圆与正方形的面积
外圆内方和外方内圆的面积公式
外圆内方和外方内圆的面积公式
外圆内方和外方内圆是平面图形中常见的两个组合形态，它们的面积由一定的公式计算得出。
下面将会分别介绍外圆内方和外方内圆的面积公式及其应用。
一、外圆内方的面积公式
外圆内方是指一正方形内切于一个圆形，该圆形与正方形相切于其四个顶点。
外圆内方的面积公式如下：
S = πr²/2
其中，S代表正方形的面积，r代表圆的半径。
该公式表示，外圆内方的面积等于圆的面积的一半。
应用举例：
假设正方形的边长为10，求其内切圆的面积。
解：由于正方形内切于圆，则圆的直径等于正方形的对角线长，即10√2。
故圆的半径r=5√2。
带入公式S = πr²/2，得到答案S = 25π。
二、外方内圆的面积公式
外方内圆是指一个圆形内含于一个正方形，该正方形的四个顶点位于
圆周上。
外方内圆的面积公式如下：
S = (2-π)r²
其中，S代表圆的面积，r代表圆的半径。
该公式表示，外方内圆的面
积等于圆的面积与正方形面积之差。
应用举例：
假设正方形的边长为10，求其内含圆的面积。
解：进一步分析可得，正方形对角线长等于圆的直径，即10√2为圆直径。
所以圆的半径r=5√2/2。
带入公式S = (2-π)r²，得到答案S ≈ 11.32。
以上是外圆内方和外方内圆的面积公式及应用的介绍。
这两种形态的
应用十分广泛，常见于建筑物设计、广场景观等领域。
【张林峰】圆与正方形的四类切接面积关系问题
圆方内内圆外方11 1 cm圆方内方外圆1 cm1 cm圆与正方形的四类切接面积关系问题秀洲区王江泾镇田乐小学 张林峰1、内圆外方，即正方形中内切一个最大的圆。
针对教学内容要求，我们主要是来研究面积之间的关系问题。
假设圆的半径为1cm ，则圆的直径为2cm ，那么正方形的边长就是2cm ，计算圆的面积就是221r cm S πππ=⨯==，正方形的面积就是22422cm a S =⨯==。
1000785200157400314414.344=======ππ：：方圆方圆S S S S ，也就是说把正方形面积平均分成1000份，圆的面积占了785份，也就是占了78.5%，其余部分占了215份，即占了21.5%。
保留π，我们可以得出：圆的面积是正方形面积的4π，此时单位“1”为正方形面积。
数量关系为：圆方πS S =⨯4（或圆方S S =⨯%5.78）。
2、内方外圆，即圆中内接一个最大的正方形。
我们继续来研究他们的面积关系问题。
假设圆的半径为1cm ，则圆的直径为2cm ，计算圆的面积就是221r cm S πππ=⨯==，正方形的面积要先计算1个三角形的面积，其三角形的面圆方圆方积2212112cm ah S =÷⨯=÷=，正方形面积由4个小三角形面积组成，那么正方形面积就是22421cm =⨯。
15710031420014.3222======π：π：圆方圆方S S S S ，如果把圆的面积平均分成157份，那么正方形的面积占了其中的100份，约63.7%，其余部分占了57份，约36.3%。
包里π，我们可以得出：正方形面积是圆的面积的π2，此时单位“1”为圆的面积。
数量关系为：方圆πS S =⨯2。
3、方圆方，即正方形内切一个最大的圆，而这个圆里面又内接一个最大的正方形。
结论：小正方形的面积是大正方形面积的21，即2÷=大正方形小正方形S S 。
验证：最大正方形的面积为单位“1“，假设21cm S =大正方形，此时大正方形与圆构成了“内圆外方”，那么根据前面的结论（圆的面积是正方形面积的4π），则2441cm S ππ圆=⨯=，继续来看圆与小正方形，又构成了“内方外圆”，根据前面的结论（正方形的面积是圆面积的π2），则22124cm S x =⨯=ππ小正方形，综上来看，大正方形面积与小正方形面积存在2倍关系（即小正方形与大正方形之间形成的正方形环与小正方形面积相同，都是大正方形面积的21）。
六年级下册：圆与正方形的关系(方中圆)题型分类(教师版带答案)
