 因为这种比例关系比较粗糙，因而成为轮廓 模型。 （货物的包装成本）在超市中可以看到许 多商品（如面粉、白糖、奶粉等）都以包装 的形式出售，同一种商品的包装也经常有大 小不同的规格，出售的价格也高低不同。下 表是一些例子。
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【建立模型】
设东西方向绿灯时间（即南北方向红灯 时间）为t秒，则东西方向红灯时间（即南北 方向绿灯时间）为（T－t）秒.设一个周期内 车辆在此路口的滞留总时间为y秒. 根据假设,一个周期内车辆在此路口滞留 的总时间y分成两部分,一部分是南北方向车辆 在此路口滞留的时间y1,另一部分是东西方向 车辆在此路口滞留的时间y2. 下面计算南北方向车辆在此路口滞留的 时间y1.
三个建模示例、建模的方法、步 骤、特点、分类，及建模竞赛的相 关知识
一、建模示例三、四、五
二、建模的方法 三、建模的一般步骤 四、数学建模的特点 五、数学建模的分类 六、数学建模竞赛的相关知识
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一、建模示例三：安全渡河问题
问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳 二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦 随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大 权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？
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【模型求解】
V H 2 函数 y t (T t ) 2 2T 2T TH 是关于t的二次函数,容易求得当t= 时,y取得最小值. H V
【数值模拟】
取"问题背景"中调查的数据,即T=88,H=30,V=24, 24 2 30 则 y= t ( 88)(88 t ) 2 2 88 2 3 2 15 2 t 15 88 30t t 22 88 15 88 2 27 2 882 (t 15 ) (15 2 ) 15 88 88 27 88 ppt课件 27
3、数学模型
多步决策
求dk D(k 1, 2,
, n), 使sk S , 并
问题
按转移律由s1 (3,3)到达sn+1 (0, 0).
4、模型求解
★ 穷取法 ~ 编程上机 ★ 图解法：我们着重介绍这一方法
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状态s=(x , y)~ 16个格点
允许决策：S {( x , y ) | x 0, y 0, 1, 2, 3;
S {( x , y ) | x 0, y 0,1, 2, 3; x 3, y 0,1, 2, 3; x y 1, 2}
D {(u , v ) | u v 1, 2} 允许决策集合 sk 1 sk ( 1) k d k 状态转移律
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在一个周期中,从南北方向到达路口的车辆数为V,该 周期中南北方向亮红灯的比率是t/T,需停车等待的车辆 数是V t/T.这些车辆等待时间最短为0(刚停下,红灯就转 换为绿灯),最长为t(到达路口时,绿灯刚转换为红灯),由假 设2"车流量均匀"可知,它们的平均等待时间是t/2.由此可 知,南北方向车辆在此路口滞留的时间为 V t t V y1 t2 T 2 2T 同理,南北方向车辆在此路口滞留的时间为 H y2 (T t ) 2 . 2T V H 2 所以, y y1 y2 t ppt 课件 (T t ) 2 . 2T 2T

允许状态
~ 10个●点
x 3, y 0, 1, 2, 3; x y 1, 2}
允许决策
~ 移动1格或2格（k奇,左下移；k
偶,右上移） d1 ,..., d11 给出了安全
渡河方案。
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5、模型评价
规格化的方法，通俗易懂，易于推广。
思考题
1．考虑4名商人各带一名随从的问题。
1、问题分析：多步决策过程
决策----每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。 要求----在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多）， 经有限步使全体人员过河。
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2、模型建立
x --第k 次渡河前此案的商人数 k yk --第k次渡河前此案的随从数 sk ( xk , yk )过程的状态 u --第k 次渡船上的商人数 k vk --第k次渡船上的随从数 d k (uk ,vk )决策 x , y 0， 1， 2， 3 k k k 1,2, S --允许状态集合 u , v 0， 1， 2 k k k 1,2, D--允许决策集合
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88 30 当t 48.8889时,ymin 587(秒). 30 24 由此可见,我们计算所得的结果和同学们实际观测 到的数据是比较接近的.这也说明此路口红灯与绿灯设 置的时间比较合理. 评 注: 由上述结果可知,两个方向绿灯时间之比恰好等于 两个方向车流量之比时,车辆在此路口的滞留总时间最 少.这也是比较符合实际情况的.
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建模示例四：函数模型(交通问题模型)
【问题背景】
温州七中高一段学生到人民路天桥下的十字路口，
对十字路口红绿灯开设时间及车流量进行调查，经学生分组 观察，并把数据平均，得到下面一组数据：东西方向 绿灯即南北方向红灯的时间为49秒；南北方向绿灯即东西方 向红灯的时间为39秒；所以红绿灯变换一个周期的时间为88
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【问题分析】
所谓的合理，应该就是从整体上看，在 红绿灯变换的一个周期内，车辆在此路口的 滞留总时间最少。
【模型假设】
1.黄灯时间忽略不计，只考虑机动车，不考 虑人流量和非机动车辆；只考虑东西、南北 方向，不考虑拐弯的情况。 2.车流量均匀。 3.一个周期内，东西向绿灯，南北向红灯的 时间相等；东西与南北周期相同。
秒。在绿灯变换的一个周期内，相应的车流量：东西方向平
均为30辆，南北平均为24辆。这组数据说明了什么问题？ （红绿灯时间设置合理与否）
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【问题抽象】
在红绿灯变换的一个周期时间T内，从东 西方向到达十字路口的车辆数为H，从南北方 向到达十字路口的车辆数为V，问如何确定十 字路口某个方向红灯与绿灯点亮的时间更合 理？