苏科版九年级下册《二次函数复习1》教学案
九年级数学下册5二次函数复习学案1(无答案)(新版)苏科版
课题： 二次函数（1）教学目标： 教学时间： 1.理解二次函数的相关概念，并会用其解决问题； 2.会用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 3.会用待定系数法确定二次函数的解析式；4.了解二次函数与一元二次方程、不等式的关系，会用图像法解一元二次方程、不等式。
教学重、难点：会用二次函数图像与性质的相关解决问题 教学方法： 教学过程：考点一：二次函数的概念、图像与性质 1.若()2651m m y m x--=+是二次函数，则m ＝( )A ．7B ．－1C ．－1或7D ．以上都不对 2.（1）二次函数223y x x =-+-图象的顶点坐标是____________。
（2）二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的坐标满足下表：则该函数图象的顶点坐标为（ ）（3）若抛物线与x 轴交于（1，0）、（3,0）两点，则它的对称轴是________________。
3.（1）将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）A. y =（x ﹣1）2+4B. y =（x ﹣4）2+4C. y =（x +2）2+6D. y =（x ﹣4）2+6（2）抛物线y=x 2+bx+c 的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x ﹣1）2﹣4，则b 、c 的值为（ ）A.b ＝2，c ＝－6B.b ＝2，c ＝0C.b ＝－6，c ＝8D.b ＝－6，c ＝24.已知二次函数()211y x m x =+-+，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是（ ）A. 1m =-B. 3m =C. 1m ≤-D. 1m ≥- 考点二：用待定系数法求二次函数的解析式如图，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0）和B （3，0）两点，交y 轴于点E ． （1）求此抛物线的解析式．（2）若直线y=x+1与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点F ，连接DE ，求△DEF 的面积．考点三：二次函数与一元二次方程、不等式和一次函数的关系1.若二次函数y =x 2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2+bx =5的解为（ ）A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-= 2.在同一平面直角坐标系中，函数y =ax 2+bx 与y =bx +a 的图象可能是（ ）A B C D二次函数（）的图象如图所示，下列说法：①，②当时，，③若（，）、（，）在函数图象上，当时，，④，其中正确的是（ ）A ．①②④ B．①④ C．①②③ D ．③④【课堂小结】通过这节课的学习，你回顾了……，你学会了……，你感到疑惑的……。
数学：第6章《二次函数》复习教案(苏科版九年级下)
第六章 二次函数小结与思考[学习目标]1、会用二次函数表示实际问题中两个变量之间的关系；2、会用描点法并结合对称性画二次函数的图象，并根据图象说出二次函数的性质，能指出其开口方向、顶点坐标、对称轴、最值；3、会根据二次函数的顶点式、一般式、交点式结合已知条件求出二次函数的解析式；4、会根据二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点和一元二次方程ax 2+bx+c=0的解之间的关系解决问题，能读懂图象，并根据图象写出a 、b 、c 、△等的符号，会建立二次函数模型解决简单的实际问题。
[学习过程]： [情境创设]：1、下列函数中二次函数有（ ）个。
（1）y=2x+2 (2)y=x+1x（3）y=1(2)(3)2x x --+ (5)y=2x 2+x （6）y=ax 2+bx+c （7）y= x 2－(x-1)(x+3) (8)y=－x 2+122、一次函数的图象是_____________，反比例函数的图象是___________，二次函数的图象是____________.3、二次函数y=2x 2的顶点坐标为（_______）,对称轴为________，开口方向______，当x______时，y随x 的增大而_______；当x_____时，y 随x 的增大而_______；当x=_____时，y 有最______值为y=_____。
4、二次函数y=－2（x+1）2的顶点坐标为（_______）,对称轴为________，开口方向______，当x______时，y 随x 的增大而_______；当x_____时，y 随x 的增大而_______；当x=_____时，y 有最______值为y=_____。
其图象是由二次函数y=－2 x 2的图象向____平移______个单位所得。
5、二次函数y=12x 2－1的顶点坐标为（_______）,对称轴为________，开口方向______，当x______时，y 随x 的增大而_______；当x_____时，y 随x 的增大而_______；当x=_____时，y 有最______值为y=_____。
九年级数学《二次函数图象和性质复习》教案苏科版
《二次函数图象和性质复习》教案教材的地位和作用：二次函数是在学生学过数、式、方程和函数的基本知识，一次函数的基础上展开的。
二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通，二次函数的图象和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。
它是前面所学知识的应用和提高，又是高中进一步学习数学的基础，另外教学中所渗透的数形结合，从特殊到一般的思想方法对学生今后观察问题，研究问题和解决问题是十分有益的。
学情分析：在上本节课前，学生已经通过列表，描点，连线得到具体的二次函数的图象，也分析了已知函数图象的有关性质（如：开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值，与坐标轴的交点等）。
但对二次函数的一般形式c bx ax y ++=2中系数a ，b ，c ，的符号与图象关系并没有形成共识。
而二次函数系数与图象的联系在近几年的中考中屡见不鲜。
它能考察学生对函数图象意义的理解程度，也能进一步渗透的数形结合，从特殊到一般的思想方法。
教学目标：（一） 掌握的知识与技能：1、.通过复习，进一步掌握二次函数的有关性质。
2、能用二次函数解决简单的实际问题 （二）经历的教学思考：1、通过对函数知识的学习，能学会用数学的思想、方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到问题等。
2、进一步渗透数形结合，从特殊到一般的思想方法。
