16.5(2)二项式定理
2019-2020年高三数学上册 16.5《二项式定理》教案(1) 沪教版
2019-2020年高三数学上册 16.5《二项式定理》教案（1） 沪教版一、教学目标：使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力。
通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育。
二、教学重、难点：重点：二项式定理的推导及证明 难点：二项式定理的证明 三、教学过程： (一)新课引入：(提问)：若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？ 在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a 3+3a 2b+3ab 2+b 3(提问)：对于(a+b)4，(a+b)5如何展开?(利用多项式乘法) (再提问)：(a+b)100又怎么办？ (a+b)n(n ∈N +)呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。
这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性 (二)新课：(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。
规律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a 2+2ab+b 2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a 2+2ab+b 2)(a+b)=a 3+3a 2b+3ab 2+b3(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a 3+3a 2b+3ab 2+b 3)(a+b)=a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4810＝(7+1)10＝710+79+…+7+ ＝2(733＋c 133732+…+c 3233·7+2根据以上的归纳，可以想到(a+b)n的展开式的各项是齐次的，它们分别为a n, a n-1b, a n-2b2,…，b n,展开式中各项系数的规律，可以列表：(a+b)1 1 1(a+b)2 1 2 1(a+b)3 1 3 3 1(a+b)4 1 4 6 4 1(a+b)5 1 5 10 10 5 1（这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。
沪教版数学高三上册-16.5 二项式定理 课件 _3
一、预习内容交流与展示
二项式定理
(a b)n
nN
Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
二项式定理
(a b)n
nN
Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
右边的多项式叫做 (a b)n 的 二项展开式，
共有 n+1 项， 其中各项的系数Cnr (r 0,1,n)叫做二项式系数 ，
二、学习与探究
1、二项展开式的特点
(a b)n
后项
Cn0an Cn1an1b Cnr anrbr Cnnbn
（1）项数为n+1
前项
（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n
（3）字母a按降幂排列从n逐项递减到0 ；
字母b按升幂排列从0逐项递增到n
（4）二项式系数 Cn0 , Cn1 ,, Cnn1, Cnn
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3、二项式系数与项的系数的区别
例2、分别求 (2a 3b)6、(3b+2a)6 的二项
展开式中的第3项，并写出第3项的系数和 二项式系数。
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中间项为20000，最后三项系数
之和为22，求x的值。
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二项展开式中的第r +1项叫做二项展开式的通项 ，
用 Tr1 表示，即 Tr1 Cnr anrbr (r 0,1,n)
二项式定理的证明用数学归纳法证明（略）
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二项式定理(通项公式)-二项定理通项公式
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式)0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-,1(1)k k n k k k n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++②① 式中分别令x=1和x=—1，则可以得到012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和。
2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值: 当12n k +<时,二项式系数是递增的；当12n k +≥时,二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时,中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3。
二项展开式的系数a 0，a 1,a 2,a 3,…，a n 的性质:f(x ）= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f （1)⑵a 0-a 1+a 2—a 3……+（—1)na n =f （—1) ⑶a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2。
二项式定理
16.5二项式定理(1)一：由具体例子分析、归纳出二项式定理(各项系数)=+2)(b a __________________=+3)(b a __________________=+4)(b a __________________ =+n b a )(_____________________________项数___________二项式展开式______________二项式系数___________(系数？)通项_______________与杨辉三角关系： 二：例题解析 (一)：通项及系数1.求511⎪⎭⎫⎝⎛+x 的二项展开式. 2. 求101⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式的第6项，并求出二项式系数3. 求91⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中的系数. 4. 求()721x +的展开式的第4项的系数.5．求()623x y -的展开式按x 的升幂排列的第3项． 6．求9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．7．已知9a x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为94，求常数a 的值,并求出展开式中的有理项8．()12n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求n 及()12nx +展开式中含3x 的项．9.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项10．求()()73211x x x x -+++的展开式中4x 的系数；11．求444⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项.（二）二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n（1）对称性 （2）增减性与最大值 （3）各二项式系数和：1.