无规矩不成方圆——圆与正方形的关系一、方与圆经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？①正方形面积：4r²②圆的面积：πr²③比：4：π练习：1、如上图，正方形面积为40平方米，那么圆的面积为多少平方米？（用π表示）①r=20②圆的面积：400π2、如上图，圆的面积为16π平方米，那么正方形面积为多少？①R=4②正方形面积：64二、圆中方经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？比：2：π练习：1、已知正方形的面积36平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？（用π表示）18π2、已知圆的面积16π平方厘米，正方形的面积是多少平方厘米？32平方厘米往年真题11、在一张面积是100平方厘米的正方形纸上，画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？①R=5 ②25π2、已知右图中正方形的面积是6平方厘米，图中圆的面积是多少平方厘米？①r²=6②圆的面积：6π3、已知正方形的面积20平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？10π或者31.44、从一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸，剪出一个最大的圆形，圆形的面积是多少平方厘米？①r=4②16π5、已知正方形的面积是20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？2.5π或者7.85圆的直径=边长6、图中等腰直角三角形的面积是25平方厘米，圆面积是多少平方厘米？①r²=25②25π7、用周长4分米的正方形纸片，剪成一个面积最大的圆，这个圆的周长是多少分米？①d=1 ②3.14分米三、方中圆中方经典例题已知：圆的半径是r ，求大方、圆与小方的面积比？大方边长：2r 面积：4r ²圆：πr ²小方：2r ²比：4：π：2练习：1、如上图，已知大正方形的面积为12，那么小正方形的面积为多少？（用π表示）62、如上图，已知小正方形的面积为12，那么大正方形的面积为多少？24四、圆中方中圆经典例题已知：大圆的半径是r ，求大圆、方与小圆的面积比？大圆：πr ²方：2r ² 小圆：2r 2π 面积比：2π：4: π1、如上图，已知小圆的面积为8，那么大圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？16π322、如上图，已知大圆的面积为8，那么小圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？ 4π16往年真题21、如图，已知小圆的面积为30，那么大圆的面积为多少？602、如图，若圆中方面积为30平方厘米，则大圆与小圆的面积之和是多少平方厘米？大圆：15π小圆：7.5π面积之和：22.5π3、如图，最大圆的面积是16平方米，那最小圆的面积是多少平方米？（π取近似值3）44、下图中，正方形是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形水池的面积是200平方米，草坪的面积是多少平方米？150π奥数拔高1、求下列各图中阴影部分的面积。
圆中最大正方形的面积公式
圆中最大正方形的面积公式圆中最大正方形的面积公式正方形与圆是几何学中最简单的图形之一，它们都具有独特的性质和美学特点。
而在圆形内部找到最大正方形成为一项有趣的几何问题。
本文将探讨这个问题，并给出圆中最大正方形的面积公式。
首先，我们先来了解一下圆的性质。
圆是指由一个固定点（圆心）和到这个点的距离都相等的一组点构成的平面几何图形。
圆的面积公式为S = πr²，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径，π（pi）是一个常数，约等于3.14159。
那么，在圆中，如何找到最大的正方形呢？我们可以先尝试在圆内绘制一个最大的正方形，并思考它的几何特征。
设这个正方形的边长为a，它的四个顶点分别为A、B、C、D。
我们将这个正方形旋转一定角度，使AC与圆的切线重合，此时正方形的对角线BD与圆的直径重合。
接下来，我们可以通过一些几何定理，来求解最大正方形的边长a。
由正方形的对角线BD与圆的直径重合可知BD = 2r。
根据勾股定理，我们有AC² + BD² = AD²。
由于AC与BD重合，所以AC = BD = 2r，代入原式得2r² + 4r² = AD²，即6r² = AD²。
由于正方形的边长a等于2r，所以AD = a√2。
将AD代入上式可得6r²= (a√2)²，即6r² = 2a²。