教学重难点：：函数知识的综合运用教学方法：自主探究，合作交流 教学过程：一、知识点整理：1．小组交流：把二次函数知识点的整理结果在小组内交流，叙述自己的整理思路，从同学的叙述中了解自己的不足。
2．推荐两名学生在班内交流。
3．展示教师的整理思路。
<1>、二次函数的概念：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数.<2>、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是 （ab ac a b 44,22--）；对称轴是直线abx 2-=. <3>、当a ＞0时抛物线的开口向上；当a ＜0时抛物线的开口向下.a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大.a 相同的抛物线，通过平移（或旋转、轴对称）一定能够重合. <4>、a 、b 同号时抛物线的对称轴在y 轴的左侧；a 、b 异号时抛物线的对称轴在y 轴的右侧.抛物线与y 轴的交点坐标是（0，C ）. <5>、二次函数解析式的三种形式： （1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y （2）顶点式：k h x a y +-=2)(（3）交点式：))((21x x x x a y --=，抛物线与x 轴的交点坐标是（0,1x ）和（0,2x ）. <6>、抛物线的平移规律：从2ax y =到k h x a y +-=2)(，抓住顶点从（0，0）到（h ，k ）.<7>、（1）当ac b 42-＞0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21,x x ，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点坐标是A （0,1x ）和B （0,2x ）。
苏科版九年级下册《二次函数复习1》教学案
苏科版九年级下册《二次函数复习1》教学案——基于江苏省“十二五”规划课题《实施促进式教学，提升学生学习力的研究》的学案设计常州市初中数学促进式教学吕水庚名教师工作室汤忠芳【学习目标】1、掌握二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图像与系数符号之间的关系。
2、会对二次函数图像进行平移，会求二次函数图像与坐标轴的交点。
3、让学生进一步体会研究函数的一般方法，加深对数形结合思想的认识。
【成长历程】思考——探索——归纳——应用——感受【交往过程】一、自觉思考：基础演练、灵活运用：如图：根据二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的一部分图像，1、试判断：a 0b 0c 0 b2-4ac 0点P(a，bc)在第象限【知识总结】：①抛物线的开口方向由决定，开口向上，开口向下。
②抛物线与y轴交于正半轴，则c 0，若交于负半轴，则c 0。
③若对称轴在y轴的左侧，则，在y轴右侧，则。
④抛物线与x轴的交点个数由决定，当抛物线与x轴有两个交点；当抛物线与x轴有一个交点；当抛物线与x轴没有交点。
2、若x=1时，二次函数有最大值。
则：当x满足，y随x的增大而增大。
当x满足，y随x的增大而减小。
3、在（2）的条件下，若二次函数与x轴的一个交点为B（3,0）结合图像，ax2+bx+c=0 (a≠0)的根是x1= ，x2= 。
当，y＞0；当，y＝0；当，y＜0。
4、若二次函数与y轴交于C（0,3）则二次函数表达式为 ，将图像沿x 轴向 平移 个单位，沿y 轴向 平移 个单位得到函数y=-x 2的图像。
5、若二次函数顶点记为P,与x 轴交点记为A,B,与y 轴交点记为C,则四边形PCAB 的面积为 。
在该函数图像上，是否存在点Q ，使得△ABQ 的面积为4，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
6、若经过B 、C 两点的直线，对应的一次函数记为y 1，则满足 时，y 1=y ，满足 时，y 1＞y ；满足 时，y 1＜y 。
【中考复习】中考数学二次函数的应用复习教案1苏科版
二次函数的应用课题二次函数的应用复习(1）上课时间课时第课时教学目标知识与能力能用二次函数的最值解决有关面积问题过程与方法使学生经历将实际问题数学化的过程．渗透函数、数形结合、建模、转化等数学思想方法；体验合作与交流的学习方法．情感态度与价值观在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题教学重点能用二次函数的最值解决有关面积问题教学难点如何将实际情形中的”问题”转化为数学问题.教学方法合作讨论法、自主练习法教具多媒体教学内容及教学过程一、解函数应用题的步骤：❖设未知数（确定自变量和函数);❖找等量关系,列出函数关系式；❖化简，整理成标准形式（一次函数、二次函数等)；❖求自变量取值范围;❖利用函数知识，求解（通常是最值问题）；❖写出结论。
二、互动探究转化建模1,（1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？练一练某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的矩形场地,问矩形的长=__________米,宽=__________米,才能使存放场地的面积最大，最大面积=_________平方米2.如图,用长20米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的菜园,设菜园的宽为x米，面积为y平方米.(1）求y与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2）怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？例1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米。
(1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2）当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
学以致用1。
（05年台州）如图，用长为18cm的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃。
(1）设矩形的一边为x(m)，面积为y(m2），求y与x的函数关系，并写出x的取值范围；（2).当x为何值时,所围苗圃面积最大，最大面积是多少m2？2.（安徽）用总长为32m的篱笆墙围成一个扇形的花园．⑴若扇形的半径设为x(m）,试用x表示弧长你能写出扇形花园的面积y(㎡）与半径x (m）之间的函数关系式和自变量x的取值范围吗？（2）当扇形花园半径为多少时，花园面积最大？最大面积是多少？（3）如果同样用32m的篱笆围成一个面积最大的矩形花园,这个花园的面积是多少？对比上面的结论，你有什么发现？例2。
九年级数学《二次函数》总复习教案