求证：nn n k n n n n C C C C C 2210=++++++2.求证：在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和3．已知()772210721x a x a x a a x ++++=- ，求（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++；（3）0246a a a a +++；（4）0127a a a a ++++4．若5(1,a a b =+为有理数），则a b +=___________5．12x⎛+ ⎝的展开式中，系数最大的项是第 项． 6．求()1012x +的展开式中系数最大的项． 7．在10)32(y x -的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.8．已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求nx x 212⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中:①二项式系数最大的项; ②系数的绝对值最大的项.9．设()()()()231111nx x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x ++++，当012254n a a a a ++++=时，求n 的值10．若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a =_____________11．设296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和。
沪教版(上海)高中数学高三上册第十六章16.5二项式定理教案
二项式定理教学目的： 知识与技能：掌握二项式定理及二项展开式的通项公式；准确区分二项式系数与某一项的系数的概念；会利用二项展开式及通项公式求展开式中的指定项或指定项的系数。
过程与方法：通过二项式定理的探究过程，培养学生观察、抽象与逻辑思维能力，并让学生理解从特殊到一般的思维方法。
情感、态度与价值观： 培养学生数学探究的思想与方法，体会数学语言的简单与严谨。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用。
教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用。
教学过程：一、 复习引入：1. 研究1,2,3,4n =时，()n a b +的展开式，探究数据背后的规则， 归纳论证()na b +的展开式普遍规律与结论 (1) 1()a b a b +=+111C a C b =+(2)222()()()2a b a b a b a ab b +=++=++02122222C a C ab C b =++(3)33223()()()()33a b a b a b a b a a b ab b +=+++=+++031222333333C a C a b C ab C b =+++分析：○1展开式中项——每个括号中取一个字母的乘积 ○2项的系数——例. 2a b 即有1个括号内取b 其余括号内都取a 的情况有133C = 2ab 即有2个括号内取b 其余括号内都取a 的情况有233C =2．问题：归纳上列三式的规律，猜想4()a b +的展开式？○1展开式有几项？ 答：5项○2展开式项之间的规律？ 答：齐次式，各项均为4次；a 升幂，b 降幂；各项依次为：432234,,,,a a b a b a b b○3各项系数的讨论？(从含b 的个数入手讨论) 答：4a ：0个括号内取b ，其余括号内都取a 的情况有04C 种，得4a 的系数是04C3a b ：有1个括号内取b 其余括号内都取a 的情况有14C 种，得3a b 的系数是14C22a b ：有2个括号内取b 其余括号内都取a 的情况有24C 种，得22a b 的系数是24C3a b ：有3个括号内取b 其余括号内都取a 的情况有34C 种，得3a b 的系数是34C 4b ：有4个括号内取b 其余括号内都取a 的情况有44C 种，得4b 的系数是44C综上：40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++ ○4归纳()na b +展开式为011222333111n n n n n n n nn nn n n n C a C a b C a b C a b C a b C b -----++++++二、讲解新课：二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()na b +的二项展开式， ⑴项数规律：()na b +的展开式有1n +(2)次数规律：各项的次数都是n ,是齐n 次式a 的次数从n 到0，b 的次数从0到n （a 升幂b 降幂）⑶系数规律：各项的系数依次为：0123-1,r n n n n n n n n n C C C C C C C ，，，，，，， ()n N *∈(0,1,)r n C r n =叫做二项式系数⑷通项： r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r rr n T C a b -+=(通项是二项展开式的第1r +项) 三、练练讲讲例1．（1）求41()x x+的二项展开式。
沪教版(上海)数学高三上册-16.5二项式系数与杨辉三角形
上海市位育中学
龚菲
二项式系数与杨辉三角形
x y0 x y1 x y2
x y3 x y4 x y5 x y6
0 0
x
1 0
y 11
x
2 0
2
xy y
2 1
2 2
2
x
3 0
3
x y 13 2
xy y
3 2
2
33
3
x x y x y xy y
6 0
6 1
6 2
6 3
6 4
6 5
6 6
n 0
n 1
n01
n11
上海市位育中学
r
n1
n r
n r+1
n
n r
n
n r
1
nn+1r
nn1
n n
nn+1
nn 11
龚菲
二项式系数的性质2
4 0
5 0
6 0
n
6 15 20 15 6
1
上海市位育中学
龚菲
二项式系数的性质2
性质2：
0 0
左右次斜边上 是连续整数
3 0
2 0
1 0
11
2 1
2 2
3 1
3 2
3 3
4 0
4 1
4 2
4 3
4 4
5 0
5 1
5 2
5 3
5 4
5 5
n
n r
n
n r
1
nn+1r
nn1
n n
nn+1
n n
11
龚菲
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浦江高级中学高3年级数学作业
班级__________姓名_______________学号__________成绩__________________
课题： 16.5（2） 二项式定理
_________年_____月______日
一、填空题：
1、()nab的展开式中，第4项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，则n_______________.
2、8()ab展开式中，倒数第2项的二项式系数是_________.
3、8()ab展开式中，二项式系数最大的是第_________项.
4、当15nC取最大值时，n_______________.
二、选择题：
5、若二项式231(3)2nxx（nN）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（ ），
（A）4 （B）5 （C）6 （D）8
6、3821()2ab展开式的所有项系数总和是 （ ）
（A）82 （B）812 （C）0 （D）1
三、解答题
7、求和：121242nnnnnCCC
8、已知7722107)21(xaxaxaax，求：
（1）7210aaaa
（2）763210aaaaaa
（3）7654310aaaaaaa.
16.5（2）二项式定理
参考答案
一、填空题：
1、 9；
2、 8；
3、 5；
4、 7或8；
二、选择题：
5、 B ；
6、 B ；
三、解答题
7、 3n；
8、（1）1；
（2）732187；
（3）85.