整理得到a² = 3r²，即最大正方形的面积公式为S = a² = 3r²。
那么，我们如何证明这个公式呢？我们可以通过对圆的内接正方形与外接正方形进行比较来证明。
我们知道，内接正方形是指一个正方形的四个顶点刚好在圆上，而外接正方形则是指含有圆的中心的正方形。
首先，我们来看内接正方形。
由于内接正方形的四个顶点位于圆上，所以它的边长a必然小于圆的直径2r，即a < 2r。
周长相等的长方形正方形和圆谁的面积最大
周长相等的长方形正方形和圆谁的面积最大
周长相等的长方形正方形和圆面积最大的是？
周长相等的长方形正方形和圆面积最大的是
周长相等的正方形、圆和长方形中，面积最大的是（圆），最小的是（长方形）。
周长相等的正方形、长方形和圆形，谁的面积最大，谁面积最小，可以先假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这三种图形面积的大小。
长方形的面积为：长×宽、周长为2×（长+宽）；正方形的面积为：边长的平方、周长为4×变长；圆的面积为π×半径的平方、周长为2π×半径。
现设周长为单位1，那么长方形的话，长+宽=1/2，如果长是1/3，那么宽则是1/6，面积为1/18，而正方形的话，变长为1/4，面积为1/16。
可以证明相同周长下，正方形的面积总会比长方形的面积大。
最后比较圆与正方形的面积，同样是利用单位1。
圆的半径是1/（2π），那么面积是1/（4π），正方形的面积上面已算为1/16，因为知道4π小于16，作为分母，因此1/（4π）大于1/16。
公式推导：
圆周长（c）：圆的直径（D），那圆的周长（c）除以圆的直径（D）等于π，那利用乘法的意义，就等于π乘圆的直径（D）等于圆的周长（C），C=πd。
而同圆的直径（D）是圆的半径（r）的两倍，所以就圆的周长（c）等于2乘以π乘以圆的半径（r），C=2πr。
把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。
长方形的宽就等于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长（C）的一半。
外圆内方边角料的面积公式
外圆内方边角料的面积公式```AD-------T-------BO---+---C-------R-------DR```在上图中，ABCD表示正方形的四个顶点，O表示圆的圆心，T表示圆与正方形的内切点，AC表示边角料。
为了推导出外圆内方边角料的面积公式，我们可以先计算出正方形的面积和圆的面积，然后用正方形的面积减去圆的面积，最后再减去两个边角料的面积。
1.正方形的面积：正方形的面积可以通过任意一条边的平方来计算，因为正方形的四条边都是相等的。
假设正方形的边长为a，则正方形的面积为：S1=a*a=a^22.圆的面积：3.边角料的面积：边角料的面积可以通过将边角料划分为两个部分来计算：矩形部分和扇形部分。
a)矩形部分：由于边角料是通过连接正方形的顶点和圆的圆心形成的，所以边角料的宽度等于正方形的边长a，长度等于圆的半径r。
因此，矩形部分的面积为：S3=a*r。
b)扇形部分：扇形的面积可以通过圆的半径和圆心角来计算。
在边角料中，圆心角等于正方形的内角，因为边角料由正方形的边和圆的弧所围成。
假设正方形的内角为θ弧度，则扇形的面积为：S4=(θ/2π)*π*r^2=(θ*r^2)/2由于边角料有两个，所以总的边角料的面积为：S5=2*(S3+S4)=2*(a*r+(θ*r^2)/2)。
4.外圆内方边角料的面积：由于正方形的边长和圆的半径可以通过正方形的对角线来表示，即：a=√2*r，则上式可以进一步化简为：S=2*r^2*(1-π/4-(θ/2+π/4)*√2)。
综上所述，外圆内方边角料的面积公式为：S=2*r^2*(1-π/4-(θ/2+π/4)*√2)。
圆形与正方形重叠面积
圆形与正方形重叠面积圆形与正方形是几何学中的两种常见形状，它们在生活中无处不在。
当它们重叠在一起时，会产生一个有趣的交集区域，也就是圆形与正方形的重叠面积。
本文将探讨这个重叠面积的特点和计算方法，希望能给读者一些指导意义。
首先，我们来看一下圆形与正方形的特点。
圆形是由一个中心点和与该中心点等距离的所有点构成的。
正方形是一个具有四个相等边长和四个右角的多边形。
圆形与正方形都有自己独特的特性，例如圆形的面积计算公式为πr²，其中r表示圆的半径；正方形的面积计算公式为a²，其中a表示正方形的边长。