九年级《二次函数》总复习 一、教学目标1．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；2．能作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
二、教学重点和难点重点：根据图象对二次函数的性质进行分析 难点：根据图象对二次函数的性质进行分析 三、教学过程知识梳理:1、二次函数的定义2、二次函数的图像及性质 3、求解析式的三种方法4、a ，b ，c 及相关符号的确定 5、抛物线的平移 （一）、二次函数的定义定义： y=ax ² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x ²，y=2x ²-2ab2/x ，y=100-5 x ²， y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。
2.当m_______时,函数y=(m+1)χm2-m- 2χ+1是二次函数？(二)、二次函数的图像及性质例1：已知二次函数:y=23x 212-+x（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。
（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。
（3）x 为何值时，y 有最小值，这个最小值是多少？（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0（分小组讨论交流，分小组展示。
教师讲解第（4）问，提示同学们要画草图由图象可知：当-3 < x < 1时，y < 0当x< -3或x>1时，y > 0（三）、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.（组织学生分组交流讨论，展示师生共评.）练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。
九年级数学下册 《二次函数》复习学案 苏科版
学习内容二次函数复习共几课时 4课型新授第几课时 1学习目标1．复习图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．复习探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
重点难点学习重点：函数图象性质及有关应用学习难点：函数图象性质及有关应用教学资源课件预习设计课本：学生活动设计教师导学设计教学反思或修改意见活动一、【例1】1、二次函数y=ax2＋bx2＋c的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）2、二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（）【例2】如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x2＋0．9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？【例3】图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2＋（a＋c）x＋c 与一次函数y=ax＋c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）回忆二次函像的的性质怎么得到二次函数如何利用函数性质在同一坐标系中的应用作业设计课中检测1．抛物线y=－2x2＋6x－1的顶点坐标为，对称轴为．2．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c的大致图象为（）3．已知二次函数y=41x2－25x＋6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y随x的增大而减小．4.已知点（－1，y1）、（－321，y2）、（21，y3）在函数y=3x2＋6x＋12的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2课后巩固书后练习、大小练习册板书设计二次函数复习1．复习二次函数图象及抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．复习二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质。
苏科版九年级下册寒假复习教案：二次函数1—二次函数的定义,图象与性质
初中数学一对一教学辅导教案1突破二、二次函数的图象的特征与系数的关系的应用例：1、如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：；②a－b+c＜0；③x(ax+b)≤a+b；其中正确的有（）2、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列四个结论：①4ac-b2<0; ②4a+c<2b; ③3b+2c<0; ④m(am+b)+b<a(m≠-1).其中正确的结论是.突破三、二次函数与几何图形的综合应用例：1、如图，已知二次函数213222y x x =-++的图象交x 轴于A (－1，0),B (4，0)，交y 轴于点C ，点P 是直线BC 上方抛物线上一动点（不与B ,C 重合），过点P 作PE ⊥BC ，PF ∥y 轴交BC 与F ，则△PEF 面积的最大值是___________．2、如图，抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点Q 在该抛物线的对称轴上，若△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形，求点Q 的坐标；（3）若P 为BD 的中点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．3、如图（1），在Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点A 出发，以21cm/s 的速度沿AB 向终点B 运动；2s 后，又有一动点Q 从点B 出发，沿B→C→A 方向以3cm/s 的速度向终点A 运动.图（2）是△PQC 的面积S （cm 2）关于点P 的运动时间t （s ）的函数图象，请结合图中提供的信息解决下面的问题：（1）线段AB= cm ，a= ，m= ；（2）求当t 为何值时，PQ ∥AC ；（3）求图（2）中EF 段函数解析式.图（1） 图（2）。
九年级数学下册第2章二次函数1复习教案