当圆形和正方形重叠在一起时，它们的交集区域会形成一个封闭的形状。
这个形状既有圆形的特点，也有正方形的特点。
我们可以将这个区域看作是一个“弯曲”的正方形，其四个角都向圆形的中心弯曲。
这个区域既具有正方形的四边形状，又具有圆形的弧形状。
那么，如何计算圆形与正方形的重叠面积呢？根据几何学的原理，我们可以采用两种方法来计算。
第一种方法是近似计算，即将圆形划分为一系列小的扇形形状，然后计算每个扇形与正方形的交集面积，最后将这些面积相加。
这种方法可以适用于大多数情况，但是会有一定的误差。
第二种方法是精确计算，即利用数学的方法来求解。
我们可以先计算圆形的面积，然后减去正方形的面积，再加上交集区域的面积。
交集区域的面积可以通过求解圆形与正方形的公共部分来得到。
这个问题属于较复杂的数学几何问题，需要利用多元方程和积分等数学工具进行求解。
当然，对于一般的日常生活中的问题，可以简化计算过程，例如考虑正方形内切圆的情况。
在这种情况下，正方形的边长等于圆的直径，所以重叠面积就是圆的面积减去正方形面积的差值。
这种情况下的计算也比较简单和直观。
总而言之，圆形与正方形的重叠面积是一个有趣的几何问题。
通过理解它们的特点和计算方法，我们可以更好地应用它们在现实生活中。
无论是在建筑设计、地理测量还是日常生活中，这个重叠面积的概念都能帮助我们理解和解决实际问题。
圆中方 方中圆的公式
圆中方方中圆的公式
由于"圆面积等于直径d的3分之1平方的7倍",所以方中圆的面积公式是：圆面积7a²，它的外切正方形面积就是9a²。
因为圆内接正方形面积是它外切正方形面积的2分之1，所以圆中方的面积公式是；圆面积7a²，它的内接正方形面积就是4.5a².（注意a=直径d 的3分之 1 方形与圆（正方形与内切圆）中间的面积是：9(d/3)²-7(d/3)²=2(d/3)². 圆与方形（圆与内接正方形）中间的面积是：7(d/3)²-4.5(d/3)²=2.5(d/3)². 方形与方形（圆的外切正方形与圆的内接正方形）中间的面积是：9(d/3)²-4.5(d/3)²=4.5(d/3)² 或者简单算法; 圆中方: 圆：方=3.14：2 方中圆；圆：方=3.14：4。
长方形、正方形、圆的周长;面积的关系
1、一个长方形和正方形的面积都是1225平方厘米，一个圆的面积是1256平方厘米。
这三个图形的周长哪个最大？那个最小？如果这三个图形的面积相等，你能发现它们的周长之间的大小关系吗？正方形：1225=35×35正方形边长:35厘米正方形周长:35×4=140(厘米)长方形：1225=7×175长方形的长:175厘米宽:7厘米长方形的周长:(175+7)×2=182×2=364(厘米）这是最短的周长了(因为长和宽最接近）圆：圆的半径:20厘米圆的周长:20×2×3.14=125.6(厘米）所以,长方形的周长> 正方形周长> 圆的周长总结：长方形、正方形、圆在面积相等的情况下：长方形的周长> 正方形的周长> 圆的周长2、用一根长是37.68厘米的铁丝，分别围成长方形、正方形、圆，这三个图形的面积哪个最大？那个最小？你能发现它们面积之间的大小关系吗？长方形：（长+宽）×2=37.68长+宽=37.68÷2=18.84厘米假设：长方形的长：10厘米宽：8.84厘米长方形的面积：10×8.84=88.4(平方厘米）正方形：正方形的边长=37.68÷4=9.42(厘米）正方形的面积=9.42×9.42=88.7364（平方厘米）圆：圆的半径=37.68÷（2×3.14）=6（厘米）圆的面积=3.14×62=113.04（平方厘米）总结：长方形、正方形、圆在周长相等的情况下：圆的面积 > 正方形的面积 > 长方形的面积。
周长相等的圆、正方形和长方形,哪个面积大
周长相等的圆、正方形和长方形，哪个面积大？ 现设三种图形周长都为“1”，那么
长方形的面积情况：长+宽=21，如果长是31，那么宽则是61，面积为18
1； 正方形的面积情况，边长为41，面积为
161。
由此可以证明：周长相等情况下，正方形的面积总会比长方形的面积大。
再比较圆与正方形的面积：圆的半径是
π21，那么面积是π
41，正方形的面积上面已算得为161，因为π41大于161。
由此可以证明：周长相等情况下，圆的面积总会比正方形的面积大。
周长相等的情况下：
圆的面积＞正方形面积＞长方形面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。