第二章二次函数（1）一、复习目标1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式；二、课时安排1课时三、复习重难点用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；用待定系数法求二次函数的解析式；四、教学过程（一）知识梳理1．二次函数的概念一般地，形如 (a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数．[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y ＝ax2是特殊的二次函数．2．二次函数的图象二次函数的图象是一条，它是轴对称图形，其对称轴平行于轴．[注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．3．二次函数的性质4.二次函数图象的平移一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减． （二）题型、方法归纳 类型一 二次函数的定义应用例1 已知抛物线y ＝(m ＋1)xm 2＋m 的开口向下，求m 的值．[解析] 本题容易考虑不全面，只考虑m ＋1＜0，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x 的次数为2.由抛物线开口向下得m ＋1＜0且m 2＋m ＝2，即m ＝－2.解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝2，m ＋1<0.解得m ＝－2.方法技巧解答这类问题要明确两点：(1)函数图象是抛物线，所以是二次函数；(2)抛物线的开口只与二次项系数有关．类型二 二次函数图象的平移例2 如果将抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝________，c ＝________.[解析] ∵y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，y ＝x 2＋bx ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋4c －b 24，又抛物线y ＝(x －1)2是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋4c －b 24向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋4c －b 24可看作是y ＝(x －1)2向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的．∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋4c －b 24＝(x －1－2)2－3，即y ＝x 2＋bx ＋c ＝x 2－6x ＋9－3＝x 2－6x ＋6，∴b ＝－6，c ＝6.方法技巧在平移的过程中，抛物线的形状始终保持不变，而抛物线的形状只与二次项系数有关，所以要求平移后(或前)抛物线的表达式，只需求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．解这一类题目，需将一般表达式化为顶点式，抓住顶点位置的改变，根据平移规律进行解答．类型三 二次函数与一次函数的综合应用 例3 已知矩形ABCD中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图X 2－1)．(1)写出A ，B ，C ，D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B ，C 的抛物线的表达式； (3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标； (4)△PEB 的面积与△PBC 的面积具有怎样的关系？证明你的结论．[解析] 利用矩形的性质可以得到A ，B ，C ，D 及AD 的中点E 的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式．解：(1)A(0,1)，B(0，－1)，C(4，－1)，D(4,1)，E(2,1)． (2)设抛物线的表达式为：y ＝a(x －2)2＋1， ∵抛物线经过点B(0，－1)， ∴a(0－2)2＋1＝－1，解得a ＝－12.∴抛物线的表达式为：y ＝－12(x －2)2＋1.经验证，抛物线y ＝－12(x －2)2＋1经过点C(4，－1)．(3)直线BD 的表达式为：y ＝12x －1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －22＋1，y ＝12x －1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝12.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3， 12.(4)S △PEB ＝12S △PBC .S △PBC ＝12×4×32＝3.过P ，E 分别作PP′⊥BC，EE′⊥BC，垂足分别为P′，E′，S △PEB＝12×2×2＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2×1－12×3×32＝32，∴S △PEB ＝12S △PBC . 类型四 二次函数的图象和性质的应用例4 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)过A(－2,0)，O(0,0)，B(－3，y 1)，C(3，y 2)四点，则y 1与y 2的大小关系是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定[解析] A 结合图形，找到A 、O 、B 、C 四个点的大致位置，容易看出y 1与y 2的大小关系．方法技巧解决此类问题的关键是求出抛物线的对称轴，由a 的正负性就可以知道抛物线的增减性，可以结合图形进行判别．如果所给的点没有在对称轴的同一侧，可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再作判断．类型五 求二次函数的表达式例5 已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图X2－2所示，它与x 轴的一个交点坐标为(－1,0)，与y 轴的交点坐标为(0,3)．(1)求出b ，c 的值，并写出此二次函数的表达式；(2)根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．[解析] 由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x 的取值范围．解：(1)把(－1,0)，(0,3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.所以y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3，所以，由图象可知，函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围是－1＜x ＜3. 方法技巧求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的表达式：(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ；(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ；(3)若给出抛物线与x 轴的交点，或对称轴和对称轴与x 轴的交点距离，通常可设交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)．（三）典例精讲例6 如图，已知二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象与坐标轴交于点A(－1,0)和点B(0，－5)．(1)求该二次函数的表达式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐标．[解析] 把点A(－1,0)和点B(0，－5)代入表达式即可求出a 和c 的值，△ABP 的周长中的边长AB 是确定的，只要求出PA 与PB 的和最小即可，因此要把PA 和PB 转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性．解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a×－12－4×－1＋c ，－5＝a×02－4×0＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－5.∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x －5.(2)令y ＝0，得二次函数y ＝x 2－4x －5的图象与x 轴的另一个交点坐标C(5,0)． 由于P 是对称轴x ＝2上一点，连接AB(如图X 2－4)，由于AB ＝OA 2＋OB 2＝26，要使△ABP 的周长最小，只要PA ＋PB 最小．由于点A 与点C 关于对称轴x ＝2对称，连接BC 交对称轴于点P ，则PA ＋PB ＝BP ＋PC ＝BC ，根据两点之间，线段最短，可得PA ＋PB 的最小值为BC.因而BC 与对称轴x ＝2的交点P 就是所求的点． 设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，0＝5k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－5.所以直线BC 的表达式为y ＝x －5.因此直线BC 与对称轴x ＝2的交点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝x －5的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所求点P 的坐标为(2，－3)． （四）归纳小结说一说：通过二次函数的学习，你应该学什么？你学会了什么？ 1、理解二次函数的概念；2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式； （五）随堂检测1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： 点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)在函数的图象上，则当1<x 1<2,3<x 2<4时，y 1与y 2的大小关系正确的是( )A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1≤y 23．已知二次函数y ＝－x 2＋x －15，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m －1，m ＋1时对应的函数值为y 1、y 2，则y 1，y 2满足( )A ．y 1>0，y 2>0B ．y 1<0，y 2<0C ．y 1<0，y 2>0D ．y 1>0，y 2<04．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的表达式为y ＝x 2－2x －3，则b 、c 的值为( )A ．b ＝2，c ＝2B ．b ＝2，c ＝0C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝－3，c ＝25．坐标平面上，若移动二次函数y ＝2(x －175)·(x －176)＋6的图形，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为( )A ．向上移动3单位B ．向下移动3单位C ．向上移动6单位D ．向下移动6单位6．将抛物线y ＝x 2－2x 向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是___________________________________．7.如图为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA ＝OC ＝1，则下列关系中正确的是( )A ．a ＋b ＝－1B ．a －b ＝－1C ．b<2aD ．ac<08.如图所示，若正方形的棱长不变，CM ＝12DM ，NH ＝34EH ，MN 与CH 的延长线交于P 点，则tan ∠NPH 的值为________．9.将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B(－3,0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标．【答案】 1.D 2.B 3.B 4.B 5.D6. y ＝(x －5)2＋2或y ＝x 2－10x ＋27 7.B 8.5129. 解：(1)由题意知：A(0,6)，C(6,0)，设经过点A 、B 、C 的抛物线解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧6＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝36a ＋6b ＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝1，c ＝6，∴该抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋x ＋6.(2)如图，设点P(x,0)， ∵PE ∥AB ，∴△CPE ∽△CBA. ∴S △CPE S △CBA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CP BC 2. 又∵S △ABC ＝12BC×OA＝27，∴S △CPE 27＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 92. ∴S △CPE ＝6－x23＝13x 2－4x ＋12. S △ABP ＝12BP×OA＝3x ＋9.设△APE 的面积为S ，则S ＝S △ABC －S △ABP －S △CPE ＝－13x 2＋x ＋6＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274.当x ＝32时，S 最大值为274.点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.五、板书设计二次函数（1） 1、理解二次函数的概念； 2、会用描点法画出二次函数的图象；3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；4、会用待定系数法求二次函数的解析式； 类型讲解： 典例精析：六、作业布置 单元检测试题（一） 七、教学反思。
二次函数教案苏科版九年级下
§ 6.1二次函数 [ 教案 ]备课时间 :主备人 :教学目标 :1.探索并归纳二次函数的定义 .2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.教学重点 :1.经历探索二次函数关系的过程, 获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.教学难点 :经历探索二次函数关系的过程, 获得用二次函数表示变量之间关系的体验.教学方法 :讨论探索法.课时：2课时教学过程 :（一）复习引入回忆学过的函数类型－一次函数（正比例函数）、反比例函数、三角函数；函数定义－在某个变化过程中，有两个变量x 和 y，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是 x 的函数，其中x 是自变量， y 是因变量 . 本节课我们将开始教学初中阶段的最后一个函数二次函数.（二）新课1、由实际问题探索二次函数某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结600 个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子．(1)问题中有哪些变量 ?其中哪些是自变量 ?哪些因变量 ?(2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子 ?(3) 如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出 y 与 x 之间的关系式．果园共有 (100+x) 棵树，平均每棵树结 (600-5x) 个橙子，因此果园橙子的总产量y＝ (100+x)(600— 5x) ＝ -5x 2 +100x+60000．提出问题：判断上式中的y 是否是 x 的函数？若是，与我们前面所学的函数相同吗？（根据函数的定义， y 是 x 的函数，从形式上看不同于我们所学函数，猜测是二次函数）2、想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多?我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗 ?自己试一试．x/ 棵89101112y/ 个6048060495605006049560480从表格中发现：增种 10棵橙子树时，橙子的总产量最多.3、做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。
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苏科版九年级下册《二次函数复习1》教学案
——基于江苏省“十二五”规划课题《实施促进式教学，提升学生学习力的研究》的学案设计常州市初中数学促进式教学吕水庚名教师工作室汤忠芳2014.03.06
【学习目标】
1、掌握二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图像与系数符号之间的关系。
2、会对二次函数图像进行平移，会求二次函数图像与坐标轴的交点。
3、让学生进一步体会研究函数的一般方法，加深对数形结合思想的认识。
【成长历程】思考——探索——归纳——应用——感受
【交往过程】
一、自觉思考：
基础演练、灵活运用：
如图：根据二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的一部分
图像，1、试判断：
a 0
b 0
c 0 b2-4ac 0
点P(a，bc)在第象限
【知识总结】：
①抛物线的开口方向由决定，开口向上，开口向下。
②抛物线与y轴交于正半轴，则c 0，若交于负半轴，则c 0。
③若对称轴在y轴的左侧，则，在y轴右侧，则。
④抛物线与x轴的交点个数由决定，当抛物线与x轴有两个交点；当抛物线与x轴有一个交点；当抛物线与x轴没有交点。
2、若x=1时，二次函数有最大值。
则：当x满足，y随x的增大而增大。
当x满足，y随x的增大而减小。
3、在（2）的条件下，若二次函数与x轴的一个交点为B（3,0）结合图像，ax2+bx+c=0 (a≠0)的根是x1= ，x2= 。
当，y＞0；当，y＝0；
当，y＜0。
4、若二次函数与y轴交于C（0,3）则二次函数表达式
为，将图像沿x轴向平移个单位，沿y轴向平移个单位得到函数y=-x2的图像。
5、若二次函数顶点记为P,与x轴交点记为A,B,与y轴交点记为C,则四边形PCAB的面积为。
在该函数图像上，是否存在点Q，使得△ABQ的面积为4，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
6、若经过B、C两点的直线，对应的一次函数记为y1，
则满足时，y1=y，满足时，y1＞y；
满足时，y1＜y。
二、拓展延伸：
7、当0＜X ＜3时,抛物线上有一点P ，过点P 作x 轴
的垂线，与直线BC 交于点Q ，则线段PQ 有没有最大值？
如果有，求出最大值；若没有，请说明理由。
三、课堂巩固：
1、若y=（a －1）231a x 是关于x 的二次函数，则a=_______。
2、下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( )
3、若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在x 轴上，则b 的值为______。
若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在y 轴上，则b 的值为______。
如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,则c 的值为 。
4、（1）若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴没有交点，则C的取值范围
（2）二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围。
5、求二次函数的表达式
（1）已知二次函数的图象以（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）；（2）已知二次函数的图象经过（－1，0），（3，0），（0，－5）三点；
6、已知抛物线y=a(x+1)(x-9)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠ACB=90°，求a的值。